Đề số 105

SỞ GD&ĐT Thanh Hoá Trường THPT Lê Văn Hưu ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 11 Mơn: Tốn Năm học 2017 – 2018 Thời gian: 180’ (Không kể thời gian pgát đề) Câu I (6 điểm) cos4x -cosx-cos6x  s inx-cosx cos2x Cn0  2.3Cn1   ( n  1)3n Cnn k Tìm giới hạn: lim( ) ( Cn tổ hợp chập k n phần tử) n n.4 x Tìm giới hạn: lim x x   x  3x Giải phương trình Câu II (2 điểm) Có 25 viên bi gồm loại đen trắng đặt vào hộp Hộp có số viên bi nhiều có số viên bi trắng nhiều Lấy ngẫu nhiên từ hộp viên bi Biết xác suất để viên bi trắng 0,48 Tính xác suất để viên bi lấy đen, trắng Câu III (2 điểm) Biết số 3x  , 4,  x theo thứ tự lập thành cấp số cộng Tìm y để 2 x  y 3  x  y Câu IV (6 điểm) Cho đường trịn tâm O bán kính tâm O’ bán kính cắt A, B OO’ = dây AC (O) cắt đường tròn (O’) điểm D cho D trung điểm AC Tính độ dài đoạn AC Cho tứ diện ABCD có AB = CD, AC = BD, AD = BC (CAB)  (DAB) Chứng minh rằng: cot BCD.cot BDC  Câu V (4 điểm) Giải phương trình x  22 x  28  x  x  13  31x  14 x  3 3( x  2) 1 x 1 y 1 z x y z  x, y , z    2(   ) Cho  Chứng minh rằng: yz zx x y y z x  x  y  z 1 ……………………………………….HẾT………………………………………… Cán coi thi khơng giải thích thêm Sở GD&ĐT Thanh Hố Trường THPT Lê Văn Hưu ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 11 Mơn: Tốn Thời gian: 180’ Câu I: cos4x -cosx-cos6x  s inx-cosx cos2x Lời giải  k Đk: cos2x 0  x   Pt  cos x  cos6x=cosx(1-cos2x)+ sinxcos2x Giải phương trình  2s inxsin5x=2cosxsin x  sin xcos2x  x k  s inx=0    sin(2 x   ) sin x  sin2x+ 3cos2x=sin5x   k 2 2 k 2  x=k , x=-  ,x   21 C  2.3Cn   ( n  1)3n Cnn k Tìm giới hạn: lim( n ) ( Cn tổ hợp chập k n phần tử) n n.4 Lời giải n n 1 n * Ta có x(1  x)  xCn  x Cn   x Cn *Đạo hàm vế thay x = ta 4n  3.n4n  Cn0  2.3Cn1   (n  1)3n Cnn = S  S 4n  (4  3n) s  3n *Vậy lim n 4n  lim n 3 Tìm giới hạn: lim x x x   x  3x Lời giải lim x x x2  2 x    ( x  1)( x  x  2) Câu II: Có 25 viên bi gồm loại đen trắng đặt vào hộp Hộp có số viên bi nhiều có số viên bi trắng nhiều Lấy ngẫu nhiên từ hộp viên bi Biết xác suất để viên bi trắng 0,48 Tính xác suất để viên bi lấy đen, trắng Lời giải *Giả sử hộp cho có số viên bi m1, m2(m1 >m2>0) m1+m2 = 25 *Gọi t1, t2 số viên bi trắng hộp giả sử m1  m2  t1 t2 Xác suất lấy viên bi trắng t1 t2 12  m1, m2 phải có số bội m1 m2 25 5hoặc 10, 15, 20 m 20  m1 15    m2 5  m2 10  t1 16   m1 20 t2 3  t1t2 48   * Nếu   t 12  m2 5   t2 4 t1 16  xác suất cần tìm 0.44 với  t2 3  m1 15 *Nếu  lí luận tương tự ta có xác suất cần tìm 0.44  m2 10 Câu III: Biết số 3x  , 4,  x theo thứ tự lập thành cấp số cộng Tìm y để 2 x  y 3  x  y Lời giải *Vì số theo thứ tự lập thành cấp số cộng nên ta có 3x    x 8 ĐK: x  *Đặt t  3 x  phương trình trở thành 5t  10 2t   8  với t = -2 ta có x = -2 với x = -2 ta có y = Câu IV: t 4  t   15t  4t  32t  40 0 Cho đường trịn tâm O bán kính tâm O’ bán kính cắt A, B OO’ = dây AC (O) cắt đường tròn (O’) điểm D cho D trung điểm AC Tính độ dài đoạn AC Lời giải Chọn hệ trục toạ độ Oxy cho tia Ox qua tâm O’, A nằm góc phần tư thứ O(0;0), O’(2;0) Phương trình đường tròn tâm O: x2 + y2 = tâm O’: (x – 2)2 + y2 = Giải hệ phương trình tìm giao điểm đường trịn ta A( ; ) 4 gọi C(xC;yC) D trung điểm AC nên ta có xD = đường trịn nên ta tìm C( xC  / y  /4 , yD= C Vì D thuộc 2 13 7 ) ; 16 16 14 2.Cho tứ diện ABCD có AB = CD, AC = BD, AD = BC (CAB)  (DAB) Chứng minh rằng: cot BCD.cot BDC  Lời giải *Đặt AD = BC = a, AC = BD = b, AB = CD = c.Ta có tam giác ABC nhọn Vậy AC= ABC DCB BAD  BCD ABC B, ABD CAB A (1) *Hạ CM vng góc với AB CM vng góc MD  MC  MD CD (2)