Một số dãy khớp ngắn trong giải tích hàm

Trang 1

BO GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

Trang 2

LOI CAM ON

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến tiến sĩ Đậu Thế Cấp, đã

hướng dẫn tận tình để tôi thực hiện luận văn này

Xin cảm ơn tất cả các thầy cô ở Khoa Toán - Tin Học Trường Đại

Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh và Khoa Toán - Tin Học Trường

Đại Học Khoa Học Tự Nhiên Thành Phố Hồ Chí Minh đã trang bị cho tôi những kiến thức toán học cần thiết

Xin cảm ơn các bạn đồng nghiệp ở Khoa Toán - Tin Học Trường Cao Đẳng Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh đã động viên, giúp đỡ để tôi

theo học và thực hiện luận văn này Xin cảm ơn những người thân, bạn bè

đã hỗ trợ tỉnh thần để tôi có thể hoàn thành được khóa học

Trần Đình Anh

Trang 3

Muc luc

Lời nói đầu

Chương I : Các kiến thức chuẩn bi

§ 1.1 Không gian véctơ — Anh xạ tuyến tính § 1.2 Khơng gian véctơ tơpơ

§ 1.3 Không gian đối ngẫu - Tập cực § 1.4 Cặp đối ngẫu

§ 1.5 Tổng và tích trực tiếp

Chương II : Các dãy khớp ngắn trong giải tích hàm § 2.1 Định lý về ảnh đóng

1 Định lý về ảnh đóng trong lớp các không gian Banach

2 Định lý về ảnh đóng trong lớp các khơng gian Fréchet

§ 2.2 Các dãy khớp ngắn

I Dãy khớp các ánh xạ tuyến tính liên tục

2 Dãy khớp của các đồng cấu tơpơ

§ 2.3 Khơng gian tựa khả định chuẩn

1 Dãy khớp ngắn của các không gian tựa khả định chuẩn

2 Dãy khớp ngắn của không gian tích

Chương III : Một số ứng dụng § 3.1 Không gian

Trang 4

LOI NOI DAU

Công cụ đại số đồng điều đã được sử dụng một cách rất hữu hiệu

trong rất nhiều ngành toán học khác nhau

Trong luận văn này, tôi xin trình bày về các dãy khớp ngắn trong

giải tích hàm một vấn đề mới được các nhà toán học quan tâm trong

khoảng ba mươi năm trở lại đây

Ngoài chương [ trình bày một số kiến thức chuẩn bị, nội dung chính

của luận văn là chương II và chương II

Chương II : Các dãy khớp ngắn trong giải tích hàm

Trong § 2.1 trình bày các định lý về ảnh đóng (định lý 2.1.1, 2.1.2)

cho một loạt các điều kiện tương đương để một ánh xạ tuyến tính liên tục

trên các không gian Banach hoặc không gian Fréchet có ánh đóng Các điều Kiện này được áp dụng để xét tính khớp của một dãy

Trong § 2.2 chúng tôi trình hày về các dầy khớp ngắn giữa các

không gian Fréchct với cấu xạ là ánh xạ tuyến tính liên tục hoặc cấu xạ là đồng cấu tôpô Kết quả chính của tiết này là định lý 2.2.1 và 2.2.2 khẳng định : Nếu dãy : @——>ÈE——ƑF——G —+O (1) là khớp với cấu xạ là ánh xạ tuyến tính liên tục thì : O———€Œ`'`"——.Ƒ`'———.Ƒ.' —O (2)

cũng là khớp với cấu xạ là ánh xạ tuyến tính liên tục, ngoài ra dãy (2) là

khớp tôpô nếu và chỉ nếu mọi tập bị chặn B trong G, tồn tại tập bị chặn M

trong F sao cho Q(M) = B

Trong § 2.3 chúng tôi trình bày về không gian tựa khả định chuẩn Kết quá chính của tiết này là định lý 2.3.4 cho các điều kiện tương đương

của một không gian tựa khả định chuẩn

Để chứng minh định lý 2.3.4 chúng ta cần dùng đến phân giải chính

tắc của không gian Fréchet

O +E -[[4,—_ |] 4, ——9

Trang 5

Định lý 2.3.2 khẳng định rằng phân giải chính tắc của một không

gian Fréchet là một day khớp ngắn Đây là một kết quả rất thú vị và có

một ý nghĩa độc lập

Chương III : Một số ứng dụng

Trong §.3.1 trình bày một số kết quả liên quan đến không gian w,

tính đếm được của K, với tôpô tích

Kết quả chính của tiết này là định lý Eidelheit (Định lý 3.1.1), định

lý này được chứng minh nhờ áp dụng định lý 2.1.2

Một hệ quả quan trọng của định lý Eidelheit là định lý Borel :

Mọi dãy ( bơ, trong , tôn tại một hàm số khả vi vô hạn trên [-l,l] sao

cho

ƒ”'(0) = ụ, với mọi j € Ñ, Ƒ”(0) = u, với mọi € Ñ,, Chẳng hạn đối với dãy (7) Je trong ta có hàm khả vi vô hạn

f(z) = +e“ thoả mãn ƒ”'(0) = , với mọi J €Đ,

Trong §.3.2 chúng tơi trình bày một kết quả về tính phổ dụng

thương của một lớp không gian Fréchet Hai kết quả của tiết này là :

Đinh lý 2.3.1 : Khơng gian /*(7) ©, s là phổ dụng đối với lớp

không gian Fréchet E có tinh chat (DNDZ) véi densE < card!

Dinh ly 3.2.2 : Khong gian /'(I) 4, s 1a phd dụng thương đối với

lớp các không gian Fréchet E có tính chất (o0Z) với densE < card!

Hai kết quả này mở rộng cho các kết quả tương ứng trong [4]

Trong [4] các tác giả đã xét trương hợp cardE< cardT Dĩ nhiên có thể

xay ra densE < card] nhung cardE > card] Chang han v6i E = R va I=NÑ Ta có QC E va Q=R nén densE = w = card! nhung

cardE > cardl Vậy kết quả của chúng tôi mở rộng thật sự kết quả tương

ứng trong [4]

Trang 6

Các kết qủa của luận văn được trình bày rải rác trong các tài liệu tham khao [1], [3] và [4], đặc biệt là [1] Mục đích của luận văn, như tên gọi của nó, là trình bày một chuyên đề riêng về các dãy khớp ngắn trong giải tích hàm

Trong quá trình thực hiện, chúng tôi đã được một vài kết qủa mới, điều đó rất khích lệ chúng tôi trong học tập và nghiên cứu

Trần Dinh Anh

Trang 7

Chuong | Các kiến thức chuấn bị

ChươngI: CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

§ 1.1 KHÔNG GIAN VECTƠ - ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

I Anh xạ tuyến tính - Dãy khớp

Định nghĩa 1.1.1 :

Giá sứ F và F là các K- không gian veclơ |K = R hoặc K = C)

Anh xạA: E —› F' gọi là tuyến tính nếu :

A(Az + tt) = AAzr + pAy,vdimoi A, C K;z, € E

Nếu A là ánh xạ tuyến tính thì ta ký hiệu:

N(A) = KerA = {x € E: Ax=0} R(A) = ImA = { Ax: xe E}

Anh xạ tuyến tính A:E — K gọi là một phiến hàm tuyến tính (hay dạng tuyến tính ) trên E

Tập hợp tất cả các dạng tuyến tính trên E gọi là không gian

đối ngẫu đại số của E, ký hiệu là E` E” là K- không gian véctơ với

phép cộng và nhân như sau : U+z:1z 0(1) + z(1): À1 :+z > ÀU(z) với ,z€ E ;z€ E;Àc K Néu A: E — F la ánh xạ tuyến tính thì ánh xạ A: Fo E y r+ Ay = yod là ánh xạ tuyến tính, gọi là ánh xạ liên hợp của A Định nghĩa 1.1.2 : Giá sử (E, A) là một dãy các không gian vecto E và ¡cZ các ánh xạ tuyến tính A :E —¬ £ |

