CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG LÝ 12: CHƯƠNG: DAO DỘNG CƠ HỌC CHỦ ĐỀ 3: CON LẮC ĐƠN Tuyển tập tập học sinh giỏi tỉnh, thành A KHẢO SÁT DAO ĐỘNG CỦA CON LẮC ĐƠN CÂU – HSG Hà Nội năm học 2016 - 2017: HƯỚNG DẪN GIẢI: 1, Vận tốc qua vị trí cân bằng: v gl (1 cos o ) = 3,16 m/s Lực căng dây cực đại: F mg (3 2.cos60o )=2N 2,Chiều dài lắc mới: l1 0, 25m ; Lực căng : m v2 v2 mgcos F F m mgcos l1 l1 v gl1 (1 cos ) Suy ra: F = Bảo toàn năng: vmax khi: vmax g gcos gcos l1 vmax 2 g 3gcos 131,81o l1 15 ;v m/s 3 - Khi đó, vật độ cao: h = l1 (1 cos ) = 5/12m so với cos điểm O Vật chuyển động ném xiên lên với vận tốc v 15 m/s; góc nghiêng v sin m 48,189o ; cos ; Tầm cao so với điểm ném là: H 2g 108 Vậy, độ cao cực đại so với điểm O là: Hmax = 5/12 + 5/108 = 25/54m = 46,29cm (trang1) Câu – trích đề thi chọn Giáo viên dạy giỏi Nghệ An giai đoạn 2010-2015 (6 điểm): Một xe lăn B khối lượng M, phần có dạng phần C mặt cầu tâm C, bán kính R Xe đặt mặt sàn nằm ngang trọng tâm xe nằm đường thẳng đứng qua tâm mặt cầu Một hịn bi A nhỏ, có khối lượng m đặt mặt cầu xe (hình 2) Bi A giữ vị trí bán kính mặt cầu qua hợp với phương thẳng đứng góc hệ đứng yên Bỏ qua ma sát, cho gia tốc trọng trường g Xe lăn giữ cố định Thả cho bi A chuyển động không vận tốc đầu Hình a Tìm vận tốc A áp lực A nén lên B vị trí bán kính qua A hợp với phương thẳng đứng góc b.Giả thiết góc bé, chứng minh A dao động điều hịa tính chu kì dao động nó? 2.Giả thiết góc bé, đồng thời giải phóng A B không vận tốc đầu Chứng minh hệ dao động điều hịa Tìm chu kì dao động hệ, biên độ dao động A, B áp lực cực đại mà A nén lên B trình dao động? HƯỚNG DẪN CHẤM Câu (6 điểm) + Áp dụng định luật bảo toàn năng, ta có: mv mgR(1 cos) = mgR(1 cos ) ………………………………………….………0,5đ + Suy ra: v 2gR(cos-cos ) (1)……………………… 0,5đ + Áp dụng định luật II NiuTơn chiếu dọc bán kính, chiều dương tới tâm bán cầu, ta có: mv mg cos N (2) …………………… 0,5đ R + Từ (1), (2) định luật III NiuTơn, ta được: Q N mg(3cos 2cos ) ……………………………………………………………0,5đ 2.+ Chọn trục tọa độ ox hình vẽ, gốc O trùng vị trí cân A + Khi bán kính OA lệch góc : N + mg = ma (3) + Chiếu (3) trục Ox, ta được: - mg x = mx " 1đ R x '' 2 x 0 với + A dao động điều hoà với: T 2 g 0,5đ R R g 0,5đ + Theo phương ngang, động lượng bảo toàn nhỏ nên coi vận tốc m có phương nằm ngang: mv + MV = (4) + Bảo toàn năng: mv MV + = mgR(cos a - cos a0 ) 2 C (5) m ) M + Từ (4), (5) (6), ta được: với ’R = (v –V ) = v( 1+ R = (v –V ) = v( 1+ (6) mR 2a '2 Mm R 2a '2 + = mgR(a02 - a ) ; m m 2(1 + ) 2M (1 + ) 2 M M (trang2) A 0 m B M mg O x a '2 = g(a - a ) m (1 + ) M R (7) + Đạo hàm hai vế theo thời gian t (7), ta được: a "+ g(1 + R m ) M a = .0,5đ g(1 + Hệ dao động điều hòa với: R m ) M ;T 2 R g(1 m ) M + Lại xét vật m : N + mg = ma (8) + Trong