39 hsg9 nam định

Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 Học sinh giỏi 99 Câu Tỉnh Nam Định (3,0 điểm) 1 1    a , b , c 1) Cho số thực dương thoả mãn a b c abc Chứng minh bc  ac  ba    3 a2 1 b2 1 c2 1 P  x   x  1  x    x  3  x  2022  P  x 2) Cho đa thức Khi khai triển đa thức ta 2021 2022 P  x  a0  a1 x  a2 x   a2021 x  a2022 x Tính giá trị biểu thức a  a  a   a2021 a0 S  a0  a2  a4   a2022  a1  a3  a5   a2021  Câu (5,0 điểm) 1) Giải phương trình  x  1  3x   x   4 x   x  y  1  y 3  2    x  y    x y 2 2) Giải hệ phương trình  Câu (3,0 điểm) p  q  p  q  1  q  1 1) Tìm tất số nguyên tố p, q cho  m  n  p  q  30 Chứng minh 2) Cho m, n, p, q số nguyên thoả mãn m  n5  p5  q  30 Câu (7,0 điểm)  O  Gọi BH CQ hai đường Cho tam giác nhọn ABC với AB  AC nội tiếp đường tròn  O  cắt M Đoạn cao tam giác ABC Tiếp tuyến B C đường tròn  O  N D Tia AD cắt BC F ; thẳng OM cắt BC cắt đường tròn AM cắt BC E cắt đường tròn  O  điểm thứ hai K (K khác A )   1) Chứng minh rằng: AB.KC  AC.KB ABM  AHN   2) Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AFN Chứng minh IOM  ADN 180 3) Qua E kẻ đường thẳng vng góc với BC cắt QH G Chứng minh ba điểm A, G , N thẳng hàng Câu (2,0 điểm) 1) Lấy 2018 điểm phân biệt miền ngũ giác lồi với đỉnh ngũ giác ta 2023 điểm phân biệt cho khơng có ba điểm thẳng hàng Biết diện tích CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268  Trang  Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 ngũ giác đơn vị Chứng minh tồn tam giác có đỉnh lấy từ 2023 điểm cho có diện tích khơng vượt q 4039 đơn vị 2) Xét a, b, c số thực dương thỏa mãn a  b  c 3 Hãy tìm giá trị lớn biểu thức Q 1   a  b  c a  b  c a  b  c2 -Hết - CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268  Trang  Tổng Hợp: Bùi Hoàng Nam CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 HƯỚNG DẪN GIẢI Câu (3,0 điểm) 1 1    1) Cho a, b, c số thực dương thoả mãn a b c abc Chứng minh bc  ac  ba    3 a 1 b2 1 c 1 P  x   x  1  x    x  3  x  2022  P  x 1) Cho đa thức Khi khai triển đa thức ta 2021 2022 P  x  a0  a1 x  a2 x   a2021 x  a2022 x Tính giá trị biểu thức a1  a3  a5   a2021 a0 S  a0  a2  a4   a2022  a1  a3  a5   a2021  Lời giải 1 1     ab  bc  ac 1 1) Ta có a b c abc Ta có: bc  bc  ab  bc  ac b  a  c   c  a  b  b c     a  a  ab  bc  ac a b a c  a  c  a  b Chứng minh tương tự: ac  a c   b 1 a  b b  c ab  a b   c  a  c b  c Do đó: bc  ac  ba  b c a c a b         a 1 b 1 c 1 a  b a  c a  b b  c a  c b  c a   c a   b c   b          1   3  a b a b   a c a c   b c b c  bc  ac  ba  1 1   3    Vậy a  b  c  a b c abc a, b, c  2) Ta có: P  x  a0  a1 x  a2 x   a2022 x 2022   x  1  x    x  3  x  2022   P  1 a0  a1.1  a2 12   a2022 12022    1      3   2022   P  1 a0  a1  a2   a2022 2023! Lại có P   1 a0  a1   1  a2   1   a2022   1 2022    1        2022   P   1 a0  a1  a2   a2022 0  a0  a2   a2022 a1  a3  a5   a2021 CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268  Trang  Tổng Hợp: Bùi Hoàng Nam CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 Mà a0  a1  a2   a2022 2023! 2023!  a0  a2   a2022 a1  a3   a2021  Ta có P   a0  a1.0  a2 02   a2022 02022   1      2022   P   a0 2022! Do a1  a3  a5   a2021 a0 2022! 2022!  1  1  2023! a0  a2  a4   a2022  a1  a3  a5   a2021  2023! 