Trang 8

Chuong | Các kiến thức chuẩn bị

2 Tập lôi - Tập tuyệt đối lôi - Bao tuyến tính

Cho F là một không gian vectơ và M là một tập con của E

Tập M gọi là lôi nếu :

Àx+(1— ^)y eM với mọi x, y e M và À e [0,1]

Tập M gọi là tuyệt đối lôi nếu M z Ø và Àx + uy e M với mọi x, y e M và mọi Â, uw € K sao cho |X|+|u|=l:

Bao lôi của tập X là tập lôi nhỏ nhất chứa X, ký hiệu là

Conv(X)

Conu(X) = ISA, À, € R2, EX,1<j< n SA = Ìm € N|

j=l

Bao tuyệt đối lôi của X là tập

= [3A AGE KZ EXISTS n,>-|d| =lne N|

j=) j=) 5

Bao tuyến tính của X là không gian vecIơ con nhỏ nhất của E

chứa X, ký hiệu là Span(X)

Span(X) = {> Ar: € K,r ex}

hau han

§ 1.2 KHƠNG GIAN VECTƠ TƠPƠ

I Khơng gian vectơ tôpô

Không gian vectơ tôpô E là một không gian vectơ È cùng với mot tôpô tách trên nó sao cho phép c6ng +: Ex E — E va phép nhân vô hướng ‹ : KxÈ — E liéntuc

Một tôpô t trên một K-không gian vectơ E được gọi là tôpô của

không gian vectơ nếu (E, !) là không gian vectơ tôpô

2 Không gian lồi địa phương

Một không gian lôi địa phương E là một không gian vectơ tôpô E trong đó mỗi điểm của E có một cơ sở lân cận gồm các tập lồi

Một tôpô lôi địa phương trên E là một tôpô 1 trên E sao cho

(E,†) là không gian lôi địa phương

Trang 9

Chuong | Cac kién thite chudn bi

Định lý 1.2.1:

Với một không gian vectơ tôpô E, các phát biểu sau là tương

đương :

(1) E à không gian lôi địa phương

(2) Điểm 0 e E có mội cơ sở lân cận gầm các tập lôi

(3) Điểm 0 e E có một cơ sở lân cận gồm các tập tuyệt đối lôi 3 Không gian mêtric tuyến tính

Không gian vectơ X cùng với một mêtric d trên nó được gọi là mội không gian mêtric tuyến tính nếu với tôpô sinh bởi mêtric d, X là một không gian vectơ tôpô

Định lý 1.2.2 :

Với mỗi không gian lôi địa phương E, các phát biểu sau là

tương đương :

(1) E có một cơ sở lân cận đếm được của 0

(2) Tôn tại mêtric d trên E sao cho :

(i) (E, đ) là không gian mêtric tuyến tính

(ii) d cảm sinh tôpô trên È

(Hi) E và (E,đ) có cùng dãy Cauchy

Chú ý rằng một dãy (xạ) trong không gian vectơ tôpô gọi là

dãy Cauchy nếu với mọi lân cận V của 0, 3n, : VỚI mọi 1n,1\ Đ tị => 1„ — ở, CV

4 Không gian định chuẩn Định nghĩa 1.2.4 :

Không gian vectơ X cùng với một chuẩn ||-|| trên X gọi là một không gian định chuẩn

Không gian định chuẩn là một không gian lôi địa phương với tôpô sinh bởi chuẩn (tức là tôpô sinh bởi mêtric d(x,y) = |x - vÌ|):

Trang 10

5 Không gian đầy đủ

Không gian vectơ tôpô gọi là đây đủ (theo dãy) nếu moi dãy

Cauchy trong nó đều hội tu

Một không gian mêtric tuyến tính lôi địa phương, đầy đủ gọi là khéng gian Fréchet

Một không gian định chuẩn đây đủ gọi là không gian Banach

Rõ ràng không gian Banach là không gian Fréchet

Định lý 1.2.3 ( Định lý ánh xạ mở ) :

Giá sử E và F là các không gian mêtric tuyến tính đây đủ

Khi đó nếu A : E —› F` là toàn ánh tuyến tính, liên tục thì A là

ánh xạ mở

Định lý 1.2.4 ( Định lý đẳng cấu Banach) :

Giả sử E và F là các không gian mêtric tuyến tính đây đủ

Khi đó nếu A :E — F là song ánh tuyến tính, liên tục thi A"

là liên tục

Đặc biệt, mọi song ánh tuyến tính liên tục giữa các không gian Banach là đẳng cấu

Định lý 1.2.5 :

Giá sử t¡ và t› là hai tôpô của không gian véctơ tôpô trên một

K-không gian vectơ E, tôpô !›; mạnh hơn t¡ và có một cơ sớ lân cận cáa 0 cáa các tập 1¡- đóng

Khi đó mọi tập con t¡-đầy đủ của E la to-day di

On Mô tả tôpô bởi các nửa chuẩn

Giả sử E là một không gian lôi địa phương

Một họ ?⁄các lân cận của 0 trong E được gọi là một hệ cơ bản

các lân cận của 0 nếu mọi lân cận ⁄ của 0 tôn tại lân cận V e ⁄

và £ > 0 sao cho eV c Ù

Trang 11

Một họ ( I.) clic nita chuẩn liên tục trên E được gọi là Qe

một hệ cơ bản các nửa chuẩn nếu các tập hợp có dạng sau tao nên

một hệ cơ bản các lân cận của 0:

U, ={z€ E:lml, <1},a € A

Không gian lôi địa phương có hệ cơ bản các nửa chuẩn chỉ

gồm một chuẩn, đó là không gian định chuẩn

Không gian lôi địa phương có hệ cơ bản các nửa chuẩn

(IH.), „ là không gian mêtric tuyến tính với mêtric = 1 |x-yl

d(x.y)= 5 ——

G9) 2 oe Tepe yl,

Định lý 1.2.6 :

Giả sử E là một không gian lôi địa phương và (ILI,)„.¿ là mội

hệ cơ bản các nửa chuẩn trong E

Khi đó với mỗi ye E”, các phái biểu sau đây là tương đương:

(1) y liên tục

(2) Tôn tại œ e A và C > 0 sao cho |y(x}<C||x|L với mọi

xeE

(3) Tôn tại một lân cận U cúa 0 trong E sao cho

sue y(n) 0 xeU

7 Không gian thương Định nghĩa 1.2.7 :

Giả sử E là không gian lôi địa phương; ( I.) A là một hệ cơ

bản các nửa chuẩn E; F là một không gian con đóng của E

Khi đó không gian lôi địa phương | EJE.({-|,À 2 )#øi là Qe

không gian thương của E

Ở đây nửa chuẩn | - |, trên E cảm sinh một chuẩn | - |, trên

E/F xác định bởi ||x+F||, =in int +h, fix+yl

Trang 12

Chuong | Các kiên thúc chuẩn bị

Nếu F là không gian định chuẩn ( hay Banach), mêtric tuyến

tinh ( hay Fréchet) thì không gian thương cũng có tính chất tương ứng Định lý 1.2.7 : Giả sử E là không gian lôi địa phương và F là không gian con dong cua E Khi đó ánh xa thuong q:E > E/F la md Định lý 1.2.8 :

