Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 213 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
213
Dung lượng
3,96 MB
Nội dung
PHẦN – ĐẠI SỐ CHƯƠNG I: PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA CÁC ĐA THỨC I NHÂN ĐƠN THỨC VỚI ĐA THỨC – NHÂN ĐA THỨC VỚI ĐA THỨC TÓM TẮT LÝ THUYẾT Quy tắc: Muốn nhân đơn thức với đa thức ta nhân đơn thức với hạng tử đa thức cộng tích với A(B + C) = AB + AC Quy tắc: Muốn nhân đa thức với đa thức, ta nhân hạng tử đa thức với hạng tử đa thức cộng tích với (A + B)(C + D) = AC + AD + BC + BD VD1: 1) 8x.( 3x3 – 6x +4 ) = 8x.3x3 + 8x.( –6x) + 8x.4 = 24 x4 – 48x2 + 32x 1 2 2) 2x3.(x2 + 5x – ) = 2x3.x2 + 2x3.5x – 2x3 = 2x5 + 10x4 – x3 x xy ).6 xy 5 3) ( 3x3y – = 18x4 y4 – 3x3y3 + x2y4 2 4) (4x3 – 5xy + 2x) (– xy) = –2x4 y + x2y2 – x2y VD2: Tính 1) (x + 3)(x2 + 3x –5) = x3 + 3x2 – 5x + 3x2 + 9x – 15 = x3 + 6x2 + 4x –15 2) (xy–1) ( xy+5) = x2y2 + 5xy – xy –5 = x2y2 + 4xy – 3) (2x –5)(3x2 + 7x –1) = 2x(3x2 + 7x – 1) – 5( 3x2 + 7x – 1) 4) ( xy –1)(x3 –2x –6) = 6x3 +14x2 – 2x – 15x2 – 35x+5 = 6x3 – x2 – 37x + = x4 y –x2y –3xy –x3 +2x + Áp dụng: (x – y) (x2 + xy + y2) = x (x2 + xy + y2) – y (x2 + xy + y2) = x3 + x2y + xy2 – x2y – xy2 – y3 = x3 – y3 Bài Nhân đơn thức với đa thức: 2 3) xyz(x2y + 3yz2 + 4xy2z)( xy−x + y ) x y 5) 2xy2(5x2 + 3xy − 6y3) 6) – x2y(xy2 – xy 1) 3x2(5x2 – 2x – 4) 2) xy2(x2y + x3y2 + 3x2y3) x3 −5 xy + x ¿( 4) + −1 xy) 2x2(4x2 − 5xy + 8y3) x2y2) 7) (3xy – x2 + y) x2y 8) (4x3 – 5xy + 2x)( – xyz (x y +3 y z 2+ x y z) xy) 9) 2x2(x2 + 3x + ) 10 10 10) – x4y2(6x4 − x2y3 – y5) 13) 3x(2x3 – x2 – 4x) 11) 14) x3(x + x2 – x5) x3y5(7x4 + 5x2y − 12) 2xy2(xy + 3x2y – 10 10 21 21 xy3) x4y3 –y4) Bài Nhân đa thức với đa thức: 1) (2x 5)(3x + 7) 3) (x 2)(x2 + 3x 1) 2) (3x + 2)(4x 5) 4).(x + 3)(2x2 + x 2) 5) (2x y)(4x2 2xy + y2) 6) (x +3)(x2 –3x + 9) – (54 + x3) 7).(3x + 4x2 2)( x2 +1 + 2x) 2 y)(4x + 2xy + y ) 8) (2x – 9) (2x + y)(4x – 2xy + y ) 10).(x – 2)(3x – 2x + 1) 11).(x + 2)(x + 3x + 2) 12.) (2x2 + 1)(x2 – x +3) 13).(xy – 1)(x2y – 3xy2) 14) (x + 3)(x2 – x + 2) 15) (x2 – x + 2)(2x – 3) 16).