2 2022 1   2023 2023 S Câu (5,0 điểm) 1) Giải phương trình  x  1  3x   x   4 x3   x  y  1  y 3  2    x  y    x y 2 2) Giải hệ phương trình  Lời giải    x  1 3x  x   4 x3  1) Giải phương trình  x  0  x 0  x 0  Điều kiện xác định: Khi phương trình cho tương đương với 3x  x  3x    x  1  x  1  x  x x  x   x  1    x x  x    x  1    x 3x  x 1  4 x x   x  1   x  1 0   x  1  1 0  x  1 x 0 x 1 1 x 1    x  3x  x    0 x 1 1    x 0   3x  x   x  0 x 1 1  Ta thấy: 3x  x   CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 x 1 x   x 1 3 x  x  x 1 1 x 1 1  Trang  Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 2  x   x 1  3  x     3 x 1 1  2  x   x 1  3  x    3  x 1 1  2  3  x    3     x 1   x    x 1 1 0 Với x 0 thoả mãn điều kiện Vậy tất nghiệm phương trình cho x 0  x  y  1  y 3  2    x  y    x y 2 2) Giải hệ phương trình  5   x  y  0 x  y    2 2  x y 0  x y 2  Điều kiện:  xy  Kết hợp với phương trình hệ ta điều kiện x  y  1  y 3  xy  x  y 3  x  y 3  xy Từ phương trình vào phương trình   x  y    x y 2 ta    xy    x y 2    xy   x y 2  xy    x y 2 xy    x y 2    2 xy   2  x y 0  xy   2 xy     x y  2  x y   x y  xy  0     xy     2  x y    xy  1 0  xy   0   2   x y  0   xy  1 0  xy  Với       Do phương trình CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268   xy     2  x y    xy  1 0  Trang  Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023  xy   0  xy  1        x y  0    x y 1  xy 1   xy 1  xy  1 0   Với xy 1 kết hợp với x  y 3  xy ta      x  y 2    xy 1  x 2  y     y  y 1  x 2  y  x  y 1   y  1 0  x; y   1;1 Với x  y 1 thoả mãn điều kiện Vậy hệ phương trình có nghiệm Câu (3,0 điểm) p  q  p  q  1  q  1 1) Tìm tất số nguyên tố p, q cho  m  n  p  q  30 Chứng minh 2) Cho m, n, p, q số nguyên thoả mãn m  n5  p  q  30 Lời giải p  q  p  q  1  q  1 p , q 1) Tìm tất số nguyên tố cho Ta có: 2 p  q  p  q  1  q  1  p   q  1  q  p  q  1 0   p  q  1  p  q  1  q  p  q  1 0   p  q  1  p  2q  1 0   p  q  1  p  2q  1 0  p  2q  0 ( p, q số nguyên tố)  p  2q   p  1  p  1 2q Nếu p 2    1   1 2q  q  ( Loại q số nguyên tố) Nếu p 3 , mà p nguyên tố p  p  số chẵn  p  1  p 1 4  2q 4  q 2 , mà q nguyên tố  q 2 2 Thay q 2 vào p  2q  p 9  p 3 thoả mãn  p 3  Vậy tất số nguyên tố p, q q 2 CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268  Trang  Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023  m  n  p  q  30 Chứng minh 2) Cho m, n, p, q số nguyên thoả mãn m  n5  p  q  30 Ta có: m5  m m  m  1 m  m  1  m  1  m  1 m  m  1  m  1  m  1 m  m  1  m  1  m    m  m  1  m  1  m    m    5m  m  1  m  1 Ta có m  m  1  m  1  m    m   5m  m  1  m  1 Mà ƯCLN  2,3,5  1 tích số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2, tích số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2, nên m  m  1  m  1  m    m   30 5m  m  1  m  1 30 Do m  m  1  m  1  m    m    5m  m  1  m  1 30   m  m  30  n5  n  30    p  p  30   q  q  30 Chứng minh tương tự ta  Do Vậy m m 5  n5  p  q    m  n  p  q  30 mà  m  n  p  q  30  n5  p  q  30 Câu (7,0 điểm)  O  Gọi BH CQ hai đường Cho tam giác nhọn ABC với AB  AC nội tiếp đường tròn  O  cắt M Đoạn cao tam giác ABC Tiếp tuyến B C đường tròn  O  N D Tia AD cắt BC F ; thẳng OM cắt BC cắt đường tròn AM cắt BC E cắt đường tròn  O  điểm thứ hai K (K khác A )   1) Chứng minh rằng: AB.KC  AC.KB ABM  AHN   2) Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AFN Chứng minh IOM  ADN 180 3) Qua E kẻ đường thẳng vng góc với BC cắt QH G Chứng minh ba điểm A, G , N thẳng hàng Lời giải CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268  Trang  Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 x B Q A K E G F H I M D O N S C   1) Chứng minh rằng: AB.KC  AC.KB ABM  AHN Trong  BK  O   có: MBK BAK ( góc nội tiếp góc tạo tia tiếp tuyến dây cung chắn    Xét MBK MAB có: MBK BAK chung BMK  MBK MAB đồng dạng  BK MB  (1) AB MA Tương tự chứng minh