03 chuong03 file2

Cách Phương pháp hình học: Gọi K hình chiếu vng góc B đường thẳng d Khi d  B , d  BK B Xét tam giác ABK vuông K , ta có d  B , d  BK  AB  (BĐT tam giác mở rộng) K A d Dấu '' '' xảy khi: K  A Khi d xác định qua A  1;  vng góc với AB nên uuu r nhận AB  2;1 làm vectơ pháp tuyến Vậy phương trình đường thẳng cần tìm d : x  y  0 Bài 70 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho đường thẳng d : x  y  0 hai điểm A  1;  , B  8;  Tìm điểm M thuộc d cho MA  MB nhỏ Lời giải Ta có B P  A , d  P  B , d   x A  y A    xB  y B   5.10  Suy hai điểm A B phía so với đường thẳng d A d M A' Gọi A ' điểm đối xứng A qua d Khi tọa độ điểm A '  x; y  2  x  1   y   0   A '   1;  thỏa mãn hệ  x  y4   0   2 Khi MA  MB  MA ' MB  A ' B 3 10 (BĐT tam giác mở rộng) Dấu '' '' xảy : A ' , M , B thẳng hàng hay M thuộc đường thẳng A ' B Đường thẳng A ' B qua A '   1;  B  8;  nên có phương trình A ' B : x  y  0  x  y  0  M  2;1 Mặt khác, theo giả thiết M thuộc d nên tọa độ điểm M thỏa mãn hệ   x  y  0 Nhận xét: Bài toán dùng cho hai điểm khác phía so với d Nếu đề cho A B khác phía với d ta khơng làm bước lấy đối xứng Bài 71 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho đường thẳng d : x  y  0 hai điểm A  1;  , B  8;  Tìm điểm M thuộc d cho tam giác ABM có chu vi nhỏ Lời giải uuu r Ta có AB  7;  1 , suy AB  50 Chu vi tam giác ABM là: C ABM  MA  MB  AB MA  MB  50 Để CABM nhỏ MA  MB nhỏ nhất: Bạn đọc làm tương tự Bài 72 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho đường thẳng d : x  y  0 hai điểm A  1;  , B  3;  Tìm điểm M thuộc d cho MA  MB lớn Lời giải 164 Ta có B P  A , d  P  B , d   x A  y A    xB  y B   5.3  Suy hai điểm A B phía so với đường thẳng d Theo bất đẳng thức tam giác mở rộng, ta có A MA  MB  AB 2 d Dấu '' '' xảy khi khi: A , M , B thẳng hàng hay M thuộc đường thẳng AB A 1; B 3;    nên có phương trình AB : x  y  0 Đường thẳng AB qua  M  x  y  0  M  6;  1 Mặt khác, theo giả thiết M thuộc d nên tọa độ điểm M thỏa mãn hệ   x  y  0 Nhận xét: Bài toán dùng cho hai điểm phía so với d Nếu đề cho A B khác phía với d ta lấy đối xứng hai điểm A B qua d Bài 73 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho đường thẳng d : x  y  0 hai điểm A  1;  , B  9;  Tìm điểm uuur uuur M thuộc d cho MA  MB nhỏ Lời giải Điểm M  d nên có tọa độ dạng M   m; m  uuur uuur uuur Ta có MA  2m  3;  m  ; MB  2m  5;  m  , suy 3.MB  m  15;  3m  uuur uuur Do MA  MB  8m  12;  m  Ta có uuur uuur 2 MA  MB   8m  12     4m   80m2  160m  160 4 m  2m  4  m  1  4 4 Dấu '' '' xảy khi: m  uuur uuur Vậy M  6;  1 MA  MB đạt giá trị nhỏ  1 Bài 74 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho đường thẳng d : x  y  0 hai điểm A  1;  , B  8;  Tìm  2 2 điểm M thuộc d cho MA  MB nhỏ Lời giải Điểm M  d nên có tọa độ dạng M   m; m  uuur 2 Ta có MA  2m  3;  m  , suy MA 5   2m      m   ;   uuur    1   MB  2m  4;  m  , suy MB2 2   m      m      2   Do 315 245 245 MA2  MB2 35m2  70m  35  m  1   2 Dấu '' '' xảy khi: m 1 165 Vậy M  2;1 MA  MB đạt giá trị nhỏ 245 Bài 75 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho đường thẳng d : x  y  0 hai điểm A  3;  , B   1;  Tìm điểm M thuộc d cho MA  MB lớn Lời giải Điểm M  d nên có tọa độ dạng M  2m  2; m  uuur 2 Ta có MA   2m;  m  , suy MA   m     m  ; uuur 2 MB    m;  m  , suy MB      m     m     Do  14  151 151 MA  MB2  5m  28m    m      5  14 Dấu '' '' xảy khi: m   18 14  151 2 ; Vậy M    MA  MB đạt giá trị lớn 5   Bài 76 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho điểm A  2;1 Lấy điểm B thuộc Ox có hồnh độ khơng âm điểm C thuộc Oy có tung độ khơng âm cho tam giác ABC vng A Tìm tọa độ điểm B C cho diện tích tam giác ABC a) Lớn b) Nhỏ Lời giải uuu r uuur Gọi B  b;  , C  0; c  với b 0, c 0 Suy AB  b  2;1 , AC  2; c  1 Tam giác ABC vuông A nên uuu r uuur AB.AC 0   b     c  1 0  2b  c  0  * 5 c 5 , c 0 nên b  Vậy b  Ta có 2 2 2 2 1 SABC  AB.AC   b      c  1   b      b    b    2   max fb f     5 a) Khảo sát hàm số bậc hai fb b       0;  , ta tìm  0;   2  2 Từ  *  suy b  Với b 0 , suy c 5 Vậy B  0;  , C  0;  diện tích tam giác ABC đạt giá trị lớn b) Ta có SABC  b    1 Dấu '' '' xảy khi: b 2 , suy c 1 Vậy B  2;  , C  0;1 diện tích tam giác ABC đạt giá trị nhỏ Bài 77 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , viết phương trình đường thẳng qua M  3;  cắt tia Ox A tia Oy B cho diện tích tam giác OAB đạt giá trị nhỏ Lời giải 166 Đường thẳng d qua M  3;  cắt tia Ox , Oy A B khác O , nên A  a;  , B  0; b  với a  0, b  Do phương trình d có dạng x y  1 a b  1 Ta có a b 1 SOAB  OA.OB  a b  ab 2 2 Áp dụng BĐT Cauchy , ta   2 , suy SOAB 12 a b ab SOAB Đường thẳng d qua M  3;  nên a 6    a b b 4 x y Vậy đường thẳng cần tìm có phương trình d :  1 Dấu '' '' xảy khi: Bài 78 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , viết phương trình đường thẳng d qua M  4;1 cắt chiều dương trục Ox , Oy A B cho OA  OB nhỏ Lời giải r Cách Giả sử đường thẳng d có vectơ pháp tuyến n  a; b  với a2  b2 0 nên có phương trình d : a  x    b  y  1 0 hay ax  by  4a  b 0  4a  b   4a  b  4a  b 4a  b ;  d  Oy B  0;  0; 0 Khi d  Ox  A   Điều kiện : b  a b  a   Ta có OA  OB  4a  b 4a  b 4a  b 4a  b b 4a b 4a    5   5  9 a b a b a b a b b 4a   b2 4 a2 Ta chọn a 1 , suy b 2 a b Vậy đường thẳng cần tìm có phương trình d : x  y  0 Dấu '' '' xảy khi: Cách Đường thẳng d qua M  4;1 cắt chiều dương Ox , Oy A B nên A  a;  , B  0; b  với a  0, b  Do phương trình d có dạng Đường thẳng d qua M  4;1 nên x y  1 a b  1 Ta có a b OA  OB  a  b a  b    1 1 Áp dụng BĐT