CHUYÊN ĐỀ.THỰC HIỆN DÃY TÍNH – TÍNH NHANH A/ KIẾN THỨC CẦN NHỚ Với tốn thực phép tính kì thi học sinh giỏi, địi hỏi học sinh phải nhanh nhạy việc phối hợp nhiều phép tinh như: phép tính lũy thừa, phép tính cộng trừ phân số, tối giản phân số, tính tổng theo quy luật…thứ tự thực phép tính KIẾN THỨC BỔ TRỢ: 1/ Cơng thức tính lũy thừa số tự nhiên: am.an = am+n (a.b)m = am.bm (am)n = am.n m am a n b b b 0 hay (a : b)m = am : bm 2/ Một số công thức đặt thừa số chung a.b + a.c + a.d + … + a k = a.(b + c + d + … + k) 1 a a a a x1 x xn xn x1 x 4/ Một số cơng thức tính tổng a) Tổng số hạng cách đều: S = a1 + a2 + a3 + … + an (1) Với a2 – a1 = a3 – a2 = … = an – an-1 = d (các số hạng cách đều) Số số hạng tổng n = a n a1 : d a1 số hạng thứ an số hạng thứ n Tổng S = n.(a1 + an) : Số hạng thứ n dãy an = a1 + (n – 1).d b) Tổng có dạng: S = + a + a2 + a3 + ….+ an (2) B1: Nhân vào hai vế đẳng thức với số a ta a.S = a + a2 + a3 + a4 + ….+ an + (3) B2: Lấy (3) trừ (2) vế theo vế được: a n 1 S a a.S – S = an + – => c) Tổng có dạng: S = + a2 + a4 + a6 + ….+ a2n (4) B1: Nhân vào hai vế đẳng thức với số a2 ta a2.S = a2 + a4 + a6 + a8 + ….+ a2n + B2: Lấy (5) trừ (4) vế theo vế được: (5) a2.S – S = a2n + – => S a 2n 2 a2 d) Tổng có dạng: S = a + a3 + a5 + a7 + ….+ a2n + (6) B1: Nhân vào hai vế đẳng thức với số a2 ta a2.S = a3 + a5 + a7 + a9 + ….+ a2n + (7) B2: Lấy (7) trừ (6) vế theo vế được: a2.S – S = a2n + – a => S a 2n 2 a a2 d) Tổng có dạng: S = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + ….+ (n – 1) n (8) Vì khoảng cách thừa số số hạng => Nhân vào hai vế đẳng thức (8) với lần khoảng cách (nhân với 3) ta 3.S = 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 + 4.5.3+ ….+ (n – 2).(n – 1) 3+ (n - 1).n.3 = 1.2.3 + 2.3.(4 – 1) + 3.4.(5 – 2) + ….+ (n – 2).(n – 1).[n – (n – 3)] + (n -1).n.[(n + 1) – (n – 2)] = (n – 1).n.(n + 1) S n – 1 n n 1 e) Tổng có dạng: P = 12 + 22 + 32 + 42 + … + n2 (9) Áp dụng công thức tổng (8) là: S = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + ….+ n(n+1) S = 1.(1 + 1) +2 (2 +1 ) + 3(3 + 1) + 4(4 + 1) +…+ n(n + 1) = (12 + 22 + 32 + 42 + … + n2) + (1 + + + … + n) = P + (1 + + + … + n) P = S - (1 + + + … + n) n n + 1 n Trong theo (8) S = n(n 1) Theo (1) (1 + + + … + n) = n(n 1) 2n 1 P= f) Tổng có dạng: S = 12 + 32 + 52 + …+ (k - 1)2 (10) với k chẵn k ∈ N Áp dụng tổng A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + ….+ (k - 2)(k - 1) + (k – 1) k = 0.1 + 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + ….+ (k - 2)(k - 1) + (k – 1) k = 1(0 + 2) + 3(2 + 4) + 5(4 + 6) + …+ (k – 1) [(k– 2) + k] = 1.2 + + 5.10 +…+ (k - 1).