Gv10 65 68 dang quy

O Bài 65 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn   , đường cao AM , BN , CP tam giác ABC đồng quy H  M  BC , N  AC , P  AB  a) Chứng minh tứ giác MHNC nội tiêp đường tròn   b) Kéo dài AH cắt ( O ) điểm thứ hai là D Chứng minh DBC  NBC c) Tiếp tuyến C đường tròn ngoại tiếp tứ giác MHNC cắt đường thẳng AD 2 K Chứng minh KM KH  HC  KH MH NH PH S   AM BN CP d) Tính giá trị biểu thức Lời giải a)    Xét tứ giác MHNC có HMC  HNC 180 , mà hai góc này đổi nên tứ giác MHNC nội tiếp   b)Ta có DBC CAD (2 góc nội tiếp chắn cung CD )   Và NBC CAD (cùng phụ với góc ACB ) Từ   suy DBC  NBC c) ta có KM KH KC từ suy KM KH  HC KH (py ta go) S BHC HM S AHB HP S AHC HN  ;  ;  S AM S CP S BN ABC ABC d)Ta có ABC  MH NH PH S BHC  S AHB  S AHB    1 AM BN CP S ABC Bài 66 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp (O;R) Các đường cao BE, CF cắt H và cắt đường tròn (O) P và Q a) Chứng minh PQ//EF b) Chứng minh OA  EF c) Chứng minh độ dài bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác AEF không đổi A di động cung lớn BC (O) d) Tia AH cắt BC và đường tròn (O) điểm D và N Chứng minh AD BE CF   9 HD HE HF Lời giải   a) Ta có BEC BFC 90 => đỉnh E, F nhìn BC góc vng nên tứ giác    BCEF nội tiếp => EFC EBC PQC => EF//BC b) tứ giác BCEF nội tiếp =>    AQ   AO  PQ ABE ACF  AP mà PQ//EF => AO  EF c) Vẽ đường kính AJ (O) Xét tứ giác BJCH có BH //CJ và CH //BJ => tứ giác BHCJ là hình bình hành; Gọi K là giao điểm BC => KB = KC; HK = KJ => OK  BC Mặt khác OA = OJ => OK là đường trung bình tam giác AHJ => AH = 2OK Mà BC cố định ; O cố định => OK không đổi => AH không đổi Do tứ giác AEHF nội tiếp đường trịn đường kính AH => AH là đường kính đường trịn ngoại tiếp tam giác AEF => bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác AEF khơng đổi d) ta có AD SABC BE SABC CF SABC  ;  ;  HD SBHC HE SAHC HF SABH Đặt SABC 1;SBHC a;SAHC b;SAHB c  a  b  c 1 AD BE CF 1      và HD HE HF a b c Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho số dương ta có 1 1 1 a  b  c 3 abc;    a b c a b c  1 1 1 AD BE CF   a  b  c      9    9   9 a b c  a b c HD HE HF hay Dấu = xảy a = b = c  ABC Bài 67 Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn (O;R) có H là trực tâm tam giác Tia AH cắt (O) E Kẻ đường kính AOF   a) Chứng minh BC//EF và BAE CAF b) Gọi I là trung điểm BC Chứng minh H, I, F thẳng hàng và AH = 2OI c) Vẽ đường trịn tâm H bán kính HA, đường tròn này cắt đường thẳng AB, AC D và K Chứng minh AO  DK và D, J, K thẳng hàng (J là giao điểm BC và AE) d) Chứng minh sinA + sinB + sinC AE  EF mà H là trực tâm nên AE  BC suy EF//BC (từ vng góc đến song song)   *) ta có ABC AFC (hai góc nội tiếp chắn cung AC)     ACF 90   AFC  CAF 90 ABC  BAE  90 mà ;    suy BAE CAF b) H, I, F thẳng hàng và AH = 2OI *) ta có H là trực tâm tam giác ABC nên CH  AB; BH  AC   mà ABF ACF 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) => BH//CF và BF//CH => tứ giác BHCF là hình bình hành => HF và BC cắt trung điểm đường; I là trung điểm BC => HF qua I hay H, I, F thẳng hàng *) Xét tam giác AHF có OA = OF; IH = IF => OI là đường trung bình tam giác => AH = 2OI c) AO  DK và D, J, K thẳng hàng (J là giao điểm BC và AE) *) Gọi giao điểm AH và đường tròn (H) là N   Ta có ABC AND (tứ giác BDNJ nội tiếp)     ABC AFC;AND AKD (các góc nội tiếp chắn cung)   => AKD AFC  Mà ACF 90  AF  DK hay AO  DK *) Xem lại đề bài d) Xét ABC ta có sinA + sinB + sinC BF  AF cosF  AF cosC 2R.cosC (với R là bán kính (O) Tương tự CF  R.cosB ; BC  R.sinA (vẽ thêm đường kính từ B ); Xét tam giác BCF có BF  FC  BC  RcosC  RcosB  RsinA  cosC  cosB  sinA Chứng minh tương tự ta có cosA  cosB  sin C ; cosA  cosC  sinB Cộng vế ta hay  cosA  cosB  cosC   sinA  sinB  sinC sinA  sinB  sinC   cosA  cosB  cosC 