Ds c8 phuong trinh mat cau

CHỦ ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU A KIẾN THỨC CƠ BẢN 1/ Định nghĩa: Cho điểm I cố định số thực dương R Tập hợp tất điểm M không gian cách I khoảng R gọi I R A B mặt cầu tâm I, bán kính R 2/ Các dạng phương trình mặt cầu : S  I ; R trình  S  Ichính ; R   Mtắc / IM RDạng  DạngKí hiệu: : Phương : Phương trình tổng quát ( S ) : x  y  z  ax  2by  2cz  d 0 (2) Mặt cầu (S) có tâm I  a; b; c  , bán kính  Điều kiện để phương trình (2) R 0 phương trình mặt cầu:  S  :  x  a 2   y  b    z  c  R a  b2  c2  d   (S) có tâm I  a; b; c   (S) có bán kính: R  a  b  c  d 3/ Vị trí tương đối mặt cầu mặt phẳng : Cho mặt cầu S  I ; R  mặt phẳng  P  Gọi H hình chiếu vng góc I lên  P   d  IH khoảng cách từ I đến mặt phẳng  P  Khi : + Nếu d  R : Mặt cầu + Nếu d R : Mặt phẳng + Nếu d  R : Mặt phẳng mặt phẳng khơng có tiếp xúc mặt cầu Lúc đó:  P  cắt mặt cầu theo điểm chung  P  mặt phẳng tiếp diện thiết diện đường tròn mặt cầu H tiếp có tâm I' bán kính điểm r  R  IH M1 R I I R M2 P P H I d R r H I' α Lưu ý: Khi mặt phẳng (P) qua tâm I mặt phẳng (P) gọi mặt phẳng kính thiết diện lúc gọi đường trịn lớn 4/ Vị trí tương đối mặt cầu đường thẳng : Cho mặt cầu S  I ; R  đường thẳng  Gọi H hình chiếu I lên  Khi : + IH  R :  không cắt + IH R :  tiếp xúc với mặt + IH  R :  cắt mặt cầu mặt cầu cầu  tiếp tuyến (S) hai điểm phân biệt H tiếp điểm   H H I R Δ R I R H B I A http://dethithpt.com – Website số chuyên đề thi file word có lời giải Trang 1/51 * Lưu ý: Trong trường hợp  cắt (S) điểm A, B bán kính R (S) tính sau: + Xác định: d  I ;   IH + Lúc đó:  AB  R  IH  AH  IH      2 2 ĐƯỜNG TRỊN TRONG KHƠNG GIAN OXYZ * Đường trịn (C) khơng gian Oxyz, xem giao tuyến (S) mặt phẳng ( ) S :   : x  y  z  2ax  2by  2cz  d 0 I Ax  By  Cz  D 0 R * Xác định tâm I’ bán kính R’ (C) + Tâm I ' d     I' R'  Trong d đường thẳng qua I vng góc với mp ( ) + Bán kính R '  R   II '   R   d  I ;      5/ Điều kiện tiếp xúc : Cho mặt cầu (S) tâm I, bán kính R + Đường thẳng  tiếp tuyến (S)  + Mặt phẳng    tiếp diện (S) d  I ;   R  d  I ;     R * Lưu ý: Tìm tiếp điểm M  x0 ; y0 ; z0    IM  ad  IM  d   Sử dụng tính chất :   IM      IM  n  http://dethithpt.com – Website số chuyên đề thi file word có lời giải Trang 2/51 B KỸ NĂNG CƠ BẢN Dạng 1: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU Phương pháp: * Thuật tốn 1: Bước 1: Xác định tâm I  a; b; c  Bước 2: Xác định bán kính R (S) Bước 3: Mặt cầu (S) có tâm I  a; b; c  bán kính R (S ) :  x  a 2   y  b    z  c  R * Thuật tốn 2: Gọi phương trình ( S ) : x  y  z  2ax  2by  2cz  d 0 Phương trình (S) hồn tồn xác định biết a, b, c, d ( a  b  c  d  ) Bài tập : Viết phương trình mặt cầu (S), trường hợp sau: a)  S  có tâm I  2; 2;  3 bán