(2k – 2) = 1.1.2 + 3.3.2 + 5.5.2 +…+ (k – 1).(k – 1).2 = 2.[12 + 32 + 52 + ….+ (k – 1)2] = 2.S k – 1 k k 1 k – 1 k k 1 A A S = mà theo (8) tổng => S = g) Tổng có dạng: S = a1.a2 + a2.a3 + a3.a4 + a4.a5 + ….+ an-1 an (11) * Với a2 – a1 = a3 – a2 = ….= an - an-1 = S = a1.(a1 + 2) + a2 (a2 + 2) + a3 (a3 + 2) + a4 (a4 + 2) + ….+ an-1 (an - + 2) a = a 22 a 32 a n2 a1 a a a n = S1 + k S2 2 2 Trong tổng S1 = a1 a a a n S2 = a1 a a a n * Với a2 – a1 = a3 – a2 = ….= an - an-1 = k > Nhân hai vế với 3k , tách 3k số hạng để tạo thành số hạng tự triệt tiêu 1 1 a n 1a n h) Tổng có dạng: S = a1a a 2a a 3a * Với a2 – a1 = a3 – a2 = a4 – a3 = … = an – an-1 = thì: 1 1 1 1 1 a n a n a1 a n S = a1 a a a a a * Với a2 – a1 = a3 – a2 = a4 – a3 = … = an – an-1 = k > thì: 1 1 1 1 1 1 1 k a1 a a a a a a n a n k a1 a n S= B.BÀI TOÁN TỰ LUYỆN Bài Tính tổng : S 27.4500 135.550.2 18 Bài Tính: 101 100 99 98 1 a)A 101 100 99 98 1 b)B 423134.846267 423133 423133.846267 423134 (12) Bài Kết phép tính 99 100 bằng: A B 50 50 C 100 D Bài A 1 1 1 1 A ;B , 3.8 8.13 13.18 18.21 3.7 7.11 11.15 15.19 19.23 Tính tỉ số B biết: A B A A 1 B B A C B A 20 D B Bài Tính hợp lý b) 2100 550 2100 11 550 a)53.81 47.14 81.47 14.53 20162016 2017 2016 2016 20162017.2017 2016 c) 2017 2017 2016 20172017 2017 2017 2017 2016 d) 636 50.540 10.534 3030.104 100.155 4.35 Bài 5.42017 42018 A 42 42016 Chứng tỏ biểu thức A có giá trị số nguyên Cho biểu thức Bài Khơng quy đồng tính tổng sau: A 1 1 1 1 1 1 20 30 42 56 72 90 Bài Tính giá trị biểu thức sau: a)A 68.74 27.68 68 b)B 23.53 539 639 : 2017 151515 17 1500 1616 c)C 10 161616 17 1600 1717 d)D 1 1 1 2 100 Bài 92 1 1 92 10 11 100 : 45 50 55 500 Tính: Bài 10 Thực phép tính a) A 14 22.32 2 2.3 34 5.228.318 7.229.318 12 B 81 4 b) 12 12 12 5 5 289 85 : 13 169 91 158158158 4 6 6 6 711711711 289 85 13 169 91 Bài 11 3 3 3 3 A 2 2 2 2 2 Cho 2012 3 B 2 Tính B - A Bài 12 Tính giá trị biểu thức sau: a)A 1 1 1 1 1 2010 1 2011 131313 131313 131313 b)B 70 565656 727272 909090 c)C 2a 3b 4c 5d 2a 3b 4c 5d 3b 4c 5d 2a biết 3b 4c 5d 2a Bài 13 1.Thực tính A cách hợp lý nhất: A 2010.2011 1005 2010.2010 1005 2 2 B 33 3 5 99 2.Thực phép tính: Bài 14 Tính giá trị biểu thức sau: 1 1 a)4 12 7 b) 2014 2011 1 1 1 c) 1 10 15 780 Bài 15 Thực phép tính sau cách hợp lý: 2013 :2 a) 102 112 122 : 132 14 b)1.2.3 1.2.3 1.2.3 7.82 16 c) 3.4.2 11.213.411 169 d)1152 374 1152 65 374 e)13 12 11 10 Bài 16 Cho A 7 11 B 7.31 7.41 10.41 10.57 19.31 19.43 23.43 23.57 A Tỷ số B là: A B C 11 D Bài 17 Tính giá trị biểu thức sau: 2017 1 1 B 2017 : 2020 20 25 30 35 10100 Bài 18 32 32 32 32 97.100 a) Tính nhanh: 1.4 4.7 