hệ quy chiếu gắn với xe lăn Chiếu (3) lên bán kính chiều dương hướng tới tâm C, ta được: mg cos N m2 x sin N mg cos m(v V) R m(v V) m2 x sin R + Từ (4) (5) ta được: v= ( M )2gR(cos a - cos a ) ; m +M Và: v V v(1 m ) nên = , cos (v-V) cực đại, sin = 0, nên N cực đại: M m(v - V) m = mg + 2mg(1 + )(cos a - cos a0 ) +Vậy: N max = mg + R M m m = 3mg + 2mg - 2mg(1+ )c os a0 0,5đ M M +Trong hệ quy chiếu Ox mx1 + Mx2 = A B dao động điều hòa ngược pha +Tốc độ hai vật đạt cực đại lúc Từ (6) suy ra: M A1 A (9) m +Mặt khác: A1 A R. (10) +Từ (7) (8), ta được: MR mR A1 ; A2 .0,5đ Mm Mm Lưu ý: GV CM hệ DĐĐH theo cách sau cho điểm tối đa ( 1đ): + Trong hệ Ox trên: mv + MV = + Tọa độ khối tâm hệ thỏa mãn: mx1 + Mx2 = 1 1 + Cơ hệ bảo toàn: mgR 02 mgR mv MV 2 2 + Để ý liên hệ: x1 x 1 g m m + Từ (1’R = (v –V ) = v( 1+ ) (2’R = (v –V ) = v( 1+ ) (3’R = (v –V ) = v( 1+ ), ta được: mgR 02 m (1 ) mv (1 ) 2 k M M (trang3) (1 ’R = (v –V ) = v( 1+ ) (2’R = (v –V ) = v( 1+ ) (3’R = (v –V ) = v( 1+ ) (4 ’R = (v –V ) = v( 1+ ) 5’R = (v –V ) = v( 1+ ) + Đạo hàm hai vế (4’R = (v –V ) = v( 1+ ) theo t, ta được: x1'' + Suy A DĐĐH với: T = 2p g m (1 )x1 0 R M R g(1 + m ) M + Tại t = thì: v10 0 x1< 0, suy ra: , x 01 A1 + Mặt khác: x10 x 20 R , kết hợp (2’R = (v –V ) = v( 1+ ) ta được: A1 (1 m ) R M MR Mm Câu - HSG Quảng bình 2019-2020(1,0 điểm) Một lắc đơn dao động điều hòa nơi mặt đất Trong thời gian lắc thực 60 dao động toàn phần Thay đổi chiều dài + Hay: A1 lắc đoạn 44 cm thời gian , lắc thực 50 dao động tồn phần Tính chiều dài ban đầu lắc đơn Câu Nội dung Số dao động toàn phần lắc thực thời gian Điểm 0,25 Trong tần số lắc đơn (1,0) 0,25 Suy 0,25 0,25 Câu – HSG Thanh Hóa 2014-2015(2,0 điểm): Một lắc đơn có chiều dài ℓ = m, vật nặng khối lượng m=1kg treo nơi có gia tốc trọng trường g 10m / s Đưa vật nặng đến vị trí cho dây treo căng hợp với phương thẳng đứng góc α = 600 thả nhẹ Biết lắc bảo tồn q trình dao động Tính gia tốc vật nặng dây treo hợp với phương thẳng đứng góc α = 300 - Tính vận tốc vật dây treo lệch góc : 0,5 mv2 = mgℓ(cos α - cos α ) v g cos cos - Tính gia tốc tiếp tuyến at = gsin α v2 - Tính gia tốc pháp tuyến aht = = 2g(cos α - cos α ) - Gia tốc vật a = a 2t + a 2ht Thay số a 8,865m / s 0,5 0,5 0,5 Câu - HSG Quảng bình 2019-2020 (1,5 điểm): Trong trị chơi mạo hiểm nhảy bungee, người chơi bước khỏi cầu với sợi dây đàn hồi, đầu buộc vào người, đầu lại buộc vào cầu Ban đầu người chơi rơi tự do, sau rơi 11 m sợi dây bắt đầu căng Vị trí thấp thể người đạt 33 m so với cầu Bỏ qua lực cản không khí khối lượng sợi dây, coi thể người chất điểm Khi sợi dây căng, lị xo có hệ số đàn hồi khơng đổi Lấy (trang4) 1) Tính vận tốc người chơi thời điểm sợi dây bắt đầu căng thời gian từ người chơi rời cầu đến sợi dây bắt đầu căng 2) Tính thời gian