Bunhiacopxki , ta  a  b      a  b  a  b (do  1 )  a  a b b    a b  : a : b  a 6 a b  Suy a  b 9 hay OA  OB 9 Dấu '' '' xảy khi:  b 3   1  a b x y Vậy đường thẳng cần tìm có phương trình d :  1 167 Bài 79 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , viết phương trình đường thẳng d qua M  3;1 cắt chiều dương trục Ox , Oy A B cho 12OA  9OB nhỏ Lời giải r Cách Giả sử đường thẳng d có vectơ pháp tuyến n  a; b  với a2  b2 0 nên có phương trình d : a  x    b  y  1 0 hay ax  by  3a  b 0  3a  b   3a  b  3a  b 3a  b ;  d  Oy B  0;  0; 0 Khi d  Ox  A   Điều kiện b  a b  a   Ta có 12OA  9OB 12 3a  b 3a  b 3a  b 3a  b 12b 27 a 12b 27 a 9 12  45   45  81 a b a b a b a b 12b 27 a   4b 9 a2 Ta chọn a 2 , suy b 3 a b Vậy đường thẳng cần tìm có phương trình d : x  y  0 Dấu '' '' xảy khi: Cách Đường thẳng d qua M  3;1 cắt chiều dương trục Ox , Oy A B nên A  a;  , B  0; b  với a  0, b  Do phương trình d có dạng Đường thẳng d qua M  3;1 nên x y  1 a b  1 Ta có a b 12OA  9OB 12 a  b 12a  9b    1 Áp dụng BĐT Bunhiacopxki , ta  12a  b      12a  9b  12 a  9b  a   a b b     : 12 a  :3 b   a a  b  Suy 12 a  9b 81 hay 12OA  9OB 81 Dấu '' '' xảy  3  b 3   a  b 1 2x y  1 Vậy đường thẳng cần tìm có phương trình d : Bài 80 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , viết phương trình đường thẳng d qua M   4;  cắt trục Ox , 1  nhỏ OA OB Lời giải Cách Gọi H hình chiếu vng góc O đường thẳng d Tam giác OAB vuông O nên 1 1     OA OB2 OH OM 25 Dấu '' '' xảy khi: H  M uuuu r Khi đường thẳng d qua M   4;  vng góc với OM nên nhận OM   4;  làm vectơ pháp tuyến Oy A B khác O cho Vậy phương trình đường thẳng d : x  y  25 0 168 Cách Đường thẳng d qua M   4;  cắt trục Ox , Oy A B khác O nên A  a;  , B  0; b  với a 0, b 0 Do phương trình d có dạng Đường thẳng d qua M   4;  nên x y  1 a b 4  1 Ta có a b 1 1   2 2 OA OB a b 2  4 3  1 Áp dụng BĐT Bunhiacopxki , ta              a b   a b  1  25 a   : a 3 : b 1 1       Dấu '' '' xảy khi:  Suy 25  OA OB2 a b 25   1 b    a b  4x 3y  1 Vậy đường thẳng cần tìm có phương trình d : 25 25 r Cách Giả sử đường thẳng d có vectơ pháp tuyến n  a; b  với a2  b2 0 nên có phương trình d : a  x    b  y   0 hay ax  by  4a  3b 0  3b  4a   3b  a  ;  d  Oy B  0; Khi d  Ox  A   Ta có b   a   1 a2 b2 a2  b2 a2  b2       2 2 2 2 25 OA OB  3b  4a   3b  4a   3b  4a   b  a    4   3a  4b Chọn a 4 , suy b  b a Vậy đường thẳng cần tìm có phương trình d : x  y  25 0 Dấu '' '' xảy khi: Bài 81 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , viết phương trình đường thẳng d qua M  2;  1 cắt trục Ox , Oy A B khác O cho  nhỏ OA OB Lời giải Cách Đường thẳng d qua M  2;  1 cắt trục Ox , Oy A B khác O nên A  a;  , B  0; b  với a 0, b 0 Do phương trình d có dạng Đường thẳng d qua M  2;  1 nên x y  1 