7.10 b) B 528 12 211 540 2225 32 33 32012 M 32014 c) d) D 2 2 2 20 30 42 56 72 90 Bài 19 Tính giá trị biểu thức sau: 1) 2013 2014 2015 2016 1 1 1 1 2)B 1 : 1 : 1 : 1 : .: 1 : 1 : 1 2 3 4 5 98 99 100 Bài 20 1 1 E 1.101 2.102 3.103 10.110 Cho 1 1 E F 1.11 2.12 3.13 100.110 Tính tỉ số F Và Bài 21 Thực phép tính (tính hợp lý có thể) a)1968 :16 5136 :16 704 :16 b)23.53 400 673 23 78 : Bài 22 Tính giá trị biểu thức A 19 21 23 25 39 Bài 23 Tính: A 1 1 4.9 9.14 14.19 64.69 Bài 24 12 A 81 4 Thực phép tính 12 12 12 5 5 289 85 : 13 169 91 158158158 4 6 6 6 711711711 289 85 13 169 91 Bài 25 Thực phép tính: A 14 22.32 22 2.3 34 5.228.318 7.229.318 Bài 26 Thực phép tính a) 32.56 32.25 32.19 b)24.5 131 13 c) 93.253 182.1252 Bài 27 2 2 A 11.15 15.19 19.23 51.55 Cho Tính tích A.B 11 ; B 3 3 Bài 28 Rút gọn phân số: 33.53.7.8 3.53.24.42 2 Bài 29 Khơng quy đồng tính hợp lý tổng sau: a) A 1 1 1 1 1 1 20 30 42 56 72 90 b) B 13 2.1 1.11 11.2 2.15 15.4 Bài 30 Tính giá trị biểu thức sau: a ) A 1 1 1 1 1 2010 1 2011 131313 131313 131313 b) B 70 565656 727272 909090 c )C 2a 3b 4c 5d 2a 3b 4c 5d 3b 4c 5d 2a biết 3b 4c 5d 2a Bài 31 Thực phép tính A 540 : 23, 19, 42 132 75 36 7317 B 210.13 210.65 28.104 Bài 32 Tính tổng A 1.2 2.3 3.4 98.99 Bài 33 10.11 50.55 70.77 Rút gọn biểu thức: 11.12 55.60 77.84 Bài 34 Tính hợp lý a )21.7 11.7 90.7 49.125.16 b) 5.415.99 4.320.89 5.29.619 7.229.27 Bài 35 Tính giá trị biểu thức sau: 5 1 a ) A 11 : 6 20 4 b) B 23.53 400 673 23 78 : 13 c )C 2.1 1.11 11.2 2.15 15.4 Bài 36 Thực phép tính a) A 14 22.32 2 2.3 34 5.228.318 7.229.318 12 B 81 4 b) 12 12 12 5 5 5 289 85 : 13 169 91 158158158 4 6 711711711 6 289 85 13 169 91 Bài 37 Thực phép tính 3 3 3 24.47 23 11 1001 13 a) A 9 9 24 47 23 9 1001 13 11 22 23 22012 b) M 22014 Bài 38 Thực phép tính (tính hợp lý có thể) a )1968 :16 5136 :16 704 :16 b)23.53 400 673 23 78 : 76 Bài 39 Tính N 14 22.32 22 2.3 316 5.228.319 7.229.318 Bài 40 Thực phép tính sau cách hợp lý: a ) 102 112 12 : 132 142 b)1.2.3 1.2.3 1.2.3 7.82 16 c) 3.4.2 11.213.411 169 d )1152 374 1152 65 374 e)13 12 11 10 Bài 41 Thực phép tính sau: 2181.729 243.81.27 a) 234 18.54.162.9 723.729 2 1 1 98.99 99.100 b) 1.2 2.3 3.4 5.415 99 4.320.89 19 29 c) 5.2 7.2 27 1.5.6 2.10.12 4.20.24 9.45.54 A 1.3.5 2.6.10 4.12.20 9.27.45 Bài 42 Tính nhanh: 2 2 97.100 Bài 43 Tính tổng: 1.4 4.7 7.10 212.13 212.65 310.11 310.5 210.104 39.24 Bài 44 Tính giá trị biểu thức Bài 45 Thực phép tính cách hợp lí : 636363.37 373737.63 A = 2006 12 12 12 4 12 4 19 37 53 : 17 19 2006 124242423 41 237373735 37 53 17 19 2006 B= Bài 46 Tính: 101 100 99 98 C = 101 100 99 98 ; 1 1 1 1002 D=