Luyện thi thpt theo chủ đề

BookMath PHÙNG VĂN HỒNG EM Tốn Tốn LUYỆN THI THPTQG i2 = −1 THEO CHỦ ĐỀ KHẢO SÁT HÀM SỐ TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ Muåc luåc Chương ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ Bài SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ A LÝ THUYẾT CẦN NHỚ B PHÂN LOẠI, PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Dạng Tìm khoảng đơn điệu hàm số cho trước Dạng Tìm khoảng đơn điệu hàm số hình ảnh đồ thị cho trước Dạng Tìm m để hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d đơn điệu R Dạng Tìm m để hàm y = ax + b đơn điệu khoảng xác định cx + d Dạng Biện luận đơn điệu hàm đa thức khoảng, đoạn cho trước Dạng Biện luận đơn điệu hàm phân thức khoảng, đoạn cho trước Dạng Xét tính đơn điệu hàm hợp, hàm liên kết biết trước đồ thị f (x) C BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 15 A LÝ THUYẾT CẦN NHỚ 15 B CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP 15 Dạng Ứng dụng đạo hàm (quy tắc 1) để tìm cực trị cực hàm số 15 Dạng Xác định cực trị biết bảng biến thiên đồ thị f (x) f (x) 16 Dạng Ứng dụng đạo hàm (quy tắc 2) để tìm cực trị cực hàm số 17 Dạng Tìm m để hàm số đạt cực trị điểm x0 cho trước 18 Dạng Biện luận cực trị hàm bậc ba y = ax3 + bx2 + cx + d 18 Dạng Biện luận cực trị hàm trùng phương y = ax4 + bx2 + c 19 Dạng Tìm cực trị hàm hợp, hàm liên kết biết hàm f (x) 20 C BÀI TẬP TỰ LUYỆN 21 Bài GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ 29 A LÝ THUYẾT CẦN NHỚ 29 B CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP 30 Mục lục Dạng Tìm max – hàm số cho trước 30 Dạng Tìm max – hàm chứa ẩn dấu trị tuyệt đối y = | f (x)| 32 Dạng Một số toán vận dụng 32 C BÀI TẬP TỰ LUYỆN 33 Bài ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ 38 A LÝ THUYẾT CẦN NHỚ 38 B CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP 39 Dạng Cho hàm số y = f (x), tìm tiệm cận đứng tiệm cận ngang đồ thị tương ứng 39 Dạng Xác định TCN TCĐ biết bảng biến thiên hàm số y = f (x) 41 Dạng Một số toán biện luận theo tham số m 42 C BÀI TẬP TỰ LUYỆN 43 Bài ĐỒ THỊ CÁC HÀM SỐ THƯỜNG GẶP 48 A LÝ THUYẾT CẦN NHỚ 48 B CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP 49 Dạng Nhận dạng đồ thị hàm bậc ba y = ax3 + bx2 + cx + d 49 Dạng Nhận dạng đồ thị hàm bậc bốn trùng phương y = ax4 + bx2 + c 51 Dạng Nhận dạng đồ thị hàm biến y = ax + b 53 cx + d Dạng Đồ thị hàm trị tuyệt đối 55 C BÀI TẬP TỰ LUYỆN 57 Bài ỨNG DỤNG ĐỒ THỊ ĐỂ BIỆN LUẬN NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH 63 A LÝ THUYẾT CẦN NHỚ 63 B CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP 64 Dạng Tìm nghiệm, xác định số nghiệm phương pháp đồ thị 64 Dạng Biện luận nghiệm phương trình phương pháp đồ thị 65 Dạng Giải, biện luận nghiệm bất phương trình phương pháp đồ thị 66 Dạng Một số toán liên quan đến hàm hợp 67 C BÀI TẬP TỰ LUYỆN 68 Bài SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ A 75 LÝ THUYẾT CẦN NHỚ 75 Gv PHÙNG V HOÀNG EM - ĐT: 0972.657.617 ii Mục lục B CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP 75 Dạng Xác định (biện luận) giao điểm đường thẳng đồ thị hàm số bậc ba 75 Dạng Xác định (biện luận) giao điểm đường thẳng đồ thị hàm số bậc bốn trùng phương 77 Dạng Xác định (biện luận) giao đường thẳng đồ thị hàm số y = 78 C ax + b cx + d BÀI TẬP TỰ LUYỆN 79 Bài TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ 83 A LÝ THUYẾT CẦN NHỚ 83 B CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP 83 Dạng Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f (x) điểm (x0 ; y0 ) cho trước 83 Dạng Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f (x) biết hệ số góc tiếp tuyến k0 85 Dạng Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f (x), biết tiếp tuyến qua điểm A(x A ; y A ) 86 Dạng Bài tập tổng hợp 86 C iii BÀI TẬP TỰ LUYỆN 87 Gv PHÙNG V HOÀNG EM - ĐT: 0972 657 617 Chûúng ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ DỤNG VẼ ĐỒĐẠO THỊ HÀM ỨNG HÀMSỐ ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ BàiSỰ số ĐỒNG BIẾN SỰ ĐỒNG NGHỊCH BIẾN BIẾN NGHỊCH CỦA HÀM BIẾN SỐ CỦA HÀM SỐ A A LÝ THUYẾT CẦN NHỚ Cho hàm số y = f (x) xác định (a; b) Khi  Hàm số đồng biến (a; b) y ∀ x1 , x2 ∈ (a; b) : x1 < x2 ⇒ f (x1 ) < f (x2 ) — Trên khoảng (a; b), đồ thị "đường lên" xét từ trái sang phải f (x2 ) f (x1 ) O  Hàm số nghịch biến (a; b) x2 x x1 x2 x y ∀ x1 , x2 ∈ (a; b) : x1 < x2 ⇒ f (x1 ) > f (x2 ) — Trên khoảng (a; b), đồ thị "đường xuống" xét từ trái sang phải x1 f (x1 ) f (x2 ) O Các tính chất thường dùng cho hàm đơn điệu  Cho hàm số y = f (x) đồng biến khoảng (a; b) Xét m, n ∈ (a; b) ¬ Nếu f (m) = f (n) m = n ­ Nếu f (m) > f (n) m > n ® Nếu f (m) < f (n) m < n ¯ Với k số thực cho trước, phương trình f (x) = k có khơng q nghiệm thực (a; b)  Cho hàm số y = f (x) nghịch biến khoảng (a; b) Xét m, n ∈ (a; b) ¬ Nếu f (m) = f (n) m = n ­ Nếu f (m) > f (n) m < n ® Nếu f (m) < f (n) m > n ¯ Với k số thực cho trước, phương trình f (x) = k có không nghiệm thực (a; b) Gv PHÙNG V HOÀNG EM - ĐT: 0972 657 617 Chương ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ Liên hệ đạo hàm tính đơn điệu Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm khoảng (a; b) ¬ Nếu y0 ≥ 0, ∀ x ∈ (a; b) dấu xảy hữu hạn điểm y = f (x) đồng biến (a; b) ­ Nếu y0 ≤ 0, ∀ x ∈ (a; b) dấu xảy hữu hạn điểm y = f (x) nghịch biến (a; b) A B PHÂN LOẠI, PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN DẠNG Tìm khoảng đơn điệu hàm số cho trước ¬ Tìm tập xác định D hàm số ­ Tính y0 , giải phương trình y0 = tìm nghiệm xi (nếu có) ® Lập bảng xét dấu y0 miền D Từ dấu y0 , ta suy chiều biến thiên hàm số • Khoảng y0 mang dấu −: Hàm nghịch biến • Khoảng y0 mang dấu +: Hàm đồng biến c Ví dụ Hàm số y = − x3 + 3x − đồng biến khoảng đây? A (−∞; −1) B (−6; −2) C (1; +∞) D (−1; 1) c Ví dụ Cho hàm số y = x3 + 3x2 − Mệnh đề đúng? A Hàm số nghịch biến khoảng (1; 5) B Hàm số đồng biến khoảng (−∞; 1) (2; +∞) C Hàm số nghịch biến khoảng (−∞; −2) (0; +∞) D Hàm số đồng biến khoảng (−∞; −2) (0; +∞) c Ví Å dụ Hàm ã − nghịch biến khoảng sau đây? ã số y = − x Å+ 2x − 2x 1 A −∞; − B − ; +∞ C (−∞; 1) D (−∞; +∞) 2 c Ví dụ Hàm số y = x4 + 8x3 + nghịch biến khoảng đây? A (0; +∞) B (−∞; −6) C (−6; 0) D (−∞; +∞) c Ví dụ Hàm số f (x) có đạo hàm f (x) = x2 (x + 2) Phát biểu sau đúng? A Hàm số nghịch biến khoảng (−∞; −2) (0; +∞) B Hàm số đồng biến khoảng (−∞; −2) (0; +∞) C Hàm số đồng biến khoảng (−2; +∞) D Hàm số nghịch biến khoảng (−2; 0) x+3 Khẳng định sau đúng? x−3 Hàm số đồng biến khoảng (−∞; 3) (3; +∞) Hàm số nghịch biến khoảng (−∞; 3) (3; +∞) Hàm số nghịch biến R \ {3} Hàm số đồng biến R \ {3} c Ví dụ Cho hàm số y = A B C D Gv PHÙNG V HOÀNG EM - ĐT: 0972.657.617 SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ 3−x Mệnh đề đúng? x+1 Hàm số đồng biến khoảng (−∞; −1) (−1; +∞) Hàm số nghịch biến với x 6= Hàm số nghịch biến tập R \ {−1} Hàm số nghịch biến khoảng (−∞; −1) (−1; +∞) c Ví dụ Cho hàm số y = A B C D c Ví dụ Hàm số sau nghịch biến khoảng xác định nó? x−1 2x + x−2 x+5 A y = B y = C y = D y = x+1 x−3 2x − −x − DẠNG Tìm khoảng đơn điệu hàm số hình ảnh đồ thị cho trước  Nếu đề cho đồ thị y = f (x), ta việc nhìn khoảng mà đồ thị "đi lên" "đi xuống" ¬ Khoảng mà đồ thị "đi lên": hàm đồng biến; ­ Khoảng mà đồ thị "đi xuống": hàm nghịch biến  Nếu đề cho đồ thị y = f (x) Ta tiến hành lập bảng biến thiên hàm y = f (x) theo bước: ¬ Tìm nghiệm f (x) = (hồnh độ giao điểm với trục hoành); ­ Xét dấu f (x) (phần Ox mang dấu dương; phần Ox mang dấu âm); ® Lập bảng biến thiên y = f (x), suy kết tương ứng c Ví dụ Cho hàm số y = f (x) có bảng xét dấu đạo hàm hình bên x y0 −∞ + −2 − +∞ + Hàm số cho đồng biến khoảng sau đây? A (0; 1) B (3; 4) C (−2; 4) c Ví dụ 10 Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên sau Hàm số y = f (x) đồng biến khoảng sau đây? A (−∞; 5) B (0; 2) C (2; +∞) D (0; +∞) x f (x) f (x) D (−4; 2) −∞ + Gv PHÙNG V HOÀNG EM - ĐT: 0972 657 617 − +∞ + +∞ −∞ c Ví dụ 11 Cho hàm số y = f (x) liên tục R có đồ thị hình bên Khẳng định sau đúng? A Hàm số đồng biến khoảng (1; 3) B Hàm số nghịch biến khoảng (6; +∞) C Hàm số đồng biến khoảng (−∞; 3) D Hàm số nghịch biến khoảng (3; 6) 0 y O x Chương ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ c Ví dụ 12 Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên sau Khẳng định sau đúng? A Hàm số nghịch biến R \ {2} x −∞ +∞ B Hàm số đồng biến (−∞; 2) (2; +∞) y0 − − C Hàm số nghịch biến (−∞; 2) (2; +∞) +∞ D Hàm số nghịch biến R y −∞ DẠNG Tìm m để hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d đơn điệu R   a = a>0 ¬ Hàm số đồng biến R y ≥ 0, ∀ x ∈ R ⇔ suy biến b =  ∆ y0 ≤  c >  ®  a = a < ­ Hàm số nghịch biến R y0 ≤ 0, ∀ x ∈ R ⇔ suy biến b =  ∆ y0 ≤  c < ® c Ví dụ 13 Số giá trị nguyên tham số m để hàm số y = x3 − 2mx2 + 4x − đồng biến R A B vô số C D c Ví dụ 14 Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số y = − x3 − mx2 + (2m − 3)x − m + nghịch biến R A m ≤ −3, m ≥ B −3 < m < C −3 ≤ m ≤ D m ≤ c Ví dụ 15 Tìm tất giá trị m để hàm số y = (m − 1)x3 − 3(m − 1)x2 + 3x + đồng biến R A < m ≤ B < m < C ≤ m ≤ D ≤ m < DẠNG Tính y0 = Tìm m để hàm y = ax + b đơn điệu khoảng xác định cx + d ad − cb (cx + d)2 ¬ Hàm số đồng biến khoảng xác định ⇔ y0 > ⇔ ad − cb > ­ Hàm số nghịch biến khoảng xác định ⇔ y0 < ⇔ ad − cb < c Ví dụ 16 Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số y = khoảng mà xác định A m ≤ B m ≤ −3 C m < −3 x+2−m nghịch biến x+1 D m < x + m2 c Ví dụ 17 Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y = đồng biến x+1 khoảng xác định A m ∈ (0; +∞) B m ∈ [−1; 1] C m ∈ R D m ∈ (−1; 1) Gv PHÙNG V HOÀNG EM - ĐT: 0972.657.617 SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ DẠNG Biện luận đơn điệu hàm đa thức khoảng, đoạn cho trước ☼ Loại 1: Tìm điều kiện tham số để hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d đơn điệu toàn miền xác định R  ®  a = a > suy biến b = ¬ Hàm số đồng biến R y0 ≥ 0, ∀ x ∈ R ⇔  ∆ y0 ≤  c >  ®  a = a < ­ Hàm số nghịch biến R y0 ≤ 0, ∀ x ∈ R ⇔ suy biến b =  ∆ y0 ≤  c < ☼ Loại 2: Tìm điều kiện tham số để hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d đơn điệu khoảng tập R Ta thường gặp hai trường hợp: ¬ Nếu phương trình y0 = giải nghiệm "đẹp": Ta thiết lập bảng xét dấu y0 theo nghiệm vừa tìm (xét hết khả nghiệm trùng, nghiệm phân biệt) Từ "ép" khoảng mà dấu y0 khơng thỏa mãn khỏi khoảng đề yêu cầu ­ Nếu phương trình y0 = nghiệm "xấu": Ta sử dụng cách sau • Cách Dùng định lý so sánh nghiệm (sẽ nói rõ qua giải cụ thể ) • Cách Cơ lập tham số m, dùng đồ thị ☼ Loại 3: Tìm điều kiện tham số để hàm số y = ax4 + bx2 + c đơn điệu khoảng tập R ¬ Giải phương trình y0 = 0, tìm nghiệm ­ Biện luận trường hợp nghiệm (nghiệm trùng, nghiệm phân biệt) Từ "ép" khoảng mà dấu y0 không thỏa mãn khỏi khoảng đề yêu cầu c Ví dụ 18 Giá trị m để hàm số y = − x3 + mx2 − m đồng biến khoảng (0; 2) A < m < B m ≥ C m ∈ [1; 3] D m ≤ c Ví dụ 19 Có giá trị nguyên tham số m để hàm số y = x3 − 3(m + 2)x2 + 3(m2 + 4m)x + nghịch biến khoảng (0; 1)? A B C D c Ví dụ 20 Các giá trị tham số m để hàm số y = x3 + 3x2 − mx − đồng biến khoảng (−∞; 0) A m > B m > −2 C m −3 D m c Ví dụ 21 (QG.2020 lần – mã đề 102) Tập hợp tất giá trị thực tham số m để hàm số y = x3 − 3x2 + (5 − m)x đồng biến khoảng (2; +∞) A (−∞; 2) B (−∞; 5) C (−∞; 5] D (−∞; 2] c Ví dụ 22 Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số y = x4 − 2(m − 1)x2 + m − đồng biến khoảng (1; 3) A m ∈ [−5; 2) B m ∈ (−∞; −5) C m ∈ (2; +∞) D m ∈ (−∞; 2] Gv PHÙNG V HOÀNG EM - ĐT: 0972 657 617 Chương ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ DẠNG Biện luận đơn điệu hàm phân thức khoảng, đoạn cho trước ☼ Loại Tìm điều kiện tham số để hàm y = định ¬ Tính y0 = ax + b đơn điệu khoảng xác cx + d ad − cb (cx + d)2 ­ Hàm số đồng biến khoảng xác định ⇔ y0 > ⇔ ad − cb > ® Hàm số nghịch biến khoảng xác định ⇔ y0 < ⇔ ad − cb < ß ™ ax + b d ☼ Loại Tìm điều kiện để hàm y = đơn điệu khoảng (m; n) ⊂ R\ − cx + d c ¬ Tính y0 = ad − cb (cx + d)2 ­ Hàm số đồng biến khoảng (m; n):   y > ad − cb > ⇔ ⇔ − d ∈  − d ≤ m − d ≥ n / (m; n) c c c ® Hàm số nghịch biến khoảng (m; n):   y < ad − cb < ⇔ ⇔ − d ∈  − d ≤ m − d ≥ n / (m; n) c c c c Ví dụ 23 Tìm giá trị tham số m để hàm số y = A m ≤ B m > x+2 nghịch biến tập xác định x+m C m ≥ D m < mx − 2m − với m tham số Gọi S tập hợp tất giá trị x−m nguyên m để hàm số đồng biến khoảng (2; +∞) Tìm số phần tử S A B C D c Ví dụ 24 Cho hàm số y = mx + nghịch biến (−∞; 1) x+m A −2 ≤ m ≤ −1 B −2 ≤ m ≤ −1 C −2 ≤ m ≤ D −2 < m < Å ã 2x − 1 c Ví dụ 26 Cho hàm số y = Tìm m để hàm số nghịch biến khoảng ;1 x−m 1 A < m ≤ B m > C m ≥ D m ≥ 2 c Ví dụ 25 Giá trị m để hàm số y = mx + , m tham số thực Gọi S tập hợp tất giá trị 2x + m nguyên tham số m để hàm số nghịch biến khoảng (0; 1) Tìm số phần tử S A B C D c Ví dụ 27 Cho hàm số y = Gv PHÙNG V HOÀNG EM - ĐT: 0972.657.617 SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ DẠNG Xét tính đơn điệu hàm hợp, hàm liên kết biết trước đồ thị f (x) ☼ Loại 1: Cho đồ thị y = f (x), hỏi tính đơn điệu hàm y = f (x) ¬ Tìm nghiệm f (x) = (hoành độ giao điểm với trục hoành); ­ Xét dấu f (x) (phần Ox mang dấu dương; phần Ox mang dấu âm); ® Lập bảng biến thiên y = f (x), suy kết tương ứng ☼ Loại 2: Cho đồ thị y = f (x), hỏi tính đơn điệu hàm hợp y = f (u) ¬ Tính y0 = u0 · f (u); ­ Giải phương trình f (u) ñ =0⇔ u0 = f (u) = ( Nhìn đồ thị, suy nghiệm.) ® Lập bảng biến thiên y = f (u), suy kết tương ứng ☼ Loại 3: Cho đồ thị y = f (x), hỏi tính đơn điệu hàm y = f (x) + v(x) ¬ Tính y0 = f (x) + v0 (x) ­ Giải phương trình y0 = ⇔ f (x) + v0 (x) = ⇔ f (x) = −v0 (x) • Trên hình đồ thị y = f (x), ta vẽ thêm đồ thị y = −v0 (x) • Quan sát hồnh độ giao điểm hai đồ thị này, ta suy nghiệm ® Từ nghiệm y0 , lập bảng biến thiên y = f (x) + v(x), suy kết tương ứng c Ví dụ 28 Hàm số y = f (x) có đồ thị y = f (x) hình vẽ (đồ thị f (x) cắt Ox điểm có hồnh độ 1, 2, 5, 6) Chọn khẳng định A f (x) nghịch biến khoảng (1; 2) B f (x) đồng biến khoảng (5; 6) C f (x) nghịch biến khoảng (1; 5) D f (x) đồng biến khoảng (4; 5) y c Ví dụ 29 Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục R, hàm số y = f (x) có đồ thị hình bên Hàm số y = f (x) đồng biến khoảng khoảng sau A (−∞; −2); (1; +∞) B (−2; +∞) \ {1} C (−2; +∞) D (−5; −2) y = f (x) y −2 −1 c Ví dụ 30 (THPTQG–2019, Mã đề 101) Cho hàm số f (x) có bẳng xét dấu f (x) hình bên Hàm số y = f (3 − 2x) nghịch biến khoảng sau đây? A (4; +∞) B (−2; 1) C (2; 4) D (1; 2) Gv PHÙNG V HOÀNG EM - ĐT: 0972 657 617 x O x f (x) −∞ −3 −1 O1 − + − + x +∞ Chương ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ c Ví dụ 31 Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục R Biết đồ thị hàm số y = f (x) hình vẽ bên Hàm số f (x2 − 2) đồng biến khoảng khoảng đây?