Giả sử E và G là các không gian lôi địa phương, P` là không

gian con dong cua F và q:E —> E/E là ánh xạ thương

Khi đó mọi A e L (E, G) sao cho F C N(A), tôn tại A L(E/F ,G) sao cho A = A=q

8 Phién ham Minkovski : Dinh nghia 1.2.8 : Giả sử E là K-không gian vectơ và A là một tập con tuyệt đối lôi của E Hàm Minkovski của A, ký hiệu || , là một phiếm hàm được xác định như sau : Hla: —> RU {oo} coe inf {t >0: rE tA} Dinh nghia 1.2.9 :

Gid su E la mét K-khéng gian vecta

Một tập con B CE goi la mét dia Banach nếu Ex=spanB cung

với hàm Minkovski | |, của B, B là một không gian Banach

Trang 13

Chuong | Các kiến thúc chuan bi

§ 1.3 KHÔNG GIAN ĐÔI NGÂU - TẬP CỰC

1 Không gian đối ngẫu

Cho È là một không gian véctơ tôpô

Khi đó tập E' các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên F gọi là đối ngẫu (tôpô) của E

E' là một không gian vectơ con của E` Định lý 1.3.1 ( Hahn-Banach ) :

Cho E là một không gian lôi địa phương; F` là một không gian

con cua E va p là một nửa chuẩn liên tục trên E Khi đó :

(a) Mỗi y e F`, tôn tại Y e E' sao cho Y= Ụ

(b) Mỗi :z e E, tôn tại y € E’ sao cho y(z)=p(z) va || < ø (c) Mỗi x e E, x #0 tôn tại y e E' sao cho y(x) # 0 2 Tập cực Định nghĩa 1.3.2 : Giả sử E là một không gian lôi địa phương; M c E và NCE' là các tập con khác rỗng Dat : M’ ={yeE' :ly(z)| <1 véimoi x € M} N’ ={xreEE: |wz)|<1 vdimoiy € N} Tap M° dugc gọi là cực của M trong E’ và N° được gọi là cực cua N trong E Nếu F`là không gian con cua E hay E’ thi F° dugc gọi là linh tu hod cua F Ta co: ;

F“ ={u€E': u(z) = 0 với mọi + € F} néuF CE, F° ={x€ E: (+) = 0 với mọi ụ € F} nếu ` C E'

Trang 14

Cnuong | Cá Kiên tThuc chuan Dj

Định lý 1.3.2 (Định lý song cực) :

Giả sử E là không gian lôi địa phương va A là tập con tuyệt đối lôi của FE

Khi đó A=(A*°)°= A°

Từ định lý 1.3.2 ta có : Không gian con E của không gian lôi

địa phương E trù mật trong E nếu và chỉ nếu F°={0)}

§ 1.4 CAP DOI NGAU

1 Tôpô yếu

Một cặp đối ngẫu là một cặp (E,F) của các K- không gian vectơ, ở đây F là một không gian con tuyến tính của F ”, tách các điểm của E

Với mỗi không gian lồi địa phương, theo định lý 1.3.1, thì cặp (E,E') cũng là cặp đối ngẫu

Nếu (E,F) là cặp đối ngẫu thì cặp (F,E) cũng là cặp đối ngẫu Định nghĩa 1.4.2 :

Giá sứ (E.F) là một cặp đối ngẫu

Khi đó tôpô lôi địa phương 1 trên E được gọi là (E,F) -chấp nhận được nếu (E,t)' = F

Giá sử (E,F) là một cặp đối ngẫu và e (F) là tập các tập con

hữu han cua F

Hệ nữa chuẩn (DM)M « aF) Py ite sup|y(x)| ,x€E cảm sinh

yEM

một tôpô lôi địa phương trên E

Tôpô này gọi là tôpô yếu trên E, ký hiệu là ơ (E,F)

Tôpô yếu là tôpô (E,F) - chấp nhận được yếu nhất trên F

Dinh ly 1.4.1 (Dinh ly Alaoglu-Bourbaki) :

Với mọi lân cận U của 0 trong không gian lôi địa phuong E,

U° la mội tập tuyệt đối lôi và of E’,E) - compact

Trang 15

2 .M- tôpô

Định nghĩa 1.4.4

Tập con B của không gian lôi địa phương E gọi là bị chặn nếu

với mỗi lân cân U của 0 tôn tại e > 0 sao cho e.B c Ù

Họ t8 những tap con bị chặn cáa E được gọi là hệ cơ bản

những tập bị chặn nếu với mỗi tập bị chặn A trong E, tổn tại B e t8

và A>0 sao cho A CAB

Ky hiéu : &(E) 1a tap tat ca cdc tap bi chan cua E

Dinh ly 1.4.2:

Gid su (E,F) la mét cap déi ngdu va Ml la mét ho cdc tap con

cua F théa man tinh chất sau:

(1) Mỗi M e€ Alla of E,F) - bị chặn

(2) Với moi M,, Mz € c(t t6n tai M3 € cll và Â >0 sao

cho M,U Moc AM3

(3) F=|J (ÂM: A>0, M eM)

Khi đó họ các nữa chuẩn (p„) „ Du) = sup|w(z)|,z € E M € yé M cảm sinh mội tô pô lôi dia phuong tytrén E {z€ È: p„() < 1) =M" Định lý 1.4.3 : Giá sử (E,F) là một cặp đối ngẫu và 1 là một 1ôpô lôi địa phương trên F Khi dé ton tai mét ho \ trong F sao cho t = t néu va chi nếu 1 có các tính chất sau : (l1) 1 mạnh hơn of £,F)

(2) † có một hệ cơ bản 'L các lân cận ø(E,F) - đóng

tuyệt đối lôi của 0

Mọi tôpô (E,E) - chấp nhận được đều có các tính chất nói

trên

Nếu F =(E,U' thì £ = £, với :

‹ [={U”:U là lân cận của 0 trong (E,t)}

Trang 16

Chuong | Các kiến thức chuấh bị Dinh nghia 1.4.5 :

Giá sử (E,F) là một cặp đối ngẫu

Khi đó (Í- tôpô cảm sinh bởi họ (Í tất cả các tập con tuyệt đối lôi,

ơ(F,E) - compact cua F goi la t6p6 Mackey, ky hiéu la 7 E, F)

Tôpô t(E,F) là tôpô (E,F) - chấp nhận được trên E

Dinh ly 1.4.4 (Dinh ly Mackey-Arens) :

Giả sử (E,F) là một cặp đối ngẫu

Khi đó một tôpô t trên E là (E,F) - chấp nhận được nếu và chỉ néu o(E,F) ct ct(E,F)

3 Tôpô mạnh

Giá sử (E,F) là một cặp đối ngẫu

Họ tất cả các tập con ơ(F` E) - bị chặn của F cam sinh

một ‹ [Í- tơpơ tương ứng trên E goi là tôpô mạnh, kỷ hiệu b(E,F) Với mọi cặp đối ngẫu (E,F), b(E,F) là LÍ- tơ pơ mạnh nhất

trên È

Một cơ sở lân cận cáa 0) vớt b(E,F) là :

+ = {U €E:U là tập ơ(E,F) — dong, hit va tuyệt đối lôi}

Trong cặp đối ngẫu (E'`,E) ta ký hiệu ø =ø(E',E), t =t(E',E),

b'=b(E',E)

Với mọi không gian lôi địa phương E, ta ký hiệu E' là không

gian lôi địa phương (E', b*)

Dinh ly 1.4.5 :

Gid sit (E),F)) va (E2,F>) la hai cdp déi ngdu; A: E — E,la

dnh xa tuyén tinh va A’: E, — E, la anh xa lién hyp cua A

Khi đó, ánh xạ: A :( E,.ø (E,.F;)) — (E,.ø (E,.F,)Ì

liên tục nếu và chỉ nếu A'(F›) CF

Trong trường hợp đó, anh xa:

A’ (Fo (F,,E,)) — (F.o(F,E,)) cung lién tuc

Trang 17

Cnuong | ác kien thức chuân bị

Định lý 1.4.6 :

Nếu dnh xa A:(E,,o(E,,F)) ¬ (E,.ø (E,.F,)) liên tục thì các

ánh xạ sau đây cũng liên tục : A:(E,b(E,,F)) ¬ (E,„b(E,„.E,)): 2 A’ :(F,,b(F,E,)) > (F,b(F,£,)) Dinh ly 1.4.7: Cho E),E2 la céc khéng gian loi dia phuong va A: E, = E, la ánh xạ tuyến tính liên tục Khi đó :

(a) A vẫn liên tục nếu tôpô yếu, mạnh hay Mackey được chọn trén ca hai khong gian E), E>

(b) Anhxa A’: E, > E lién tuc néu ca hai khong gian E’;

va E’> dugc trang bị tôpô yếu, mạnh hay Mackey

§ 1.5 TONG VA TICH TRUC TIẾP

Dinh nghia 1.5.1:

Cho họ (E,)¡ - ¡ là họ các không gian lôi địa phương

Tích trực tiếp [IE; là không gian lôi địa phương với tôpô tích

iel

Một họ cơ bản các nửa chuẩn cảm sinh ra tôpô tích là :

{p :p = max, e7“, € e(1), p, là nửa chuẩn liên tục trên E,,¡ € M}

Trong tổng trực tiếp @E;, ta ký hiệu 7 :E — © Ete I la

iel : Jel ánh xạ chính tắc

Tổng trực tiếp lôi địa phương là không gian lơi địa phương ® E; với tôpô cảm sinh bởi họ các nửa chuẩn:

iel

{p :(337(,)) }}p Ír,).p, là nữa chuẩn liên tục trên E, ,¡ € i} we] ref

Trang 18

Chuong | Các kiến thúc chuấn bị

Dinh ly 1.5.1:

Giả sử (E,) - ¡ là một họ các không gian lôi địa phương va F la

một không gian lôi địa phương Khi đó : 1) Với mọi họ (A,)¡ e;1rong [[LŒ,E,), tôn tại duy nhất ie] AeL(F,[JE,) saocho A=17 oA vdimoii El iel 2) Với mỗi họ (Aj); «1 trong I] L(E ,F), tôn tại duy nhất rel

Ac Uo EF) sao cho A, = Ae j, với mọi L e Ì

Ở đây ta ký hiệu L(E,F) là không gian các ánh xạ tuyến tính liên tục từ E_ và F Dinh ly 1.5.2 : Với moi ho (E\); «1 các không gian lồi địa phương, 1a có: (TT | = PE ; (SE) = [ỊE: wel Định lý 1.5.3 :

Trang 19

Chương II Các dãy khớp nạắn trong giái tích hàm

Chương II : CÁC DÃY KHỚP NGẮN TRONG GIẢI TÍCH HÀM

§ 2.1 DINHLY VE ANH DONG:

1 Định lý về ảnh đóng trong lớp các không gian Banach Định lý 2.1.1 : Giả sử E và F là các không gian Banach; A: b —› F` là một ánh xạ tuyến tính liên tục Khi đó, các mệnh đề sau tương đương : (1) R(A) đóng (2) R(A) = N(A')” (3) R(A’) dong trong E’ (4) R(A') = N(A)” Để chứng minh định lý 2.1.1, ta cần đến các bổ dé sau : 2 ak Bo dé 2.1.1:

Giả sử E và F là các không gian mêtric tuyến tinh, E day dii;

A: E — F là ánh xạ tuyến tính, liên tục và thỏa mãn điều kiện :

Với mỗie > 0, tồn tại một số õ > 0sao cho A(U (0) > U5 (0) Khi đó A là toàn ánh (*) Chứng minh : Trước hết, ta có nhận xét sau :

Nếu E là không gian mêtric tuyến tính thì :

(a) Với mỗi e >0, tổn tại một số õ > 0 sao cho :

z+U (0) C U,(z) và U () C z + (0) với mọi + € È (b)_ Với mỗi lân cận V của 0 trong E, ta có # = |J]mV

neN

Thật vậy, do tính liên tục đều của phép cộng nên với mỗi e >0, t6n tai mot 8 > O sao cho U(r) + U(y) C U(x + y) vai moi x, yeE

Chon y=0, ta dude x + Us (0) c U, (x)

Chon y= -x, ta dude Us(x) Cx+U, (0) Vay ta co (a)

Trang 20

Chương lÌ Các dãy khớp ngắn trong giái tích hàm I Vì phép nhân vô hướng liền tục val | là một dãy hội tụ về neN n 0 trong E với mỗi x e E nên ta được (b) LÌ

Bây giờ, ta chứng minh bổ đề 2.1.1

Với E và F là hai không gian mêtric tuyến tính

Giả sử cho e>0

Theo nhận xét (a) thì tổn tại ¡ > O sao cho: U,(x) x+U, (0) VỚI mỌi x € E Với e¡, theo giả thiết (*) của bổ đề 2.1.1, ta chọn được ỗ¡ > Ö sao cho : A(U,, (0) > Us, (9) Với õ¡, theo nhận xét (a), ta tìm được một 6>0 sao cho : +, (0) 5 U (0) với mọi ụ € F

Với mỗi beF ánh xạ y> y+b là một đồng cấu của F, ta có:

A(U,(x)) > A(x + Uy (0)) = Ax + A(U,, (0)) 2 Ax + Uy, (0) 5 Uạ(Ax)

VỚI mọi x e E

Vậy ta đã chứng minh được rằng :

Với mỗi e > 0.tồn tại Š > 0 sao cho CÁ 7= A(U (z)) 5 U (Az) với mọi z € È

Do E và F là không gian mêtric, E đầy đủ và A:E ->F là ánh

xạ liên tục thỏa mãn (**) nên theo định lý Baire về phạm trù ta có A là ánh xạ mở Với 0 e R(A), ta chọn ồ > 0 sao cho Ữ (0) C R(4) Vì A là ánh xạ tuyến tính và từ nhận xét (b), ta có : F = |jJnu,(0) Cc R(A) nen Vay A la toan anh L.j -T /ỷỷ——Ờ_ B941 01s se, - K na i { a tL PRE BG ` ~* ũ

thường Col-Hoco Sa P*fsesey È 2 AS se * oh orto - Coe AUER i i

7 ——

Trang 21

Chuong Il Các dãy khớp nạắn trong giải tích hàm Bổ đề 2.1.2 : Giá sứ E và F là các không gian định chuấn; A: E — F` là ánh xạ tuyến tính liên tục Khi đó tq có : N(A') = R(A)” và N(A) = R(A')” Chifng minh : N(A') = {ye F':0= Aty = y A} ={ueF':u|,„ = 0} = R(AY’ R(A')’ = {2 € E:0=(A'y)r = y(Ar),Vy € r1) =k cE:Az=0 } = N(A) Chứng minh định lý 2.1.1 : (1) = (2)

Theo định lý về song cue (bipolar) va theo bổ đề 2.1.2, ta có :

R(A) =R(A)* = N(A')"

Do dé : R(A) déng & R(A) = N(A’)”

(4) => (3)

Do N(A)” đóng nên R(A') đóng (1) > (4)

Theo bổ đề 2.1.2, ta c6 N(A)” = R(A’)” > R(A’) Ta sé chtfng minh N(A)° c R(A’)

Da A: Te — R(A)

r+ N(A)+ Ar

Theo tính chất của không gian thương thì A, là một song ánh, tuyến tính, liên tục

Vì R(A) và È / Ngô đều là không gian Banach nên 4_' cũng liên tục Với y eN(A)”, ánh xạ 1/:z + (4) — (r) thuộc vu)": Do tính liên tục nên „ =o 4 ' thuộc R(A}