từ rời cầu đến đạt vị trí thấp người chơi Áp dụng công thức 0,25 (0,5) 0,25 Vị trí dây bắt đầu căng cách vị trí cân khoảng Biên độ dao động điều hòa 0,25 0,25 Áp dụng công thức liên hệ (1,5) (1,0) 0,25 0,25 Thời gian từ dây bắt đầu căng đến người chơi vị trí thấp Thời gian cần tìm Câu – HSG Nghệ An bảng A 2011/2012: Một lắc đơn có chiều dài l 40cm , cầu nhỏ có khối lượng m 600 g treo nơi có gia tốc rơi tự g 10m / s Bỏ qua sức cản khơng khí Đưa lắc lệch khỏi phương thẳng đứng góc 0,15rad thả nhẹ, cầu dao động điều hồ a) Tính chu kì dao động T tốc độ cực đại cầu b) Tính sức căng dây treo cầu qua vị trí cân c) Tính tốc độ trung bình cầu sau n chu kì d) Tính qng đường cực đại mà cầu khoảng thời gian 2T/3 tốc độ cầu thời điểm cuối quãng đường cực đại nói HƯỚNG DẪN GIẢI: (trang5) Câu Câu (5đ) a b c NỘI DUNG ĐÁP ÁN Xác định chu kì dao động tốc độ cực đại (1điểm): + Chu kì dao động: T Điểm 2 l 2 2 1, 257( s ) …………………………… g + Biên độ dao động cầu: s0 l 6cm ………………………………… + Tốc độ cực đại cầu: vmax s0 5.6 30cm / s ………………………… Xác định sức căng dây treo VTCB (1điểm): + Lúc qua VTCB cầu có tốc độ: vmax 30cm / s …………………………… + Gia tốc hướng tâm cầu: an vm2 ax 0,32 0, 225m / s ………………… l 0, 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 + Theo định luật II Niu Tơn, vật qua VTB: mg man mg man 0, 6.(10 0, 225) 6,135( N ) ………………………… 0,5 Tốc độ trung bình vật sau n chu kì (0,5điểm): + Sau n chu kì quãng đường vật là: S n.4s0 ………………………… 0,25 + Tốc độ trung bình vật sau n chu kì là: V n.4s0 S 4.6 19,1(cm / s ) … nT n.T 1, 2566 0,25 Quãng đường cực đại (1,5điểm): 2T T T 0,25 ………………………………………………………… + Quãng đường cực đại S max 2 s0 S1max …………………………………………… 0,25 + Phân tích t d M2 M1 Trong thời gian T/6 vật S1max ứng với / tốc độ trung bình lớn vật chuyển động lân cận VTCB Sử dụng véc tơ quay ta tính • góc quay M 1OM 2 T suy T -3 O s S1max= A S max 3s0 3.6 18cm …………………….…………… + Ở cuối thời điểm đạt quãng đường cực đại nói vật có li độ dài s=-3cm , vận tốc vật có độ lớn là: v A2 x 6 62 ( 3) 18 3(cm / s) ………….…………… 0,5 0,5 Câu - Ninh Bình 2008-2009 vịng I (6 điểm): Con lắc đơn gồm vật nhỏ khối lượng m treo vào sợi dây nhẹ khơng dãn chiều dài ℓ Kích thích cho lắc dao động điều hịa với chu kì T Lấy g = 10m/s2 π2 ≈ 10 Chọn mốc tính vị trí thấp m Chứng tỏ động lắc biến thiên tuần hồn với chu kì T/2 Tính theo T khoảng thời gian hai lần liên tiếp động Tìm chiều dài chu kì dao động nhỏ lắc biết giảm chiều dài dây treo lượng ∆ℓ = 36cm chu kì lắc giảm 0,4s Giả sử biên độ dao động A Tìm thời gian ngắn vật m từ VTCB đến li độ A/2, thời gian ngắn từ li độ A/2 đến li độ A Một lắc đơn khác chiều dài ℓ’R = (v –V ) = v( 1+ dao động điều hòa nơi với chu kì T’R = (v –V ) = v( 1+ = 1,5s Tính chu kì dao động nhỏ lắc đơn có chiều dài ℓ + ℓ’R = (v –V ) = v( 