√ √ C (−1; 0) D (− 3; 0) A (0; 1) B (1; 3) c Ví dụ 32 Cho hàm số y = f (x) Đồ thị hàm số y = f (x) hình vẽ bên x2 Đặt h(x) = f (x) − Mệnh đề đúng? A Hàm số y = h(x) đồng biến khoảng (2; 3) B Hàm số y = h(x) đồng biến khoảng (0; 4) C Hàm số y = h(x) nghịch biến khoảng (0; 1) D Hàm số y = h(x) nghịch biến khoảng (2; 4) y −2 −1 O x x y −2 O −2 A C BÀI TẬP TỰ LUYỆN Đề số Câu Hàm số y = A (1; 3) x − 2x2 + 3x + đồng biến khoảng sau đây? B (2 : +∞) C (−∞; 0) D (0; 3) Câu Cho hàm số y = x2 (3 − x) Mệnh đề sau đúng? A B C D Hàm số cho đồng biến khoảng (2; +∞) Hàm số cho đồng biến khoảng (+∞; 3) Hàm số cho đồng biến khoảng (0; 2) Hàm số cho đồng biến khoảng (−∞; 0) Câu Hàm số y = 2x4 + nghịch biến khoảng đây? A (0; +∞) Câu Hàm số y = x4 A (0; +∞) Câu Hàm số y = x4 A (−1; 0) B (−∞; 3) C (−∞; 0) D (3; +∞) B (−∞; −6) C (−6; 0) D (−∞; +∞) B (−1; +∞) C (−3; 8) D (−∞; −1) B (−2; 0) C (−∞; −2), (2; +∞) D (2; +∞) + 8x3 − 2x2 + nghịch biến khoảng đây? + đồng biến khoảng nào? Câu Tìm tất khoảng nghịch biến hàm số y = − x4 + 8x2 − A (−2; 0), (2; +∞) Câu Hàm số nghịch biến khoảng (−∞; +∞)? A y = − x3 − x + C y = x3 + 4x2 − B y = − x4 + 4x2 − D y = x4 − 5x + Câu Cho hàm số y = x3 − 5x2 + 3x − nghịch biến khoảng (a; b) với a < b; a, b ∈ R đồng biến khoảng (−∞; a), (b; +∞) Tính S = 3a + 3b A S = B S = C S = 10 D S = 12 Câu Tìm tất khoảng nghịch biến hàm số y = − x3 − 2x2 − x − 2017 Gv PHÙNG V HOÀNG EM - ĐT: 0972.657.617 SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ Å A ã − ; +∞ Å ã Å ã 1 B −∞; − − ; +∞ 2ã Å D −∞; − C (−∞; +∞) Câu 10 Cho hàm số y = − x3 + Trong khẳng định sau, khẳng định đúng? A Hàm số đồng biến khoảng (0; 2) C Hàm số đồng biến (−∞; 0) Câu 11 Cho hàm số y = A B C D x−2 Tìm khẳng định đúng? x+3 Hàm số xác định R \ {3} Hàm số đồng biếntrên R \ {−3} Hàm số nghịch biến khoảng xác định Hàm số đồng biến khoảng xác định Câu 12 Cho hàm số y = A B C D B Hàm số đồng biến R D Hàm số nghịch biến R 3x − Mệnh đề đúng? x−2 Hàm số nghịch biến R Hàm số đồng biến khoảng (−∞; 2) (2; +∞) Hàm số nghịch biến khoảng (−∞; 2) (2; +∞) Hàm số đồng biến R \ {2} Câu 13 Hàm số sau nghịch biến tập xác định nó? A y = x−2 x−1 Câu 14 Hàm số y = x + A (2; +∞) B y = x−2 x+1 C y = − x4 + x2 D y = − x3 + đồng biến khoảng đây? x B (0; +∞) C (−2; 0) D (−2; 2) Câu 15 Cho hàm số f (x) có đạo hàm f (x) = x4 − 4x2 + Hàm số f (x) đồng biến khoảng sau đây? Ä Ä√ ä Ä √ ä Ä √ ä √ ä A −∞; − , (−1; 1) 3; +∞ B − 3; −1 1; Ä √ ä Ä√ ä C (−∞; 1) (3; +∞) D − 2; 2; +∞ Câu 16 Cho hàm số f (x) có đạo hàm f (x) = (x + 1)2 (x − 1)3 (2 − x) Hàm số đồng biến khoảng đây? A (2; +∞) B (−1; 1) D (−∞; −1) C (1; 2) Câu 17 Cho hàm số y = f (x) có bảng xét dấu đạo hàm sau Mệnh đề đúng? A B C D Hàm số đồng biến khoảng (−∞; 1) Hàm số nghịch biến khoảng (0; 2) Hàm số đồng biến khoảng (2; +∞) Hàm số nghịch biến khoảng (1; +∞) Câu 18 Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên hình bên Mệnh đề sau đúng? A Hàm số đồng biến khoảng (−2; 2) B Hàm số đồng biến khoảng (−∞; 3) C Hàm số nghịch biến khoảng (−∞; −2) D Hàm số nghịch biến khoảng (−2; 2) Gv PHÙNG V HOÀNG EM - ĐT: 0972 657 617 x −∞ y0 x f (x) f (x) −∞ −∞ + − + −2 − +∞ − + +∞ + +∞ Chương ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ Câu 19 Đường cong hình vẽ bên đồ thị hàm số y = ax + b với a, b, c, d số thực Mệnh đề sau đúng? cx + d A y0 < 0, ∀ x 6= B y0 > 0, ∀ x 6= C y0 > 0, ∀ x 6= D y0 < 0, ∀ x 6= y x O −1 Câu 20 Cho hàm số y = f (x) có đồ thị hình vẽ bên Mệnh đề sau đúng? A Hàm số nghịch biến (−∞; +∞) B Hàm số đồng biến (−∞; 2) C Hàm số đồng biến (−∞; −1) D Hàm số nghịch biến (1; +∞) y x O −2 Câu 21 Cho hàm số y = f (x) có đồ thị hàm số y = f (x) hình vẽ Hàm số y = f (x) đồng biến khoảng nào? A (−∞; 0) B (−3; +∞) C (−∞; 4) D (−4; 0) Câu 22 Cho hàm số y = √ −3 −2 A (1; +∞) O x x2 − 6x + Mệnh đề sau đúng? A Hàm số đồng biến khoảng (3; +∞) C Hàm số đồng biến khoảng (5; +∞) Câu 23 Hàm số y = y B Hàm số đồng biến khoảng (−∞; 1) D Hàm số nghịch biến khoảng (−∞; 3) x2 − x + nghịch biến khoảng nào? x2 + x + B (−1; 1) C (−∞; −1) Å D ã ;3 Câu 24 Hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d đồng biến R ñ ñ a = b = 0, c > a = b = 0, c > A B a > 0; b2 − 3ac ≥ a < 0; b2 − 3ac ≤ ñ a = b = 0, c > C D a > 0; b2 − 3ac ≤ a > 0; b − 3ac ≤ Câu 25 Cho hàm số f (x) có tính chất f (x) ≥ 0, ∀ x ∈ (0; 3) f (x) = 0, ∀ x ∈ (1; 2) Khẳng định sau sai? A B C D Hàm số Hàm số Hàm số Hàm số f (x) đồng biến khoảng (0; 3) f (x) đồng biến khoảng (0; 1) f (x) đồng biến khoảng (2; 3) f (x) hàm (tức không đổi) khoảng (1; 2) Gv PHÙNG V HOÀNG EM - ĐT: 0972.657.617 10 SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ Câu 26 Nếu hàm số y = f (x) liên tục đồng biến (0; 2) hàm số y = f (2x) đồng biến khoảng nào? A (0; 4) C (−2; 0) B (0; 2) D (0; 1) Câu 27 Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y = x3 + (2m + 1)x − 3m − đồng biến R 1 A m ∈ (−∞; +∞) B m ≤ C m ≥ − D m < − 2 Câu 28 Cho hàm số y = − x3 − mx2 + (4m + 9)x + 5, với m tham số Có giá trị nguyên m để hàm số nghịch biến (−∞; +∞)? A C B Câu 29 Tìm giá trị tham số m để hàm số y = định D x+2 nghịch biến khoảng xác x+m A m ≤ B m > C m ≥ D m < mx − Câu 30 Cho hàm số y = Các giá trị m để hàm số nghịch biến khoảng x+m−3 xác định đ m>2 A < m < B C < m ≤ D m = m 0, ∀ x > Biết f (1) = 2, hỏi khẳng định sau xảy ra? A f (2) + f (3) = C f (2) = B f (−1) = D f (2018) > f (2019) Câu 11 Cho hàm số y = f (x) Hàm số f (x) có đồ thị hình bên Hỏi hàm số y = f (1 − x) đồng biến khoảng nào? A (0; 2) B (−∞; 2) C (−1; 1) D (2; +∞) y −1 x O Câu 12 Cho hàm số y = f (x) liên tục [−1; 4] có đồ thị
hàm số y = f (x) hình bên Hỏi hàm số g(x) = f x2 + nghịch biến khoảng khoảng sau? A (−1; 1) B (0; Ä√1) ä C (1; 4) D 3; y y = f (x) −1 x O Gv PHÙNG V HOÀNG EM - ĐT: 0972.657.617 12 SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ Câu 13 Cho hàm số y = f (x) Hàm số y = f (x) có đồ thị hình bên Hàm khoảng Å số y =ã f (x − x ) nghịch biến Å ã đây? −1 −3 A ; +∞ B ; +∞ Å ã Å ã C −∞; D ; +∞ 2 f (x) y 2 x Câu 14 Tìm mối liên hệ tham số a b cho hàm số y = f (x) = 2x + a sin x + b cos x tăng R? √ √ 1+ 1 A a + 2b ≥ D a2 + b2 ≤ B + = C a + 2b = 3 a b Câu 15 Tìm giá trị lớn tham số m để hàm số y = x3 − mx2 + (8 + 2m)x + m + đồng biến R C m = D m = −4 Câu 16 Có giá trị nguyên m để hàm số y = − x3 − mx2 + (m − 6)x + nghịch biến khoảng (−∞; +∞)? A m = B m = −2 B C Vố số D Câu 17 Cho hàm số y = (m − 1)x3 + (m + 1)x2 + 3x − 1, với m tham số Số giá trị nguyên tham số m thuộc [−2018; 2018] để hàm số đồng biến R A A 4035 B 4037 C 4036 D 4034 Câu 18 Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số y = x3 − 3mx2 − 9m2 x nghịch biến khoảng (0; 1) B m > D −1 < m < Câu 19 Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số y = x3 − 3mx2 − 9m2 x đồng biến khoảng (1; +∞) m ≤ −1 C m < −1 A m ≥ A m > B m < −1 1 C m ≥ m ≤ −1 D −1 ≤ m ≤ 3 Câu 20 Tìm m để hàm số y = x3 − 6x2 + mx + đồng biến (0; +∞) A m ≥ 12 B m ≤ 12 C m ≥ D m ≤ A B 10 C D Câu 21 Gọi T tập hợp giá trị nguyên dương tham số m để hàm số y = x4 − 2mx2 + đồng biến khoảng (2; +∞) Tổng giá trị phần tử T Câu 22 Giá trị m để hàm số y = − x3 + mx2 − m đồng biến khoảng (0; 2) A < m < 13 B m ≥ Gv PHÙNG V HOÀNG EM - ĐT: 0972 657 617 C m ∈ [1; 3] D m ≤ Chương ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ Câu 23 Gọi S tập hợp giá trị thực m để hàm số y = 2x3 + 3(m − 1)x2 + 6(m − 2)x + 2017 nghịch biến khoảng (a; b) cho b − a > Giả sử S = (−∞; m1 ) ∪ (m2 ; +∞) Khi m1 + m2 A B C D mx + Câu 24 Có giá trị nguyên tham số m để hàm số y = nghịch biến 4x + m khoảng xác định hàm số B C D Vô số x+m Câu 25 Cho hàm số y = Tập hợp tất giá trị m để hàm số đồng biến khoảng x+2 (0; +∞) A A (2; +∞) B (−∞; 2) C [2; +∞) D (−∞; 2] x−2 Câu 26 Tồn số nguyên m để hàm số y = đồng biến khoảng (−∞; −1)? x−m B C D Vô số mx + Câu 27 Cho hàm số y = , với m tham số thực Gọi S tập hợp tất giá trị nguyên 2x + m tham số m để hàm số nghịch biến khoảng (0; 1) Tìm số phần tử S A A B C D Câu 28 Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y = (0; 10) A m ∈ (−∞; −4) ∪ (4; +∞) C m ∈ (−∞; −4] ∪ [4; +∞) mx + 16 đồng biến khoảng x+m B m ∈ (−∞; −10] ∪ (4; +∞) D m ∈ (−∞; −10] ∪ [4; +∞) bx + a ax + b (1) y = 4x + a 4x + b đồng biến khoảng xác định Giá trị nhỏ biểu thức S = 2a + 3b Câu 29 Cho a, b hai số nguyên dương cho hai hàm số y = A 25 B 30 C 23 (2) D 27 Câu 30 Cho hàm số f (x) có bảng xét dấu đạo hàm sau x −∞ f (x) − + + − +∞ + Hàm số y = f (x + 2) − x3 + 3x đồng biến khoảng ? A (1; +∞) B (−∞; −1) C (−1; 0) D (0; 2) —HẾT— Gv PHÙNG V HOÀNG EM - ĐT: 0972.657.617 14 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ CỰC TRỊ CỦA CỰC HÀM TRỊSỐ CỦA HÀM SỐ Bài số A A LÝ THUYẾT CẦN NHỚ L Hàm số đạt cực trị x0 x0 nghiệm phương trình y0 = x0 điểm mà đạo hàm khơng xác định (chỉ có chiều nhé, đừng suy ngược lại) L Bảng tổng kết tên gọi: y (x1 ; y1 ) điểm cực đại đồ thị hàm số; • x1 điểm cực đại hàm số; • y1 giá trị cực đại hàm số y1 O x2 x x1 (x2 ; y2 ) điểm cực tiểu đồ thị hàm số; • x2 điểm cực tiểu hàm số; • y2 giá trị cực tiểu hàm số y2 A B CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP DẠNG Ứng dụng đạo hàm (quy tắc 1) để tìm cực trị cực hàm số ¬ Giải phương trình y0 = tìm nghiệm xi điểm x j mà đạo hàm không xác định; ­ Đưa nghiệm xi x j lên bảng xét dấu xét dấu y0 ; ® Lập bảng biến thiên nhìn "điểm dừng": • "Dừng" cao điểm (x1 ; y1 ) x1 điểm cực đại hàm số; y1 giá trị cực đại (cực đại) hàm số; (x1 ; y1 ) tọa độ điểm cực đại đồ thị • "Dừng" thấp điểm (x2 ; y2 ) x2 điểm cực tiểu hàm số; y2 giá trị cực tiểu (cực tiểu) hàm số; (x2 ; y2 ) tọa độ điểm cực tiểu đồ thị c Ví Å dụ Điểm cực tiểu đồ thị hàm số y = x3 − ã Å x + 2ã 50 50 A ; B (0; 2) C ; 27 27 c Ví dụ Hàm số y = A x = x − 3x2 − đạt cực đại √ √ B x = − C x = c Ví dụ Điểm cực tiểu đồ thị hàm số y = x4 − A (−1; −1) B (0; −1) C (−1; 0) 15 Gv PHÙNG V HOÀNG EM - ĐT: 0972 657 617 D (2; 0) √ D x = ± D (1; −1) Chương ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ c Ví dụ Hàm số y = x3 − 3x2 + có đồ thị (C) Gọi A, B điểm cực trị (C) Tính độ dài đoạn thẳng √ √ AB A AB = B AB = C AB = D AB = c Ví dụ Phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số y = x3 − 3x2 + A y = −2x − B y = −2x + C y = 2x − D y = 2x + 1 c Ví dụ Cho hàm số y = − x4 + x2 − có đồ thị (C) Tính diện tích tam giác tạo 4 thành từ điểm cực trị đồ thị (C) √ √ √ √ 3 B S = C S = D S = A S = 4
c Ví dụ Cho hàm số y = 3x4 − 4x3 − 6x2 + 12x + Gọi M x1 ; y1 điểm cực tiểu đồ thị hàm số cho Tính tổng x1 + y1 A B −11 C D DẠNG Xác định cực trị biết bảng biến thiên đồ thị f (x) f (x) ☼ Loại 1: Cho bảng biến thiên đồ thị hàm y = f (x) Ta nhìn "điểm dừng": ¬ "Dừng" cao điểm (x1 ; y1 ) x1 điểm cực đại hàm số; y1 giá trị cực đại (cực đại) hàm số; (x1 ; y1 ) tọa độ điểm cực đại đồ thị ­ "Dừng" thấp điểm (x2 ; y2 ) x2 điểm cực tiểu hàm số; y2 giá trị cực tiểu (cực tiểu) hàm số; (x2 ; y2 ) tọa độ điểm cực tiểu đồ thị ☼ Loại 2: Cho đồ thị hàm f (x) Ta thực tương tự phần đồng biến, nghịch biến ¬ Nhìn hồnh độ giao điểm f (x) với trục hoành, ta suy nghiệm f (x) = ­ Lập bảng biến thiên, kết luận cực trị c Ví dụ Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên sau Cực tiểu (giá trị cực tiểu) hàm số A B C −1 D x y0 y −∞ + −1 −∞ − +∞ + +∞ c Ví dụ Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên hình vẽ x y0 y −∞ +∞ − −2 0 + + −1 Khẳng định sau sai? A Hàm số đạt cực đại x = x = C Giá trị cực đại hàm số 2 −∞ +∞ − −∞ B Giá trị cực tiểu hàm số −1 D Hàm số đạt cực tiểu x = −2 Gv PHÙNG V HOÀNG EM - ĐT: 0972.657.617 16 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ c Ví dụ 10 Cho hàm số y = f (x) xác định có đạo hàm f (x) Biết hình vẽ đồ thị hàm số f (x) Khẳng định sau cực trị hàm số f (x)? A Hàm số f (x) đạt cực tiểu x = −2 B Hàm số f (x) đạt cực tiểu x = C Hàm số f (x) đạt cực đại x = −1 D Hàm số f (x) đạt cực đại x = −2 y O −2 x −4 c Ví dụ 11 Tìm số điểm cực tiểu đoạn [−2; 4] hàm số y = f (x) biết hàm số y = f (x) có đồ thị hình vẽ bên A B C D f (x) −2 y O x c Ví dụ 12 Cho hàm số y = f (x) liên tục R có đạo hàm f (x) = x3 − 3x + Khẳng định sau đúng? A Hàm số đồng biến khoảng (−∞; −2) B Hàm số có điểm cực trị C Hàm số nghịch biến khoảng (−2; 1) D Hàm số đạt cực tiểu x = −2 c Ví dụ 13 Cho hàm số y = f (x) liên tục R có đạo hàm f (x) = (x − 1)(x − 2)2 (x − 3)2017 Khẳng định sau đúng? A Hàm số đồng biến khoảng (1; 2) (3; +∞) B Hàm số có điểm cực trị C Hàm số nghịch biến khoảng (1; 3) D Hàm số đạt cực đại x = 2, đạt cực tiểu x = x = DẠNG Ứng dụng đạo hàm (quy tắc 2) để tìm cực trị cực hàm số Chỉ dùng hàm số có đạo hàm cấp x0 Ta thực bước: ¬ Tính y0 Giải phương trình y0 = 0, tìm nghiệm x0 ­ Tính y00 • Nếu y00 (x0 ) < x0 điểm cực đại hàm số • Nếu y00 (x0 ) > x0 điểm cực tiểu hàm số o Ghi nhớ: "âm" lồi, "dương" lõm c Ví dụ 14.