TRƯỜNG THPT NGUYỄN TẤT THÀNH – GV: LÊ QUANG XE – ĐT: 0967.003.131 TOÁN 12 TOÁN π π π π HÀM SỐ π π π π ππ π π Chuyïn àïì π π π y π ππ π π π π −1 π π π π π π TL π π LƯU HÀNH NỘI BỘ O −1 x MỤC LỤC §1 – TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ A Lý thuyết B Ví dụ C Một số dạng toán | Dạng 1.Cơ tính đơn điệu hàm số | Dạng 2.Tính đơn điệu hàm hợp 12 | Dạng 3.Tính đơn điệu hàm giá trị tuyệt đối 29 §2 – CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 39 A Lý thuyết 39 B Ví dụ 40 C Một số dạng toán 45 | Dạng 1.Cơ cực trị hàm số 45 | Dạng 2.Cực trị hàm tổng hàm hợp 48 | Dạng 3.Bài tốn truy tìm hàm ngược 60 | Dạng 4.Cực trị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối 65 | Dạng 5.Cực trị điểm cho trước 76 §3 – GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ 87 A Lý thuyết 87 B Ví dụ minh họa 88 C Một số dạng toán 93 | Dạng 1.Cơ Max - Min hàm số 93 | Dạng 2.Min, max hàm đa thức BPT 96 | Dạng 3.Min, max hàm hợp 99 | Dạng 4.Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối 108 | Dạng 5.Ứng dụng Max - Min §4 – ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ 113 119 A Lý thuyết 119 B Ví dụ minh họa 120 C Một số dạng toán 123 | Dạng 1.Cơ tiệm cận đồ thị hàm số 123 p Lê Quang Xe i Ô SĐT: 0967.003.131 MỤC LỤC | Dạng 2.Bài tập tiệm cận đồ thị hàm số 127 §5 – CÁC BÀI TỐN LIÊN QUAN ĐẾN ĐỒ THỊ HÀM SỐ 131 A Lý thuyết 131 B Ví dụ minh họa 134 C Một số dạng toán 134 | Dạng 1.Đọc biến đổi đồ thị 134 | Dạng 2.Tương giao đồ thị hàm số 142 | Dạng 3.Tiếp tuyến - tiếp xúc hai đồ thị 158 | Dạng 4.Toàn tập phương pháp ghép trục 170 p Lê Quang Xe ii Ô SĐT: 0967.003.131 MỤC LỤC BÀI TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ AA A LÝ THUYẾT Điều kiện để hàm số đơn điệu khoảng K Định nghĩa 1.1 Giả sử K khoảng, đoạn nửa khoảng y = f (x) hàm số xác định K, ta nói Hàm số y = f (x) gọi đồng biến (tăng) K ∀x1 , x2 ∈ K, x1 < x2 ⇒ f (x1 ) < f (x2 ) Hàm số y = f (x) gọi nghịch biến (giảm) K ∀x1 , x2 ∈ K, x1 < x2 ⇒ f (x1 ) > f (x2 ) Hàm số đồng biến nghịch biến K gọi chung đơn điệu K Nhận xét ○ Nếu hàm số f (x) g(x) đồng biến (nghịch biến) D hàm số f (x) + g(x) đồng biến (nghịch biến) D Tính chất không hiệu f (x) − g(x) ○ Nếu hàm số f (x) g(x) hàm số dương đồng biến (nghịch biến) D hàm số f (x) · g(x) đồng biến (nghịch biến) D Tính chất không hàm số f (x), g(x) không hàm số dương D ○ Cho hàm số u = u(x), xác định với x ∈ (a; b) u(x) ∈ (c; d) Hàm số f [u(x)] xác định với x ∈ (a; b) Ta có nhận xét sau — Giả sử u = u(x) đồng biến với x ∈ (a; b) Khi đó, hàm số f [u(x)] đồng biến với x ∈ (a; b) ⇔ f (u) đồng biến với u ∈ (c; d) — Giả sử u = u(x) nghịch biến với x ∈ (a; b) Khi đó, hàm số f [u(x)] nghịch biến với x ∈ (a; b) ⇔ f (u) nghịch biến với u ∈ (c; d) Định lí 1.1 Giả sử hàm số f có đạo hàm khoảng K Khi ○ Nếu hàm số đồng biến khoảng K f (x) ≥ 0, ∀x ∈ K ○ Nếu hàm số nghịch biến khoảng K f (x) ≤ 0, ∀x ∈ K Định lí 1.2 Giả sử hàm số f có đạo hàm khoảng K Khi ○ Nếu f (x) > 0, ∀x ∈ K hàm số f đồng biến K ○ Nếu f (x) < 0, ∀x ∈ K hàm số f nghịch biến K ○ Nếu f (x) = 0, ∀x ∈ K hàm số f không đổi K p Lê Quang Xe Ơ SĐT: 0967.003.131 TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Định lý điều kiện đủ để hàm số đơn điệu Định lí 1.3 Giả sử hàm số f có đạo hàm khoảng K Khi ○ Nếu f (x) ≥ 0, ∀x ∈ K f (x) = hữu hạn điểm thuộc K hàm số f đồng biến K ○ Nếu f (x) ≤ 0, ∀x ∈ K f (x) = hữu hạn điểm thuộc K hàm số f nghịch biến K Một số toán ○ Bài toán Tìm tham số m để hàm số y = f (x; m) đơn điệu khoảng (α; β) — Bước 1: Ghi điều kiện để y = f (x; m) đơn điệu (α; β) Chẳng hạn + Đề yêu cầu y = f (x; m) đồng biến (α; β) ⇒ y = f (x; m) ≥ + Đề yêu cầu y = f (x; m) nghịch biến (α; β) ⇒ y = f (x; m) ≤ — Bước 2: Độc lập m khỏi biến số đặt vế lại g(x), có hai trường hợp thường gặp + m ≥ g(x), ∀x ∈ (α; β) ⇒ m ≥ max g(x) (α;β) + m ≤ g(x), ∀x ∈ (α; β) ⇒ m ≤ g(x) (α;β) — Bước 3: Khảo sát tính đơn điệu hàm số g(x) (α; β) (hoặc sử dụng Cauchy) để tìm giá trị lớn giá trị nhỏ Từ suy m ○ Bài tốn Tìm tham số m để hàm số y = ax + b đơn điệu khoảng (α; β) cx + d d — Tìm tập xác định, chẳng hạn x 6= − Tính đạo hàm y c — Hàm số đồng biến ⇒ y > (hàm số nghịch biến ⇒ y < 0) Giải tìm m d d — Vì x 6= − có x ∈ (α; β) nên − ∈ / (α; β) Giải tìm m (2) c c — Lấy giao (1) (2) giá trị m cần tìm (1) ○ Ghi nhớ Nếu hàm số f (t) đơn điệu chiều miền D (luôn đồng biến ln nghịch biến) phương trình f (t) = có tối đa nghiệm ∀u, v ∈ D f (u) = f (v) ⇔ u = v AA B VÍ DỤ d Ví dụ Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm f (x) = x2 (x−9)(x−4)2 Khi hàm số y = f (x2 ) nghịch biến khoảng đây? A (3; +∞) B (−3; 0) C (−∞; −3) D (−2; 2) Ê Lời giải Ta có 0 0 2 y = f x2 = x2 x4 x2 − x2 − = 2x5 (x − 3)(x + 3)(x − 2)2 (x + 2)2 Cho y = ⇔ x = −3 x = −2 x = x = x = Ta có bảng xét dấu y p Lê Quang Xe Ô SĐT: 0967.003.131 MỤC LỤC x y0 −∞ −3 − + −2 0 + − +∞ − + Dựa vào bảng xét dấu, hàm số y = f (x2 ) nghịch biến (−∞; −3) (0; 3) Chọn đáp án C d Ví dụ Cho hàm số y = f (x) xác định liên tục R có đồ thị hàm f (x) hình vẽ bên Hỏi hàm số y = f (x2 − 1) nghịch biến khoảng sau A (−1; 0) B (0; 1) C (−∞; 0) D (0; +∞) y y = f (x) −2 O x Ê Lời giải Ta có y = 2x · f (x2 − 1) x=0 x=0 ñ x=0 x = 2 y = ⇔ 2x · f (x2 − 1) = ⇔ x − = −2 ⇔ x = −1 ⇔ x = −1 x =1 2 x −1=0 x =1 x = Ta có bảng biến thiên x −∞ y0 − −1 0 + +∞ − + y Nhìn bảng biến thiên hàm số y = f (x2 − 1) nghịch biến khoảng (0; 1) Chọn đáp án B d Ví dụ Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm f (x) = x2 (x + 2) (x2 + mx + 5) với ∀x ∈ R Số giá trị nguyên âm m để hàm số g(x) = f (x2 + x − 2) đồng biến khoảng (1; +∞) A B C D Ê Lời giải Ta có g (x) = (2x + 1) · f (x + x − 2) Hàm số g(x) đồng biến khoảng (1; +∞) ⇔ g (x) ≥ ∀x ∈ (1; +∞) ⇔ f (x2 + x − 2) ≥ ∀x ∈ (1; +∞) Ä ä 2 ⇔ (x2 + x − 2) (x2 + x) (x2 + x − 2) + m (x2 + x − 2) + ≥ ∀x ∈ (1; +∞) 0 2 ⇔ (x2 + x − 2) + m (x2 + x − 2) + ≥ (1) ∀x ∈ (1; +∞) Đặt t = x2 + x − 2, x ∈ (1; +∞) ⇒ t > Khi (1) trở thành t2 + mt + ≥ ∀t ∈ (0; +∞) ⇔ t + ≥ −m (2) ∀t ∈ (0; +∞) t Để (1) nghiệm với x ∈ (1; +∞) ⇔ (2) nghiệm với t ∈ (0; +∞) √ √ 5 Ta có h(t) = t + ≥ với ∀t ∈ (0; +∞) Dấu xảy t = ⇔ t = t t√ √ √ Suy h(t) = ⇒ (2) nghiệm ∀t ∈ (0; +∞) ⇔ −m ≤ ⇔ m ≥ −2 t∈(0;+∞) Vậy số giá trị nguyên âm m Chọn đáp án B p Lê Quang Xe Ơ SĐT: 0967.003.131 TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ d Ví dụ Cho hàm số y = f (x) có bảng xét dấu đạo hàm sau x −∞ −1 f (x) − 0 + +∞ − + Bất phương trình f (x) < ex + m với x ∈ (−1; 1) A m ≥ f (0) − B m > f (−1) − e C m > f (0) − D m ≥ f (−1) − e Ê Lời giải Ta có f (x) < e , ∀x ∈ (−1; 1) ⇔ m > g(x) = f (x) − ex , ∀x®∈ (−1; 1) (1) g (x) > 0, ∀x ∈ (−1; 0) Ta có g (x) = g (x) − 2x · ex có nghiệm x = ∈ (−1; 1) g (x) < 0, ∀x ∈ (0; 1) Bảng biến thiên x2 x g (x) −1 + − f (0) − g(x) −∞ −∞ Do max g(x) = g(0) = f (0) − (−1;1) Ta (1) ⇔ m > f (0) − Chọn đáp án C d Ví dụ Cho hàm số y = f (x) Hàm số y = f (x) có bảng biến thiên sau x −∞ −3 y 3 +∞ 1 Bất phương trình f (x) < 3ex+2 + m có nghiệm x ∈ (−2; 2) A m ≥ f (−2) − B m > f (2) − 3e4 C m ≥ f (2) − 3e4 D m > f (−2) − Ê Lời giải Ta có f (x) < 3e + m ⇔ f (x) − 3e < m Đặt h(x) = f (x) − 3ex+2 ⇒ h0 (x) = f (x) − 3ex+2 Vì ∀x ∈ (−2; 2), f (x) ≤ x ∈ (−2; 2) ⇒ x + ∈ (0; 4) ⇒ 3ex+2 ∈ (3; 3e4 ) Nên h0 (x) = f (x) − 3ex+2 < 0, ∀x ∈ (−2; 2) ⇒ f (2) − 3e4 < h(x) < f (−2) − Vậy bất phương trình f (x) < 3ex+2 + m có nghiệm x ∈ (−2; 2) m > f (2) − 3e4 Chọn đáp án B x+2 x+2 d Ví dụ Tổng giá trị nguyên tham số m khoảng (−2020; 2020) để hàm số y = π sin x − đồng biến khoảng 0; sin x − m A −2039187 B 2022 C 2093193 D 2021 p Lê Quang Xe Ô SĐT: 0967.003.131 MỤC LỤC Ê Lời giải Điều kiện xác định: sin x 6= m sin x − cos x(sin x − m) − (sin x − 3) cos x cos x(3 − m) Ta có y = ⇒ y0 = = sin x − m (sin xå− m) (sin x − m)2 Ç √ π Vì x ∈ 0; nên cos x > 0; sin x ∈ 0; 3−m>0 m≤0 π m≤0 √ ⇔ ⇔ Suy hàm số đồng biến khoảng 0; √ ≤ m < m≥ 2 Vì m ∈ Z ⇒ m ∈ {−2019; −2018; ; −1; 0} ∪ {1; 2} −2019 + · 2020 + + = −2039187 Vậy tổng giá trị tham số m S = Chọn đáp án A d Ví dụ Cho hàm số f (x) Hàm số y = f (x) có đồ thị hình bên Hàm số g(x) = f (1 − 2x) + x2 − x nghịch biến khoảng đây? y −2 x O −2 Å ã A 1; Å ã B 0; C (−2; −1) D (2; 3) Ê Lời giải Cách Ta có g(x) = f (1 − 2x) + x2 − x⇒ g (x) = −2f (1 − 2x) + 2x − 1 − 2x Hàm số nghịch biến ⇔ g (x) < ⇔ f (1 − 2x) > − t Xét tương giao đồ thị hàm số y = f (t) y = − y f (t) −2 x O −2 y=− p Lê Quang Xe t Ơ SĐT: 0967.003.131 TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ñ −2 ñ x 2, ∀x ∈ R Xét hàm số g(x) = f (3 − 2f (x)) − x3 + 3x2 − 2020 Khẳng định sau đúng? A Hàm số g(x) đồng biến khoảng (−2; −1) B Hàm số g(x) nghịch biến khoảng (0; 1) C Hàm số g(x) đồng biến khoảng (3; 4) p Lê Quang Xe 19 Ơ SĐT: 0967.003.131 TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ D Hàm số g(x) nghịch biến khoảng (2; 3) Câu 89 Cho hàm số y = f (x) xác định R Hàm số y = g(x) = f (2x + 3) + có đồ thị parabol với tọa độ đỉnh I(2; −1) qua điểm A(1; 2) Hỏi hàm số y = f (x) nghịch biến khoảng đây? A (5; 9) B (1; 2) C (−∞; 9) D (1; 3) Câu 90 Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm cấp liên tục R thỏa mãn f (x) · f 00 (x) = x(x − 1)2 (x + 4)3 , ∀x ∈ R g(x) = [f (x)] − 2f (x) · f 00 (x) Hàm số h(x) = g (x2 − 2x) đồng biến khoảng đây? A (−∞; 1) B (2; +∞) C (0; 1) p Lê Quang Xe 20 D (1; 2) Ô SĐT: 0967.003.131 MỤC LỤC Bài tập áp dụng hàm hợp Câu 91 Cho hàm số đa thức f (x) có đạo hàm R Biết f (0) = đồ thị hàm số y = f (x) hình sau Hàm số g (x) = |4f (x) + x2 | đồng biến khoảng đây? A (4; +∞) B (0; 4) C (−∞; −2) D (−2; 0) y y = f (x) 1 x O −2 −2 Câu 92 Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục R Hàm số y = f (x) có đồ thị hình vẽ Số tham số m nguyên thuộc đoạn [−20; 20] để hàm số g(x) nghịch biến khoảng (−1; 2) biết g(x) = 3f (−x3 − 3x + m) + (x3 + 3x − m) (−2x3 − 6x + 2m − 6) A 23 B 21 C D 17 y O −1 x Câu 93 Hỏi có tất giá trị nguyên tham số m ∈ [−2021; 2021] để hàm số g(x) = |x3 − 3mx2 − (m + 2) x − m + 1| đồng biến khoảng (0; 3)? A 4041 B 4042 C 2021 D 4039 Câu 94 Cho hàm số y = f (x) liên tục R có bảng xét dấu đạo hàm sau x f (x) −∞ − + + +∞ − + Hàm số y = 3f (2x − 1) − 4x3 +Å15x2ã− 18x + đồng biến Å Å ã khoảng ã 5 A (3; +∞) B 1; C ;3 D 2; 2 Câu 95 Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm f (x) = x2 (x + 4) (x2 + 2mx + 9) với ∀x ∈ R Số giá trị nguyên âm m để hàm số g(x) = f (x2 + 3x − 4) đồng biến (1; +∞) A B C D Câu 96 Cho hàm số f (x) = −x4 − (4 − m2 ) x + 2020 g(x) = −x3 + 5x2 − 2020x + 2021 Có giá trị nguyên dương m để h(x) = g [f (x)] đồng biến (2; +∞) A 13 B 12 C D Câu 97 Cho hàm số g(x) = f (1−x) có đạo hàm g (x) = (3 − x)2021 (2 + x)2020 [x2 + (m − 2) x − 3m + 6] với x ∈ R Có số nguyên dương m để hàm số f (x) nghịch biến khoảng (0; +∞) A B C D Câu 98 Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục R Đồ thị hàm số y = f (x) cho hình bên Hỏi hàm số g(x) = 4f (x) + x2 − 4x + 2021 nghịch biến khoảng đây? A (−∞; −1) B (−2; 0) C (0; 2) D (2; +∞) y f (x) −2 O x Câu 99 Cho hàm số y = f (x) liên tục xác định R, biết f (x + 2) = x2 − 3x + Hàm số y = f (x2 + 4x + 7) đồng biến khoảng đây? A (−2; −1) B (−3; −1) C (1; +∞) D (−2; 0) p Lê Quang Xe 21 Ơ SĐT: 0967.003.131 TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Câu 100 Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm R thoả f (−3) = f (3) = Biết hàm số y = f (x) hàm số bậc ba có đồ thị hình vẽ bên Hỏi hàm số g(x) = [f (3 − x)]2 − f (3 − x) nghịch biến khoảng sau đây? A (−3; 1) B (−∞; −3) C (0; 2) D (2; 6) y O −3 Câu 101 Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục R có đồ thị hàm số y = f (x) hình vẽ Biết hàm số f (x3 − 3x − 1) nghịch biến khoảng lớn (a; b); (m; n); (p; q) Giá trị biểu thức (a2 + b2 + m2 + n2 + p2 + q ) A B 12 C 14 D 10 x y O x −1 Câu 102 Cho hàm số y = f (x) có đạo √ hàm liên tục R có bảng xét đấu đạo hàm f (x) hình vẽ bên Hàm số g(x) = f − − x2 đồng biến A (0; 1) B (1; 2) C (−1; 0) D (−3; −1) Câu 103 Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục R có bảng xét đấu đạo hàm f (x) hình vẽ bên x f (x) Hàm số g(x) = f −1 + A (5; 6) −∞ + +∞ − 0 + √ + 6x − x2 nghịch biến B (−1; 2) C (2; 3) Câu 104 Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục R có đồ thị hàm số y = f (x) hình vẽ bên Hỏi hàm sốf (f (x)) đồng biến khoảng đây? A (0; 2) B (−3; −1) C (3; 5) D (−5; −3) D (3; 5) y O −4 −1 5x −1 Câu 105 Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục xác định R có biểu thức đạo hàm cho f (x) = x (x − 2) (x + 1) Hỏi tham số thực m thuộc khoảng hàm số g(x) =Åf (x3ã+ m) đồng biến khoảng (1; +∞)? Å ã 1 A 0; B (1; 4) C ;1 D (0; 1) 2 Câu 106 Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục R có đồ thị hàm số y = f (x) hình vẽ bên Hỏi có giá trị nguyên tham số thực m thuộc đoạn [−20; 20] để hàm số g(x) = f (x2 − 2x − m) đồng biến khoảng(1; 3)? A 19 B 23 C 18 D 17 y f (x) O −3 p Lê Quang Xe 22 x Ô SĐT: 0967.003.131 MỤC LỤC Câu 107 Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục R có đồ thị y = f (x) hình vẽ bên Hỏi có giá trị nguyên tham số m ∈ [−30; 30] để hàm số g(x) = f (x3 − 3x − m) đồng biến [−2; −1] A 24 B 25 C 26 D 31 y f (x) O −3 x Câu √ 108 Hỏi có tất giá trị nguyên tham số m ∈ [−20; 20] để hàm số y = x2 − 2x + + √ đồng biến (−∞; 1)? 2m − − x2 − 2x + A 21 B 19 C 22 D 20 x + 4a x+b g(x) = đồng biến khoảng xác x+b x + a2 định Gọi a0 b0 số nguyên dương nhỏ a b thỏa mãn Giá trị biểu thức T = a0 + b0 tương ứng Câu 109 Cho hai hàm số f (x) = A 25 B 26 C 27 D 28 Câu 110 Cho hàm số y = f (x) = (m − 1) x3 − (m2 + m − 1) x2 + (m − 1) x − m − với m tham số Biết với tham số m hàm số ln nghịch biến (a; b) Giá trị lớn biểu thức (b − a) √ √ √ A B C D Câu 111 Cho hàm số f (x) = 3m2 x4 − 8mx3 + 6x2 + 12 (2m − 1) x + với m tham số Biết với tham số m hàm số ln đồng biến [a; b]; với a, b số thực Giá trị lớn biểu thức (2b − a) √ √ √ A B 2 C D Câu 112 Cho hàm số y = f (x) có đồ thị cho hình vẽ Hỏi hàm số y = nghịch biến khoảng đây? f (x) − A (−3; −2) B (−2; 1) C (−1; 2) D (3; +∞) Câu 113 Cho hàm số y = f (x) có đồ thị hình vẽ Hỏi có tất giá trị nguyên tham số m ∈ [−20; 2021) để hàm số f (x) + y= nghịch biến (1; 4)? f (x) + m A 19 B 21 C 20 D 22 y O −2 x y O x −2 p Lê Quang Xe 23 Ơ SĐT: 0967.003.131 TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Câu 114 Cho hàm số y = f (x) có đồ thị cho hình vẽ Hỏi hàm số y = (f (x))2 đồng biến khoảng đây? A (1; 3) B (2; 3) C (2; +∞) D (−3; −1) y f (x) O −1 −3 x Câu 115 Cho hàm số y = f (x) có đồ thị cho hình vẽ Hỏi hàm số g(x) = [f (x)]2 − 6f (x) nghịch biến khoảng đây? A (−3; 2) B (7; 14) C (14; +∞) D (1; 7) y f (x) O −7 −3 14 x Câu 116 Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục R có đồ thị y = f (x) hình vẽ bên Hỏi có giá trị nguyên tham số m ∈ [−30; 30] để hàm số g(x) = f (x2 − 2x − m) nghịch biến trên(−1; 2) A B C 28 D 23 y f (x) O −3 Câu 117 Cho hàm số f (x) Hàm số y = f (x) có đồ thị hình bên Hàm số g(x) = f (1 − 2x) + x2 − x nghịch biến khoảng ? A 1; 23 B 0; 12 C (−2; −1) D (2; 3) y −2 x y = f (x) x O −2 Câu 118 Hỏi có tất giá trị nguyên tham số m ∈ [−40; 40] để hàm số g(x) = |x2 − 4mx + m − 3| nghịch biến khoảng (−2; −1) A 79 p Lê Quang Xe B 39 C 80 24 D 40 Ô SĐT: 0967.003.131 MỤC LỤC Câu 119 Cho hàm số f (x) liên tục R có đồ thị hàm số y = f (x) cho hình vẽ Hàm số g(x) = 2f (|x − 1|) − x2 + 2x + 2020 đồng biến khoảng nào? A (0; 1) B (−3; 1) C (1; 3) D (−2; 0) y f (x) −1O −1 Câu 120 Cho hàm số y = f (x) liên tục R có đồ thị hàm số y = f (x) cho hình vẽ Hàm số g(x) = 2f (|x − 1|) − x2 + 2x + 2020 đồng biến khoảng nào? A (0; 1) B (−3; 1) C (1; 3) D (−2; 0) x y f (x) y=x −1O Câu 121 Cho hàm số f (x), g(x) có đồ thị hình vẽ Biết hai hàm số y = f (2x − 1), y = g(ax + b) có khoảng nghịch biến lớn Khi giá trị biểu thức (4a + b) A B −2 C −4 D 1 −1 x y f (x) O x g(x) Câu 122 Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục R có đồ thị hàm số hình vẽ Khi hàm số f (x3 + 3x − 1) nghịch biến A (1; B (0; Å 2) ã Å 1) ã 1 C −2; − D − ;0 2 y f (x) x −1 O Câu 123 Cho hàm số y = f (x) có đồ thị nằm trục hồnh có đạo hàm R, bảng xét dấu biểu thức f (x) bảng x −∞ f (x) Hàm số y = g(x) = A (−∞; 1) p Lê Quang Xe − −2 −1 + − +∞ + f (x2 − 2x) nghịch biến khoảng f (x2 − 2x) Å +1 ã B −2; C (1; 3) 25 D (2; +∞) Ơ SĐT: 0967.003.131 TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Câu 124 Cho hàm số f (x) có đạo hàm R f (1) = Đồ thị hàm số y = f (x) hình bên Có số dương a để hàm số nguyên π y = |4f (sin x) + cos 2x − a| nghịch biến 0; ? A B C Vô số D y y = f (x) x −1 Câu 125 Giả sử f (x) đa thức bậc Đồ thị hàm số y = f (1 − x) cho hình bên Hỏi hàm số g(x) = f (x2 − 3) nghịch biến khoảng khoảng sau A (−2; 1) B (−1; 0) C (1; 2) D (0; 1) y - - - O x Câu 126 Cho hàm số f (x) có bảng xét dấu đạo hàm sau x −∞ f (x) + −2 0 − + +∞ − Có giá trị nguyên tham số m thoả mãn −10 ≤ m ≤ 10 hàm số y = f (x2 + 2x + m) đồng biến khoảng (0; 1) ? A B C D Câu 127 Cho hàm số y = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e, a 6= Hàm số y = f (x) có đồ thị hình vẽ Gọi S tập hợp tất giá trị nguyên thuộc khoảng (−6; 6) tham số m để hàm số g(x) = f (3 − 2x + m) + x2 − (m + 3)x + 2m2 nghịch biến (0; 1) Khi đó, tổng giá trị phần tử S A 12 B C D 15 y −2 x O −2 Câu 128 Có giá trị thực m để hàm số y = mx9 +(m2 − 3m + 2) x6 +(2m3 − m2 − m) x4 + m đồng biến R A Vô số B C D Câu 129 Cho hàm số f (x) = m2 x5 − giá trị nguyên tham số m để hàm số A B Câu đạo mx3 − (m2 − m − 20) x + (m tham số) Có cho đồng biến R ? C D 10 130 Cho hàm số y hàm liên tục R = f (x) có có đồ thị y = f (x) hình vẽ bên Đặt g(x) = f (x−m)− (x−m−1)2 +2019, với m tham số thực Gọi S tập hợp giá trị nguyên dương m để hàm số y = g(x) đồng biến khoảng (5; 6) Tổng tất phần tử S A B 11 C 14 D 20 p Lê Quang Xe 26 y −1 O x −2 Ô SĐT: 0967.003.131 MỤC LỤC Câu 131 Gọi S tập hợp tất giá trị nguyên tham số m để hàm số f (x) = 2(m + 1)x3 + p 2 (m − 5m − 4) x − (3m − 6m − 19) x − 32 (x + 1)3 + đồng biến khoảng (−1; +∞) Số phần tử tập hợp S A B C D Câu 132 Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục R có đồ thị hàm số y = f (x2 − 2x) hình vẽ bên Hỏi hàm số y = f (x2 − 1) + x + đồng biến khoảng nào? A (−3; −2) B (1; 2) C (−2; −1) D (−1; 0) Câu 133 Cho hàm số y = f (x) hàm đa thức có đồ thị hàm số y = f (x) hình vẽ Hàm số g(x) = f (3x+1)−3 (2x3 + 2x2 − 3x + 5) nghịch biến khoảng đây? A (−∞; −2), (1; +∞) B (−3; 0) C (−∞; −1) D (−1; 2) y O −1 x −1 y −3 −2 −1 O x −1 −2 −3 −4 Câu 134 Cho hàm số y = f (x) có đồ thị hàm số y = f (2x + 1) 1 hình vẽ Hàm số g(x) = f (x) − x2 − x Đồng biến khoảng sau A (−∞; −3) B (−3; 0) C (1; 4) D (3; +∞) y −2 x −1 Câu 135 Cho hàm số bậc bốn f (x) Đồ thị hàm số y = f (3 − 2x) cho hình bên Hàm số y = f (x2 + 1) nghịch biến khoảng A (−∞; 0) B (0; 1) C (2; +∞) D (−1; 0) y O −1 Câu 136 Cho hàm số y = f (x), y = g(x) liên tục có đạo hàm R, hàm số g(x) = (f (2−x))0 hàm số bậc ba có đồ thị hình vẽ hình bên Hàm số y = f (x2 + 2) − x3 + 2x2 − x + 2021 nghịch biến khoảng sau đây? A (−∞; −1) B (0; 1) C (1; 2) D (2; +∞) p Lê Quang Xe 27 x y −4 O x Ơ SĐT: 0967.003.131 TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Câu 137 Cho hai hàm số f (x), g(x) có đạo hàm liên tục R Đồ thị y = f (x2 + 4x) hình vẽ Hàm số g(x) = f (x2 − 4) − x3 + 2021 nghịch biến khoảng A (0; 3) B (3; 5) C (2; 3) D (4; 6) y −2 Câu 138 Cho hàm số f (x) g(x) xác định liên tục R, g(x) = [f (x2 − 4)] hàm bậc ba có đồ thị hình vẽ Có giá trị nguyên âm tham số m để hàm số h(x) = f (x2 + x + m) đồng biến (0; 1) ? A B C D O x y −1 O x Câu 139 Cho hàm số y = f (x) hàm đa thức hàm số y = f (x2 − 1) có bảng biến thiên x y0 −∞ +∞ − √ − 0 + √ − +∞ + +∞ y −1 −1 Hàm sốÅ g(x) = f (2x sau ã − x) đồngÅbiến khoảng ã Å đây?ã 1 1 A −√ ; √ B −∞; − √ C √ ;1 6 6 Å ã D − √ ; +∞ Câu 140 Cho hàm số y = f (x2 − 2) hàm số bậc có bảng biến thiên sau x y0 −∞ + −1 0 − f (−1) + +∞ − f (−1) y −∞ f (−2) Hàm số g(x) = f (x3 − 3x + 3) đồng biến khoảng sau đây? A (−∞; −2) B (−2; 1) C (1; 2) p Lê Quang Xe 28 −∞ D (−1; +∞) Ô SĐT: 0967.003.131 MỤC LỤC | Dạng Tính đơn điệu hàm giá trị tuyệt đối Hàm số y = |f (x)| đồng biến đoạn [a; +∞) ® a) y (α) ≥ 0, ∀x ∈ [α; +∞) y(α) ≥ ® b) y (α) ≤ 0, ∀x ∈ [α; +∞) y(α) ≤ y y y = f (x) y = |f (x)| α α x x y = f (x) Hàm số y = |f (x)| đồng biến (α; β) ® a) y (α) ≥ 0, ∀x ∈ (α; β) y(α) ≥ ® b) y y (α) ≤ 0, ∀x ∈ (α; β) y(α) ≤ y y = f (x) y = |f (x)| α α x x y = f (x) Các dạng đồng biến y = |f (x)| (−∞; a], [α; β] ta thực tương tự Hàm số hỏi nghịch biến làm ngược lại Câu Có giá trị nguyên tham số m để hàm số y = |x5 − 5x2 + 5(m − 1)x − 8| nghịch biến khoảng (−∞; 1)? A B C D Câu Có giá trị nguyên dương tham số m để hàm số y = |2x3 − mx + 1| đồng biến khoảng (1; +∞)? A B C D Câu Có giá trị nguyên tham số m nhỏ 10 để hàm số y = |3x4 − 4x3 − 12x2 + m| nghịch biến khoảng (−∞; −1)? A B C D Câu Tìm tất giá trị m để hàm số y = |x4 + 2x3 + mx + 2| đồng biến khoảng (−1; +∞)? A m ≥ B m ∈ ∅ C ≤ m ≤ D m ≤ Câu Có giá trị nguyên tham m thuộc đoạn [−10; 10] để hàm số y = |−x3 + 3(m + 1)x2 − 3m(m + 2)x + m2 (m + 3)| đồng biến khoảng (0; 1)? A 21 B 10 C D Câu Có số nguyên m thuộc khoảng (−4; 4) để hàm số y = x − x + mx + đồng biến (1; +∞)? p Lê Quang Xe 29 Ơ SĐT: 0967.003.131 TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ A B C Câu Tổng tất giá trị nguyên thuộc [−5; 5] g(x) = x3 + (m − 1)x2 + (2m − 3)x − đồng biến (1; 5) 3 A B −1 C D m để hàm số D Câu Cho hàm số y = |x3 − 3(m + 2)x2 + 3m(m + 4)x| Có giá trị nguyên thuộc đoạn [−2019; 2019] tham số thực m để hàm số đồng biến khoảng (0; 4)? A 4033 B 4032 C 2018 D 2016 Câu Có giá trị nguyên dương m < để hàm số y = x + x + x + m đồng biến (0, +∞)? A B C D Câu 10 Có số nguyên dương m để hàm số y = |x5 − mx + 4| đồng biến khoảng (1; +∞)? A B C D Câu 11 Có số nguyên m thuộc khoảng (−10; 10) để hàm số y = |2x3 − 2mx + 3| đồng biến khoảng (1; +∞)? A 12 B C 11 D Câu 12 Cho hàm số y = |x5 − mx + 1| Gọi S tập tất số nguyên dương m cho hàm số đồng biến [1; +∞) Tính tổng tất phần tử S A 15 B 14 C 12 D 13 Câu 13 Cho hàm số f (x) = |x2 − 2mx + m + 2| Có giá trị nguyên tham số m thuộc [−9; 9] để hàm số đồng biến khoảng (0; 2)? A B C 16 D 1 Câu 14 Cho hàm số f (x) = − x3 + (2m + 3)x2 − (m2 + 3m)x + Có giá trị nguyên 3 tham số m thuộc [−9; 9] để hàm số nghịch biến khoảng (1; 2)? A B C 16 D Câu 15 Có giá trị nguyên m ∈ (−20; 20) để hàm số y = |3x4 − 4x3 − 12x2 + m| nghịch biến khoảng (1; +∞) A B 30 C D 15 Câu 16 Có giá trị ngun khơng âm m để hàm số y = |x4 − mx2 + 9| đồng biến khoảng (1; +∞) A B C D 1 Câu 17 Cho hàm số y = x3 − (m + 3) x2 + (2m + 3) x − Gọi S tập hợp tất giá trị nguyên dương m để hàm số cho đồng biến khoảng (4; +∞) Chọn mệnh đề sai? A S có phần tử B Tổng giá trị m thuộc S C Tích giá trị m thuộc S D Giá trị m lớn thuộc S Câu 18 Cho hàm số f (x) = |x3 − (2m − 5) x + 2018| Có giá trị nguyên tham số m thuộc [−2019; 2019] để hàm số đồng biến khoảng (1; 3)? A 3032 B 4039 C D 2021 Câu 19 Có tất giá trị nguyên m để hàm số y = g(x) = |x3 − (m + 1) x2 + 3m (m + 2) x| đồng biến nửa đoạn [0; +∞) biết −2021 ≤ m ≤ 2021? A 2020 B 2021 C 2022 D 2019 p Lê Quang Xe 30 Ô SĐT: 0967.003.131 MỤC LỤC Câu 20 Gọi S = [a ; +∞) tập tất giá trị tham số m để hàm số y = |x3 − 3x2 + mx + 3m + 1| đồng biến khoảng (−2 ; +∞) Khi a A −3 B 19 C D −2 Câu 21 Tính tổng S tất giá trị nguyên tham số m đoạn [−10; 10] để hàm số mx + đồng biến (1; +∞) y = x + m + A S = 55 B S = 54 C S = D S = x − 2m + đồng biến (1; +∞) Câu 22 Tìm m để hàm số y = x+m ß ™ 1 1 A < m ≤ B m ∈ [−1; 1] \ C −1 ≤ m < D < m ≤ 3 3 x − 2x + 2m + đồng biến Câu 23 Có số nguyên tham số m để hàm số y = x−1 [3; +∞)? A B C vô số D Câu 24 Tìm tất giá thực tham số m để hàm số y = x − + m đồng biến x [1; +∞) A m ≤ −1 B −1 ≤ m ≤ C m ≥ D m > m − 2m − đồng Câu 25 Biết tập hợp tất giá trị m cho hàm số y = x + + x+1 biến (2; +∞) [a; b] Tính a · b A −10 B −9 C D −7 x + m đồng biến khoảng Câu 26 Tìm tất giá trị thực m cho hàm số y = x+1 (1; +∞) A m < −1 B m > C −1 ≤ m ≤ D −1 ≤ m < x − 2mx + đồng biến Câu 27 Tính tổng tất giá trị nguyên dương m để hàm số y = x−1 khoảng (2; +∞) A B C D x−m đồng biến khoảng (2; +∞)? Câu 28 Có số nguyên m để hàm số y = x + m + A D − m Câu 29 Có giá trị nguyên âm m để hàm số y = x + + đồng biến x−2 [5; +∞)? A 11 B 10 C D x + x + 2m − đồng Câu 30 Có tất giá trị nguyên tham số m để hàm số y = x−1 biến khoảng (3; +∞)? A B C D Vô số x − m + đồng biến khoảng Câu 31 Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y = x+m (1; +∞) 1 A m ≤ m ≥ B < m < 2 p Lê Quang Xe B C 31 Ô SĐT: 0967.003.131 TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ≤ m ≤ 2 √ √ m Câu 32 Cho hàm số y = − x + x + + x − Có giá trị m nguyên để hàm số nghịch biến (0; 1) C < m ≤ 2 A D B C D √ Câu 33 Có giá trị nguyên tham số m ∈ (−5; 5) để hàm số y = x − − 2x − 3m nghịch biến (2; 3) ? A B C D √ Câu 34 Có giá trị nguyên tham số m ∈ [0; 10] để hàm số y = x + m x2 − 2x + đồng biến khoảng (1; +∞) ? A 11 B 10 C 12 D √ Câu 35 Cho hàm số f (x) = x2 + 2x + − x + m , m tham số thực S tập hợp tất giá trị nguyên m đoạn [−2019; 2019] để hàm số f (x) đồng biến khoảng (−1; +∞) Số phần tử tập S A 2018 B 2017 C 2019 D 4039 √ Câu 36 Cho hàm số f (x) = x2 + 2x + − x + m , m tham số thực S tập hợp tất giá trị nguyên m đoạn [−2019; 2019] để hàm số f (x) đồng biến khoảng (−1; +∞) Số phần tử tập S A 2018 B 2017 C 2019 D 4039 √ Câu 37 Có giá trị nguyên tham số m để hàm số y = x2 + 2x + + 5x − m2 + đồng biến khoảng (1; +∞)? A B C 11 D √ 2 Câu 38 Cho hàm số y = f (x) = x + + 2x + m − 5m Hỏi m thuộc khoảng khoảng sau để hàm số f (x) đồng biến (1; +∞) A (−∞; 0] B 91; C (−∞; 2) D [3; +∞) √ Câu 39 Có giá trị nguyên tham số m nhỏ 10 để hàm số y = −x2 + 6x + m đồng biến khoảng (0; 3) ? A B C D 10 m Câu 40 Tổng giá trị nguyên tham số m để hàm số y = x3 − 3x2 − 9x − + có điểm cực trị A 2016 B 1952 C −2016 D −496 Một số lưu ý Hàm số y = |f (x)| đồng biến đoạn [a; +∞) p Lê Quang Xe 32 Ơ SĐT: 0967.003.131 MỤC LỤC ® a) y (α) ≥ 0, ∀x ∈ [α; +∞) y(α) ≥ ® b) y (α) ≤ 0, ∀x ∈ [α; +∞) y(α) ≤ y y y = f (x) y = |f (x)| α α x x y = f (x) Hàm số y = |f (x)| đồng biến (α; β) ® a) y (α) ≥ 0, ∀x ∈ (α; β) y(α) ≥ ® b) y y (α) ≤ 0, ∀x ∈ (α; β) y(α) ≤ y y = f (x) y = |f (x)| α α x x y = f (x) Các dạng đồng biến y = |f (x)| (−∞; a], [α; β] ta thực tương tự Hàm số hỏi nghịch biến làm ngược lại Câu Có giá trị nguyên tham số m để hàm số y = |x5 − 5x2 + 5(m − 1)x − 8| nghịch biến khoảng (−∞; 1)? A B C D Câu Có giá trị nguyên dương tham số m để hàm số y = |2x3 − mx + 1| đồng biến khoảng (1; +∞)? A B C D Câu Có giá trị nguyên tham số m nhỏ 10 để hàm số y = |3x4 − 4x3 − 12x2 + m| nghịch biến khoảng (−∞; −1)? A B C D Câu Tìm tất giá trị m để hàm số y = |x4 + 2x3 + mx + 2| đồng biến khoảng (−1; +∞)? A m ≥ B m ∈ ∅ C ≤ m ≤ D m ≤ Câu Có giá trị nguyên tham m thuộc đoạn [−10; 10] để hàm số y = |−x3 + 3(m + 1)x2 − 3m(m + 2)x + m2 (m + 3)| đồng biến khoảng (0; 1)? A 21 B 10 C D Câu Có số nguyên m thuộc khoảng (−4; 4) để hàm số y = x − x + mx + đồng biến (1; +∞)? A B C Câu Tổng tất giá trị nguyên thuộc [−5; 5] g(x) = x3 + (m − 1)x2 + (2m − 3)x − đồng biến (1; 5) 3 p Lê Quang Xe 33 D m để hàm số Ô SĐT: 0967.003.131 TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ A B −1 C D Câu Cho hàm số y = |x3 − 3(m + 2)x2 + 3m(m + 4)x| Có giá trị nguyên thuộc đoạn [−2019; 2019] tham số thực m để hàm số đồng biến khoảng (0; 4)? A 4033 B 4032 C 2018 D 2016 Câu Có giá trị nguyên dương m < để hàm số y = x + x + x + m đồng biến (0, +∞)? B C D A Câu 10 Có số nguyên dương m để hàm số y = |x5 − mx + 4| đồng biến khoảng (1; +∞)? A B C D Câu 11 Có số nguyên m thuộc khoảng (−10; 10) để hàm số y = |2x3 − 2mx + 3| đồng biến khoảng (1; +∞)? A 12 B C 11 D Câu 12 Cho hàm số y = |x5 − mx + 1| Gọi S tập tất số nguyên dương m cho hàm số đồng biến [1; +∞) Tính tổng tất phần tử S A 15 B 14 C 12 D 13 Câu 13 Cho hàm số f (x) = |x2 − 2mx + m + 2| Có giá trị nguyên tham số m thuộc [−9; 9] để hàm số đồng biến khoảng (0; 2)? A B C 16 D 1 Câu 14 Cho hàm số f (x) = − x3 + (2m + 3)x2 − (m2 + 3m)x + Có giá trị nguyên 3 tham số m thuộc [−9; 9] để hàm số nghịch biến khoảng (1; 2)? A B C 16 D Câu 15 Có giá trị nguyên m ∈ (−20; 20) để hàm số y = |3x4 − 4x3 − 12x2 + m| nghịch biến khoảng (1; +∞) A B 30 C D 15 Câu 16 Có giá trị nguyên không âm m để hàm số y = |x4 − mx2 + 9| đồng biến khoảng (1; +∞) A B C D 1 Câu 17 Cho hàm số y = x3 − (m + 3) x2 + (2m + 3) x − Gọi S tập hợp tất giá trị nguyên dương m để hàm số cho đồng biến khoảng (4; +∞) Chọn mệnh đề sai? A S có phần tử B Tổng giá trị m thuộc S C Tích giá trị m thuộc S D Giá trị m lớn thuộc S Câu 18 Cho hàm số f (x) = |x3 − (2m − 5) x + 2018| Có giá trị nguyên tham số m thuộc [−2019; 2019] để hàm số đồng biến khoảng (1; 3)? A 3032 B 4039 C D 2021 Câu 19 Có tất giá trị nguyên m để hàm số y = g(x) = |x3 − (m + 1) x2 + 3m (m + 2) x| đồng biến nửa đoạn [0; +∞) biết −2021 ≤ m ≤ 2021? A 2020 B 2021 C 2022 D 2019 Câu 20 Gọi S = [a ; +∞) tập tất giá trị tham số m để hàm số y = |x3 − 3x2 + mx + 3m + 1| đồng biến khoảng (−2 ; +∞) Khi a A −3 B 19 C D −2 p Lê Quang Xe 34 Ô SĐT: 0967.003.131 MỤC LỤC Câu 21 Tính tổng S tất giá trị nguyên tham số m đoạn [−10; 10] để hàm số mx + đồng biến (1; +∞) y = x + m + A S = 55 B S = 54 C S = D S = x − 2m + đồng biến (1; +∞) Câu 22 Tìm m để hàm số y = x+m ß ™ 1 1 A B m ∈ [−1; 1] \ D < m ≤ C −1 ≤ m < < m ≤ 3 3 x − 2x + 2m + đồng biến Câu 23 Có số nguyên tham số m để hàm số y = x−1 [3; +∞)? A B C vô số D Câu 24 Tìm tất giá thực tham số m để hàm số y = x − + m đồng biến x [1; +∞) A m ≤ −1 B −1 ≤ m ≤ C m ≥ D m > m2 − 2m − Câu 25 Biết tập hợp tất giá trị m cho hàm số y = x + + đồng x+1 biến (2; +∞) [a; b] Tính a · b A −10 B −9 C D −7 x + m đồng biến khoảng Câu 26 Tìm tất giá trị thực m cho hàm số y = x+1 (1; +∞) A m < −1 B m > C −1 ≤ m ≤ D −1 ≤ m < x − 2mx + đồng biến Câu 27 Tính tổng tất giá trị nguyên dương m để hàm số y = x−1 khoảng (2; +∞) A B C D x−m đồng biến khoảng (2; +∞)? Câu 28 Có số nguyên m để hàm số y = x + m + A B C D − m đồng biến Câu 29 Có giá trị nguyên âm m để hàm số y = x + + x−2 [5; +∞)? A 11 B 10 C D x + x + 2m − đồng Câu 30 Có tất giá trị nguyên tham số m để hàm số y = x−1 biến khoảng (3; +∞)? A B C D Vô số x − m + đồng biến khoảng Câu 31 Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y = x+m (1; +∞) 1 A m ≤ m ≥ B < m < 2 1 C < m ≤ D ≤ m ≤ 2 p Lê Quang Xe 35 Ơ SĐT: 0967.003.131 TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ √ √ m Câu 32 Cho hàm số y = − x + x + + x − Có giá trị m nguyên để hàm số nghịch biến (0; 1) A B C D √ Câu 33 Có giá trị nguyên tham số m ∈ (−5; 5) để hàm số y = x2 − − 2x − 3m nghịch biến (2; 3) ? A B C D √ Câu 34 Có giá trị nguyên tham số m ∈ [0; 10] để hàm số y = x + m x2 − 2x + đồng biến khoảng (1; +∞) ? A 11 B 10 C 12 D √ Câu 35 Cho hàm số f (x) = x2 + 2x + − x + m , m tham số thực S tập hợp tất giá trị nguyên m đoạn [−2019; 2019] để hàm số f (x) đồng biến khoảng (−1; +∞) Số phần tử tập S A 2018 B 2017 C 2019 D 4039 √ Câu 36 Cho hàm số f (x) = x2 + 2x + − x + m , m tham số thực S tập hợp tất giá trị nguyên m đoạn [−2019; 2019] để hàm số f (x) đồng biến khoảng (−1; +∞) Số phần tử tập S A 2018 B 2017 C 2019 D 4039 √ Câu 37 Có giá trị nguyên tham số m để hàm số y = x2 + 2x + + 5x − m2 + đồng biến khoảng (1; +∞)? A B C 11 D √ Câu 38 Cho hàm số y = f (x) = x2 + + 2x + m2 − 5m Hỏi m thuộc khoảng khoảng sau để hàm số f (x) đồng biến (1; +∞) A (−∞; 0] B 91; C (−∞; 2) D [3; +∞) √ Câu 39 Có giá trị nguyên tham số m nhỏ 10 để hàm số y = −x + 6x + m đồng biến khoảng (0; 3) ? A B C D 10 m Câu 40 Tổng giá trị nguyên tham số m để hàm số y = x3 − 3x2 − 9x − + có điểm cực trị A 2016 B 1952 C −2016 D −496 Câu Tìm tất giá trị m để hàm số h π 41 π − ; 29 29 A m≤ B m> 8 Câu 42 Có giá trị nguyên m thuộc y = |ln 3x − 4x2 + m| đồng biến đoạn [1; e2 ] A 101 B 102 y = |8tan x + · 2tan x − m + 2| đồng biến 29 29 D m≥ 8 khoảng (−100; 100) tham số m để hàm số C m< C 103 D 100 Câu 43 Có số nguyên m < 200 để hàm số y = |ln(mx) − x + 2| nghịch biến (1; 4)? A 2018 B 2019 C D Vơ số Câu 44 Có giá trị nguyên m thuộc y = |ln (x2 − 2x + m) − 2mx2 − 1| đồng biến (0; 10) A 4038 B 2020 C 2017 p Lê Quang Xe 36 (−2020; 2020) để hàm số D 2018 Ơ SĐT: 0967.003.131 MỤC LỤC Câu 45 Có giá trị nguyên tham số m đoạn [−3; 3] để tham số y = |ln (x3 + mx + 2)| đồng biến nửa khoảng [1; 3) A B C D Câu 46 Cho hàm số y = |ln (x2 − mx − m) Å − 1|.