1+ Với lắc ban đầu, thay dây nối cứng đồng chất, tiết diện dài ℓ có khối lượng m, đầu quay quanh lề, đầu gắn vật m chu kì dao động nhỏ bao nhiêu?Cho mơmen qn tính thanhvới trục qua đầu vng góc với nólà I= m2 (trang6) Câu (6 điểm) * Pt dao động có dạng α = α0cos(ωt + φ)t + φ)) Et = mgℓ(1 – cosα) = 2mgℓsin2(α/2) ≈ mgℓα2/2 E E cos(2t 2 ) (E = mgℓ 02 /2) 2 E E Ed = mv2/2 = mℓ2(α’R = (v –V ) = v( 1+ )2/2 = Esin2(ωt + φ)t + φ)) = cos(2t 2 ) 2 Et = Ecos2(ωt + φ)t + φ)) = 0,5 → Et, Ed biến thiên tuần hồn với tần số góc ωt + φ)’R = (v –V ) = v( 1+ = 2ωt + φ) → T’R = (v –V ) = v( 1+ = T/2 * Ed = Et → cos2(ωt + φ)t + φ)) = sin2(ωt + φ)t + φ)) → cos(2t 2 ) = 0,5 1,5 2 ( 2 )T T →2 t + 2φ) = + kπ → t = k T 4 0,5 Khoảng thời gian hai lần liên tiếp động = năng: Δt = tt = tk+1 – tk = T 0,5 g g 0,25 2 T ; ℓ’R = (v –V ) = v( 1+ = T’R = (v –V ) = v( 1+ 4 4 g 10 g 1,0 0,5 2 2 → ℓ - ℓ’R = (v –V ) = v( 1+ = (T - T’R = (v –V ) = v( 1+ ) →0,36 = (T – (T – 0,4) )→ T = 2s;ℓ = T =1m 4 4 A s4 O l g T = 2π 1,5 →ℓ= Dựa vào liên hệ chuyển động dao động điều hòa: → Thời gian ngắn vật dao động từ O (s = 0) đến O’R = (v –V ) = v( 1+ (s = A/2) thời gian chuyển động cung MON t= 0,25 A/ A O’R = (v –V ) = v( 1+ M tròn N tròn /6 T T= ≈ 0,167s 2 12 0,5 0,5 - Tương tự: thời gian ngắn từ A/2 tới A: t’R = (v –V ) = v( 1+ = /3 T T= ≈ 0,333s 2 0,5 1,0 ℓ + ℓ’R = (v –V ) = v( 1+ = g g 2 T42 → T4 = (T + T’R = (v –V ) = v( 1+ ); ℓ + ℓ’R = (v –V ) = v( 1+ = 4 4 T T '2 = 2,5s Chọn chiều dương theo chiều góc lệch α Phương trình động lực học : - P 1,0 2 sinα - Pℓsinα = (I + mℓ )α’R = (v –V ) = v( 1+ ’R = (v –V ) = v( 1+ 1,0 α nhỏ: sinα ≈ α → α’R = (v –V ) = v( 1+ ’R = (v –V ) = v( 1+ + → T5 = T= 0,5 g α =0 0,5 ≈ 1,886s Câu - HSG Bình phước 2013-2014(1,25 điểm): Một lắc đơn có chiều dài dây treo ℓ = 45cm, khối lượng vật nặng m = 100g Con lắc dao động nơi có gia tốc trọng trường g = 10m/ s2 Khi lắc qua vị trí có dây treo lệch với phương thẳng đứng góc 60 độ lớn lực căng dây 2,5N Vận tốc vật nặng vị trí có độ lớn bao nhiêu? HƯỚNG DẪN CHẤM: (1,25 điểm): + Vẽ hình, phân tích lực…………………………………… 0,25 điểm + Viết phương trình định luật II Newton phương trình hình chiếu phương hướng vào tâm quỹ đạo tìm lực căng dây: P T ma T mv mg cos …………………………………… l (trang7) 0,5 điểm + Thay số tính v = m/s……………………………… * Nếu thí sinh khơng chứng minh mà áp dụng công thức T 0,5 điểm mv mg cos , l T mg 3cos cos tính kết cho 1,0 điểm Câu – Học sinh giỏi Thanh hóa 2011-2012: Một lắc đơn gồm cầu kim loại khối lượng m = 0,1kg treo vào điểm A cố định đoạn dây mảnh có độ dài l = 5m Đưa cầu khỏi vị trí cân dây treo nghiêng với góc thẳng đứng góc = 90 bng cho dao động điều hòa Lấy g =2 = 10 m/s2 a Viết phương trình dao động lắc theo li độ góc li độ dài ? Chọn gốc thời gian lúc bng vật b.Tính động