Chuong 03c

CHỦ ĐỀ 4: KỸ THUẬT SỬ DỤNG TÍNH THUẦN NHẤT A NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP Xét biểu thức P ( x1; x2 ; ; xn ) gọi biểu thức bậc k P ( tx1;tx2 ; ;txn ) = tk P ( x1; x2 ; ; xn ) Như đề cập chủ đề Bất đẳng thức AM – GM với bất đẳng thức ta chuẩn hố điều kiện biến để chứng minh cho đơn giản Với dạng toán tiếp cận đưa tốn biến số bất đẳng thức ban đầu kết hợp sử dụng tính đơn điệu hàm số PHƯƠNG PHÁP  Phương pháp chung giảm toán n biến (n-1) biến nhỏ phép đặt ẩn phụ Bằng cách đặt x2 = t1x1 x3 = t2 x2 xn = tn- 1xn- Ta đưa toán với (n-1) biến t1, t2, , tn- Dấu nhận diện: - Giả thiết tốn có dạng - Biểu thức P 1) Kỹ thuật đặt x = ty y = tx cho trường hợp bất đẳng thức toán cực trị hai biến số Ví dụ Cho x,y số thực dương thỏa mãn điều kiện x ³ 2y Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x2 + y2 xy Lời giải Đặt x = ty từ x ³ 2y Þ t ³ ta được: t2 +1 t2 +1 5 2t2 - 5t + = - + = + t t 2 2t ( t - 2) ( 2t - 1) = + ³ 0, " t ³ 2t P= Vậy giá trị nhỏ P đạt x = 2y Nhận xét Ta xử lý cách khác sau: Với dự đoán dấu xảy x = 2y ta viết lại P dạng: P= 3x2 x2 + 4y2 x x2 + 4y2 4xy + = + ³ 2+ = 4xy 4xy y 4xy 4xy Trong trường hợp khơng dự đốn dấu ta sử dụng kỹ thuật đẳng cấp ta dễ dàng tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức P với việc coi P hàm t Ví dụ (TSĐH Khối B 2006) Cho hai số thực x, y thay đổi thỏa mãn điều kiện x2 + y2 = http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P = 2( x2 + 6xy) 1+ 2xy + 2y2 Lời giải 2 Nhận xét Biểu thức P chưa đồng bậc để ý thay x + y = vào biểu thức P ta đưa P dạng đồng bậc Viết lại biểu thức P dạng: P = 2( x2 + 6xy) = x2 + y2 + 2xy + 2y2 2( x2 + 6xy) x2 + 3y2 + 2xy TH1: Nếu y = ta có P = TH2: Nếu y ¹ ta đặt x = t.y ta có: P = f (t) = Xét hàm số f (t) = f '(t) = - 2( t2 + 6t) t2 + 2t + 4( 2t2 - 3t - 9) ( t2 + 2t + 3) 2( t2 + 6t) t2 + 2t + ¡ ta có é êt = ; f '(t) = Û ê ê t = ê ë Bảng biến thiên: t f’(t) f(t) - ¥ - +¥ + - - P Dựa vào bảng biến thiên suy max = f (3) = đạt æ ÷ ÷ x = 3y Û ( x; y) = ỗ ; ỗ ữ ữ ỗ ố 10 10 ứ ổ 3ữ Pmin = P ỗ - ữ = - t ti ỗ ữ ỗ è 2ø x =- ỉ ỉ3 ữ ữ y ( x; y) = ỗ ; ;ỗ ;ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ 13 ố 13 13ø è ÷ ÷ ÷ ÷ 13ø Ví dụ Giả sử x, y số thực dương thỏa mãn điều kiện x + y £ Tìm giá trị lớn biểu thức P = 7(x + 2y) - x2 + 2xy + 8y2 Lời giải Vì x, y số thực dương