kính R 3 b)  S  có tâm I  1; 2;0  (S) qua P  2;  2;1 c)  S  có đường kính AB với A  1;3;1 , B   2;0;1 Bài giải: a) Mặt cầu tâm I  2; 2;  3 bán kính R 3 , có phương trình: 2 (S):  x     y     z  3 9  b) Ta có: IP  1;  4;1  IP 3 Mặt cầu tâm I  1; 2;0  bán kính R IP 3 , có phương trình: 2 (S):  x  1   y    z 18  c) Ta có: AB   3;  3;0   AB 3   Gọi I trung điểm AB  I   ; ;1  2    AB Mặt cầu tâm I   ; ;1 bán kính R  , có phương trình:   2  2 2 1  3  (S):  x     y     z  1  2  2  Bài tập : Viết phương trình mặt cầu (S) , trường hợp sau: a) (S) qua A  3;1;0  , B  5;5;0  tâm I thuộc trục Ox b) (S) có tâm O tiếp xúc mặt phẳng    : 16 x  15 y  12 z  75 0 c) (S) có tâm I   1; 2;0  có tiếp tuyến đường thẳng  : x 1 y  z   1 3 Bài giải:   a) Gọi I  a;0;0   Ox Ta có : IA   a;1;0  , IB   a;5;0  Do (S) qua A, B  IA IB    a 1    a  25  4a 40  a 10  I  10;0;0  IA 5 Mặt cầu tâm I  10;0;0  bán kính R 5 , có phương trình (S) :  x  10   y  z 50 b) Do (S) tiếp xúc với     d  O,     R  R  75 3 25 http://dethithpt.com – Website số chuyên đề thi file word có lời giải Trang 3/51 Mặt cầu tâm O  0;0;0  bán kính R 3 , có phương trình (S) : x  y  z 9  c) Chọn A   1;1;0     IA  0;  1;0     Đường thẳng  có vectơ phương u   1;1;  3 Ta có:  IA, u   3;0;  1   IA, u  Do (S) tiếp xúc với   d  I ,   R  R      10 u 11 10 Mặt cầu tâm I   1; 2;0  bán kính R  , có phương trình (S) : 11 10   y  2  z  121 Bài tập : Viết phương trình mặt cầu (S) biết : a) (S) qua bốn điểm A  1; 2;   , B  1;  3;1 , C  2; 2;3 , D  1;0;   x 1 b) (S) qua A  0;8;0  , B  4;6;  , C  0;12;  có tâm I thuộc mặt phẳng (Oyz) Bài giải: a) Cách 1: Gọi I  x; y; z  tâm mặt cầu (S) cần tìm  IA IB  Theo giả thiết:  IA IC   IA ID   IA2 IB   y  z     IA IC   x  z    IA2 ID  y  z 1    x    y 1  z 0  2 Do đó: I   2;1;0  R IA  26 Vậy (S) :  x     y  1  z 26 Cách 2: Gọi phương trình mặt cầu (S) : x  y  z  2ax  2by  2cz  d 0 , a  b2  c  d   Do A  1; 2;     S    2a  4b  8c  d  21 (1) Tương tự: B  1;  3;1   S    2a  6b  2c  d  11 (2) C  2; 2;3   S    4a  4b  6c  d  17 (3) D  1;0;    S    2a  8c  d  17 (4) Giải hệ (1), (2), (3), (4) ta có a, b, c, d , suy phương trình mặt cầu (S) :  x  2 2   y  1  z 26 b) Do tâm I mặt cầu nằm mặt phẳng (Oyz)  I  0; b; c  2 b 7  IA IB  Ta có: IA IB IC   c 5  IA IC 2 Vậy I  0;7;5  R  26 Vậy (S): x   y     z   26  x t  Bài tập 4: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I thuộc đường thẳng  :  y   z  t  (S) tiếp xúc với hai mặt phẳng    : x  y  z  0    : x  y  z  0 Bài giải: Gọi I  t ;  1;  t    tâm mặt cầu (S) cần tìm http://dethithpt.com – Website số chuyên đề thi file word có lời giải Trang 4/51 1 t 5 t   t 5  t    t 3 3   t t  Theo giả thiết: d  I ,     d  I ,      2 Suy ra: I  3;  1;  3 R d  I ,      Vậy (S) :  