a b  1 Ta có a b 9    OA OB2 a b 2  1      Áp dụng BĐT Bunhiacopxki , ta             a b b     a b    a 169 9 36     Dấu '' '' xảy khi: Suy OA OB2 a b 25 2  25  : a  : b a      1 b  25  a b  8x 9y  1 25 25 r Cách Giả sử đường thẳng d có vectơ pháp tuyến n  a; b  với a2  b2 0 nên có phương trình Vậy đường thẳng cần tìm có phương trình d : d : a  x    b  y  1 0 hay ax  by  2a  b 0  2a  b   2a  b  ;  d  Oy B  0; Khi d  Ox  A   Ta có a b     9a2 4b a  4b a  4b a  4b 36        2 2 2 OA OB  2a  b   2a  b   2a  b   3a  2b     9a2  4b2 25 3 9 4   Dấu '' '' xảy khi: : 3a  : 2b  a  8b Chọn a 8 , suy b  Vậy đường thẳng cần tìm có phương trình d : x  y  25 0   Bài 82 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho điểm M  0;  hai đường d1 : x  y  0 , d2 : x  y  0 Gọi A giao điểm d1 d2 Viết phương trình đường thẳng d qua M cắt hai đường thẳng d1 , d2 1  đạt giá trị nhỏ AB2 AC Lời giải 3 x  y  0  A   1;1 Tọa độ giao điểm A nghiệm hệ   x  y  0 uu r uu r Đường thẳng d1 có vectơ pháp tuyến n1  3;1 ; Đường thẳng d2 có vectơ pháp tuyến n2  1;   uu r uu r Ta có n1 n2 0 Suy d1  d2 B , C ( B C khác A ) cho Gọi H hình chiếu vng góc A đường thẳng d Tam giác ABC vuông A nên 1 1    2 AB AC AH AM Dấu '' '' xảy khi: H  M uuuu r Khi đường thẳng d qua M  0;  vuông góc với AM nên nhận AM  1;1 làm vectơ pháp tuyến Vậy phương trình đường thẳng d : x  y  0 Bài 83 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho ba điểm A  1;1 , B  3;  C  7;10  Viết phương trình đường thẳng d qua A cho tổng khoảng cách từ B C đến d lớn Lời giải ● Trường hợp Giả sử d cắt BC M Gọi H , K hình chiếu vng góc B C d Ta có d  B , d   d  C , d  BH  CK BM  CM BC B A K H M C 170 d Dấu '' '' xảy khi: d vng góc với BC B ● Trường hợp Giả sử d không cắt BC Gọi I trung điểm BC Gọi H , K , J hình chiếu vng góc B , C I d Ta có d  B , d   d  C , d  BH  CK 2 IJ 2 AI I C A d H J Dấu '' '' xảy d vng góc với AI K Bây ta so sánh BC 2AI Vì I trung điểm BC nên I  5;  Ta có AI 2 41  BC 4 uur Vậy đường thẳng d cần tìm qua A  1;1 nhận AI  4;  làm vectơ pháp tuyến nên d : x  y  0 uuu r Nhận xét: Nếu BC  AI đường thẳng d cần tìm qua A, có vectơ pháp tuyến BC Bài 84 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC cân A có phương trình cạnh AB : x  y  0 , uuu r uuur phương trình cạnh AC : x  y  0 , điểm M  1;  thuộc đoạn BC Tìm tọa độ điểm D cho DB.DC có giá trị nhỏ Lời giải uuur uuur Đường thẳng AB có vectơ pháp tuyến nAB  1;  ; Đường thẳng AC có vectơ pháp tuyến nAC  2;1 uuur Giả sử đường thẳng BC co vectơ pháp tuyến nBC  a; b  với a2  b2 0 Do BC : a  x  1  b  y   0 hay ax  by  a  2b 0 Tam giác ABC cân A nên uuur uuur uuur uuur · · cos ABC cos ACB  cos nAB , nBC  cos n AC , nBC      a  2b a2  b2  2a  b  a  b    a b a  b2  Với a  b , chọn b  suy a 