Ước Lượng Và Tính Xác Suất Thiệt Hại Trong Một Sốmô Hình Bảo Hiểm.docx

Microsoft Word Quang Tom tat luan an doc 1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNGĐẠIHỌCBÁCHKHOAHÀN ỘI  PhùngDuyQuang ƯỚC LƯỢNG VÀ TÍNH XÁC SUẤT THIỆT HẠITRONG MỘT SỐ MÔHÌNH BẢO HIỂM Chuyên ngành Lý thuyết xá[.]

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNGĐẠIHỌCBÁCHKHOAHÀN ỘI  PhùngDuyQuang ƯỚC LƯỢNG VÀ TÍNH XÁC SUẤT THIỆT HẠITRONGMỘTSỐMƠHÌNH BẢO HIỂM Chun ngành: Lý thuyết xác suất Thống kê toán họcMãsố:62460106 TĨMTẮTLUẬNÁNTIẾNSĨTỐNHỌC HàNội–2014 Cơng trình hồn thành tại:Trường ĐạihọcBáchkhoaHàNội Ngườihướngdẫnkhoahọc: PGS TSBùi KhởiĐàm TS NguyễnHữuTiến Phản biện 1: TSKH Phạm Trần NhuPhản biện 2: PGS.TS Nguyễn Thị MinhPhảnbiện3:TSNguyễnHắcHải Luận án ñược bảo vệ trước Hội ñồng chấm luận ántiến sĩ cấp Trường họptạiTrườngĐại họcBáchkhoaHàNội Vàohồi…… giờ,ngày… tháng… năm……… Cóthểtìmhiểuluậnántạithưviện: ThưviệnTạ Quang Bửu-Trường ĐHBKHà Nội ThưviệnQuốcgia MỞ ĐẦU Trong năm gần ñây cơng ty bảo hiểm mở nhiều nơi nhằm mục đích chịutrách nhiệm chia sẻ phần trách nhiệm cho chủ thể rủi ro, hoạt ñộngbảo hiểm hoạt ñộng ñầu tư tài nên thân chứa đựng rủi ro Việcñánh giá mức ñộ rủi ro thời ñiểm rủi ro nhu cầu cấp thiết ñòi hỏi cần ñược nghiên cứu vàgiải ñể hạn chế tối thiểu thiệt hại xảy Lý thuyết rủi ro (Risk Theory) ñã ñượcnghiên cứu rộng rãi thời gian gần ñây, ñặc biệt nghiên cứu rủi ro bảohiểm, tài Một vấn ñề trọng tâm ñược nhiều nhà nghiên cứu quan tâm lýthuyếtnày,làbàitốnướclượng xácsuất thiệthạitrongcácmơhìnhbảohiểmv i thờigian l iêntụcvàrời rạc Trong cơng trình Lundberg (1903), với luận án tiến sỹ tiếng ơng Đại họcUppsala (Thủy điển),cơng trình đưa đến việc sáng lập lý thuyết rủi ro bảo hiểm.Sau đó, Carmer, H trường phái Stockholm ñã phát triển ýtưởng Lundberg đónggóp vào việc hình thành phát triển lý thuyết q trình ngẫu nhiên tốn học Với cáckết Cramer đóng góp cách đáng kể vào lý thuyết bảo hiểm, tài lẫn lýthuyết xác suất thống kê tốn học Mơ hình số đóng góp mơhìnhCramer– Lunberg Trong mơ hình rủi ro cổ ñiển, toán thường ñược nghiên cứu với giả thiết liên quan tớidãy biến ngẫu nhiên ñộc lập Chẳng hạn, kết Cramer – Lundberg ước lượng xácsuấtthiệthạivớithờigianliêntục,dãysốtiềnchitrảbảohiểm,cũngnhưdãythờigiangiữahailần địi trả liên tiếp, giả thiết dãy biến ngẫu nhiên khơng âm, độc lập, phân phối Cónhiều cơng trình nghiên cứu nhà tốn học có tên tuổi vấn đề như: Asmussen(2000), Buhlma, H (1970), Embrechts, P (1997), Kluppelberg, C (1998), Grandell, J (1992),Hipp, C (2004), Schmidli, H (2004), Musiela, M (1997), Nyrhinen, H (2001), Paulsel, J.