(x2 – 2xy – y2)(x – y) 17) (x2 – 3xy + y2)(x + y) 18) (x – 5)(x2 – 6x + 1) 19) (2x2 – 1)(3x2 – x + 2) 20) (2 – 3x2)(x3 + 2x2 – 3) 21) (9x – 2)(x2 – 3x + 5) 22) (7x – 1)(2x2 – 5x + 3) 23) (5x + 3)(3x2 + 6x + 7) 24) (6x2 + 5y2)(2x2– y2) 25) (− 1 2 x2+y3)(8x3 − x2y –y2) 26) (2xy2−7x2y)( x2 + 5xy − 4y3) Bài Rút gọn tính giá trị biểu thức: 1) A = 5x(4x2 – 2x + 1) – 2x(10x2 – 5x – 2) với x= 15 2) 2x (3x − 5x + 8) − 3x (2x − ) – 16x 2 3) B = 5x(x – 3) + x (7 – 5x) – 7x với x = − 15 với x = – 4) C = (x – 2)(x + 2x + 4x + 8x +16) với x = 5) D = 4x2 – 28x + 49 với x = 6) E = x – 15x + 75x với x = 25 2 7) F = (x + 1)(x – 1)( x + x + 1)( x – x + 1) với x = 8) G = x(x – y) + (x + y) với x = y =8 9) H = 5x(x – 4y) – 4y(y – 5x) 2 với x= – 1/5; y= –1/2 2 10) I = x(x – y ) – x (x + y) + y(x – x) với x = 1/2 y = 100 11) J = (x + y)(x3 – x2y + xy2 – y3) với x = y = – 1/2 2 12) K = 4x (5x – 3y) – 5x (4x + y) 2 với x = –2; y = –3 13) L = (x y + y )(x + y ) – y(x + y ) với x = 0,5; y = – 14) (2x2 + y)(x −6xy ) − 2x (x – 3y2) (x + )+6x2y (y − 2x) với x = − y = BÀI TẬP TỔNG HỢP Bài Thực phép tính sau: 2 a) ( x –1)( x x ) ( x 1)( x – x 1) d) b) (2 x 1)(3x 2)(3 – x ) c) ( x 3)( x x – 5) e) (2 x x 1).(5 x 2) f) ( x x 3).( x 4) Bài Thực phép tính sau: a) x y(2 x –3y 5yz) 2 x y.(3 xy – x y) d) 2 b) ( x – y )( x y xy y) 2 e) ( x – y )( x xy y ) xy( x y – x 10 y ) c) 1 xy –1 ( x – x – 6) f) Bài Chứng minh đẳng thức sau: 2 5 a) ( x y)( x x y x y xy y ) x y 2 5 b) ( x y )( x x y x y xy y ) x y 2 4 c) (a b)(a a b ab b ) a b 2 3 d) (a b)(a ab b ) a b Bài Thực phép tính, sau tính giá trị biểu thức: a) A ( x 2)( x x x x 16) với x 3 b) B ( x 1)( x x x x x x x 1) với x 2 ĐS: A 211 ĐS: B 255 c) C ( x 1)( x x x x x x 1) với x 2 ĐS: C 129 2 d) D 2 x (10 x x 2) x (4 x x 1) với x ĐS: D Bài Thực phép tính, sau tính giá trị biểu thức: 2 a) A ( x x y xy y )( x y ) x 2, y với 2 b) B (a b)(a a b a b ab b ) A ĐS: với a 3, b 2 2 2 c) C ( x xy y )( x y ) x y 3x y xy với 255 16 ĐS: B 275 x 1 , y 2 C 16 ĐS: Bài Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x: a) A (3 x 7)(2 x 3) (3 x 5)(2 x 11) 2 b) B ( x 2)( x x 1) x ( x x 3x 2) 2 c) C x ( x x 3x 2) ( x 2)( x x 1) d) D x (2 x 1) x ( x 2) x x 2 e) E ( x 1)( x x 1) ( x 1)( x x 1) Bài * Tính giá trị đa thức: a) P( x ) x 80 x 80 x 80 x 80 x 15 với x 79 14 13 12 11 b) Q( x ) x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 