√Hàm số y = x4 − 4x2 + đạt cực tiểu điểm có hồnh độ A x = ± B x = ±1 C x = D x = ±2 c Ví dụ 15 Tìm điểm cực tiểu hàm số y = sin 2x − x π π π A x = + kπ B x = − + kπ C x = + k2π 6 17 Gv PHÙNG V HOÀNG EM - ĐT: 0972 657 617 D x = − π + k2π Chương ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ DẠNG Tìm m để hàm số đạt cực trị điểm x0 cho trước ¬ Giải điều kiện y0 (x0 ) = 0, tìm m ­ Thử lại với m vừa tìm hai cách sau: • Cách 1: Lập bảng biến thiên với m vừa tìm Xem giá trị m thỏa yêu cầu • Cách 2: Tính y00 Thử y00 (x0 ) < ⇒ x0 điểm CĐ; y00 (x0 ) > ⇒ x0 điểm CT c Ví dụ 16 Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y = x3 − 2mx2 + m2 x + đạt cực tiểu x = A m = B m = C m = m = D m = −1 c Ví dụ 17 Cho hàm số y = x2 + mx + với m tham số Với giá trị tham số m x+m hàm số đạt cực đại x = 2? A m = −3 B m = DẠNG C m = −1 D m = Biện luận cực trị hàm bậc ba y = ax3 + bx2 + cx + d Các kết cần nhớ: ☼ Cực trị nghiệm (bội lẻ) phương trình y0 = (phương trình bc hai) Suy đ >0 : Hm s có hai điểm cực trị a 6= ® a=0 ­ ∆ ≤ suy biến : Hàm số khơng có cực trị b=0 ☼ Gọi x1 , x2 hai nghiệm phân biệt y0 = x1 + x2 = − c 2b x1 · x2 = 3a 3a • x12 + x22 = (x1 + x2 )2 − 2x1 x2 • (x1 − x2 )2 = (x1 + x2 )2 − 4x1 x2 • x13 + x23 = (x1 + x2 )3 − 3x1 x2 (x1 + x2 ) ☼ Các công thức tính tốn thường gặp p • Độ dài MN = (x N − x M )2 + (y N − y M )2 | Ax M + By M + C | √ • Khoảng cách từ M đến ∆: d(M, ∆) = , với ∆ : Ax + By + C = A2 + B2 # » # » • Tam giác ABC vng A ⇔ AB · AC = # » # » • Diện tích tam giác ABC S = | a1 b2 − a2 b1 |, với AB = (a1 ; b1 ), AC = (a2 ; b2 ) ☼ Phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị y = − 2 bc (b − 3ac)x + d − 9a 9a c Ví dụ 18 Có tất giá trị nguyên tham số m để hàm số y = x − mx2 + Gv PHÙNG V HOÀNG EM - ĐT: 0972.657.617 18 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 5mx − khơng có cực trị? A B C D c Ví dụ 19 Tìm tất giá trị thực m để hàm số y = x3 − 3x2 + (m + 1)x + có hai điểm cực trị A m < B m ≤ C m > D m < −4 c Ví dụ 20 Cho y = (m − 3)x3 + 2(m2 − m − 1)x2 + (m + 4)x − Gọi S tập tất giá trị nguyên tham số m để đồ thị hàm số cho có hai điểm cực trị nằm hai phía trục tung Tìm số phần tử S A B C D c Ví dụ 21 Gọi S tập giá trị dương tham số m cho hàm số y = x3 − 3mx2 + 9x − m đạt cực trị tại√x1 , x2 thỏa mãn | x1 − x√ | ≤ Biết S = (a; b] Tính √ T = b − a √ A T = + B T = + C T = − D T = − c Ví dụ 22 Cho hàm số y = − x3 − 3mx2 + m − với m tham số Tổng tất giá trị m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B cho AB = A B C D c Ví dụ 23 Tìm m để đồ thị hàm số y = − x3 + 3mx + có hai điểm cực trị A, B cho tam giác OAB vuông gốc tọa độ O B m = −1 C m = D m = A m = 21 DẠNG Biện luận cực trị hàm trùng phương y = ax4 + bx2 + c a) Tính y0 = 4ax3 + 2bx = 2x(2ax2 + b); y0 = ⇔ x = 2ax2 + b = (1) b) Nhận xét: ○ Hàm số có ba điểm cực trị (1) có hai nghiệm khác Suy ab < ○ Hàm số có điểm cực trị ab ≥ a, b không đồng thời y c) Các công thức tính nhanh: A b3 + 8a ○ cos A = ; b − 8a ○ S2ABC b5 =− 32a3 x C B c Ví dụ 24 Cho hàm số y = (m + 1)x4 − mx2 + Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số có ba điểm cực trị A m ∈ (−∞; −1) ∪ [0; +∞) B m ∈ (−1; 0) C m ∈ (−∞; −1] ∪ [0; +∞) D m ∈ (−∞; −1) ∪ (0; +∞) c Ví dụ 25 Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số y = (m − 2)x4 + (m2 − 4)x2 + 2m − có điểm cực trị A m ∈ [−2; 2) B m ∈ [−2; +∞)\{2} C m ∈ [−2; 2] D m ∈ [−2; +∞) 19 Gv PHÙNG V HOÀNG EM - ĐT: 0972 657 617 Chương ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ c Ví dụ 26 Tìm tất giá trị tham số m để ba điểm cực trị đồ thị hàm số y = x4 + (6m − 4)x2 + − m ba đỉnh tam giác vuông √ B m = C m = −1 D m = 3 A m = 3 c Ví dụ 27 Gọi m0 giá trị tham số m để √ đồ thị hàm số y = x + 2mx − có điểm cực trị lập thành tam giác có diện tích Mệnh đề sau đúng? A m0 ∈ (−1; 1] B m0 ∈ (−2; −1] C m0 ∈ (−∞; −2] D m0 ∈ (−1; 0) DẠNG Tìm cực trị hàm hợp, hàm liên kết biết hàm f (x) ☼ Loại 1: Cho đồ thị f (x), hỏi cực trị hàm hợp y = f (u) ¬ Tính y0 = u0 · f (u); ­ Giải phương trình f (u) đ =0⇔ u0 = f (u) = ( nhìn đồ thị, suy nghiệm.); ® Xét dấu f (u) Lập bảng biến thiên y = f (u), suy kết tương ứng ☼ Loại 2: Cho đồ thị f (x), hỏi cực trị hàm y = f [u(x)] + v(x) ¬ Tính y0 = u0 · f (u) + v0 ; ­ Giải phương trình y0 = ⇔ u0 · f (u) + v0 = (thường dẫn đến việc tìm hồnh độ giao điểm đồ thị f (u) với đồ thị xác định Loại ta vẽ hình để suy nghiệm) ® Lập bảng biến thiên y = f [u(x)] + v(x), suy kết tương ứng c Ví dụ 28 (QG.2019 - Mã đề 104) Cho hàm số f (x), bảng biến thiên hàm số f (x) sau: x −∞ +∞ −1 +∞ +∞ f (x) −3 Số điểm cực trị hàm số y = f (4x2 + 4x) A B −1 C c Ví dụ 29 Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm R Đồ thị hàm số y = f (x)
cho hình vẽ bên Số điểm cực trị hàm số y = f − x2 A B C D D y −3 O Gv PHÙNG V HOÀNG EM - ĐT: 0972.657.617 x 20 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ c Ví dụ 30 Cho hàm số y = f (x) có đồ thị hàm số y = f (x) hình vẽ Hàm số x3 + x2 − x + đạt cực tiểu điểm đây? g(x) = f (x) − A x = B x = 0,5 C x = D x = −1 y −1 O x −2 c Ví dụ 31 Cho hàm số bậc năm y = f (x) có đồ thị y = f (x) hình
bên Số điểm cực trị hàm số g(x) = f x3 + 3x2 − 2x3 − 6x2 A B 10 C D 11 y O A C BÀI TẬP TỰ LUYỆN Đề số Câu Tọa độ điểm cực đại đồ thị hàm số y = x3 − 3x2 + A (0; 1) B (2; −3) C (1; −1) D (3; 1) B C −1 D B −4 C −2 D B x = −2 C x = D y = −2 Câu Gọi x1 điểm cực đại x2 điểm cực tiểu hàm số y = − x3 + 3x + Tính x1 + 2x2 A Câu Hiệu số giá trị cực đại giá trị cực tiểu hàm số y = x3 − 3x2 + A Câu Điểm cực tiểu hàm số y = − x4 + 5x2 − A y = Câu Cho hàm số y = x4 − 8x3 + Chọn mệnh đề A Nhận điểm x = làm điểm cực đại C Nhận điểm x = làm điểm cực đại B Nhận điểm x = làm điểm cực tiểu D Nhận điểm x = làm điểm cực tiểu Câu Số điểm cực trị đồ thị hàm số y = − x4 + 2x2 + A B C D 1 Câu Tiếp tuyến điểm cực tiểu đồ thị hàm số y = x − 2x2 + 3x − A Có hệ số góc dương B Song song với trục hồnh C Có hệ số góc −1 D Song song với đường thẳng x = Câu Khoảng cách từ điểm cực tiểu đồ thị hàm số y = x3 − 3x2 + đến trục tung A 21 B Gv PHÙNG V HOÀNG EM - ĐT: 0972 657 617 C D x Chương ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ Câu Gọi A, B hai điểm cực trị đồ thị hàm số y = x3 − 3x2 + Tính diện tích S tam giác OAB với O gốc tọa độ √ A S = B S = C S = D S = Câu 10 Cho hàm số y = x4 − 8x2 + 10 có đồ thị (C) Gọi A, B, C ba điểm cực trị đồ thị (C) Tính diện tích S tam giác ABC A S = 64 B S = 32 C S = 24 D S = 12 Câu 11 Tìm hàm số có đồ thị (C) nhận điểm N(1; −2) cực tiểu A y = x4 − x2 − B y = x4 + 2x2 − C y = − x4 + 2x2 D y = x4 − 2x2 − Câu 12 Cho hàm số y = − x4 + 2x2 − Diện tích tam giác tạo ba điểm cực trị đồ thị hàm số C D A B x−1 Câu 13 Hàm số y = có điểm cực trị? x+1 A B C D Câu 14 Số điểm cực trị hàm số y = x2017 (x + 1) A 2017 B C D Câu 15 Cho hàm số y = f (x) xác định R có đạo hàm y0 = f (x) = 3x3 − 3x2 Mệnh đề sau sai? A Trên khoảng (1; +∞) hàm số đồng biến C Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị B Trên khoảng (−1; 1) hàm số nghịch biến D Đồ thị hàm số có điểm cực tiểu Câu 16 Cho hàm số y = f (x) liên tục R có đạo hàm f (x) = x(x − 1)2 (x − 2)3 Số điểm cực trị hàm số y = f (x) A B C D Câu 17 Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên hình vẽ bên x f (x) −∞ +∞ −1 − + 0 − 1 +∞ + +∞ f (x) 0 Giá trị cực đại hàm số A y = B y = C x = D x = Câu 18 Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên hình bên x y0 y −∞ + −1 −∞ − + −1 −1 +∞ − Hàm số y = f (x) có điểm cực trị? A B C D Gv PHÙNG V HOÀNG EM - ĐT: 0972.657.617 22 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Câu 19 Cho hàm số y = f (x) có đồ thị hình bên Mệnh đề đúng? A Hàm số có giá trị cực tiểu B Hàm số có giá trị cực đại C Hàm số đạt cực đại x = cực tiểu x = D Hàm số có ba điểm cực trị y −2 x O −2 Câu 20 Cho hàm số y = f (x) xác định R có bảng xét dấu đạo hàm hình vẽ bên Hàm số cho đạt cực tiểu A x = B x = C y = D y = x −∞ y0 − Câu 21 Hàm số y = f (x) liên tục khoảng K, biết đồ thị hàm số y0 = f (x) [−2; 2] hình vẽ bên Tìm số cực trị hàm số y = f (x) [−2; 2] A B C D √ Câu 22 Hàm số y = x − x2 có điểm cực trị? A B C Câu 23 Hàm số y = x3 − 2mx2 + m2 x − đạt cực tiểu x = A m = B m = +∞ + − y −2 −1 O x D C m = −1 D m = −3 C m = D m 6= Câu 24 Với giá trị m hàm số y = mx3 − 3mx + đạt cực đại x = 1? A m = B m < Câu 25 Tìm tất giá trị thực tham số m cho hàm số y = x3 − 3mx2 + 3m + có hai điểm cực trị A m ≥ B ∀ m ∈ R C m ≤ A 4031 B 4036 C 4029 D m 6= ã Å x+ Câu 26 Gọi S tập hợp tất giá trị tham số m để hàm số f (x) = x − mx + m + 10 có hai điểm cực trị Hỏi có số nguyên m ∈ S thỏa |m| ≤ 2018? D 4033 Câu 27 Cho hàm số y = 2x3 + 3(m − 1)x2 + 6(m − 2)x − 18 Tập hợp tất giá trị tham số m để hàm số có hai điểm cực trị thuộc khoảng (−5; 5) A (−∞; −3) ∪ (7; +∞) C (−∞; 7) \ {3} B (−3; +∞) \ {3} D (−3; 7) \ {3} Câu 28 Biết đồ thị hàm số y = x4 + bx2 + c có điểm cực trị điểm có tọa độ (0; −1), b c thỏa mãn điều kiện đây? A b < c = −1 B b ≥ c > C b < c < D b ≥ c = −1 Câu 29 Cho hàm số y = (m + 1) x4 − mx2 + Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số có ba điểm cực trị A m ∈ (−∞; −1) ∪ (0; +∞) C m ∈ (−∞; −1) ∪ [0; +∞) 23 Gv PHÙNG V HOÀNG EM - ĐT: 0972 657 617 B m ∈ (−1; 0) D m ∈ (−∞; −1] ∪ [0; +∞) Chương ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ Câu 30 Cho hàm số f (x) = x4 + 4mx3 + (m + 1) x2 + Gọi S tập hợp tất giá trị nguyên m để hàm số có cực tiểu mà khơng có cực đại Tính tổng phần tử tập S A B C D Câu 31 Cho hàm số f (x), bảng biến thiên hàm số f (x) hình vẽ bên x −∞ +∞ −1 +∞ +∞ f (x) −3 −1 Số điểm cực trị hàm số y = f (x2 + 2x) A B C D Câu 32 Cho hàm số y = f (x) xác định liên tục R, có đạo hàm f (x) Biết đồ thị hàm số f (x) hình vẽ Xác định điểm cực đại hàm số g (x) = f (x) + x A Không có giá trị B x = C x = D x = Câu 33 Cho hàm số y = f (x) đa thức bậc
có đồ thị f (x) hình vẽ Hàm số g(x) = f x2 + 2x − x2 có điểm cực trị? A B C D y O x −1 y −4 f (x) O x −2 Câu 34 Cho đồ thị hàm đa thức y = f (x) hình vẽ Hỏi hàm số g (x) = f (x) · f (2x + 1) có tất điểm cực trị? A B C D y −3 O Gv PHÙNG V HOÀNG EM - ĐT: 0972.657.617 x 24 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Câu 35 Cho hàm số y = f (x) xác định R hàm số y = f (x) có đồ thị hình bên Biết f (x) < với x ∈ (−∞; −3, 4) ∪ (9; +∞) Có giá trị nguyên dương tham số m để hàm số g(x) = f (x) − mx + có hai điểm cực trị A B C D y 13 10 −3, −1 5, 1, x —HẾT— Đề số Câu Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số y = −2x3 + 3x2 + A y = x + B y = − x + C y = x − D y = − x − B N(3; −5) C P(2; 3) D Q(3; −1) Câu Gọi d đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số y = x3 − 3x + Điểm sau thuộc d? A M(−2; 1) Câu Khoảng cách hai điểm cực đại cực tiểu đồ thị hàm số y = (x + 1) (x − 2)2 √ √ B C D A Câu Cho hàm số y = x4 − 2x2 + Diện tích S tam giác tạo ba đỉnh cực trị đồ thị hàm số cho A B C D 2 2019 x2019 có điểm cực trị? Câu Hàm số f (x) = C2019 + C2019 x + C2019 x2 + · · · + C2019 A B 2019 C 2018 D Câu Cho hàm số f (x) có đạo hàm f (x) = (x2 − 1)x2 (x − 2)2019 với ∀ x ∈ R Số điểm cực trị hàm số cho A B C D Câu Cho hàm số y = f (x) liên tục R có đồ thị hình bên Hỏi hàm số có điểm cực trị? A B C D y −1 O Câu Cho hàm số y = f (x) = sin 2x Trong khoảng (0; 2018) có điểm cực tiểu? A 1285 25 B 2017 Gv PHÙNG V HOÀNG EM - ĐT: 0972 657 617 C 643 D 642 x Chương ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ Câu Cho hàm số y = x − sin 2x + Chọn kết luận π π A Hàm số đạt cực tiểu x = B Hàm số đạt cực tiểu x = − π π C Hàm số đạt cực đại x = D Hàm số đạt cực đại x = − 6 Câu 10 Cho hàm số y = f (x) xác định có đạo hàm R Biết hàm số y = f (x) liên tục có đồ thị R hình vẽ bên Hỏi hàm số y = f (x2 ) có điểm cực đại? A B C D y −2 Câu 11 Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm R có bảng xét dấu y = f (x) sau Hỏi hàm số g(x) = f (x2 − 2x) có điểm cực tiểu? A B C D Câu 12 Cho hàm số f (x) có bảng biến thiên
hình vẽ bên Hỏi hàm số = f x + có điểm cực trị A B C D x f0 −∞ x y0 y − −∞ +∞ Câu 13 Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm R Đồ thị hàm số y = f (x) hình vẽ bên Hàm số g(x) = f (x) + x2 đạt cực tiểu điểm sau đây? A x = −1 B x = C x = D x = −2 O − + −2 +∞ + x − +∞ + + +∞ −2 y −1 x O −1 −2 Câu 14 Tìm giá trị thực tham số m để hàm số y = x3 − 3x2 + mx đạt cực tiểu x = A m = B m = −2 C m = B m0 ∈ (10; 14) C m0 ∈ (7; 10) D m = Câu 15 Biết với m = m0 hàm số y = x3 − mx + đạt cực đại x = −2 Tìm khẳng định A m0 ∈ (0; 3) D m0 ∈ (4; 6) x − mx2 + (3m − 2)x + có cực trị A m > B < m < C m < m > D m = Câu 16 Hàm số y = Câu 17 Hàm số y = x3 − 3x + − m với m tham số Hàm số có giá trị cực đại giá trị cực tiểu trái dấu A m = −1 m = C m < −1 m > B −1 < m < D −1 < m ≤ Gv PHÙNG V HOÀNG EM - ĐT: 0972.657.617 26 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Câu 18 Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số y = − x4 + 2(m − 1)x2 − m + có ba điểm cực trị A m < B m > C m ≥ D m ≤ D [0; +∞) Câu 19 Tập hợp số thực m thỏa mãn hàm số y = mx4 − x2 + có điểm cực trị A (−∞; 0) B (−∞; 0] C (0; +∞) A m < B < m < C m < Câu 20 Tìm tất giá trị thực m cho điểm cực tiểu đồ thị hàm số y = x3 + x2 + mx − nằm bên phải trục tung D Không tồn Câu 21 Biết m0 giá trị tham số m để hàm số y = x3 − 3x2 + mx − có hai điểm cực trị x1 , x2 cho x1 + x2 − x1 x2 = 13 Mệnh đề đúng? A m0 ∈ (−1; 7) B m0 ∈ (−15; −7) C m0 ∈ (7; 10) D m0 ∈ (−7; −1) Câu 22 Cho hàm số y = 2x3 + 3(m − 1)x2 + 6(m − 2)x − 18 Tập hợp tất giá trị tham số m để hàm số có hai điểm cực trị thuộc khoảng (−5; 5) A (−∞; −3) ∪ (7; +∞) C (−∞; 7) \ {3} B (−3; +∞) \ {3} D (−3; 7) \ {3} Câu 23 Cho điểm A(−1; 3) Gọi m1 m2 giá trị tham số m để đồ thị hàm số y = x3 − 3mx2 + m có hai điểm cực trị B C thỏa ba điểm A, B, C thẳng hàng Tính m1 + m2 A m1 + m2 = B m1 + m2 = − C m1 + m2 = D m1 + m2 = −1 Câu 24 Tìm tất giá trị tham số m để đồ thị hàm số y = x3 + 2x2 + (m − 3)x + m có hai điểm cực trị điểm M(9; −5) nằm đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị B m = C m = −5 D m = −1 Câu 25 Cho hàm số y = x3 − 2mx2 + (m − 1)x + 2m2 + (m tham số) Xác định khoảng cách lớn từ gốc tọa độ O(0; 0) đến đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số √ √ √ 10 A B D C A m = Câu 26 Có tất giá trị nguyên m để hàm số y = x8 + (m − 2)x5 − (m2 − 4)x4 + đạt cực tiểu x = 0? A B C D Vô số Câu 27 Cho hàm số y = f (x) biết f (x) = x2 (x − 1)3 (x2 − 2mx + m + 6) Số giá trị nguyên tham số m để hàm số cho có điểm cực trị A B C D Câu 28 Tìm tất giá trị thực tham số m cho đồ thị hàm số y = x4 + 2mx2 + có ba điểm cực trị tạo thành tam giác vuông cân A m = − √ B m = −1 C m = √ D m = Câu 29 Với giá trị m đồ thị hàm số y = x4 − 2(m − 1)x2 + m4 − 3m2 + 2017 có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có diện tích 32? A 27 B Gv PHÙNG V HOÀNG EM - ĐT: 0972 657 617 C D Chương ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ Câu 30 Đồ thị hàm số y = − x4 − mx2 + m2 − có điểm cực trị tạo thành đỉnh tam giác … A m = B m = −2 C m = D m = Câu 31 Tìm tất giá trị thực tham số m cho đồ thị hàm số y = x4 − 2mx2 + 2m4 − m có ba điểm cực trị thuộc trục tọa độ A m = B m = C m = D m = mx2 + (m + 2)x + Câu 32 Cho hàm số y = Gọi S tập hợp giá trị m cho đồ thị x2 + hàm số cho có hai điểm cực trị đường thẳng nối hai điểm cực trị đồ thị hàm số cắt 25 hai trục tọa độ tạo thành tam giác có diện tích Tính tổng phần tử S A B C −4 D −2
