1 toan~2

C H Ư Ơ N CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ẨN II BẤT PHƯƠNG TRÌNH HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN BÀI BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN LÝ THUYẾT I = = I BẤT ẨN = PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI Bất phương trình bậc hai ẩn x, y có dạng tổng quát I ax  by c  1  ax  by  c; ax  by c; ax  by  c  a, b, c số thực cho, a b không đồng thời 0, x y ẩn số II BIỂU DIỄN TẬP NGHIỆM CỦA BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Cũng bất phương trình bậc ẩn, bất phương trình bậc hai ẩn thường có vơ số nghiệm để mơ tả tập nghiệm chúng, ta sử dụng phương pháp biểu diễn hình học  1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp điểm có tọa độ nghiệm bất phương trình gọi miền nghiệm Từ ta có quy tắc thực hành biểu diễn hình học tập nghiệm (hay biểu diễn miền nghiệm) bất phương trình ax  by c sau (tương tự cho bất phương trình ax  by c ) - Bước Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, vẽ đường thẳng  : ax  by c - Bước Lấy điểm M  x0 ; y0  không thuộc  (ta thường lấy gốc tọa độ O ) - Bước Tính ax0  by0 so sánh ax0  by0 với c - Bước Kết luận Nếu ax0  by0  c nửa mặt phẳng bờ  chứa M miền nghiệm ax0  by0 c Nếu ax0  by0  c nửa mặt phẳng bờ  khơng chứa M miền nghiệm ax0  by0 c Chú ý: Miền nghiệm bất phương trình ax0  by0 c bỏ đường thẳng ax  by c miền nghiệm bất phương trình ax0  by0  c Page CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ẨN BÀI HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN I HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Tương tự hệ bất phương trình ẩn Hệ bất phương trình bậc hai ẩn gồm số bất phương trình bậc hai ẩn x, y mà ta phải tìm nghiệm chung chúng Mỗi nghiệm chung gọi nghiệm hệ bất phương trình cho Cũng bất phương trình bậc hai ẩn, ta biểu diễn hình học tập nghiệm hệ bất phương trình bậc hai ẩn II BIỂU DIỄN TẬP NGHIỆM CỦA HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Để biểu diễn miền nghiệm hệ bất phương trình bậc ẩn ta làm nư sau: - Trong hệ toạ độ, biểu diễn miền nghiệm bất phương trình hệ cách gạch bỏ phần không thuộc miền nghiệm - Phần khơng bị gạch miền nghiệm cần tìm III ÁP DỤNG VÀO BÀI TỐN THỰC TIỄN Giải số toán kinh tế thường dẫn đến việc xét hệ bất phương trình bậc hai ẩn giải chúng Loại toán nghiên cứu ngành tốn học có tên gọi Quy hoạch tuyến tính II HỆ THỐNG BÀI TẬ P = = = I BÀI TẬP TỰ LUẬN = = = 1: CÁC BÀI TOÁN LIÊN BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN DẠNG I x  y 3 Câu 1: Biểu diễn hình học tập nghiệm bất phương trình Lời giải Vẽ đường thẳng  : x  y 3 O  0;0  , Lấy gốc tọa độ ta thấy O   có 2.0   nên nửa mặt phẳng bờ  chứa gốc tọa Page CHUYÊN ĐỀ II – TỐN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ẨN độ O miền nghiệm bất phương trình cho (miền khơng bị tơ đậm hình) Câu 2: Biểu diễn hình học tập nghiệm bất phương trình  x  y  0 Lời giải  d  :  3x  y  0 Trước hết, ta vẽ đường thẳng  ;  khơng nghiệm bất phương trình Ta thấy Vậy miền nghiệm nửa mặt phẳng bờ Câu 3: d không chứa điểm  ; 0 Biểu diễn hình học tập nghiệm bất phương trình x   2(2 y  5)  2(1  x) Lời giải Đầu tiên, thu gọn bất phương trình đề cho thành 3x  y  11   d  : 3x  y  11 0 Ta vẽ đường thẳng  ;  không nghiệm bất phương trình Ta thấy Vậy miền nghiệm nửa mặt phẳng (không kể bờ Câu 4:  d  ) không chứa điểm  ;  Biểu diễn hình học tập nghiệm bất phương trình    x     y 2 Lời giải Page CHUYÊN ĐỀ II – TỐN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ẨN      d  :  x   y 2 Trước hết, ta vẽ đường thẳng  ;  không nghiệm bất phương trình cho Ta thấy Vậy miền nghiệm nửa mặt phẳng bờ d không chứa điểm  ; 0 DẠNG 2: CÁC BÀI TOÁN LIÊN HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Câu 1: 3 x  y 6  x  y 4   x    Biểu diễn hình học tập nghiệm hệ bất phương trình  y 0 Lời giải Vẽ đường thẳng d1 : 3x  y 6 d : x  y 4 d : x 0 d : y 0 Vì điểm  Oy   Ox  M  1;1 có tọa độ thỏa mãn tất bất phương trình hệ nên ta tơ đậm  d1  ,  d  ,  d3  ,  d  không chứa điểm M Miền không bị tô đậm (hình tứ giác OCIA kể bốn cạnh AI , IC , CO, OA ) hình vẽ miền nghiệm hệ cho nửa mặt phẳng bờ Page CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ẨN Câu 2: Tìm miền nghiệm hệ bất phương trình x  3y   x  y   y  x   Lời giải Trước hết, ta vẽ ba đường thẳng:  d1  : x  y 0  d  : x  y   d3  : x  y 2   ;  nghiệm ba bất phương trình Điều có nghĩa điểm   ;  thuộc Ta thấy ba miền nghiệm ba bất phương trình Sau gạch bỏ miền khơng thích hợp, miền khơng bị gạch miền nghiệm hệ Câu 3:   y 4  x 0    x  y  0  F  x; y  x  y Tìm trị lớn biểu thức , với điều kiện  x  y  10 0 Lời giải ( ) ( ) 6 ( ) D A 4 C 2 5 O B 5 2  0;  1  1;0  Vẽ đường thẳng d1 : x  y  0 , đường thẳng d1 qua hai điểm  0;5   2;  Vẽ đường thẳng d : x  y  10 0 , đường thẳng d qua hai điểm Vẽ đường thẳng d3 : y 4 Page CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ẨN A  4;3 , B  2;  , C  0;  , E  1;0  Miền nghiệm ngũ giác ABCOE với F  4;3 10 F  2;  10 F  0;  8 F  1;0  1 F  0;0  0 Ta có: , , , , Vậy giá trị lớn biết thức F  x; y  x  y 10 DẠNG 3: CÁC BÀI TOÁN THỰC TIỄN Bài tốn: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức T ( x, y) = ax + by với ( x; y) nghiệm hệ bất phương trình bậc hai ẩn cho trước Bước 1: Xác định miền nghiệm hệ bất phương trình cho Kết thường miền nghiệm S đa giác Bước 2: Tính giá trị F tương ứng với ( x; y) tọa độ đỉnh đa giác Bước 3: Kết luận: Câu 1: · Giá trị lớn F số lớn giá trị tìm · Giá trị nhỏ F số nhỏ giá trị tìm Một hộ nông dân định trồng đậu cà diện tích 800 m2 Nếu trồng đậu cần 20 công thu 3.000.000 đồng 100 m2 trồng cà cần 30 cơng thu 4.000.000 đồng 100 m2 Hỏi cần trồng loại diện tích để thu nhiều tiền tổng số công không 180 Lời giải Gọi x số x00 m2 đất trồng đậu, y số y 00 m2 đất trồng cà Điều kiện x 0 , y 0 Số tiền thu T 3x  y triệu đồng  x  y 8 20 x  30 y 180    x 0   Theo ta có  y 0 Đồ thị:  x  y 8 2 x  y 18    x 0  y 0 Page