Cđ6 tìm ẩn chưa biết 3

Dạng 10: Tìm ẩn với điều kiện nguyên Bài 1: n 1 Tìm tất số nguyên n để phân số n  có giá trị số nguyên Lời giải n 1 n   3  1  n n Xét phân số n  n 1  1; 3 Để n  số nguyên  3n   n   Ư(3)  Từ ta có: n 3 1 n 1 n 1   1;1;3;5 Vậy n  Ư(3)  n  số nguyên Bài 1: Cho A 2n   n 2  n Tìm số nguyên n để A số nguyên Lời giải Ta có A 2n   n    7  2  n n n Để A số nguyên n  phải số nguyên  n    U    1; 7 Do , nên ta có bảng sau: n -7 -1 n -5 TM n   TM TM n   TM n   n Vậy n    5;1;3;9 A số nguyên Bài 1: x 3 Tìm giá trị nguyên x để x  nhận giá trị nguyên Lời giải x 3 x  25  1     x  U    1; 5 x x Ta có x   x    3;1;3;7 Vậy x    3;1;3;7 Bài 1: Tìm số nguyên  n để 4n  chia hết cho 2n  Lời giải Ta có: Vì 4n  2  2n  1   2n  1 2n  với n   Nên để 4n  52n  32n 1  2n  1 Ư(3)   3;  1;1;3 Ta có bảng giá trị sau: Vậy 2n  -3 -1 n -2 -1 n    2;  1;0;1 4n  52n  Bài 1: Tìm số tự nhiên n cho 2n  7n  Lời giải Ta có: 2n  n    n  1  5 n 1  5 n  1  n   U    1;5  n  N   n   0; 4 Bài 1: 2n  Tìm số nguyên n để phân số n  có giá trị số nguyên Lời giải 2n  Để n  có giá trị số nguyên 2n  1n  (1) n   n  2   Vì n  2n  nên  (2)   n     2n  1  n  Từ (1) (2)   3n  2 n     1;  3;1;3  n    3;  5;  1;1 Vì n  nguyên nên Vậy với  n    3;  5;  1;1 2n  phân số n  số nguyên Bài 1: Tìm số tự nhiên n để biểu thức sau số tự nhiên: B 2n  5n  17 3n   n2 n2 n2 Lời giải B Ta có:  2n  5n  17 3n 2n   5n  17  3n 4n  19     n2 n2 n2 n2 n  số nguyên 4(n  2)  11 11 4  n2 n2 11 Để B số tự nhiên n  số tự nhiên  11 n    n   U  11  1; 11 Do n   nên n  11  n 9 Vậy n 9 B  N Bài 1: 2 Tìm n để n  n  n  n  Lời giải Ta có: n3  n  n  n   n3  n   n  1  8n   n  n  1   n  1  8n   n  1 U    x  x     x    3x   x   U   Bài 1: Tìm cặp số nguyên K  x; y  để biểu thức sau có giá trị nguyên: 3x  x  y    x  y   x Lời giải Để K 3x  x  y    x  y    3x    x  y   3  x    x  y   x x x có giá trị ngun thì: Phải có giá trị nguyên hay Vậy 1x   x   U  1  x     1;1  x 3, x 1 x   1;3 Bài 1: Tìm số nguyên n để B 2n  3n  có giá trị nguyên Lời giải Để B 2n  3n  có giá trị ngun  2n  3  3n     2n  3  3n     2n  3   3n    3n    5 3n    3n    1; 5  n    1;1 (vì n  ) Bài 1: n 1 Tìm tất số nguyên n để phân số n  có giá trị số nguyên Lời giải n 1 n  số nguyên  n  1  n   Ta có Vậy n    n    3  n  1  n   (n  2) (n  2)  Ư(3)   3;  1; 1; 3  n    1; 1; 3; 5 Bài 1: Cho A n n 3 a) Tìm điều kiện n để A phân số b) Tìm giá trị nguyên n để A số nguyên Lời giải n   n   n    n  n  phân số n  0 a) Để n A 1  n 3 n 3 b) Ta có A n  3  U    1; 5 Để A số ngun  Ta có bảng: n 3 5 1 n 8 4 2 n    8;  4;  2; 2 Vậy để A số nguyên Bài 1: Cho Q 27  x 12  x Tìm