sau buông khoảng thời gian t = (s)? Xác định toàn phần lắc? c Xác định lực căng dây treo lắc vật qua vị trí cân bằng? Hướng dẫn giải: a Phương trình dao động lắc có dạng: s = S0cos( t ), cos(t ) Trong đó: g rad/s l 9 cos( 2t ) rad => cos( 2t ) rad 180 20 Khi t = => cos 1 => 0 => m => s = cos( 2t ) m 4 ) = rad b Sau thời gian t = s cos( 20 40 Thế vật lúc là: wt = mgl = 0,046875J 2 Cơ lắc là: W = mgl = 0,0625J Động vật lúc đó: wd = W – wt = 0,015625J Hoặc: S0 = l = c Từ phương trình bảo tồn lượng ta có: mv T mg Mặt khác ta lại có: l mv mgl (1 cos ) Suy ra: T mg (3 cos ) =5,123N Bài 10 (HSG 2009 - 2010 ): Một lắc đơn gồm bi nhỏ có m = 100g treo vào dây dài l = 1,57m nơi có gia tốc trọng trường g = 9,81m/s Kéo lắc khỏi vị trí cân góc 0 = 0,10 rad thả nhẹ cho dao động Bỏ qua ma sát khối lượng dây a/ Chứng minh lượng dao động lắc tỷ lệ với bình phương biên độ góc 0 tìm giá trị lượng đó? b/ Tìm động lắc góc lệch = 0 / ? Hướng dẫn: Dùng định luật bảo toàn phép tính gần tính E = mgl02/ - Thay số tìm E = 7,7.10-3 J - Từ Et = mgl2/ với = 0 / = 0,05 rad Et = 1,93 10-3 J - Từ E = Ed + Et Ed = 5,77 10-3 J Câu 11 – HSG Thanh hóa 2011/2012 k12 đề thức (4 điểm): Một lắc đơn dao động π với biên độ góc α < , có mốc chọn vị trí cân vật nặng a) Tính tỉ số động vật nặng vị trí mà lực căng dây treo có độ lớn trọng lực tác dụng lên vật nặng (trang8) b) Gọi độ lớn vận tốc vật nặng động v1, độ lớn lực căng dây treo trọng lực tác dụng lên vật nặng v2 Hãy so sánh v1 v2 1+2cos a) + T =mg mg (3cos cos ) mg cos = (2,5điểm) Wt mg (1 cos )= 2mg (1 cos ) Wd mv mg (1 cos ) 0,5 0,75 Wt 2 Wd 0,75 0,5 cos b) v1 g (1 cos ) + Khi động năng: cos (1,5điểm) + Khi lực căng dây trọng lực tác dụng lên vật: g (1 cos ) v2 0,5 0,5 Vậy v1 > v2 0,5 Câu 12 - Đề thi giới thiệu chọn HSG Duyên hải bắc chuyên Hạ long quảng ninh 2010 (4 điểm): Một sợi dây nhẹ, không giãn, chiều dài l, đầu cố định, đầu treo vật nhỏ khối lượng m Kéo vật cho dây hợp với phương thẳng đứng góc < 900 thả vật khơng tốc độ ban đầu Bỏ qua ma sát a Nếu gia tốc vật vị trí thấp cao có độ lớn góc bao nhiêu? b Tại vị trí dây treo lệch góc ( q E : Tại vị trí cân bằng: τ = mg F = mg q E 0,5 T= 2 l qE g m (q = q F ) E 0,5 P ==> 1,0 (trang13) q m.(4 l gT ) T E - 0,197 ( C ) F - Trường hợp mg < q E : Ln ln có q < 0, vị trí cân bằng: τ = F – mg = q E mg ==> T= 2 l qE m 0,5 0,5 E g P ==> m.( 4 l gT ) q T E 199,803 ( C ) 1,0 Do đó: q = - 199,803 ( C ) Câu – HSG Nam định 2012-2013: Một lắc đơn gồm cầu nhỏ khối lượng m = 100 g, sợi dây có chiều dài m dao động nơi có gia tốc trọng trường g = 10 m/s2 Lập cơng thức tính lực căng sợi dây vị trí sợi dây hợp với phương thẳng đứng góc Tính tỉ số lực căng cực đại lực căng cực tiểu sợi dây biết biên độ dao động lắc 0,1 rad? Quả cầu tích điện với độ lớn điện tích q