với x 9 c) R( x ) x 17 x 17 x 17 x 20 với x 16 10 d) S( x ) x 13 x 13x 13x 13 x 13x 10 với x 12 TÓM TẮT LÝ THUYẾT Cho A B biểu thức Ta có số đẳng thức đáng nhớ sau: (A – B)2 = A2 – 2AB + B2 A2 – B2 = (A + B)(A – B) (A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 (A - B)3 = A3 - 3A2B + 3AB2 - B3 A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2) ĐS: Q(9) 1 ĐS: R(16) 4 II HẰNG ĐẲNG THỨC (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 ĐS: P(79) 94 ĐS: S(12) A3 - B3 = (A - B)(A2 + AB + B2) Chú ý: Các công thức 4) 5) viết dạng: (A + B)3 = A3 + B3 + 3AB(A + B) (A – B)3 = A3 – B3 – 3AB(A – B) Từ công thức 1) 2) ta suy công thức: (A + B + C)2 = A2 + B2 + C2 + 2AB + 2BC + 2AC (A – B + C)2 = A2 + B2 + C2 – 2AB – 2BC + 2AC (A – B – C)2 = A2 + B2 + C2 – 2AB + 2BC – 2AC Ví dụ 1: Khai triển: a) (5x + 3yz)2 = 25x2 + 30xyz + 9y2z2 b) (y2x – 3ab)2 = y4x2 – 6abxy2 + 9a2b2 c) (x2 – 6z)(x2 + 6z) = x4 – 36z2 d) (2x – 3)3 = (2x)3 – 3.(2x)2.3 + 3.2x.32 – 33 = 8x3 – 36x2 + 54x – 27 e) (a + 2b)3 = a3 + 6a2b + 12ab2 + 8b3 g) (x2 + 3)(x4 + – 3x2) = (x2)3 + 33 = x6 + 27 h) (y – 5)(25 + 2y + y2 + 3y) = (y – 5)(y2 + 5y + 25) = y3 – 53 = y3 – 125 Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức: a) A = (x + y)2 – (x – y)2 = x2 + 2xy + y2 – x2 + 2xy – y2 = 4xy Hoặc: A = (x + y + x – y)(x + y – x + y) = 2x.2y = 4xy b) B = (x + y)2 – 2(x + y)(x – y) + (x – y)2 = x2 + 2xy + y2 – 2x2 + 2y2 + x2 – 2xy + y2 = 4y2 c) C = (x + y)3 - (x – y)3 – 2y3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3 – x3 + 3x2y – 3xy2 + y3 – 2y3 = 6x2y Ví dụ 3: Chứng minh: (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac Ta có: VT = (a + b + c)2 = [(a + b) + c]2 = (a + b)2 + 2(a + b)c + c2 = a2 + 2ab + b2 + 2ac + 2bc + c2 = VP Vậy đẳng thức chứng minh Ví dụ 4: Chứng minh: a) a3 + b3 = (a + b)3 - 3ab(a + b) Ta có : VP = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 – 3a2b – 3ab2 = a3 + b3 = VT Áp dụng: Tìm tổng lập phương hai số biết tích hai số tổng hai số – Gọi hai số a b ta có: a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b) = (- 5)3 – 3.6 (- 5) = - 125 + 90 = -35 b) a3 – b3 = (a - b)3 + 3ab(a – b) Ta có: VP = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 + 3a2b - 3ab2 = a3 – b3 Ví dụ 5: Tính nhanh: a) 1532 + 94 153 + 472 = 1532 + 2.47.153 + 472 = (153 + 47)2 = 2002 = 40000 b) 1262 – 152.126 + 5776 = 1262 – 2.126.76 + 762 = (126 – 76)2 = 502 = 2500 c) 38.58 – (154 – 1)(154 + 1) = 158 – (158 – 1) = d) (2 + 1)(22 + 1)(24 + 1) … (220 + 1) + = = (2 – 1)(2 + 1) (22 + 1)(24 + 1) … (220 + 1) + = = (22 – 1) (22 + 1)(24 + 1) … (220 + 1) + = = (24 – 1)(24 + 1) … (220 + 1) + = =… = (220 – 1)(220 + 1) + = 240 – + = 240 BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài tập 1: Viết biểu thức sau dạng bình phương tổng hay hiệu: 25 5 a) x2 + 5x + = x2 + 2 x + ( )2 = (x + )2 b) 16x2 – 8x + = (4x)2 – 2.x.4 + 12 = (4x – 1)2 c) 4x2 + 12xy + 9y2 = (2x)2 + 2.2x.3y + (3y)2 = (2x + 3y)2 d) (x + 3)(x + 4)(x + 5)(x + 6) + = (x + 3)(x + 6)(x + 4)(x + 5) + = (x2 + 6x + 3x + 18)(x2 + 4x + 5x + 20) + = (x2 + 9x + 18)(x2 + 9x + 18 + 2) + = (x2 + 9x + 18)2 + 2(x2 + 9x + 18).1 + 12 = (x2 + 9x + 18 + 1)2 = (x2 + 9x + 19)2 e) x2 + y2 + 2x + 2y + 2(x + 1)(y + 1) + = x2 + y2 + 2x + 2y + 2xy + 2x + 2y + + = x2 + y2 + 22 + 4x + 4y + 2xy = (x + y + 2)2 g) x2 – 2x(y + 2) + y2 + 4y + = x2 – 2xy – 4x + y2 + 4y + = x2 + y2 + 22 – 2xy – 4x + 4y = (x – y – )2 h) x2 + 2x(y + 1) + y2 + 2y + = x2 + 2x(y + 1) + (y + 1)2 = (x + y + 1)2 Bài tập 2: Viết biểu thức sau dạng lập phương tổng hay hiệu: a) x3 + 3x2 + 3x + = (x + 1)3 1 1 b) 27y3 – 9y2 + y - 27 = (3y)3 – 3.(3y)2 + 3.3y.( )2 – ( )3 = (3y - )3 c) 8x6 + 12x4y + 6x2y2 + y3 = (2x2)3 + 3.(2x2)2.y + 3.(2x2).y2 + y3 = (2x2 + y)3 d) (x + y)3(x – y)3 = [(x + y)(x – y)]3 = (x2 – y2)3 Bài tập 3: Rút gọn biểu thức: a) (2x + 3)2 – 2(2x + 3)(2x + 5) + (2x + 5)2 = (2x + – 2x – 5)2 = (-2)2 = b) (x2 + x + 1)(x2 – x + 1)(x2 – 1) = (x2 + + x)(x2 + – x)(x2 – 1) = [(x2 + 1)2 – x2] (x2 – 1) = (x2 – 1)(x2 + 1)2 – x2(x2 – 1) = (x4 – 1)(x2 + 1) – x4 + x2 = x6 + x4 – x2 – – x4 + x2 = x6 – c) (a + b – c)2 + (a – b + c)2 – 2(b – c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab – 2bc – 2ac + a2 + b2 + c2 – 2ab – 2bc + 2ac – 2b2 + 4bc – 2c2 = 2a2 d) (a + b + c)2 + (a – b – c)2 + (b – c – a)2 + (c – a – b)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac + a2 + b2 + c2 – 2ab + 2bc – 2ac + b2 + c2 + a2 – 2bc + 2ac – 2ab + c2 + a2 + b2 – 2ac + 2ab – 2bc = 4a2 + 4b2 + 4c2 = 4(a2 + b2 + c2) Bài tập 4: Điền đơn thức thích hợp vào dấu * a) 8x3 + * + * + 27y3 = (* + *)3 = (2x)3 + 3.