nên 2ư ỉ ỉ 7y- x2 + 2xy + 8y2 ữ ỗ7(x + 2y) - x + 2xy + 8y ữ ỗ ữ ữ ç P = (x + y)ç = ( x + y ) 7+ ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ç ç x + y x + y ÷ ÷ ç ç è ø è ø (1) x 7y- x2 + 2xy + 8y2 7- t2 + 2t + Đặt t = , t > = y x+ y t +1 Xét hàm số f (t) = (2) 7- t2 + 2t + với t > t +1 http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word Ta có f '(t) = - t2 + 2t + + 28 2 (t +1) t + 2t + Suy bảng biến thiên t2 + 2t + = Û t = ; f '(t) = Û t  f '(t ) + – 3 f (t ) Từ bảng biến thiên ta suy f (t) £ - với t > Dấu đẳng thức xảy t = (3) Từ (1), (2) (3) ta suy P £ (x + y)(7- 3) £ 8, dấu đẳng thức xảy ìï x + y = ïï Û x= , y= x í ïï t = = 3 y ïỵï Vậy giá trị lớn P 8, đạt x = , y = 3 Ví dụ (TSĐH Khối D 2013) Cho x,y hai số thực dương thỏa mãn điều kiện xy £ y- Tìm giá trị lớn biểu thức P= x+ y 2 x - xy + 3y - x - 2y 6( x + y) Lời giải Nhận xét Nhận thấy P đồng bậc nên ta tìm cách đánh giá miền giá trị t = x y đưa khảo sát hàm số với t Xuất phát từ giả thiết ta có: < Đặt t = t +1 t- x Þ < t £ P = ( t +1) y t - t +3 Xét hàm số f (t) = f '(t) = æ1 1ư x y- 1 1 ÷ ÷ Ê = - =- ỗ + Ê ç ÷ ÷ 4 ç y y y y èy 2ø t +1 t - t +3 7- 3t ( t - t + 3) - - t- ổ 1ự trờn ỗ ta c: ç0; ú ç 6( t +1) è 4ú û 2( t +1) ta có t - t + = t ( t - 1) + 3< 3;7- 3t > 6;t +1> 7- 3t 1 Þ > - = - >0 2 2.3 3 t + ( ) ( t - t + 3) Với < t £ æ 1ù 0; ú Vậy f(t) hàm đồng biến trờn ỗ ỗ ỗ 4ỳ ố ỷ ổ1ử ữ Do ú f (t) Ê f ỗ ữ ỗ ữ= + 30 ỗ4ứ ố Vy giỏ tr lớn P + đạt x = , y = 30 http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word 2) Kỹ thuật giảm biến với bất đẳng thức toán cực trị ba biến Ta thường đặt a = x.b;b = y.c Ví dụ (Bất đẳng thức Schur) Cho a,b,c số thực khơng âm ta ln có a3 + b3 + c3 + 3abc ³ ab( a + b) + bc( b+ c) + ca( c+ a) Chứng minh Không tính tổng quát giả sử a ³ b ³ c tồn hai số thực khơng âm x,y cho a = ( x +1) c, b = ( y +1) c bất đẳng thức tương đương với: 3 ( x +1) +( y +1) +1+ 3( x +1) ( y +1) ³ ( x +1) ( y +1) ( x + y + 2) +( x +1) ( x + 2) +( y +1) ( y + 2) Û ( x - y) ( x + y +1) ³ (ln đúng) Ví dụ Cho x,y,z số thực dương thỏa mãn điều kiện z( x + y) = xy Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x2 + y2 z + z x+ y Lời giải Đặt x = a.z, y = b.z ta có a + b = ab Khi P = a2 + b2 + 1 2 = ( a + b) - 2ab+ = ( a + b) - 2( a + b) + a+ b a+ b a+b 2 Mặt khác ( a+ b) ³ 4ab Þ ( a+ b) ³ 4( a+ b) Û a + b ³ Đặt t = a + b,( t ³ 4) P = f (t) = t - 2t + t t3 - 2t2 - > 0, " t ³ nên f(t) hàm Xét hàm số f(t) = t - 2t + với t ³ ta có f '(t) = t t2 đồng biến [ 4;+¥ ) suy P = f (t) ³ f(4) = Vậy giá trị nhỏ P Cách 2: Từ giải thiết suy 33 33 đạt x = y = 2z xy x + y = z2 z ỉx + ỉx + z ÷ ÷ - 2ỗ Khi ú P = ỗ ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ+ x + y ỗ z ứ ỗ z ø è è x+ y xy æx + yử t2 ữ ị t= Ê ỗ = t t = ữ ỗ ữ ị t ç è 2z ø z z Khi P = f (t) = t - 2t + t t3 - 2t2 - > 0, " t ³ nên f(t) hàm Xét hàm số f(t) = t - 2t + với t ³ ta có f '(t) = t t2 đồng biến [ 4;+¥ ) suy P = f (t) ³ f(4) = Vậy giá trị nhỏ P 33 33 đạt x = y = 2z Ví dụ Cho a,b,c số thực dương chứng minh a b c a + b b+ c + + ³ + +1 b c a b+ c a + b http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word Lời giải ( x, y > 0) Đặt a = x.b;c = yb a + b x +1 b+ c y +1 = ; = b+ c y +1 a + b x +1 y x +1 y +1 + +1 Bất đẳng thức trở thành: x + + ³ y x y +1 x +1 Û x3 y2 + x2 + x + y3 + y2 ³ x2 y + 2xy2 + 2xy Bất đẳng thức cuối tổng ba bất đẳng x3 y2 + x x3 y2 + x + y3 + y3 ³ x2 y; ³ 2xy2; x2 + y2 ³ 2xy 2 Bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy a = b = c Ví dụ Cho x,y,z số thực thuộc đoạn [1;2] Tìm giá trị giá trị lớn biểu thức 3 æx2 + z2 + 4xzö æy2 + 2yz - 5z2 ữ ữ ỗ ữ ữ P =ỗ + ỗ ç ÷ ÷ 2 ç ç yz - 4z2 ø ÷ è ÷ è x +z ø 3x - x2 Lời giải é1 ù ;a, b Ỵ ê ;2ú Đặt x = a.z; y = bz ê ë2 ú û 3 æ æ a2 + 4a +1ử b2 + 2b- 5ử ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ P = + Khi ú ỗ ỗ ữ ữ ữ ố ữ ỗ ỗ b- ứ ố a +1 ø 3x - x2 Xét hàm số f (a) = é1 ù a2 + 4a+1 b2 + 2b- ; g ( b ) = đoạn ê ;2úvà h(x) = ê a +1 b- ë2 ú û 3x - x2 đoạn [1;2] ta có f '(a) = - 4( a2 - 1) é1 ù ; f '(a) = Û a = 1Ỵ ê ;2ú ê ë2 ú û ( a2 +1) ổử 1ữ 13 ff (2) = ỗ ữ= Suy max f (a) = ff(1) = 3;min a( ) = ỗ ỗ ố2ữ ứ g'(b) = b2 - 8b- ( b- 4) é1 ù < 0, " b Ỵ ê ;2ú ê ë2 ú û ỉư 1ữ 15 ị max g(b) = gỗ = ;min g(b) = g(2) = ữ ỗ ữ ỗ ố2ứ 14 h'(x) = - 3- 2x 2 3x - x ;h'(x) = Û x = Þ max h(x) = h(1) = h(2) - ỉư 3÷ 2;min h(x) = hỗ ữ ỗ ữ= - ç è2ø 3 Do P = ( f (a)) + ( g(b)) + h(x) æ 15ư 3 ÷ Vì Pmax = ( max f (a)) +( max g(b)) + max h(x) = 33 +ỗ ữ ỗ ữỗ14ứ ố http://dethithpt.com Website chuyờn tài liệu đề thi file word ìï ïï ïï a = ïï ïï Dấu xảy í b = Û ïï ïï x =1 ïï é ïï ê êx = îï ë ìï ïï ïï x = z ïï ïï í y= z Û ïï ïï x =1 ïï é ïï ê êx = ỵï ë a- c + b- c = Ví dụ Cho số thực dương a,b,c thõa mãn điều kiện Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = ïìï x = ïíï y = ïï ïïỵ z = ab c a b c c2 + + + b+ c c + a a + b a + b2 Lời giải Đặt a = x.c, b = y.c,( x, y ³ 1) theo giả thiết ta có: x - + y- = xy Û ( (x - 1)( y- 1) - 1)2 = Û xy = x + y ³ xy => xy ³ Ta viết lại biểu thức P dạng: P = x y 1 + + + y +1 x +1 x + y x2 + y2 Sử dụng bất đẳng thức C-S ta có: P= x2 y2 1 + + + xy + x xy + y x + y (x + y)2 - 2xy (x + y)2 1 + + 2 2xy + x + y xy x y - 2xy ³ x2 y2 1 + + 3xy xy x2 y2 - 2xy xy 1 = + + 2 xy x y - 2xy = t 1 Đặt t = xy,( t ³ 4) Þ P ³ f (t) = + + t t - 2t t 1 Xét hàm số f (t) = + + [ 4;+¥ ) ta có: t t - 2t f '(t) = t2 ( t2 - 4t +1) + 6( t - 1) 6t ( t - 2) 2 > 0, " t ³ Vì f(t) đồng biến với t ³ Þ P ³ f (t) = f (4) = 41 24 41 đạt x = y = 24 Ví dụ Cho a,b,c số thực thỏa mãn điều kiện a ³ b ³ c > Vậy giá trị nhỏ P Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = ( 3ab+ bc) b4 + 121b2 a2 + b2 + c2 + 8ac Lời giải a c Đặt x = , y = ,( x ³ 1³ y > 0) đó: b b http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word10 121 x + y + 8xy +1 121 = 9x2 + 6xy + y2 + x + y + 8xy +1 121 ³ x2 + 8xy + y2 + 6+ 2 x + y + 8xy +1 P = ( 3x + y) + 2 2 Đặt t = x + 8xy + y +1Þ P ³ f (t) = t + Ta có: f '(t) = 1- 121 +5 t 121 ; f '(t) = Û t = 11 t2 Ta có f’(t) đổi dấu từ âm sang dương qua t = 11nên f(t) đạt cực tiểu t = 11 hay P ³ f (t) ³ f (11) = 27 Đẳng thức xảy a = b = c Vậy giá trị nhỏ P 27 đạt a = b = c Ví dụ Cho x,y,z số thực dương thỏa mãn điều kiện 7( x2 + y2 + z2 ) = 11( xy + yz + zx) Chứng minh 51 x y z £ + + £ 28 y + z z + x x + y Lời giải Đặt P = P +3= x y z + + y+ z z + x x + y x y z +1+ +1+ +1 y+ z z+ x x+ y æ1 x + y+ z x + y+ z x + y+ z 1 ÷ ÷ + + = ( x + y + z) ỗ + + ỗ ữ ữ ỗx + y y + z z + x ø y+ z z+ x x+ y è ù ( x + y + z) é ë( x + y) ( x + z) +( y + z) ( y + x) +( z + x) ( z + y) û = ( x + y) ( y + z) ( z + x) = ( x + y + z) é ( x + y + z) + xy + yz + zxù ê ú ë û = ( x + y) ( y + z) ( z + x) Theo giả thiết ta có: 7( x + y + z) = 25( xy + yz + zx) Suy é 2ù ( x + y + z) ú ( x + y + z) ê ú 25 ë û= 32 25 ( x + y) ( y + z) ( z + x) ( x + y) ( y + z) ( z + x) ( x + y + z) ê( x + y + z) + P +3= Do ( x + y) ( y + z) ( z + x) 32 = 25 P + ( x + y + z) Đặt a = x y z ,b= ,c = Þ x + y+ z x + y+ z x + y+ z ïìï a+ b+ c = ï í ïï ab+ bc+ ca = ïỵ 25 32 = ( a + b) ( b+ c) ( c + a) = ( 