ãCó giá trị nguyên thuộc khoảng (−10; 10) tham số m để hàm số đồng biến − ; ? A 10 B C D Câu 47 Tổng giá trị tham số m nguyên thuộc [−5; 5] cho hàm số y = |ln (x3 − 3x + m) + 1| nghịch biến [0; 1] A 10 B 11 C 12 D 13 Câu 48 Có giá trị nguyên tham số m y = |log3 (x2 − x2 − mx + 1)| đồng biến [1; +∞) A 50 B 100 C 52 ∈ [−10; 10] để hàm số D 105 Câu 49 Tổng giá trị nguyên m [−10; 10] để hàm số y = g(x) = |ln (x2 + x + m) + x| đồng biến (−1; 3) A 50 B 100 C 52 D 105 Câu 50 Gọi S tập hợp chứa tất giá trị nguyên tham số m ∈ [−2021; 2021] để phương x x+1 x+3 trình + + − |x + 3| + x − m = có nghiệm thực x Số phần tử tập S x+1 x+2 x+4 là: A 2018 B 2021 C 2019 D 2022 √ Câu 51 Có giá trị nguyên m ∈ [−2020; 2020] để hàm số y = x2 + − mx − đồng biến khoảng (1; 2)? A 4042 B 4039 C 4040 D 4041 Câu 52 Có giá trị m nguyên để hàm số y = f (x) = |x3 − 3x2 + (m2 + 5) x + (12 − 3m2 ) cos x| đồng biến (0; π)? A B C D Vô số π π Câu 53 Các giá trị tham số m để hàm số y = |sin x − cos x + m| đồng biến khoảng − ; √ √ A m > B m ≥ C m > D m ≥ Câu 54 Cho hàm số y= sin x − m · sin x + Gọi S tập hợp tất số tự nhiên m cho π hàm số đồng biến 0; Tính số phần tử S A B C D Câu 55 Có giá trị nguyên m thuộc [−5; 5] để hàm số y = |cos3 x − 3m2 cos x| nghịch π biến 0; ? A B 11 C D Câu 56 Có giá trị nguyên dương m để y = |9x + 3x − m + 1| đồng biến đoạn [0; 1]? A B C D Câu 57 Có giá trị m nguyên dương nhỏ 2020 để hàm số y = |4x − m · 2x+1 + m + 2| đồng biến khoảng (0; 1)? A 2018 B 2019 C D p Lê Quang Xe 37 Ơ SĐT: 0967.003.131 TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ 2x+2 x+1 x−1 x−1 Câu 58 Cho hàm số y = e + 3e − 2m + (1) Có giá trị nguyên dương tham số m để hàm số nghịch biến khoảng (2; 4)? A 234 B Vô số C 40 D Không tồn m −x2 x2 Câu 59 Có giá trị nguyên dương m ∈ (−2019; 2020), để hàm số y = e − e − m nghịch biến (1; e)? A 401 B C 2019 D 2016 Câu 60 Giá trị lớn m để hàm số y = |ex + e2x − m| đồng biến (1; 2) A e B e + e2 C e2 D p Lê Quang Xe 38 Ô SĐT: 0967.003.131 MỤC LỤC BÀI CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ AA A LÝ THUYẾT Định nghĩa Định nghĩa 2.1 Giả sử hàm số f xác định tập K x0 ∈ K Ta nói: x0 điểm cực tiểu hàm số f tồn khoảng (a; b) chứa x0 cho (a; b) ⊂ K f (x) > f (x0 ) , ∀x ∈ (a; b) \ {x0 } Khi f (x0 ) gọi giá trị cực tiểu hàm số f x0 điểm cực đại hàm số f tồn khoảng (a; b) chứa x0 cho (a; b) ⊂ Kvà f (x) < f (x0 ) , ∀x ∈ (a; b) \ {x0 } Khi f (x0 ) gọi giá trị cực đại hàm số f Điểm cực đại điểm cực tiểu gọi chung điểm cực trị Giá trị cực đại giá trị cực tiểu gọi chung cực trị Điểm cực đại điểm cực tiểu gọi chung điểm cực trị hàm số điểm cực trị phải điểm tập hợp K Giá trị cực đại giá trị cực tiểu gọi chung giá trị cực trị (hay cực trị) hàm số Nếu x0 điểm cực trị hàm số điểm (x0 ; f (x0 )) gọi điểm cực trị đồ thị hàm số f Quy tắc tìm cực trị Quy tắc L Bước 1: Tìm tập xác định Tìm f (x) L Bước 2: Tìm điểm xi (i = 1; 2; ) mà đạo hàm hàm số hàm số liên tục khơng có đạo hàm L Bước 3: Lập bảng biến thiên bảng xét dấu f (x) Nếu f (x) đổi dấu qua xi hàm số đạt cực trị xi Định lí 2.1 Giả sử y = f (x) có đạo hàm cấp hai khoảng (x0 − h; x0 + h) với h > Khi đó: Nếu f (x0 ) = 0, f 00 (x0 ) < hàm số f đạt cực đại x0 Nếu f (x0 ) = 0, f 00 (x0 ) > hàm số f đạt cực tiểu x0 Quy tắc hai L Bước 1: Tìm tập xác định Tìm f (x) L Bước 2: Tìm nghiệm xi (i = 1; 2; ) phương trình f (x) = L Bước 3: Tính f 00 (x) tính f 00 (xi ) ○ Nếu f 00 (xi ) < hàm số f đạt cực đại điểm xi ○ Nếu f 00 (xi ) > hàm số f đạt cực tiểu điểm xi p Lê Quang Xe 39 Ô SĐT: 0967.003.131 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ AA B VÍ DỤ d Ví dụ Hàm số y = x3 + x2 − 3x + đạt cực tiểu điểm A x = −1 B x = C x = −3 D x = Ê Lời giải Tập xác định: D = R ñ x=1 y = x + 2x − 3; y = ⇔ x = −3 y 00 = 2x + 2; y 00 (−3) = −4 < 0; y 00 (1) = > Suy hàm số đạt cực tiểu điểm x = Chọn đáp án B 0 d Ví dụ Cho hàm số y = x3 − (m + 1) x2 + (7m − 3) x Gọi S tập hợp tất giá trị nguyên tham số m để hàm số khơng có cực trị Số phần tử S A B C D vô số Ê Lời giải y = 3x − (m + 1) x + (7m − 3) Ta có: y = ⇔ x2 − (m + 1) x + 7m − = (2) Hàm số cho khơng có cực trị phương trình y = vơ nghiệm có nghiệm kép ∆0(2) ≤ ⇔ (m + 1)2 − · (7m − 3) ≤ ⇔ m2 − 5m + ≤ ⇔ ≤ m ≤ Do m ∈ Z nên m ∈ {1; 2; 3; 4} Vậy tập có phần tử Chọn đáp án B d Ví dụ Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm f (x) = (x2 − 1) (x − 4) với x ∈ R Hàm số g(x) = f (3 − x) có điểm cực đại? A B C D Ê Lời giải Từ giả thiết, ta có bảng biến thiên hàm số f (x) x −∞ f (x) −1 − + +∞ − + f (x) Ta có g(x) = f (3 − x) ⇒ g (x) = −f (3 − x) Từ bảng biến thiên hàm số f (x) ta có đ ñ − x ≤ −1 x≥4 g (x) ≥ ⇔ f (3 − x) ≤ ⇔ ⇔ 1≤3−x≤4 −1≤x≤2 0 Như ta có bảng biến thiên hàm số g(x) p Lê Quang Xe 40 Ô SĐT: 0967.003.131 MỤC LỤC x −∞ g (x) −1 − + 0 +∞ − + g(x) Từ bảng biến thiên, ta nhận thấy hàm số g(x) có điểm cực đại Chọn đáp án B d Ví dụ Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên sau x −∞ y0 −1 + − +∞ + − y −∞ −1 Số điểm cực trị hàm số y = |f (x)| A B C D Ê Lời giải Gọi đồ thị hàm số y = f (x) (C) Đặt g(x) = |f (x)| gọi (C ) đồ thị hàm số y = g(x) Đồ thị (C ) suy từ đồ thị (C) sau: ○ Giữ nguyên phần đồ thị (C) phía Ox ta phần I ○ Với phần đồ thị (C) phía Ox ta lấy đối xứng qua Ox, ta phần II ○ Hợp phần I phần II ta (C ) Từ cách suy đồ thị (C ) từ (C), kết hợp với bảng biến thiên hàm số y = f (x) ta có bảng biến thiên hàm số y = g(x) = |f (x)| sau: x −∞ a +∞ −1 b c 1 +∞ y = |f (x)| 0 Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số y = |f (x)| có điểm cực trị Chọn đáp án B p Lê Quang Xe 41 Ô SĐT: 0967.003.131 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ m x5 − (2m − 1) x4 − x3 + 2019 Có giá trị tham số d Ví dụ Cho hàm số y = m để hàm số đạt cực tiểu x = 0? A Vô số B C D Ê Lời giải Ta có y = x − (2m − 1) x − mx = x [x − (2m − 1) x − m] Dễ thấy x = nghiệm y = Do hàm số đạt cực tiểu x = y đổi dấu từ âm sang dương qua nghiệm x = Ta thấy dấu y dấu hàm số g(x) = x2 − (2m − 1) x − m Hàm số g(x) đổi dấu qua giá trị x = x = nghiệm g(x) Khi g(0) = ⇔ m = Thử lại, với m = g(x) = x2 + 4x đổi dấu từ âm sang dương qua giá trị x = Vậy có giá trị m thỏa mãn yêu cầu toán Chọn đáp án B 2 d Ví dụ Tìm tất giá trị m để đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu đồ thị hàm số y = x3 − 3mx + cắt đường trịn tâm I (1; 1), bán kính R = hai điểm phân biệt A, B cho diện √ tích tam giác IAB đạt √ giá trị lớn nhất? √ √ 1± 2± 2± 2± A m= B m= C m= D m= 2 Ê Lời giải Ta có y = x − 3mx + ⇒ y = 3x − 3m Hàm số y = x3 − 3mx + có điểm cực trị y = có hai nghiệm phân biệt ⇔ m > (1) Ta có y = x · y − 2mx + Suy phương trình đường thẳng ∆ qua hai điểm cực đại cực tiểu y = −2mx + ⇔ 2mx + y − = B I A Đường thẳng ∆ cắt đường trịn tâm I (1; 1), bán kính R = hai điểm phân biệt A, B √ |2m − 1| d (I; ∆) < R ⇔ √ < ⇔ |2m − 1| < 4m2 + ⇔ −4m < (∗) 4m2 + 1 ‘ = · sin AIB ‘ ≤ · IA · IB · sin AIB 2 ‘ = ⇔ AIB ‘ = 90◦ Dấu xảy ⇔ sin AIB Khi tam giác IAB vng cân I có IA = nên √ √ √ |2m − 1| 2± 2 d (I; ∆) = ⇔√ = ⇔ 4m − 8m + = ⇔ m = thỏa mãn điều kiện (1) 2 4m2 + Do m > nên (∗) ln Ta có S4IAB = p Lê Quang Xe 42 Ô SĐT: 0967.003.131 MỤC LỤC √ 2± Vậy diện tích tam giác IAB đạt giá trị lớn m = Chọn đáp án B d Ví dụ Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y = x4 + (m − 2) x2 + 3m − có ba điểm cực trị A m ∈ (2; +∞) B m ∈ (−2; 2) C m ∈ (−∞; 2) D m ∈ (0; 2) Ê Lời giải Ta có y =đ 4x + (m − 2) x = 4x (x + m − 2) x=0 y0 = ⇔ x = − m (1) Để hàm số có ba điểm cực trị phương trình y = có ba nghiệm phân biệt Suy phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác ⇔ − m > ⇔ m < Chọn đáp án C d Ví dụ Cho hàm số f (x) có đạo hàm f (x) = (x + 1)2 (x2 − 4x) Có giá trị nguyên dương tham số m để hàm số g(x) = f (2x2 − 12x + m) có điểm cực trị? A 18 B 17 C 16 D 19 Ê Lời giải x = −1 Ta có: f (x) = ⇔ (x + 1)2 (x2 − 4x) = ⇔ x = , x = −1 nghiệm kép x=4 g(x) = f (2x − 12x + m) ⇒ g (x) = (4x − 12) f (2x2 − 12x + m) x=3 x=3 2x2 − 12x + m = −1 2x2 − 12x + m = −1 (l) Xét g (x) = (∗) ⇔ ⇔ 2x − 12x + m = 2x − 12x = −m (1) 2x2 − 12x + m = 2x2 − 12x = − m (2) (Điểm cực trị hàm số g(x) nghiệm bội lẻ (∗) nên ta loại phương trình 2x2 − 12x + m = −1) Xét hàm số y = 2x2 − 12x có đồ thị (C) có y = 4x − 12 Ta có bảng biến thiên x y0 −∞ +∞ − +∞ + +∞ y −18 Để g(x) có điểm cực trị phương trình (1); (2) có hai nghiệm phân biệt khác Do đó, đường thẳng y = − m y = −m phải cắt đồ thị (C) điểm phân biệt có hồnh độ khác Nhận xét: đường thẳng y = − m nằm đường thẳng y = −m Ta có −18 < −m ⇔ m < 18 Vậy có 17 giá trị m nguyên dương Chọn đáp án B d Ví dụ Cho hàm số y = f (x) = x3 − (2m − 1) x2 + (8 − m) x + với m ∈ R Tập hợp tất giá trị m để hàm số y = f (|x|) có cực trị khoảng (a; b) Tích a · b p Lê Quang Xe 43 Ô SĐT: 0967.003.131 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ A 12 B 16 C 10 D 14 Ê Lời giải Ta có y = x − (2m − 1) x + − m Vì f (|x|) hàm chẵn ( f (|−x|) = f (|x|)), nên đồ thị hàm f (|x|) đối xứng qua trục Oy Do đó, hàm f (x) có hai cực trị dương hàm f (|x|) có thêm hai cực trị đối xứng qua trục Oy cực trị cịn lại giao điểm đồ thị hàm f (|x|) trục Oy Yêu cầu toán tương đương với phương trình y = có nghiệm dương phân biệt Điều kiện tương đương với m < −1 Å ã m> 4m − 3m − > ∆ > S > ⇔ 2m − > ⇔ ⇔m∈ ;8 m> 8−m>0 P >0 m 0, c > 2018 a + b + c < 2018 Số điểm cực trị hàm số y = |f (x) − 2018| A B C D x Câu 30 Hàm số f (x) = − m có nhiều điểm cực trị? x +1 A B C D Câu 31 Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm f (x) = (x2 − 1)(x − 4) với x ∈ R Hàm số g(x) = f (3 − x) có điểm cực đại? A B C D Câu 32 Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục R bảng xét dấu đạo hàm x f (x) −∞ −2 − +∞ + − Hàm số y = 3f (−x4 + 4x2 − 6) + 2x6 − 3x4 − 12x2 có tất điểm cực tiểu? A B C D p Lê Quang Xe 47 Ô SĐT: 0967.003.131 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ | Dạng Cực trị hàm tổng hàm hợp Câu 33 Cho hàm số y = f (x) liên tục R có bảng xét dấu đạo hàm f (x) sau x −∞ f (x) − −1 0 + − +∞ + Hàm số g (x) = f (x2 − 2x + − |x − 1|) có điểm cực trị? A B C D 10 Câu 34 Cho hàm số y = f (x) liên tục R biết f (1) > có đồ thị hình bên Có giá trị nguyên tham số m ∈ (−2020; 2021) để hàm số 3 g(x) = f (x) + f (x) + m có tất điểm cực trị A B C D y x O Câu 35 Cho hàm số y = f (x) liên tục R có bảng biến thiên sau x −∞ f (x) + − + − +∞ + +∞ f (x) −∞ Hàm số y = [f (x)]3 − [f (x)]2 + 12f (x) + 2021 có điểm cực đại? A B 10 C D Câu 36 Cho hàm số bậc bốn f (x) có bảng biến thiên sau x −∞ f (x) + −1 0 − + +∞ − f (x) −∞ −1 Số điểm cực tiểu hàm số g (x) = [f (x − 1)]2 + 2021 A B C −∞ D ¶ √ © Câu 37 Cho hàm số f (x) xác định liên tục R \ ± , thỏa mãn − x3 = 2x2 f (x) + xf (x) − f (x) f (1) = Hàm số g (x) = [f (2x − 1)]2 có điểm cực tiểu? A B C D Câu 38 p Lê Quang Xe 48 Ô SĐT: 0967.003.131 MỤC LỤC Cho hàm số bậc năm y = f (x) có đồ thị f (x) hình vẽ bên Tìm tất giá trị m để số điểm cực trị hàm số g (x) = f (x2 − 3x + m) Å ã 17 A (2; +∞) B −∞; Å ã Å ã4 9 17 ; C −∞; D 4 y x O −1 Câu 39 Cho hàm số y = f (x) liên tục R có đạo hàm f (x) = (x − 12)2020 (x2 − 2x) Có giá trị nguyên m ∈ (−2020; 2020) để hàm số y = f (x2 − 2020x + 2021m) có điểm cực trị dương A 4038 B 2021 C 2020 D 2019 Câu 40 Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm R Đồ thị hàm số y = f (x) hình vẽ bên Số điểm cực trị hàm số y = |g(x)| = |2f (x + 2) + (x + 1)(x + 3) + log2 2021| A B C D y −1 O x −1 −2 Câu 41 Cho hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d có đồ thị hình vẽ bên Có giá trị m nguyên để hàm số y = f (|f (x) − 2f (x) − m|) có 17 cực trị A B C D y −2 x O −1 Câu 42 Cho f (x) hàm số bậc bốn thỏa mãn f (0) = Hàm số f (x) có bảng biến thiên sau x −∞ +∞ −2 −1 13 f (x) −∞ Hàm số g (x) = |f (x3 ) + 6x| có điểm cực trị? A B C p Lê Quang Xe +∞ 49 D Ô SĐT: 0967.003.131 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Câu 43 Cho f (x) hàm số bậc bốn thỏa mãn f (0) = Hàm số f (x) có bảng biến thiên sau x −∞ +∞ −2 −1 +∞ f (x) −∞ Tìm m nguyên để hàm số g (x) = |f (x3 ) + 3m2 x + m − 1| có nhiều điểm cực trị Thì giá trị m nhỏ thỏa mãn thuộc khoảng đây? Å Å ã ã 3 A (−2; 0) B (−1; 1) C 1; D ;3 2 Câu 44 Cho hàm số y = f (x) có đồ thị hàm số y = f (x) hình vẽ bên Hàm số g (x) = (|x| + |x2 − 1|) có điểm cực đại? A B C D y −1 Câu 45 Cho hàm số bậc bốn y = f (x) có đồ thị hình vẽ bên Số điểm cực trị hàm số g (x) = 8f (x3 − 3x + 3) − (2x6 − 12x4 + 16x3 + 18x2 − 48x + 1) A B C D x O y −1 x O Câu 46 Cho hai hàm số bậc bốn y = f (x) y = g(x) có đồ thị hình bên Số điểm cực trị hàm số h (x) = f (x)+g (x)−2f (x) g (x) A B C D y −1 x O x0 −3 Câu 47 p Lê Quang Xe 50 Ô SĐT: 0967.003.131 MỤC LỤC Cho hàm số bậc ba y = f (x) có đồ thị hình vẽ bên Gọi S tập hợp ägiá trị nguyên tham số m để hàm Ä tất số y = f (x − 1) + m có điểm cực trị Tổng phần tử S A B C D 10 y x −1 O Câu 48 Cho hàm số y = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e, (a 6= 0) có đồ thị đạo hàm f (x) hình vẽ bên Biết e > n Số điểm cực trị hàm số y = f (f (x) − 2x) A B 10 C 14 D y y = f (x)2 m x n O Câu 49 Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên sau x −∞ f (x) +∞ − −2 + +∞ − f (x) −∞ 2 Số điểm cực đại hàm số g (x) = [f (2x2 + x)] A B C D Câu 50 Cho hàm số bậc bốn trùng phương f (x) có bảng biến thiên sau x −∞ f (x) − +∞ −1 0 + − +∞ + +∞ f (x) −1 −1 [f (x) − 1]4 x B Số điểm cực trị hàm số y = A C D Câu 51 p Lê Quang Xe 51 Ô SĐT: 0967.003.131 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Cho hàm số y = f (x) có đồ thị hình vẽ bên Tìm tất giá trị tham số m để đồ thị hàm số h (x) = |f (x) + f (x) + m| có cực trị 1 A m≥ B m ≤ C m < D m> 4 y y = f (x) x O Câu 52 Cho hàm số bậc bốn y = f (x) có bảng biến thiên sau x y0 −∞ + −1 0 − + +∞ − y −∞ −1 −∞ (x − 2)4 Số điểm cực trị hàm số g (x) = [f (x + 1)]3 A B C D Câu 53 Cho hàm số y = f (x) liên tục khoảng (−∞; 2) (2; +∞) có đồ thị hình vẽ Số điểm cực trị hàm số g (x) = f (|2x − 1| + 2) A B C D y x=2 2 O −1 − x Câu 54 Cho hàm đa thức bậc bốn y = f (x), hàm số y = f (x) có đồ thị hình vẽ bên Số điểm cực tiểu hàm số g (x) = f (x4 ) − 2x3 + A B C D y f (x) O x −2 Câu 55 p Lê Quang Xe 52 Ô SĐT: 0967.003.131 MỤC LỤC Cho hàm bậc ba y = f (x) có đồ thị hình vẽ bên Số điểm cực trị hàm số y = [xf (x − 1)]2 A B C D y O x −1 Câu 56 Cho bảng biến thiên hàm số f (2x − 1) hình vẽ bên x −∞ −1 +∞ y −∞ −1 −∞ √ Số điểm cực trị hàm số f − 4x − x2 tương ứng A B C D Câu 57 Cho bảng biến thiên hàm số f (3 − 2x) hình vẽ bên x −∞ −1 +∞ +∞ +∞ y −1 −2 Hỏi hàm số f (x2 − 2x) đồng biến khoảng đây? A (−2; 0) B (1; 2) C (2; +∞) D (−∞; −2) Câu 58 Cho hàm số f (x) liên tục xác định R Biết hàm số f (x) có điểm cực trị x = a; x = − a Bên cho bảng biến thiên hàm số f (x2 − 2x + 3) Số điểm cực trị hàm số f (x2 − 3x2 + 1) x x0 −∞ + 2x0 +∞ y −∞ A −1 B −∞ C D Câu 59 Cho bảng biến thiên hàm số f (x) hình vẽ x −∞ −2 +∞ f (x) −∞ −1 Số điểm cực trị hàm số g(x) = x4 · [f (x)]2 A B p Lê Quang Xe C 53 −∞ D Ô SĐT: 0967.003.131 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Câu 60 Cho bảng biến thiên hàm số f (x) hình vẽ x −∞ −2 +∞ 2 f (x) −∞ −4 Số điểm cực trị hàm số g(x) = x2 · [f (x + 2)]6 A B 12 −∞ C D Câu 61 Cho đồ thị hàm đa thức y = f (x) hình vẽ Hỏi hàm sốg (x) = f (x)·f (2x + 1) có tất điểm cực trị? A B C D y f (x) −3 x O Câu 62 Cho bảng biến thiên hàm đa thức f (x) hình vẽ x −∞ −2 −1 +∞ +∞ f (x) −∞ −2 −2 Số điểm cực trị hàm số g (x) = (x − 2)3 [f (x − 1)]2 A B C D Câu 63 Cho hàm số y = f (x) liên tục R Biết đồ thị hàm số y = f (x2 − x) hình vẽ Hỏi hàm số y = f (x2 − 2mx − |x − m| + m2 ) có tất điểm cực trị A B C D y f (x2 − 2x) x O Câu 64 p Lê Quang Xe 54 Ô SĐT: 0967.003.131 MỤC LỤC Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục R Biết đồ thị hàm số f (x) cho hình vẽ Gọi S tập giá trị nguyên tham số m để hàm số y = f (− |x + 2021m| − 2m + 1) có điểm cực trị Số phần tử S A B C D y f (x) −1 x O Câu 65 Cho đồ thị hàm số y = f (x) hình vẽ Hỏi có giá trị thực tham số m cho hàm số y = f (x3 − mx2 − 5x + 4m) có điểm cực trị? A B C D y f (x) x −2 O Câu 66 Cho bảng biến thiên hàm số f (x) hình vẽ bên x −∞ +∞ +∞ +∞ f (x) −5 −2 Hỏi có tất giá trị nguyên tham số m để hàm số y = [f (x) − m]3 − 3f (x) có điểm cực trị? A B C D Câu 67 Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục xác định R, có đồ thị hàm số hình vẽ bên Gọi S tập hợp chứa giá trị nguyên tham số m để hàm số y = (f (x))3 − m (f (x))2 − (2m − 3) f (x) + 2021 có điểm cực trị Số phần tử tập S A 11 B C 10 D y y = f (x) x O p Lê Quang Xe 55 Ô SĐT: 0967.003.131 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Câu 68 Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục xác định R, đồ thị hàm số y = f (x) hình vẽ Gọi S tập giá trị nguyên tham số m ∈ [−20; 20] để hàm số y = f (x) − (m + 2) f (x) − 3m + 12 có điểm cực trị Số phần tử tập S A 35 B 32 C 33 D 34 y y = f (x) x O −3 Câu 69 Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục xác định R, đồ thị hàm số y = f (x) hình vẽ Gọi S tập giá trị nguyên tham số m ∈ [−20; 20] để hàm số y = (f (x) + m)2 có điểm cực trị Số phần tử tập S A 20 B 22 C 21 D 19 y y = f (x) −2 O −2 x Câu 70 Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục xác định R có bảng biến thiên hàm số hình vẽ Hàm số y = [f (x)]3 + [f (x)]2 + 2021 có điểm cực tiểu? x −∞ −2 +∞ +∞ +∞ f (x) −3 −4 A B C D Câu 71 Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục R có đồ thị y = f (x) hình vẽ Biết f (10) = 30f (−6) = 30f (5) = 30 Hỏi hàm số y = f (f (x) − 3x + 9) có tất điểm cực trị? A B C D y −5 c O b a x Câu 72 Cho hàm số y = f (x) liên tục R có bảng biến thiên sau Hỏi hàm số y = f (x3 − 3x2 + 1) có điểm cực trị? p Lê Quang Xe 56 Ô SĐT: 0967.003.131 MỤC LỤC x −∞ −3 +∞ −2 f (x) −∞ A −6 B −∞ C D Câu 73 Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục R có đồ thị hàm số y = f (x) hình vẽ Gọi ÄS tập chứaätất giá trị nguyên tham số m để hàm số f 2x −3x+2 + m có điểm cực trị Số phần tử tập S A B C D 10 y f (x) −2 O x Câu 74 Chohàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục và xác định toàn R Biết biểu thức đạo m m 2 x − 4x + + Gọi S tập hợp giá trị nguyên tham hàm f (x) = x − 5x + − 4 số m để hàm số f (|x|) có điểm cực trị Số phần tử tập S A 31 B 35 C 33 D 37 Câu 75 Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên hình vẽ Hỏi có tất giá tị nguyên tham số m để hàm số g(x) = f (x) − 3mf (x) + 11 − 2m có điểm cực trị? x −∞ −3 +∞ 1 f (x) −∞ A −3 B −∞ C D Câu 76 Cho hàm số y = f (x) có đồ thị hình vẽ Đặt f (x) = −2x xZ g(t) dt Số điểm cực trị hàm số f (x) tương ứng 2018 A B C y g(x) D −3 O x Câu 77 Cho hàm số f (x) = x3 − 3x + Hỏi có tất giá trị nguyên tham số m ∈ [−60; 60] để phương trình f (x2 − 2mx + 1) có điểm cực trị? A B C D Câu 78 Cho hàm số f (x) = |x3 − 3mx2 + (2m − 1) x − m| Hỏi có tất giá trị nguyên tham số m ∈ [−2022; 2022] để hàm số f (x) có điểm cực trị nằm phía bên phải trục tung Oy? p Lê Quang Xe 57 Ô SĐT: 0967.003.131 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ A 2019 B 2020 C 2021 D 2022 Câu 79 Cho hàm số y = f (3 − 2x) hình vẽ Biết tất giá trị thực tham số m để hàm số f (x2 − 2m |x|) có điểm cực trị (a; b] Giá trị biểu thức P = (a2 + b2 ) A B 10 C 15 D 20 y f (3 − 2x) −3−1 O x Câu 80 Cho hàm số y = f (x) hình vẽ Hỏi có tất giá trị thực tham số m để hàm số f (x3 − mx2 − 2x + m) có điểm cực trị? A B C D y f (x) −1 O x Câu 81 Cho hàm số bậc ba có bảng biến thiên hình vẽ x −∞ y0 −2 + +∞ − +∞ − −1 y −∞ Số giá trị nguyên tham số m để hàm số y = f (x3 − |x2 − 1| + m) có 10 điểm cực trị? A B C D Câu 82 Cho hàm số bậc bốn có đồ thị hình vẽ Có tất giá trị nguyên tham số m để hàm số g(x) = f (|f (x) − 2f (x) − m|) có 51 điểm cực trị? A B C D y x O −2 −3 Câu 83 Cho hàm số bậc bốn có đồ thị hình vẽ Số điểm cực trị hàm số g(x) = x2 [f (x2 − 1)] A B C D l y −1 O x −2 Câu 84 Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm R có bảng biến thiên sau: p Lê Quang Xe 58 Ô SĐT: 0967.003.131 MỤC LỤC x −∞ u0 (x) −3 + −1 − + − +∞ + − u(x) −∞ −3 Số điểm cực đại hàm số g(x) = |f (|x2 − 8x + 7| + x2 − 3)| A B C p Lê Quang Xe 59 −∞ D Ô SĐT: 0967.003.131 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ | Dạng Bài tốn truy tìm hàm ngược Câu 85 Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục R có đồ thị hàm số y = f (3 − x) hình vẽ y −6 −3 −1 O Số điểm cực trị hàm số y = f (x2 − 2x + 3) A B x C D Câu 86 Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục R có đồ thị hàm số y = f (1 + 2x) hình vẽ y −6 −3 −1 O x Ä ä Có giá trị nguyên m ∈ [−2021; 2021] để hàm số y = f −|x|2 + |x| − 2020 + m có điểm cực trị A Khơng có giá trị B C D Câu 87 Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục R Biết hàm số g(x) = f (3 − x) có bảng biến thiên bên x g (x) g(x) −∞ − +∞ + +∞ − −4 −∞ Hàm số h(x) = f (x2 + 1) có điểm cực trị? A B C D Câu 88 Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục R Biết hàm số g(x) = f (−x3 − x) có bảng biến thiên sau p Lê Quang Xe 60 Ô SĐT: 0967.003.131 MỤC LỤC x g (x) g(x) −∞ − +∞ + − +∞ g(1) g(0) −∞ Hỏi hàm số h(x) = f (2x2 − x) có điểm cực trị? A B C D Câu 89 Cho hàm đa thức bậc ba y = f (x3 + 6) có đồ thị hình vẽ Hỏi hàm số g(x) = f (x2 + 4x) có điểm cực trị? A B C D y −1 x O Câu 90 Cho hàm số y = f (2x2 − 4x + 3) có đạo hàm liên tục R có bảng biến thiên hình sau x −∞ −5 y0 − + − +∞ +∞ + +∞ y 0 Hỏi hàm số g(x) = f (x3 + 3x2 ) có điểm cực trị? A B C D Câu 91 Cho hàm đa thức y = f (x) liên tục R, có bảng xét dấu sau x −∞ f (x + 1) −1 − + Số điểm cực đại hàm số y = f (x2 + |x| + 1) A B +∞ − 0 C + D Câu 92 Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục R hàm số y = f (3 − 4x) có bảng biến thiên sau x y0 −∞ + − y + +∞ −1 −∞ p Lê Quang Xe +∞ 61 Ô SĐT: 0967.003.131 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Số điểm cực trị hàm số y = f (x2 − 2x − 10) A B C D Câu 93 Biết đồ thị hàm y = f (1 − 4x) hình vẽ Số giá trị nguyên y m ∈ [−2021; 2021] để số điểm cực trị hàm số g(x) = f (x2 + 4x − 3m − 2) nhiều A 4040 B 2024 C 4002 D 2020 −1 x O Câu 94 Cho hàm số y = f (x) có đồ thị hàm số y = f (3 − 2x) hình vẽ Hỏi hàm số g(x) = f (|x2 − 3|) có điểm cực tiểu? A B C D y −2 Câu 95 Cho hàm số y = f (x) liên tục có đạo hàm R Hàm số g(x) = f (1−x2 ) hàm số bậc bốn có đồ thị hình vẽ Hỏi hàm số y = f (x2 − 2|x|) có điểm cực trị? A B C D y −2 Câu 96 Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục R Đồ thị hàm số y = f (5 − 2x) hình vẽ Có giá trị thực tham số m thuộc khoảng (−9; 9) thoả mãn 2m ∈ Z hàm số y = 2f (4x3 + 1) + m − có điểm cực trị? A 26 B 25 C 24 D 27 x O −1 x O y 4 O x −4 Câu 97 p Lê Quang Xe 62 Ô SĐT: 0967.003.131 MỤC LỤC Giả sử f (x) đa thức bậc bốn Đồ thị hàm số y = f (1 − x) cho hình vẽ Hỏi hàm số g(x) = f (x2 + 2) có điểm cực tiểu? A B C D y −2 x O Câu 98 Cho hàm số y = f (x2 − 2x) có bảng biến thiên hình vẽ sau x −∞ f (x2 − 2x) −3 +∞ +∞ +∞ −1 −1 Biết hàm số f (x) có hai điểm cực trị x = −2 x = a Hỏi hàm số f (x2 − 4x + 4) có điểm cực trị? A B C D Câu 99 Cho hàm đa thức y = [f (x2 + 2x)]0 có đồ thị hình vẽ Tổng giá trị nguyên m ∈ [−10; 10] để hàm số g(x) = f (|x − 2| + m) có cực trị A −52 B 55 C −55 D 56 −3 y −2 −1 Câu 100 Cho hàm số y = f (x3 − x2 − 2x + 3) hàm số bậc có đồ thị đường cong hình vẽ Biết f (0) > 0, f (−1) < 0, hỏi hàm số g(x) = |f (x4 − 2x2 )| có điểm cực tiểu? A B C D x O y O x −1 Câu 101 Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm R f (x) có bảng biến thiên sau x f (x) −∞ −1 +∞ +∞ −3 −1 Hỏi hàm số g(x) = f (|e2x − 2x − 2|) có điểm cực trị? A +∞ B 11 C D Câu 102 p Lê Quang Xe 63 Ô SĐT: 0967.003.131 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Cho hàm số f (x) thỏa mãn f (0) < Đồ thị hàm số y = f (x) cho hình vẽ Hỏi hàm số g(x) = |f (|x|) + 3|x|| có điểm cực tiểu? A B C D y −1 O x −3 Câu 103 Cho hàm số y = f (x), biết hàm số y Å= f (x) cóãđồ sin x − thị hình vẽ Hỏi hàm số g (x) = 2f + (5 sin x − 1)2 + có điểm cực trị khoảng (0; 2π)? A B C D y 3 O −3 x − 13 −1 Câu 104 Cho hàm số bậc ba y = f (x) có đồ thị hình vẽ Có giá trị nguyên tham số m thuộc đoạn [−20; 20] để hàm số g(x) = |f (1 − |x|) + m| có điểm cực trị? A 14 B 15 C 16 D 17 y O x −2 −4 −6 p Lê Quang Xe 64 Ô SĐT: 0967.003.131 MỤC LỤC | Dạng Cực trị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối Một số kiến thức cần nắm Kiến thức 1.1 Cách vẽ đồ thị hàm số y = |f (x)| Cho đồ thị hàm số y = f (x) Đồ thị hàm số y = |f (x)| vẽ cách ○ Giữ nguyên phần đồ thị hàm số y = f (x) nằm phía trục hồnh ○ Lấy đối xứng phần đồ thị hàm số y = f (x) nằm phía trục hồnh qua trục hồnh đồng thời xóa phần phía trục hồnh d Nhận xét Số cực trị hàm số y = |f (x)| tổng số cực trị hàm số y = f (x) số điểm cắt y = f (x) trục Ox (khơng tính điểm tiếp xúc) 1.2 Cách vẽ đồ thị hàm số y = f (|x|) Cho đồ thị hàm số y = f (x) Đồ thị hàm số y = f (|x|) vẽ cách ○ Giữ nguyên phần đồ thị (C1 ) hàm số y = f (x) ứng với x ≥ ○ Với x < vẽ cách lấy đối xứng phần đồ thị (C1 ) qua trục tung d Nhận xét Giả sử (C1 ) có số điểm cực trị α ○ Nếu (C1 ) cắt trục tung số điểm cực trị y = f (|x|) 2α + (một điểm cực trị x = 0) ○ Nếu (C1 ) không cắt trục tung số điểm cực trị y = f (|x|) 2α Ví dụ mẫu d Ví dụ 10 Cho hàm số bậc ba có đồ thị y = f (x) hình vẽ Tất số thực tham số m để hàm số y = |f (x) + m| có điểm cực trị y x O −3 ñ m ≤ −1 A m≥3 ñ m = −1 C m=3 B −1 < m < D < m < Ê Lời giải Yêu cầu toán tương đương với f (x) + m = ⇔ −m = f (x) có tổng số nghiệm đơn bội lẻ ⇔ −3 < −m < ⇔ −1 < m < p Lê Quang Xe 65 Ô SĐT: 0967.003.131 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Chọn đáp án B d Ví dụ 11 Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số y = |x|3 − (2m + 1) x2 + 3m |x| Å− có 5ãđiểm cực trị Å ã 1 A −∞; ∪ (1; +∞) B − ; ∪ (1; +∞) Å ã4 C (1; +∞) D 0; ∪ (1; +∞) Ê Lời giải Yêu cầu toán tương đương với hàm số y = x3 − (2m + 1) x2 + 3mx − có hai điểm cực trị dương, tức phương trình y = f (x) = 3x2 − (2m + 1) x + 3m = có hai nghiệm dương phân biệt = (2m + 1)2 − 9m > m>1 (2m + 1) S = > ⇔ ⇔ 0 Chọn đáp án D Bài tập rèn luyện Câu 105 Cho f (x) có đạo hàm f (x) = x (x − 1)2 (x2 − 4) số điểm cực trị hàm số y = f (|x|) A B C D Câu 106 Cho hàm bậc ba y = f (x) có đồ thị hình vẽ bên Tất giá trị thực tham số m để hàm số có ba điểm cực trị y x O −3 A m ≤ −1 m ≥ C m = −1 m = B m ≤ −3 m ≥ D −1 ≤ m ≤ Câu 107 Có tất số nguyên m thuộc đoạn [−2017; 2017] để hàm số y = |x3 − 3x2 + m| có ba điểm cực trị? A 4032 B 4034 C 4030 D 4028 Câu 108 Tìm tất giá trị thực tham số m đề hàm số y = |x4 − mx2 + m| có cực trị A (4; +∞) B (0; 1) C (0; 4) D (1; +∞) Câu 109 Cho hàm số f (x) = ax3 + bx2 + cx + d thõa mãn a > 0, d > 2018, a + b + c + d − 2018 < Tìm số điểm cực trị hàm số y = |f (x) − 2018| A B C D Câu 110 Có giá trị nguyên tham số m để hàm số y = |3x4 − 4x3 − 12x2 + m| có điểm cực trị? A B C D p Lê Quang Xe 66 Ô SĐT: 0967.003.131 MỤC LỤC Câu 111 Cho hàm số đa thức bậc bốn y = f (x) có ba điểm cực trị x = −1; x = 0; x = Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số y = f (|x + m|) có điểm cực trị? A m < −1 B m < C −1 < m < D m < Câu 112 Cho hàm số y = |x|3 − mx + Gọi a số điểm cực trị hàm số cho Mệnh đề đúng? A a = B a ≤ C < a ≤ D a > Câu 113 Cho hàm số f (x) = x3 − (2m − 1) x2 + (2 − m) x + Tìm tập hợp giá trị thực tham số m để hàm số y = f (|x|) có điểm cực trị 5 A − < m < B < m < C < m < D −2 < m < 4 Câu 114 Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số y = |x|3 − (2m + 1) x2 + 3m |x| − có điểm cực trị ï ã A (−∞; 0) B (1; +∞) C (−∞; 0] D 0; Câu 115 Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên hình vẽ bên x y0 −∞ + −1 +∞ − 0 + +∞ y −∞ Số điểm cực trị hàm số f (|x|) A B C D Câu 116 Cho hàm số f (x) = x4 − mx3 + (m2 − 1) x2 + (1 − m2 ) x + 2019 với m tham số thực √ Biết hàm số y = f (|x|) có số điểm cực trị lớn a < m2 < b + c (a, b, c ∈ R) Giá trị T = a + b + c A B C D Câu 117 Có số nguyên m ∈ [−10; 10] để hàm số y = |mx3 − 3mx2 + (3m − 2) x + − m| có điểm cực trị? A B 10 C D 11 Câu 118 Cho hàm số f (x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e có bảng biến thiên hình vẽ x y0 −∞ − −2 0 + +∞ +∞ − + +∞ y −20 −20 Có số nguyên dương m để hàm số y = |f (x) + m| có điểm cực trị? A B 21 C 18 D 19 Câu 119 Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm f (x) = (x3 − 2x2 ) (x3 − 2x) với x ∈ R Hàm số y = |f (1 − 2018x)| có nhiều điểm cực trị? A B 2022 C 11 D 2018 p Lê Quang Xe 67 Ô SĐT: 0967.003.131 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Câu 120 Cho hàm số y = f (x) liên tục R có đồ thị hình vẽ Các điểm x = −2 ; x = ; x = điểm cực trị hàm số y = f (x) y −2 O x Hàm số y = f (|x + 1| − 3) có tất điểm cực trị? A B C D Câu 121 Cho hàm số y = f (x) có đồ thị hình vẽ y x O −1 Số giá trị nguyên tham số m để hàm số y = |2f (x) − 3m| có điểm cực trị A B C D Câu 122 Cho hàm số y = f (x) có đồ thị đạo hàm y = f (x) hình vẽ y −2 x O Hàm số y = |f (x3 − 3x) + 2| có tối đa điểm cực trị? A 16 B 17 C 19 D 18 Câu 123 Biết phương trình ax3 + bx2 + cx + d = 0, (a 6= 0) có hai nghiệm thực Hàm số y = |ax3 + bx2 + cx + d| có điểm cực trị? A B C D Câu 124 Có số nguyên m ∈ (−20 ; 20) để hàm số y = |x2 − 2x + m| + 2x + có ba điểm cực trị? A 17 B 16 C 19 D 18 Câu 125 Có số nguyên m để hàm số y = |x3 + (2m − 1)x2 + (2m2 − 2m − 9) x − 2m2 + 9| có điểm cực trị? A B C D p Lê Quang Xe 68 Ô SĐT: 0967.003.131 MỤC LỤC Câu 126 Có số nguyên m để hàm số y = |x|3 − 3mx2 + 3(m2 − 4) |x| + có điểm cực trị? A B C D Câu 127 Có số nguyên m ∈ (−10; 10) để hàm số y = |x|3 − 3mx2 + 3(m2 − 4) |x| + có điểm cực trị? A B C D Câu 128 Cho hàm số y = f (x) có đồ thị hình vẽ y O x −4 Hỏi có tất giá trị nguyên tham số m ∈ [−2021; 2012] để hàm số y = |f (x) − 2f (x) + m + 4| có điểm cực trị? A 2104 B 2016 C 2105 D 2017 Câu 129 Cho hàm số y = f (x) có đồ thị hình vẽ y −2 O x −2 Hỏi có tất giá trị nguyên tham số m để hàm số y = |4f (x) + 8f (x) + m − 1| có 15 điểm cực trị? A B C D Câu 130 Cho hàm số y = f (x) Hàm số y = f (x) có đồ thị hình vẽ y O x Hàm số y = |4f (x) − 2x3 + 7x2 − 8x + 1| có tối đa điểm cực trị? A B C D Câu 131 Cho hàm số f (x) có đạo hàm f (x) = (x − 1)3 (x2 + (4m − 5) x + m2 − 7m + 6) , ∀x ∈ R Có số nguyên m để hàm số y = f (|x|) có điểm cực trị? A B C D p Lê Quang Xe 69 Ô SĐT: 0967.003.131 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Câu 132 Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục R có đồ thị hình vẽ y O x Số điểm cực trị hàm số y = (f (x)) + f (x) − A B C D Câu 133 Cho hàm số y = f (x) có đồ thị đạo hàm y = f (x) hình vẽ y −1 O x −2 Hỏi hàm số y = |2f (x) − x2 + 2x + 3| có tối đa điểm cực trị? A B C D Câu 134 Cho hàm số y = f (x) có đồ thị đạo hàm y = f (x) hình vẽ y −1 O x −2 Hỏi hàm số y = |2f (x2 − 2x) − x4 + 4x3 − 2x2 − 4x + 2021| có tối đa điểm cực