Chương 4 ham nhieu bien (b1)

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIAO THÔNG VẬN TẢI THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KHOA CƠ BẢN – BỘ MƠN TỐN -Giải tích Chương 4: HÀM NHIỀU BIẾN Bài ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN Định nghĩa: Cho z = f(x,y) hàm số xác định miền D, M0(x0,y0)  D f / z , zx , Đạo hàm riêng f x Ký hiệu: f , x x / x Với: f x/ (x0 , y ) f (x0 + x, y ) − f (x , y ) = lim x → x Tương tự ta có đạo hàm riêng f theo biến y, ký hiệu: f / z f , , zy , y y / y định nghóa: f y/ (x0 , y ) f (x0 , y + y ) − f (x0 , y ) = lim y → y Qui tắc tìm đạo hàm riêng Khi tính đạo hàm riêng f theo biến ta xem biến số ngược lại Ví dụ: Giải: a) z = x − 3xy + y Tính z x/ , z /y , z x/ ( 3, 1), z /y ( 3, 1) f f 3 b) f (x, y) = x − 3xy + y Tính (1, 0) , (1, 1) x y /  z ( , ) = = x − y  x  / a) z = x − 3xy + y   / z  z y (3,1) = −7  y = y − 3x 3 b) f (x, y) = x − 3xy + y  f  f ( , ) = − = (x, y) = x − y  x  x      f  f 2  (1, 1) = −3.1 + 6.1 =  (x, y) = −3x + 6y  y  y  z x/ Vi phân toàn phần cấp hàm hai biến: df= fx/ dx+fy/ dy Ví dụ Cho hàm f(x,y)=x y + xy Tính df(2,-1) Giải fx/ = 2xy+y fy/ = x + 3xy / / df= f dx+f dy AÙp dụng công thức: x y  df= (2xy+y ).dx+(x + 3xy ).dy  df(2,-1)=-5.dx + 10.dy Đạo hàm riêng cấp cao: a) Định nghĩa: Cho hàm số f(x,y) Các đạo hàm riêng đạo hàm riêng cấp tồn gọi đạo hàm riêng cấp f x/x/ = f x2 = //  2f ( x )  f = xy f y/x/ 2  f // f xy = y x f y/y/ = f y/ 2/ =  2f ( y ) (Tương tự, ta định nghĩa đạo hàm riêng cấp 3, cấp 4,…) b) Định lý (Schwarz): Nếu lân cận M0 (x,y) hàm số f(x,y) tồn đạo hàm riêng liên tục M0 f//xy (x,y)= f//yx (x,y) Ví dụ: // // // Cho hàm z = x siny + y cosx Tính z / /2 , z xy z z , yx , x y Giaûi:     z x/ = siny − y sinx   /  z y = x cosy + cosx    z z // x2 // xy // z yx z / /2 y ( ) = ( siny − y sinx ) = ( z ) = ( siny − y sinx ) = ( z ) = ( xcosy + cosx ) = ( z ) = ( x cosy + cosx ) = / / zx x / / x y / / y x / / y y / x / y / x / y = −y cosx = cosy − sinx = cosy − sinx = −x siny Ví dụ: 2  f  f 3 Cho haøm f (x, y) = x − 3xy + 2y Tính (1, 2), ( 0,1) y x x Giaûi: f (x, y) = x3 − 3xy + 2y  f = 3x − 3y x  2f  2f Ta coù: (1, 2) = 6.1 = = 6x  x x  f  f = −3  (0,1) = −3 Ta coù: y x y x 2 Vi phân toàn phần cấp hàm biến f(x,y) điểm (x,y) là: d f= f ( dx ) // x d f= f ( dx ) // x // +(fxy + // // fyx )dx.dy+ f y +2fxy/ / dx.dy+ f /2/ y ( dy ) ( dy ) 2 Ví dụ: Cho f (x, y) = x − 3xy + y Tínhd 2f (1, 2) Giải: f (x, y) = x − 3xy + y / x f = 3x − 3y f /2/ = 6x / fy f = 6y − 3x x // y2 AÙp duïng : d f= f ( dx ) // fxy = −3 = 12y ( dy )  d f= 6x ( dx ) -6.dx.dy+12y ( dy )  d f(1,2)= ( dx ) -6.dx.dy+ 24 ( dy ) // x 2 // // +2fxy dx.dy+ f y 2 2 Đạo hàm hàm số hợp: Cho hàm số z = f(u,v) u = u(x,y), v = v(x,y) thì: z x/ = z u/ u x/ + z /v v x/ z = z u + z v / y / u / y / v / y Đặc biệt: Nếu hàm số u = u(t), v = v(t) hàm biến thì: / zt = / / z u u t + / / zv vt Ví dụ: Giải: z = z u + z v / x / u / x / v / x Ví dụ: Cho hàm u = e x−2 y du với x=sint, y=t Tính cách dt Giải: Cách 1: Áp dụng công thức đạo hàm riêng hàm hợp ta coù du = ux/ x t/ + u y/ y t/ dt du  = e x − y cos t + ( −2e x − y ).3t = e x − y cos t − 6t dt Cách 2: Thay x, y vào u ta hàm biến t, sau tính u t/ ( )