1 Ta BC : x  y  0  x  y  0  B  0;1 Tọa độ điểm B nghiệm hệ   x  y  0 2 x  y  0  1  C ;  Tọa độ điểm C nghiệm hệ  x  y    3  uuur  5  uuur Ta có MB   1;  1 , MC   ;   Suy M không thuộc đoạn BC  3  Với a b , chọn a 1 suy b 1 Ta BC : x  y  0  x  y  0  B  4;  1 Tọa độ điểm B nghiệm hệ   x  y  0 2 x  y  0  C   4;  Tọa độ điểm C nghiệm hệ   x  y  0 uuur uuur Ta có MB  3;   , MC   5;  Suy M thuộc đoạn BC Gọi trung điểm BC I  0;  Ta có uuu r uuur uur uu r uur uur BC BC DB.DC  DI  IB DI  IC DI   4    171 uuu r uuur Dấu '' '' xảy khi: D I Vậy DB.DC nhỏ D  0;  Bài 85 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hai điểm A  0;1 , B  2; –1 hai đường thẳng có phương trình d1 :  m – 1 x   m –  y  – m 0 , d2 :  – m  x   m – 1 y  3m – 0 Chứng minh d1 d2 cắt P Tìm m cho PA  PB lớn Lời giải  m  1 x   m   y m  Xét hệ phương trình  Ta có   m  x   m  1 y  3m  D m m  3 2  m     0, m  ¡ 2 m m   Vậy d1 d2 ln cắt Ta có A  0;1  d1 , B  2;  1  d2 d1  d2 Suy tam giác APB vuông P nên P nằm đường trịn đường kính AB Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki , ta có  PA  PB    12  12   PA   PB2 2 AB2 16 Suy PA  PB 4 Dấu '' '' xảy khi: PA PB » đường tròn đường kính AB Với PA PB suy P trung điểm cung AB Đường trịn đường kính AB có phương trình  C  :  x  1  y 2 uuu r Gọi  trung trực đoạn AB , suy  qua tâm I  1;  có vectơ pháp tuyến AB  2;   nên có phương trình  : x  y  0  x  y  0  P  2;1 P  0;  1 Khi tọa độ điểm P thỏa mãn hệ  2  x  1  y 2 Với P  2;1 , thay vào d1 ta m 1 ; Với P  0;  1 , thay vào d1 ta m 2 Vậy PA  PB lớn m 1 m 2 CHỦ ĐỀ 02 ĐƯỜNG TRÒN 172 Phương trình đường trịn Phương trình đường trịn ( C ) tâm I ( a; b) , bán kính R ( x - a)2 + ( y - b)2 = R2  Dạng khai triển ( C ) x + y - 2ax - 2by + c = với c = a2 + b2 - R2  Phương trình x + y - 2ax - 2by + c = với điều kiện a2 + b2 - c > , phương trình đường trịn tâm I ( a; b) bán kính R = a + b2 - c 2 2 Phương trình tiếp tuyến Cho đường trịn ( C ) : ( x - a) + ( y - b) = R Tiếp tuyến D ( C ) điểm M ( x0 ; y0 ) đường thẳng qua M vng góc với IM nên phương  trình D : ( x0 - a)( x - a) + ( y0 - a)( y - a) = R  D : ax + by + c = tiếp tuyến ( C ) Û d ( I , D ) = R  2 Đường tròn ( C ) : ( x - a) + ( y - b) = R có hai tiếp tuyến phương với Oy x = a ± R Ngồi hai tiếp tuyến tiếp tuyến cịn lại có dạng y = kx + m VẤN ĐỀ 01 NHẬN DẠNG PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN Đưa phương trình dạng: ( x - a)2 + ( y - b)2 = P (*) Nếu P > (*) phương trình đường trịn có tâm I ( a; b) bán kính R = P Nếu P £ (*) khơng phải phương trình đường trịn   Bài Trong phương trình sau, phương trình biểu diễn đường trịn? Tìm tâm bán kính có a) x + y + x - y + = (1) b) x + y - x + y + 13 = (2) c) x2 + y - x - y - = (3) 2 d) x + y + x - y + = (4) Lời giải a) Phương