(2002), Schmidt, K D (1995), … Các cơng trình cho ước lượng cận cho xác suấtthiệthạicó dạng hàm mũ Bên cạnh loạt cơng trình sử dụng phương pháp Martingale để chứng minh côngthức ước lượng xác suất thiệt hại cho mơ hình rủi ro mở rộng có tác động yếu tố lãi suất như:Cai,J(2002),CaiandDickson,D.C.M.(2003),Gaier,J (2004),Kluppelberg,C.andStadtmuller (1998), Konstantinide, D.G and Tang, Q H and Tsitsiashvili, G S (2002), Sundt,B and Teugels, J.L.(1995,1997),Tang,Q.(2004,2005),Yang,H (1999),Y a n g , H a n d Zhang,L.H.(2003,2006),… Tuy nhiên, thực tế sản phẩm bảo hiểm tái bảo hiểm ñối tượng tham gia bảohiểm ngày lớn phức tạp nên địi hỏi mơ hình có cấu trúc phụ thuộc Do đó, đểphù hợp với thực tế hơn, hướng nghiên cứu nhiều nhà tốn học quan tâm,đó mơ hình với dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc Một loạt cơng trình có giá trị cácnhà tốn học, xét mơ hình bảo hiểm với giả thiết dãy tiền thu bảo hiểm, dãy tiền chi trả bảo hiểmlà dãy biến ngẫu nhiên ñộc lập, dãy lãi suất phụ thuộc theo nghĩa hồi quy xích MarkovnhưArbrecher,H.(1998),Cai,J.(2002),Cai,J.andDickson,D.CM (2003,2004),Gerber,H U.(1979),Muller,A.andPfug,G.(2001),Promisslow,S.D.(1991),Valdez,E.A (2002),Xu,L.andWang.R.(2006),Yang,H (1999),Yang,H.andZhang,L.H (2003),… Cáccơng trình củaBùi Khởi Đàm vàNguyễn Huy Hồng (2008),N g u y ễ n Huy H o n g (2009)ñãxây dựngđượccác ước lượng choxác suất thiệt hạicủa mơ hình rủi ro vớig iả thiếtdãytiềnthubảohiểm,dãytiềnchitrả bảohiểmlà dãybiếnngẫunhiênm-phụthuộc Bên cạnh tốn ước lượng xác suất thiệt hại tốn tính xác xác suất thiệthại mơ hình bảo hiểm gắn liền với tình thực tế Một số cơng trình đãtiếp cận theo hướng với giả thiết dãy tiền chi trả bảo hiểm nhận giá trị nguyên dương nhưCaude Lefèvre (2008), Rullière, D and Loisel, St (2004), De Vylder, F E (1997, 1999), DeVylder and Goovaerts, M J (1998, 1999), Ignatov, Z G and Kaishev, V K (2001, 2004),Pircard,Ph.and Lefèvre,Cl.(1997) Cơngtrình c ủ a H o n g , N T T ( ) ñ ã x â y dự ng c n g th ức t í n h c h í n h x c x c s u ấ t t thiệthại(khơngthiệthại)chomơhìnhbảohiểm:U tu X  Y ,vớidãytiềnthubảo i i i1 i1 hiểm Xi i 1,dãyt i ềnchit rảbảoh iểmYi i1,thờigiant n h ậngiátrịngund ương.Cơngtrình tác giả Hong, N.T.T (2013) mở hướng có ý nghĩa quan trọng lý thuyếtlẫnthực hànhđểtínhchínhxácxácsuấtthiệthại(khơngthiệthại)củacácmơ hìnhbảohiểm Với lý trên, chúng tơi xác định đối tượng nghiên cứu luận án mơ hìnhtốn học ứng dụng tài bảo hiểm, cụ thể mơ hình bảo hiểm rời rạc có tácđộng lãi suất Luận án tập trung vào tốn: ước lượng xác suất thiệt hại sốmơ hình bảo