trị? A B 11 C 10 D 12 Câu 135 Cho f (x) hàm đa thức có đồ thị hàm số f (x) hình vẽ p Lê Quang Xe 70 Ô SĐT: 0967.003.131 MỤC LỤC y O x −1 Hàm số y = 2f (x) − (x − 1)2 có tối đa điểm cực trị? A B C D Câu 136 Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục R có đồ thị hình vẽ y O x Khi hàm số y = (f (x))2 + f (x) + m có số điểm cực trị Giá trị nhỏ tham số m thuộc khoảng đây? A (0; 1) B (−∞; −1) C (−1; 0) D (1; +∞) Câu 137 Cho hàm số y = f (x) = x2 − 2mx + 4m |x − m| + Gọi S tập chứa tất giá trị nguyên tham số m ∈ (−21; 21) để hàm số y = f (x) có ba điểm cực trị Số phần tử S A 20 B 16 C 18 D 19 Câu 138 Cho hàm số y = f (x) = x3 − 3mx2 + 6mx + m − Số giá trị nguyên tham số m ∈ [−2021; 2021] để hàm số y = f (|x + 2019m − 2020|) có điểm cực trị A 2016 B 2018 C 2019 D 2017 Câu 139 Cho hàm số y = f (x) liên tục R Biết đồ thị hàm số y = f (x2 − x) cho hình vẽ y x O Hỏi hàm số y = f (x2 − 2mx − |x − m| + m2 ) có tất cực trị? A B C p Lê Quang Xe 71 D Ô SĐT: 0967.003.131 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Câu 140 Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên hình vẽ x f (x) −∞ − −2 + +∞ −1 − +∞ + − f (x) −2 −∞ Xét hàm số g (x) = f (|x − 4|) + 20182019 Số điểm cực trị hàm số g (x) A B C D x+1 + m Hàm số có nhiều điểm cực trị? Câu 141 Cho hàm số f (x) = √ x2 + A B C D a + b + c < −1 Câu 142 Cho hàm số f (x) = x + ax + bx + c, với a, b, c số thực thỏa mãn 4a − 2b + c > c f (x) đạt cực tiểu a ○ Nếu n lẻ f (x) khơng đạt cực trị a ○ Đặc biệt, n = có định lý SGK Toán 12 3.1 Câu hỏi trắc nghiệm Câu 165 Cho hàm số y = f (x) xác định R \ {1}, liên tục khoảng xác định có bảng biến thiên hình vẽ x −∞ y0 −1 +∞ − + +∞ + +∞ y −∞ −4 Hàm số y = |f (x)| có điểm cực trị? A B C D Câu 166 Tập hợp số thực m để hàm số y = x3 + (m + 4)x2 + (5m + 2)x + m + đạt cực tiểu x = −2 A ∅ B R C {2} D {−2} Câu 167 Tìm giá trị thực tham số m để hàm số y = x3 − 3x2 + mx đạt cực đại x = A m = B m = C m = −2 D m = Câu 168 Tìm tập tất giá trị m để hàm số y = x3 + (3m − 1)x2 + m2 x − đạt cực tiểu x = −1 A {5; 1} B {5} C ∅ D {1} Câu 169 Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y = x3 − mx2 + (m2 − m + 1)x + đạt cực đại điểm x = 1? A m = m = −1 B m = m = C m = D m = Câu 170 Tìm m để hàm số y = x3 − 2mx2 + mx + đạt cực tiểu x = A Không tồn m B m = ±1 C m = D m ∈ {1; 2} Câu 171 Cho hàm số f (x) với bảng biến thiên p Lê Quang Xe 76 Ô SĐT: 0967.003.131 MỤC LỤC x −∞ f (x) −1 − 0 + +∞ +∞ − + +∞ f (x) −2 −4 Hỏi hàm số y = |f (|x|)| có cực trị? A B C D Câu 172 Tìm m để hàm số y = mx + (m − 1)x + đạt cực đại x = A m = B m = −1 C m = D −1 < m < Câu 173 Cho hàm số f (x) với bảng biến thiên sau x −∞ y0 −2 + 0 − +∞ + − y −∞ −1 Giá trị cực đại hàm số bằng? A −2 B −1 C −∞ D Câu 174 Cho hàm số y = f (x) Hàm số y = f (x) có đồ thị hình vẽ bên Số điểm cực trị hàm số y = f (x) A B C D y O x Câu 175 Tập hợp số thực m để hàm số y = x3 − 3mx2 + (m + 2) x − m đạt cực tiểu x = A {1} B {−1} C ∅ D R Câu 176 Tìm giá trị thực tham số m để hàm số y = x3 − mx2 + (m2 − 4) x + đạt cực đại x = A m = 1, m = B m = C m = D m = −1 Câu 177 Tìm m hàm số y = x3 + mx2 − (m + 1) x + 2m đạt cực trị điểm x = −1 A m = −1 B m = C m = D m = Câu 178 Tìm m để hàm số y = mx3 − (m2 + 1) x2 + 2x − đạt cực tiểu x = 3 A B − C D −1 2 p Lê Quang Xe 77 Ô SĐT: 0967.003.131 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Câu 179 Tìm tất tham số thực m để hàm số y = (m − 1) x4 − (m2 − 2) x2 + 2019 đạt cực tiểu x = −1 A m = B m = −2 C m = D m = Câu 180 Có giá trị nguyên tham số m để hàm số y = x9 + (m − 2)x7 − (m2 − 4)x6 + đạt cực tiểu x = 0? A B C Vô số D m x5 − (2m − 1) x4 − x3 + 2019 Có giá trị tham số m để hàm số đạt cực tiểu x = 0? A Vô số B C D Câu 181 Cho hàm số y = Câu 182 Cho hàm số y = f (x) hàm đa thức có bảng xét dấu f (x) sau x y0 −∞ −1 + +∞ − Số điểm cực trị hàm số g(x) = f (x2 − |x|) A B C + D Câu 183 Có giá trị nguyên m thuộc khoảng (−2019; 2019) để hàm số y = m+2 x + m + đạt cực đại x = 0? A 110 B 2016 C 100 D 10 m−1 x + Câu 184 Có giá trị nguyên tham số m để hàm số y = x8 + (m − 2) x5 + (m2 − 4) x4 + đạt cực tiểu điểm x = A B C D Vô số Câu 185 Có giá trị nguyên tham số m để hàm số y = x2018 +(m − 5) x5 +(25 − m2 ) x4 + đạt cực đại điểm x = A B C D 10 Câu 186 Có cặp số nguyên (a, b) thỏa mãn a, b ∈ (−20, 20) để hàm số y = x8 +ax7 +bx6 +1 đạt cực tiểu điểm x = 0? A 722 B 742 C 703 D 685 Câu 187 Có nguyên tham số m để hàm số y = x8 + (m − 3)x5 − (m2 − 9)x4 + đạt cực tiểu điểm x = 0? A B Vô số C D Câu 188 Có số nguyên m để hàm số y = x6 − mx5 + (10m − m2 ) x4 + đạt cực tiểu điểm x = 0? A B 10 C 11 D Câu 189 Có số nguyên m để hàm số y = x6 + (m − 1) x4 + (m2 − 4) x3 + đạt cực tiểu điểm x = 0? A B C D Câu 190 Có giá trị nguyên tham số m để hàm số y = x8 +(m − 4) x5 −(m2 − 16) x4 +1 đạt cực tiểu điểm x = 0? A B Vô số C D p Lê Quang Xe 78 Ô SĐT: 0967.003.131 MỤC LỤC Câu 191 Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm R thỏa mãn |f (x + h) − f (x − h)| ≤ h2 , ∀x ∈ R, ∀h > Đặt g(x) = [x + f (x)]2019 + [x + f (x)]29−m − (m4 − 29m2 + 100) sin2 x − 1, m tham số nguyên m < 27 Gọi S tập hợp tất giá trị nguyên m cho hàm số g(x) đạt cực tiểu x = Tính tổng bình phương phần tử S A 108 B 58 C 100 D 50 Câu 192 Có số nguyên m để hàm số y = x9 + (m − 2) x7 − (m2 − 4) x6 + đạt cực tiểu điểm x = 0? A B Vô số C D Câu 193 Cho hàm số y = x5 − mx4 + (m3 − 3m2 − 4m + 12) x3 + Có giá trị nguyên m để hàm số cho đạt cực đại x = 0? A B C D p Lê Quang Xe 79 Ô SĐT: 0967.003.131 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 3.2 Bài tập áp dụng Câu 194 Cho hàm số y = 2x3 + (m − 1) x2 + (m − 2) x − với m tham số thực Tìm tất giá trị m để hàm số có điểm cực đại điểm cực tiểu nằm khoảng (−2; 3) A m ∈ (−1; 4) \ {3} B m ∈ (3; 4) C m ∈ (1; 3) D m ∈ (−1; 4) Câu 195 Với m tham số thực cho đồ thị hàm số y = x4 + 2mx2 + có ba điểm cực trị tạo thành tam giác vuông Mệnh đề đúng? A m ≥ B ≤ m < C −2 ≤ m < D m < −2 x3 Câu 196 Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y = − + mx2 − 2mx + có hai điểm cực trị ñ m>2 A < m < B m > C m > D m B m ≥ C m < D m ≤ Câu 202 Số giá trị nguyên tham số m để hàm số y = mx4 − (m − 3) x2 + m2 khơng có điểm cực đại A B Vô số C D Câu 203 Có giá trị nguyên tham số m để đồ thị hàm số y = m2 x4 −(m2 − 2019m) x2 −1 có điểm cực trị A 2019 B 2020 C 2018 D 2017 p Lê Quang Xe 80 Ô SĐT: 0967.003.131 MỤC LỤC Câu 204 Tìm số điểm cực trị hàm số y = sin x − cos2 x [0; 2π] A B C D Câu 205 Tìm tất giá trị tham số thực m để hàm số y = mx3 − 2mx2 + (m − 2)x + khơng có cực trị A m ∈ (−∞; −6) ∪ (0; +∞) B m ∈ (−6; 0) C m ∈ [−6; 0) D m ∈ [−6; 0] Câu 206 Tìm tất giá trị tham số thực m để hàm số y = x3 +(m+3)x2 +4(m+3)x+m3 −m đạt cực trị x1 , x2 thỏa mãn −1 < x1 < x2 ñ m < −3 7 A −3 < m < B − < m < −3 C D − < m < −2 2 m>1 Câu 207 Tập hợp tất giá trị tham số m để đồ thị hàm số y = x3 + 3mx2 + 3(m2 − 1)x + m3 có hai điểm cực trị nằm hai phía trục hồnh (a, b) Khi giá trị a + 2b A B C D 3 Câu 208 Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y = x4 + 2(m − 2)x2 + 3m − có ba điểm cực trị A m ∈ (2; +∞) B m ∈ (−2; 2) C m ∈ (−∞; 2) D m ∈ (0; 2) Câu 209 Cho hàm số y = x4 − 2mx2 + (1) Tổng lập phương giá trị tham số m để đồ thị hàm số (1)√có ba điểm cực trị đường √ trịn qua điểm có bán kính R = √ √ 5− 1+ A B C + D −1 + 2 Câu 210 Tìm sốÅthực ãk để đồ thị hàm số y = x4 − 2kx2 + k có ba điểm cực trị tạo thành tam làm trọng tâm giác nhận điểm G 0; 1 1 A k = −1; k = B k = 1; k = C k = 1; k = D k= ;k= 3 Câu 211 Cho hàm số y = x4 − 2(m2 − m + 1)x2 + m − Tìm m để hàm số có ba điểm cực trị khoảng hai điểm cực tiểu nhỏ A m ≥ B m ≤ C m = D m= Câu 212 Có giá trị nguyên dương m để khoảng cách từ gốc tọa√độ O đến đường thẳng qua điểm cực trị đồ thị hàm số y = x3 − 3x + m nhỏ A B C 11 D Câu 213 Tìm tất giá trị m để hàm sốy = x3 − mx2 + (m + 2)x có cực trị giá trị hàm số điểm cực đại, điểm cực tiểu nhận giá trị dương Ç √ å 2+2 A m > B m ∈ 2; √ 2−2 C < m < −1 D m < −1 Cách Ta có y = x2 − 2mx + m + 2; y = ⇔ x2 − 2mx + m + = (1) Hàm số có hai điểm cực trị phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt Hay đ m < −1 ∆ >0⇔m −m−2>0⇔ (∗) m > p Lê Quang Xe 81 Ô SĐT: 0967.003.131 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Å ã 2 Phương trình đường thẳng qua điểm CĐ, CT hàm số y = − m + m + x+ m(m+2) 3 3 Gọi A(x1 ; y1 ), B(x2 ; y2 ) hai điểm cực đại, cực tiểu đồ thị hàm số, để hàm số có giá trị cực đại, giá trị cực tiểu dương y1 + y2 > đồ thị hàm số y = x3 − mx2 + (m + 2)x cắt trục hoành điểm Theo định lý vi-et ta có x1 + x2 = 2m Nên Å ã 2 y1 + y2 > ⇔ − m + m+ (x1 + x2 ) + m(m + 2) > 3 3 Å ã 2 ⇔ − m2 + m + )(2m) + m(m + 2) > 3 3 ⇔ ⇔ 2m(−2m + 3m + 6) > Ç √ å √ å Ç + 57 − 57 ∪ 0; (∗∗) ⇔ m ∈ −∞; 4 Đồ thị hàm số y = x3 − mx2 + (m + 2)x cắt trục hoành điểm ⇔ phương trình y = có nghiệm đơn nhất, x3 − mx2 + (m + 2)x = (2) có nghiệm đơn ñ x=0 Ta có x − mx2 + (m + 2)x = ⇔ x(x2 − 3mx + 3m + 6) = ⇔ x − 3mx + 3m + = (3) Phương trình (1) có nghiệm đơn phương trình (3) vơ nghiệm, điều kiện √ √ + 2 − 7 ⇔ m2 − m − > ⇔ (∗) m > Hàm số có giá trị cực đại, cực tiểu dương đồ thị hàm số y = x3 − mx2 + (m + 2)x cắt trục hoành điểm giá trị hàm số điểm uốn dương Đồ thị hàm số y = x3 − mx2 + (m + 2)x cắt trục hoành điểm phương trình y = có nghiệm nhất, x3 − mx2 + (m + 2)x = (2) có nghiệm đơn ñ x=0 2 Ta có x − mx + (m + 2)x = ⇔ x(x − 3mx + 3m + 6) = ⇔ x − 3mx + 3m + = (3) Để phương trình (1) có nghiệm đơn phương trình (3) vơ nghiệm, điều kiện √ √ − + ⇔ − m3 + m(m + 2) > ⇔ m −2m2 + 3m + > Ç √ å Ç √ å + 57 − 57 ∪ 0; ⇔ m ∈ −∞; 4 (∗ ∗ ∗) √ 2+2 Kết hợp (∗), (∗∗), (∗ ∗ ∗) ta tập giá trị m thỏa mãn < m < Câu 214 Cho hàm số y = x4 − 2mx2 + 3m − Có giá trị tham số m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị nằm trục tọa độ? A B C D Câu 215 Biết m = m0 ; m0 ∈ R giá trị tham số m để đồ thị hàm số y = x4 + 2mx2 + có ba điểm cực trị tạo thành tam giác vuông Khẳng định sau đúng? A m0 ∈ (0; 3] B m0 ∈ [−5; 3) C m0 ∈ (−3; 0] D m0 ∈ (3; 7) Câu 216 Cho hàm số y = x4 − 2(m2 + m + 1)x2 + m có đồ thị (C) Tìm m để đồ thị hàm số (C) có điểm cực trị khoảng cách hai điểm cực tiểu nhỏ √ 1 A m= B m=− C m = D m = 2 Câu 217 Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số y = x3 − 3(m + 1)x2 + 12mx + 2019 có điểm cực trị x1 , x2 thỏa mãn x1 + x2 + 2x1 x2 = −8 A m = −1 B m = C m = D m = −2 1 Câu 218 Gọi x1 , x2 hai điểm cực trị hàm số y = x3 − mx2 − 4x − 10 Tìm giá trị lớn biểu thức S = (x21 − 1)(x22 − 1) A B C D Câu 219 Cho hàm số y = x3 − 3mx2 + 3(m2 − 1)x − m3 với m tham số, gọi (C) đồ thị hàm số cho Biết m thay đổi, điểm cực đại đồ thị (C) nằm đường thẳng cố định Xác định hệ số góc k đường thẳng d −1 A k = −3 B k= C k = D k= 3 Câu 220 Cho hàm số y = x3 − (2m + 1)x2 + (m + 1)x + m − Có giá trị số tự nhiên m < 20 để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm hai phía trục hồnh? A 18 B 19 C 21 D 20 Câu 221 Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y = x3 − 3mx2 + 3m2 có hai điểm cực trị A, B mà 4OAB có diện tích 24 A m = B m = C m = ±2 D m = ±1 Câu 222 Có giá trị nguyên tham số m để đồ thị hàm số y = x3 − (m + 1)x2 + (m2 − 2)x − m2 + có hai điểm cực trị hai điểm cực trị nằm mơt phía trục hồnh? A B C D Câu 223 Cho hàm số y = x3 − 2mx2 + (m − 1)x + 2m2 + (m tham số) Xác định khoảng cách lớn từ gốc tọa độ O(0; 0) đến đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị√hàm số √ √ 10 A B C D Câu 224 Các giá trị m để đồ thị hàm số y = |x|3 − mx2 + (m + 6)|x| + 2019 có điểm cực trị A m < −2 B −2 < m < C < m < D m > p Lê Quang Xe 83 Ô SĐT: 0967.003.131 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Câu 225 Cho hàm số y = |sin(2x) + x| Hỏi hàm số có điểm cực trị (−π; π)? A B C D Câu 226 Cho hàm số y = x3 + 2.(m − 2)x2 − 5x + Tìm tất giá trị thực tham số m cho hàm số có hai điểm cực trị x1 , x2 (x1 < x2 ) thỏa mãn |x1 | − |x2 | = −2 A B −1 C D 2 Câu 227 Xét hàm số f (x) có đạo hàm f (x) = (x2 − x) · (x3 − 3x) với x ∈ R Hỏi hàm số y = |f (1 − 2019x)| có nhiều điểm cực trị? A B C D Câu 228 Cho hàm số y = −x3 +3mx2 −3m−1 với m tham số thực Giá trị m thuộc tập hợp để đồ thị hàm số cho có hai điểm cực trị đối xứng với qua đường thẳng d : x+8y −74 = A m ∈ (−1; 1] B m ∈ (−3; −1] C m ∈ (3; 5] D m ∈ (1; 3] Câu 229 Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục R Đồ thị hàm số y = f (x) hình vẽ sau: y f (x) O −1 Số điểm cực trị hàm số y = f (x − 2018) − 2019x + là: A B C x D Câu 230 Cho hàm số y = x3 − 6mx + có đồ thị (Cm ) Gọi m0 giá trị √ m để đường thẳng qua điểm cực đại, điểm cực tiểu (Cm ) cắt đường tròn tâm I(1; 0), bán kính hai điểm phân biệt A, B cho tam giác IAB có diện tích lớn Chọn khẳng định A m0 ∈ (3; 4) B m0 ∈ (1; 2) C m0 ∈ (0; 1) D m0 ∈ (2; 3) Câu 231 Biết hai hàm số f (x) = x3 + ax2 + 2x − g(x) = −x3 + bx2 − 3x + có chung điểm cực trị Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = |a| + |b| √ √ √ √ A 30 B C + D 3 Câu 232 Tìm tất giá trị m để đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu đồ thị hàm số y = x3 − 3mx + cắt đường trịn tâm I(1; 1), bán kính R = hai điểm phân biệt A, B cho diện tích tam giác √ IAB đạt giá trị lớn nhất? √ √ √ 1± 2± 2± 2± A m= B m= C m= D m= 2 Câu 233 Tìm giá trị m để đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu đồ thị hàm số y = x3 − 3mx + cắt đường tròn (C) : (x − 1)2 + y = có tâm I hai điểm phân biệt A, B cho diện tích tam giác IAB đạt giá trị lớn √ 1+ 3 m= m = 2√ A m= B C m= D 1− m= m= 2 p Lê Quang Xe 84 Ô SĐT: 0967.003.131 MỤC LỤC (m − 1) x3 − (m − 1) x2 + 2mx + m + , với m tham số thực Có giá trị nguyên dương nhỏ 2019 tham số m để hàm số khơng có cực trị? A 2018 B 2019 C D Câu 234 Cho hàm số y = Câu 235 Biết m0 giá trị tham số m để hàm số y = x3 − 3x2 + mx − có hai điểm cực trị x1 , x2 cho x21 + x22 − x1 x2 = 13 Mệnh đề sau đúng? A m0 ∈ (−1; 7) B m0 ∈ (7; 10) C m0 ∈ (−7; −1) D m0 ∈ (−15; −7) Câu 236 Cho hàm số y = x3 + (1 − 2m)x2 + (2 − m)x + m + Tìm giá trị m để đồ thị hàm số có điểm cực đại, điểm cực tiểu, điểm cực tiểu nhỏ hơn1 đồng thời hoành độ 5 m < −1 m< m≤ 4 A ≤m≤ B C 5 D 7 m≥ 5 Câu 237 Cho hàm số y = x − 3mx + m − có đồ thị (C) , với m tham số Có giá trị nguyên tham số m để đồ thị (C) có hai điểm cực trị A, B với điểm C (0; −1) tạo thành tam giác có diện tích nhỏ 10 ? A B C 12 D Câu 238 Đồ thị hàm số y = 2x3 − (2m + 1) x2 + 6m (m + 1) x + có hai điểm cực trị A B Điểm M (2m3 ; m) tạo với hai điểm A B tam giác có diện tích nhỏ Khi giá trị tham số m thuộc khoảng đây? A (−7; −3) B (−3; 3) C (3; 7) D (7; 13) Câu 239 Cho hàm số y = x3 + 2x2 + (m − 3) x + m (m tham số), có đồ thị (Cm ) Tìm tất giá trị thực m để (Cm ) có hai điểm cực trị điểm M (9; −5) nằm đường thẳng qua hai điểm cực trị (Cm ) A m = −5 B m = C m = D m = −1 Câu 240 Tìm tất giá trị thực tham số m để đường thẳng (d) : y = (3m + 1) x + + m vng góc với đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số y = x3 − 3x2 − 1 1 A m= B m=− C m= D m=− 3 Câu 241 Cho hàm số y = (m + 1) x − 2x + Tìm tất giá trị thực m để hàm số cho có ba điểm cực trị nhỏ A −1 < m < B m > −1 C < m < D m > Câu 242 Cho hàm số y = (m − 2) x4 + (m − 1) x2 − Tìm tất giá trị thực m để hàm số cho có điểm cực trị A m ∈ [2; +∞) B m ∈ (−∞; 1] ∪ (2; +∞) C m ∈ (−∞; 1] D m ∈ (−∞; 1] ∪ [2; +∞) Câu 243 Tìm tập hợp giá trị tham số m để hoành độ điểm cực đại cực tiểu đồ thị hàm số y = x4 − (m + 1) xÅ + ã thuộc khoảng (−1; 1) A (−1; 1) B − ;0 C (−2; 0) D (−1; 0) Câu 244 Tìm tập hợp giá trị tham số m để đồ thị hàm số y = x4 − 2(m2 − m + 1)x2 + m − có điểm thời hồnh độ hai điểm cực tiểu đx1 ; x2√thỏa√điều kiện Ç cực ơ |x1 − x2 | ≤ √ trị, đồng 13 + 1 − 13 13 + ; A 0; B 2 C (0; 1] D [0; 1] Câu 245 Tìm tất giá trị tham số m để đồ thị hàm số y = x4 − 2m2 x2 + 2m có ba điểm cực trị A, B, C cho O, A, B, C