Một Số Vấn Đề Về Ma Phương.pdf

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– NGUYỄN BÁ NHIỆM MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ MA PHƯƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên, 2020 Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! ĐẠI HỌC[.]

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– NGUYỄN BÁ NHIỆM MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ MA PHƯƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên, 2020 Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– NGUYỄN BÁ NHIỆM MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ MA PHƯƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Phương pháp tốn sơ cấp Mã số: 46 01 13 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS NGÔ VĂN ĐỊNH Thái Nguyên, 2020 i Mục lục Mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 1.2 1.3 Không gian vectơ 1.1.1 Khái niệm không gian vectơ 1.1.2 Không gian hệ sinh 1.1.3 Cơ sở không gian hữu hạn chiều Ma trận 1.2.1 Khái niệm ma trận phép toán 1.2.2 Định thức Giá trị riêng 1.3.1 Khái niệm giá trị riêng vectơ riêng ma trận Khái niệm số tính chất ma phương 11 2.1 Khái niệm ma phương 11 2.2 Cấu trúc không gian vectơ tập ma phương 14 2.2.1 Một số tính chất ma phương 14 2.2.2 Cấu trúc không gian vectơ 16 2.3 Tích vơ hướng 20 2.4 Giá trị riêng ma phương 23 Một số phương pháp xây dựng ma phương 26 3.1 Phương pháp Hindu 26 3.2 Phương pháp Bachet de Méziriac 28 3.3 Phương pháp Phillipe de la Hire 28 3.4 Phương pháp bước đồng 29 ii Kết luận 35 Tài liệu tham khảo 36 iii Lời cảm ơn Trong trình làm luận văn, em nhận hướng dẫn giúp đỡ tận tình TS Ngơ Văn Định - Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Em xin cảm ơn thầy cô Khoa Toán - Tin, trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên, truyền thụ đến cho nhiều kiến thức kinh nghiệm nghiên cứu khoa học Xin trân trọng cảm ơn Sở Giáo dục Đào tạo Hải Phòng, Ban Giám hiệu đồng nghiệp trường THCS Đơng Phương, Kiến Thụy, Hải Phịng tạo điều kiện thuận lợi để em học tập nghiên cứu Lời cuối cùng, em muốn dành để tri ân đến bố mẹ gia đình chia sẻ khó khăn để thân tơi hồn thành cơng việc học tập Mở đầu Trong tốn học, ma phương (cịn gọi ma trận kỳ ảo hình vng ma thuật) bậc n cách xếp n2 số thành hình vng gồm n hàng, n cột cho tổng số hàng, cột hai đường chéo số Hằng số gọi số ma phương Khái niệm ma phương xuất lần lịch sử Trung Hoa cổ đại Truyền thuyết kể trận lụt lớn thời Trung Hoa cổ đại (thời gian cụ thể chưa rõ ràng, có tài liệu ghi khoảng năm 650 trước cơng ngun, có tài liệu ghi khoảng năm 2200 trước công nguyên ), người ta thấy mai rùa có bảng số hình vng hàng, cột:     3 7 Điều đặc biệt bảng số tổng số hàng, cột đường chéo 15 Thông thường người ta xét ma phương cấp n với n2 phần tử số tự nhiên từ đến n Ma phương thông thường tồn với n ≥ trừ trường hợp n = (trường hợp n = trường hợp tầm thường) Tuy nhiên, có số khái niệm ma phương khác định nghĩa dựa số tính chất bảng số Mục đích luận văn nghiên cứu trình bày lại số khái niệm tính chất ma phương Tập ma phương bậc n rõ ràng tập tập ma trận vuông cấp n Hơn nữa, dễ dàng thấy tập ma phương cấp n đóng kín với phép tốn cộng ma trận nhân ma trận với số Điều kéo theo tập ma phương cấp n kế thừa cấu trúc không gian vectơ không gian vectơ ma trận vuông cấp n Mục tiêu luận văn làm rõ cấu trúc không gian vectơ tập ma phương, xác định số chiều không gian Ngồi ra, trình bày số tính chất hàng, cột ma phương Mục tiêu thứ hai luận văn trình bày số phương pháp xây dựng ma phương Chưa có phương pháp cụ thể xây dựng tất ma phương Mỗi phương pháp có đặc điểm riêng Trong luận văn này, dừng lại việc giới thiệu vài phương pháp thông thường để xây dựng