Theo dinh ly Hahn-Banach, t6n tai 1) € F'sao cho 1 = I

| eva)

Trang 22

Cnuong |! Lac day knop ngan trong giai tich ham

Với mỗi x e E, ta có :

(A'n)x = (Ar) = (Az) = 7,(x + N(A)) = (+ + N(A)) = w(z)

Vậy A'y=yvaye R(A') hay N(A)’ C R(A'), nghia 1a R(A’) = N(A)°, (3)=(1) Gia st gq: F'— Dee là ánh xạ thương Đặt B: FY ase — R(A') gy) +> Aty

Thì B là song ánh tuyến tính liên tục

Vì F Tào va R(A') là các không gian Banach nên B là một

đồng cấu

Nếu chọn D> | B | thì :

|B ()| & |B | hal < D|n| voi moi € R(A')\ {0} Từ đó, với mỗi nạ e R(A'), tồn tại y = y(n)e F’ vai:

lu| < D|¡| và q(y)=B ˆ(n)

Điều đó kéo theo :

A'y=B(q(y))=B B(n)= n

Vì (A''({n))= y+N(A`)

Nên với mọi t >0, ta có :

(A')'({neE':lnl<+})) C{yeF':|w| < Dt+ N(4A)9 Từ đó, với mỗi e > 0 thì :

(A(U.(0)))° = {y€ F':|(A')z|=|(Az|<1 , YreU,(0)}

= (4) ({ ñe E!: wisi, vee U,(0)})

1 D

Trang 23

b nuong II Lav aay KrIØV ngan Ur ong giai LiCfFlI Fìä†T?I1

Do bổ đề 2.1.1 nên ánh xạ 4: E — R(A) 1a toan ánh, nghĩa

là R(A) = R(A)

LÌ

2 Định lý về ảnh đóng trong lớp các không gian Fréchet

Giả sứ E và F là các không gian lôi địa phương

Một ánh xạ tuyến tính liên tục A:E->E được gọi là đồng cấu

tôpô nếu ánh xạ A:E/g¿Ay >EF cảm sinh bởi A là đẳng cấu giữa

E/ nay Va R(A) (6 day R(A) cung cấp tôpô cảm sinh bởi F)

Nếu E và F là các không gian Banach thì mọi ánh xa tuyến tính liên tục từ E vào F đều là đồng cấu tôpô nên định lý sau đây

là mở rộng của định lý 2.1.1 cho lớp các không gian Fréchct Định lý 2.1.2 : Giá sử F và F` là các không gian Fréchel;A : E -> Flà một ánh xạ tuyến tính liên tục Khi đó, các điều kiện sau là tương đương : (1) R(A) đóng (2) R(A)=N(A’)’ (3) R(A’) la tap dong trong F` (4) R(A’)=N(A)°

(5) Ưn R(A’) la of E’,E)-déng hay b(E’,E)-déng voi moi

lan can U cua 0 trong E

(6) U°A R(A’) là đĩa Banach với mọi lân cận U cua 0 trong E

(7) A là đồng cấu tôpô

Để chứng minh định lý 2.1.2, ta cần một số bổ đề sau :

Bổ đề 2.1.3 :

Nếu F và F là các không gian lôi địa phương; A : E->F là ánh

xạ tuyến tính liên tục thì N(A')=R(A)” và N(A)=K(A')J”

Chứng minh

Việc chứng minh bố đề 2.1.3 tương tự như chứng minh bổ đề 2 2

Trang 24

Chương II Các dãy khớp nạắn trong gidi tich ham

Bổ đề 2.1.4 :

Cho t; va tz la hai tôpô không gian veclơ trên cùng mội không gian vectơ È

Nếu tz min hơn 1, và có một cơ sở lân cận của 0 các tập tị-

đóng thì mọi tập 1¡-đây đủ của E cũng là t›-đầy đủ

Chứng minh

Giả sử M là tập con tị-đầy đủ của E và (x,), là một 0-lưới Cauchy trong M Khi đó (z,) „ cũng là một tị-lưới Cauchy trong

M và vì vậy nó hội tụ đến x € M

Ta sẽ chứng minh (x,), + hội tụ đến x theo tạ Cố định một lân cận U của 0 theo ta, đóng theo tị

Do (x,),.+ là t›-lưới Cauchy nên tổn tại rạe T sao cho :

Xgø- X¿€ U với mọi Ø, 1® Tp

Vì (x,),+ hội tụ đến x theo tị và U là tị-đóng nên :

X — Xz € U với mọi G È 1o

Điều này chứng tỏ rằng (x,), + hội tụ đến x theo 0

LÌ

Bổ đề 2.1.5 :

Giá sứ F và F là các không gian Fréchet; A : E->E là ánh xạ tuyến tính liên tục, mở và có anh tra mat

Khi đó A là toàn ánh khi và chỉ khi với mọi lân cận U cua 0 trong È thì U° m R(A') là một dia Banach

Chứng minh

Nếu A là toàn ánh và U là một lân cận của 0 trong E thì :

U"n R(A')={uc<D' : tấn tại tị C F` với = A'n} = A'({n € F': |n(Az)| <1, Va € U})

= A(A(0})

Theo định lý ánh xạ mở, A(U) là một lan can cua O trong F Từ đó, thco định lý Alaoglu-Bourbaki, A(U)” là một đĩa Banach Do N(A’) = R(A)° =F° ={0} nén A’ la mot ddn anh

Trang 25

Chương II Các dãy khớp ngắn trong giải tich ham

Vì vậy U”¬ R(A`) cũng là một đĩa Banach

Ngược lại giả sử A thỏa mãn các giả thiết của bổ đề

Lấy lân cận tùy ý U của 0

Khi đó B=Ưn R(A') là một dia Banach trong E’ va ø(E`,E)-đóng

Từ đó, phép nhúng (E')g=> (E',ø(E',E)) là liên tục

Nếu (W,),_ là một cơ sở lân cận của 0 trong F thì

F'= UV; tà RỊA) = U A(V2)

Theo định lý Alaoglu-Bourbakli thì A'(V,`) đóng trong (E”,øŒ',E)) nên A'(V,`)¬(E')g là đóng trong (E`)n

Do (E')„ = R(A)n(Œ)'),= U AW?) O(E'), nén theo dinh

ly Baire vé pham tri, ton taim EN sao cho A(VS)O(E')g c6 mot

điểm trong trong (E`)g

Từ đó suy ra A'(V#)S(E')g là một lân cận của 0 trong (E”)p m nên tồn tại e >0 sao cho eB c a‘(ve)

Vì A có ảnh trù mật nên N(A')=R(A)” ={0} và từ đó ta có

(A')ÿ'(B) cs !Vvệ,

Nghĩa là (A”)' (B) bị chặn

Từ đó (A(U))° =(A')"!(B)]à tập bị chặn

Suy ra A(U)°° = A(U)là một lân cận của 0 trong F

Vì U tùy ý nếu A là toàn ánh

CJ

Chifng minh dinh ly 2.1.2

(1) & (2)

Theo bổ đề 2.1.3, ta cé : R(A)°=N(A’)

Thco định lý về cực thì R(A) = R(A)?° =N(A')° Vậy ta có R(A) đóng = R(A) =(N(A')’

(1) = (4)

Chứng minh này tương tự (1) = (4) trong định lý 2.1.1 (4) > (3)

Ta có N(A)” là o(E’,E)-dong

Vay N(A)° 1a b(E`,E)-đóng do b(E`,E) mịn hơn Do d6 R(A’) 1a tập đóng trong E`

Trang 26

Chương lÌ Các dãy khớp ngắn trong giải tích hÀm

(5) => (6)