bốn đỉnh hình thoi A m = −1 B m = C m = D m = p Lê Quang Xe 85 Ô SĐT: 0967.003.131 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Câu 246 Cho hàm số y = x4 − 2mx2 − 2m2 + m4 có đồ thị (C) Biết đồ thị (C) có ba điểm cực trị A, B, C ABDC hình thoi ã ã A thuộc trục tung Khi m thuộc khoảng ã Å Å D(0; 3), Å nào? 1 A m∈ ;2 B m ∈ −1; C m ∈ (2; 3) D m∈ ; 2 x2 + mx + m2 có x−1 ’ = 90◦ tổng bình phương tất phần tử S bằng: hai điểm cực trị A, B Khi AOB 1 A B C D 16 16 Câu 248 Cho hàm số f (x) = x4 − (2m + 1)x3 + (m + 4)x2 + (5m − 6)x + 2m − 12 với m tham số Có giá trị nguyên m thuộc đoạn [−10; 10] để hàm số y = |f (x)| có số điểm cực trị nhiều nhất? A 15 B 16 C 13 D 14 Câu 247 Gọi S tập hợp giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y = p Lê Quang Xe 86 Ô SĐT: 0967.003.131 MỤC LỤC BÀI GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ AA A LÝ THUYẾT Định nghĩa Định nghĩa 3.1 Cho hàm số y = f (x) xác định tập D ® ○ Số M gọi giá trị lớn hàm số y = f (x) D nếu: f (x) ≤ M, ∀x ∈ D ∃x0 ∈ D, f (x0 ) = M ○ Kí hiệu: M = max f (x) x∈D ® ○ Số m gọi giá trị nhỏ hàm số y = f (x) D nếu: f (x) ≥ m, ∀x ∈ D ∃x0 ∈ D, f (x0 ) = m ○ Kí hiệu: m = f (x) x∈D Phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Tìm GTLN, GTNN Khảo sát trực tiếp ○ Bước l: Tính f (x) tìm điểm x1 , x2 , , xn ∈ D mà f (x) = hàm số khơng có đạo hàm ○ Bước 2: Lập bảng biến thiên từ suy giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số Tìm GTLN, GTNN hàm số đoạn ○ Bước l: Hàm số cho y = f (x) xác định liên tục đoạn [a; b] Tìm điểm x1 , x2 , , xn khoảng (a; b), f (x) = f (x) không xác định ○ Bước 2: Tính f (a), f (x1 ) , f (x2 ) , , f (xn ) , f (b) ○ Bước 3: Khi đó: max f (x) = max {f (x1 ) , f (x2 ) , , f (xn ) , f (a), f (b)} [a,b] f (x) = {f (x1 ) , f (x2 ) , , f (xn ) , f (a), f (b)} [a,b] Tìm GTLN, GTNN hàm số khoảng ○ Bước l: Tính đạo hàm f (x) ○ Bước 2: Tìm tất nghiệm xi ∈ (a; b) phương trình f (x) = tất điểm αi ∈ (a; b) làm cho f (x) khơng xác định ○ Bước 3: Tính A = lim+ f (x), B = lim− f (x), f (xi ) , f (αi ) x→a x→b ○ Bước 4: So sánh giá trị tính kết luận M = max f (x), m = f (x) (a;b) p Lê Quang Xe 87 (a;b) Ô SĐT: 0967.003.131 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ Nếu giá trị lớn (nhỏ nhất) A B ta kết luận khơng có giá trị lớn (nhỏ nhất) f (x) = f (a) [a;b] Nếu y = f (x) đồng biến [a; b] max f (x) = f (b) [a;b] f (x) = f (b) [a;b] Nếu y = f (x) nghịch biến [a; b] max f (x) = f (a) [a;b] Hàm số liên tục khoảng khơng có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ khoảng Bất đẳng thức trị tuyệt đối ○ Cho hai số thực a, b ta có: |a| + |b| ≥ |a + b| ≥ |a| − |b| ○ Dấu “=” vế trái xảy a, b dấu Dấu “=” vế phải xảy a, b trái dấu ○ Tính chất hàm trị tuyệt đối: max{|a|, |b|} = |a − b| + |a + b| Phương pháp tìm GTLN, GTNN hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối ○ Bước 1: Xét hàm số y = f (x) đoạn [a; b] Tính đạo hàm y = f (x) Giải phương trình f (x) = tìm nghiệm thuộc [a; b] ○ Bước 2: Giải phương trình f (x) = tìm nghiệm bj thuộc [a; b] ○ Bước 3: Tính giá trị |f (a)|; |f (b)|; |f (ai )| ; |f (bj )| So sánh kết luận AA B VÍ DỤ MINH HỌA √ d Ví dụ Cho hàm số f (x) = m x − (m tham số thực khác 0) Gọi m1 , m2 hai giá trị m thỏa mãn f (x) + max f (x) = m2 − 10 Giá trị m1 + m2 [2;5] A [2;5] B C 10 D Ê Lời giải m Với x ∈ [2; 5] có f (x) = √ Ta thấy dấu f (x) phụ thuộc vào dấu m x−1 ∀m 6= f (x) đơn điệu [2; 5] ⇒ f (x) + max f (x) = f (2) + f (5) = m + 2m [2;5] [2;5] ñ m=5 Từ giả thiết ta m2 − 10 = m + 2m ⇔ m2 − 3m − 10 = ⇔ Vậy m1 + m2 = m = −2 Chọn đáp án A d Ví dụ Cho hàm số y = (x3 − 3x + m + 1) Tổng tất giá trị tham số m cho giá trị nhỏ hàm số đoạn [−1; 1] A −2 B C −4 D Ê Lời giải p Lê Quang Xe 88 Ô SĐT: 0967.003.131 MỤC LỤC Đặt y = f (x) = (x3 − 3x + m + 1) hàm số xác định liên ñtục đoạn [−1; 1] x = ±1 Ta có y = f (x) = (x3 − 3x + m + 1) (3x2 − 3) ; f (x) = ⇔ m = −x3 + 3x − = g(x) Ta khảo sát hàm số g(x) đoạn [−1; 1] Bảng biến thiên cua g(x) x −∞ f (x) −1 − + +∞ +∞ − f (x) −3 −∞ Nếu m ∈ [−3; 1] ln tồn x0 ∈ [−1; 1] cho m = g(x0 ) hay f (x0 ) = Suy y = 0, tức [−1:1] không tồn m thỏa mãn yêu cầu toán Nếu m ∈ / [−3; 1] f (x) = ⇔ x = ±1 ∈ [−1; 1] Ta có: min[−1:1] f (x) = min{f (1); f (−1)} = {(m − 1)2 ; (m + 3)2 } ñ m = (T M ) Trường hợp 1: m > tức m + > m − > ⇒ f (x) = (m − 1)2 = ⇔ [−1:1] m = (KT M ) Trường hợp 2: m < −3 tức m − < m + < ⇒ min[−1:1] f (x) = (m + 3)2 = ⇔ ñ m = −4 (T M ) m = −2 (KT M ) Vậy có hai giá trị m thỏa mãn yêu cầu tốn: m = 2; m = −4, từ tổng tât giá trị m −2 Chọn đáp án A d Ví dụ Biết giá trị nhỏ hàm số y = mx + m tham số) Mệnh đề sau đúng? A < m ≤ B < m ≤ 36 đoạn [0; 3] 20 (với x+1 C < m ≤ D m>8 Ê Lời giải 20x − 16 36 ≥ 20, ∀x ∈ [0; 3] mx + m ≥ x(x + 1) , ∀x ∈ (0; 3] x+1 Ta có: y = 20 ⇔ ⇔ (∗) 20x0 − 16 [0:3] ∃x0 ∈ [0; 3] : mx0 + 36 = 20 ∃x0 ∈ (0; 3] : m = x0 + x0 (x0 + 1) (vì y(0) = 36 > 20) 20x − 16 Xét hàm số g(x) = (0; 3] x(x + 1) x = (tm) −20x + 32x + 16 0 Ta có: g (x) = ; g (x) = ⇒ −20x + 32x + 16 = ⇒ [x(x + 1)]2 x = − (l) Bảng biến thiên x g (x) + − g(x) 11 −∞ p Lê Quang Xe 89 Ô SĐT: 0967.003.131 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ Do đó, từ (∗) suy m = −4 Vậy < m ≤ Chọn đáp án C d Ví dụ Cho hàm số y = f (x) = x6 + ax2 + bx + 2a + b với a, b số thực Biết hàm số đạt giá trị nhỏ x0 = Giá trị nhỏ f (3) bao nhiêu? A 128 B 243 C 81 D 696 Ê Lời giải Ta có f (x) = 6x5 + 2ax + b Do hàm số đạt giá trị nhỏ x0 = nên f (1) = ⇒ b = −2a − Do hàm số đạt giá trị nhỏ x0 = nên f (x) ≥ f (1), ∀x ∈ R f (x) ≥ f (1), ∀x ∈ R ⇔ x6 + ax2 + bx + 2a + b ≥ + 3a + 2b, ∀x ∈ R ⇔ x6 + ax2 + (−2a − 6)x + 2a − 2a − ≥ + 3a + 2b, ∀x ∈ R(dob = −2a − 6) ⇔ a x2 − 2x + ≥ −x6 + 6x − 5, ∀x ∈ R ⇔ a(x − 1)2 ≥ (x − 1)2 −x4 − 2x3 − 3x2 − 4x − , ∀x ∈ R(∗) Mà max (−x4 − 2x3 − 3x2 − 4x − 5) = −3 ⇔ x = −1 nên (∗ ) xảy a ≥ −3 f (3) = 3a + 705 ⇒ f (3) = 696 Chọn đáp án D d Ví dụ Cho y = f (x) = |x2 − 5x + 4| + mx Gọi S tập hợp tất giá trị nguyên m cho giá trị nhỏ hàm số f (x) lớn Tính số phần tử S A B C D Ê Lời giải Vì f (x) > nên f (x) = |x − 5x + 4| + mx > với ∀x ∈ R R Vói x ∈ [4; +∞), ta có f (x) = mx + x2 − 5x + > ⇔ m > −x − + 5, ∀x ≥ x 3 Đặt g(x) = −x − + 5, ∀x ≥ Ta có g (x) = −1 + < 0, ∀x ∈ [4; +∞), g(4) = x x 1 Do g(x) ≤ g(4) = Vì m > g(x)∀x ∈ [4; +∞) ⇔ m > g(4) ⇔ m > (1) 4 Tương tự, với x ∈ [1; 4) Ta có f (x) = −x2 + 5x − + mx > ∀x ∈ [1; 4) ⇔ m > (2) Với x ∈ (0; 1) Ta có f (x) = x2 − 5x + + mx > ∀x ∈ (0; 1) ⇔ m > −x − + ⇔ m ≥ (3) x Với x ∈ (−∞; 0) Ta có f (x) = x2 − 5x + + mx > ∀x ∈ (−∞; 0) √ ⇔ m < −x − + ∀x ∈ (−∞; 0) ⇔ m < + (4) x Với x = √ Từ (1), (2), (3) (4) ta có < m < + Vậy S = {2; 3; 4; 5; 6; 7; 8} tập hợp tất giá trị nguyên m thỏa mãn Chọn đáp án A 4sin x + m · 6sin x d Ví dụ Tìm tất giá trị thực m để giá trị lớn hàm số y = sin x + 41+sin x không nhỏ 2 13 13 ≤m≤ A m> B m≥ C m≥ D 3 18 18 Ê Lời giải p Lê Quang Xe 90 Ô SĐT: 0967.003.131 MỤC LỤC Å ãsin x 1+m· 4sin x + m · 6sin x Ta có: y = sin x = Å ã2 sin x + 41+sin x +4 Å ãsin x ï ò 3 mt + Đặt t = với t ∈ ; y = f (t) = t +4 Yêu cầu toán tương đương với: ï ò Tồn max f (t) (điều ln đúng) f (t) ≥ có nghiệm t ∈ ; 3 1 t2 + Xét f (t) ≥ ⇔ mt + ≥ t + ⇔ 3m ≥ (1) 3 t t2 + , g (t) = − = ⇔ t = Đặt g(t) = t t Bảng biến thiên hàm g(t): x g (x) − + g(x) g(1) ï Yêu cầu tốn tương đương (1) có nghiệm hay 3m ≥ g(t) có nghiệm t ∈ ; 2 ⇔ 3m ≥ g(1) ⇔ 3m ≥ ⇔ m ≥ Chọn đáp án B ị d Ví dụ Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm f (x) Hàm số y = f (x) liên tục tập số thực có bảng biến thiên sau: Biết f (−1) = [−1; 2] 10 A x 00 −∞ 10 −1 20 30 40 50 +∞ 60 f 01 (x) +∞ 11 21 41 12 22 42 51 52 61 02 31 32 03 13 23 33 43 53 −∞ 63 62 10 , f (2) = Giá trị nhỏ hàm số g(x) = f (x) − 3f (x) đoan B 820 27 C Ê Lời giải Xét hàm số g(x) = f (x) − 3f (x) đoạn ñ [−1; 2] f (x) = (1) g (x) = [f (x) − 1] · f (x), g (x) = ⇔ f (x) = (2) ñ x = −1 ∈ [−1; 2] Từ bảng biến thiên, ta có: (1) ⇔ x = ∈ [−1; 2] 730 27 D 198 Và f (x) ≥ 0, ∀x ∈ [−1; 2] nên f (x) đồng biến [−1; 2] ⇒ f (x) ≥ f (−1) = p Lê Quang Xe 91 10 Ô SĐT: 0967.003.131 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ ⇒ f (x) > ⇒ f (x) > 1, ∀x ∈ [−1; 2] nên (2) vơ nghiệm Do đó, g (x) = có nghiệm x = −1 x = Å ã Å ã3 10 730 10 −3 = Ta có g(−1) = f (−1) − 3f (−1) = 3 27 g(2) = f (2) − 3f (2) = (6)3 − 3(6) = 198 Vậy g(x) = g(−1) = [−1;2] 730 27 Chọn đáp án C d Ví dụ Cho hàm số y = f (x) nghịch biến R Gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y = f (x) đoạn [1; 2] Biết hàm số y = f (x) thỏa mãn (f (x) − x)f (x) = x6 + 3x4 + 2x2 , ∀x ∈ R Giá trị 3M − m A B −28 C −3 D 33 Ê Lời giải Ta có: (f (x) − x)f (x) = x6 + 3x4 + 2x2 ⇔ f (x) − xf (x) = x6 + 3x4 + 2x2 ⇔ 4f (x) − 4xf (x) = 4x6 + 12x4 + 8x2 ⇔ 4f (x) − 4xf (x) + x2 = 4x6 + 12x4 + 9x2 ñ ñ 2 f (x) = x3 + 2f (x) − x = 2x3 + 3x ⇔ ⇔ [2f (x) − x] = 2x + 3x ⇔ xf (x) = −x3 − x 2f (x) − x = −2x3 − 3x Với f (x) = x3 + 2x ⇒ f (x) = 3x2 + > 0, ∀x ∈ R nên f (x) đồng biến R Với f (x) = −x3 − x ⇒ f (x) = −3x2 − < 0, ∀x ∈ R nên f (x) nghịch biến R Suy ra: f (x) = −x3 − x Vì f (x) nghich biến R nên M = max f (x) = f (1) = −2 [1;2] m = f (x) = f (2) = −10 Từ đây, ta suy ra: 3M − m = 3.(−2) + 10 = [1;2] Chọn đáp án A d Ví dụ Cho hàm số f (x) Biết hàm số f (x) có đồ thị hình bên Trên đoạn [−4; 3], hàm số g(x) = 2f (x) + (1 − x)2 đạt giá trị nhỏ điểm A x = −3 B x = −4 C x = y D x = −1 −4 −3 −1 O x −2 Ê Lời giải Ta có: g (x) = 2f (x) + (2x − 2) = y x = −4 0 ⇔ [f (x) − (1 − x)] = ⇔ f (x) = − x ⇔ x = −1 Bảng biến thiên x = x g (x) g(x) −4 − −1 + g(−4) g(3) 3 −4 −3 −1 O x −2 g(−1) Vậy đoạn [−4; 3], hàm số g(x) đạt giá trị nhỏ điểm x = −1 Chọn đáp án D p Lê Quang Xe 92 Ô SĐT: 0967.003.131 MỤC LỤC AA C MỘT SỐ DẠNG TOÁN CƠ BẢN | Dạng Cơ Max - Min hàm số Câu Giá trị lớn hàm số y = A B √ −x2 + 4x khoảng (0; 3) C D −2 Câu Cho hàm số y = f (x) xác định, liên tục R có bảng biến thiên sau: x y0 −∞ + +∞ − + +∞ y −∞ −1 Khẳng định sau đúng? A Hàm số có giá trị lớn giá trị nhỏ B Hàm số có cực trị C Hàm số đạt cực đại x = đạt cực tiểu x = D Hàm số có giá trị cực tiểu Ê Lời giải Từ bảng biến thiên, hàm số đạt cực đại x = đạt cực tiểu x = Câu Cho hàm số y = f (x) có đồ thị hình bên Giá trị lớn hàm số đoạn [−2; 3] y −2 A B C O −3 x D Câu Giá trị nhỏ hàm số f (x) = (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) + 2019 A 2017 B 2020 C 2018 D 2019 Câu Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên [−5; 7) sau: x y0 −∞ −5 − +∞ + y Mệnh đề sau đúng? A f (x) = hàm số không đạt giá trị lớn [−5; 7) [−5;7) p Lê Quang Xe 93 Ô SĐT: 0967.003.131 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ B max f (x) = f (x) = [−5;7) [−5;7) C max f (x) = f (x) = [−5;7) [−5;7) [−5;7) [−5;7) D max f (x) = f (x) = khoảng (0; +∞) Tìm m x C m = D m = Câu Gọi m giá trị nhở hàm số y = x + y ) −2 y= g (x ) Câu Cho hàm số y = f (x) hàm số y = g(x) có đạo hàm xác định R có đồ thị hình bên Có giá trị ngun tham số m để f (x) = m có nghiệm thuộc [−2; 3]? phương trình g(x) A B C D f (x B m = y= A m = O x Câu Cho hàm số có bảng biến thiên hình Khẳng định sau đúng? x y0 −∞ + 0 − + +∞ y − −∞ +∞ A Giá trị nhỏ hàm số tập số thực − B Giá trị cực đại hàm số C Giá trị lớn hàm số tập số thực D Giá trị cực tiểu hàm số Câu Cho hàm số y = f (x) liên tục R cho max f (x) = Xét g(x) = f (3x − 1) + m Tìm [−1;2] tất giá trị tham số m để max g(x) = −10 [0;1] A 13 B −7 C −13 D −1 π π Câu 10 Giá trị lớn hàm số y = sin x − sin3 x khoảng − ; 2 A B C −1 D sin x + Gọi M giá trị lớn m giá trị nhỏ sin x + sin x + hàm số cho Chọn mệnh đề 3 A M = m B M =m+ C M =m+ D M = m + 2 Câu 12 Tìm giá trị nhỏ hàm số f (x) = − khoảng (0; 1) x 2x − √ √ 54 + 25 11 + 5 A f (x) = B f (x) = (0;1) (0;1) 20 Câu 11 Cho hàm số y = p Lê Quang Xe 94 Ô SĐT: 0967.003.131 MỤC LỤC √ 10 + 5 C f (x) = (0;1) √ 56 + 25 D f (x) = (0;1) 20 √ x2 − tập Câu 13 Gọi M m giá trị lớn nhỏ hàm số y = x−2 ï ò D = (−∞; −1] ∪ 1; Tính giá trị m · M 3 A T = B T = C T =− D T = 2 Å ã 11 Câu 14 Cho hàm số y = x − x + Gọi M giá trị lớn hàm số khoảng −25; 10 Tìm M 129 A M = B M= C M = D M= 250 Câu 15 Giá trị lớn hàm số y = −x + 3x + khoảng (0; +∞) A B C −1 D Câu 16 Trên khoảng (0; +∞) hàm số y = −x3 + 3x + A Có giá trị lớn max y = −1 B Có giá trị nhỏ y = −1 C Có giá trị lớn max y = D Có giá trị nhỏ y = Câu 17 Cho hàm số y = x4 − 2x2 + Khẳng định sau đúng? A Hàm số khơng có giá trị nhỏ nhất, khơng có giá trị lớn B Hàm số có giá trị nhỏ nhất, có giá trị lớn C Hàm số có giá trị nhỏ nhất, khơng có giá trị lớn D Hàm số khơng có giá trị nhỏ nhất, có giá trị lớn Câu 18 Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm cấp hai R Biết f (0) = 3, f (2) = −2018 bảng xét dấu f 00 (x) sau x −∞ f (x) 00 0 + +∞ − + Hàm số y = f (x + 2017) + 2018x đạt giá trị nhỏ điểm x0 thuộc khoảng sau đây? A (−∞; −2017) B (2017; +∞) C (0; 2) D (−2017; 0) Câu 19 Cho hàm số f (x) liên tục R có đồ thị hình Bất phương trình 2f (x) + x3 > 2m + 3x2 nghiệm với x ∈ (−1; 3) y = f( x) y O −1 x −1 −3 A m < −10 B m < −5 C m < −3 D m < −2 Câu 20 Có số thực m để giá trị nhỏ hàm số y = |x − 4x + m + 3| − 4x −5? A B C D p Lê Quang Xe 95 Ô SĐT: 0967.003.131 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ | Dạng Min, max hàm đa thức BPT Câu 21 Cho hàm số f (x) = x20−m − x7 + 2, với m tham số nguyên dương Hỏi có giá trị nguyên tham số m để hàm số có giá trị nhỏ R? A B 25 C D 10 Câu 22 Cho hàm số f (x) = x30−m − x6 + 1, với m tham số nguyên dương Hỏi có giá trị nguyên tham số m để hàm số có giá trị lớn R ? A B C D Câu 23 Cho hàm số f (x) = (m2 − 3m) x11 − mx6 + x3 − 3, với m tham số Hỏi có giá trị thực tham số m để hàm số có giá trị lớn R ? A B C Vô số D Câu 24 Cho hàm số f (x) = (m3 − m) x13 − mx6 + x4 + 1, với m tham số Hỏi có giá trị thực tham số m để hàm số f (x) có giá trị nhỏ R ? A B C D Câu 25 Cho hàm số f (x) = x4 + x3 − (m − 1)x2 + 2mx + Để hàm số f (x) đạt giá trị nhỏ x0 = giá trị tham số m nằm khoảng ? A (−3; −1) B (1; 3) C (3; 4) D (−1; 1) Câu 26 Gọi S tập chứa tất giá trị nguyên tham số m ∈ [−21; 21] để giá trị nhỏ hàm số f (x) = x4 − 2mx3 + 4mx2 − (2m + 2)x − 2021 đạt x0 = Số phần tử tập S A B C D 12 Câu 27 Gọi S tập chứa tất giá trị nguyên tham số m để hàm số f (x) = −x4 − 2mx3 + 3mx2 − 2mx − 2021 đạt giá trị lớn x0 = Số phần tử tập S A B C D Câu 28 Gọi S tập chứa tất giá trị nguyên tham số m ∈ [−21; 21] để giá trị nhỏ hàm số f (x) = x6 + (m − 2)x5 + (m2 − 11)x4 + 2021 đạt x0 = Số phần tử tập S A 34 B 42 C 35 D 37 Câu 29 Cho hàm số f (x) = (x − 1)(x − 2) (x2 − ax + b) + 2021 Biết hàm số đạt giá trị nhỏ 2021 Giá trị biểu thức S = 4a + b tương ứng A B C 10 D 14 Câu 30 Cho hàm số f (x) = x6 + ax2 + bx + 2a + b, với a, b hai số thực Biết hàm số đạt giá trị nhỏ x0 = Giá trị nhỏ f (3) ? A 128 B 243 C 81 D 696 Câu 31 Cho hàm số f (x) = x4 + x3 + ax2 + bx + b − Biết hàm số đạt giá trị nhỏ x0 = Hỏi có tất giá trị nguyên tham số a ∈ [−20; 20] thỏa mãn toán? A 30 B 23 C 22 D 24 Câu 32 Cho hàm số f (x) = (m + n − 2)x7 + x4 + (m + 2n − 1)x3 + x2 + (2n − 1)x + Với m n hai tham số thực Biết hàm số đạt giá trị nhỏ x0 = Giá trị biểu thức T = 16m + 2n A 22 B 38 C 46 D 79 Câu 33 Cho hàm số f (x) = x4 + ax3 + 2bx2 + 2cx + 2b với a, b, c tham số thực Biết hàm số đạt giá trị nhỏ x1 = x2 = Giá trị biểu thức T = a + 2b A B C D Câu 34 Cho hàm số f (x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + với a, b, c tham số thực Biết hàm số đạt giá trị nhỏ x1 = x2 = Giá trị biểu thức T = a + 2b + c A B C D −3 p Lê Quang Xe 96 Ô SĐT: 0967.003.131 MỤC LỤC Câu 35 Cho hàm số f (x) = x6 − ax5 + 2bx4 + với a, b hai tham số thực Biết hàm số đạt giá trị nhỏ x1 = x2 = Giá trị biểu thức T = 3a + 4b A B C D Câu 36 Cho hàm số f (x) = x4 + ax3 + bx2 + cx − với a, b, c tham số thực Biết hàm số đạt giá trị nhỏ b Giá trị biểu thức T = a + 3b + c A B C −6 D −1 Câu 37 Cho hàm số f (x) = x8 + ax5 + bx4 + cx + 2021 với a, b hai tham số thực Biết hàm số đạt giá trị nhỏ x0 = Giá trị nhỏ biểu thức T = a + b A −1 B C −2 D Câu 38 Cho hàm số f (x) = x6 + ax5 + bx4 + với a, b hai tham số thực Biết hàm số đạt giá trị nhỏ x0 = Giá trị nhỏ biểu thức T = 2a − b A B C 16 D −2 Câu 39 Cho hàm số f (x) = x4 − 4x3 + (m + 1)x2 − mx + với m tham số thực Biết α = f (x) Giá trị lớn α A B −1 C −2 D Câu 40 Cho hàm số f (x) = x4 +x3 −mx2 +2mx+3m với m tham số thực Biết α = f (x) Khi α đạt giá trị lớn x = x0 m = m0 Giá trị biểu thức (x0 + m0 ) A B C −1 D − Câu 41 Cho hàm số f (x) = −x4 +2x3 +mx2 −(m+2)x với m tham số thực Biết β = max f (x) Khi β đạt giá trị nhỏ A B C D −1 Câu 42 Cho hàm số f (x) = x6 − 6a5 x − 5b với a b hai số thực không âm Biết hàm số đạt giá trị nhỏ −5 Giá trị lớn biểu thức ab tương ứng 6 A B C √ D √ 7 767 Câu 43 Cho hai số thực x, y thỏa mãn x2 + 4y = Gọi giá trị lớn giá trị nhỏ x2 + 2xy + biểu thức P = M m Giá trị biểu thức T = 4M − 4m 2y + √ A 113 B 36 C 12 D 64 Câu 44 Biết để giá trị lớn hàm số f (x) = x3 − mx + đoạn [1; 2] giá a a trị thực tham số m = , a, b số nguyên dương phân số m = tối giản Giá b b trị biểu thức T = a + b A B C D Câu 45 Hỏi có tất giá trị nguyên dương tham số m ∈ [−50; 50] để giá trị lớn hàm số f (x) = x4 − mx đoạn [−1; 3] nhỏ 60 A 53 B 44 C 58 D Câu 46 Hỏi có tất giá trị nguyên dương tham số m ∈ [−50; 50] để giá trị lớn hàm số f (x) = x3 − 3mx đoạn [1; 3] lớn 40 A 52 B 51 C 49 D 50 Câu 47 Hỏi có tất giá trị nguyên tham số m để giá trị lớn hàm số f (x) = x3 + mx2 đoạn [1; 2] nằm (6; 20) ? A B C D Câu 48 Để giá trị nhỏ hàm số f (x) = x3 − mx2 đoạn [1; 2] giá trị thực tham số m ? A −1 B C −2 D p Lê Quang Xe 97 Ô SĐT: 0967.003.131 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ Câu 49 Hỏi có √ tất giá trị nguyên tham số m ∈ [−30; 30] để giá trị nhỏ x x − mx đoạn [1; 4] lớn hàm số f (x) = x+1 A B 27 C 28 D 33 Câu 50 Hỏi có tất giá trị nguyên tham số m ∈ [−30; 30] để giá trị nhỏ x2 + mx + hàm số f (x) = đoạn [1; 2] nhỏ x+1 A 35 B 26 C 11 D 31 Câu 51 Gọi S tập chứa tất giá trị nguyên tham số m ∈ (−44; 44) để giá trị nhỏ hàm số f (x) = x3 + mx − đoạn [0; 3] nằm [−2; 0] Số phần tử tập S A 41 B 45 C 72 D Câu 52 Gọi S tập chứa tất giá trị thực tham số m để giá trị nhỏ hàm số x2 + 2mx f (x) = − Tổng bình phương tất phần tử tập S x +x+1 13 11 A B C D Câu 53 Gọi S tập chứa tất giá trị nguyên tham số m ∈ [−30; 30] để giá trị nhỏ x2 + m hàm số f (x) = lớn − Số phần tử tập S x + 2x + A 31 B 32 C 11 D Câu 54 Gọi S tập chứa tất giá trị nguyên tham số m để giá trị nhỏ hàm số x2 − 2mx + f (x) = nhỏ Số phần tử tập S x + 2x + 3 A B C 59 D 58 Câu 55 Gọi S tập chứa tất giá trị thực tham số m để giá trị lớn hàm số x2 − mx + f (x) = Tổng bình phương phần tử tập S x + 2x + A 32 B 36 C 40 D 48 Câu 56 Gọi S tập chứa tất giá trị nguyên tham số m để giá trị lớn hàm số x2 − mx + f (x) = nhỏ Số phần tử tập S x +x+1 A B 10 C D Câu 57 Gọi S tập chứa tất giá trị nguyên tham số m ∈ [−30; 30] để giá trị lớn 2x2 − mx + hàm số f (x) = lớn Số phần tử tập S x − 2x + A 17 B 16 C 43 D 35 p Lê Quang Xe 98 Ô SĐT: 0967.003.131 MỤC LỤC | Dạng Min, max hàm hợp Câu Cho hàm số y = f (x) liên tục R có đồ thị hình vẽ sau Cho a = |f (x) − |f (x)||, b = −a2 + a + î ó 3q 2 √ S = (b + 1) + b2 (2 − b) − Có giá trị 1+b 2−b m (m + n)2 lớn S k = Khẳng định n |mn| 49 25 A k = B k= C k= D k= 4 y O x − 14 − 12 Câu Gọi S tập hợp tất giá trị thực tham số m cho giá trị lớn hàm số f (x) = |x3 − 3x + m| đoạn [0; 3] 16 Tổng tất phần tử S A −16 B 16 C −12 D −2 Câu Cho hàm số f (x) = (x − 1)2 (x + m2 ) − m (m số thực) Gọi tổng giá trị m √ b √ cho max |f (x)| + |f (x)| = S = ( a − b) (với a, b ∈ R) Giá trị [1;2] [1;2] a 36 18 A B C D 18 5 Câu Cho hàm số f (x), đồ thị hàm số y = f (x) đường cong y hình bên Giá trị lớn hàm số g(x) = f (2x) − 4x đoạn ò ï − ; A f (0) B f (−3) + C f (2) − D f (4) − −3 Câu Cho hàm số y = f (x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx, (a, b, c, d ∈ R), biết đồ thị hàm số y = f (x) hình vẽ Gọi S tập hợp giá trị 2f (x) − x cho hàm số g(x) = đạt giá trị lớn f (x) − 2f (x) + đạt giá trị nhỏ Số phần tử tập S A B C D O x y O x x + m Số giá trị m thỏa mãn max f (x) + f (x) = 16 Câu Cho hàm số f (x) = [1;2] [1;2] x+1 A B C D p Lê Quang Xe 99 Ô SĐT: 0967.003.131 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ Câu Cho hàm số y = f (x) liên tục đoạn [−4; 4] có bảng biến thiên hình vẽ bên x −4 −3 −2 4 f (x) −2 −5 −6 Có tất giá trị thực tham số m thuộc đoạn [−4; 4] để hàm số g(x) = |f (x3 + 2x) + 3f (m)| có giá trị lớn đoạn [−1; 1] 8? A 12 B 11 C D 10 Câu Cho hàm số f (x) = 8x4 + ax3 + bx2 + cx + d thỏa mãn |f (x)| ≤ 1, ∀x ∈ [−1; 1] Tính S = a2 + b2 + c2 + d2 B 75 C 70 D 65 A 60 √ √ x + − x + |4x − 2| + |6 − 4x| Câu Cho hàm số y = f (x) có đồ thị hình vẽ hàm số g(x) = |2x − 1| + |2x − 3| √ Đặt h(x) = f (g(x)) − f (3 − 2x + x2 ) + f − − m2 Gọi M giá trị lớn h(x) Giá trị lớn M thuộc khoảng sau đây? y O −1 A (0; 2) B (2; 4) C (4; 5) x D (5; 10) 2x − mx − với m tham số Tìm tham số m để |f (x)| > [−1;1] x+2 1 B m< C m ∈ R D Câu 11 Cho P = x + y √ A P√ = B P = + 15 C P = −63 D P = −91 + 21 Câu 12 Cho hàm số f (x) = x3 − 3x g(x) = |f (2 − cos x) + m| (m tham số thực), gọi S tập hợp tất giá trị m cho max g(x) + g(x) = 10 Tổng giá trị tất phần tử R S A −16 p Lê Quang Xe R B 12 C −32 100 D −28 Ô SĐT: 0967.003.131 MỤC LỤC ax + b Gọi M, m giá trị lớn giá trị nhỏ 2x2 + f (x) Có cặp số (a, b) với a, b ∈ Z cho M + m2 ≤ 5? Câu 13 Cho hàm số y = f (x) = A 51 B 89 C 198 D 102 Å ã 2 Câu 14 Cho hàm số y = x − (m + 2)x + (3 − 3m ) x + Tìm m ∈ − ; để giá trị lớn 3 hàm số cho đoạn [−1; 1] √ √ √ √ 1− 1− 1− 1− A m= B m= C m= D m= 4 Câu 15 Tìm số giá trị tham số m để giá trị lớn hàm số y = |3x4 − 4x3 − 6mx2 + 12mx + m| đoạn [1; 2] 18 A B C D Câu 16 Cho hàm số y = f (x) đồng biến R thỏa mãn [f (x) − x]·f (x) = x6 +3x4 +2x2 , ∀x ∈ R Gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y = f (x) đoạn [1; 2] Giá trị 3M − m A 33 B −3 C D −28 Câu 17 Có số thực m để giá trị nhỏ hàm số y = |x2 − 2x + m|+4x −1 A B C D Câu 18 Có giá trị nguyên m để giá trị lớn hàm số f (x) = |x3 − 12x + m| [1; 3] không vượt 20? A 33 B 34 C 35 D 36 Câu 19 Gọi M giá trị lớn hàm số f (x) = |x2 + ax + b| đoạn [−1; 3] Giá trị biểu thức a + 2b M nhỏ A B −4 C D Ê Lời giải M giá trị lớn hàm số f (x) = |x2 + ax + b| đoạn [−1; 3] M ≥ f (−1) M ≥ |1 − a + b| ⇒ M ≥ f (3) ⇔ M ≥ |9 + 3a + b| 2M ≥ 2f (1) 2M ≥ 2|1 + a + b| ⇒ 4M ≥ |1 − a + b| + |9 + 3a + b| + 2| − − a − b| ≥ |1 − a + b + + 3a + b − − 2a − 2b| ⇒ 4M ≥ ⇒ M ≥ 2⇒ Mmin = ® −a+b+1=2 a = −2 Dấu “=” xảy 3a + b + = ⇔ b = −1 −1−a−b=2 Thử lại thấy thỏa M = giá trị lớn hàm số f (x) đoạn [−1; 3] Vậy a + 2b = −4 Câu 20 Cho hàm số bậc bốn y = f (x) có đồ thị hình vẽ bên Có giá trị nguyên tham số m thuộc đoạn [0; 20] cho giá trị nhỏ hàm số g(x) = ||2f (x) + m + 4| − f (x) − 3| đoạn [−2; 2] không bé 1? p Lê Quang Xe 101 Ô SĐT: 0967.003.131 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ y y = f (x) O −2 x −2 A 18 B 19 C 20 D 21 Câu 21 Tìm tất giá trị a để giá trị nhỏ hàm số y = 4ax + |x2 − 4x + 3| lớn 2? 1 A a> B a < −1 C C f (3) < D f (3) ≥ Câu 32 Cho hai hàm số y = f (x) y = g(x) liên tục xác định R, có giá trị lớn Khi giá trị lớn hàm số y = 3f (x) + 2g(x) thỏa mãn điều kiện đây? A max (3f (x) + 2g(x)) ≤ 21 B max (3f (x) + 2g(x)) ≥ 24 C max (3f (x) + 2g(x)) ≤ 30 D max (3f (x) + 2g(x)) ≥ 21 Câu 33 Cho hai hàm số y = f (x) y = g(x) liên tục xác định R, có giá trị lớn hàm số y = f (x) giá trị nhỏ y = g(x) Khi giá trị lớn hàm số y = 2f (x) − 3g(x) + thỏa mãn điều kiện đây? A max (2f (x) − 3g(x) + 2) ≥ B max (2f (x) − 3g(x) + 2) ≤ C max (2f (x) − 3g(x) + 2) ≤ D max (2f (x) − 3g(x) + 2) ≥ Câu 34 Cho hàm số y = f (x) liên tục R, có giá trị lớn Biết hàm số y = 2f (x)−x2 +6x có giá trị lớn Chọn đáp án đáp án sau A f (0) ≤ B f (3) ≤ −1 C f (2) ≥ D f (2) ≤ −2 Câu 35 Cho hàm số y = f (x) liên tục xác định R, có f (x) = Khi kết luận nghiệm bất phương trình f (x) > A ln có nghiệm B ln vơ nghiệm C có nghiệm vơ nghiệm D ln có nghiệm Câu 36 Cho hàm số y = f (x) = x4 − 2ax + 6a − có giá trị nhỏ m Nhận xét đáp án đúng? A m ≥ −3 B m < −3 C m ≤ 78 D m ≤ Câu 37 Cho hàm số y = f (x) liên tục R, có giá trị lớn nhỏ M m Biết f (a) + 2f (b) = 18, a b hai số thực dương Nhận xét đáp án đúng? A m ≤ B M ≥ C m ≤ D M ≥ p Lê Quang Xe 104 Ô SĐT: 0967.003.131 MỤC LỤC Câu 38 Cho hàm số y = f (x) liên tục R, có giá trị lớn giá trị nhỏ M m Biết f (a) + 2f (b) = 12, a b hai số thực dương Khi giá trị biểu thức (M − 2)(m − 5) A −1 B −3 C D 10 Câu 39 Cho hàm số f (x) = x4 − 2ax + 4a − 7, có giá trị nhỏ m Hỏi có tất giá trị nguyên dương mà m nhận? A 11 B C D 10 Câu 40 Cho đồ thị hàm số y = f (x) hình vẽ Biết m tham số thực, giá trị nhỏ hàm số f (x) + x2 − 2mx + m2 + tương ứng y f (x) −1 x O −3 A B C −1 D −2 Câu 41 Cho đồ thị hàm số y = f (x) hình vẽ Biết m tham số thực, giá trị nhỏ hàm số f (2x + 3) + x2 − 4mx + 4m2 − −4 tham số m y f (x) −1 x O −3 A −1 C − B D Câu 42 Cho đồ thị hàm số y = f (x) hình vẽ Biết m tham số thực Gọi S tập chứa tất giá trị thực tham số m để hàm số f (3x − m) + 2f (x2 − 2x) đạt giá trị lớn Tổng giá trị tất phần tử thuộc tập S p Lê Quang Xe 105 Ô SĐT: 0967.003.131 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ y O x f (x) A B C D −2 Câu 43 Cho hàm số y = f (x) có đồ thị hình vẽ bên Biết m, n hai số thực Để hàm số 3f (3x − m) + f (x + n) − x2 + 4x đạt giá trị lớn (2m − n) y O x f (x) A B C D Câu 44 Cho hàm số y = f (x) có đồ thị hình vẽ bên Hỏi có tất giá trị thực tham số m để hàm số g(x) = x2 − 2m2 x + m4 − f (f (x)) đạt giá trị nhỏ nhất? y x O −3 −4 f (x) A B C D Câu 45 Cho hàm số y = f (x) có đồ thị hình vẽ bên Biết m, n hai số thực Để hàm số 2f (2x − m) − f (3x + n) + x2 − 2x đạt giá trị nhỏ T = 2m + 3n p Lê Quang Xe 106 Ô SĐT: 0967.003.131 MỤC LỤC y f (x) x O −3 A −11 B −7 C −13 D Câu 46 Cho hàm số f (x) = x2 − 2mx Hỏi có tất giá trị nguyên tham số m ∈ [−30; 30] để hàm số f (x) tồn giá trị nhỏ (−1; 3)? A B C D Câu 47 Cho hàm số f (x) = −x2 + 2(2m − 1)x Hỏi có tất giá trị nguyên tham số m ∈ [−30; 30] để hàm số f (x) tồn giá trị nhỏ (−3; 11]? A B 37 C D Câu 48 Cho hàm số y = x3 − 3mx Hỏi có tất giá trị nguyên tham số m ∈ [−30; 30] để hàm số f (x) tồn giá trị nhỏ nhất (1; 3) ? A B C D 11 Câu 49 Cho hàm số y = x3 −3mx2 Hỏi có tất giá trị nguyên tham số m ∈ [−30; 30] để hàm số f (x) tồn giá trị nhỏ (−2; 3)? A 30 B 18 C 32 D p Lê Quang Xe 107 Ô SĐT: 0967.003.131 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ | Dạng Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối Câu Gọi M , m giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y = |x2 + 4x − 5| đoạn [−3; 0] Khi tổng M + m A B C 14 D Câu Giá trị lớn hàm số y = |x3 − 3x2 − 7| đoạn [0; 4] A B 11 C D Câu Cho hàm số y = |x4 − 16x2 − 7|, gọi M , m giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số đoạn [0; 4] Tính giá trị biểu thức M − 2m A 14 B 57 C 64 D 60 2x − Câu Gọi M , m giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số f (x) = x+2 đoạn [−1; 1] Giá trị biểu thức 2M − 3m A B C đoạn [1; e2 ] Giá trị M + m A B C D x − 3x + đoạn Câu Gọi M , m giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y = x − ï ò −2; Giá trị biểu thức 3M + m 27 40 A B 10 C − D 16 Câu Tìm giá trị lớn hàm số f (x) = |e3x − 4e2x + 4ex − 10| đoạn [0; ln 4] A B C 10 D Câu Gọi M , m giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số f (x) = ln2 x − ln x − D Câụ8 Giảị sử M , m giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y = |cos 2x + sin x − 3| 3π Tính M − 4m 0; A B C −2 D √ Câu Gọi M , m giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y = x2 − + − x2 √ a Khi M + m = + b c với a, b, c nguyên Tính T = a + bc A B C 12 D Câu 10 Gọi M , m giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số f (x) = |x − 1|+x2 −5x+3 đoạn [−2; 4] Tính giá trị biểu thức T = M + m A T = 18 B T = 19 C T = 20 D T = Câu 11 Tích giá trị lớn nhỏ hàm số y = |x2 − 4x + 3|+x2 −1 [−4; 2] A −200 B 200 C 50 D Câu 12 Giá trị nhỏ hàm số y = |x2 − 3x + 2| + |x + 3| 2a Tìm a A B C D Câu 13 Cho hàm số y = ||3x −ï 1| −ò1| + |x2 − 2| Gọi M , m giá trị lớn giá trị M a a nhỏ hàm số đoạn 0; Giả sử = ( phân số tối giản), biểu thức T = a + b m b b có giá trị A 37 B 40 C 13 D 20 p Lê Quang Xe 108 Ô SĐT: 0967.003.131 MỤC LỤC Câu 14 Cho hàm số y = f (x) liên tục R, có đồ thị (C) hình vẽ sau y O x −4 Gọi M , m giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y = |f (x)| đoạn [0; 4] Khi biểu thức M + 2m có giá trị A B C D Câu 15 Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên sau x −∞ y0 + +∞ − 0 + +∞ y −∞ −2 Tìm giá trị lớn hàm số y = |f (|x| + 1) − 1| đoạn [−2; 2] A B C D Câu 16 Có tất giá trị tham số m để giá trị nhỏ hàm số f (x) = |x2 − 2x + m| [−1; 2] A B C D Câu 17 Tính tích tất số thực m để hàm số y = x3 − 6x2 + 8x + m có giá trị nhỏ đoạn [0; 3] 18 A 432 B −216 C −432 D 288 Câu 18 Cho hàm số f (x) = |x − 2x + m − 1| Gọi S tập hợp tất giá trị tham số m cho giá trị nhỏ hàm số đoạn [0; 2] 18 Tổng tất phần tử S A −5 B C −14 D −10 2x − m Câu 19 Cho hàm số f (x) = Gọi S tập hợp tất giá trị m để |f (x)| = Tổng [−2;0] 1−x phần tử tập S A B −8 C −5 D x2 + m (m tham số thực) Gọi S tập hợp giá trị m x−1 cho |f (x)| = Số phần tử S Câu 20 Cho hàm số y = f (x) = [2;3] A B C D Câu 21 Cho hàm số y = f (x) = ax2 + bx + c có đồ thị hình vẽ Tính tổng tất giá trị nguyên tham số m cho giá trị lớn hàm số g(x) = |f (x) + m| đoạn [0; 4] A −10 B −6 C D p Lê Quang Xe 109 Ô SĐT: 0967.003.131 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ Câu 22 Cho hàm số f (x) = x3 − 3x Gọi S tập hợp tất giá trị thực tham số m cho giá trị lớn hàm số y = |f (sin x + 1) + m| Tổng phần tử S A B C D Câu 23 Biết đồ thị hàm số f (x) = ax4 + bx2 + c có ba điểm chung với trục hoành f (1) = −1; f (1) = Gọi S tập hợp tất giá trị nguyên dương tham số m để bất phương trình |f (x) − m| ≤ 12 nghiệm ∀x ∈ [0; 2] Số phần tử S A 10 B 16 C 11 D x + 2020 Câu 24 Cho hàm số f (x) = (m tham số thực) Có tất giá trị tham số x−m m cho max |f (x)| = 2020 [0;2019] A B C D Câu 25 Gọi S tập hợp tất giá trị tham số m cho giá trị lớn hàm số x2 + 2mx + 4m đoạn [−1; 1] Tổng tất phần tử S f (x) = x+2 A B − C D − 2 Câu 26 Gọi S tập hợp tất giá trị tham số m cho giá trị lớn hàm số x2 + 2mx + 4m đoạn [−1; 1] Tổng tất phần tử S f (x) = x+2 A B − C D − 2 Câu 27 Tính tổng tất giá trị nguyên lớn tham số m cho giá trị nhỏ hàm số y = |x2 − (m + 1) x + m| [2; m − 1]nhỏ 2020 A 2043210 B 2034201 C 3421020 D 3412020 Câu 28 Cho hàm số y = x3 − x2 + 6x − + m Tổng giá trị nguyên tham số m thuộc đoạn [−10; 10] để giá trị nhỏ hàm số đoạn [0; 3] không bé A B −1 C D −7 Câu 29 Cho hàm số y = x4 − x3 + x2 + m Tính tổng tất số nguyên m để maxy ≤ 11 [−1;2] A −19 B −37 C −30 D −11 Câu 30 Có nhiêu số nguyên m để giá trị nhỏ hàm số y = |−4 cos2 x + sin x + m + 4| h bao πi đoạn 0; nhỏ 4? A 12 B 14 C 13 D 15 Câu 31 Cho hàm số f (x) = |x2 − 2mx + 3| Có giá trị m nguyên để giá trị lớn f (x) đoạn [1; 2] không lớn 3? A B C D Câu 32 Cho hàm số y = |x3 − 3x2 − 9x + m| (với m tham số thực) Gọi S tập hợp giá trị nguyên tham số m để maxy < 50 Tổng phần tử M [−2;3] A B 737 C 759 D −215 Câu 33 Cho hàm số y = |x − 2x + x + a| Có giá trị nguyên tham số a để maxy ≤ [−1;2] 100 A 197 B 196 C 200 D 201 Câu 34 Cho hàm số y = |sin x + cos x + m|, có giá trị nguyên m để hàm số có giá trị lớn bé A B C D p Lê Quang Xe 110 Ô SĐT: 0967.003.131 MỤC LỤC Câu 35 Gọi M giá trị nhỏ hàm số y = |x2 + 2x + m| đoạn [−2; 1] Với m ∈ [−3; 3], giá trị lớn M A B C D Câu 36 Cho hàm số f (x) = |x4 − 4x3 + 4x2 + m| Khi m thuộc [−3; 3] giá trị nhỏ hàm số f (x) đoạn [0; 2] đạt giá