CHUYÊN ĐỀ II – TỐN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ẨN Dựa đồ thị ta có tọa độ đỉnh Câu 2: A  0;6  B  6;  C  8;0  O  0;0  , , , Bạn An kinh doanh hai mặt hàng handmade vòng tay vòng đeo cổ Mỗi vòng tay làm giờ, bán 40 ngàn đồng Mỗi vòng đeo cổ làm giờ, bán 80 ngàn đồng Mỗi tuần bạn An bán khơng q 15 vịng tay vịng đeo cổ Tính số tối thiểu tuần An cần dùng để bán 400 ngàn đồng? Lời giải Gọi x, y   số vòng tay vòng đeo cổ tuần An làm Theo giả thiết ta có  40 x  80 y 400  0  x 15 0  y 4  Bài tốn trở thành tìm nghiệm  x, y  để L 4 x  y nhỏ A  0;50  , B  10;0  , C  2;  Miền nghiệm hệ bất phương trình (1) tam giác ABC với kể miền tam giác Tình giá trị biểu thức L 4 x  y tất đỉnh tam giác ABC ta thấy L nhỏ x 2, y 4 Vậy số tối thiểu tuần An cần dung L 4.2  6.4 32 Câu 3: Một xưởng khí có hai cơng nhân Chiến Bình Xưởng sản xuất loại sản phẩm I II Mỗi sản phẩm I bán lãi 500 nghìn đồng, sản phẩm II bán lãi 400 nghìn đồng Để sản xuất sản phẩm I Chiến phải làm việc giờ, Bình phải làm việc Để sản xuất sản phẩm II Chiến phải làm việc giờ, Bình phải làm việc Một người làm đồng thời hai sản phẩm Biết tháng Chiến làm việc 180 Bình khơng thể làm việc q 220 Tính số tiền lãi lớn tháng xưởng Lời giải Gọi x , y số sản phẩm loại I loại II sản xuất Điều kiện x , y nguyên dương Page CHUYÊN ĐỀ II – TỐN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ẨN 3x  y 180  x  y 220   x   Ta có hệ bất phương trình sau:  y  Miền nghiệm hệ y 90 B C x O A Tiền lãi tháng xưởng T 0,5 x  0, y (triệu đồng) Ta thấy T đạt giá trị lớn điểm A , B , C Vì C có tọa độ không nguyên nên loại Tại A  60;  Tại B  40; 30  T 30 triệu đồng T 32 triệu đồng Vậy tiền lãi lớn tháng xưởng 32 triệu đồng Câu 4: Một gia đình cần 900 đơn vị protein 400 đơn vị lipit thức ăn ngày Mỗi kiogam thịt bò chứa 800 đơn vị protein 200 đơn vị lipit Mỗi kilogam thịt lợn chứa 600 đơn vị protein 400 đơn vị lipit Biết gia đình mua nhiều 1, kg thịt bò 1,1 kg thịt lợn Giá tiền kg thịt bị 160 nghìn đồng, kg thịt lợn 110 nghìn đồng Gọi x , y số kg thịt bò thịt lợn mà gia đình cần mua Tìm x , y để tổng số tiền họ phải trả mà đảm bảo lượng protein lipit thức ăn? Lời giải 0  x 1,  Theo ta có số tiền gia đình cần trả 160.x  110 y với x , y thỏa mãn: 0  y 1,1 d  Số đơn vị protein gia đình có 0,8.x  0, y 0,9  x  y 9  d2  Số đơn vị lipit gia đình có 0, 2.x  0, y 0,  x  y 2 0  x 1, 0  y 1,1   8 x  y 9  Bài toán trở thành: Tìm x, y thỏa mãn hệ bất phương trình  x  y 2 cho T 160.x  110 y nhỏ Page CHUYÊN ĐỀ II – TỐN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ẨN y x 1,6 D y 1,1 A C B O x x  y 2 x  y 9 Vẽ hệ trục tọa độ ta tìm tọa độ điểm D  0,3;1,1 Nhận xét: A  1, 6;1,1 ; B  1, 6; 0,  ; C  0, 6;0,  ; T  A  377 nghìn, T  B  278 nghìn, T  C  173 nghìn, T  D  169 nghìn Vậy tổng số tiền họ phải trả mà đảm bảo lượng protein lipit thức ăn x 0, y 0, Câu 5: Một hộ nông dân định trồng dứa củ đậu diện tích 8ha Trên diện tích , trồng dứa cần 20 cơng thu triệu