Một tập o(E’,E)-dong cling b(E’,E)-dong

Do đó ta có thể giả thiết B= U° ¬R(A')là b(E”,E)-đóng

Theo bổ đề 2.1.4 trên không gian vectơ (E`)g với tôpô là t= bŒ',E) và t; là tôpô chuẩn của (E')p, ta có B là một đĩa Banach

(6) > (1)

Ký hiệu J là phép nhúng R(A) vào F

Khi đó tacó A= j0A, voi A,: E — R(A) cre Ax

Theo dinh ly Hahn-Banach trong không gian lồi địa phương

thì j': F’—>(R(A))' 1a toan anh

Do A’ = A’o 7’ nén R(A’)=R( Aj)

Vì A, có ảnh trù mật, nên từ (6) và bổ đề 2.1.5, ta suy ra A, là toàn

ánh

Từ đó R(A) = R(A,„)= R(A) Vậy R(A) đóng

(3) => (5)

Với mỗi lân cận U của 0 trong E¡ cực U” của nó là ø(E”,E)-đóng

Do đó U” đóng trong E"

Từ đó ta có U° ¬R(A') là b(E},E)-đóng

Trên cơ sở các kéo theo đã chứng minh là (5) => (6) > (1) > (4),

ta có R(A')=N(A)”

Từ đó ta co Ư”ñ R(A')là ø(E',E)-đóng

(7) => (6)

Vi N(A) đóng nên YN (A) là không gian Fréchct

Nếu A là đồng cấu tôpô thì A: Z/ „=> (4) là đẳng cấu

Do UNA) là kh6ng gian Fréchet nén R(A) dong (1) > (7)

Vi YN (A) là không gian Fréchet và mọi không gian đóng của một không gian Fréchct là không gian Fréchet nên thco định lý

Banach về đẳng cấu thì 4: E/,.— R(A) la dang cấu

Vậy A là đồng cấu tôpô U

Trang 27

Chuong |! Cac day khép ng&n trong giái tích hàm § 2.2 CÁC DÃY KHỚP NGẮN I Dãy khớp của các ánh xạ tuyến tính liên tục Định lý 2.2.1 : Giả sử E, F, G là các không gian Fréchet; A: E — F, B:F—›G các ánh xạ tuyến tính liên tục Khi đó dãy : O ›E——›Ƒ———“——›C »>O (1) là khớp nếu và chỉ nếu dãy đối ngẫu : O———Œ'———›Ƒ'———È'——nQ (2) là khớp Chứng minh Nếu dãy (1) là khớp thì ta có : N(A) = {0}, R(A) = N(B), R(B)=G Từ kết quả trên và từ bổ đề 2.1.3, ta có : R(A') = N(AY = E' Nia =r = NOY = ROB")? = 46") N(B") = RBY = G’ = {0} Vậy dãy (2) là khớp

Ngược lại nếu dãy (2) là khớp

Khi d6 ta c6 R(A’)=E’, R(B’)=N(A’),N(B’)={0} Theo định

ly 2.1.2 thi R(A) la tap dong

Theo bổ đề 2.1.3, ta cé : N(A)=R(A’)=(E’)°={0}

Vậy A là đơn ánh

Hơn nữa cũng từ định lý 2.1.2, ta có :

N(B)= R(B’)°= N(A’)°= R(A)

Vậy theo định lý 2.1.2 thì R(B) là tap đóng

Trang 28

Chuong Il Các dãy khớp ngắn trong giải tích hàm

2 Dãy khớp của các đồng cấu tôpô

Dãy khớp O ›»E———F_———Œ ›Q của các

không gian lôi địa phương và các ánh xạ tuyến tính liên tục được

gọi là dãy khớp tôpô nếu A và B là các đồng cấu tôpô

Định lý 2.2.2 :

Với mọi dãy khớp ngắn

O » EF —_+ F —*_.G >O (1) của các không gian Fréchet va cdc dnh xa tuyén tinh lién tuc

Khi đó dãy đối ngẫu

O ›G—9 ,Ƒ'._" ,bg—— 2O (2)

là dãy khớp tôpô nếu và chỉ nếu với mỗi tập bị chặn B trong Ơ, tôn

tại lập bi chan M trong F sao cho Q(M) =B nx a Để chứng minh định lý 2.2.2, ta cần một số bổ dé sau : Bổ đề 2.2.1 : Gid su F va G la cdc không gian Fréchet; Q: F — Gla toàn ánh tuyến tính liên lục

Khi đó Q' là đẳng cấu tôpô nếu và chí nếu mọi tập bị chan B

trong G, tần tại mội tập bị chặn M trong F sao cho Q (M)=B

Chứng minh

(=)

Vì Q':Œ'—› Ƒ'là đơn ánh liên tục nên ta chỉ cần chỉ ra với

mọi tập bị chặn B trong G, tổn tại nửa chuẩn liên tục q trên F” sao

cho p, <Se@'

Chon tap bi chan M trong F sao cho Q(M)=B

Véi moiy € G tacé:

p„(0) = sup|y(z)| = sup|u(Q(6))| = sup|Ø'(w)(9| = nụ s 910)

Trang 29

Chuong |! Cac dãy khớp nạắn trong giái tích hàm Do Q' là đồng cấu tôpô, nên Q`(B)” là một lân cận của 0 trong R(Q’) CF’ Từ đó, tổn tại tập bị chặn M trong F sao cho : M’ 1 R(Q') C Q(B") Do Q' là đơn ánh nên thco định lý 2.1.2 ta có : Q(M} =(@) (M')=(Q) (M°nR(@'))c ?' Thco định lý song cực ta có : BCB”c@(M)° =Q(M)

Vì Q(M)bị chặn nên tổn tại tập bị chặn tuyệt đối lôi D chứa Q(M) sao cho Gp cảm sinh trên Q(M) tôpô của G

Khi đó ta có Bc Q(M) (bao đóng trong Gp) Và ta có :

Nếu B C G là tập bị chặn thì tôn tại tập bị chặn M trong F va

(1) | một tập tuyệt đối lôi bị chặn D trong G sao cho với mỗi e > 0

tacó BC Q(M) +eD)

Bat dau vdi tap bi chan B, CG chon theo (1) tập bị chặn Mạ

trong F va tap tuyét d6i 16i bi chan B, CG sao cho véi moineN va

mọi £ >0, ta có :

(2) | B, c Q(M,)+B,,

Vì các dãy (M1, Jae bi chan trong F va (By) ew bi chan trong G nên tổn tại các tập bị chặn tuyệt đối lồi M trong F va B trong G

sao cho, với những số 4, >0 thích hợp, ta có :

M CAM và B CÀ Bvớimọoi nen,

A s ‘9 ‘A, N GA + ` 1

Ø đây ta có thể giả thiết rằng M là tập đóng và À, = —

Ta chọn €, sao cho 0 <¢&, <1 va €,A, < 2" với mọi + €Ñ, Với mỗi b, € Bg, theo (2), ta chon dude m, € My, baat € Bye

Trang 30

UL nuonyg lÌ LAU day KNOp ngar trona giai bicli rian Vì Ể, € 11, € cÀ M cC2”`M về € € 0 k+l k+l b crg À E€Œ75”E k+l ktì nên chuỗi Ð ` Eye m hội tụ đến mội phần tử m € M =0 Khi đó ta có Q(m) = b, Vậy ta da chtfng minh dude B.C Q(M) Đặt M =Q'(B)nM Thì Q(M,) = B Bổ đề 2.2.2 :

Giá sứ: E, F,G là các không gian Fréchet;

O » Ek — , F 2G »Olà dãy khớp ngắn của các

ánh xạ tuyến tính liên tục trong đó I là phép nhúng, và thóa mãn : Với mỗi tập bị chặn B trong G, tồn tại tập bị chặn M trong F sao cho Q(M) = B Khi đó I': F' — E' là tồn cấu tơpơ Chứng minh

