Chương 4 ham nhieu bien (b2)

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIAO THÔNG VẬN TẢI THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KHOA CƠ BẢN – BỘ MƠN TỐN -Giải tích Chương 4: HÀM NHIỀU BIẾN Đạo hàm hàm số ẩn: Nếu hàm biến số y = f(x) nghiệm phương trình F(x,y) = 0, x  (a,b) thì: / F y x/ = − x/ Fy Nếu hàm số hai biến z = f(x,y) nghiệm phương trình F(x,y,z) = thì: Ví dụ: Giải: / F ADCT : y x/ = − x/ Fy / F y x/ = − x/ Fy Ví dụ: Giải: Đạo hàm theo hướng, vectơ Gradient Ví dụ: Bài CỰC TRỊ Cực trị tự hàm hai biến 1.1 Định nghóa: Hàm số f(x,y) gọi đạt cực đại địa phương điểm M0(x0,y0) tồn lân cận V M0 cho: f(M)  f(M0), M  V f(M0)= f(x0,y0) gọi giá trị cực đại Hàm số f(x,y) gọi đạt cực tiểu địa phương điểm M0(x0,y0) tồn lân cận V M0 cho: f(M)  f(M0), M  V f(M0)= f(x0,y0) gọi giá trị cực tiểu 1.2 Định lý: (Điều kiện cần để có cực trị) • Nếu (x0,y0) điểm cực trị f f có đạo hàm riêng (x0,y0) thì: f/x(x0,y0) = f/y(x0,y0) = (*) • Nếu điểm (x0,y0) thỏa điều kiện (*) ta gọi (x0,y0) điểm dừng hàm f • Nếu (x0,y0) điểm dừng (x0,y0) đạo hàm riêng khơng tồn ta gọi (x0,y0) điểm tới hạn f 1.3 Định lý: (Điều kiện đủ để có cực trị) Phương pháp giải tốn tìm cực trị tự hàm hai biến z = f(x,y) Bước 1: Tìm TXĐ:D Tính đạo hàm riêng cấp fx/ , fy/ /  f  x =0 và tìm điểm dừng (x , y ) nghiệm hcä pt  /   fy = điểm (x , y )  D mà đạo hàm cấp không xác định Bước 2: Tính đạo hàm riêng cấp hai điểm tới hạn M (x , y ) : A=f /2/ (x , y ) ,B = fxy/ / (x , y ),C = f / 2/ (x , y ) vaø  =AC - B2 x y Bước 3: Kết luận Ví dụ: Tìm cực trị haøm f (x, y) = x + y − x − 12 y + 20 3 Giải: • TXĐ: D=R2 Ta có: fx/ = 3x − 3, fy/ = 3y − 12,  f / =  3x −3=0  x = 1  x   Giải hệ :  /    3y − 12 =  y = 2  fy =  M(1,2),N(1, −2),P(−1,2),Q(−1, −2) làcác điểm dừng // • A = f (x,y) = 6x, B = fxy/ / (x,y) = 0, C = f /2/ (x,y) = 6y, x y • Kết luận cực trị: Điểm A = 6x C = 6y B= Δ =AC − B2 f(x,y) Đạt cực tiểu M(1,2) 6>0 12 Δ0 N(1,-2) 6>0 -12 Δ0 Không đạt Ctrị P(-1,2) -6