đồng, trồng củ đậu cần 30 cơng thu triệu đồng Hỏi cần trồng loại với diện tích để thu nhiều tiền nhất, biết tổng số công không 180 Lời giải Gọi x, y số trồng dứa củ đậu Có  x 8;0  y 8 ; x  y 8 ; 20 x  30 y 180  x  y 18 Số tiền thu T  x, y  3x  y 0  x 8 0  y 8    x  y 8  Ta có hệ 2 x  y 18 Page CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ẨN A 0;  , B  6;  , C  0;8  Miền nghiệm hệ miền tứ giác OABC với  Khi Có T  x, y  đạt cực đại đỉnh OABC T  0,  0; T  0;  24; T  6;  26; T  8;  24 Vậy cần trồng dứa củ đậu = = = Câu 1: I BÀI TẬP TRẮC N G HIỆM x –  y – x  1  Bất phương trình A x – y –  tương đương với bất phương trình sau đây? B x – y –  C x – y –1  Lời giải D x – y –  Chọn B 3x –  y – x  1   3x  y  x    x  y   Câu 2: Cho bất phương trình đúng?  x  1   y    x  Khẳng định khẳng định A Điểm O  0;0  B Điểm B   2;  thuộc miền nghiệm bất phương trình cho C Điểm C   4;  thuộc miền nghiệm bất phương trình cho D Điểm D   5;3 thuộc miền nghiệm bất phương trình cho thuộc miền nghiệm bất phương trình cho Lời giải Chọn A Page 10 CHUYÊN ĐỀ II – TỐN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ẨN y y 3 x 2 x O O A B y y 2 2 x O x O C D Lời giải Chọn B y 2 O Trước hết, ta vẽ đường thẳng Ta thấy  ; 0  d  : 3x  y  nghiệm bất phương trình cho Vậy miền nghiệm cần tìm nửa mặt phẳng (khơng kể bờ Câu 10: x  d  ) không chứa điểm  ;  Miền nghiệm bất phương trình 3x  y   Page 14 CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ẨN y y 3 x 2 x O O A B y y 2 2 x O C x O D Lời giải Chọn D y 2 x O Trước hết, ta vẽ đường thẳng Ta thấy  ; 0 nghiệm bất phương trình cho Vậy miền nghiệm cần tìm nửa mặt phẳng (không kể bờ Câu 11:  d  : 3x  y   d  ) chứa điểm  ;  3 x  y 9  x y    2 y 8  x  Miền nghiệm hệ bất phương trình  y 6 phần mặt phẳng chứa điểm sau đây? A  0;0  B  1;  C  2;1 D  8;  Page 15 CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ẨN Lời giải Chọn D Ta dùng máy tính kiểm tra đáp án để xem đáp án thỏa hệ bất phương trình  x y    0  3y  2( x  1)  4  x 0   Câu 12: Miền nghiệm hệ bất phương trình  phần mặt phẳng chứa điểm A  2;1 B  0;0   1;1 C Lời giải D  3;  Chọn A Nhận xét: có điểm Câu 13:  2;1 thỏa mãn hệ Trong cặp số sau, tìm cặp số khơng nghiệm hệ bất phương trình  x  y  0  2 x  y   A  0;0  B  1;1   1;1 C Lời giải D   1;  1 Chọn C Ta dùng máy tính kiểm tra đáp án để xem đáp án không thỏa hệ bất phương trình với x Câu 14: 2 x  y    Điểm sau không thuộc miền nghiệm hệ bất phương trình  x  y   ? A   1;  B   2;4   0;0  C Lời giải D   3;  Chọn C Nhận xét: có điểm  0;0  khơng thỏa mãn hệ  x y    0  3y 4 2( x  1)   x 0   Câu 15: Cho hệ bất phương trình  Page 16 CHUYÊN ĐỀ II – TỐN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ẨN Hỏi khẳng định khẳng định đúng? A Điểm A  2;1 thuộc miền nghiệm hệ bất phương trình cho B Điểm O  0;0  thuộc miền nghiệm hệ bất phương trình cho C Điểm C  1;1 thuộc miền nghiệm hệ bất phương trình cho D Điểm D  3;4  thuộc miền nghiệm hệ bất phương trình