(2x)2.3y + 3.2x.(3y)2 + (3y)3 = (2x + 3y)3 = 8x3 + 36x2y + 54xy2 + 27y3 = (2x + 3y)3 b) 8x3 + 12x2y + * + * = (* + *)3 = (2x)3 + 3.(2x)2.y + 3.2x.y2 + y3 = (2x + y)3 = 8x3 + 12x2y + 6xy2 + y3 = (2x + y)3 c) x3 - * + * - * = (* - 2y)3 = x3 – 6x2y + 12xy2 – 8y3 = (x – 2y)3 Bài tập 5: CMR với giá trị biến x ta ln có: a) – x2 + 4x – < Ta có: – x2 + 4x – = - (x2 – 4x + 5) = - (x2 – 4x + + 1) = - [(x – 2)2 + 1] Mà (x – 2)2 ≥ nên (x – 2)2 + > Do – [(x – 2)2 + 1] < với giá trị biến x b) x4 + 3x2 + > Ta có: x4 ≥ ; 3x2 ≥ nên x4 + 3x2 + > , với x c) (x2 + 2x + 3)(x2 + 2x + 4) + > Ta có: (x2 + 2x + 3)(x2 + 2x + 4) + = (x2 + 2x + 3)(x2 + 2x + + 1) + = (x2 + 2x + 3)2 + (x2 + 2x + 3) + + = (x2 + 2x + 3)2 + (x2 + 2x + 1) + = (x2 + 2x + 3)2 + (x + 1)2 + Ta có: (x2 + 2x + 3)2 ≥ 0; (x + 1)2 ≥ nên (x2 + 2x + 3)2 + (x + 1)2 + > , với x Bài tập 6: So sánh: a) 2003.2005 20042 Ta có: 2003.2005 = (2004 – 1)(2004 + 1) = 20042 – < 20042 b) 716 – 8(78 + 1)(74 + 1)(72 + 1) Ta có: 716 – = (78)2 – = (78 + 1)(78 – 1) = (78 + 1)(74 + 1)(74 – 1) = (78 + 1)(74 + 1)(72 + 1)(72 – 1) = (78 + 1)(74 + 1)(72 + 1)(7 + 1)(7 – 1) = =(78 + 1)(74 + 1)(72 + 1)8.6 > (78 + 1)(74 + 1)(72 + 1).8 Bài tập 7: Cho a – b = m ; a.b = n Tính theo m, n giá trị biểu thức sau: a) (a + b)2 = (a + 2ab + b2 – 4ab + 4ab = (a – b)2 + 4ab Thay a – b = m, a.b = n vào biểu thức ta : (a + b)2 = m2 + 4n b) a2 + b2 = (a + b)2 – 2ab = m2 – 2n c) a3 – b3 = (a – b)3 + 3ab(a – b) = m3 + 3m.n = m(m2 + 3n) Bài tập 8: Cho a + b = p ; a – b = q Tìm theo p,q giá trị biểu thức sau: a) a.b = ? Ta có: (a + b)2 – (a – b)2 = 4ab ( a b) ( a b) p2 q2 ab = 4 = p2 q2 b) a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b) = p3 – 3p = p p( p q ) p p pq p pq p ( p 3q ) 4 4 BÀI TẬP TỔNG HỢP Bài Điền vào chỗ trống cho thích hợp: a) x x b) x x 16 c) ( x 5)( x 5) 3 d) x 12 x 48 x 64 e) x x 12 x f) ( x 2)( x x 4) g) ( x 3)( x x 9) h) x x i) x –1 k) x x l) x – m) 16 x – x n) x x o) 36 x 36 x p) x 27 a) (2 x 3y ) b) (5x – y) c) (2 x y ) 2 2 x y x y d) 1 x 4 e) g) (3 x – y ) 2 h) ( x 3y )( x xy y ) i) ( x 3).