1- a) ( 1- b) ( 1- c) 25 P + = 1- ( a + b+ c) + ab+ bc+ ca- abc = 1- 1+ 7 - abc = - abc 25 25 http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word11 Vậy để tìm giá trị lớn nhỏ P ta tìm giá trị lớn nhỏ Q = abc Ta có ỉ7 ộ7 ự ộ7 ự Q = aỗ - ab- ac÷ - a( b+ c) ú= a ê - a( 1- a) ỳ= a3 - a2 + a ữ ỗ ữ= a ỗ25 ỳ ỳ ố ứ 25 25 25 ë û ë û Ta có: ìï b+ c = 1- a ïï ỉ2 7ư 2 ;( b+ c) ³ 4bc Û ( 1- a) 4ỗ a - a+ ữ Ê aÊ ữ ỗ ữ ỗ ùù bc = a - ằ 25ø 15 ïỵ 25 é1 3ù Xét hàm số f (a) = a - a + a đoạn ê ; úta có: ê 25 ë15 5ú û é êa = ê f '(a) = 3a2 - 2a + ; f '(a) = Û ê ê 25 êa = ê 15 ë ỉ1 ỉ7 ổử 49 3ữ ổử 1ữ ữ ữ ; ỗ ữ= ffỗ ữ= ữ= ỗ ữ= Ta cú ffỗ ç ç ç ç ÷ ÷ ÷ ÷ ç15ø ç15ø ç5ø ç5ø è è è 3375 è 125 Suy Qmax = 49 51 ;Qmin = Þ Pmax = 2; Pmin = 125 3375 28 3) Một đánh giá hay sử dụng Với điều kiện số thực a,b,c không âm ta bất đẳng thức thường đạt điểm rơi biến nên ta thường giả sử c = min{ a, b, c} tìm cách đánh giá đưa bất đẳng thức hai biến Ta có ước lượng hay sử dụng: 2 2 ỉ cư ỉ cư ỉ c÷ ỉ cử a2 + c2 Ê ỗ a+ ữ ;b2 + c2 Ê ỗ b+ ữ ;a2 + b2 Ê ỗ a+ ữ +ỗ b+ ữ ữ ữ ữ ỗ ỗ ç ç ÷ ÷ ÷ ÷; ç ç ç ç 2ø è 2ø è 2ø è 2ø è 2 æ cö æ cö a2 + b2 + c2 £ ç a+ ÷ +ç b+ ÷ ÷ ÷ ç ç ữ ữ ỗ ỗ 2ứ ố 2ứ ố ổ cử ổ cử ỗ ab+ bc + ca ỗ a+ ữ ữ ữ ỗ ỗb+ ữ ữ ữ ỗ ố 2ứỗ ố 2ứ ổ cử ữ a2 - ac + c2 = a2 + c( c- a) £ a2 Ê ỗ a + ữ ỗ ữ; ỗ ố 2ứ ỉ cư b2 - bc + c2 = b2 + c( c- b) Ê b2 Ê ỗ b+ ữ ữ ỗ ữ; ỗ ố 2ứ ổ cử a2 - ab+ b2 Ê ỗ a+ ữ ữ ỗ ữỗ è 2ø ỉ cư ỉ cư ỉ cư ÷ ữ ỗ ỗ ỗ a+ ữ b + + b + ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ữố ữ ố ữ ỗ 2ứ ỗ 2ứ ỗ 2ứ ố Vớ d Cho a,b,c số thực không âm thỏa mãn điều kiện a + b+ c = 2 2 2 Tìm giá trị lớn biểu thức P = ( a - ab+ b ) ( b - bc + c )( c - ca + a ) Lời giải Giả sử c = min{ a, b, c} ta có: b2 - bc + c2 = b2 + c( c- b) £ b2 ; a2 - ac + c2 = a2 + c( c- a) £ a2 Suy http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word12 P £ a2b2 ( a2 - ab+ b2 ) a b 2 2 2 2 - 1+ P a b ( a - ab+ b ) a b ( a - ab+ b ) b a Þ 6£ £ = 6 3 ỉ a bư ( a + b+ c) ( a + b) ÷ ç + + ÷ ç ÷ ç èb a b t- Đặt t = b + a ,( t ³ 2) Þ P £ f (t) = ( t + 2) Xét hàm số f (t) = f '(t) = 36 5- 2t ( t + 2) t- ( t + 2) với t ³ ta có: ; f '(t) = Û t = Ta có f’(t) đổi dấu từ dương sang âm qua t = 5 nên f(t) đạt cực đại t = 2 ỉư 5÷ ữ hay P Ê f (t) Ê f ỗ ỗ ữ= 12 ỗ ố2ứ Vy giỏ tr ln nht P 12 đạt a = 2, b = 1, c = hoán vị Cách 2: Thực đánh sử dụng AM-GM ta cú: ổ3 