cho Lời giải Chọn A Lần lượt thay toạ độ điểm phương án vào hệ bất phương trình cho, ta thấy  x0 ; y0   2;1 nghiệm hệ bất phương trình cho Câu 16: Cho hệ bất phương trình 2 x  y     2x  y    x  y 1   Hỏi khẳng định khẳng định đúng? A Điểm O  0;0  thuộc miền nghiệm hệ bất phương trình cho B Điểm B  1;0  thuộc miền nghiệm hệ bất phương trình cho C Điểm C  0;   D Điểm D  0;  thuộc miền nghiệm hệ bất phương trình cho thuộc miền nghiệm hệ bất phương trình cho Lời giải Chọn C Lần lượt thay toạ độ điểm phương án vào hệ bất phương trình cho, ta thấy  x0 ; y0   0;   Câu 17: Điểm O  0;0  nghiệm hệ bất phương trình cho thuộc miền nghiệm hệ bất phương trình sau đây? x  3y    A 2 x  y   x  3y    B 2 x  y   x  3y    C 2 x  y   Lời giải x  3y    D 2 x  y   Chọn C Thay x 0; y 0 vào đáp án ta được: x  3y     2 x  y      4  (loại x  3y     x  y    A );    4  ( LoạiB ) Page 17 CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ẨN x  3y        2 x  y   4  (thỏa mãn) Vậy chọn C  2 x  y 1  1   x  y 2   Câu 18: Cho hệ bất phương trình  có tập nghiệm S Mệnh đề sau đúng?     ;  1  S  A  S   x; y  | x  y 2 B S C Biểu diễn hình học nửa mặt phẳng chứa gốc tọa độ kể bờ d , với d là đường thẳng x  y 2 D Biểu diễn hình học S nửa mặt phẳng khơng chứa gốc tọa độ kể bờ d , với d là đường thẳng x  y 2 Lời giải Chọn B Trước hết, ta vẽ hai đường thẳng:  d1  : x  y 1  d  : x  y 2  ; 0 nghiệm bất phương trình (2) khơng phải nghiệm Thử trực tiếp ta thấy bất phương trình (1) Sau gạch bỏ miền khơng thích hợp, tập hợp nghiệm hệ bất phương trình điểm thuộc đường thẳng  d  : x  y 2 2 x  y  (1)    x  y  (2) Câu 19: Cho hệ  Gọi S1 tập nghiệm bất phương trình (1), bất phương trình (2) S tập nghiệm hệ S2 tập nghiệm Page 18 CHUN ĐỀ II – TỐN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ẨN A S1  S B S  S1 C Lời giải S S D S1  S Chọn A Trước hết, ta vẽ hai đường thẳng:  d1  : x  y 5  d2  : x  y 5  ; 0 Ta thấy nghiệm hai bất phương trình Điều có nghĩa gốc tọa độ thuộc hai miền nghiệm hai bất phương trình Sau gạch bỏ miền khơng thích hợp, miền khơng bị gạch miền nghiệm hệ Câu 20: Phần khơng gạch chéo hình sau biểu diễn miền nghiệm hệ bất phương trình bốn hệ A, B, C, D? y x O y   A 3x  y  y   B 3 x  y   C Lời giải x   3x  y  x   D 3 x  y   Chọn A Dựa vào hình vẽ ta thấy đồ thị gồm hai đường thẳng  d1  : y 0 đường thẳng  d  : 3x  y 6 Page 19 CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ẨN Miền nghiệm gồm phần y nhận giá trị dương Lại có  ; 0 thỏa mãn bất phương trình x  y  Câu 21: Miền tam giác ABC kể ba cạnh sau miền nghiệm hệ bất phương trình bốn hệ A, B, C, D? A B O x C A  y 0  5 x  y 10 5 x  y 10  B  x 0  4 x  y 10 5 x  y 10  C Lời giải  x 0  5 x  y 10 4 x  y 10  D x   5 x  y 10 4 x  y 10  Chọn C Dựa vào hình vẽ, ta thấy đồ thị gồm đường thẳng:  d1  : x 0  d  : x  y 10  d3  : 5x  y 10 Miền nghiệm gần phần mặt phẳng nhận giá trị Lại có  ; 0 x dương (kể bờ  d1  ) nghiệm hai bất phương trình x  y 10 x  y 10 Page 20