Cac chuyen de hinh hoc

1 Website:tailieumontoan.com CHUYÊN ĐỀ - CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐỊNH LÍ TA-LÉT A.Kiến thức: A Định lí Ta-lét: M * Định lí Talét N C B * Hệ quả: MN // BC B Bài tập áp dụng: Bài 1: Cho tứ giác ABCD, đường thẳng qua A song song với BC cắt BD E, đường thẳng qua B song song với AD cắt AC G B a) chứng minh: EG // CD A b) Giả sử AB // CD, chứng minh AB2 = CD EG O Giải Gọi O giao điểm AC BD a) Vì AE // BC E G (1) C D BG // AC (2) Nhân (1) với (2) vế theo vế ta có: EG // CD b) Khi AB // CD EG // AB // CD, BG // AD nên Bài 2: Cho ABC vuông A, Vẽ phía tam giác tam giác ABD vuông cân B, ACF vuông cân C Gọi H giao điểm AB CD, K giao điểm AC BF Chứng minh rằng: a) AH = AK b) AH2 = BH CK Giaûi Ñaët AB = c, AC = b Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word toán zalo: Tài liệu toán học Website:tailieumontoan.com BD // AC (cùng vuông góc với AB) D A H neân Hay (1) Hay C B AB // CF (cùng vuông góc với AC) nên F K (2) Từ (1) (2) suy ra: AH = AK b) Từ suy (Vì AH = AK) AH2 = BH KC Bài 3: Cho hình bình hành ABCD, đường thẳng a qua A cắt BD, BC, DC theo thứ tự E, K, G Chứng minh rằng: a) AE2 = EK EG b) c) Khi đường thẳng a thay đổi vị trí qua A tích BK DG có giá trị không đổi Giải A a) Vì ABCD hình bình hành K a b AD // BK, theo hệ định lí Ta-lét ta có: ; K E C D b) Ta có: B BC nên G nên (đpcm) c) Ta có: (1); Nhân (1) với (2) vế theo vế ta có: Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word tốn zalo: (2) không đổi (Vì a = AB; Tài liệu tốn học Website:tailieumontoan.com b = AD độ dài hai cạnh hình bình hành ABCD không đổi) Bài 4: Cho tứ giác ABCD, điểm E, F, G, H theo thứ tự chia cạnh AB, BC, CD, DA theo tỉ số 1:2 Chứng minh rằng: B E A a) EG = FH b) EG vuoâng góc với FH P H Giải Q D Gọi M, N theo thứ tự trung điểm CF, DG F O M N Ta coù CM = CF = G BC C EM // AC (1) T¬ng tù, ta cã: NF // BD (2) mµ AC = BD (3) Tõ (1), (2), (3) suy : EM = NF (a) Tơng tự nh ta có: MG // BD, NH // AC MG = NH = Mặt khác EM // AC; MG // BD Và AC Tơng tự, ta cã: BD EM MG AC (b) (4) (5) Tõ (4) vµ (5) suy Tõ (a), (b), (c) suy (c) EMG = FNH (c.g.c) EG = FH b) Gọi giao điểm EG FH O; EM vµ FH lµ P; cđa EM vµ FN lµ Q mà Suy EO (đối đỉnh), OP EG ( EMG = FNH) FH Bài 5: Cho hình thang ABCD có đáy nhỏ CD Từ D vẽ đờng thẳng song song với BC, cắt AC M AB K, Từ C vẽ đờng thẳng song song với AD, cắt AB F, qua F ta lại vẽ đờng thẳng song song với AC, cắt BC P Chøng minh r»ng a) MP // AB b) Ba ®êng th¼ng MP, CF, DB ®ång quy Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word toán zalo: Tài liệu toán học Website:tailieumontoan.com Gi¶i a) EP // AC (1) AK // CD D (2) C c¸c tø gi¸c AFCD, DCBK la c¸c hình bình hành nên AF = DC, FB = AK (3) Kết hợp (1), (2) (3) ta có Ta-lét đảo) (4) MP // AB (Định b) Gọi I giao điểm BD CF, ta có: Mà I M (Do FB // DC) K A P F B lÝ = IP // DC // AB (5) Tõ (4) (5) suy : qua P có hai đờng th¼ng IP, PM cïng song song víi AB // DC nên theo tiên đề Ơclít ba điểm P, I, M thẳng hang hay MP qua giao điểm CF DB hay ba đờng thẳng MP, CF, DB ®ång quy Bµi 6: Cho ABC cã BC < BA Qua C kẻ đờng thẳng vuông goác với tia phân giác BE ; đờng thẳng cắt BE F cắt trung tuyến BD G Chứng minh đoạn thẳng EG bị đoạn thẳng DF chia làm hai phần Giải Gọi K giao ®iĨm cđa CF vµ AB; M lµ giao ®iĨm cđa DF BC KBC có BF vừa phân giác vừa đờng cao nên FK KBC cân B Mặt khác D trung điểm AC nên DF ®êng trung b×nh cđa DM // AB AKC BK = BC vµ FC = DF // AK hay Suy M trung điểm BC DF = AK (DF đờng trung bình ( DF // BK) (1) Mỉt kh¸c Liên hệ tài 039.373.2038 AKC), ta cã (V× AD = DC) liệu word tốn zalo: Tài liệu tốn học Website:tailieumontoan.com Hay DF // AB) (v× Suy = (Do DF = (2) Tõ (1) vµ (2) suy = B : Do M K AK) G A D F E C EG // BC Gäi giao ®iĨm cđa EG vµ DF lµ O ta cã OG = OE Bµi tËp vỊ nhµ Bµi 1: Cho tø giác ABCD, AC BD cắt O Đờng thẳng qua O song song với BC cắt AB E; đờng thẳng song song với CD qua O cắt AD F a) Chứng minh FE // BD b) Từ O kẻ đờng thẳng song song với AB, AD cắt BD, CD G H Chứng minh: CG DH = BG CH Bài 2: Cho hình bình hành ABCD, điểm M thuộc cạnh BC, điểm N thc tia ®èi cđa tia BC cho BN = CM; đờng thẳng DN, DM cắt AB theo thứ tù t¹i E, F Chøng minh: a) AE2 = EB FE b) EB = Liên hệ tài 039.373.2038 EF liệu word toán zalo: Tài liệu toán học Website:tailieumontoan.com CHUYÊN ĐỀ – CÁC BÀI TOÁN SỬ DỤNG ĐỊNH LÍ TALÉT VÀ TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN GIÁC A Kiến thức: Định lí Ta-lét: A M * Định lí Talét B * Hệ quả: MN // BC N C Tính chất đường phân giác: ABC ,AD phân giác góc A AD’là phân giác góc A: B Bài tập vận dụng Bài 1: Cho ABC coù BC = a, AB = b, AC = c, phân giác AD a) Tính độ dài BD, CD b) Tia phân giác BI góc B cắt AD I; tính tỉ số: Giải A a) AD phân giác nên c b Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word toán Tài liệu Itoán học zalo: B D C a A Website:tailieumontoan.com B Do CD = a - = D D' b) BI phân giác A B C C nên A Bài 2: Cho ABC, có < 600 phân giác AD a) Chứng minh AD < AB b) Gọi AM phân giác ADC Chứng minh C D M B BC > DM Giải a)Ta có > > = AD < AB b) Goïi BC = a, AC = b, AB = c, AD = d Trong ADC, AM phân giác ta có DM = ; CD = ( Vận dụng 1) Để c/m BC > DM ta c/m a > Thaät vaäy : c > d c/m DM = hay (b + d)(b + c) > 4bd (1) (b + d)(b + c) > (b + d)2 4bd Bất đẳng thức (1) 3.Bài 3: Cho ABC, trung tuyến AM, tia phân giác góc AMB , AMC cắt AB, AC theo thứ tự D E a) Chứng minh DE // BC A b) Cho BC = a, AM = m Tính độ dài DE Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word toán zalo: I E DTài liệu toán học B M C Website:tailieumontoan.com c) Tìm tập hợp giao diểm I AM DE = m không đổi d) ABC có BC cố định, AM ABC có điều kiện DE đường trung bình Giải a) MD phân giác nên ME phân giác nên (1) (2) Từ (1), (2) giả thiết MB = MC ta suy b) DE // BC c) Ta coù: MI = DE // BC Đặt DE = x DE = không đổi I cách M đoạn không đổi nên tập hợp điểm I đường tròn tâm M, bán kính MI = (Trừ giao điểm với BC d) DE đường trung bình A ABC DA = DB MA = MB Baøi 4: Cho ABC vuông A ABC ( AB < AC) phân giác BD, CE a) Đường thẳng qua D song song với BC cắt AB K, chứng minh E nằm B K K D E b) Chứng minh: CD > DE > BE Giaûi M B a) BD phân giác nên (1) Mặt khác KD // BC nên (2) Từ (1) (2) suy E nằm K B Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word toán zalo: Tài liệu toán học C Website:tailieumontoan.com b) Gọi M giao điểm DE CB Ta có mà E nằm K B nên < DE (so le trong) > Ta lại có > > Suy ra: CD > ED Baøi 5: Cho > > (Vì EB = ) CD > ED > BE ABC Ba đường phân giác AD, BE, CF Chứng minh a b Giải a)AD đường phân giác nên ta có: Tương tự: với phân giác BE, CF ta có: (1) H (2) ; A (3) F Từ (1); (2); (3) suy ra: E =1 b) Đặt AB = c , AC = b , BC = a , AD = d a Qua C kẻ đờng thẳng song song với AD , cắt tia BA ë H B D Theo §L TalÐt ta cã: Do CH < AC + AH = 2b nªn: Chøng minh t¬ng tù ta cã : Liên hệ tài 039.373.2038 liu word Và toỏn zalo: Nên: Ti liu toỏn hc C 10 Website:tailieumontoan.com ( đpcm ) Bài tập nhà Cho ABC coù BC = a, AC = b, AB = c (b > c), phân giác BD, CE a) Tính độ dài CD, BE suy CD > BE b) Vẽ hình bình hành BEKD Chứng minh: CE > EK c) Chứng minh CE > BD CHUYÊN ĐỀ – CÁC BÀI TOÁN VỀ TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG A Kiến thức: * Tam giác đồng dạng: a) trường hợp thứ nhất: (c.c.c) ABC A’B’C’ b) trường hợp thứ nhất: (c.g.c) ABC A’B’C’ ; c Trường hợp đồng dạng thứ ba (g.g) ABC A’B’C’ ; AH; A’H’là hai đường cao tương ứng thì: = k (Tỉ số đồng dạng); =K B Bài tập áp dụng Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word toán zalo: Tài liệu toán học