x  3   y  1   z  3  Bài tập 5: Lập phương trình mặt cầu (S) qua điểm A  2;6;0  , B  4;0;8  có tâm x  y z 5   1 thuộc d: Bài giải:  x 1  t  Ta có d :  y 2t Gọi I   t ; 2t ;   t   d tâm mặt cầu (S) cần tìm  z   t    Ta có: IA   t ;6  2t ;5  t  , IB   t ;  2t;13  t  Theo giả thiết, (S) qua A, B  AI  BI  1 t  2    2t     t   3t  4t   13  t   62  32t 178  20t  12t  116  t  29 2  32 58 44  32   58   44    I  ; ;  R IA 2 233 Vậy (S):  x     y     z   932 3   3       Bài tập 6: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I  2;3;  1 cắt đường thẳng x 1 y  z   hai điểm A, B với AB 16 4 Bài giải:  Chọn M   1;1;0     IM   3;  2;1 Đường thẳng  có vectơ phương  u  1;  4;1   IM , u    Ta có:  IM , u   2; 4;14   d  I ,       2   u : AB Gọi R bán kính mặt cầu (S) Theo giả thiết : R   d  I ,     2 19 2 Vậy (S):  x     y  3   z  1 76 Bài tập 7: Cho hai mặt phẳng  P  : x  y  z  0,  Q  : x  y  z  0 đường x y z   Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I giao điểm (P) 2  cho (Q) cắt (S) theo hình trịn có diện tích 20 Bài giải: (1)  x 1  7t  x 1  7t  y 3t (2)   Ta có  :  y 3t Tọa độ I nghiệm hệ phương trình:  (3)  z 1  2t  z 1  2t  5 x  y  z  0 (4) thẳng  : Thay (1), (2), (3) vào (4) ta có:   7t    3t     2t   0  t 0  I  1;0;1 http://dethithpt.com – Website số chuyên đề thi file word có lời giải Trang 5/51 Gọi r bán kính đường trịn giao tuyến (S) mặt phẳng (Q) Ta có: Ta có : d  I ,  Q    20  r  r 2 R bán kính mặt cầu (S) cần tìm 110 2 330 Theo giả thiết: R   d  I ,  Q     r  Vậy (S) :  x  1  y   z  1    3  x  t  Bài tập 8: Cho mặt phẳng ( P ) : x  y  z  0 đường thẳng d :  y 2t   z t   Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I thuộc d I cách (P) khoảng (S) cắt (P) theo giao tuyến đường trịn có bán kính Bài giải: Gọi I   t ; 2t  1; t    d : tâm mặt cầu (S) R bán kính (S) Theo giả thiết : R   d  I ;  P     r    13   Mặt khác: d  I ;  P    t    2t  2t   2t   2  2  6t  6   1   t  11  2  13  1  2  13   * Với t  : Tâm I1   ;  ;  , suy  S1  :  x     y     z   13  6 6  3  6  2 11  11  11   2  1  I ;  ; * Với t  : Tâm   , suy  S  :  x     y     z   13  6 6  3  6  x  y 1 z    Viết phương trình 2 mặt cầu (S) tâm I cắt d hai điểm A, B cho IAB vuông I Bài giải :  Đường thẳng d có vectơ phương u  2;1;  P  1;  1;1  d      u , IP  Ta có: IP  0;  1;     u , IP   0;  4;   Suy ra: d  I ; d       20 u Bài tập 9: Cho điểm I  1;0;3 đường thẳng d : Gọi R bán kính (S) Theo giả thiết, IAB vng I 1 40     R  IH  2d  I , d   IH IA IB R 40 2 Vậy (S) :  x  1  y   z  3   Bài tập 10: (Khối A- 2011) Cho mặt cầu (S): x  y  z  x  y  z 0 điểm A  4; 4;0  Viết phương trình mặt phẳng (OAB), biết điểm B thuộc (S) tam giác OAB Bài giải : (S) có tâm I  2; 2;  , bán kính R 2 Nhận xét: điểm O A thuộc (S) http://dethithpt.com – Website số chuyên đề thi file word có lời giải Trang 6/51 Tam giác OAB đều, có bán kính đường trịn ngoại tiếp R /  2 / Khoảng cách : d  I ;  P    R   R   OA  3 2 Mặt phẳng (P) qua O có phương trình dạng : ax  by  cz 0  a  b  c    * Do (P) qua A, suy ra: 4a  4b 0  b  a Lúc đó: d  I ;  P    2 a  b  c  2c  2c  a2  b2  c2 2a  c 2a  c  c a  2a  c 3c   Theo (*), suy  P  : x  y  z 0 x  y  z 0  c  Chú ý: Kỹ xác định tâm bán kính đường trịn khơng gian Cho mặt cầu (S) tâm I bán kính R Mặt phẳng (P) cắt (S) theo đường trịn (C) Bước 1: Lập phương trình đường thẳng d qua I vng góc với mặt phẳng (P) Bước 2: Tâm I’ đường tròn (C) giao điểm d mặt phẳng (P) Bước 3: Gọi r bán kính (C): r  R   d  I ;  P    Bài tập 11: Chứng minh rằng: Mặt cầu ( S ) : x  y  z  x  0 cắt mặt phẳng (P): x  0 theo giao tuyến đường tròn (C) Xác định tâm bán kính (C) Bài giải : * Mặt cầu (S) có tâm I  1;0;0  bán kính R 2 Ta có : d  I ,  P   1  R  mặt phẳng (P) cắt (S) theo giao tuyến đường tròn (đ.p.c.m)  * Đường thẳng d qua I  1;0;0  vng góc với (P) nên nhận nP  1;0;0  làm vectơ  x 1  t  phương, có phương trình d :  y 0  z 0   x 1  t  y 0  /  + Tọa độ tâm I đường tròn nghiệm hệ :   z 0  x  0  x 2  /  y 0  I  2;0;0   z 0  + Ta có: d  I ,  P   1 Gọi r bán kính (C), ta có : r  R   d  I ,  P       Dạng : SỰ TƯƠNG GIAO VÀ SỰ TIẾP XÚC Phương pháp: * Các điều kiện tiếp xúc: + Đường thẳng  tiếp tuyến (S)  d  I ;   R + Mặt phẳng ( ) tiếp diện (S) d  I ;     R  * Lưu ý dạng tốn liên quan tìm tiếp điểm, tương giao http://dethithpt.com – Website số chuyên đề thi file word có lời giải Trang 7/51 Bài tập 1: Cho đường thẳng    : x y z   và mặt cầu  S  : 1 x  y  z  x  z  0 Số điểm chung     S  : A 0.B.1.C.2.D.3 Bài giải:  Đường thẳng    qua M  0;1;  có vectơ phương u  2;1;  1 Mặt cầu  S  có tâm I  1;0;   bán kính R 2   u, MI    498    Ta có MI  1;  1;    u, MI    5;7;  3  d  I ,     u  Vì d  I ,    R nên    không cắt mặt cầu  S  Lựa chọn đáp án A Bài tập 2: Cho điểm I  1;  2;3 Phương trình mặt cầu tâm I tiếp xúc với trục Oy là: 2  z  3  10 B  x  1   y   2  z  3 10 D  x  1   y   A  x  1   y   C  x  1   y   2  z  3 10 2  z  3 9 Bài giải: Gọi M hình chiếu I  1;  2;3 lên Oy, ta có : M  0;  2;0   IM   1;0;  3  R d  I , Oy  IM  10 bán kính mặt cầu cần tìm Phương trình mặt cầu :  x  1   y    z  3 10 Lựa chọn đáp án B Bài tập 3: Cho điểm I  1;  2;3 đường thẳng d có phương trình x 1 y  z    1 Phương trình mặt cầu tâm I, tiếp xúc với d là: A  x  1   y     z  3 50 B  x  1   y     z  3 5 2 2 C  x  1   y     z  3 5 2 D  x  1   y     z  3 50 Bài giải: d thẳng   u , AM     d  A, d   5  u Đường I   1; 2;  3 qua Phương trình mặt cầu :  x  1   y    z  3 có VTCP  u  2;1;  1 50 Lựa chọn đáp án D Bài tập 4: Mặt cầu  S