Ký hiệu:(U„) _ là cơ sở lân cận giảm của 0 trong F, (V,), „ là cơ sở lân cận giảm của 0 trong G Trước hết ta chứng minh rằng : Với mỗi n € Ñ, tần tại mội m € Ñ sao cho với mọi B € Ø(G) với l 0) BC V, tồn tại một tập M € B(F) saocho M CU, va QM) = B Gia stf (1) không đúng

Khi d6 ton tai ne N sao cho với mọi me Ñ, tôn tại một tập bị chặn By € 6(G) với B„CVạy sao cho với mọi M e B(F) với Q(M)=Bạ, ta có Mcu,,

Vì B„cVụ„ với mọi meÑ nên tổn tại dãy số (A,) „ với lhmÀ„ = x sao cho 8 = |JÀ B 1a tap bi chan trong G

Trang 31

Chuong Il Cac day khép ng&n trong gidi tích hàm

Theo gia thiét (*), tồn tại một tập bị chặn M trong F với Q(M)=B

Vì M là tập bị chặn nên tồn tại e>0 với £MCU, Nếu me Ñ được chọn sao cho thi €A,,21 thi

Q(eM) = cB D £2À„mB„ DĐ Bm

Với M¿„ =eMQ"Ì(B„) ta có Q(M,)= B, và M, CŨ,

Điều này mâu thuẩn với việc chọn Bạ, Vay (1) được chứng minh

Bây giờ ta sẽ chứng minh rằng (1) suy ra (2)

Với mỗi B 6 Ø(G),tôn tại M € B(F) sao cho với mỗi n € Ñ,

(2)

tơn tại k € Đ sao cho Q(MĐđU,)5 BđnY,

Thật vậy, giá sứB € 6 (G)

Với neÑ chọn m(n)eÑ để có (1) Đặt 8= BñnV min)

Theo (1), Ontai M, CU, với Q(M,) = B,.Kýhiệu A = TUM, (bao

lồi của U MI, ) Khidd M € B (F) vataco:

Q(M NU.) > Q(M,) = B, = BNV min „ VỚI mọi 1! € N

Vậy ta có (2)

Bây giờ ta sẽ chứng minh từ (2) suy ra (3)

Với mỗi L € 8(F), tôn tại D € 8(E) sao cho với mọi n € Ñ, (3)

tôn tại mm € Ñ sao cho (L+U )nEC D+U,

Thật vậy, với mỗi L e 8ð (F), dat B=Q(L)

Chon M e Ø (F) thỏa mãn (2) và đặt D =(L+ M)nEe Ø(EF)

Khi đó, nếu ø € Ñ đã cho thì ta chọn 7 € Ñ sao cho 2U CU,

và k € Ñ thỏa mãn (2)

Vì Q liên tục nên tổn tại meÑ , > m va QU,) CV

Trang 32

Chuong Il Các dãy khớp nạắn trong giái tích hàm |

Từ đó ta có : z = (l— €)+ (€— 1u) €(bL+ M)nb+2U,

Và từ đó ta có :(L+U )mnEcC D+Ù,

Vậy ta có (3)

Thco định lý Hahn-Banach trong không gian lồi địa phương , F

là toàn ánh và hiển nhiên nó liên tục

Giá sứ choL € Ø (F)

Chọn D e 8 (E) thỏa mãn (3) và cố định y e D”

Khi đó tôn tại ø„ € Ñ để € U? Từ đó c€ D"nU? c2{D+U,}.,

do (3), taco: ye 2(L2+U_,)N EY

Theo định lý Hahn-Banach, tổn tại Y € 2(L+U } với Y = Y Vậy có Y eF'` với Y e 2L” và ['(Y)=y

Như vậy ta dã chứng minh được rằng :I'(L°) >=D°

_

Kết quả là I' là ánh xạ mở, tức I` là toàn cấu tôpô

CO

Chứng minh định lý 2.2.2

Theo dinh lý 2.2.1 thì (2) là dãy khớp Theo bổ đề 2.2.1 thì Q' là đồng cấu tôpô

Thco bổ đề 2.2.2 thì ta lại có I' là đẳng cấu tôpô Vậy (2) là dãy khớp tơpơ

§ 2.3 KHONG GIAN TUA KHA DINH CHUAN

1 Day khớp ngắn của các không gian tựa khả định chuẩn

Không gian Fréchet E được gọi là không gian tựa khả định chuẩn

(quasinormable) nếu với mỗi lân cận U của 0, tôn tại lân cận V của 0 sao

cho với mọi e >0, tổn tại tập bị chặn B trong E sao cho: C B+cÙ,

Định lý 2.3.1 :

Giá sứ : E là một không gian Fréchet tựa khá định chuẩn;

O >»E———F——ŒG +O là dãy khớp của các

không gian Fréchet với các ánh xạ tuyến tính liên tục

Khi đó với mọi tập bi chan B trong G, ton tai một tập bị chặn M

trong F sao cho Q(M) = B

Trang 33

Chương II Các dãy khớp ngắn trong giái tích hàm

Chứng minh

Theo định lý 2.1.2, I và Q là các đồng cấu tôpô

Do đó, ta có thể giả thiết rằng E = N(Q)

Nếu (IF,) là một hệ cơ bản giảm các lân cận của 0 trong E, được tạo bởi những tập tuyệt đối lồi, thì (W,C #) „ là một cơ sở

lân cận của 0 trong E

Vì E là không gian tựa khả định chuẩn nên ta có thể chọn một

dãy (n,), của Ñ sao cho U = W, vaVy=U, OE taco:

Với mỗi k € Nvamoie > 0, tôn tại mội tập bị chặn B, trong E (1) sao cho VC B, +eV ` 2

Trên E, tương ứng F, ta ký hiệu Il.là phiến hàm Minkovski của

Vy, tương ứng Uy

Bây giờ, gia su B là một tập bị chặn tuỳ ý trong G

Vì Q là ánh xạ mở, với mỗi k € Đ, tơn tại Cụ >0 sao cho B c Cụ Q(UJ) Đặt C?= Cụ + C¿.¡, và với mỗi k € N, ta chon m6t tap bi chan By

trong E theo (1) sao cho:

(2)|C/V,C B,+ 2'V,, voimoikEN.,

Lay wy y€ € B Do Bc Q(C,U,), nén vdi méik € N, ton tai

X, € C,U, sao cho Q(x,) = &

Dat yx = Xk - Xe VOI A EN Vi Qlyx) = Q(X - Xe) = § - § = 9,

nén tacd y, € N(Q)=E

Do cach chon Œ, nên ta có :

Trang 34

Chương li Các dãy khớp nạắn trong giải tích hàm

nên số by sau đây là xác định với mọi k€ Ñ

k-I œz k Oo

b= ))u—))0u=))u-— 3) U—,

j=l J=k j=l J=k+l

Hiển nhiên ta có :

(4) | “Tu b= u,+ V, — ti x, - Âu,

Hơn nữa trong (3), cho m=k, ta được bất đẳng thức b| < you, +2%+0"< SMS ea J=l j=l k Trong đó S$), > 0 được chọn sao cho Bị c Six Vx k Đặt D,=Ð 9 , +2“ + Œ,, thì ta có : j=l , < D k == k b (5) | Bây giờ nếu ta đặt x= xị + bị, thì vì bị = —Ồ ` uc€ E=N(Q) j=! Nền ta có : Q(x) = Q(x¡) + Q(b)) = &