Câu 33 Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm f (x) = x3 + 2x2 , ∀ x ∈ R Hàm số y = f x3 − 3x có tất điểm cực trị? A B C Câu 34 Cho hàm số bậc bốn y = f (x) có đồ thị hàm số y = f (x) hình vẽ bên Hàm số g(x) = f (x2 − 4) + x4 − 8x2 có điểm cực tiểu? A B C D D y f (x) −2 O x −2 —HẾT— Gv PHÙNG V HOÀNG EM - ĐT: 0972.657.617 28 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ LỚNGIÁ Bài số TRỊ GIÁ NHẤT TRỊ-LỚN NHỎNHẤT NHẤT- NHỎ CỦA HÀM NHẤT SỐ CỦA HÀM SỐ A A LÝ THUYẾT CẦN NHỚ Cho hàm số y = f (x) xác định tập D Ta có f (x) ≤ M, ∀ x ∈ D ymax ¬ M giá trị lớn hàm số ∃ x0 ∈ D : f (x0 ) = M Kí hiệu max f (x) = M ® y f (a) x ∈D O ® ­ n giá trị nhỏ hàm số Kí hiệu f (x) = n f (x) ≥ n, ∀ x ∈ D ∃ x0 ∈ D : f (x0 ) = n x0 b x a f (x0 ) ymin x ∈D Các phương pháp thường dùng để tìm max - ¬ Dùng đạo hàm (đối với hàm biến), lập bảng biến thiên ­ Đặt ẩn phụ, để đưa khảo sát hàm đơn giản (nhớ tìm điều kiện ẩn phụ) ® Dùng bất đẳng thức:( nhớ kiểm tra dấu bằng) • Bất đẳng thức Cauchy: Với a1 ; a2 ; · · · ; an số thực khơng âm, ta ln có √ a1 + a2 + · · · + a n ≥ n n a1 · a2 · · · a n Dấu "=" xảy a1 = a2 = · · · = an o Trường hợp thường gặp Cauchy cho số số: √ — a1 + a2 ≥ a1 a2 Dấu đẳng thức xảy a1 = a2 √ — a1 + a2 + a3 ≥ 3 a1 a2 a3 Dấu đẳng thức xảy a1 = a2 = a3 • Bất đẳng thức Bu-nhia-cốp-xki: Với hai số a1 ; a2 ; · · · ; an b1 ; b2 ; · · · ; bn , ta ln có ä äÄ Ä (a1 b1 + a2 b2 + · · · + an bn )2 ≤ a21 + a22 + · · · + a2n b12 + b22 + · · · + bn2 Dấu "=" xảy a1 a an = = ··· = b1 b2 bn ¯ Dùng điều kiện có nghiệm phương trình Giả sử y0 thuộc miền giá trị hàm số y = f (x) Khi đó, tồn x ∈ D để phương trình f (x) = y0 có nghiệm Biện luận điều kiện này, ta tìm "khoảng dao động" y0 Từ suy max, 29 Gv PHÙNG V HỒNG EM - ĐT: 0972 657 617 Chương ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ A CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP B DẠNG Tìm max – hàm số cho trước Xét tốn "Tìm giá trị lớn (nhỏ nhất) hàm số y = f (x) miền D ☼ Phương pháp thường dùng: • Đạo hàm lập bảng biến thiên hàm số y = f (x) miền D • Quan sát bảng biến thiên, suy kết ☼ Chú ý: Nếu D đoạn [a; b], ta giải nhanh sau • Giải f (x) = 0, tìm nghiệm x0 ∈ D • TÍnh tốn f (a), f (x0 ); f (b) So sánh giá trị chọn kết c Ví dụ Gọi M, m giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y = x3 + 3x2 − 9x + [−4; 4] Tính tổng M + m A 12 B 98 C 17 D 73 c Ví dụ (Đề minh họa BDG 2019-1020) Giá trị lớn hàm số f (x) = − x4 + 12x2 + đoạn [−1; 2] A 33 B 37 C 12 D c Ví dụ Giá trị nhỏ hàm số y = A y = [0;3] x−1 đoạn [0; 3] x+1 B y = −3 [0;3] C y = [0;3] D y = −1 [0;3] ï ò x2 − 3x + đoạn −2; c Ví dụ Giá trị lớn hàm số y = x−1 13 A B −3 C − D − √ c Ví dụ Tìm giá trị lớn M √ hàm số y = + 6x − x2 A M = B M = C M = D M = c Ví dụ Giá trị nhỏ hàm số y = 3x + khoảng (0; +∞) x √ √ 33 25 3 A B C D c Ví dụ Giá trị lớn hàm số f (x) = thuộc Å khoảngãnào đây? Å ã 3 A − ; B 1; mx + đoạn [1; 2] Khi giá trị m x−m Å ã Å ã 3 C 0; D ; 11 4 2x − m với m tham số m 6= −4 Biết f (x) + max f (x) = x+2 [0;2] [0;2] −8 Giá trị tham số m A 12 B C D 10 c Ví dụ Cho hàm số y = Gv PHÙNG V HOÀNG EM - ĐT: 0972.657.617 30 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ c Ví dụ Cho hàm số y = f (x) hàm số liên tục R có bảng biến thiên hình vẽ Khẳng định sau khẳng định sai? A Cực đại hàm số x −∞ +∞ −1 B Cực tiểu hàm số f (x) + − + − C max y = R 4 D y = f (x) R −∞ −∞ c Ví dụ 10 Cho hàm số y = f (x) có đồ thị đường cong hình bên Tìm giá trị nhỏ m hàm số y = f (x) đoạn [−1; 1] A m = B m = −2 C m = D m = −1 y O x −1 −2 c Ví dụ 11 Cho hàm số y = f (x), biết hàm số y = f (x) có đồ thị ị vẽ ï hình Hàm số y = f (x) đạt giá trị nhỏ đoạn ; 2 điểm sau đây? A x = B x = 2 C x = D x = c Ví dụ 12 Cho hàm số f (x) có đồ thị hàm số y = f (x) hình vẽ Biết f (0) + f (1) − f (2) = f (4) − f (3) Giá trị nhỏ m, giá trị lớn M hàm số f (x) đoạn [0; 4] A m = f (4), M = f (1) B m = f (4), M = f (2) C m = f (1), M = f (2) D m = f (0), M = f (2) c Ví dụ 13 (Minh họa 2021) Cho hàm số f (x), đồ thị hàm số y = f (x) đường cong ïhình bên ị Giá trị lớn hàm số g(x) = f (2x) − 4x đoạn − ; A f (0) B f (−3) + C f (2) − D f (4) − y y x O y = f (x) x O y −3 O x c Ví dụ 14 Gọi M, m tương ứng giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y = cos x + Khẳng định sau đúng? cos x − A 9M + m = B 9M − m = C M + 9m = D M + m = 31 Gv PHÙNG V HOÀNG EM - ĐT: 0972 657 617 Chương ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ Tìm max – hàm chứa ẩn dấu trị tuyệt đối y = | f (x)|   Cho hàm số y = f (x) xác định a; b Gọi M = max f (x) m = f (x) Ta có kết DẠNG [a;b] [a;b] sau:  Giá trị lớn nhất: max | f (x)| = max {| M |, |m|} = | M| + |m| + | M| − |m| [a;b]  Giá trị nhỏ nhất: Các trường hợp xảy • Nếu m ≥ | f (x)| = m [a;b] • Nếu M ≤ | f (x)| = − M [a;b] • Nếu M · m < | f (x)| = [a;b] c Ví dụ 15 Cho hàm số y = g(x) liên tục [a; b], đạt giá trị lớn nhỏ [a; b] −5 Tìm giá trị lớn M nhỏ n hàm số y = | g(x)| đoạn [a; b] A M = n = −5 B M = n = C M = n = D M = n = −3 c Ví dụ 16 Gọi S tập hợp tất giá trị tham số thực m cho giá trị lớn hàm số y = | x3 − 3x + m| đoạn [0; 2] Số phần tử S A B C D c Ví dụ 17 Cho hàm số f (x) = | x4 − 2x2 + m| Có số nguyên m để max f (x) ≤ 100 A 192 [−1;2] B 193 C 191 D 190 c Ví dụ 18 Cho hàm số y = f (x) = | x4 − 4x3 + 4x2 + a| Gọi M, m giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số cho đoạn [0; 2] Số giá trị nguyên a thuộc đoạn [−3; 3] cho M ≤ 2m A B C D DẠNG Một số toán vận dụng ☼ Bài tốn chuyển động: • Gọi s(t) hàm quãng đường; v(t) hàm vận tốc; a(t) hàm giá tốc; • Khi s0 (t) = v(t); v0 (t) = a(t) ☼ Bài toán thực tế – tối ưu: • Biểu diễn kiện cần đạt max – qua hàm f (t) • Khảo sát hàm f (t) miền điều kiện hàm suy kết c Ví dụ 19 Một chất điểm chuyển động với quãng đường s(t) cho công thức s(t) = 6t2 − t3 , t (giây) thời gian Hỏi khoảng thời gian từ đến giây, vận tốc v (m/s) chất điểm đạt giá trị lớn thời điểm t (giây) bao nhiêu? A t = s B t = s C t = s D t = s Gv PHÙNG V HOÀNG EM - ĐT: 0972.657.617 32 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ c Ví dụ 20 Từ tơn có hình dạng nửa hình trịn bán kính R = 3, người ta muốn cắt hình chữ nhật (hình vẽ bên) Diện tích lớn tơn hình chữ nhật √ √ B C D A M N Q P O c Ví dụ 21 Một sợi dây có chiều dài m, chia thành phần Phần thứ uốn thành hình tam giác đều, phần thứ hai uốn thành hình vng Hỏi độ dài cạnh hình tam giác để tổng diện tích hình thu nhỏ nhất? 12 √ m A 4+ A C √ 18 √ m B 4+ √ 36 √ m C 4+ D 18 √ m 9+4 BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu Cho hàm số f (x) liên tục đoạn [−1; 3] có đồ thị hình bên Gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số đoạn [−1; 3] Giá trị M − m A B C D y 2 O x −1 −2 Câu Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên hình bên Xét ba khẳng định sau: (1) Hàm số đồng biến khoảng (0; 2) x y0 y (2) Hàm số có cực đại (3) Hàm số có giá trị lớn −∞ + −2 0 − −∞ +∞ + − −1 −∞ Số khẳng định ba khẳng định A B C Câu Giá trị lớn hàm số y = − x4 + 4x2 đoạn [−1; 2] A B C D D Câu Gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y = x3 − 3x2 − 9x + 35 đoạn [−4; 4] Tính T = M + 2m A T = −41 B T = −44 C T = −43 Câu Cho hàm số y = f (x) có bảng xét dấu đạo hàm sau: 33 Gv PHÙNG V HOÀNG EM - ĐT: 0972 657 617 D T = −42 Chương ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ x y0 −∞ − −1 − +∞ + − Mệnh đề sau đúng? A f (x) = f (0) B max f (x) = f (1) (−1;+∞) (0;+∞) C max f (x) = f (0) D (−1;1] Câu Giá trị lớn hàm số f (x) = A B f (x) = f (−1) (−∞;−1) x+1 đoạn [1; 3] x+2 C D x2 + đoạn [−4; −2] x+1 19 A y = −7 B y = − C y = −8 D y = −6 [−4;−2] [−4;−2] [−4;−2] [−4;−2] √ Câu Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y = x + 12 − 3x2 Câu Giá trị nhỏ hàm số y = B max y = 4, y = −2 D max y = 2, y = −4 √ Câu Tổng giá trị nhỏ lớn hàm số y = − x2 − x bao nhiêu? √ √ A − B C + D A max y = 4, y = C max y = 2, y = −2 Câu 10 Cho hàm số y = f (x) liên tục R có bảng biến thiên hình bên Khẳng định sau đúng? A Hàm số có hai điểm cực trị B Hàm số có giá trị nhỏ giá trị lớn C Hàm số có giá trị cực đại D Hàm số có đạt cực tiểu x = đạt cực đại x = Câu 11 Trên khoảng (0; 1), hàm số y = x3 + A B √ x y0 y −∞ +∞ − −1 +∞ − + −∞ đạt giá trị nhỏ x0 x 1 C √ D √ 3 − khoảng (0; +∞) x C m = D m = −3 Câu 12 Tìm giá trị nhỏ m hàm số f (x) = 4x2 + A m = −1 B m = −4 Câu 13 Gọi m M giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn hàm số y = Tính tích mM A mM = −0.20 B mM = −0.25 C mM = −0.15 x2 2x + 19 + 16x + 68 D mM = −0.30 Câu 14 Hàm số y = sin x − cos x có giá trị lớn M, giá trị nhỏ m A M = 7, m = B M = 5, m = −5 C M = 1, m = −7 D M = 7, m = −7 Gv PHÙNG V HOÀNG EM - ĐT: 0972.657.617 34 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ Câu 15 Cho hàm số y = f (x) liên tục đoạn [0; 6] Đồ thị hàm số y = f (x) cho hình bên Giá trị lớn hàm số y = f (x) đoạn [0; 6] A f (2) B f (0) C f (5) D f (6) y y = f (x) O −2 −1 −1 x −2 Câu 16 Cho hàm số f (x) có đạo hàm R có đồ thị hàm số y = f (x) hình vẽ Biết f (−1) + f (2) = f (1) + f (4), điểm A(1; 0), B(−1; 0) thuộc đồ thị Giá trị nhỏ giá trị lớn f (x) đoạn [−1; 4] A f (1), f (−1) B f (0), f (2) C f (−1), f (4) D f (1), f (4) y −1 O Câu 17 Cho hàm số y = f (x) liên tục R có đồ thị hàm số ï y =ị f (x) hình vẽ Hàm số y = f (x) đạt giá trị nhỏ đoạn 0; điểm đây? A x0 = B x0 = C x0 = D x0 = Câu 18 Cho hàm số f (x) = x y O x x−m , với m tham số Biết f (x) + max f (x) = −2 Hãy chọn x+1 [0;3] [0;3] kết luận đúng? A m = B m > C m = −2 D m < −2 x − m2 + m Tổng giá trị tham số m cho giá trị nhỏ x+1 hàm số đoạn [0; 1] −2 Câu 19 Cho hàm số y = B −2 A C D mx + Câu 20 Gọi T tập hợp tất giá trị tham số m để hàm số y = có giá trị lớn x + m2 đoạn [2; 3] Tính tổng S phần tử T 18 17 A S = B S = C S = D S = 5 7(a2 + 9) a + a a +9 253 253 C D Câu 21 Cho a > Giá trị nhỏ biểu thức P = A 35 251 √ B Gv PHÙNG V HOÀNG EM - ĐT: 0972 657 617 Chương ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ Câu 22 Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y = A ymax = ; ymin = − C ymax = 1; ymin = − cos2 x − cos x + cos x − B ymax = 13; ymin = D ymax = ; ymin = −1 Câu 23 M, m giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y = cos x(1 + cos 2x) Tìm 2M − m √ √ √ 3 A B C + D + 3 9 Câu 24 Tìm giá trị nhỏ hàm số f (x) = cos2 2x − sin x cos x + R A f (x) = x ∈R B f (x) = x ∈R C f (x) = x ∈R 10 D f (x) = x ∈R 16 Câu 25 Cho hai số thực x, y thay đổi thỏa mãn điều kiện x2 + y2 = Gọi M, m giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P = 2(x3 + y3 ) − 3xy Giá trị M + m √ A −4 B − C −6 D − 2 2xy Câu 26 Cho biểu thức P = với x, y khác Giá trị nhỏ P x + y2 A −2 C −1 B D Câu 27 Cho x, y hai số thực không âm thỏa mãn x + y = Gọi a, b giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn biểu thức P = x3 + x2 + y2 − x + Khi kết luận sau đúng? A a + b = 22 B a + b = 10 C a + b = D a + b = 32 Câu 28 Cho số thực x, y thỏa mãn x2 + 2xy + 3y2 = Tìm giá trị lớn biểu thức P = (x − y)2 A max P = B max P = 16 C max P = 12 D max P = Câu 29 Một người thợ muốn làm thùng hình hộp chữ nhật có đáy hình vng khơng có nắp, biết thể tích khối hộp V = 2,16 m3 Giá nguyên liệu để làm bốn mặt bên 36000 đồng/m2 giá nguyên liệu để làm đáy 90000 đồng/m2 Tính kích thước hình hộp để chi phí làm thùng nhỏ A Cạnh đáy 1,2 m, chiều cao 1,8 m C Cạnh đáy 1,7 m, chiều cao m B Cạnh đáy 1,5 m, chiều cao 1,2 m D Cạnh đáy m, chiều cao 1,7 m Câu 30 Cho p ba số dương x, y, z theo thứ tự lập thành cấp số cộng Tìm giá trị lớn biểu x2 + 8yz + thức P = p (2y + z)2 + A √ 2 B √ 10 C √ 10 D √ 15 Câu 31 Gọi S tập hợp tất giá trị thực tham số m cho giá trị lớn hàm số x2 + mx + m y= [1; 2] Số phần tử S x+1 A B C D Gv PHÙNG V HOÀNG EM - ĐT: 0972.657.617 36 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ Câu 32 Gọi S tập hợp tất giá trị tham số thực m cho giá trị lớn hàm số y = | x2 − 2x + m| đoạn [0; 3] Tổng phần tử S A C −2 B D −12 Câu 33 Cho hai hàm số y = f (x), y = g(x) có đạo hàm f (x), g0 (x) Đồ thị hàm số f (x) g0 (x) cho hình vẽ bên y f (x) g0 (x) O x Biết f (0) − f (6) < g(0) − g(6) Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số h(x) = f (x) − g(x) đoạn [0; 6] A h(2), h(6) B h(6), h(2) C h(0), h(2) D h(2), h(0) Câu 34 Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm R có đồ thị hình vẽ Đặt hàm số g(x) = f (2x3 + x − 1) + m Tìm m để max g(x) = −10 [0;1] A m = C m = −13 y B m = −12 D m = −1 −2 Câu 35 Cho hàm số y = f (x), đồ thị hàm số y = f (x) đường cong hình bên Giá trị nhỏ hàm số g(x) = f (x) + (1 − x)2 đoạn [−4; 3] A f (−3) + 16 B f (−4) + 25 C f (−1) + D f (3) + x x −1 −1 −2 Gv PHÙNG V HOÀNG EM - ĐT: 0972 657 617 −4 −3 37 y O —HẾT— −1 O 1 −1 Chương ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ Bài số ĐƯỜNG TIỆM ĐƯỜNG CẬN CỦA TIỆMĐỒ CẬN THỊCỦA HÀM ĐỒ SỐTHỊ HÀM SỐ A A LÝ THUYẾT CẦN NHỚ Đường tiệm cận ngang (TCN)  Cho hàm số y = f (x) xác định khoảng vô hạn (a; +∞), (−∞; b) (−∞; +∞) Đường thẳng y = y0 TCN đồ thị hàm số y = f (x) lim f (x) = y0 lim f (x) = y0 x →−∞ y x →+∞ y y y=2 O y=1 x x O Khơng có TCN −2 x O y = −2 Có TCN y = 2, y = −2 Có TCN y =  Các bước tìm TCN: ¬ Tính lim f (x) lim f (x) x →+∞ x →−∞ ­ Xem "vị trí" kết hữu hạn ta kết luận có tiệm cận ngang "vị trí"  Sử dụng máy tính cầm tay: Nhập biểu thức f (x) ¬ Bấm CACL X = 108 để kiểm tra x → +∞ ­ Bấm CACL X = −108 để kiểm tra x → −∞ Đường tiệm cận đứng (TCĐ)  Đường thẳng x = x0 TCĐ đồ thị hàm số y = f (x) lim f (x) = ∞ lim f (x) = ∞ x → x0− x → x0+ y y y O x O Khơng có TCĐ −1 O x x Có TCĐ x = Có TCĐ x = −1 x = Gv PHÙNG V HOÀNG EM - ĐT: 0972.657.617 38 ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ  Các bước tìm TCĐ: ¬ Tìm nghiệm mẫu, giả sử nghiệm x = x0 ­ Tính giới hạn bên x0 Nếu xảy lim f (x) = ∞ lim f (x) = ∞ ta kết luận x = x0 đường tiệm cận đứng x → x0− x → x0+  Sử dụng máy tính cầm tay: Nhập biểu thức f (x) ¬ Bấm CACL X = x0 − 0.000001 để kiểm tra x → x0− ­ Bấm CACL X = x0 + 0.000001 để kiểm tra x → x0+ A CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP B DẠNG Cho hàm số y = f (x), tìm tiệm cận đứng tiệm cận ngang đồ thị tương ứng Thực theo lý thuyết nêu Chú ý vấn đề thường gặp sau:  Tính giới hạn hàm số dạng phân thức định TCN, ta thường gặp: a n x n + a n −1 x n −1 + · · · x → ±∞ để xác bm x m + a m − x m − + · · · ¬ bậc tử < bậc mẫu kết an ­ bậc tử = bậc mẫu kết bm ® bậc tử > bậc mẫu kết ∞ Lúc đồ thị khơng có đường TCN  Khi tìm TCĐ, trước tiên ta tìm nghiệm x0 mẫu Chú ý: ¬ Nếu x0 khơng nghiệm tử số x = x0 TCĐ ­ Nếu x0 nghiệm tử số ta kiểm tra lại máy tính ® Nếu x = x0 khơng xác định tử số x = x0 bị loại  Đồ thị hàm số y = ax + b d a ln có TCĐ x = − TCN: y = cx + d c c 2x − x+2 C x = −2 D y = −2 2x + 1−x C y = D x = c Ví dụ Đường tiệm cận ngang đồ thị hàm số y = A y = B x = c Ví dụ Tìm tiệm cận ngang đồ thị hàm số y = A y = −2 B x = −2 c Ví dụ Hàm số có đồ thị nhận đường thẳng x = làm đường tiệm cận đứng? 1 A y = x − + B y = x+1 x+1 5x C y = D y = x+2 2−x 39 Gv PHÙNG V HOÀNG EM - ĐT: 0972 657 617 Chương ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ c Ví dụ Đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số y = A x = −2 B x = B y = 1; y = −5 x+1 có phương trình + 4x − C x = 1; x = −5 D x = ±5 c Ví dụ Số đường tiệm cận đồ thị hàm số y = A B C B x2 x−2 c Ví dụ Tìm số đường tiệm cận đồ thị hàm số y = A 1 D y = − C y = c Ví dụ Đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số y = A x = −1 3x + đường thẳng x−2 C x2 − 3x + x2 − D D 2x − c Ví dụ Tìm toạ độ giao điểm I hai đường tiệm cận đồ thị hàm số y = 2− ã Å ã Å ã Å ã 3x Å 2 2 2 ;1 B I ;− C I ;− D I − ; A I 3 3 3 c Ví dụ Cho hàm số y = f (x) có đồ thị đường cong (C) giới hạn lim f (x) = 1, lim f (x) = 1, lim f (x) = 2, lim f (x) = Hỏi mệnh đề sau đúng? x →2− A B C D x →+∞ x →2+ x →−∞ Đường thẳng y = tiệm cận ngang (C) Đường thẳng y = tiệm cận ngang (C) Đường thẳng x = tiệm cận ngang (C) Đường thẳng x = tiệm cận đứng (C) c Ví dụ 10 Cho hàm số y = f (x) xác định liên tục khoảng (−2; −1) có lim x →(−1)− A B C D y = −∞ Khẳng định sau đúng? Đồ thị hàm số Đồ thị hàm số Đồ thị hàm số Đồ thị hàm số y=2 f (x) có hai tiệm cận đứng đường thẳng x = −1 x = −2 f (x) có tiệm cận đứng đường thẳng x = −1 f (x) có hai tiệm cận ngang đường thẳng y = y = −1 f (x) có tiệm cận ngang đường thẳng y = c Ví dụ 11 (Quốc Gia - 2018) Số tiệm cận đứng đồ thị hàm số y = A lim x →(−2)+ B √ x+9−3 x2 + x D C √ √ c Ví dụ 12 Đồ thị hàm số y = 4x2 + 4x + − 4x2 + có đường tiệm cận ngang? A B C D 3x + cắt hai trục tọa độ điểm x−4 A, B Bán kính R đường trịn ngoại tiếp tam giác OAB A R = B R = C R = D R = c Ví dụ 13 Hai đường tiệm cận đồ thị hàm số y = Gv PHÙNG V HOÀNG EM - ĐT: 0972.657.617 40 ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ DẠNG Xác định TCN TCĐ biết bảng biến thiên hàm số y = f (x)  Nhìn "vị trí" ±∞ để xác định đường TCN ¬ Nếu "vị trí" kết hữu hạn vị trí có TCN ­ Nếu "vị trí" khơng tồn kết ∞ "vị trí" khơng có TCN  Nhìn "vị trí có hai gạch sọc" để xác định TCĐ ¬ Nếu "vị trí" xuất ∞ vị trí TCĐ ­ Nếu "vị trí" khơng xuất ∞ hai bên (giới hạn trái giới hạn phải) vị trí khơng TCĐ c Ví dụ 14 Cho bảng biến thiên hàm số y = f (x) sau −∞ x +∞ − 12 +∞ +∞ y −∞ Đồ thị hàm số cho có tổng số đường tiệm cận đứng tiệm cận ngang? A B C D c Ví dụ 15 Cho hàm số y = f (x) xác định R\ {0} , liên tục khoảng xác định có bảng biến thiên hình bên x y0 y −∞ − +∞ +∞ + − −∞ −1 − ∞ Chọn khẳng định A Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang B Đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang C Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng D Đồ thị hàm số khơng có tiệm đứng tiệm cận ngang c Ví dụ 16 Cho hàm số y = f (x) xác định R \ {±1} liên tục khoảng xác định có bảng biến thiên hình vẽ x y0 y −∞ −2 − −1 +∞ − −∞ Số đường tiệm cận đồ thị hàm số A B 41 Gv PHÙNG V HOÀNG EM - ĐT: 0972 657 617 +∞ + + +∞ C −2 −∞ D Chương ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ c Ví dụ 17 Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên hình vẽ Đồ thị hàm số y = f (x) có đường tiệm cận? x y0 −∞ −2 + − +∞ + +∞ +∞ y −2 A −2 B C D c Ví dụ 18 Hỏi có cặp số nguyên dương (a; b) để hàm số y = có đồ thị (1; +∞) hình vẽ bên? A B C 2x − a 4x − b y D O x c Ví dụ 19 Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên sau x −∞ y0 +∞ −1 − − − +∞ + 1 y −∞ −∞ −1 Tổng số đường tiệm cận đứng tiệm cận ngang đồ thị hàm số y = A DẠNG B C f (x) − D Một số toán biện luận theo tham số m c Ví dụ 20 Tìm tất giá trị m để đồ thị hàm số y = qua điểm A(1; 3) A m = −3 B m = C m = −1 mx + có đường tiệm cận ngang x−5 D m = ax + , xác định a b để đồ thị hàm số nhận đường bx − thẳng x = làm tiệm cận đứng đường thẳng y = làm tiệm cận ngang 2® ® ® ® a = −1 a=1 a=2 a=2 A B C D b = −2 b=2 b=2 b = −2 c Ví dụ 21 Cho hàm số y = Gv PHÙNG V HOÀNG EM - ĐT: 0972.657.617 42 ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ 2x2 − 5x + m có tiệm cận đứng c Ví dụ 22 Tìm giá trị m để đồ thị hàm số y = x−m ® đ m 6= m=0 B m 6= C m 6= D A m 6= m=2 2x + (với m tham số) tạo x−m với hai trục tọa độ hình chữ nhật có diện tích Giá trị m A m = ±2 B m = −1 C m = D m = ±1 c Ví dụ 23 Biết hai đường tiệm cận đồ thị hàm số y = x+1 cho tổng khoảng cách từ x−2 Ä √ √ ä Ä √ √ ä B + 3; − − 3; + Ä √ √ ä Ä √ √ ä D + 3; − − 3; + c Ví dụ 24 Tìm tất điểm đồ thị hàm số y = điểm hai đường tiệm cận nhỏ Ä đến √ √ ä Ä √ √ ä A + 3; + − 3; − Ä √ √ ä Ä √ √ ä C + 3; + − 3; − c Ví dụ 25 Tìm tất giá trị tham số thực m để đồ thị hàm số y = đường tiệm cận   m>2 m >       A  m 6= B  m < −2 m = − m < −2 A C ñ C m>2 m < −2 x−2 có x2 − mx + D −2 < m < BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu Phương trình đường tiệm cận ngang đồ thị hàm số y = A y = B y = C x = x−3 x−1 D y = x+1 Khẳng định sau đúng? 2x − Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y = − Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y = Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = Câu Cho hàm số y = A B C D Câu Số đường tiệm cận đứng ngang đồ thị hàm số y = A B C 3x + x2 − D Câu Đường thẳng y = tiệm cận ngang đồ thị hàm số sau đây? A y = 2x2 + 2−x B y = x2 + 2x + 1+x C y = x+1 − 2x D y = 2x − x+2 Câu Cho hàm số y = f (x) có lim f (x) = −2 lim f (x) = Khẳng định sau đúng? x →−∞ x →+∞ A Đồ thị hàm số cho có tiệm cận ngang B Đồ thị hàm số cho khơng có tiệm cận ngang 43 Gv PHÙNG V HOÀNG EM - ĐT: 0972 657 617 Chương ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ C Đồ thị hàm số cho có hai tiệm cận ngang hai đường thẳng x = −2 x = D Đồ thị hàm số cho có hai tiệm cận ngang hai đường thẳng y = −2 y = Câu Cho hàm số y = f (x) có tập xác định R lim f (x) = y0 , lim f (x) = −∞ Tìm kết x →−∞ luận kết luận sau A B C D x →+∞ Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng đường thẳng x = y0 Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang đường thẳng y = y0 Đồ thị hàm số khơng có tiệm cận Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng, tiệm cận ngang Câu Cho hàm số y = A 2017 có đồ thị (H) Số đường tiệm cận (H) x−2 B C D Câu Cho đồ thị (C) : y = OI (với O gốc tọa độ) √ A OI = x−3 có hai đường tiệm cận cắt I Tính độ dài đoạn thẳng x+2 B OI = √ C OI = D OI = Câu Số đường tiệm cận (đứng ngang) đồ thị hàm số y = A B C Câu 10 Tìm số tiệm cận đứng ngang đồ thị hàm số y = A B x2 C √ bao nhiêu? x2 D x+1 − 3x + D x2 + 2x − có đường tiệm cận ngang x2 − B y = ±2 C y = Câu 11 Đồ thị hàm số y = A y = Câu 12 Đồ thị hàm số y = A x−1 có đường tiệm cận (đứng ngang)? |x| + B Câu 13 Đồ thị hàm số f (x) = √ A D y = ±1 B C x2 − 4x − √ D có đường tiệm cận ngang? x2 − 3x C D x+2 có đồ thị (C) Gọi d tích khoảng cách từ điểm x (C) đến đường tiệm cận (C) Tính d √ √ A d = B d = C d = D d = 2 Câu 14 Cho hàm số y = Câu 15 Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên sau Tổng số tiệm cận ngang tiệm cận đứng đồ thị hàm số cho A B C D x y0 −∞ +∞ + + +∞ y Gv PHÙNG V HOÀNG EM - ĐT: 0972.657.617 44 ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ Câu 16 Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên hình bên Hỏi đồ thị hàm số y = f (x) có tổng số tiệm cận (tiệm cận đứng tiệm cận ngang)? A B C D −∞ x y0 y + +∞ + +∞ − −∞ −∞ −1 Câu 17 Cho hàm số y = f (x) xác định R \ {±1}, liên tục khoảng xác định có bảng biến thiên sau x f (x) f (x) −∞ − −2 −1 +∞ − − −1 −∞ +∞ +∞ − −∞ Khẳng định sau sai? A B C D Đồ thị hàm số y = f (x) có hai tiệm cận ngang đường thẳng y = −2, y = Đồ thị hàm số y = f (x) có hai tiệm cận đứng đường thẳng x = 1, x = −1 Hàm số y = f (x) khơng có đạo hàm điểm x = Hàm số y = f (x) đạt cực trị điểm x = Câu 18 Cho hàm số y = f (x) xác định (−2; 0) ∪ (0; +∞) có bảng biến thiên hình vẽ Số đường tiệm cận đồ thị hàm số f (x) A B C D Câu 19 Cho hàm số y = f (x) xác định R\ {0}, liên tục khoảng xác định có bảng biến thiên hình bên Hỏi đồ thị hàm số có đường tiệm cận? A B C D Câu 20 Cho hàm số y = đúng? A b < < a C b < a < Câu 21 Cho hàm số y = khơng có tiệm cận đứng 45 x f (x) −2 +∞ − + +∞ f (x) −∞ x y0 −∞ 0 − + +∞ + y −∞ −∞ −∞ ax − b có đồ thị hình bên Khẳng định x−1 B < b < a D a < b < y O x 2x2 − 3x + m có đồ thị (C) Tìm tất giá trị tham số m để (C) x−m Gv PHÙNG V HOÀNG EM - ĐT: 0972 657 617 Chương ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ A m = m = C m = B m = D m = Câu 22 Tiệm cận đứng đồ thị hàm số y = nhiêu? A m = −2 B m = −5 2x + qua điểm M(2; 5) m bao x−m C m = D m = Câu 23 Cho hàm số y = f (x) hàm đa thức có bảng biến thiên x y0 −∞ + −1 − +∞ + +∞ y −∞ Số tiệm cận đứng đồ thị hàm số y = A −2 2018 f (x) B C D Câu 24 Tập hợp tất giá trị tham số m để đồ thị hàm số y = cận đứng x2 x−2 có hai tiệm + 2mx + B Å (−∞; −1) ã ∪ (1;Å+∞) ã 5 D −∞; − ∪ − ; −1 ∪ (1; +∞) 4 A (ß−1; 1) ™ C − x−1 Có tất giá trị thực tham số m để đồ thị − 2x + hàm số cho có hai đường tiệm cận Câu 25 Cho hàm số y = A mx2 B C Câu 26 Tìm tất giá trị tham số m để đồ thị hàm số y = bên phải trục tung D 4x − có tiệm cận đứng nằm x−m B m > m 6= D m > m 6= − A m < C m > (a − 3)x + a + 2018 nhận trục hoành làm tiệm cận x − (b + 3) ngang trục tung làm tiệm cận đứng Khi giá trị a + b Câu 27 Biết đồ thị hàm số y = A B −3 C D mx2 + 6x − Câu 28 Tập hợp giá trị m để đồ thị hàm số y = có tiệm cận đứng x+2 ß ™ ß ™ ß ™ 7 A B R C R \ − D R \ 2 Câu 29 Cho hàm số y = f (x) liên tục R \ {1} có bảng biến thiên sau: Gv PHÙNG V HOÀNG EM - ĐT: 0972.657.617 46 ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ x y0 −∞ +∞ − −2 + +∞ + +∞ − y −∞ Đồ thị hàm số y = A có tiệm cận đứng? f (x) − B C −∞ D x2 − Câu 30 Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y = có x − 2mx + 2m đường tiệm cận  m>2 ñ  m2 m = − —HẾT— 47 Gv PHÙNG V HOÀNG EM - ĐT: 0972 657 617 Chương ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ THỊ CÁCĐỒ Bài số ĐỒ HÀM THỊ SỐ CÁC THƯỜNG HÀM SỐGẶP THƯỜNG GẶP A A LÝ THUYẾT CẦN NHỚ Hàm số bậc hai y = ax2 + bx + c y − b 2a − x O − ∆ 4a ¬ Tọa độ đỉnh: I ã b ∆ I(x0 ; y0 ) = − ; − 2a 4a ­ (P) viết theo tọa độ đỉnh: y = a(x − x0 )2 + y0 O − I a>0 ∆ 4a GHI NHỚ y x b 2a Å a0 y a0 y y a I x GHI NHỚ ¯ Hoành độ điểm uốn nghiệm b phương trình y00 = ⇔ x = − 3a Tọa độ điểm uốn tâm đối xứng đồ thị ° Tiếp tuyến điểm uốn I(x0 ; y0 ) có hệ số góc nhỏ a > lớn a < Gv PHÙNG V HOÀNG EM - ĐT: 0972.657.617 48 ĐỒ THỊ CÁC HÀM SỐ THƯỜNG GẶP Hàm số bậc bốn trùng phương y = ax4 + bx2 + c  y0 = có ba nghiệm phân biệt.»Khi đó, hàm số có b ba điểm cực trị x = x = ± − 2a a>0 y a0 y a y a c A d c d ¬ Tiệm cận đứng x = − c a ­ Tiệm cận ngang y = c b ® Giao với Ox: y = ⇒ x = − a b ¯ Giao với Oy: x = ⇒ y = d ° Giao hai đường tiệm cận (điểm I) tâm đối xứng đồ thị y0 < a c I − ® Hàm số chẵn, đối xứng qua Oy x O I O ­ Hàm số có điểm cực trị ® ab ≥ a, b không đồng thời x O − d c x CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP B DẠNG Nhận dạng đồ thị hàm bậc ba y = ax3 + bx2 + cx + d  Nhìn "dáng điệu" đồ thị: ¬ Bên phải lên a > ­ Bên phải xuống a <  Nhìn điểm thuộc đồ thị: ¬ Thay toạ độ điểm thuộc vào hàm số phải thoả mãn ­ Đồ thị qua điểm (0; d)  Nhìn cực trị: ¬ Đồ thị hàm số có điểm cực đại (cực tiểu) (x0 ; y0 ) y0 (x0 ) = y(x0 ) = y0 ­ Mối liên hệ hai điểm cực trị x1 x2 hàm số: x1 + x2 = − 49 Gv PHÙNG V HOÀNG EM - ĐT: 0972 657 617 2b c x1 x2 = 3a 3a Chương ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ c Ví dụ Bảng biến thiên hình bên bốn hàm số sau Hỏi hàm số nào? A y = − x3 − 2x2 + B y = x3 − 3x2 + C y = − x3 − 3x + D y = x3 + 3x2 + f (x) c Ví dụ Bảng biến thiên hình bên bốn hàm số sau Hỏi hàm số nào? A y = x3 − 3x2 + x + B y = x3 − 3x + C y = x3 − 3x2 + 3x + D y = x3 + 3x2 + x y0 x f (x) y −∞ + 0 − + +∞ −∞ −∞ +∞ +∞ + + +∞ −∞ c Ví dụ Đường cong bên đồ thị bốn hàm số cho sau Hỏi hàm số nào? A y = − x3 + x2 − B y = x3 + 3x2 − C y = x3 − 3x + D y = x2 − 3x − y O x −2 c Ví dụ Đường cong bên đồ thị bốn hàm số cho sau Hỏi hàm số nào? A y = x3 + 3x − B y = x3 − 3x + C y = − x3 + 3x + D y = − x3 − 3x − y −2 O c Ví dụ Đồ thị hình bên bốn hàm số sau Hỏi hàm số nào? A y = x3 − B y = (x + 1)3 C y = (x − 1) D y = x3 + 1 x y O x −1 c Ví dụ Cho hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d có đồ thị hình vẽ bên Khẳng định sau đúng? A a > 0, b > 0, c > 0, d > B a < 0, b < 0, c > 0, d > C a > 0, b < 0, c < 0, d > D a > 0, b < 0, c > 0, d > y x O Gv PHÙNG V HOÀNG EM - ĐT: 0972.657.617 50 ĐỒ THỊ CÁC HÀM SỐ THƯỜNG GẶP c Ví dụ Cho hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d có đồ thị hình vẽ bên Mệnh đề sau đúng? A a < 0, b < 0, c < 0, d > B a < 0, b > 0, c < 0, d > C a < 0, b > 0, c > 0, d < D a < 0, b < 0, c > 0, d < y O x c Ví dụ Cho hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d có đồ thị hình vẽ bên Mệnh đề đúng? A a < 0, b > 0, c > 0, d > B a < 0, b < 0, c = 0, d > C a < 0, b > 0, c = 0, d > D a > 0, b < 0, c > 0, d > y x O c Ví dụ Cho hàm số f (x) = (a − x)(b − x)2 với a < b có đồ thị hình bên Hỏi đồ thị hàm số y = f (x) hình phương án sau đây? y y x O A O y x B DẠNG y x O C x O D Nhận dạng đồ thị hàm bậc bốn trùng phương y = ax4 + bx2 + c  Nhìn "dáng điệu" đồ thị: ¬ Bên phải lên a > ­ Bên phải xuống a <  Nhìn điểm thuộc đồ thị: ¬ Thay toạ độ điểm thuộc vào hàm số phải thoả mãn ­ Đồ thị qua điểm (0; c)  Nhìn điểm cực trị ¬ Đồ thị có điểm cực trị ab < c Ví dụ 10 Bảng biến thiên hình bên bốn hàm số sau Hỏi hàm số nào? A y = x4 − 8x2 + B y = x4 + 6x2 + C y = x4 − 6x2 + D y = − x4 + 8x2 + 51 Gv PHÙNG V HOÀNG EM - ĐT: 0972 657 617 ­ Đồ thị có điểm cực trị ab > x y0 y −∞ −∞ √ − − + −7 0 √ − +∞ + −∞ −7 Chương ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ c Ví dụ 11 Bảng biến thiên hình bên bốn hàm số sau Hỏi hàm số nào? A y = − x4 + 3x2 + B y = − x4 − 2x2 + C y = − x4 − 3x2 + D y = − x4 + x2 + x y0 −∞ + +∞ 0 − y −∞ c Ví dụ 12 Đồ thị hình bên bốn hàm số sau Hỏi hàm số nào? A y = x4 − 2x2 − B y = 2x4 − 4x2 − C y = − x4 + 2x2 − D y = −2x4 + 4x2 − −∞ y −1 O x −1 −2 c Ví dụ 13 Đồ thị hình bên bốn hàm số sau Hỏi hàm số nào? A y = − x4 + 4x2 B y = x4 − 3x2 C y = − x4 − 2x2 D y = − x4 + 3x2 c Ví dụ 14 Đồ thị hình bên bốn hàm số sau Hỏi hàm số nào? A y = x2 − B y = x4 − 2x2 − 1 C y = x4 + 2x2 − D y = x4 − 3x2 − y √ √ − 2O x y O x c Ví dụ 15 Biết hàm số y = f (x) = ax4 + bx2 + c có đồ thị đường cong hình vẽ bên Tính giá trị f (a + b + c) A f (a + b + c) = −1 B f (a + b + c) = C f (a + b + c) = −2 D f (a + b + c) = y −1 O x −1 c Ví dụ 16 Biết đồ thị hàm số y = x4 + bx2 + c có điểm cực trị điểm có tọa độ (0; −1), b c thỏa mãn điều kiện đây? A b < c = −1 B b ≥ c > C b < c < D b ≥ c = −1 Gv PHÙNG V HOÀNG EM - ĐT: 0972.657.617 52 ĐỒ THỊ CÁC HÀM SỐ THƯỜNG GẶP c Ví dụ 17 Đường cong hình bên đồ thị hàm số y = ax4 + bx2 + c với a, b, c tham số thực Mệnh đề sau đúng? A a < 0, b > 0, c < B a < 0, b < 0, c < C a > 0, b < 0, c < D a > 0, b < 0, c > y O x c Ví dụ 18 Cho hàm số y = ax4 + bx2 + c có đồ thị hình vẽ bên Mệnh đề sau đúng? A a < 0, b > 0, c > B a < 0, b < 0, c < C a < 0, b > 0, c < D a < 0, b < 0, c > y x O c Ví dụ 19 Hàm số y = ax4 + bx2 + c (a, b 6= 0) có đồ thị hình vẽ bên Mệnh đề sau đúng? A a < 0, b > 0, c > B a > 0, b > 0, c > C a > 0, b < 0, c > D a > 0, b > 0, c < y O x DẠNG Nhận dạng đồ thị hàm biến y = ax + b cx + d Chú ý bốn thơng số d ¬ Tiệm cận đứng x = − c a ­ Tiệm cận ngang y = c b ® Giao với Ox: y = ⇒ x = − a ¯ Giao với Oy: x = ⇒ y = c Ví dụ 20 Bảng biến thiên hình bên hàm số nào? 2x − 4x − A y = B y = x+3 x−2 3−x x+5 C y = D y = 2−x x−2 c Ví dụ 21 Bảng biến thiên sau hàm số hàm số bên dưới? x−1 x−1 A y = B y = x−3 −x − x+5 C y = D y = −x + x−3 53 Gv PHÙNG V HOÀNG EM - ĐT: 0972 657 617 x y0 y x y0 −∞ b d +∞ − +∞ − −∞ −∞ +∞ + + +∞ y −1 −∞ −1 Chương ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ c Ví dụ 22 Đường cong hình vẽ bên đồ thị bốn hàm số sau Hỏi hàm số nào? 2x − 1 − 2x B y = A y = x+1 x+1 2x + 2x + C y = D y = x−1 x+1 c Ví dụ 23 Cho hàm số y = A T = C T = −1 ax + có đồ thị hình vẽ Tính T = a + b bx − B T = D T = y O −1 −1 x y O −1 −1 6x −2 c Ví dụ 24 Hãy xác định a, b để hàm số y = vẽ? A a = 1; b = −2 C a = −1; b = −2 − ax có đồ thị hình x+b y B a = b = D a = b = −2 O −2 c Ví dụ 25 Cho hàm số y = ax + b với a > có đồ thị hình vẽ bên Mệnh đề cx + d sau đúng? A b < 0, c < 0, d < C b < 0, c > 0, d < c Ví dụ 26 Hình vẽ bên đồ thị hàm số y = đúng? A ab > 0, bd < C ab < 0, ad < x −1 y B b > 0, c < 0, d < D b > 0, c > 0, d < O ax + b Mệnh đề sau cx + d y x B ab < 0, ad > D bd > 0, ad > O Gv PHÙNG V HOÀNG EM - ĐT: 0972.657.617 x 54 ĐỒ THỊ CÁC HÀM SỐ THƯỜNG GẶP Đồ thị hàm trị tuyệt đối DẠNG ☼ Loại 1: Đồ thị hàm số y = | f (x)| ¬ Cách vẽ đồ thị hàm số y = | f (x)|: • Vẽ đồ thị hàm số y = f (x) • Giữ nguyên phần đồ thị nằm Ox lấy đối xứng phần phía Ox lên trên, ta đồ thị hàm y = | f (x)| Quan sát đồ thị: y y y = f (x) O y = | f (x)| O x x ­ Số điểm cực trị hàm số | f (x)| số điểm cực trị hàm f (x) cộng với số nghiệm bội lẻ f (x) =
