Khôngg i a n v é c t ơ , k h ô n g g i a n v é c t ơ c o n
MđttêphợpV/=∅đượccgoilàmđtK- khônggianvéctơneuVđ ư ợ ctrangbịhaiphéptoánc®ngvàphépnhânvớivôhướngthỏ amãn8tiênđesauđây:
(d) MoiphantảtrongVđ e ucóphantảđoi:vớimoix∈V,tontại−x∈V saochox+(−x)=0.Phantả−xđượcgoilàvéctơđoicủax.
Wđóng kín đoi với phép c®ng và nhân vô hướng Túc làix+y∈W,vớimoix,y∈W. iia x∈W,vớimoia∈Kvàx∈W.
ChoVl àmđtK-khụnggianvộctơ,mđt hằx 1 ,x 2 , x n ∈Vđ ư ợ c goilà:
• Đđcl ắ p t u y e n t ớ n h n e uthỏamón:Neucúcỏcphantảα 1 ,α 2 , ,α n ∈Ks a ocho α 1 x 1+α 2 x 2+ +α n x n =0 thìα 1=α 2= =α n =0.
• Neuk h ô n g g i an v éc t ơVcóm ® t c ơ sởg o mnp h a nt ả th ì ta g o inl àso chie ucủakhụnggianvộctơV.KớhiằudimV=n.
Trongluênvănnày,ngoàicỏcmatrênvuụngtrờnRho°cC,taquantõmđenmđtsotêp matrênsauđõy:
Mằnhđe1.2 Cỏckhȁngđànhsauđõylàđỳng. a) CỏctắpRS n vàRA n làcỏcR- khônggianvéctơconcủaR n×n v ớ isochieulanlượtlà ( n n +1) , n ( n − 1)
2 b) H n làm®tkhônggianvéctơconcủaR- khônggianvéctơC n×n ∼ =R 2n×2n cósochieun 2 ,nhưng không là m®t không gian véctơ con củaC-không gian véctơC n×n c) CS n ,C A n làc ácR-khôngg ia nvéctơc on củ aC n×n v ớ isochi eu l an lư ợt là n(n+1),n(n−1).C h ú ý r a n gC S n ,C A n làc á cC-khôngg i a n v é c t ơ c o n c ủ a
Chỳngminh.GoiE ij làmđttrênvuụngcapnsaochophantảởdũngicđtj bang1và cỏc phan tảcũn lại đeu bang0 Ta cú nhên xột rang:
{E ij |1≤i,j≤n} là mđt hằ gomn 2 phan tả đđc lêp tuyen tớnh trongR-khụng gian vộctơR nìn HơnnǎanúlàmđthằsinhcủaR nìn a) RS n ,RA n đeu là têp con củaR nìn , và đúng kớn đoi với phộp toỏn c®ng“+” các véctơ trongR n×n và phép nhân với vô hướng trênR, do đó chúng lànhǎngR-khônggianvéctơconcủaR n×n
Hằcỏcmatrêntrờnlàđđclêptuyentớnh.Thêtvêy,giảsảcúbđsothựcλ ij thỏamãn táclà
{E ij +E ji |1≤i