MCK MAC đồng dạng   O  nên MB MC Do MB; MC tiếp tuyến đường tròn BK CK   AB.CK  AC.BK Từ (1), (2) (3) suy AB AC Trong )  O CK MC  (2) AC MA (3)    có: ACB  ABx ( góc nội tiếp góc tạo tia tiếp tuyến dây cung chắn AB Có MB MC ; OB OC  OM đường trung trực BC  N trung điểm BC Do BH đường cao ABC nên BHC vuông H, mà N trung điểm BC nên   NB NC  NH nên NHC cân N  NHC  ACB Do NHC  ABx         Ta có NHC  AHN 180 ; ABx  ABM 180 ; NHC  ABx  AHN  ABM   2) Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AFN Chứng minh IOM  ADN 180   O  điểm thứ hai S khác điểm D  SN  BC  FNS 900 Kẻ tia MO cắt đường tròn  N thuộc đường trịn đường kính FS Trong  O 0   có: DAS 90 ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) hay FAS 90 CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268  Trang  Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023  A thuộc đường trịn đường kính FS Do điểm A, F , N , S thuộc đường trịn đường kính FS Suy tâm I đường tròn ngoại tiếp AFN trung điểm FS Trong DFS có I trung điểm FS ; O trung điểm DS  OI đường trung bình   OI //DF  OI //AD  IOM  ADN 1800 3) Qua E kẻ đường thẳng vng góc với BC cắt QH G Chứng minh ba điểm A, G , N thẳng hàng Gọi G ' giao điểm AN QH Chứng minh ABH BMN đồng dạng  AH AB  BN BM , mà NB NH AH AB  NH BM mà AHN  ABM suy AHN ABM đồng dạng     (4) Do NAH MAB hay G ' AH EAB AQ AC   AH AB , suy AQH ACB đồng Chứng minh AQC AHB đồng dạng     (5) dạng Do AHQ  ABC hay AHG '  ABE AG ' AH AH AN    AE AB mà AB AM ( AHN Từ (4) (5) suy AHG ' ABE đồng dạng AG ' AN   AE AM Theo định lí Ta-lét đảo suy EG ' //MN ABM đồng dạng )  Ta có EG //MN ( vng góc với BC ) Do E , G, G ' thẳng hàng, mà G, G '  QH suy G ' G trùng Vậy ba điểm A, G, N thẳng hàng Câu (2,0 điểm) 1) Lấy 2018 điểm phân biệt miền ngũ giác lồi với đỉnh ngũ giác ta 2023 điểm phân biệt cho khơng có ba điểm thẳng hàng Biết diện tích ngũ giác đơn vị Chứng minh tồn tam giác có đỉnh lấy từ 2023 điểm cho có diện tích khơng vượt q 4039 đơn vị 2) Xét a, b, c số thực dương thỏa mãn a  b  c 3 Hãy tìm giá trị lớn biểu thức Q 1   a  b  c a  b  c a  b  c2 Lời giải 1) Nối điểm 2023 điểm cho tạo thành tam giác đôi chung nhiều cạnh, phủ vừa kín ngũ giác Giả sử có n tam giác tạo thành Khi tổng tất góc n tam giác n.180 CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268  Trang  Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 Tổng tính thơng qua tổng sau : -Tổng góc xung quanh điểm ngũ giác 360 mà có 2018 điểm ngũ giác tổng số đo 2018.360 - Tổng góc đỉnh ngũ giác 3.180 0 Do ta có n.180 3.180  2018.360  n 4039 Như ta có 4039 tam giác đơi chung nhiều cạnh tạo thành từ 2023 điểm phân biệt đề phủ kín hình ngũ giác Vì diện tích ngũ giác đơn vị nên ln tồn tam giác có diện tích không vượt 4039 đơn vị x  y  1 0 2) Ta có : với x, y   xy  xy  x 0  xy  x 2 xy  x  y  xy  x  x  y   y  x  1  x  x  1  x  y    y  x   x  1  x  y   x 1  y  x  x  y Đẳng thức xảy y 1 x 1  y  x  x  y (*) 2 Vậy 2 với x, y  b  c 1  a  b  c  a  b  c a  c 1  a  b  c  a  b  c b  a 1  2 a b c  a  b  c Áp dụng BĐT (*) ta có : Cộng theo vế ba bất đẳng thức ta Q 2 a  b  c  1    2 a b c a b c a b c  a  b  c 2 a  b  c  1  a  b  c Ta chứng minh 2 a  b  c  1   a  b  c    a  b  c   0  a  b  c Thật :   a  b  c  1  a  b  c   0 CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 ln a  b  c 3  Trang 10  Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 Q Suy 2 a  b  c  1    1 2 a b c a b c a b c  a  b  c a  b  c  0 a 1   a b c 1  b 1  Vậy GTLN Q c 1 -Hết - CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268  Trang 11 