☼ Loại 2: Đồ thị hàm số y = f | x |
¬ Cách vẽ đồ thị hàm số y = f | x | : • Vẽ đồ thị hàm số y = f (x) • Giữ nguyên phần đồ thị nằm bên phải Oy, bỏ hẳn phần đồ thị nằm bên trái Oy Sau
lấy đối xứng phần đồ thị bên phải qua Oy, ta đồ thị hàm số y = f |x| Quan sát đồ thị: y y y = f (x) O y = f |x|
O x x
­ Xét Số điểm cực trị hàm số y = f | x | số điểm cực trị dương hàm f (x) cộng thêm Trường hợp [0; a], f (x) hàm cơng thức khơng cịn Ï Ghi chú: Trường hợp khơng phải hai loại trên, ta phá trị tuyệt đối theo định nghĩa ® f (x) f (x) ≥ | f (x)| = − f (x) f (x) < Sau vẽ đồ thị nhánh nhỏ hợp đồ thị lại với 55 Gv PHÙNG V HOÀNG EM - ĐT: 0972 657 617 Chương ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ c Ví dụ 27 Cho hàm số y = x3 + 3x2 − có đồ thị hình Đồ thị hình hàm số đây? y y 2 −2 −1 O −1 x x −2 −1 O −1 −2 Hình B y = x + 3x2 − D y = x3 + 3x2 − Hình A y = − x − 3x + C y = x3 + 3x2 − c Ví dụ 28 Cho hàm số y = f (x) liên tục R có đồ thị hình vẽ bên Hỏi đồ thị hàm số y = | f (x)| có tất điểm cực trị? A B C D y −2 O 2x −1 −1 c Ví dụ 29 Cho hàm số y = − x3 + 4x2 − 3x + có đồ thị hình Đồ thị hình hàm số đây? y O y x Hình A y = || x |3 − 4x2 + 3| x | − 3| C y = | x3 + 4x2 − 3x − 3| x O Hình B y = | − x3 + 4x2 − 3x + 3| D y = −| x |3 + 4x2 + −3| x | + c Ví dụ 30 Cho hàm số y = (x + 2)(x − 1)2 có đồ thị hình vẽ Hỏi mệnh đề với hàm số y = | x + 2|(x − 1)2 ? A Hàm số nghịch biến khoảng (−∞; −2) B Hàm số đồng biến khoảng (−∞; −1) C Hàm số nghịch biến khoảng (−1; 2) D Hàm số đồng biến khoảng (−2; 0) y O −2 −1 x Gv PHÙNG V HOÀNG EM - ĐT: 0972.657.617 56 ĐỒ THỊ CÁC HÀM SỐ THƯỜNG GẶP A C BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu Đồ thị hàm số không qua điểm A(1; 1)? A y = x Câu Cho hàm số y = A M(1; 3) B y = 2x2 − C y = 2x3 − x − D y = − x4 + 2x − có đồ thị (C) Đồ thị (C) qua điểm nào? x−2 Å ã B M(0; −2) C M −1; D M(3; 5) Câu Bảng biến thiên hình bên bốn hàm số sau dây Hỏi hàm số nào? A y = − x3 − 3x − B y = x3 − 3x2 − C y = x3 + 3x2 − D y = − x3 + 3x2 − x y0 y −∞ + 0 − −1 −∞ +∞ + +∞ −5 Câu Đường cong bên đồ thị bốn hàm số sau Hỏi hàm số đây? A y = − x3 + 3x + B y = x3 + 3x + C y = − x3 − 3x + D y = x3 − 3x + y Câu Đường cong bên đồ thị bốn hàm số sau Hỏi hàm số đây? A y = x3 + 3x2 − 3x + B y = − x3 − 2x2 + x − C y = − x3 + 3x + D y = x3 + 3x2 + 3x + y O x Câu Đường cong bên đồ thị bốn hàm số sau Hỏi hàm số đây? A y = (x + 1)2 (1 + x) B y = (x + 1)2 (1 − x) C y = (x + 1)2 (2 − x) D y = (x + 1)2 (2 + x) y −1 Câu Cho hàm số y = f (x) có đồ thị hình vẽ bên Khẳng định sau đúng? A f (1,5) < 0, f (2,5) < B f (1,5) > > f (2,5) C f (1,5) > 0, f (2,5) > D f (1,5) < < f (2,5) Gv PHÙNG V HOÀNG EM - ĐT: 0972 657 617 x O1 y O 57 x O x Chương ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ Câu Đường cong hình bên đồ thị bốn hàm số Hàm số hàm số nào? A y = x4 + 5x2 + B y = x3 − 3x2 + C y = x − 5x + D y = − x4 + 5x2 + y x O Câu Đường cong hình bên đồ thị bốn hàm số Hàm số hàm số nào? A y = x4 − 3x2 B y = − x4 + 3x2 C y = − x4 − 2x2 D y = − x4 + 4x2 y −2 x O Câu 10 Đường cong hình bên đồ thị bốn hàm số Hàm số hàm số nào? A y = − x4 + 4x2 + B y = − x4 + 2x2 + C y = (x2 − 2)2 − D y = (x2 + 2)2 − y −2 Câu 11 Đường cong hình bên đồ thị bốn hàm số Hàm số hàm số nào? −2x + −x + A y = B y = 2x + x+1 −x + −x C y = D y = x+1 x+1 O x −1 y O −1 x −1 Câu 12 Đường cong hình bên đồ thị bốn hàm số Hàm số hàm số nào? 2x + x+2 B y = A y = x−1 1−x x+2 x+1 C y = D y = x−1 x−1 y x −2 O −2 Gv PHÙNG V HOÀNG EM - ĐT: 0972.657.617 58 ĐỒ THỊ CÁC HÀM SỐ THƯỜNG GẶP Câu 13 Đường cong hình bên đồ thị bốn hàm số Hàm số hàm số nào? A y = x4 − 2x2 B y = x4 − 2x2 − C y = − x + 2x D y = − x4 + 2x2 − y −1 O x −1 Câu 14 Đường cong hình bên đồ thị bốn hàm số cho phương án A, B, C, D Hỏi hàm số nào? A y = − x3 + B y = −2x3 + x2 C y = 3x2 + D y = −4x3 + y O x Câu 15 Hàm số bốn hàm số có bảng biến thiên hình bên? x+4 2x − B y = A y = x+2 x−2 2x + 2x − C y = D y = x−2 x−2 x y0 y −∞ +∞ − +∞ − −∞ Câu 16 Cho hàm số y = ax4 + bx2 + c có đồ thị hình vẽ bên Khẳng định sau đúng? A a > 0, b < 0, c > B a > 0, b < 0, c < C a > 0, b > 0, c > D a < 0, b > 0, c > y x −2 −1 −1 O −2 Câu 17 Cho hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d có đồ thị hình bên Mệnh đề sau đúng? A a > 0, b < 0, c > 0, d < B a > 0, b < 0, c < 0, d > C a < 0, b < 0, c < 0, d > D a > 0, b > 0, c < 0, d > y O Câu 18 Cho hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d có đồ thị hình vẽ đây, điểm cực tiểu đồ thị nằm trục tung Mệnh đề đúng? A a < 0, b < 0, c = 0, d > B a > 0, b < 0, c > 0, d > C a < 0, b > 0, c > 0, d > D a < 0, b > 0, c = 0, d > y x O 59 Gv PHÙNG V HOÀNG EM - ĐT: 0972 657 617 x Chương ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ Câu 19 Cho hàm số y = f (x) = ax3 + bx2 + cx + d với a 6= Biết đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A(1; −1), B(−1; 3) Tính f (4) B f (4) = −17 A f (4) = 53 C f (4) = −53 D f (4) = 17 Câu 20 Cho A (0; −3) điểm cực đại B (−1; −5) điểm cực tiểu đồ thị hàm số trùng phương y = ax4 + bx2 + c Tính giá trị hàm số x = −2 A y (−2) = 43 B y (−2) = 23 C y (−2) = 19 D y (−2) = 13 Câu 21 Cho hàm số y = ax4 + bx2 + c có đồ thị hình vẽ bên Mệnh đề đúng? A a > 0, b < 0, c < B a < 0, b < 0, c < C a < 0, b > 0, c < D a > 0, b < 0, c > y O x Câu 22 Cho hàm số g(x) liên tục R thỏa mãn g0 (0) = 0, g00 (x) > đồ thị hàm số g(x)? y A y O −1 x B −1 C −1 y O x O y ∀ x ∈ (−1; 2) Hỏi đồ thị −1 x O x D Câu 23 Xác định hệ số a, b, c để hàm số y = ax4 + bx2 + c có đồ thị hình vẽ bên A a = − , b = 3, c = −3 B a = 1, b = −2, c = −3 C a = 1, b = −3, c = D a = 1, b = 3, c = −3 y −1 O x −3 −4 Câu 24 Cho hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d có đồ thị đường cong hình bên Tính tổng S = a + b + c + d A S = B S = C S = −4 D S = y 2 O x −2 Gv PHÙNG V HOÀNG EM - ĐT: 0972.657.617 60 ĐỒ THỊ CÁC HÀM SỐ THƯỜNG GẶP ax + b có đồ thị hình vẽ, với a, b, c x+c số nguyên Tính giá trị biểu thức T = a − 3b + 2c A T = 12 B T = −7 C T = 10 D T = −9 Câu 25 Cho hàm số y = y O x −1 −2 ax − có đồ thị hình vẽ bx + c bên Chọn đáp án đáp án bên A a = 2, b = 2, c = −1 B a = 2, b = 1, c = C a = 2, b = −1, c = D a = 2, b = 1, c = −1 Câu 26 Xác định a, b, c để hàm số y = y O Câu 27 Cho hàm số y = ax + b có đồ thị hình bên Mệnh đề sau cx + d đúng? A ac > 0, bd > 0, cd > C ab > 0, bc > 0, bd < B ad < 0, bc > 0, cd > D bc > 0, ad < 0, ac < x y O x Câu 28 Cho hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d có đồ thị hình bên Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng? A ab < 0, bc > 0, cd < B ab > 0, bc > 0, cd < C ab < 0, bc < 0, cd > D ab < 0, bc > 0, cd > y O x Câu 29 Cho hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d đạt cực trị điểm x1 , x2 thỏa mãn x1 ∈ (−1; 0), x2 ∈ (1; 2) Biết hàm số đồng biến khoảng (x1 ; x2 ) Đồ thị hàm số cắt trục tung điểm có tung độ âm Trong khẳng định sau, khẳng định đúng? A a < 0, b > 0, c > 0, d < C a > 0, b > 0, c > 0, d < 61 Gv PHÙNG V HOÀNG EM - ĐT: 0972 657 617 B a < 0, b < 0, c > 0, d < D a < 0, b > 0, c < 0, d < Chương ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ Câu 30 Cho hàm số y = f (x) có đồ thị hình vẽ bên Hàm số y = f (| x |) đồng biến khoảng đây? A (−2; −1) B (0; 1) C (−∞; −2) D (−1; 0) y O x −1 −1 Câu 31 Cho hàm số y = f (x) xác định, liên tục R có bảng biến thiên hình bên Đồ thị hàm số y = | f (x)| có điểm cực trị? A B C D −∞ x y0 −1 + − +∞ + +∞ y −∞ Câu 32 Cho hàm số y = | x4 − 2x2 − 3| Số điểm cực trị đồ thị hàm số A B C D Câu 33 Cho hàm số y = x3 + 3x2 − có đồ thị hình bên Hỏi hình liệt kê phương án A, B, C D đồ thị hàm số y = | x |3 + 3x2 − y O x y y y y O O x O x B C O x Câu 34 Cho hàm số y = f (x) = ax4 + bx2 + c Biết đồ thị hàm số y = g(x) = ax4 + bx2 + c có điểm cực trị, có điểm cực trị có tung độ dương Tìm mệnh đề đúng?     a > a > a >        a < A b < B b > C b < D b >         c m có nghiệm miền D ¯ f (x) ≤ m có nghiệm miền D ± f (x) ≥ m có nghiệm miền D o Khi muốn sử dụng phương pháp đồ thị để biện luận nghiệm phương trình f (x, m) = bất phương trình f (x, m) > 0, f (x, m) < 0, ta phải thực "cô lập" tham số m 63 Gv PHÙNG V HOÀNG EM - ĐT: 0972 657 617 Chương ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ A CÁC DẠNG TỐN THƯỜNG GẶP B DẠNG Tìm nghiệm, xác định số nghiệm phương pháp đồ thị • Chuyển phương trình cho dạng f (x) = a; • Vẽ đường thẳng y = a (trên trục tung, điểm có tung độ a, vẽ đường thẳng nằm ngang) • Nhìn giao điểm y = a với đồ thị y = f (x) để quy số nghiệm tương ứng c Ví dụ Cho hàm số y = f (x) có đồ thị hình vẽ Số nghiệm phương trình f (x) − = A B C D y O x −1 c Ví dụ Cho hàm số f (x) = ax3 + bx2 + cx + d (d 6= 0) có đồ thị hình vẽ bên Số nghiệm phương trình f (x) − = A B C D y O x −1 c Ví dụ Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên sau Số giao điểm đồ thị hàm số y = f (x) với trục hoành A B C D x y0 y −∞ +∞ 0 − + − −∞ −1 c Ví dụ Cho hàm số y = f (x) liên tục (−∞; +∞) có bảng biến thiên hình bên Số nghiệm thực phương trình 2| f (x)| = A B C D x y0 −∞ + x f (x) − + +∞ y −∞ +∞ −∞ c Ví dụ Cho hàm số y = f (x) liên tục R \ {0} có bảng biến thiên hình bên Hỏi phương trình 3| f (x)| − 10 = có nghiệm? A nghiệm B nghiệm C nghiệm D nghiệm +∞ 0 − − +∞ +∞ + +∞ f (x) −∞ Gv PHÙNG V HOÀNG EM - ĐT: 0972.657.617 64 ỨNG DỤNG ĐỒ THỊ ĐỂ BIỆN LUẬN NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH c Ví dụ Cho hàm số y = f (x) liên tục R và
có bảng biến thiên sau Hỏi phương trình f | x | = có nghiệm? A nghiệm B nghiệm C nghiệm D nghiệm c Ví dụ Cho hàm số y = f (x) xác định liên tục R, có bảng biến thiên sau Số nghiệm phương trình 2[ f (x)]2 − f (x) + = A B C D DẠNG x y0 −∞ 0 + +∞ − + +∞ y −∞ x y0 −∞ y −2 −1 + − +∞ + 1 Biện luận nghiệm phương trình phương pháp đồ thị • Chuyển phương trình cho dạng f (x) = m; đ y = f (x) ã Vẽ đồ thị y = m (nằm ngang) • Tịnh tiến đường thẳng y = m lên xuống theo phương ngang Nhìn giao điểm với đồ thị y = f (x) để quy số nghiệm tương ứng c Ví dụ Cho hàm số f (x) có bảng biến thiên hình bên Tìm tất giá trị thực tham số m để phương trình f (x) = m + có ba nghiệm thực phân biệt A −3 ≤ m ≤ B −2 ≤ m ≤ C −2 < m < D −3 < m < c Ví dụ Cho hàm số y = f (x) xác định R \ {0} có bảng biến thiên sau Tìm tập hợp tất thực tham số m cho phương trình f (x) = m có ba nghiệm thực phân biệt A (−∞; 4] B [−2; 4] C (−2; 4) D (−2; 4] x y0 x y0 y −∞ +∞ −∞ −1 + − −∞ +∞ − + +∞ − y −∞ −2 − ∞ y O −1 Gv PHÙNG V HOÀNG EM - ĐT: 0972 657 617 + −2 c Ví dụ 10 Cho hàm số y = f (x) = ax3 + bx2 + cx + d (a, b, c, d ∈ R) có đồ thị hình vẽ
bên Tìm tất giá trị thực tham số m để phương trình f | x | − m = có nghiệm phân biệt A < m < B −1 < m < C −2 < m < D < m < 65 +∞ x Chương ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ c Ví dụ 11 Tìm tất giá trị tham số m để phương trình − x4 + 2x2 + + 2m = có nghiệm phân biệt −3 −3 −3 A −2 m B < m < C −2 < m < D < m < 2 c Ví dụ 12 Có giá trị nguyên tham số m để hàm số y = hai điểm cực trị thuộc khoảng (−1; 4)? A B C x − x2 + mx + có D c Ví dụ 13 Cho phương trình sin3 x − sin2 x + − m = Có giá trị nguyên m để phương trình có nghiệm? A B C D DẠNG Giải, biện luận nghiệm bất phương trình phương pháp đồ thị c Ví dụ 14 Cho hàm số y = f (x) có đồ thị hình bên Số nghiệm nguyên bất phương trình f (x) ≤ A B C D y O 34 c Ví dụ 15 Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên hình bên Với giá trị tham số m f (x) ≤ m với x ∈ R? A m ≥ B m > −4 C m > D m ≥ −4 x y0 −∞ −2 − + 0 − x +∞ + y −2 −4 c Ví dụ 16 Tìm tập hợp tất giá trị thực tham số m để hàm số y = x3 − 3x2 + (2m − 1)x + 2019 đồng biến (2; +∞) 1 A m < B m = C m ≥ D m ≥ 2 c Ví dụ 17 Tìm tất giá trị m cho hàm số y = 2x3 − 3x2 − 6mx + m nghịch biến (−1; 1) 1 A m ≥ B m ≥ C m ≥ D m ≤ − 4 c Ví dụ 18 Có giá trị nguyên âm tham số m để hàm số y = x3 + mx − biến khoảng (0; +∞)? A B C đồng 5x5 D c√Ví dụ 19 Tìm tất giá trị thực tham√ số m cho bất phương trình m x2 − 2x + + m + 2x − x2 ≤ có nghiệm x ∈ [0; + 3] 2 A m ≤ B m ≤ C m ≥ D m ≤ −1 3 Gv PHÙNG V HOÀNG EM - ĐT: 0972.657.617 66 ỨNG DỤNG ĐỒ THỊ ĐỂ BIỆN LUẬN NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH DẠNG Một số toán liên quan đến hàm hợp c Ví dụ 20 Cho hàm số bậc ba y = f (x) có đồ thị hình vẽ bên Khi phương trình f (3x4 ) − = có nghiệm dương? A B C D c Ví dụ 21 Cho hàm số f (x) có bảng biến thiên sau Số nghiệm phương trình f (3x4 − 6x2 + 1) = A B C D x y0 c Ví dụ 22 Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên hình bên Phương trình f (4x − x2 ) − = có nghiệm thực? A B C D −∞ x y0 y y −∞ y −1 −2 + +∞ − x +∞ − −∞ O + +∞ −1 0 +∞ + − −∞ −1 c Ví dụ 23 Cho hàm số bậc ba y = f (x) có đồ thị hình vẽ Số nghiệm thuộc đoạn [0; 5π] phương trình f (cos x) = A B C D y O −1 c Ví dụ 24 Cho hàm số bậc ba y = f (x) có đồ thị hình vẽ bên Số