hiểmvới dãy biến ngẫu nhiên làxích Markov,t í n h c h í n h x c x c s u ấ t t h i ệ t h i mơ hình bảo hiểm tổng qt có tác động lãi suất Các kết chủ yếu luận án đãđược cơng bốtrongcáccơngtrình [1], [2],[3], [4],[5], [6],[7] Luận ánđã thượccáckếtquảmớisaây: a Trong mơ hìnhtổngqtvớidãy biếnngẫunhiênlàxíchMarkovthuầnnhất Sử dụng phương pháp đệ quy, phương pháp Martingale luận án ñãthiết lập ñược bấtñẳng thức ước lượng dạng hàm mũ cho xác suất thiệt hại mơ hình bảo hiểmtổng qt có tác động lãi suất trường hợp: dãy tiền thu bảo hiểm dãy tiền chitrả bảo hiểm cácxích Markovthuần dãylãi suất dãyb i ế n n g ẫ u n h i ê n ñ ộ c lậpcùng phân phối b Đối với mơ hình tổng qt có tác động lãi suất, luận án mở rộng kết củaHong,N.T.T (2013),luậnánđãmởrộngcơngthứctínhchínhxácxácsuấtthiệthạichomơ hình bảo hiểm tổng qtcótácđộngcủalãisuấtvớigiảthiếtdãytiềnthuvàdãytiềnchi trả bảo hiểm nhận giá trị dương tập hữu hạn, cịn dãy lãi suất nhận giá trị khơngâm tập hữu hạn Các cơng thức xây dựng cho dãy biến ngẫu nhiên độc lập cùngphânphối,độc lậpkhơngcùngphân phối,phụthuộcMarkov Qua việc hồn thành luận án, chúng tơi hy vọng ñược góp phần khiêm tốn vào việcnghiên cứuvà pháttriểnlý thuyếtcác mơhìnhtốn họcứngdụngtrongtàichínhvàbảohiểm Nộidungcủa luậnángồm3chương Chương1.Mộtsốkháiniệmvà kếtquả cơbản Trong chương này, giới thiệu số nội dung kết tốnthiệthạitrongbảohiểm,tổngquanvềxíchMarkovthuầnnhất,q trìnhMartingale Chương Ước lượng xác suất thiệt hại toán bảo hiểm với dãy biến ngẫunhiênphụthuộcMarkov Trong chương này, chúng tơi sử dụng phương pháp đệ quy, phương pháp Martingale ñểxây dựng ñược bất ñẳng thức ước lượng dạng hàm mũ cho xác suất thiệt hại ñối với mơhình bảo hiểm tổng qt có tác động lãi suất trường hợp: dãy tiền thu bảo hiểm dãytiền chi trả bảo hiểm xích Markov dãy lãi suất dãy biến ngẫu nhiên độclập Chương3.Tínhchínhxácxácsuấtthiệthạitrongbài tốnbảohiểm Trong chương này, chúng tơi mở rộng kết Hong, N.T.T (2013)cho mơ hình bảohiểm có tác động lãi suất hằng, luận án xây dựng cơng thức tính xác xác suấtthiệthại(khơngthiệthại)chomơhìnhbảohiểmtổngqtcótácđộngcủalãisuấtvớigiảthiết dãytiềnthuvàdãytiềnchitrảbảohiểmnhậngiátrịdươngtrongtậphữuhạn,cịndãylãisuấtnhậngiát rị khơng âmtrong tập hữu hạn Các kếtquảchủyếucủaluậnánđãđược báocáotại - Semina“Ứngdụngtoánhọc”,Viện ToánứngdụngvàTinhọc,ĐạihọcBáchkhoaHànội - Hội thảokhoahọcKhoaCơbản–TrườngĐạihọcNgoại thương(2010-2014) - Semina Phịng xác suất thống kê tốn, Viện Tốn học- Viện KH & CN Việt NamCáckếtquảchủyếucủaluậnánđãđược đăngtrongcáccơngtrình[1],[2],[3],[4], [5],[6], [7] CHƯƠNG1 MỘTSỐKHÁINIỆM VÀ KẾTQUẢCƠBẢN Trong chương 1,chúng tơi đãgiới thiệu số khái niệmvàkết quảđ ã c ó l i ê n q u a n t r ự c t i ế p ñến nội dung,phương pháp chứng minh luận án : toán thiệt hại củac ô n g t y b ả o hiểm, số mơ hình bảo hiểm với dãy biến ngẫu nhiên ñộc lập, bất ñẳng thức ước lượng cậntrên cho xác suất thiệt hại mơ hình bảo hiểm với dãy biến ngẫu nhiên độc lập mơhình bảo hiểm có tácđộng củalãi suất với dãy lãi suất làxích Markov rời rạcvàt h u ầ n n h ấ t Đồng thời, chương luận án giới thiệu khái niệm kết trìnhMarkov,quátrình Martingale CHƯƠNG ƯỚC LƯỢNG XÁC SUẤT THIỆT HẠI TRONG MƠ HÌNHBẢO HIỂMVỚIDÃY BIẾNNGẪU NHIÊNPHỤ THUỘCMARKOV Trong chương này, chúng tơi xây dựng bất đẳng thức để ước lượng xác suất thiệt hại mơhìnhbảohiểmtổngqtcótácđộngcủalãisuấtvớigiảthiếtdãybiếnngẫunhiênphụthuộcMarkov.Cụ thể, xét cácmơ hìnhsau đây: - Mơhìnhbảohiểmtổngqtcótácđộng củalãi suấtvớivốncủakỳtrướcđượcđemđầutưvới lãisuấtlà dãybiếnngẫunhiên I Ii i0 Khiđó, vốn ởthờikỳtđ ợ c xác ñịnhnhưsau: Ut Ut1(1It)Xt Yt,t 1,2, , (2.1) Uo u -Mơhìnhbảohiểmtổngqtcótácđộngcủalãisuấtkhơngnhữngvốncủakỳtrướcmàcảtiền thubảo hiểm ởkỳ hiệntạicũngđượctính lãisuấtlà dãy I Ii i0 Khi đó,vốn ởthời kỳ t xác địnhnhưsau Ut(Ut1 X t )(1 It) Yt,t 1,2, , (2.2) Uo u trongđóu l vốnbanđầucủacơngtybảohiểm,dãytiềnthubảohiểmX X trảbảohiểmY  Y  j j0 ,dãylãisuất I Ik  k0 vàcácdãybiếnngẫunhiên với Trướchết, tacómơhình(2.1) và(2.2)lầnlượtñượcviếtdướidạngsau i i0 ,dãytiềnchi X,Y,Il ñ ộ c l ậ p t t t (2.3) Ut u.(1Ik)   Xk  Yk(1Ij), k k t jk t t Ut u.(1Ik)  X k (1Ik) Yk( 1Ij) k1 k 1 b Ởñây,taquyước b nếua  b z  1và z     t a (2.4) jk1 t t a t Trongchươngnàychúngtaxétcácgiảthiếtsau: Giảthiết2.1.vốnbanñầuU o u Giảthiết2.2.Dãytiềnthu bảohiểm âmtrongG X X Xn x1,x2, ,xMvới pijPXm1xj  n0 làxíchMarkovthuầnnhấtnhậngiátrị khơng X o  x i GX, M Xmxi,(mN);xxi,xjGXthỏamãn0pij1;pij1 Giảthiết2.3.Dãytiềnchitrả bảohiểmY  Y n n0 j 1 xíchMarkovthuầnnhất nhậngiá trịkhơng âmtrongG Y y1,y2, ,yKvớiY o y r GY, K qrs PYm1y sYm y r,(mN);yr,ysGYthỏamãn0qrs 1,qrs Giảthiết2.4.Dãylãisuất I In  n0 s1 làdãybiếnngẫunhiênliêntụcnhậngiátrịkhơngâm,độc lập,cùngphânphốivớihàmphânphối F(t)P Io t Giảthiết2.5.X,Y,Il độclậpvớinhau Khiđó,xácsuấtthiệthạicủamơhình(2.1)đếnthờikỳt v thờiđiểmvơhạnvớicácgiảthiết2.12.5đượcxácđịnh tương ứngnhưsau t (1)  (u,x,y) P(T t)P ∪(U 0)U u,X x,Y y  , k t i r u o o i o  k 1  )lim(1)(u,x,y)  P ∪(U (1)(u,x,y) P(T u t r  r  0)U k  k 1 o  u,X x,Y y  o i o r  Xácsuấtthiệthạicủamơhình(2.2)đếnthờikỳt v thờiđiểmvơhạnvớicácgiảthiết2.1-2.5 ñượcxácñịnhtươngứngnhưsau t (2)(u,x,y) P(T t) P ∪(U 0)U u,X x,Y y  , k t i r u  