Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 Học sinh giỏi 99 Câu Tỉnh Nghệ An bảng B (3,5 điểm) 2 a) Cho a, b số tự nhiên lẻ không chia hết cho Chứng minh a - b chia hết cho 24 b) Tìm tất số nguyên dương n để 9n + 6n - 35 số nguyên tố Câu (6,5 điểm) a) Giải phương trình 3x +1 = 8x +1 + 2x - ìï x y + 2xy +1 = 7x + ïí ï x ( y - x ) = b) Giải hệ phương trình ỵï Câu (1,5 điểm) Cho số thực không âm x, y,z thỏa mãn x + 3y + 2z = Tìm giá trị lớn x + 9y P= + z ( z - 8z +17) xy +1 biểu thức Câu ( O,R ) Trên cung BC không chứa (7,0 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn điểm A lấy điểm M ( M không trùng với B C) a) Chứng minh MA = MB + MC MD MD + =1 MB MC BC D AM b) Gọi giao điểm Chứng minh ổ1 12 ữ + + 2023ỗ + ữ ỗ ữ ỗ ốMB MC ứ c) Xỏc định vị trí M để tổng: MA MD đạt giá trị nhỏ Câu (1,5 điểm) Trên khu đất hình chữ nhật kích thước 100m ´ 120m Người ta muốn xây sân bóng nhân tạo có đất hình chữ nhật kích thước 25m ´ 35m bồn hoa hình trịn đường kính 5m Chứng minh dù xây trước bồn hoa vị trí phần đất cịn lại ln tìm đất kích thước 25m ´ 35m để xây sân bóng -Hết - CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 Trang 52 Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 HƯỚNG DẪN GIẢI Câu (3,5 điểm) 2 a) Cho a, b số tự nhiên lẻ không chia hết cho Chứng minh a - b chia hết cho 24 b) Tìm tất số nguyên dương n để 9n + 6n - 35 số nguyên tố Lời giải a) ìï a º 1( mod 3) ìïï a kh«ng chia hÕt cho ï Þ í í ïï b º 1( mod 3) Þ a - b2 M3 ù ợ +) Do ùợ b không chia hết cho ( 1) ïì a - M2 Þ ïí Þ a - M8, ï a + M +) Do a không chia hết cho ïỵ a - a +1 hai số chẵn liên tiếp +) Tương tự b - M8 Do a - b = ( a - 1) - ( b - 1) M8 ( 2) 2 Từ (1), (2) suy a - b M24 9n + 6n - 35 = ( 9n + 6n +1) - 36 = ( 3n +1) - 36 b) Ta có = ( 3n +1- 6) ( 3n +1 + 6) = ( 3n - 5)( 3n + 7) Lại có: 3n - < 3n + 7, " n Suy 9n + 6n - 35 số nguyên tố 3n - =1 Û n = Thử lại ta thấy n = thỏa mãn yêu cầu toán Câu (6,5 điểm) a) Giải phương trình 3x +1 = 8x +1 + 2x - ìï x y + 2xy +1 = 7x + ïí ï x ( y - x ) = b) Giải hệ phương trình ỵï Lời giải a) Điều kiện x³ 6x + = 2 Phương trình cho tương đương với: ( ) 8x +1 + 2x - ìï a = 8x +1 ï ( a > 0, b ³ 0) í ïï b = 2x - Þ 6x + = ( 8x +1) - ( 2x - 1) = a - b ỵ Đặt a - b = ( a + b) Phương trình trở thành: Û ( a + b) ( a - b - 2) = Û a - b - = 0, a + b > Với a - b =2 Þ 8x +1 - CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 2x - = Û 8x +1 = 2x - + Û 8x +1 = ( 2x - + ) Trang 53 Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 ïì 3x - ³ Û 3x - = 2x - Û ïí ïï ( 3x - 1) = 4( 2x - 1) ỵ ìï éx =1 ïï x ³ ê Û í Û ê 5 ïï êx = x = 1, x = ë Vậy phương trình cho có nghiệm ïỵï 9x - 14x + = ê ìï ( xy +1) = 7x + ( 1) ï í ï xy = x + ( 2) b) Hệ phương trình cho tương đương với ïïỵ ( x + 3) Thay (2) vào (1) ta có: Û x ( x + 6x - 7) = = 7x + Û x + 6x - 7x = éx = Û x ( x - 1) ( x + x + 7) = Û ê ê ëx = Thay vào (2) ta thấy: Khi x = Þ 0y = (khơng thỏa mãn) Khi x =1 Þ y = Vậy nghiệm hệ cho ( x; y) = ( 1;3) Câu (1,5 điểm) Cho số thực không âm P= biểu thức x, y,z thỏa mãn x + 3y + 2z = Tìm giá trị lớn x + 9y + z ( z - 8z +17) xy +1 Lời giải +) Ta có: x + 3y + 2z = Þ x + 3y = - 2z Þ - 2z ³ Þ z £ 2 ( x + 3y) + x + 9y x + 9y x + 9y + 6xy + = +6- = - 6= - xy +1 xy +1 xy +1 +) Lại có xy +1 £ ( - 2z) + Khi ìï x + 3y = - 2z - 6, ïí ïïỵ xy ³ 2 P £ ( - 2z ) + z3 - 8z +17z = z - 4z + 5z + = ( z - 2z +1) ( z - 2) +11 = 11 +( z - 1) ( z - 2) £ 11, z - < 0, " £ z £ Dấu " = " xảy Û z =1 ỉ1 ỉ ữ ỗ max P = 11 ( x; y;z ) = ỗ 0; ; 1ữ x; y;z = ;0; ( ) ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ç ø ç è è ø Vậy CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 Trang 54 Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 Câu ( O,R ) Trên cung BC không chứa (7,0 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn điểm A lấy điểm M ( M không trùng với B C) a) Chứng minh MA = MB + MC MD MD + =1 MC b) Gọi D giao điểm AM BC Chứng minh MB æ1 12 ữ + + 2023ỗ + ữ ỗ ữ ç èMB MC ø c) Xác định vị trí M để tổng: MA MD đạt giá trị nhỏ Lời giải a) Chứng minh MA = MB + MC Trên đoạn AM lấy điểm E cho ME = MB, · · Ta có: AMB = ACB = 60 (cùng chắn cung AB) Suy tam giác MBE tam giác Suy MB = BE (1) Xét tam giác EBA tam giác MBC có: · · MB = BE; AB = AC; BCM = BAE (cùng chắn cung BM) Suy D EBA =D MBC (c.g.c) Þ EA = MC (2) Từ (1) (2) suy MB + MC = ME + EA = MA MD MD + =1 BC b) Gọi D giao điểm AM Chứng minh MB MC CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 Trang 55 Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 · · · · Ta có ADB = CDM (đối đỉnh) BAD = DCM (cùng chắn cung BM) MD BD = CM AB (3) MD CD D ACD # D BMD (g.g) Þ = BM AC Tương tự MD CD CD = = Lại AC = AB Þ BM AC AB (4) Þ D ABD # D CMD (g.g) Þ MD MD BD CD BC AB + = + = = =1 Cộng (3) (4) vế theo vế ta có CM BM AB AB AB AB ỉ1 12 ữ + + 2023ỗ + ữ ç ÷ ç è ø MA MD MB MC M c) Xác định vị trí để tổng: đạt giá trị nhỏ MD MD 1 + =1 Þ = + ³ MB MC MD MB MC MB + MC Từ kết câu b) Dấu “=” xảy MB = MC (5) æ1 æ1 æ1 12 12 ư ÷ ữ ữ + + 2023ỗ + = + 2ỗ + + 2023ỗ + ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ố ứ ố ứ ố ø MA MD MB MC MA MB MC MB MC Khi ú: ổ1 12 ữ = + 2025ỗ + ữ ỗ ữ ỗ ốMB MC ứ MA 12 12 + 2025 = + 2025 MA MB + MC MA MA (do kết câu a: MB + MC = MA ) 8112 8112 4056 = ³ = MA 2R R (do MA £ 2R ) Dấu “=” xảy MA = 2R Þ MB = MC ³ Câu (1,5 điểm) Trên khu đất hình chữ nhật kích thước 100m ´ 120m Người ta muốn xây sân bóng nhân tạo có đất hình chữ nhật kích thước 25m ´ 35m bồn hoa hình trịn đường kính 5m Chứng minh dù xây trước bồn hoa vị trí phần đất cịn lại ln tìm đất kích thước 25m ´ 35m để xây sân bóng Lời giải Ta chia mảnh đất hình chữ nhật ban đầu thành mảnh đất hình chữ nhật nhỏ kích thước 30m x 40m (như hình vẽ) Có tất 10 hình chữ nhật 30m x 40m CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 Trang 56 Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 Theo nguyên lí Dicrichle tồn hình chữ nhật 30m x 40m khơng chứa tâm hình trịn hình trịn nói Giả sử ABCD Ta cắt cạnh mảnh đất ABCD 2,5m mảnh đất MNPQ có: Chiều rộng MN = 30 - 2.2,5 = 25m Chiều dài NP = 40 - 2.2,5 = 35m Suy MNPQ mảnh đất đủ để xây sân bóng theo yêu cầu Như phần đất lại sau xây bồn hoa ta ln tìm mảnh đất có kích thước 25m x 35m để xây sân bóng CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 Trang 57