nghiệm thực phương trình | f (x3 − 3x)| = A B 10 C D y −2 c Ví dụ 25 (QG.2020 – Mã đề 104) Cho hàm số bậc bốn y = f (x) có đồ thị đường cong hình bên Số nghiệm thực phân biệt phương trình f (x2 f (x)) − = A B 12 C D O x −1 y O 67 Gv PHÙNG V HOÀNG EM - ĐT: 0972 657 617 x x Chương ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ c Ví dụ 26 Cho hàm số y = f (x) có đồ thị hình vẽ bên Tập hợp tất giá trị thực tham số m để phương trình f (1 − cos 2x) = m có nghiệm thuộc khoảng (0; π) A [−1; 3] B (−1; 1) C (−1; 3) D (−1; 1] y −2 A C O −1 x BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giải phương trình, bất phương trình phương pháp đồ thị Câu Cho hàm số y = f (x) liên tục R có bảng biến thiên hình vẽ bên Phương trình f (x) − = có nghiệm thực? A B C D x y0 −∞ + − +∞ + − y −∞ −∞ Câu Cho hàm số y = f (x) liên tục R có đồ √ thị hình bên Số nghiệm dương phân biệt phương trình f (x) = − A B C D y −1 −1 x O −2 Câu Hàm số y = f (x) có đồ thị hình vẽ bên Phương trình f (x) − = có nghiệm âm? A B C D y Câu Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên sau Số nghiệm phương trình f (x + 5) − = A B C D x y0 y −∞ + −1 −∞ − x +∞ + +∞ −2 Gv PHÙNG V HOÀNG EM - ĐT: 0972.657.617 68 ỨNG DỤNG ĐỒ THỊ ĐỂ BIỆN LUẬN NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH Câu Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên hình vẽ Số nghiệm phương trình f (x) − = A B C D x y0 −∞ + y −1 − −∞ +∞ + +∞ −3 Câu Cho hàm số y = f (x) có đồ thị hình vẽ bên Tìm số nghiệm phương trình f (x) = − x + A B C D y 2 x O −2 Câu Cho hàm số y = f (x) có đồ thị hình vẽ Hỏi phương trình f (| x |) = có nghiệm? A B C D y x O −3 Câu Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên hình vẽ Số nghiệm phương trình f (| x |) − = A B C D x y0 −∞ + 0 y −∞ Câu Cho hàm số y = f (x) có đồ thị hình vẽ Số nghiệm + f (x) phương trình = + f (x) A B C D − +∞ 22 27 y −3 Gv PHÙNG V HOÀNG EM - ĐT: 0972 657 617 + O 69 +∞ x Chương ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ Biện luận nghiệm phương trình, bất phương trình đồ thị y Câu 10 Cho hàm số y = f (x) có đồ thị hình vẽ bên Có tất giá trị nguyên m để phương trình f (x) + m = có nghiệm thực phân biệt? A B C D −1 x O −3 −4 Câu 11 Cho hàm số y = (x) có bảng biến thiên sau x y0 −∞ +∞ − + +∞ − y −∞ −1 − ∞ Tập hợp giá trị tham số m để phương trình f (x) + m = có ba nghiệm phân biệt A (−2; 1] B [−1; 2) C (−1; 2) D (−2; 1) Câu 12 Tìm giá trị thực tham số m để phương trình x3 − 3x2 − m − = có ba nghiệm phân biệt A < m < B m < C −8 < m < −4 D ≤ m ≤ Câu 13 Gọi S tập hợp tất giá trị tham số m để phương trình 2x3 − 3x2 = 2m + có hai nghiệm phân biệt Tổng phần tử S A − B − C − D Câu 14 Tập tất giá trị tham số m để phương trình x4 − 4x2 + + m = có nghiệm phân biệt A (−1; 3) B (−3; 1) C (2; 4) Câu 15 Cho hàm số y = −2x3 + 3x2 − có đồ thị hình vẽ Bằng cách sử dụng đồ thị hàm số, xác định m để phương trình 2x3 − 3x2 + 2m = có ba nghiệm phân biệt, có hai nghiệm lớn Å ã A m ∈ − ; B m ∈ (−1; 0) Å 2ã Å ã 1 C m ∈ 0; D m ∈ ; D (−3; 0) y x O − 12 −1 Gv PHÙNG V HOÀNG EM - ĐT: 0972.657.617 70 ỨNG DỤNG ĐỒ THỊ ĐỂ BIỆN LUẬN NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH Câu 16 Cho hàm số bậc ba y = f (x) có đồ thị hình bên Có giá trị nguyên tham số m để phương trình f (x) − x = m có ba nghiệm phân biệt? A B C D y O x Câu 17 Cho hàm số y = f (x) = ax3 + bx2 + cx + d có bảng biến thiên hình bên Khi đó, phương trình | f (x)| = m có bốn nghiệm phân biệt x1 < x2 < x3 < < x4 1 A < m < B ≤ m < 2 C < m < D < m ≤ x y0 B 0 + − y Câu 18 Số nghiệm thực phương trình 2| x |3 − 9x2 + 12| x | − A −∞ +∞ + +∞ −∞ = C D Câu 19 Có giá trị nguyên tham số m để đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số y = 2x2 | x2 − 2| điểm phân biệt? A B C D Câu 20 Cho hàm số y = f (x) liên tục R có đồ thị hình vẽ bên Số tất giá trị nguyên tham số m để phương trình f (x) = f (m) có ba nghiệm phân biệt A B C D y −2 x −1 O −1 Câu 21 Cho hàm số y = f (x) có đồ thị hình vẽ Tìm tất giá trị thực tham số m để bất phương trình f (x) ≤ 2m có nghiệm với x ∈ [0; 1] A ≤ m ≤ B m ≥ C ≤ m ≤ D m ≥ y −1 O1 x −2 Câu trình x4 + − x2 + √ 22 Gọi S tập hợp tất giá trị thực tham số m để bất phương √ x 2mx4 + 2m ≥ với x ∈ R Biết S = [a; b] Giá trị a + 12b A B C D p Câu 23 Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số y = sin2 x − cos x + 2m có tập xác định R 5 A m < B m ≤ − C m ≥ D m ≥ − 2 71 Gv PHÙNG V HOÀNG EM - ĐT: 0972 657 617 Chương ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ Ứng dụng vào toán xét đồng biến, nghịch biến khoảng Câu 24 Tìm tất giá trị m để hàm số y = x3 + 3x2 − mx − đồng biến khoảng (−∞; 0) A m ≤ −3 B m < −3 C m ≥ D m > Câu 25 Tập hợp tất giá trị thực tham số m để hàm số y = x3 + 3x2 + (m − 1)x + 4m đồng biến khoảng (−1; 1) A m > B m ≥ C m ≤ −8 D m < x − (m − 1)x2 − 4 4x Câu 26 Có giá trị nguyên dương tham số m để hàm số y = đồng biến khoảng (0; +∞) A B C D Một số toán liên quan đến hàm hợp Câu 27 (QG.2021 – Mã đề 101) Cho hàm số bậc ba y = f (x) có đồ thị đường cong hình bên Số nghiệm thực phân biệt phương trình f ( f (x)) = A B C D y 1 −1 Câu 28 Cho hàm số y = f (x) liên tục R có đồ thị hình vẽ Tìm số nghiệm phương trình f (x2 ) + = A B C D x −1 y x O −2 Câu 29 Cho hàm số y = f (x) liên tục R có đồ thị hình vẽ Số nghiệm thực phương trình f (x2 + x) = A B C D y O −1 −1 x Gv PHÙNG V HOÀNG EM - ĐT: 0972.657.617 72 ỨNG DỤNG ĐỒ THỊ ĐỂ BIỆN LUẬN NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH Câu 30 Cho hàm số y = f (x) xác định R \ {1}, liên tục khoảng xác định có bảng Ä√ biến thiên ä sau Số nghiệm phương trình f 2x − + = A B C D x y0 −∞ + −1 − +∞ +∞ + +∞ y −∞ −4 Câu 31 Cho hàm số y = f (x) có đồ thị hình vẽ Số nghiệm thực phương trình f ( f (sin 2x)) = khoảng (0; π) A B C D y −1 Câu 32 Cho hàm số bậc ba y = f (x) có đồ thị hình vẽ bên
Số nghiệm thực phương trình f x3 − 3x = A B 10 C 12 D O x y −2 O x −1 Câu 33 Cho hàm số y = f (x) liên tục có đạo hàm R, có đồ thị hình vẽ y 16 −4 O x √
√ Với m tham số thuộc [0; 1] Phương trình f x3 − 3x2 = m + − m có nghiệm thực? A 73 B Gv PHÙNG V HOÀNG EM - ĐT: 0972 657 617 C D Chương ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ Câu 34 Cho hàm số y = f (x) liên tục R có đồ thị hình vẽ Gọi S tập hợp tất giá trị nguyên tham số m để phương trình f (sin x) = sin x + m có nghiệm thuộc khoảng (0; π) Tổng phần tử S A −9 B −10 C −6 D −5 y 1 −1 O −1 x Câu 35 Cho hàm số f (x) liên tục R có bảng biến thiên hình bên x −∞ f (x) −1 − √ + +∞ + − + +∞ f (x) +∞ −4 Số giá trị nguyên tham số m để phương f (cos x) + (3 − m) f (cos x) + 2m − 10 = có h π trình i nghiệm phân biệt thuộc đoạn − ; π A B C D —HẾT— Gv PHÙNG V HOÀNG EM - ĐT: 0972.657.617 74 SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ TƯƠNG GIAO Bài số SỰ SỰ TƯƠNG CỦA HAI GIAO ĐỒ CỦA THỊ HAI ĐỒ THỊ A A LÝ THUYẾT CẦN NHỚ Phương pháp đại số Xác định tọa độ giao điểm hai đồ thị y = f (x) y = g(x), ta thực bước: ¬ Giải phương trình hồnh độ giao điểm f (x) = g(x) Tìm nghiệm x0 ∈ D f ∩ Dg ­ Với x0 vừa tìm, thay vào hai hàm số ban đầu để tìm y0 ® Kết luận giao điểm (x0 ; y0 ) Phương pháp đồ thị ¬ Nếu đề cho hình ảnh đồ thị y = f (x) y = g(x), ta dùng hình vẽ để xác định tọa độ giao điểm chúng ­ Số nghiệm phương trình f (x) = m số giao điểm đồ thị y = f (x) với đường thẳng y = m (nằm ngang) A B CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP DẠNG Xác định (biện luận) giao điểm đường thẳng đồ thị hàm số bậc ba Xác định (biên luận) giao điểm đồ thị hàm số bậc ba y = ax3 + bx2 + cx + d (a 6= 0) có đồ thị (C) đường thẳng d có phương trình y = kx + n Xét phương trình hồnh độ giao điểm (C) d: ax3 + bx2 + cx + d = kx + n (1) Ta có hai trường hợp xảy ra:  Trường hợp 1: Phương trình (1) có “nghiệm đẹp” x0 Khi đó, ta phân tích (1) dạng đ x = x0 (1) ⇔ (x − x0 )(Ax2 + Bx + C) = ⇔ Ax2 + Bx + C = (2) Khi đó: ¬ (C) d có ba điểm chung ⇔ (2) có hai nghiệm phân biệt khác x0 ® ∆>0 ⇔ Ax02 + Bx0 + C 6= 75 Gv PHÙNG V HOÀNG EM - ĐT: 0972 657 617 Chương ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ ­ (C) d có hai điểm chung ⇔ (2) có nghiệm khác x0   ∆ > ∆ = ⇔  − B = x0  − B = x0 2A 2A ® (C) d có điểm chung ⇔ (2) vơ nghiệm có nghiệm nghiệm x0  ∆ = ⇔ ∆ <  − B = x0 2A  Trường hợp 2: Phương trình (1) khơng có “nghiệm đẹp” Khi ta tiến hành bước: ¬ Cơ lập tham số m, chuyển phương trình (1) dạng f (x) = m Số nghiệm phương trình hoành độ giao điểm đồ thị y = f (x) với đường thẳng y = m (nằm ngang) ­ Lập bảng biến thiên hàm y = f (x) miền đề yêu cầu ® Tịnh tiến đường thẳng y = m theo phương song song với Ox, nhìn giao điểm suy kết c Ví dụ Đường thẳng y = x − cắt đồ thị hàm số y = x3 − x2 + x − hai điểm Tìm tổng tung độ giao điểm A −3 B C D −1 c Ví dụ Số giao điểm đồ thị hàm số y = (x − 1)(x2 − 3x + 2) trục hoành A B C D c Ví dụ Đồ thị hàm số y = x3 − 3x2 + 2x − cắt đồ thị hàm số y = x2 − 3x + hai điểm phân biệt A, B Tính độ dài AB √ A AB = B AB = 2 C AB = D AB = c Ví dụ Đồ thị sau hàm số y = x3 − 3x + Với giá trị m phương trình x3 − 3x − m = có nghiệm phân biệt? A −2 < m < B −1 < m < C −2 ≤ m < D −2 < m < y −1 O x −1 c Ví dụ Cho hàm số y = (x − 2)(x2 + mx + m2 − 3) Tìm tập hợp giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số cho ® cắt trục hồnh ba điểm ® phân biệt −2 < m < −1 < m < A −1 < m < B C D −2 < m < −1 m = −1 m 6= c Ví dụ Cho hàm số y = x3 − 3x + có đồ thị (C) Gọi d đường thẳng qua điểm A(3; 20) có hệ số góc m Với giá trị m d cắt (C) ba điểm phân biệt? Gv PHÙNG V HOÀNG EM - ĐT: 0972.657.617 76 SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ  m < 15 A  m 6=  m < B  m 6=  m > 15 C  m 6= 24  m > D  m 6= c Ví dụ Biết có hai số m1 , m2 hai giá trị tham số m cho đồ thị (C) hàm số y = x3 − 3mx2 − 3x + 3m + cắt trục hồnh điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 , x3 thỏa mãn x12 + x22 + x32 = 15 Tính m1 + m2 A B C D c Ví dụ Cho hàm số y = x3 + mx2 − x − m (Cm ) Hỏi có tất giá trị tham số m để đồ thị hàm số (Cm ) cắt trục Ox ba điểm phân biệt có hồnh độ lập thành cấp số cộng ? A B C D c Ví dụ Tìm tất giá trị m để đường thẳng ∆ : y = x + cắt đồ thị hàm số y = x3 + 2mx2 + (m + 3)x + ba điểm phân biệt A(0; 4), B C cho diện tích tam giác MBC 4, với M(1; 3) A m = m = B m = −2 m = C m = D m = −2 m = −3 DẠNG Xác định (biện luận) giao điểm đường thẳng đồ thị hàm số bậc bốn trùng phương Xác định (biện luận) giao điểm đồ thị hàm số y = ax4 + bx2 + c(a 6= 0) có đồ thị (C) đường thẳng y = k có đồ thị d Xét phương trình hồnh độ giao điểm (C) d: ax4 + bx2 + c = k Đặt t = x2 Khi đó: (1) (t ≥ 0) ta có phương trình at2 + bt + c − k = (2) ¬ (C) d có bốn điểm chung⇔ (2) có hai nghiệm dương phân biệt   ∆ > ⇔ P>0   S>0 ­ (C) d có ba điểm chung ⇔ (2) có hai nghiệm phân biệt, có nghiệm dương nghiệm t = ® (C) d có hai điểm chung ⇔ (2) có nghiệm kép dương có hai nghiệm trái dấu ¯ (C) d có điểm chung ⇔ (2) có nghiệm t = nghiệm âm ° (C) d khơng có điểm chung ⇔ (2) vơ nghiệm có nghiệm âm o Có thể chuyển tốn dạng "biện luận giao điểm đồ thị cố định với đường thẳng nằm ngang" 77 Gv PHÙNG V HOÀNG EM - ĐT: 0972 657 617 Chương ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ c Ví dụ 10 Tìm số giao điểm đồ thị hàm số y = x4 − 2x2 + với trục Ox A B C D c Ví dụ 11 Đồ thị hàm số y = 2x4 − 3x2 đồ thị hàm số y = − x2 + có điểm chung? A B C D c Ví dụ 12 Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y = x4 − 3x2 − m − cắt trục  hoành hai điểm phân biệt  m > −1 m ≥ −1  A  B m > − C D m ≥ −1 13 13 m=− m=− 4 c Ví dụ 13 Tìm tất giá trị thực tham số m để đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số y = x4 − 2x2 − bốn điểm phân biệt A m > −1 B −1 < m < C m < −4 D −4 < m < −3 c Ví dụ 14 Cho hàm số: y = x4 − (2m − 1)x2 + 2m có đồ thị (C) Tất có giá trị nguyên dương tham số m để đường thẳng d: y = cắt đồ thị (C) bốn điểm phân biệt có hoành độ bé 3? A B C D DẠNG Xác định (biện luận) giao đường thẳng đồ thị hàm số y = Xác định (biện luận) giao điểm đồ thị hàm số y = ax + b cx + d ax + b , (ad − bc 6= 0) có đồ thị (C) cx + d đường thẳng d có phương trình y = kx + n Lập phương trình hoành độ giao điểm (C) d:   Ax + Bx + C = (1) ax + b = kx + n ⇔  x = − d = x0 cx + d c Các bi toỏn thng gp (C) đ v d cú hai điểm chung ⇔ ∆>0 (1) có hai nghiệm phân biệt khác x0 ⇔ Ax02 + Bx0 + C 6= ­ Giả sử hai đồ thị cắt hai điểm phân biệt M(x1 ; kx1 + n) N(x2 ; kx2 + n) Khi … ∆ MN = (k2 + 1) A x−1 cắt hai trục Ox Oy A B Khi diện tích x+1 tam giác OAB (với O gốc tọa độ) 1 A B C D c Ví dụ 15 Đồ thị hàm số y = Gv PHÙNG V HOÀNG EM - ĐT: 0972.657.617 78 SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ c Ví dụ 16 Biết đường thẳng y = x − cắt đồ thị hàm số y = Tìm hồnh độ trọng tâm tam giác OAB với O gốc tọa độ A B C 3 x điểm phân biệt A, B x−1 D c Ví dụ 17 Gọi M, N giao điểm đường thẳng y = x + đường cong y = hoành độ trung điểm đoạn thẳng MN A x = −1 B x = C x = −2 2x + Tìm x−1 D x = 2x có đồ thị (C) Gọi A, B giao điểm đường thẳng x+1 d : y = x với đồ thị (C) Tính độ dài đoạn √ AB √ A AB = B AB = C AB = D AB = 2 c Ví dụ 18 Cho hàm số y = c Ví dụ 19 Có giá trị ngun m thuộc đoạn [−14; 15] cho đường thẳng 2x + hai điểm phân biệt y = mx + cắt đồ thị hàm số y = x−1 A 17 B 16 C 20 D 15 2x + có đồ thị (C) Tìm giá trị tham số m để đường x+1 √ thẳng d : y = x √ + m − cắt đồ thị (C) B cho AB = √ √hai điểm phân biệt A,√ B m = ± C m = ± 10 D m = ± 10 A m = ± c Ví dụ 20 Cho hàm số y = 2x + (C) x−1 đường thẳng d : y = mx + cắt hai điểm phân biệt A, B cho tam giác OAB vuông O (với O gốc tọa độ) Tổng hai giá trị A B C D c Ví dụ 21 Biết có hai giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y = 3x − có đồ thị (C) điểm A(−5; 5) Tìm tất giá trị thực x+1 tham số m để đường thẳng d : y = − x + m cắt (C) hai điểm phân biệt M, N cho tứ giác OAMN hình bình hành (O gốc tọa độ) √ A m = √ B m = + √ √5 C m = + 5, m = − D m = − c Ví dụ 22 Cho hàm số y = A C BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu Tìm số giao điểm đồ thị hàm số y = x3 + 2x2 − 4x + đường thẳng y = A B C Câu Đồ thị hàm số y = x4 − x3 − cắt trục tung điểm? A điểm B điểm C điểm D D điểm Câu Đồ thị hàm số y = x4 − 5x2 + cắt trục hoành điểm? A B C D Câu Tìm số giao điểm n hai đồ thị (C1 ) : y = x4 − 3x2 + (C2 ) : y = x2 − A n = 79 B n = Gv PHÙNG V HOÀNG EM - ĐT: 0972 657 617 C n = D n = Chương ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 4x + y = x2 − cắt điểm? x−1 B C D Câu Đồ thị hàm số y = A Câu Biết đồ thị hàm số y = x3 + x2 − x + đồ thị hàm số y = − x2 − x + cắt điểm có tọa độ (x0 ; y0 ) Tìm y0 A B C D Câu Đồ thị hàm số sau cắt trục tung điểm có tung độ âm? 3x + 2x − D