đặt điện trường B có vec tơ cường độ điện trường nằm ngang Khi cân sợi dây treo bị lệch so với phương thẳng đứng góc 0,1 rad cẩu vị trí O1 Kéo O1 O cầu tới vị trí B cho sợi dây lệch khỏi vị trí cân góc 0,1 rad Hình ( hình 1)rồi thả nhẹ cho dao động điều hịa Tính biên độ dao động gia tốc cầu vị trí lực căng sợi dây trọng lực cầu có độ lớn? HƯỚNG DẪN GIẢI: Câu Yêu cầu Điểm (2,5 đ) Tính tỉ số lực căng sợi dây - Lập cơng thức tính tốc độ dao động vị trí với góc lệch sợi dây so với vị 0,25 đ trí cân v 2gl(cosα-cosα ) gl(α '20 α ) - Lực hướng tâm tác dụng vào vật Fht T P.cosα mv T P cos α 3P cos α 2P cos α l P P.α 02 1,5P.α Tmax P P.α 02 Tmin P 0,5P.α 02 Tmax P P.α 02 1,06 Thay số tính tỉ số Tmin P 0,5P.α 02 0,5 đ 0,25 đ Khi có điện trường: Quả cầu dao động tác dụng hợp lực R hai lực P Fd + Vận tốc cầu vị trí O1 là: v’R = (v –V ) = v( 1+ = g '.l.α (trang14) 0,5 đ với g’R = (v –V ) = v( 1+ = R P g =10,04 m/s2 m m.cosβ cosβ Thay số tính v’R = (v –V ) = v( 1+ = 0,32 m/s - Sau điện trường bị mất, lắc dao động điều hòa tác dụng trọng lực xung quanh vị trí cân O: ' - Biên độ dao động α ' - Ta có: α β v'02 gl 0,25 đ 0,1 rad - Gọi vị trí góc lệch sợi dây lực căng sợi dây trọng lực có độ lớn 2 Với T P P.α 1,5P.α P Khi P = T = 0,12 rad 0,25 đ a = a 2t a ht2 Với: at = P. 0,25 đ v g.l(α 02 α ) Và aht = g(α 02 α ) l l Thay số ta được: a = 1,12 m/s2 0,25 đ Câu7: HSG Thanh hóa 2006/2007 – Cơ học (6,5 điểm): gồm toán sau 1/ Mét hạt thực dao động điều hoà với tần số 0,25 (Hz) quanh điểm x = Vào lúc t = có độ dời 0,37 (cm) HÃy xác định độ dời vận tốc hạt lúc lúc t = 3,0 (s) ? 2/ Một lắc đơn có chiều dài L thực dao động điều hoà xe lăn tự xuống dốc không ma sát Dốc nghiêng góc so với phơng nằm ngang a) HÃy chứng minh rằng: Vị trí cân lắc vị trí có dây treo vuông góc với mặt dốc b) Tìm biểu thức tính chu kì dao động lắc áp dụng b»ng sè L=1,73 m; =300; g = 9,8 m/s2 3/ Một lắc đơn đợc kéo khỏi vị trÝ c©n b»ng mét gãc nhá 0= 0,1 rad råi buông vận tốc ban đầu Coi trình dao động lực cản môi trờng tác dụng lên lắc không đổi 1/1000 trọng lợng lắc Hỏi sau chu kì dao động lắc dừng hẳn lại ? 4/ Một hạt khối lợng 10 (g), dao động điều hoà theo qui luật hàm sin với biên độ 2.10 -3 (m) pha ban đầu dao động -/3 (rad) Gia tốc cực đại 8.103 (m/s2) HÃy: a) Viết biểu thức lực tác dụng vào hạt dới dạng hàm thời gian b) b) Tính toàn phần dao động hạt Gii: 1(1,5 điểm): + Tần số dao động = = /2 (rad/s) ; Biên độ dao động A = 0,37 (cm) VËy x = 0,37sin( π t+ ) (cm) + Tại t = x = 0,37 => = /2 Vậy phơng trình dao động hạt t + ) (cm) = 0,37cos t (cm) 2 π π π + Lúc t = (s) độ dời xt = = 0,37cos = vµ v = x't = - 0,37 sin = 0,581 2 x = 0,37sin ( (cm/s) (1,5 ®iĨm): a) + Gia tốc chuyển động xuống dốc xe a = gsin T + Tác dụng lên lắc thời điểm có lực: F Trọng lợng