tâm I ( 2; 3; - 1) cắt đường thẳng d: x  11 y z  25   2 điểm A, B cho AB 16 có phương trình là: A  x     y  3   z  1 17 B  x     y  3   z  1 289 http://dethithpt.com – Website số chuyên đề thi file word có lời giải Trang 8/51 2 C  x     y  3   z  1 289 2 D  x     y  3   z  1 280 Bài giải: Đường thẳng  d  qua M  11; 0;  25  có vectơ  phương u  2;1;   I Gọi H hình chiếu I (d) Ta có:   u , MI  AB    IH d  I , AB   15  R  IH     17 u   2 R d B A H Vậy  S  :  x     y  3   z  1 289 Lựa chọn đáp án C Bài tập 5: Cho đường thẳng d : x 5 y  z   điểm I (4;1;6) Đường thẳng d cắt 2 mặt cầu  S  có tâm I, hai điểm A, B cho AB 6 Phương trình mặt cầu  S  là: A  x     y  1   z   18 2 C  x     y  1   z   9 B  x     y  1   z   18 2 D  x     y  1   z   16 Bài giải : Đường thẳng d qua M ( 5;7;0) có vectơ phương  u (2;  2;1) Gọi H hình chiếu I (d) Ta có :   u, MI  AB     IH d  I , AB   3  R  IH     18 u   2 I R d B A Vậy  S  :  x     y  1   z   18 H Lựa chọn đáp án A Bài tập 8: Cho điểm I  1;0;0  đường thẳng d : x y  z 2   Phương trình mặt cầu  S  có tâm I cắt đường thẳng d hai điểm A, B cho tam giác IAB là: 20 20 B  x  1  y  z  3 16 2 C  x  1  y  z  D  x  1  y  z  Bài giải: Đường thẳng    qua M  1;1;   có vectơ  phương u  1; 2;1    u MI  0;  1; Ta có    , MI   5;  2;  1 Gọi H hình chiếu I (d) Ta có :   u , MI    IH d  I , AB     u A  x  1  y  z  I R B A d H http://dethithpt.com – Website số chuyên đề thi file word có lời giải Trang 9/51 Xét tam giác IAB, có IH R IH 15  R  3 Vậy phương trình mặt cầu là:  x  1  y  z  20 Lựa chọn đáp án A Bài tập 9: Cho mặt cầu ( S ) : x  y  z  x  y  z  0 Viết phương trình tiếp tuyến mặt cầu (S) qua A  0;0;5  biết:  a) Tiếp tuyến có vectơ phương u  1; 2;  b) Vuông góc với mặt phẳng (P) : 3x  y  z  0 Bài giải:  a) Đường thẳng d qua A  0;0;5  có vectơ phương u  1; 2;  , có phương  x t  trình d:  y 2t  z 5  2t   b) Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến nP  3;  2;  Đường thẳng d qua A  0;0;5  vng góc với mặt phẳng (P) nên có vectơ  x 3t   phương nP  3;  2;  , có phương trình d:  y  2t  z 2t   Bài tập 10: Cho ( S ) : x  y  z  x  y  z  0 hai đường thẳng x 1 y 1 z    ; 2 x y z 2 :   Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với 1  đồng 2 thời tiếp xúc với (S) Bài giải: Mặt cầu (S) có tâm I  3;3;  1 , R 4  Ta có: 1 có vectơ phương u1  3; 2;    có vectơ phương u2  2; 2;1  Gọi n vectơ pháp mặt phẳng (P)   ( P) / / 1 n  u1         chọn n  u1 , u2    2;  1;  Do:  ( P ) / /   n  u2 Lúc đó, mặt phẳng (P) có dạng :  x  y  z  m 0 1 : Để mặt phẳng (P) tiếp xúc với (S)  d  I ;( P )  R  5m 4  m 7   m 12    m  17 Kết luận: Vậy tồn mặt phẳng :  x  y  z  0,  x  y  z  17 0 http://dethithpt.com – Website số chuyên đề thi file word có lời giải Trang 10/51