số ngun x để Q có giá trị nguyên ? Lời giải Điều kiện: x  , x 12 Biến đổi: Q 27  x  12  x   3  2  12  x 12  x 12  x  Ta có:  ; x  ; x 12 nên Q có giá trị nguyên 12  x    12  x  U (3)   3;  1;1;3  x   15;13;11;9 Mà 12  x Vậy Q nguyên x   15;13;11;9 Bài 1: Tìm x, y nguyên biết xy  3x  y 6 Lời giải xy  3x  y 6  x  y  3   y   3   x  1  y  3 3.1 1.3   1         1 Ta có Ta có bảng sau: Vậy x 1 1 3 y 3 3 1 x 2 y 6 4 2  x; y    2;0  ;  4;   ;  0;6  ;   2;    Bài 1: Tìm số nguyên x, y biết x  xy  y  0 Lời giải Ta có: x  xy  y  0  x  xy  y  0  x   y     y  5   x  1   y  5 Ta có bảng sau 2x  1 -1 -5 1 y -5 -1 x -2 y -2 Thỏa mãn Thỏa mãn Thỏa mãn Thỏa mãn Bài 1: A Cho biểu thức: 4x  3x2  x  ;B x x a) Tìm giá trị nguyên x để biểu thức có giá trị nguyên b) Tìm giá trị nguyên x để hai biểu thức có giá trị nguyên Lời giải a) Ta có: A x   x   1  4  x x x Với x    x     x     1;1  x   1;3 Để A nguyên x  nguyên x  x  x  x  3  2 B  3 x  x x x Với x    x     x   U    1; 2  x   1; 2; 4;5 Để B nguyên x  nguyên b) Từ câu a) b) suy A, B nguyên x 1 Bài 1: Tìm số nguyên x y biết: xy  y  x 9 Lời giải Ta có: xy  y  x 9 y  x  3   x  3 6  x  3  y 1 6 Vì x, y số nguyên nên nên:  x  3  y 1 ước  y 1 số lẻ  x  6  x 9    +  y  1  y 0  x     + 2 y    x  2   y    +  x    y   x 5   y 1  x    x 1    + 2 y    y  Bài 1: Tìm tất cặp số nguyên x, y cho x  xy  y 0 Lời giải Ta có Vậy x  xy  y 0  x   y   y 0    y   x   y  1    x    y  1 1 x -1 1 y -1 x y  x; y    0;0  ;  2;   Bài 1: x 1  x; y  y Tìm cặp số nguyên  thoả mãn Lời giải x x 5 1      x    y  1 5 y  y  Ta có:  1; 5 Do x, y   nên x  y y  ước 5, Ư(5)  Ta có bảng giá trị tương ứng sau: x 5 -5 -1 y -1 -5 x -10 -6 -4 y -4 x; y     4;  ;  0;  ;   6;  ;   10;0   Vậy cặp số nguyên cần tìm là:  Bài 1: Tìm số nguyên n để phân số M 2n  n  có giá trị số nguyên Lời giải Ta có: M 2n  2n  10   n    3   2  n n n n   n  Vì   nên để M   n  ước Lập bảng: Vậy với n   0; 4; 6;10 n 1 5 n (tm) (tm) 10 (tm) (tm) M có giá trị số nguyên Bài 1: Tìm số tự nhiên x, y biết xy  x  y 148 Lời giải Ta có xy  x  y 148   xy  y   x  148    x  1  y   143 Do 143 1.143 11.13 nên ta có bảng sau 2y  14 11 13 14 13 11 x 14 10 12 y 74 Bài 1: x; y  Tìm cặp số nguyên dương  biết xy  x  y 13 Lời giải Từ 3xy  x  y 13  x  y  1  1  y  1  13   y  1 x  13 40 3 (*)  x (loại) y Vì x, y nguyên dương 13  3 y  1 3x  1   y  1 ;  x  1 hai số nguyên dương nên từ (*) suy  ước 40 3x  1 Mặt khác  số chia dư nên ta có bảng sau: 3x  1 y 1 40 10 x; y  x; y   1;3 Vậy cặp số nguyên dương  thảo mãn mãn toán  Bài 1: Cho A 2 xy  10 x  y Tìm số nguyên x, y để A 28 Lời giải Ta có: A 2 xy  10 x  y  xy  