( x x 9) k) ( x y z)( x y – z) l) (2 x –1)(4 x x 1) m) (5 x ) Bài Thực phép tính: 2 x y f) 3 Bài Tính giá trị biểu thức cách vận dụng đẳng thức: 3 a) A x x x với x 19 b) B x x 3x -1 với x 11 ĐS: a) A 8005 b) B 1001 Bài Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x: a) (2 x 3)(4 x x 9) 2(4 x 1) b) (4 x 1) (4 x 3)(16 x 3) 3 2 3 c) 2( x y ) 3( x y ) với x y 1 d) ( x 1) ( x 1) 6( x 1)( x 1) ( x 5)2 ( x 5)2 e) (2 x 5)2 (5 x 2)2 x 25 ĐS: a) 29 x2 f) b) c) –1 d) e) f) 29 Bài Giải phương trình sau: a) ( x 1) (2 x )(4 x x ) x( x 2) 17 2 b) ( x 2)( x x 4) x ( x 2) 15 2 c) ( x 3) ( x 3)( x x 9) 9( x 1) 15 d) x ( x 5)( x 5) ( x 2)( x x 4) 3 10 x ĐS: a) x b) 2 x 15 c) x d) 11 25 Bài So sánh hai số cách vận dụng đẳng thức: a) A 1999.2001 B 2000 16 b) A 2 B (2 1)(2 1)(2 1)(2 1) c) A 2011.2013 B 2012 64 128 d) A 4(3 1)(3 1) (3 1) B 3 BÀI TẬP NÂNG CAO Bài tập 1: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: a) M = x2 – 4x + = x2 – 4x + + = (x – 2)2 + Ta thấy: (x – 2)2 ≥ nên M ≥ Hay GTNN M Giá trị đạt (x – 2)2 = x – = x = b) N = (x2 – 4x – 5)(x2 – 4x – 19) + 49 N = (x2 – 4x – )(x2 – 4x – – 14) + 49 N = (x2 – 4x – 5)2 – 14(x2 – 4x – 5) + 49 N = (x2 – 4x – 5)2 - 2.7(x2 – 4x – ) + 72 N = (x2 – 4x – – )2 = (x2 – 4x – 12 )2 Ta thấy : (x2 – 4x – 12)2 ≥ nên N ≥ Hay GTNN N Giá trị đạt x2 – 4x – 12 = (x – 6)(x + 2) = x = ; x = -2 c) P = x2 – 6x + y2 – 2y + 12 P = x2 – 6x + + y2 – 2y + + = (x – 3)2 + (y – 1)2 + Ta thấy: (x – 3)2 ≥ 0; (y – 1)2 ≥ nên P ≥ Hay GTNN P Giá trị đạt x – = y – = x = y = Chú ý GTNN GTLN biểu thức: Cho biểu thức A, ta nói số k GTNN A ta c/m điều kiện: a) A ≥ k với giá trị biến biểu thức A b) Đồng thời, ta tìm giá trị biến cụ thể A để thay vào, A nhận giá trị k Tương tự, cho biểu thức B, ta nói số h GTLN B ta c/m điều kiện: a) B ≤ h với giá trị biến biểu thức B b) Đồng thời, ta tìm giá trị biến cụ thể B để thay vào, B nhận giá trị h Có hai loại sai lầm thường gặp HS: 1) Khi chứng minh a), vội kết luận mà quên kiểm tra điều kiện b) 2) Đã hoàn tất a) b), nhiên, tốn địi hỏi xét tập số thơi, tức thêm yếu tố ràng buộc, mà HS không để ý giá trị biến tìm bước b) lại nằm ngồi tập cho trước Ví dụ 1: Tìm GTNN biểu thức A = (x2 + 1)2 + Giả sử lời giải : Vì (x2 + 1)2 ≥ nên A ≥