SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT TRIỆU SƠN ĐỀ KSCL ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2018-2019 Mơn thi: TỐN - Lớp 11 THPT Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề) (Đề thi có 01 trang, gồm câu) P : y x x đường thẳng d : y x m Tìm tất giá trị thực P hai điểm phân biệt M , N khoảng cách từ trung điểm tham số m để d cắt I đoạn thẳng MN đến trục tọa độ Lời giải 2 Phương trình hồnh độ giao điểm: x x x m x x m 0 (1) Câu 1: Cho parabol d cắt P hai điểm phân biệt M , N m m (2) Gọi x1 , x2 hoành độ điểm M , N M x1 ; x1 m M x2 ; x2 m Khi x1 , x2 nghiệm phương trình (1) , x x x x 2 m Theo Vi-et, ta có: I 1; m 1 Vì I trung điểm đoạn thẳng MN m 2 1m m 0 Vì I cách trục tọa độ Kết hợp với điều kiện (2) m 2 Câu 2: Tìm tất giá trị thực tham số m để bất phương trình x m x 2 x nghiệm với x 1 Lời giải Đặt: x m x 2 x Điều kiện: x 1 (1) x 1 x m 2 x 1 x 1 (1) (2) x x t 4 4 1 t x Do x 1 x 1 Đặt 2 Bất phương trình (2) trở thành: 3t m 2t m 3t 2t (3) t 0;1 Xét hàm số f (t ) 3t 2t , Bảng biến thiên t 3 f(t) -1 Bất phương trình (1) nghiệm m x 1; bất phương trình (3) nghiệm với t 0;1 x sin x tan x.tan tan x 2 cos x Câu 3: Giải phương trình: Lời giải x 0 Điều kiện xác định: (2) Phương trình cho tương đương x x cos x.cos sin x.sin sin x tan x tan x x cos x.cos sin x tan x tan x cosx tan x tan x tan x 0 tan x cos x.cos tan x x k Với tan x x k Với So sánh với điều kiện (2) x k x k , k Vậy nghiệm phương trình , x x 1 y x 2 y y x y 1 y x Câu 4: Giải hệ phương trình x x Lời giải x 1, y Điều kiện: Đặt x u, y v , (u, v 0) Khi phương trình (1) trở thành: u v 2u v 0 u v (do u, v 0 2u v 1 0) x y y x Thay vào (2) ta x 8 x x 4x x 1 x 1 x x x 1 x (3) x2 4x x 1 Trường hợp 1: x 8 y 11 (thỏa mãn) x x 1 x x x x x x x x Trường hợp 2: (3) 2 x x 3 x 3 x 3 0 2 x x x x x x x 3x x 2 13 11 13 x x 0 x y 2 x 5x 13 11 13 ; 2 8;11 Vậy hệ có hai nghiệm: 3 0 Câu 5: Cho x, y , z số thực thỏa mãn điều kiện xyz 1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P xy yz zx 15 x y z x y z Lời giải P xy ya ax 15 x y a x y a xya a z Đặt Xét hai trường hợp: ● Trường hợp 1: Cả số x, y, a âm Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta xy ya ax 3 x y a 3 15 x y a x y a 15 3 x y 2a 7.3 xya 15 21 16 Suy P 48 49 ● Trường hợp 2: Trong số x, y, a có số âm, hai số dương Khơng giảm tổng quát, giả sử x 0, y 0, a Đặt x1 x Áp dụng bất đẳng thức x12 y a 2 y 2a x1 Bunhiacopxki ta 1 1 P y 2a x1 y a x1 x1 y a Do 1 1 1 P 3 x1 y a 3 x1 y a 49 x y a x1 y a x 2 Đẳng thức xảy y a 2 x1 x1 ya 1 hay y a 3 32 x, y, z 2, 2, P 49 Vậy 2020 2019 u Câu 6: Cho dãy số n xác định sau u1 1 un 1 un 2018un un , với n * Tính u12019 u32019 un2019 u22019 lim un 1 2018 u2 2018 u3 2018 u4 2018 Lời giải Ta dễ dàng thấy un 1 với n * 2020 2019 u Xét un 1 un un 2018un với n * nên dãy n tăng u u Giả sử dãy n bị chặn trên, n có giới hạn Giả sử lim un a 1 2020 2019 Từ hệ thức un 1 un 2018un un chuyển qua giới hạn có a a 2020 2018a 2019 a a 0 a 2018 (vô lý) u Vậy dãy n không bị chặn Suy lim un Ta có uk2019 uk 2018 uk2019 uk 1 uk uk 1 2018 uk 1 2018 uk 2018 uk 1 2018 uk 2018 1 uk 2018 uk 1 2018 u32019 un2019 u12019 u22019 1 u2 2018 u3 2018 u4 2018 un 1 2018 u1 2018 un 1 2018 u12019 u32019 un2019 u22019 lim u2 2018 u3 2018 u4 2018 un 1 2018 Vậy 1 1 lim u1 2018 un 1 2018 u1 2018 2019 Câu 7: Có hai chuồng nhốt thỏ, thỏ có lơng mang màu trắng màu đen Bắt ngẫu nhiên chuồng thỏ Biết tổng số thỏ hai chuồng 35 xác 247 suất bắt hai thỏ đen 300 Tính xác suất để bắt hai thỏ trắng Lời giải x , x 35 Gọi số thỏ chuồng thứ x số thỏ chuồng thứ hai 35 x , Số phần tử không gian mẫu x 35 x 1 n Cx C35 x x 35 x 306, 