Từ (4), ta suy ra được x = X¿+ by với mọi k € Ñ

Do đó, từ (Š), ta có : llzrll < fe, | + lO, | < ¢.+D_ véi mọi

kKEN, nén M, = { z+€F : Wak <C,+D,vdimei ke N} là

một tập bị chặn trong F với Q(M¿) Đ B

Đặt M =Q'Ì(B) n Mụ, thì ta được Q(M) = B 2 Dãy khớp ngắn của không gian tích

Cho E là một không gian Fréchet và (I),.„là hệ cơ bản tăng các nửa chuẩn của E

Khi đó dãy khớp ngắn sau đây được gọi là phân giải chính tắc

Trang 35

Chuong Il Các dãy khớp nạắn trong giải tích hàm Với : i: Bo b, z+>1z7+ÌN, ak Mel , Es —Š E c+ N, > # + N, là các ánh xa chính tắc Định lý 2.3.2 :

Với mọi không gian Fréchet E và môi hệ cơ bản tăng các nửa chuẩn (II.), „của E Phân giải chính tắc tương ứng là một dãy khớp

ngắn cua các không gian Fréchet va cdc ánh xạ tuyến tính liên lục Chứng minh Ta có I] E la không gian Fréchet với mêtric ¡ |J#- of d(x,y)= = Vri[a a] Tinh lién tuc cia 1, o suy ra từ tính liên tục cua “mm ¡.„ Và tính chất của tôpô dch

Theo dinh ly 2.2.1 thi tính chất khớp của dãy phân giải chính tắc

Trang 36

Chuong Il Các dãy khớp ngdn trong gidi tich ham Nên R(o’) c N(i’)

Để chứng minh N(ï') c R(Ø'), ta lấy yeN(ï) L Dat 1) = IS | thnc]|[E, J=l keN Nếu y=0, Vk>m, thì điều này kéo theo k m 1 = ~Y, = ») = /(0)= 0 với mọi k >m J=l J keN =l ` ^ >! > ^^ má / = {4 = |

Vivay ne ®Et va ro rang Oo (n)= (0,), —=

Tính chất khớp của dãy đối ngẫu đã được chứng minh

Định lý 2.3.3 :

Giá sứ F là không gian Fréchelt; (II), „ là hệ cơ bản tăng các

nửa chuẩn cua E;

O »E—— |] E —— || £, ——O_ la phan gidi he keN chính tắc tương ứng Khi đó nếu G' là đồng cấu tôpô thì F là không gian tựa khả định chuẩn Để chứng minh định lý 2.3.3, ta cần một số bổ đề sau : Bổ đề 2.3.1 :

Không gian E là tựa khả định chuẩn nếu và chí nếu mọi lân cận

U của 0, tôn tại một lân cận V của 0 sao cho với mọi lân cận W của 0 và e> 0, tơn tại số § > 0 để Vœ SW + ecU

Chứng minh

Điều kiện cần là hiển nhiên

Ta chứng minh điều kiện đủ

Giả sử U là một lân cận tuyệt đối lôi và đóng của 0

Dat U, = U

Dựa và điều kiện đã cho, ta xây dựng được cơ sở giảm các lân

cận (U, ), ; của 0 trong E và với nó, ta có :

Trang 37

Chương li Các dãy khớp nạắn trong giái tích hàm

Với mỗi k €Ñ, mỗi e > 0, t6n tai S > 0 sao cho

(1)

Ũ, C SU, + eU

Ký hiệu phiếm hàm Minkovski của U/ là II,

Với e > 0 đã cho, áp dụng tuần tự (1) cho các số S¿> 0, S¡=], ta

CỔ :

(2) | S.Úy = Sia Une + (€ U4 VkEN

Gia st lady uy yx e U;

Trang 38

Chuong II Các dãy khớp ngắn trong giải tích hÀm

Bổ đề 2.3.2 :

Không gian Frechet là tựa khả định chuẩn nếu và chí nếu nó

thoả mãn điều kiện sau:

Với mọi lân cận U của 0 trong E, tôn tại lân cận V của 0

(*)| trong E saocho moilancanW cua 0 trong E vae > 0,

ton tai sé S >0 saocho:|yll < S\lyll, + €llyl, Vy € E'

Chứng minh

Nếu E là không gian tựa khả định chuẩn và U, V, W,e, S dude

chọn như bổ dé 2.3.1 Vc SW+eU

Khi d6 v6i moi y € E’, taco:

lu|| = sup|u(z| < sup |u(z)

rev reSWeel!

< 5 yl, + € lll

Vay (*) dung

Bây giờ, gia su (*) ding

Chon U, V, W, S nhu trong (*)

Không mất tính tổng quát, ta có thể giả thiết U, V, W là các tập tuyệt đối lồi và đóng

Khi đó, từ (*) ta có

sup|w(z) < sup|w(z) + sup|w(z) = sup |w(2Ì; ụ€b' Và vì vậy, ta có :

V”“5 (SIV +eU}

Từ điều này và định lý song cực ta có :

VC(SIW +eÙ) C (S+1)I +eÙU

Vậy E là không gian tựa khả định chuẩn do bổ đề 2.3.1

Trang 39

Chuong Il Các dãy khớp nạắn trong giải tích hàm

Chứng minh định lý 2.3.3

Giả sử trái lại E không phải là không gian tựa khả định chuẩn Khi đó theo bổ đề 2.3.2, bằng cách đồng nhất E‡ với (E') „, ta có :

Tôn tại số mm € Ñ, sao cho với mỗi k € Ñ một n(k) > k và e, > 0

(5)| ` rần tại sao cho với mỗi S > Ö có một ụ€ E; sao cho

lull > Sly n(k) + Ey lull, ed] + a? Ì + / ‘A 4° x: 7 Do gia thiét (ø') k R{ø')—— >} BE liên tục, với môi nửa kếN chuẩn liên tục p: + Soke," ke N a z1 / ^ ° A ” | | trên =) E ton tai mot nửa k hem a“ ‘A A tT / 4° chuẩn liên tục qiên 3# với: keN

p((o’) (1) < q(1) vi moi 1) € R(o’) = N{¿)

Theo định nghĩa của tổng trực tiếp của các không gian lồi địa phương, tổn tại dãy số (D Jo trong (0,2) sao cho :

a(n) < DD, "|

Bây giờ, ta cố định kéÑ sao cho k > max(m, Dạ) và chọn n(k) €Ñ với n(kK) > k và £¿ > 0 tuỳ thuộc vào (*#)

Khi d6 dat: S = Dawex k"

Chọn y„e Fj„ thoả mãn bất đẳng thức trong (5) Và xác định ?= (n,), bởi ¡j„ = 9,1), = —, vàn =0 trong các trường hợp khác Khi đó ne N(ï)=R(ø') Như trong chứng minh định lý 2.3.2, ta có : (ø'} 0) = DI j=l Vim <k < n(k)

Nên từ định nghĩa cúa p, ta có

ke,'lu,|[< pÍ(ø') (0) < a(n) SD, byl, + Pav

Ù, nik)

Trang 40

Chuong II Các dãy khớp nạắn trong giái tích hàm

Dựa và cách chọn k và S, ta có :

lu.|, = Dek Ù, xÙ n(k) vẽ A! & Ù, n(k) —” < § Ù, nik) +E, Ù, m

Điều này mẫu thuẫn với cách chọn y¿ thoả mãn (5)

Vậy giả sử trái lại của chúng ta là sai, do đó E là không gian tựa khả định chuẩn L] Định lý 2.3.4 : Giá sử E là không gian Fréchet Khi đó các điều kiện sau là Iương đương :

(1) E là không gian tựa khả định chuẩn (2) Với mỗi dãy khớp ngắn

O ›E——Ƒ——€Œ >O

của các không gian Fréchet và các ánh xạ tuyến tính liên

Định dạng
Số trang	50
Dung lượng	12,7 MB