ỗ ab+ ab+ a2 - ab+ b2 ữ ữ ỗ ữ 3 ỗ2 ữ ữ P Ê a2b2 ( a2 - ab+ b2 ) = ab ab( a2 - ab+ b2 ) Ê ỗ ỗ ữ ữ 2 9ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ è ø 6 4( a + b+ c) ( a + b) = £ = 12 27 9.27 Đẳng thức xảy éa = 2, b = 1, c = ê ê ëa = 1, b = 2, c = a + b+ c = 3, c = 0, ab = a2 - ab+ b2 Û Cách 3: Giả sử c = min{ a, b, c} ta có: ỉ cư ÷ a2 - ac + c2 = a2 + c( c- a) £ a2 Ê ỗ a + ữ ỗ ữ; ỗ ố 2ứ ỉ cư b2 - bc + c2 = b2 + c( c- b) Ê b2 Ê ỗ b+ ữ ữ ỗ ữ; ỗ ố 2ứ ổ cử a2 - ab+ b2 Ê ỗ a+ ữ ữ ỗ ữỗ è 2ø ỉ cư ỉ cư ỉ cư ữ ữ ỗ ỗ ỗ a+ ữ b + + b + ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ữố ữ ố ữ ỗ 2ứ ỗ 2ứ ỗ 2ứ ố c c Đặt x = a + , y = b+ ,( x, y ³ 0) Þ x + y = a+ b+ c = đó: 2 P £ x2 y2 ( x2 - xy + y2 ) = x2 ( 3- x) (x - x( 3- x) +( 3- x) 2 = 3x - 27x + 90x - 135x + 81x £ 12 ) Ví dụ Cho a,b,c số thực khơng âm khơng có hai số đồng thời thỏa mãn a + b+ c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = 2 a +b + 2 b +c + a + c2 Lời giải Khơng tính tổng quát giả sử c = min{ a, b, c} ta có: http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word13 2 ỉ cư ỉ cư ÷ ữ ỗ a2 + b2 Ê ỗ a + + b + ữ ỗ ữ; ỗ ữ ữ ỗ 2ứ ç 2ø è è ỉ cư ÷; b2 + c2 Ê ỗ b+ ữ ỗ ữ ỗ ố 2ứ ổ cử ữ a2 + c2 Ê ỗ a + ữ ỗ ữ ỗ ố 2ứ P Khi a+ c + c b+ + ỉ cư ỉ cư ữ ỗ ỗ a+ ữ + b + ữ ữ ç ç ÷ ÷ ç ç è 2ø è 2ø c c Đặt x = a + , y = b+ ,( x, y > 0) Þ x + y = a+ b+ c = 2 ỉx + ÷ Theo bất đẳng thức AM-GM ta cú: xy Ê ỗ ữ ỗ ữ = v ç è ø P³ x + y + x +y ³ 2xy( x + y 2 ) + 2- ³ 4 xy + 2 x +y = 2xy ³ 2 ổ 2xy + x + y ỗ ỗ ỗ è ÷ ÷ ÷ ÷ ø + + 2- ổ 1ử +ỗ 2- ữ ữ ỗ ỗ ữ 4 ố ứ xy x +y 2 = 2+ 2 Dấu xảy x = y = 1Þ a = b = 1, c = Vậy giá trị nhỏ P 2+ đạt a = b = 1, c = hoán vị B BÀI TẬP CHỌN LỌC Bài (TSĐH Khối A, A1 2013) Cho số thực dương a,b,c thỏa mãn điều kiện ( a + c) ( b+ c) = 4c2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = 32a3 ( b+ 3c) + 32b3 ( a + 3c) - a2 + b2 c Lời giải Đặt a = cx, b = cy,( x, y > 0) từ điều kiện toán ta có: ( x +1) ( y +1) = Û xy + x + y = Ta có: P = 32x3 ( y + 3) + 32y3 ( x + 3) - x2 + y2 Trước tiên ta chứng minh bất đẳng thức quen thuộc sau đây: Với a,b dương ta ln có a3 + b3 ³ ( a + b) 2 Thật bất đẳng thức tương đương với: 4( a+ b) ( a - ab+ b ) ³ ( a + b) Û 4( a2 - ab+ b2 ) ³ a2 + 2ab+ b2 Û 3( a- b) ³ Bất đẳng thức ln đung tốn phụ chứng minh Áp dụng ta có: http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word14