trình (1) có dạng x + y - 2ax - 2by + c = với a = - 1; b = 2; c = 2 Ta có a2 + b2 - c = + - < Vậy phương trình (1) khơng phải phương trình đường trịn b) Ta có: a2 + b2 - c = + - 13 = Suy phương trình (2) khơng phải phương trình ng trũn c) ổ 3ử ỗ ữ x- ữ +( y - 1) = ỗ ữ ỗ ữ ố 2ứ ổ3 10 ữ ;1ữ ỗ Vậy phương trình (3) phương trình đường trịn tâm I ỗ ữbỏn kớnh R = ữ ỗ ố2 ứ Ta có: ( 3) Û x + y - 3x - y - =0 Û d) Phương trình (4) khơng phải phương trình đường trịn hệ số x y khác 2 Bài Cho phương trình x + y - 2mx - ( m - 2) y + - m = (1) a) Tìm điều kiện m để (1) phương trình đường trịn b) Nếu (1) phương trình đường trịn tìm toạ độ tâm bán kính theo m 173 Bài 12 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hai đường thẳng d : x  y  0  : x  y  0 Viết phương 10 trình đường trịn  C  có bán kính , có tâm thuộc d tiếp xúc với  Lời giải Gọi I   2tt 3; d  tâm  C  Theo giả thiết tốn, ta có d  I ,   R  ● ● a 10   a 6 10    a  2 Với a 6 , suy I   9;  Phương trình đường trịn  C  :  x     y    2 Với a  , suy I  7;   Phương trình đường tròn  C  :  x     y    2 Bài 13 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho đường tròn  C  : x  y  3x  0 Tia Oy cắt  C  A Viết phương trình đường trịn  C '  , bán kính R ' 2 tiếp xúc ngồi với  C  A Lời giải   Đường trịn  C  có tâm I  3; , bán kính R 4  x  y  3x  0 Tọa độ điểm A nghiệm hệ  với y  , suy A  0;   x 0  x 2 3t Đường thẳng IA qua hai điểm I A nên có phương trình IA :   y 2t    Đường tròn  C '  tiếp xúc với  C  nên tâm I ' thuộc đường thẳng IA , suy I  3tt;       2  3t uur uuu r  t Hơn nữa, R 2 R ' nên AI 2 I A   0  2   2t   2 Với t  , suy I ' 3; Phương trình đường trịn  C '  : x    y   4     2 Bài 14 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho đường tròn  C  : x  y  x  y  0 Viết phương trình đường trịn  C '  có tâm M  5;1 , biết  C '  cắt  C  hai điểm A , B cho AB  Lời giải Đường trịn  C  có tâm I  1;   , bán kính R  Phương trình đường thẳng nối hai tâm IM : 3x  y  11 0 A I H B 178 M Gọi H  x; y  trung điểm AB Ta có  H  IM 3x  y  11 0      2 2  IH  R  AH   x  1   y        11  x   x     y  29  y  11   10 10  29   11 11  Suy H   ;   H  ;    10   10  2  29  2  Với H   ;   Ta có R  MH  AH 43 Phương trình đường trịn  C '  :  x     y  1 43 10   2  11 11  2  Với H  ;   Ta có R  MH  AH 13 Phương trình đường tròn  C '  :  x     y  1 13  10  Bài 15 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho đường thẳng d : x  y  0 hai đường trịn có phương trình 2  C  :  x     y   8 ,  C  :  x     y   xúc với  C   C  2 32 Viết phương trình đường trịn  C  có tâm I thuộc d tiếp Lời giải Gọi I , I1 , I , R , R1 , R2 tâm bán kính  C  ,  C1   C2  Giả sử I  tt; d – 1  Theo giả thiết toán:  C  tiếp xúc với  C1   C2  nên II1 R  R1 II R  R2 Suy II1 – R1 II – R2   