y = x−1 x−1 2x + Câu Biết đường thẳng y = x − cắt đồ thị hàm số y = hai điểm phân biệt A, B có x−1 hồnh độ x A , x B Khi A y = 4x + x+2 A x A + x B = B y = −2x + x+1 B x A + x B = C y = C x A + x B = D x A + x B = Câu Biết đồ thị hàm số y = x3 − 4x2 + 5x − cắt đồ thị hàm số y = hai điểm phân biệt A B Tính độ dài đoạn thẳng AB √ A AB = B AB = C AB = 2 D AB = Câu 10 Cho hàm số f (x) = ax3 + bx2 + cx + d (d 6= 0) có đồ thị hình vẽ Số nghiệm phương trình f (x) − = A B C D y O −1 Câu 11 Cho hàm số bậc ba y = f (x) có đồ thị (C) hình vẽ, đường thẳng d có phương trình y = x − Biết phương trình f (x) = có ba nghiệm x1 < x2 < x3 Giá trị x1 x3 A −2 B − C − D −3 x y d −1 x (C) x − 2x2 + có đồ thị (C) đường thẳng d : y = −m Tìm tập hợp tất giá trị tham số m để d cắt (C) ba điểm phân biệt ï ò ï ò Å ã Å ã 1 1 A ;1 B −1; − C ;1 D −1; − 3 3 Câu 12 Cho hàm số y = Câu 13 Tìm m để đồ thị hàm số y = x4 − 2x2 + m cắt trục hoành bốn điểm phân biệt A m > B < m < C m > D m < Câu 14 Có số m nguyên âm để đồ thị hàm số y = x3 − 3x2 + (1 − m)x + m + cắt trục Ox điểm phân biệt Gv PHÙNG V HOÀNG EM - ĐT: 0972.657.617 80 SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ A B C D Câu 15 Tìm tất giá trị tham số m để đồ thị (C) hàm số y = x3 − 3x + m cắt trục hoành điểm phân biệt A m ∈ (2; +∞) B m ∈ (−2; 2) C m ∈ R D m ∈ (−∞; −2) Câu 16 Cho hàm số y = x3 − 3mx2 + (3m − 1) x + 6m có đồ thị (C) Gọi S tập hợp tất giá trị thực tham số m để (C) cắt trục hoành ba điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 , x3 thỏa mãn điều kiện x12 + x22 + x32 + x1 x2 x3 = 20 Tính tổng phần tử tập S B C D 3 3 Câu 17 Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y = x3 − 3mx2 + 9x − cắt trục hoành điểm phân biệt có hồnh độ lập thành cấp số cộng  √ √ m=1 − + − − 15 15 √ A  C m = D m = −1 ± 15 B m = 2 m= Câu 18 Giá trị tham số m để đồ thị hàm số y = x3 − 3x2 − mx cắt trục hoành ba điểm A, B, C phân biệt cách A A B C −2 D Câu 19 Tìm tất giá trị tham số m để phương trình − x4 + 2x2 + + 2m = có nghiệm phân biệt −3 −3 −3 B < m < C −2 < m < D < m < 2 Câu 20 Tìm tất giá trị m nguyên để phương trình x4 − 2x2 + − m = có bốn nghiệm thực A −2 m A C B D Khơng có giá trị m Câu 21 Tìm số giao điểm đồ thị hàm số y = x2 | x2 − 3| đường thẳng y = A B C D 5x − Câu 22 Có đường thẳng cắt đồ thị (C) hàm số y = hai điểm phân biệt x−1 mà hai giao điểm có hoành độ tung độ số nguyên? A 15 B C D x−3 Câu 23 Đồ thị hàm số y = cắt đường thẳng y = x + m hai điểm phân biệt x+1 ñ m < −2 A m > −2 B m > C D m < −2 m>6 Câu 24 Cho hàm số y = x3 + ax2 + bx + c (b < 0, a 6= 0) Biết đồ thị hàm số cho cắt trục hồnh điểm phân biệt có hai giao điểm đối xứng qua gốc tọa độ Tính giá trị biểu thức T = 2(ab − c) + A T = B T = C T = D T = 3x + Câu 25 Cho hàm số y = có đồ thị (C) đường thẳng d : y = ax + 2b − Đường thẳng x+2 d cắt (C) hai điểm A B đối xứng qua gốc tọa độ O Tính a + b A T = 81 B T = Gv PHÙNG V HOÀNG EM - ĐT: 0972 657 617 C T = D T = Chương ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ Câu 26 Đường thẳng d qua A(2; 1) với hệ số góc k cắt đồ thị (C) hàm số y = điểm phân biệt x−8 hai x−4 B −1 < k < C k < k > D k < k > 2x + Câu 27 Cho hàm số y = có đồ thị (C) Tìm giá trị tham số m để đường thẳng x+1 √ d : y = x + m − cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt A, B cho AB = √ √ √ √ A m = ± B m = ± 10 C m = ± 10 D m = ± x+1 (C) Câu 28 Tìm giá trị tham số m để đường thẳng d : y = 2x + m cắt đồ thị hàm số y = x−1 hai điểm A, B phân biệt cho đoạn AB ngắn A k > A m = B m = −1 C m = −2 D m = C m = D m = −2 Câu 29 Tìm tất giá trị thực tham số m để đường thẳng (d) : y = mx − m − cắt đồ thị (C) : y = x3 − 3x2 + điểm A, B, C phân biệt (B thuộc đoạn AC), cho tam giác AOC cân O (với O gốc toạ độ) A m = −1 B m = ® Câu 30 Cho số thực a, b, c thỏa mãn a+c > b+1 Tìm số giao điểm đồ thị hàm số a+b+c+1 < y = x3 + ax2 + bx + c trục Ox A B C D —HẾT— Gv PHÙNG V HOÀNG EM - ĐT: 0972.657.617 82 TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ Bài số 8TIẾP TUYẾN CỦA TIẾP TUYẾN ĐỒ THỊCỦA HÀM ĐỒ SỐTHỊ HÀM SỐ A A LÝ THUYẾT CẦN NHỚ  Đường thẳng qua điểm M(x0 ; y0 ) có hệ số góc k có phương trình y = k(x − x0 ) + y0 Lưu ý: ¬ k = tan ϕ, với ϕ góc hợp đường thẳng ∆ với chiều dương trục Ox ϕ 6= 90◦ y ∆ ­ Cho hai đường thẳng ∆1 : y = k1 x + m1 ∆2 : y = k2 x + m2 • ∆1 ∥ ∆2 ⇔ k1 = k2 m1 6= m2 ϕ x O • ∆1 ⊥ ∆2 ⇔ k1 · k2 = −1  Tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm M(x0 ; y0 ): Cho hàm số y = f (x) có đồ thị (C) Tiếp tuyến d đồ thị hàm số điểm M(x0 ; y0 ) có phương trình y = f (x0 )(x − x0 ) + y0 (lúc k = f (x0 )) y Trong • x0 gọi hồnh độ tiếp điểm; • y0 tung độ tiếp điểm, với y0 = f (x0 ); y0 O x0 • f (x0 ) gọi hệ số góc tiếp tuyến A B x y = f (x) CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f (x) điểm (x0 ; y0 ) cho trước d 0 • Tính f (x) Từ tính f (x0 ) bấm máy ( f (x)) dx x = x0 DẠNG • Thay vào công thức y = f (x0 )(x − x0 ) + y0 , thu gọn kết dạng y = Ax + B o Trong nhiều trường hợp, đề chưa cho đầy đủ (x0 ; y0 ) ta thường gặp loại sau: ¬ Cho biết trước x0 y0 Ta việc thay giá trị vào hàm số y = f (x), tính đại lượng lại ­ Cho trước điều kiện giải Ta việc giải điều kiện đó, tìm x0 c Ví dụ Cho hàm số y = x4 − 4x2 + có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) điểm M(1; 1) A y = − x + B y = −2x + C y = −3x + D y = −4x + 83 Gv PHÙNG V HOÀNG EM - ĐT: 0972 657 617 Chương ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ c Ví dụ Tiếp tuyến với đồ thị hàm số f (x) = số góc A − B 3 điểm có hồnh độ x0 = có hệ 2x − C D −2 c Ví dụ Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = x2 − 3x + điểm có hoành độ A y = 3x − B y = 3x − 10 C y = −3x + 10 D y = −3x − c Ví dụ Tìm hệ số góc tiếp tuyến đồ thị hàm số y = − A 5 B − C − 4x điểm có tung độ y = x−2 D −10 2x + điểm M(2; 5) cắt trục tọa độ x−1 Ox, Oy A B Tính diện tích tam giác OAB 121 121 121 121 A B − C D − 6 3 c Ví dụ Tiếp tuyến đường cong (C) : y = c Ví dụ Tiếp tuyến đồ thị hàm số f (x) = − x3 − 3x2 + giao điểm đồ thị hàm số với trục Ox A y = 9x + B y = −9x + y = C y = 9x − y = D y = −9x − cắt đồ thị (C ) hàm số y = x2 + hai 2−x điểm A, B Tiếp tuyến hai điểm A, B với đồ thị (C) có hệ số góc k1 , k2 Tính tổng k1 + k2 5 B k1 + k2 = C k1 + k2 = D k1 + k2 = A k1 + k2 = − 2 c Ví dụ Biết đồ thị (C) hàm số y = x+1 có đồ thị (C) đường thẳng (d) : y = −2x + m − (m x+2 tham số thực) Gọi k1 , k2 hệ số góc tiếp tuyến giao điểm (d) (C) Khi k1 · k2 A B C D c Ví dụ Cho hàm số y = c Ví dụ ax + b , (a, b, c, d ∈ R; c 6= 0, d 6= 0) cx + d có đồ thị (C) Đồ thị hàm số y = f (x) hình vẽ Biết (C) cắt trục tung điểm có tung độ −2 Viết phương trình tiếp tuyến (C) giao điểm (C) với trục hoành A x − 3y + = B x + 3y − = C x + 3y + = D x − 3y − = Cho hàm số y = f (x) = y −2 −1 O Gv PHÙNG V HOÀNG EM - ĐT: 0972.657.617 x 84 TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ DẠNG Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f (x) biết hệ số góc tiếp tuyến k0 • Tính f (x) Giải phương trình f (x) = k0 , tìm nghiệm x0 Thay x0 vào y = f (x), tìm y0 • Viết phương trình tiếp tuyến (x0 ; y0 ) theo công thức y = f (x0 )(x − x0 ) + y0 o Trong nhiều trường hợp, ta gặp dạng sau: ¬ Biết tiếp tuyến song song với ∆ : y = ax + b Khi k0 = a hay f (x0 ) = a ­ Biết tiếp tuyến vng góc với ∆ : y = ax + b Khi k0 · a = −1 hay f (x0 ) = − a ® Biết tiếp tuyến tạo với Ox góc ϕ k0 = ± tan ϕ ¯ Biết tiếp tuyến cắt Ox, Oy hai điểm A, B thỏa OA = m · OB k0 = ± OB OA ° Biết tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ (hoặc lớn nhất) k0 = f (x) (hoặc max f (x)) Đối với hàm bậc ba kmax kmin đạt x0 thỏa f 00 (x) = c Ví dụ 10 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = − x4 − x2 + 6, biết tiếp tuyến có hệ số góc k = A y = 6x + B y = −6x + C y = −6x + 10 D y = 6x + 10 c Ví dụ 11 Tiếp tuyến đồ thị hàm số f (x) = − x3 − 3x2 + 9x + có hệ số góc lớn A y = 12x + 18 B y = 9x − C y = 12x + D y = 4x + c Ví dụ 12 Cho hàm số y = x − 2x2 + 3x + Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số có hệ số góc nhỏ 17 23 A y = − x + B y = − x + 3 C y = D y = 19 3 x − 3x2 + 3x + có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) hàm số, biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = −2x − 22 10 A y = −2x + ; y = −2x − 22 B y = −2x − 10; y = −2x − 3 10 22 10 22 C y = −2x + ; y = −2x + D y = −2x + ; y = −2x − 3 3 c Ví dụ 13 Cho hàm số y = 3m + x − x + 3m + Gọi A ∈ (Cm ) có hồnh độ Tìm m để tiếp tuyến A song song với đường thẳng d : y = 6x + 2017? A m = −3 B m = C m = D m = c Ví dụ 14 Cho (Cm ) : y = c Ví dụ 15 Cho hàm số y = − x3 + 3x2 − có đồ thị (C) Số tiếp tuyến (C) vng góc với đường thẳng y = x + 2017 A B C D 85 Gv PHÙNG V HOÀNG EM - ĐT: 0972 657 617 Chương ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 2x − có đồ thị (C) Có tiếp tuyến (C) cắt trục Ox, x−1 Oy hai điểm A B thỏa mãn điều kiện OA = 4OB A B C D c Ví dụ 16 Cho hàm số y = DẠNG Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f (x), biết tiếp tuyến qua điểm A(x A ; y A ) • Gọi d : y = k(x − x A ) + y A (1) đường thẳng qua điểm A có hệ số góc k ® f (x) = k(x − x A ) + y A • d tiếp tuyến hệ (2) có nghiệm x f (x) = k • Giải hệ (2), tìm x k • Thay k vào (1), ta kết c Ví dụ 17 Cho hàm số y = x3 − 9x2 + 17x + có đồ thị (C) Qua điểm M(−2; 5) kẻ tất tiếp tuyến đến (C)? A B C D c Ví dụ 18 Cho đường cong (C) : y = x4 − 4x2 + điểm A(0; a) Nếu qua A kẻ tiếp tuyến với (C) Å thìãa phải thỏa mãn điều kiện 10 A a ∈ 2; B a ∈ (2; +∞) Å ã Å ã 10 10 C a ∈ (−∞; 2) ∪ ; +∞ D a ∈ −∞; 3 c Ví dụ 19 Đường thẳng x + y = 2m tiếp tuyến đường cong y = − x3 + 2x + m A −3 B C −1 D −3 −1 2x có đồ thị (C) điểm A(0; a) Gọi S tập hợp tất x+1 giá trị thực a để từ A kẻ hai tiếp tuyến AM, AN đến (C) với M, N tiếp điểm MN = Tổng phần tử S bao nhiêu? A B C D c Ví dụ 20 Cho hàm số y = x+1 (1) Biết trục tung có hai điểm M, N mà từ x−1 kẻ tới đồ thị hàm số (1) tiếp tuyến Độ dài đoạn MN √ √ B C D A c Ví dụ 21 Cho hàm số y = DẠNG Bài tập tổng hợp x+2 có đồ thị (C) Đường thẳng d có phương trình y = ax + b 2x + tiếp tuyến (C), biết d cắt trục hoành A cắt trục tung B cho tam giác OAB cân O, với O gốc tọa độ Tính a + b A −1 B −2 C D −3 c Ví dụ 22 Cho hàm số y = Gv PHÙNG V HOÀNG EM - ĐT: 0972.657.617 86 TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ f (x) Nếu hệ số góc tiếp tuyến đồ g(x) thị hàm số cho điểm có hồnh độ x0 khác khơng 1 1 B f (x0 ) ≤ C f (x0 ) ≤ D f (x0 ) < A f (x0 ) > 4 c Ví dụ 23 Cho hàm số y = f (x), y = g(x), y =

x+1 , có đồ thị (H) Biết A x1 ; y1 , B x2 ; y2 hai điểm phân 2x − biệt thuộc (H) cho tiếp tuyến (H) A, B song song với Tìm độ dài nhỏ đoạn thẳng √ √ √ √ AB B C D A c Ví dụ 24 Cho hàm số y = −x + có đồ thị (C) đường thẳng (d) : y = x + m Với giá 2x − trị m đường thẳng (d) cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt A B Gọi k1 , k2 hệ số góc tiếp tuyến với (C) A B Giá trị nhỏ T = k2020 + k2020 1 A B C D c Ví dụ 25 Cho hàm số y = A C BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu Tiếp tuyến đồ thị hàm số y = − x2 + 4x + điểm A(−1; 2) có hệ số góc C −2 D 3x − điểm có hồnh độ Câu Hệ số góc tiếp tuyến đồ thị hàm số y = 2x − 1 A B −1 C D Câu Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = −2x4 + x2 + điểm M(1; 2) A B A y = −6x + B y = −6x + C y = −6x − D y = −6x − A y = − x − B y = 7x − 14 C y = 7x − D y = − x + A B C D Câu Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số f (x) = x3 − 2x2 + 3x + điểm có hồnh độ x0 = Câu Số tiếp tuyến đồ thị hàm số y = x4 + 2x2 + điểm có tung độ Câu Cho hàm số y = − x3 + 3x − có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến (C) giao điểm (C) với trục tung A y = −2x + B y = 2x + A y = −9x − 12 B y = −9x + 12 A B C y = 3x − D y = −3x − C y = −9x + 14 D y = −9x − 14 Câu Cho hàm số y = − x3 + 3x − có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm M, biết M giao điểm (C) với đường thẳng có phương trình y = − x − x M > Câu Số tiếp tuyến đồ thị hàm số y = x3 + 3x2 − 8x + song song với đường thẳng (d) : y = x + 28 C D 2x − song song với đường thẳng y = 5x + 17 có Câu Tiếp tuyến đồ thị hàm số y = x+1 phương trình 87 Gv PHÙNG V HOÀNG EM - ĐT: 0972 657 617 Chương ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ A y = 5x + 17; y = 5x + C y = 5x − B y = 5x + D y = 5x + 17; y = 5x − 2x + Tìm phương trình tiếp tuyến x+1 đường cong (C) biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng d : y = −4x + Câu 10 Cho đường cong (C) có phương trình y = x− C y = x + A y = 13 y = x + 4 x+ D y = x + B y = y = x + 4 Câu 11 Tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = x3 − 3x2 + vng góc với đường thẳng x − 3y + = có phương trình A x − 3y + = B 3x − y − = C 3x + y − = D 3x + y − = Câu 12 Đồ thị hàm số y = x4 − 2x2 có tiếp tuyến song song với trục Ox? A B C D Câu 13 Cho hàm số y = − x3 + 3x2 + có đồ thị (C) Phương trình tiếp tuyến (C) mà có hệ số góc lớn A y = 3x + B y = −3x + C y = 3x − D y = −3x − x2 + x có đồ thị (C) đường thẳng d : y = −2x Biết d cắt (C) hai Câu 14 Cho hàm số y = x−2 điểm phân biệt A, B Tích hệ số góc tiếp tuyến (C) A, B A C − B D ax + b cắt trục tung điểm A(0; −1), tiếp tuyến đồ thị điểm x−1 A có hệ số góc k = −3 Giá trị a b Câu 15 Đồ thị hàm số y = A a = 1; b = B a = 2; b = C a = 2; b = D a = 1; b = Câu 16 Cho hàm số y = x3 − 3mx2 + (m + 1)x − m Gọi A giao điểm đồ thị hàm số với trục Oy Tìm giá trị m để tiếp tuyến đồ thị A vng góc với đường thẳng y = 2x − B m = − A m = − C m = −3 D m = f (x) + Hệ số góc tiếp tuyến đồ thị g(x) + hàm số cho điểm có hồnh độ x = khác Khẳng định sau đúng? Câu 17 Cho hàm số y = f (x), y = g(x), y = A f (1) ≤ − 11 B f (1) < − 11 C f (1) > − 11 D f (1) ≥ − 11 Gv PHÙNG V HOÀNG EM - ĐT: 0972.657.617 88 TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ Câu 18 Cho hàm số y = f (x) = ax3 + bx2 + cx + d (a, b, c ∈ R, a 6= 0) có đồ thị (C) Biết đồ thị (C) qua gốc tọa độ đồ thị hàm số y = f (x) cho hình vẽ bên Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm có hồnh độ x = A y = x + B y = x + C y = 5x + D y = 5x − y x −1 O 2x + có đồ thị (C) Tiếp tuyến đồ thị (C) điểm thuộc đồ thị x−1 (C) với hoành độ x0 = cắt hai đường tiệm cận đồ thị (C) hai điểm A, B Tính diện tích tam giác I AB, với I giao điểm hai đường tiệm cận đồ thị (C) √ A S4 I AB = B S4 I AB = C S4 I AB = 12 D S4 I AB = Câu 19 Cho hàm số y = x − x có đồ thị (C) Có điểm A thuộc (C) cho tiếp tuyến (C) A cắt (C) hai điểm phân biệt M(x1 ; y1 ), N(x2 ; y2 ) (M, N khác A) thỏa mãn y1 − y2 = 6(x1 − x2 )? Câu 20 Cho hàm số y = A B C —HẾT— 89 Gv PHÙNG V HOÀNG EM - ĐT: 0972 657 617 D