P, lực quán tính F (do xe ch đg nh dần đều) sức căng T dây treo P' Vị trí cân conlắclà vị trí có hợp lực P Tức P F T + Chiếu phơng trình xuống phơng OX song song với mặt dốc ta cã: Psin - F + TX = + Chó ý độ lớn lực quán tính F = ma = mgsin suy TX = Điều chứng tỏ dây treo lắc vuông góc với OX trạng thái cân (đpcm) (trang15) b) + Vị trí cân nh trọng lực biểu kiến lắc P' = Pcos Tức gia tèc biĨu kiÕn lµ g' = gcos + VËy chu kì dao động lắc T = 2 L g' = 2 L g cos α 2,83 (s) 3(1,5 điểm): + Năng lợng ban đầu lắc E0 = mgl.(1-cos0) = mgl20 + Gọi hai biên độ liên tiếp dao động (một lần lắc qua vị trí cân bằng) Ta 2 có độ giảm ( mgl12 - mgl 22 ) + Độ giảm công lực cản m«i trêng A = Fc.S = Fc.l.(1 + 2) + Suy mg α1 α2 = Fc + Độ giảm biên độ góc lần sÏ lµ (1-2) = 2Fc/ mg = 2.10-3mg/mg = 2.10-3 rad + Đến lắc ngừng dao động số lần qua vị trí cân N =0 /(1-2) = 50 T¬ng øng víi 25 chu kì (2,0 điểm): + Gia tốc a = x'' = -2x => gia tốc cực đại am = 2A => = (am/A)1/2 = 2.103 (rad/s) + VËy ta cã F = ma = - 0,01.(2.103)2 2.10-3 sin(2.103.t - 2π π ) = 80 sin(2.103t + ) (N) 3 + Vận tốc cực đại hạt vm = A = (m/s) + Cơ toàn phÇn E0 = mv m = 0,08 (J) Câu 8: Con lắc đơn có chiều dài = m, vật nặng có khối lượng 100 g, dao động nơi có g = 10m/s2 Bỏ qua ma sát 1/ Khi đưa vật nặng lên cao để dây treo có góc lệch 10 rad thả nhẹ cho vật dao động lực tác dụng lên điểm treo lên vật nặng thay đổi nào? 2/ Treo lắc vào trần xe lên dốc với chuyển động thẳng nhanh dần gia tốc a = 2m/s2, dốc nghiêng góc = 300 so với phương ngang Kích thích để lắc đơn dao động với biên độ nhỏ mặt phẳng thẳng đứng chứa vectơ gia tốc a Tìm chu kì dao động lắc ĐÁP ÁN: 1/ T = mg(3cos - 2cos ) 0,99995 N T 1,0001 N (0,5đ) F P T 10-4 F 10-2 N 2/ g' g a g’R = (v –V ) = v( 1+ = g2 + a2 + 2gasin g = 124 m/s2 T = 2 g' (0,5đ) (0,5đ) = 1,88 s Câu 9(4 điểm) Một lắc đơn gồm vật nhỏ có khối lượng m = gam dây treo mảnh, chiều dài l, kích thích cho dao động điều hịa Trong khoảng thời gian t lắc thực 40 dao động Khi tăng chiều dài lắc thêm đoạn 7,9 cm, khoảng thời gian t thực 39 dao động Lấy gia tốc trọng trường g = 9,8 m/s2 a) Kí hiệu chiều dài lắc l’ Tính l, l’ chu kì dao động T, T’R = (v –V ) = v( 1+ tương ứng b) Để lắc với chiều dài l’ có chu kỳ dao động lắc chiều dài l, người ta truyền cho vật điện tích q = + 0,5.10 -8 C cho dao động điều hịa điện trường E có đường sức thẳng đứng Xác định chiều độ lớn vectơ cường độ điện trường a Tính chiều dài chu kì dao động lắc (trang16) Ta có: T t l l' 2 ;T ' t 2 n g n' g 2 l' T ' n 40 1600 l T n ' 39 1521 Theo giả thiết ta có: Từ (1) (2): (1) l' l 7,9 (2) l 7,9 1600 l 152,1cm l 1521 l 1,521 2 2,475(s) g 9,8 T 2 l' l 7,9 152,1 7,9 160cm l' 40 40 2, 475 T 2,538(s) g 39 39 T ' 2 b Xác định chiều độ lớn vectơ E Khi vật chưa tích điện kích thích cho dao