10 x  y 28  x  y    y  15 13  x  y     y   13   x  3  y  5 13 1.13 13.1   13  13  Từ ta có cặp  x; y     1;18 ;  5;6  ;   2;  8 ;   8;  Bài 1: Tìm số nguyên x y biết xy  x  y 3 Lời giải Ta có: xy  x  y 3  xy  x  y  5   y  1  x   5 y  1 U    1; 5 Vì x, y   nên Ta có bảng giá trị sau : -5 -1 y -4 x2 -1 -5 x -3 -7 -1 y x; y      3;   ,   7;0  ,  3;  ,   1;   Vậy cặp số nguyên x; y thỏa mãn  Bài 1: Tìm x; y nguyên biết x  xy  y 17 Lời giải Ta có x  xy  y 17  x  y      y  23   x     y  23 Ta có bảng: Vậy x2 1  23 23 y 3  23 23 1 x 3 1  25 21 y  26 20 4 2  x; y      3;  26  ;   1; 20  ;   25;   ;  21;    Bài 1: Tìm x,  y nguyên biết: x  y  xy 40 Lời giải Ta có x  y  xy 40  x  y  xy  41  x  y  1   y  1 41   x  1  y  1 41 Mà 41 có cách phân tích thành tích cặp số nguyên sau 10  x  1; y  41  x 0; y 40  x  41; y  1  x 40; y 0      x   1; y   41  x  2; y  42   41   1 ( 41) 1.41  x   41; y    x  42; y  Vậy  x,  y     40;  ;  0; 40  ;   2;  42  ;   42;    Bài 1: Tìm số nguyên x, y biết: xy  x 25  y Lời giải Ta có: xy  x 25  y  x  y   25  y (1) +) Nếu y  phương trình (1) vơ nghiệm +) Nếu y  phương trình (1) trở thành: Để x, y nguyên Lập bảng Vậy x y  25  y    5  5  y 4 y 4 y4 y    1; 5 y 4 5 1 y 9 5 3 x 10  x, y   4;   ,  0;  5 ,  10;  3 ,  6; 1 Bài 1: Cho số nguyên a, b, c, d thỏa mãn: a  b c  d rằng: c d a.b  c.d Chứng minh Lời giải Từ a  b c  d  a c  d  b , thay vào a.b  c.d ta được:  c  d  b  b 1 c.d  cb  db  cd   b 0  b  c  b   d  c  b   0   b  d   c  b   Vì a, b, c, d số nguyên nên sau: b  d    c  b   + TH1:  b  d  ,  c  d  số nguyên, ta có TH d b   c d  c b  11 b  d 1  d b     c d  c  b  c  b    + TH2: Bài 1: 2019 y x; y  1 Tìm tất cặp số nguyên  thỏa mãn: x  x 3 Lời giải + TH1: Với y  , ta có: VP 3 2019 y  không số nguyên VT  x  x số nguyên (loại) x  x 32019 y   x  x 2  x  x  1 2  x 1 + TH2: Với y 0 , ta có 2019 y  chia dư + Với y 1 , ta có: VP 3 x  Vì x nguyên nên x có dạng 3k ;3k  1;3k  VT x  x 1 3 Với x 3k x 3k  VT x  x  1 Với x 3k  chia dư (loại) x; y  1;0 ;  2;  Vậy cặp số nguyên  cần tìm là:    Bài 1: 5 31   1  :   x   : 3,  4,5.1  :   21  45   2  Tìm tập hợp số nguyên x biết rằng: 18 Lời giải 5 41 18 :    2   41 Ta có: 18 31     16 76  43  38          : 3,  4,5.1  :   21     : 45     16 45    43 Lại có  Do 5x 2 , mà x    x    4;  3;  2;  1 Bài 1: HSG Huyện Gia Viên, năm học 2020-2021 12 Tìm x, y nguyên biết xy  3x  y 6 Lời giải Ta có: xy  3x  y 6  x  y  3   y   6    x  1  y  3 3 Mà x; y  Z  x  1 Z ; y   Z   x  1  y  3 3 1.3 3.1   1   3      1 Ta có bảng giá trị: Vậy x 1 1 3 y 3 3 1 x 2 y 2 6 4  x; y    2;0  ;  4;   ;  0;6  ;   2;    Bài 1: HSG