25 (1) Gọi A biến cố "Bắt hai thỏ đen" Gọi B biến cố "Bắt hai thỏ trắng" * Gọi a số thỏ đen chuồng thứ nhất, b số thỏ đen chuồng thứ hai ( a, b , a x , b 35 x ) Khơng giảm tính tổng qt, giả sử a b Theo ta có Ca1Cb1 247 247 ab 247 P A 300 x 35 x 300 x 35 x 300 (2) x 35 x 300 Từ (2) suy ab247 (3) (4) x 35 x 300 Từ (1) (4) suy (5) Từ (2), (3), (5) suy ab 247 Mà 247 19.13 247.1 a b nên suy a 19, b 13 x 35 x 300 x 20 (thỏa mãn a x ) x 15 (loại) C11C21 P B 300 300 150 Vậy xác suất bắt hai thỏ trắng H 5;5 Câu 8: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho tam giác ABC có điểm trực tâm tam giác ABC 9 7 M ; 2 trung điểm cạnh BC Đường thẳng qua chân đường cao hạ từ B, C điểm P 0;8 tam giác ABC cắt đường thẳng BC điểm Tìm toạ độ đỉnh A, B, C Lời giải A K E F I H P B C M A' C K AP C đường tròn tâm I ngoại tiếp tam giác ABC FBCE Ta có tứ giác nội tiếp đường tròn nên PB.PC PF PE Gọi Tứ giác KBCA nội tiếp đường tròn nên PB.PC PK PA Từ suy PF PE PK PA tứ giác FEAK nội tiếp đường trịn Mà tứ giác AFHE nội tiếp đường trịn đường kính AH suy A, K ,F , H , E thuộc đường trịn đường kính AH AKH 90 Gọi A ' đối xứng với A qua I ta có AKA ' 90 Từ suy K , H , A ' thẳng hàng (1) Ta có BE AC , A ' C AC BE //A ' C tương tự HC //BA ' nên tứ giác BHCA ' hình bình hành Có M trung điểm BC M BC HA ' hay H , M , A ' thẳng hàng (2) Từ (1) (2) suy K , H , M , A ' thẳng hàng Suy AKM 90 hay MH AP Mặt khác AH PM Do H trực tâm tam giác APM , suy PH AM Đường thẳng BC qua M , P có phương trình x y 0 Đường cao AH qua H vng góc với BC có phương trình x y 0 Đường thẳng AM qua M vng góc với PH có phương trình x y 12 0 x y 0 Toạ độ điểm A nghiệm hệ 5 x y 12 0 x 6 y 6 Suy A(6;6) AC b; b BH b; b 3 Gọi B(b;8 b) , M trung điểm BC nên C (9 b; b 1) , Ta có BH vng góc với AC nên AC.BH 0 (3 b)(5 b) (b 7)(b 3) 0 b 3 (3 b)(12 2b) 0 b 6 Vậy toạ độ đỉnh cần tìm A(6; 6), B(6; 2), C (3;5) A(6; 6) , B (3;5) , C (6; 2) Câu 9: Cho hình chóp S ABCD Gọi E giao điểm AB CD , F giao điểm AD BC Mặt phẳng không qua S , song song với mặt phẳng ( SEF ) cắt cạnh SA , SB , SC , SD hình chóp M , SM SP SN SQ SA SC SB SD Lời giải N , P , Q Chứng minh S Q M P F D A N B C E // SEF , SAB MN , MN , SE SAB nên suy MN //SE // SEF , SAD MQ , MQ, SF SAD nên suy MN //SF // SEF , SBC NP , NP, SF SBC nên suy NP //SF // SEF , SCD PQ , PQ, SE SCD nên suy PQ //SE Vậy MNPQ hình bình hành SQ SM SP SN SA SC SB SD SA SC SB SD Suy SM SP SN SQ SQ SQ SA SP SN SM SP SN SC SB SD SA SC SB SD SA SM SC SB SD SA SC SB SD SA SP SN SQ 1 Vì bốn điểm A , B , C , D đồng phẳng nên ta có SM SC SB SD SP SN SQ SM SM SP SN SQ SC SB SD SA SA SC SB SD Câu 10: Cho hai nửa đường thẳng Ax , By chéo Hai điểm C , D thay đổi Ax P By cho AC BD AB , D điểm thứ tư hình bình hành ABDD Q mặt phẳng chứa Ax song song với mặt phẳng chứa CD song song với AB , By Chứng minh P luôn qua điểm cố định I mặt phẳng Q Tìm vị trí C D cho diện tích S tam giác ADC nhỏ Lời giải B A y D M D' y' I N x C Dựng Ay//By D Ay cho AD BD Ax, Ay P mặt phẳng CDD , Q mặt phẳng Với I tùy ý CD Gọi M , N điểm Ay , Ax cho MI / / Ax , NI / / Ay Ta có: AM AN CI D ' I CI ID ' 1 (1) AD ' AC CD ' D ' C CD ' AB : AB : 1 (2) AC BD AB AC AD ' D ' I AB : AC Với C , D hai điểm tùy ý thỏa mãn giả thiết Trên CD tồn điểm I cho D ' C AN D ' I AB : AB AN (3) AC Ta được: AC D ' C AM CI D'I AB : AB : AB 1 1 AM (4) D 'C AC AD ' AD ' CD ' P qua điểm cố định I Q Từ (3) (4) suy M , N cố định nên I cố định Do 1 S AC ADsin A AC.BD sin A 2 nên S nhỏ AC.BD nhỏ 1 Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương: AC , BD ta có: 2 2 AC.BD AB AB AC BD AC BD AB AB AC BD Dấu xảy AC BD AB AB AB BD AC , Vậy S nhỏ Hết