số ma phương Nội dung luận văn chia thành ba chương Chương trình bày số kiến thức chuẩn bị Ở đây, chúng tơi trình bày sơ lược lại số kiến thức ma trận, không gian vectơ để phục vụ cho việc làm rõ cấu trúc không gian vectơ tập ma phương Chương tập trung làm rõ cấu trúc không gian vectơ, chứng minh tập ma phương cấp n không gian vectơ, khơng gian có khơng gian vectơ tập ma phương cấp n có số ma phương (gọi ma phương không); xác định số chiều hai không gian vectơ Phần cuối chương trình bày số tính chất tích vô hướng hàng, cột giá trị riêng ma phương Chương giới thiệu bốn phương pháp xây dựng ma phương: phương pháp Hindu; phương pháp Bachet de Méziriac; phương pháp Phillipe de la Hire; phương pháp bước đồng Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian vectơ Trong chương này, nhắc lại cách sơ lược số kiến thức chuẩn bị không gian vectơ, ma trận, hệ phương trình tuyến tính Nội dung chương tham khảo tài liệu [1] 1.1.1 Khái niệm không gian vectơ Định nghĩa 1.1.1 Xét tập V khác rỗng mà phần tử ta quy ước gọi vectơ trường số thực R Giả sử V ta định nghĩa hai phép toán: phép cộng hai vectơ phép nhân vectơ với số thực Phép cộng hai vectơ luật hợp thành V cho phép tạo từ cặp vectơ x, y ∈ V vectơ gọi tổng chúng, kí hiệu x + y Phép nhân vectơ với số, gọi phép nhân với vơ hướng, luật hợp thành ngồi trên V cho phép tạo từ vectơ x ∈ V số thực k ∈ R vectơ gọi tích chúng, kí hiệu kx Nếu 10 điều kiện sau thảo mãn với x, y, z ∈ V k, i ∈ R tập V gọi không gian vectơ trường R: (1) Nếu x y ∈ V x + y ∈ V; (2) x + y = y + x, ∀x, y ∈ V; (3) x + (y + z) = (x + y) = z, ∀x, y, z ∈ V; (4) Tồn vectơ θ ∈ V cho θ + x = x + θ = x, ∀x ∈ V; (5) Với x ∈ V tồn vectơ −x ∈ V cho x + (−x) = (−x) + x = θ; (6) Nếu k ∈ R x ∈ V kx ∈ V; (7) k(x + y) = kx + ky ; (8) (k + l)x = kx + lx; (9) k(lx) = (kl)x; (10) 1.x = x Ví dụ 1.1.2 Xét Rn tập mà phần tử n số thực có thứ tự (x1 , x2 , , xn ), gọi vectơ n thành phần Xét x = (x1 , x2 , , xn ) y = (y1 , y2 , , yn ) Phép cộng vectơ phép nhân với vô hướng định nghĩa sau x + y = (x1 + y1 , x2 + y2 , , xn + yn ), kx = (kx1 , kx2 , , kxn ), k ∈ R Ngoài x = y xi = yi , ∀i Với phép toán trên, dễ dàng kiểm tra Rn không gian vectơ (thực) Dưới số tính chất đơn giản không gian vectơ: Mệnh đề 1.1.3 (a) Phần tử trung hòa θ nhất, gọi vectơ khơng (b) Phần tử đối xứng −x vectơ x thuộc V (c) ∀x ∈ V ta có 0x = θ (d) ∀x ∈ V ta có −x = (−1)x (e) ∀k ∈ R ta có kθ = θ (f ) Với x ∈ V, k ∈ R ta có: kx = θ k = x = θ 1.1.2 Không gian hệ sinh Định nghĩa 1.1.4 Cho V không gian vectơ, W tâp V Nếu với hai phép toán V, W khơng gian vectơ W gọi không gian V Như muốn chứng tỏ W ⊂ V không gian V ta phải chứng minh thân W với hai phép toán cộng vectơ nhân vectơ với số định nghĩa V, thỏa mãn 10 tiên đề không gian vectơ Định lý sau giúp cho việc chứng W ⊂ V khơng gian V đơn giản Định lý 1.1.5 Cho V không gian vectơ, W ⊂ V, W 6= ∅ Để W không gian V điều kiện cần đủ hai tính chất sau thỏa mãn: (a) Nếu u v ∈ W u + v ∈ W (tức W đóng kín phép cộng vectơ) (b) Nếu k ∈ R, u ∈ W ku ∈ W (tức W đóng kín phép nhân vectơ với số thực) Định nghĩa 1.1.6 Cho V không gian vectơ, S họ vectơ {x1 , x2 , , xn } V Biểu thức c1 x1 + c2 x2 + + cn xn , với ci ∈ R, vectơ thuộc V gọi tổ hợp tuyến tính vectơ họ S, hay nói gọn tổ hợp tuyến tính họ S Tập hợp tất tổ hợp tuyến tính S gọi bao tuyến tính S, ký hiệu span(S) Định lý 1.1.7 W = span(S) không gian V Định nghĩa 1.1.8 Cho V không gian vectơ, S ⊂ V Nếu span(S) = V, tức x ∈ V có biểu diễn x = c1 x1 + + cn xn ta nói S hệ sinh V a21 a22 a23 a31 a32 a33 đặt hai bên, chẳng hạn Định thức ma trận cấp n gọi định thức cấp n 1.3 1.3.1 Giá trị riêng Khái niệm giá trị riêng vectơ riêng ma trận Định nghĩa 1.3.1 Giả sử