Lục Ngạn, năm học 2020-2021 y Tìm số nguyên không âm x,  y cho x 3  35 Lời giải 2 + Với y 0  x 1  35 36 6 x 6 x  ,  x 0 y y + Với y  x  3  36 3 mà  35 36  x 36  x 6 x  ,  x 0 nên x 3k ; x 3k 1; x 3k  2, k  N * 2 Với x 3k  x  9k  chia cho dư 1, khơng có giá trị thỏa mãn 2 Với x 3k   x  9k  6k  chia cho dư 2, khơng có giá trị thỏa mãn 2 Với x 3k   x  9k  12k   chia cho dư 2, khơng có giá trị thỏa mãn Vậy x 6;  y 0 Bài 1: HSG Bá Thước, năm học 2020-2021 Tìm số nguyên (x;y) thỏa mãn: x  y 3 xy  Lời giải Ta có: x  y 3 xy   3xy  x  y  0  xy  x  y  0 13  x(3 y  1)  2(3 y  1)  0  (3 y  1)(3x  2)  mà x, y  Z  (3 y  1),(3x  2) ước  Ta có   1.7  7.1 Từ ta tìm giá trị x, y bảng sau : 3y  1 3x  7 y 2 7 5 x 1 3 Vì x, y  Z nên ( x; y ) (1;  2) ( x; y) (3;0) Bài 1: HSG Việt Yên, năm học 2020 - 2021 Tìm x, y nguyên, biết xy  x – y 5 Lời giải Ta có: xy  2x  y 5  x  y    y  3  x  y     y   3   y    x  1 3 y  2 x  1 Vì x, y số nguyên nên   số nguyên   y  2 x  1  ước 3; Ư(3) = {1; - 1; 3; - } Ta có bảng sau:  y  2  x  1 -1 -3 -3 -1 y x -1 -3 -2 -5 Vậy x 4 y  x  y  x 2 y 1 x 0 y  Bài 1: HSG Triệu Hoá, năm học 2020 - 2021 100  y 8  x  2021 Tìm x, y nguyên, biết Lời giải 14 Ta có 100  y 8  x  2021 Do  x  2021 0 2 suy 100  y 0  100  y  y   0;1; 4;9;16;25;36; 47;64;81;100 Với  100  x  2021 (loại x  Z ) Với  y 36  100  y 64 8  x  2021 64 8  x  2021 (loại x  Z ) Với  y 25  100  y 75 8  x  2021 75  x  2021 (loại x  Z ) Với  y 16  100  y 84 8  x  2021 84  x  2021 (loại x  Z ) Với  y 9  100  y 91 8  x  2021 91  x  2021 (loại x  Z ) Với  y 4  100  y 96 8  x  2021 96 12  x  2021 (loại x  Z ) Với  y 1  100  y 99 8  x  2021 99  x  2021 (loại x  Z ) Với  y 0  100  y 100 8  x  2021 y 49  100  y 51 8  x  2021 51  x  2021 (loại x  Z ) Với y 64  100  y 36 8  x  2021 15 với x  36  x  2021 (loại x  Z ) Với  y 81  100  y 19 8  x  2021 19  x  2021 (loại x  Z ) Với y 100  100  y 0 8  x  2021   x  2021  x 2021 Vậy y 10; y  10 Do  x; y   2021;10   x; y   2021;  10  Bài 1: HSG Chương Mỹ, năm học 2020 - 2021 3a  1 b 3  a   Tìm số nguyên a, b thỏa mãn:  Lời giải 3a  1 b 3  a   Ta có   3a  1 b 3a    3a  1 b   3a  1 5  3a 1  b  1 5 Vì a, b số nguyên nên ta có trường hợp sau: 3a  1   Trường hợp 1: b  5 a 0  b 6 2  3a   a     b   b  Trường hợp 2: (khơng thỏa mãn a khơng số ngun) Trường hợp 3: 3a  5   b  1  a   b 2 (khơng thỏa mãn a khơng số ngun) 3a     b    Trường hợp 4: a   b 0 a, b  0,  2,  Vậy cặp số nguyên  thỏa mãn là:   ;  16 Bài 1: HSG Yên Thành, năm học 2020 - 2021 2 Tìm x, y  N biết 25  y 8( x  2009) Lời giải 2 Ta có: 25  y 8( x  2009) (*) Vì  x  2009  0  25  y 0  y 25 mà y  N   y 5 Vì 82  (25  y )2  y số lẻ  y   1;3;5 25  12 8  x  2009   24 8  x  2009  Khi y 1 thay vào (*) ta có:   x  2009  2 loại x  N Khi y = 3, thay vào (*) ta có:  16 8  x  2009    x  2009  25  32 8  x  2009  loại x  N 25  52 8  x  2009  Khi y 5 thay vào (*) ta có: 2 2  8  x  2009    x  2009   x 2009 (thoả mãn điều kiện đề bài) Vậy x 2009; y 0 Bài 1: HSG Thanh Trì, năm học 2020 - 2021 2020 y 1 Tìm số nguyên x, y để x  x 3 Lời giải +) Trường hợp y  , ta có: VP  x  x  x( x  1) số nguyên 2020 y VT 3  không số nguyên (vì a n  a n với a 0 , n nguyên dương)  Trường hợp loại 2020.0   x( x  1) 2 1.2      1 +) Với y 0 , ta có x  x 3 Vì x   nên x  x   x 1 x  Khi x 1 y 0 ; x  y 0 +) Với y  , ta có: 17 VP x  x x  x  1 tích hai số nguyên liên tiếp nên x  x chia hết cho chia cho dư VT 32020 y  chia cho dư  Trường hợp loại Vậy, cặp số nguyên  x; y  cần tìm là:  1;0  ;   2;0  Bài 1: HSG Thanh Ba, năm học 2019 - 2020 x 1   x , y y Tìm số nguyên biết Lời giải ĐK: y 0 Ta có (1)  xy    xy  2 y   x   y 8 8y  x  2; y ước Ta có bảng tính sau: x y x 1 2 4 8 4 2 2 8 1 6 10 x; y  Vậy, ta tìm cặp số nguyên  là:  1;  8 ;  3;8 ;  0;   ;  4;  ;   2;   ;  6;  ;   6;  1 ;  10;1 Bài 1: HSG Cửa Lò, năm học 2021 - 2022 y   Tìm số nguyên x, y biết: x Lời giải y y 1 y        x (1  y ) 40 Ta có x x Vì x, y  Z x(1  y ) 40   y ước lẻ 40 tức  5;  1;1;5 Từ ta tìm giá trị x, y bảng sau : 1 y y x 5 8 1  40 2 40 Bài 1: HSG Kỳ Anh, năm học 2020 - 2021 18  2020.a  b   2020a  2020.a  b  2021 Tìm số tự nhiên a, b cho: Lời giải  2020.a  b   N,  2020a  2020.a  b   N +) Vì a, b  N nên Lại có  2020.a  b   2020a  2020.a  b  2021 mà 2021 43.47  2020.a  b  43   a 2020  2020.a  b  47  +) Trường hợp 1: 2020.a  b 38  a, b    a 2020 9  2020.a  b  47   a 2020  2020.a  b  43  +) Trường hợp 2: Vậy a 0; b 42 2020.a  b 42   a 2020 1  b 42  a 0 Bài 1: HSG Việt Yên, năm học 2020 - 2021 (2020a  3b 1)(2020a  2020a  b) 225  * a , b Tìm số tự nhiên cho: Lời giải Nếu a 0 2020a  3b 1  2020a  2020a  b  số lẻ Vì 225 số lẻ nên  a Vì a 0 nên 2020a 2020 số chẵn 2020a  3b  1 +) Để  số lẻ 3b  phải số lẻ suy b phải số chẵn +) Để  2020 a  2020a  b  số lẻ b phải số lẻ (vơ lý)  a 0  N thay vào (*) ta  3b  1  b  1 225   3b  1  b  1 25.9   3b  1  b  1  3.8  1   1  b 8  N Vậy a 0 b 8 Bài 1: HSG Việt Yên, năm học 2020 - 2021 Tìm số nguyên x, y biết x  21x  15 xy  35 y  11 0 Lời giải Ta có: x  21x  15 xy  35 y  11 0  (3 x  7)(3x  y )  11  1.11 1.( 11) 3 x  1   3 x  y  11 TH1: 3 x     TH2: 3 x  y 11   x    y 11  (loại)  x 2   y  (thỏa mãn) 19  x 6 3 x  11     19 3 x  y   y  (loại)  TH3:  3 x   11  x     3 x  y 1  y  TH4: (loại) Vậy:  x; y   2;  1 20