tt    t    2a   2    t     0 Với t 0 , suy I  0;  1 R II1  R1  Phương trình đường tròn  C  : x   y  1 2 VẤN ĐỀ 03 VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐIỂM, ĐƯỜNG THẲNG, ĐƯỜNG TRÒN VỚI ĐƯỜNG TRÒN Vị trí tương đối điểm M đường trịn (C)  Xác định tâm I bán kính R đường trịn (C) tính IM + Nếu IM < R suy M nằm đường tròn + Nếu IM = R suy M thuộc đường tròn + Nếu IM > R suy M nằm ngồi đường trịn Vị trí tương đối đường thẳng D đường tròn (C)  Xác định tâm I bán kính R đường trịn (C) tính d ( I ; D ) + Nếu d ( I ; D ) < R suy D cắt đường tròn hai điểm phân biệt + Nếu d ( I ; D ) = R suy D tiếp xúc với đường tròn + Nếu d ( I ; D ) > R suy D không cắt đường trịn Vị trí tương đối đường trịn (C) đường tròn (C')  Xác định tâm I, bán kính R đường trịn (C) tâm I', bán kính R' đường trịn (C') tính II ' , R + R ', R - R ' + Nếu II ' > R + R ' suy hai đường trịn khơng cắt ngồi + Nếu II ' = R + R ' suy hai đường trịn tiếp xúc ngồi với + Nếu II '< R - R ' suy hai đường trịn khơng cắt lồng vào + Nếu II ' = R - R ' suy hai đường tròn tiếp xúc với + Nếu R - R ' < II ' < R + R ' suy hai đường tròn cắt hai điểm phân biệt 179 2 Bài 16 Cho đường thẳng D : x - y + = đường tròn ( C ) : x + y - x + y - = a) Chứng minh điểm M ( 2;1) nằm đường trịn b) Xét vị trí tương đối D ( C ) Lời giải a) Đường tròn (C) có tâm I ( 2; - 1) bán kính R = Ta có IM = b) Vì d ( I ; D ) = ( - 2) 2 +( + 1) = < = R M nằm đường tròn + +1 +1 = 2 < = R nên D cắt ( C ) hai điểm phân biệt 2 2 Bài 17 Trong mặt phẳng Oxy , cho hai đường tròn ( C ) : x + y - x - y - 15 = ( C ') : x + y - x - y - = Chứng minh hai đường tròn cắt hai điểm phân biệt A, B Lời giải Cách 1: ( C ) có tâm I ( 1; 3) bán kính R = , ( C ) có tâm I ' ( 3;1) bán kính R = 13 Ta có II ' = ( - 1) 2 +( - 3) = 2 Ta thấy R1 - R2 < I1 I < R1 + R2 suy hai đường trịn cắt ìï x2 + y - x - y - 15 = ï Û Cách 2: Xét hệ phương trình í ïï x + y - x - y - = ïỵ ïìï x + y - x - y - 15 = í ï x- y- = ỵï ïìï y + + y - y + - y - 15 = ) ( ) Û ïí ( Û ïï x = y + ïỵ ìï y - y - = ï Û í ïï x = y + ỵ ïìï éy = - ê ïíï êy = ïï ë ïïỵ x = y + Suy hai đường tròn cắt hai điểm có tọa độ A ( 1; - 2) B ( 6; 3) Bài 18 Cho đường tròn (C ) : x + y - x + y - = có tâm I đường thẳng D : x + my + - = Tìm m để đường thẳng D cắt đường tròn (C) hai điểm phân biệt A, B Lời giải I 1; ) , bán kính R = Đường trịn (C) có tâm ( D cắt (C) hai điểm phân biệt d ( I ; D ) < R Û - 2m + + m2 : với m) 2 Bài 19 Biện luận số giao điểm (C) d d : mx - y - 3m - = 0, ( C ) : x + y - x - y = Lời giải Đường trịn ( C ) có tâm I ( 2;1) R = 180 m +3 Khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng d h = d ( I ; d) = m2 + Þ d (C) có giao điểm h = Û m = m = - Þ d tiếp xúc với (C) h > Û - < m < d khơng cắt (C) Ta có h < Û m > m