động điều hịa tác dụng lực căng trọng lực P = m g chu kì lắc là: T ' 2 l' g phương với E P kích thích cho dao động điều hòa tác dụng lực căng hợp lực = + E = 1 P P F E m g q mg1 hợp lực P1 có vai trị P m Khi vật tích điện q đặt điện trường Do chu kì lắc có biểu thức: qE l' T1 2 với g1 g g1 m Ta có: (3) T1 T g1 g, từ (3) ta có: g1 g qE , điện tích q > m Vậy Vậy FE phương, chiều P điện trường E có có chiều hướng xuống, chiều với P g l' qE 1600 1 g l mg 1521 1600 1521 mg 79 2.10 9,8 E 2,04.105 V / m 8 1521 q 1521 0,5.10 Câu 10 – HSG Tỉnh Thái Nguyên 2009-2010(2 ĐIỂM): Một lắc gồm cầu kim loại khối lượng m = 0,1kg treo vào điểm A cố định đoạn dây mảnh có độ dài l = 5m Đưa cầu khỏi vị trí cân (sang phải) đến dây treo nghiêng với phương thẳng đứng góc α0 = 90 bng cho dao động tự không vận tốc đầu Lấy g = π2 = 10m/s2 a/ Tính chu kỳ dao động T lắc, viết phương trình dao động lắc Chọn gốc tọa độ vị trí cân bằng, chiều dương hướng sang phải, gốc thời gian lúc lắc qua vị trí cân lần thứ hai (trang17) b/ Tích điện cho cầu với điện tích q đặt lắc điện trường nằm ngang có E = 10 V/m Con lắc dao động nhỏ với chu kỳ T’R = (v –V ) = v( 1+ = x.T Tính q theo x? Biện luận HƯỚNG DẪN GIẢI Câu (2 đ) a/ Phương trình dao động: co s( t ) Phương trình vận tốc: v l sin( t ) g + Ta có: l 10 2(rad / s) => T + Biên độ góc 90 9 180 20 2 2 4, 44 (s) (rad) + Chọn gốc thời gian lúc vật qua VTCB lần 2: x0 = 0, v0 > t = ta có: 0co s 0 co s 0 Vậy phương trình: mà v0 > => φ) = - )(rad) ( Có thể viết ptdđ dạng s s sin(t ) với s0 l ) l 20 l co s( 2.t g qE x.2 g ' mà g ' g a b/ T’R = (v –V ) = v( 1+ = x.T => g g' g x m g 2 2 2 mg qE qE 2 g g 1 q x x x E m x m 10 Thay số: q x 5 x (C) Biện luận: Bài tốn có nghiệm x < Câu 11 - HSG Thanh Hóa 2009-2010(3 điểm): Một lắc đơn treo vào trần toa đoàn tàu hoả Khi tàu đứng yên, lắc dao động bé với chu kì T Tính chu kì dao động bé lắc đoàn tàu chuyển động với tốc độ không đổi v đường ray nằm mặt phẳng nằm ngang có dạng cung trịn bán kính cong R Cho biết gia tốc trọng trường g; bán kính cong R lớn so với chiều dài lắc khoảng cách hai ray Bỏ qua mát lượng CÂU HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 3điểm THANG ĐIỂM R g Khi tàu đứng yên, chu kỳ dao động bé lắc T 2π Khi tàu chuyển động, chu kỳ dao động bé lắc Flt Trong g' gia tốc trọng trường biểu kiến: g' g g a lt m Với a lt v2 v2 l bỏ qua so với R R l.sin R (trang18) 0,5đ 'g 0,5đ l g T' 2π a lt l g' 0,5đ 0,5đ 0,5đ g2R v4 Trên hình vẽ ta có g a lt nên g' g a lt2 g v R gR 0,5đ R T gR T' g Vậy suy T g' 4 2 T' 4 2 v g R v g R Câu 12: Con lắc đơn treo xe chuyển động theo phương ngang Ox Trục quay lắc vng góc với phương chuyển động xe để lắc dao động mặt phẳng thẳng đứng Oxy Thời điểm đầu lắc có vận tốc góc 0 1/Chiếc xe phải chuyển động với vận tốc v(t) để 0