A ma trận vuông cấp n Số λ gọi giá trị riêng A phương trình ma trận Ax = λx, x ∈ Rn ,   x1 (1.3)   x     2   có nghiệm x =   6=   Vectơ x 6= θ gọi vectơ riêng ứng với giá trị     xn riêng λ 10 Lưu ý (1.3) hệ phương trình tuyến tính với ma trận hệ số A − λI , đó, I ma trận vng cấp n có phần tử nằm đường chéo 1, cịn phần tử khác 0, gọi ma trận đơn vị Theo tính chất hệ phương trình tuyến tính hệ có nghiệm khác khơng định thức ma trận hệ số khơng Định nghĩa 1.3.2 Phương trình det(A − λI) = gọi phương trình đặc trưng ma trận vng A, cịn đa thức det(A−λI) gọi đa thức đặc trưng A Như vậy, giá trị riêng A nghiệm phương trình đặc trưng A 11 Chương Khái niệm số tính chất ma phương Trong chương chúng tơi trình bày khái niệm ma phương, ví dụ ma phương số tính chất ma phương Đặc biệt, thấy rõ cấu trúc không gian vectơ tập ma phương, số tính chất tích vơ hướng hàng, cột số tính chất giá trị riêng ma phương Tài liệu chương [2], [5] [10] 2.1 Khái niệm ma phương Định nghĩa 2.1.1 Một ma phương cấp n ma trận vuông gồm n2 số thực thỏa mãn điều kiện tổng phần tử nằm cột hàng, đường chéo đường chéo phụ, số, gọi số ma phương (hoặc tổng ma phương), kí hiệu σ(M ) Tập hợp tất ma phương cấp n kí hiệu MS(n) Tập hợp tất ma phương cấp n có số ma thuật m kí hiệu mMS(n) Một hàng ma phương kí hiệu R với số dưới, chẳng hạn Ri hàng i Tương tự, cột ma phương kí hiệu C với số dưới, chẳng hạn Cp cột p Tập hợp số tự nhiên ký hiệu N Tích vơ hướng hay cịn gọi tích hai cột (hàng) p q tổng tích phần tử tương ứng p q Nghĩa ma trận A, tích vơ 12 hướng hàng Rp Rq tính cơng thức Rp · Rq = n X api aqi , i=1 tích vơ hướng cột Cp Cq tính cơng thức Cp · Cq = n X aip aiq , i=1 aij phần tử thuộc hàng i cột j A Bên cạnh khái niệm ma phương nêu trên, dựa vào số tính chất đặc trưng (có thể đơn giản hay phức tạp hơn), người ta định nghĩa số loại ma phương khác Dưới số loại ma phương phổ biến thường gặp Đây chưa phải tất loại ma phương nhiên ma phương liệt kê hay nhắc đến phổ biến Thông thường, phần tử ma phương số tự nhiên 1, 2, , n2 , số xuất lần Một ma phương gọi ma phương thông thường ma phương cổ điển Dưới ví dụ ma phương cổ điển cấp với số ma phương 15:       Bán ma phương ma trận cấp n × n cho tổng phần tử hàng hay cột Ở khơng có điều kiện phần tử nằm đường chéo Một ví dụ bán ma phương cấp sau   17 24 15    23 14 16     25 11 18  ,    19 10 21 12    13 20 22 tổng hàng, tổng cột có giá trị 65, tổng đường chéo có giá trị 60, tổng đường chéo phụ có giá trị 55 Một diabolic, pandiagonal , ma phương hoàn hảo M ma phương với tính chất bổ sung tổng đường chéo mở rộng song song với đường chéo đường chéo phụ số ma thuật σ(M ) 13 Một ma phương đối xứng ma phương với tính chất bổ sung "tổng hai số hai ô đối xứng qua tâm ma phương nhau" Đối với ma phương đối xứng, nhân n với tổng cặp số đối xứng qua tâm ma phương cho giá trị tổng ma phương Một ma phương đồng tâm ma phương mà ta bỏ hàng cùng, hàng cùng, cột bên trái cột bên phải ta thu ma phương Dưới ví dụ bốn ma phương đồng tâm (ta bỏ ba lần hàng, cột bên ngoài):             49 15 16 33 30 31 43 39 38 40     48 37 22 27 26 13    47 36 29 25 21 14  18 24 23 28 32 42   19 34 17 20 35 41   10 45 44 11 12 42 Một ma phương không ma phương có số ma phương Tập hợp tất ma phương không cấp n kí hiệu 0MS(n) Rõ ràng, ma phương khơng khơng thể ma phương thơng thường phải chứa giá trị âm Dưới ví dụ ma phương khơng   11 −12   10 −8 −6   −9 −7   −3 −1  −2 12 −5       −10  −11 −4 Ma phương hình học hay ma phương tích ma trận vng số cho tích phần tử hàng, cột, đường chéo đường chéo phụ số, gọi tích ma phương Dưới ví dụ ma phương tích đưa King [6, tr.23] với tích ma phương 746496:   432     54 18 16 72 24 36 12 108   216  48 144 