trị lớn A B C D Câu 37 Cho hàm số y = |x2 − 4x + 2m − 3| với m tham số thực Biết giá trị lớn hàm số đoạn [1; 3] đạt giá trị nhỏ a m = b Tính P = 2b − a 13 −9 A B C D 4 Câu 38 Cho hàm số y = |x3 + x2 + (m2 + 1) x + 27| Gọi S tập tất giá trị tham số m cho giá trị lớn hàm số đoạn [−3; −1] có giá trị nhỏ Khi tích phần tử S A B −4 C D −8 19 Câu 39 Có giá trị nguyên tham số m để giá trị lớn hàm số y = x4 − x2 + 30x + m đoạn [0; 2] đạt giá trị nhỏ nhất? A B C D Câu 40 Gọi S tập hợp giá trị thực tham số m cho giá trị lớn hàm số y = |x2 − 2x + m| đoạn [0; 2] Số phần tử S A B C D Câu 41 Có giá trị nguyên tham số m để giá trị nhỏ hàm số y = |x3 − mx2 − 9x + 9m| đoạn [−2; 2] đạt giá trị nhỏ A B C D Câu 42 Có số nguyên m để giá trị nhỏ hàm số y = f (x) = |−x4 + 8x2 + m| đoạn[−1; 3] đạt giá trị nhỏ A 23 B 24 C 25 D 26 Câu 43 Cho hàm sốy = |x4 − 2x3 + x2 + a| Có số thực a để y + maxy = 10 [−1;2] [−1;2] A B C D x + ax − (a tham số) Gọi M , m giá trị lớn nhất, giá trị Câu 44 Cho hàm số y = x nhỏ hàm số [1; 4] Có giá trị thực a để M + 2m = 7? A B C D Câu 45 Cho hàm số f (x) = x4 − 2x3 + m (m tham số thực) Tìm tổng tất giá trị m cho max |f (x)| + 2min |f (x)| = 10 [0;1] A [0;1] B −3 C D Câu 46 Cho hàm sốf (x) = |x3 − 3x2 + m| Tìm tất giá trị m thỏa mãn 3maxf (x) − [1;3] 2minf (x) = 17 [1;3] A m ∈ {9; −5; 29} ™ ß −5 B m ∈ 9; −5; C m ∈ {9; −5} D m ∈ {9; −5; 5} Câu 47 Cho hàm số y = f (x) = x3 − 3x + m Tích tất giá trị tham số m để |f (x)| + [0;2] max |f (x)| = [0;2] A −16 p Lê Quang Xe B −9 C 16 111 D 144 Ô SĐT: 0967.003.131 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ Câu 48 Cho hàm số y = f (x) = x3 − 3x + m Tích tất giá trị tham số m để |f (x)| + [0;2] max |f (x)| = [0;2] A −16 B −9 C 16 D 144 x+m với m tham số thực Gọi S tập hợp tất giá trị Câu 49 Cho hàm số f (x) = x+2 m cho max |f (x)| + |f (x)| = [0;1] Số phần tử S A [0;1] B C D Câu 50 Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên đoạn [−4; 4] sau x y −4 + −3 − −1 y −4 + − + −3 Có giá trị tham số m ∈ [−4; 4] để giá trị lớn hàm số g(x) = f (|x3 | + |x|)+f (m) 11 đoạn [−1; 1] A B C D Câu 51 Cho hàm số y = f (x) có đồ thị hình vẽ Đặt Ç√ å √ » + 2m − − 2m √ g(x) = |f (x)| − − |x| + f 2 Với giá trị m giá trị nhỏ hàm số g(x) 0? A − B C D Không tồn p Lê Quang Xe 112 y 1 − 12 O x Ô SĐT: 0967.003.131 MỤC LỤC | Dạng Ứng dụng Max - Min Câu Một biển quảng cáo có dạng hình elip với bốn đỉnh A1 , A2 , B1 , B2 hình vẽ bên Người ta chia elip parabol có đỉnh B1 , trục đối xứng B1 B2 qua điểm M , N Sau sơn phần tô đậm với A giá 200.000 đồng/m2 trang trí đèn led phần cịn lại với giá 500.000 đồng/m2 Hỏi kinh phí sử dụng gần với giá trị đây? Biết A1 A2 = 4m, B1 A2 = 2m, M N = 2m A 2.341.000 đồng B 2.057.000 đồng C 2.760.000 đồng M N A1 D 1.664.000 đồng Câu Một chất điểm chuyển động thẳng với quãng đường biến thiên theo thời gian quy luật s(t) = t3 − 4t2 + 12, t khoảng thời gian tính từ lúc bắt đầu chuyển động Vận tốc chất điểm đạt giá trị bé t bao nhiêu? A B C D 3 Câu Tính diện tích lớn hình chữ nhật ABCD nội tiếp nửa đường trịn có bán kính 10 cm A 160 cm2 B 100 cm2 C 80 cm2 D 200 cm2 Câu Người ta muốn xây bể hình hộp đứng tích V = 18m3 , biết đáy bể hình chữ nhật có chiều dài gấp lần chiều rộng bể khơng có nắp Hỏi cần xây bể có chiều cao h mét để nguyên vật liệu xây dựng nhất? A m B m C m D m 2 Câu Một cốc hình trụ có bán kính đáy cm , chiều cao 20 cm Trong cốc có nước, khoảng cách đáy cốc mặt nước 12 cm Một quạ muốn uống nước cốc mặt nước phải cách miệng cốc khơng cm Con quạ thông minh mổ viên đá hình cầu có bán kính 0, cm thả vào cốc để mực nước dâng lên Để uống nước quạ cần thả vào cốc viên đá? A 30 O0 A0 O A B 27 C 28 D 29 Câu Một sợi dây có chiều dài 28m cắt thành hai đoạn để làm thành hình vng hình trịn Tính chiều dài đoạn dây làm thành hình vng cắt cho tổng diện tích hình vng hình trịn nhỏ nhất? 56 112 84 92 A B C D 4+π 4+π 4+π 4+π Câu Để chuẩn bị cho đợt phát hành sách giáo khoa mới, nhà xuất yêu cầu xưởng in phải đảm bảo yêu cầu sau: Mỗi sách giáo khoa cần trang chữ có diện tích 384 cm2 , lề lề cm, lề trái lề phải cm Muốn chi phí sản xuất thấp xưởng in phải in trang sách có kích thước tối ưu nhất, với yêu cầu chất lượng giấy mực in đảm bảo Tìm chu vi trang sách A 82 cm B 100 cm C 90 cm D 84 cm p Lê Quang Xe 113 Ô SĐT: 0967.003.131 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ Câu Với nhôm hình chữ nhật có kích thước 30 cm, 40 cm Người ta phân chia nhơm hình vẽ cắt bỏ phần để gấp lên hộp có nắp Tìm x để thể tích hộp lớn x x x x 30 cm x x x x 40 cm √ 35 + 13 A cm √ 35 − 13 cm B √ 35 − 13 cm C √ 35 + 13 cm D Câu Ông A dự định sử dụng hết 6, m2 kính để làm bể cá kính có dạng khối hình hộp chữ nhật chữ nhật không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng Bể cá có dung tích lớn bao nhiêu? A 2, 26 m3 B 1, 01 m3 C 1, 33 m3 D 1, 50 m3 Câu 10 Một vật chuyển động theo quy luật s = − t3 + 6t2 với t khoảng thời gian tính từ vật bắt đầu chuyển động s quãng đường vật di chuyển khoảng thời gian Hỏi khoảng thời gian giây, kể từ bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn vật đạt bao nhiêu? A 243 B 144 C 27 D 36 Câu 11 Một bác nông dân cần xây dựng hố ga khơng có nắp dạng hình hộp chữ nhật tích 3200 m3 , tỉ số chiều của hố chiều rọng đáy Hãy xác định diện tích đáy hố ga để tiiết kiệm nguyên vật liệu nhất? A 1200 cm2 B 120 cm2 C 160 cm2 D 1600 cm2 Câu 12 Ơng An có khu đất hình elip với độ dài trục lớn 10 m độ dài trục bé m Ông An muốn chia khu đất thành hai phần, phần thứ hình chữ nhật nội tiếp elip dùng để xây bể cá cảnh phần lại dùng để trồng hoa Biết chi phí xây bể cá 1000000 đồng 1m2 chi phí trồng hoa 1200000 đồng 1m2 Hỏi ơng An thiết kế xây dựng với tổng chi phí thấp gần với số sau đây? A 67398224 đồng B 67593346 đồng C 63389223 đồng D 67398228 đồng Câu 13 Một hồ rộng có hình chữ nhật Tại góc nhỏ hồ người ta đóng cọc vị trí K cách bờ AB m cách bờ AC m , dùng sào ngăn góc nhỏ hồ để thả bèo Tính chiều dài ngắn sào để sào chạm vào bờ AB , AC cọc K √ √ √ √ 65 71 A m B 5 m C m D m 4 Câu 14 Một mảnh đất hình chữ nhật ABCD có chiều dài AB = 25 m , chiều rộng AD = 20 m chia thành hai phần vạch chắn M N (M, N trung điểm BC AD) Một đội xây dựng làm đường từ A đến C qua vạch chắn M N , biết làm đường miền ABM N làm 15 m làm miền CDN M làm 30 m Tính thời gian ngắn đường từ A √ đến C √ mà đội xây dựng làm √ 10 + 725 20 + 725 A B C D 30 30 p Lê Quang Xe 114 Ô SĐT: 0967.003.131 MỤC LỤC Câu 15 Để thiết kế bể cá khơng có nắp đậy hình hộp chữ nhật có chiều cao 60 cm, thể tích 96.000 cm3 , người thợ dùng loại kính để sử dụng làm mặt bên có giá thành 70.000đồng/m2 loại kính để làm mặt đáy có giá thành 100.000 đồng/m2 Chi phí thấp để làm bể cá A 283.000 B 382.000 đồng C 83.200 đồng D 832.000 đồng Câu 16 Một hộp có dạng hình hộp chữ nhật tích 48 chiều dài gấp đôi chiều rộng Chất liệu làm đáy mặt bên hộp có giá thành gấp ba lần giá thành chất liệu làm nắp hộp m Gọi h chiều cao hộp để giá thành hộp thấp Biết h = với m, n số nguyên n dương nguyên tố Tổng m + n A 12 B 13 C 11 D 10 Câu 17 Một cổng có hình dạng Parabol (P ) có kích thước hình vẽ, biết chiều cao cổng m, AB = m Người ta thiết kế cửa hình chữ nhật CDEF , phần cịn lại dùng để trang trí Biết chi phí để trang trí phần tơ đậm 1.000.000 đồng/ m2 Hỏi số tiền dùng để trang trí phần tơ đậm gần với số tiền đây? A A 4.450.000 đồng E D F C B 4.605.000 đồng B C 4.505.000 đồng D 4.509.000 đồng Câu 18 Một hộp có dạng hình hộp chữ nhật tích 48 chiều dài gấp đôi chiều rộng Chất liệu làm đáy mặt bên hộp có giá thành gấp ba lần giá thành chất liệu làm nắp hộp m Gọi h chiều cao hộp để giá thành hộp thấp Biết h = với m , n số nguyên n dương nguyên tố Tổng m + n A 12 B 13 C 11 D 10 Câu 19 Một trang trại rau ngày thu hoạch rau Mỗi ngày, bán rau với giá 30.000 đồng/kg hết rau sạch, giá bán rau tăng 1000 đồng/kg số rau thừa tăng thêm 20 kg Số rau thừa thu mua làm thức ăn chăn nuôi với giá 2000 đồng/kg Hỏi tiền bán rau nhiều trang trại thu ngày bao nhiêu? A 32.400.000 đồng B 34.400.000 đồng C 32.420.000 đồng D 34.240.000 đồng Câu 20 Hình vẽ bên mô tả đoạn đường vào GARA Ơ TƠ nhà Hiền Đoạn đường có chiều rộng x (m), đoạn đường thẳng vào cổng GARA có chiều rộng 2, (m) Biết kích thước xe tơ 5m × 1, 9m Để tính tốn thiết kế đường cho tơ người ta coi ô tô khối hộp chữ nhật có kích thước chiều dài (m), chiều rộng 1, (m) Hỏi chiều rộng nhỏ đoạn đường gần với giá trị giá trị bên để tơ vào GARA được? A x = 3, m B x = 2, m C x = 3, 55 m D x = 4, 27 m p Lê Quang Xe 115 2, m xm Ô SĐT: 0967.003.131 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ 2x có đồ thị (C) điểm J thay đổi x−1 thuộc (C) hình vẽ bên Hình chữ nhật IT JV có chu vi nhỏ √ √ A 2 B C D Câu 21 Cho hàm số y = y T J I V x O Câu 22 Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm cấp hai R Biết f (0) = 3, f (2) = −2018 bảng xét dấu f 00 (x) sau x −∞ f 00 (x) + +∞ − + Hàm số y = f (x + 2017) + 2018x đạt giá trị nhỏ điểm thuộc khoảng sau đây? A (0; 2) B (−∞; −2017) C (−2017; 0) D S = (2017; +∞) ax + b với a 6= a, b số thực Biết max y = y = −2 x∈R x∈R x2 + Giá trị biểu thức P = a2 b A 7680 B 1920 C 3840 D −1920 Câu 23 Cho hàm số y = Câu 24 Gọi S tập hợp tất giá trị thực tham số m cho giá trị nhỏ hàm số 34 đoạn [0; 3] Tổng tất phần tử S f (x) = » (x3 − 3x + 2m)2 + A B −8 C −6 D −1 Câu 25 Cho hai hàm số y = f (x) y = g(x) hai hàm số liên tục R có đồ thị hàm số y = f (x) đường cong nét đậm, đồ thị hàm số y = g (x) đường cong nét mảnh hình vẽ Gọi ba giao điểm A, B, C y = f (x) y = g (x) hình vẽ có hồnh độ a b, c Tìm giá trị nhỏ hàm số h(x) = f (x) − g(x) đoạn [a; c]? A h(x) = h(0) B h(x) = h(a) [a;c] y A [a;c] C h(x) = h(b) x O B C D h(x) = h(c) [a;c] [a;c] Câu 26 Cho hàm số bậc bốn y = f (x) có đồ thị hình vẽ Có giá trị nguyên tham số m ∈ [0; 20] cho giá trị nhỏ hàm số g(x) = ||2f (x) + m + 4| − f (x) − 3| đoạn [−2; 2] không bé 1? A 18 B 19 C 20 D 21 y −2 O x −2 x + 2m (m tham số thực) Gọi S tập hợp tất giá trị thực x+1 m cho max |f (x)| + |f (x)| = Số phần tử S Câu 27 Cho hàm số f (x) = [0;1] p Lê Quang Xe [0;1] 116 Ô SĐT: 0967.003.131 MỤC LỤC A B C D Câu 28 Cho hàm số y = |x4 − 2x2 + 3m| với m tham số Biết có hai giá trị m1 , m2 m để giá trị nhỏ hàm số đoạn [−1; 2] 2021 Tính giá trị |m1 − m2 | 4052 4051 A B C D 3 3 2x4 − mx − Gọi S tập hợp giá trị nguyên m cho Câu 29 Cho hàm số f (x) = x+2 |f (x)| > Số phần tử S [−1;1] A B C D log x + m Câu 30 Cho hàm số f (x) = (m tham số thực) Gọi S tập hợp tất giá trị log x + m cho hmini |f (x)| + hmaxi |f (x)| = Tổng số phần tử S ;1 10 ;1 10 10 A − B C D 3 Câu 31 Cho hàm số f (x) = |3e4x − 4e3x − 24e2x + 48ex + m| Gọi A, B giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số cho [0; ln 2] Gọi S tập hợp tất giá trị nguyên tham số m thuộc [−23; −10] thỏa mãn A ≤ 3B Tổng phần tử tập S A −33 B C −111 D −74 Câu 32 Cho hàm số f (x) liên tục đoạn [−4; 4] có bảng biến thiên hình vẽ bên x −4 −3 −2 f (x) −2 −5 −6 Có tất giá trị thực tham số m ∈ [−4; 4] để hàm số g(x) = |f (x3 + 2x) + 3f (m)| có giá trị lớn đoạn [−1; 1] 8? A 12 B 11 C D 10 Câu 33 Cho a, b, c > Giá trị nhỏ biểu thức H = dướiÅđây?ã A A ;2 B ï ò 13 ;2 18 C ï ò ;2 3a4 + 12b4 + 25c3 + thuộc tập hợp ä3 Ä √ a + 2b + c D ï ò 0; Câu 34 Gọi √ S tập hợp tất giá trị nguyên tham số m cho giá trị nhỏ hàm mx − x + 2019 số y = tập D = {x ∈ R | ≤ |x| ≤ 2018} không vượt Số phần tử x + 2020 S A 2110 B 2108 C 1054 D 1009 2t + Câu 35 Cho hàm số f (t) = x, y số thực thỏa mãn 5x2 + 2xy + y = Giá trị lớn t − Å ã 6x − f 4x − y − p Lê Quang Xe 117 Ô SĐT: 0967.003.131 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ A B C −3 D −1 Câu 36 Cho hàm số y = (x2 + x + m) Tổng tất giá trị thực tham số m để y = [−2;2] A − 23 p Lê Quang Xe B − 31 C −8 118 D Ô SĐT: 0967.003.131 MỤC LỤC BÀI ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ AA A LÝ THUYẾT Đường tiệm cận ngang Tiệm cận ngang Cho hàm số y = f (x) xác định khoảng vô hạn (là khoảng dạng (a; +∞), (−∞; b) (−∞; +∞)) Đường thẳng y = y0 đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang) đồ thị hàm số y = f (x) điều kiện sau thỏa mãn: lim f (x) = y0 , x→+∞ lim f (x) = y0 x→−∞ Đường tiệm cận đứng Tiệm cận đứng Đường thẳng x = x0 gọi đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) đồ thị hàm số y = f (x) điều kiện sau thỏa mãn: lim f (x) = +∞, x→x0 + lim f (x) = −∞, x→x0 − lim f (x) = −∞, x→x0 + lim f (x) = +∞ x→x0 − o Đồ thị hàm phân thức dạng y = ax + b (c 6= 0; ad − bc 6= 0) ln có tiệm cận ngang y = a d tiệm cận đứng x = − c cx + d c Dấu hiệu nhận biết đường tiệm cận đồ thị hàm số Dấu hiệu tìm tiệm cận ○ Hàm phân thức mà nghiệm mẫu khơng nghiệm tử có tiệm cận đứng ○ Hàm phân thức mà bậc tử ≤ bậc mẫu có TCN p p p p ○ Hàm thức dạng: y = f (x) − g (x), y = f (x) − g (x), y = g (x) − f (x) có tiệm cận ngang (dùng liên hợp) ○ Hàm y = ax , (0 < a 6= 1) có tiệm cận ngang y = ○ Hàm số y = loga x, (0 < a 6= 1) có tiệm cận đứng x = Cách tìm đường tiệm cận đồ thị hàm số Phương pháp tìm tiệm cận ○ Tiệm cận đứng: ta tìm nghiệm mẫu khơng nghiệm tử ○ Tiệm cận ngang: tính hai giới hạn: lim y lim y x→+∞ p Lê Quang Xe x→−∞ 119 Ô SĐT: 0967.003.131 ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ Một số ý trình tìm tiệm cận √ x2 = |x| = x √ ○ Nếu x → −∞ ⇒ x < ⇒ x2 = |x| = −x ○ Nếu x → +∞ ⇒ x > ⇒ AA B VÍ DỤ MINH HỌA d Ví dụ Cho hàm số y = f (x) có lim+ f (x) = +∞ lim− f (x) = Mệnh đề sau x→1 x→1 đúng? A Đồ thị hàm số khơng có tiệm cận C Đồ thị hàm số có hai tiệm cận B Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = D Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang = Ê Lời giải Vì lim+ f (x) = +∞ nên đồ thi hàm số có tiệm cận đứng x = x→1 Chọn đáp án B 2x2 − x Số đường tiệm cận đồ thị hàm số x2 + 5x + B C D d Ví dụ Cho hàm số y = A Ê Lời giải ñ x = −1 Ta có x2 + 5x + = ⇔ ⇒ Tập xác định D = R \ {−1; −4} x = −4 2x2 − x 2x2 − x Vì lim + = +∞ lim − = +∞, nên đường thẳng x = −1 x = −4 hai x→−1 x + 5x + x→−4 x + 5x + tiệm cận đứng đồ thị hàm số 2x2 − x Mặt khác lim = 2, nên đường thẳng y = tiệm cận ngang đồ thị hàm số x→±∞ x + 5x + Vậy đồ thị hàm số có ba đường tiệm cận Chọn đáp án C x+3−2 Đồ thị hàm số có đường tiệm cận? − 3x + B C D d Ví dụ Cho hàm số y = A √ x2 Ê Lời giải ñ x=1 Ta có x2 − 3x + = ⇔ ⇒ Tập xác định D = [−3; +∞) \ {1; 2} x = √ x+3−2 x−1 = , ∀x 6= √ √ Ta có = x − 3x + (x − 1) (x − 2) x + + (x − 2) x + + = +∞ nên x = đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số √ Vì lim+ x→2 (x − 2) x+3+2 = 0, nên đồ thị hàm số nhận y = làm tiệm cận ngang √ Mặt khác lim x→+∞ (x − 2) x+3+2 Vậy đồ thị hàm số có đường tiệm cận Chọn đáp án D p Lê Quang Xe 120 Ô SĐT: 0967.003.131 MỤC LỤC √ d Ví dụ Đường tiệm cận ngang đồ thị hàm số f (x) = √ − 5x − 2x 2x2 − 3x √ √ A y = 2; y = −2 B y = 2; y = − √ C y = D y = Ê Lời giải ã Tập xác định D = (−∞; 0) ∪ ; +∞ Ta có √ √ √ √ √ 2x2 − 5x + 2x2 − 3x 2x2 − 5x + 2x2 − 3x √ = − lim f (x) = lim = lim f (x) = lim x→−∞ x→−∞ x→+∞ x→+∞ −2x −2x √ Vậy đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang đường thẳng y = ± Chọn đáp án B Å d Ví dụ Cho hàm số y = f (x) = ax3 + bx2 + cx + d có đồ thị hình bên Hỏi 2x có đường tiệm cận đứng? đồ thị hàm số y = g(x) = f (x) A B C D y −4 −1 O x Ê Lời giải Điều kiện xác định f (x) 6= x = −4 Từ đồ thị ta thấy f (x) = ⇔ x = −1 x = Khi f (x) = a(x + 4)(x + 1)(x − 2) có nghiệm Do đồ thị hàm số y = g(x) có đường tiệm cận đứng Chọn đáp án A d Ví dụ Biết đồ thị hàm số y = A −8 √ 3x − + ax + b khơng có tiệm cận đứng Khi 4a − b (x − 2)2 B 10 √ C −4 D Ê Lời giải 3x − + ax + b khơng có tiệm cận đứng (x − 2)2 √ ⇔ f (x) = 3x − + ax + b = có nghiệm kép x = ® + 2a + b = a = − f (2) = ⇔ ⇔ ⇔ √ +a=0 f (2) = b = 2 2·3−5 Å ã Vậy 4a − b = · − − = −8 Chọn đáp án A Đồ thị hàm số y = p Lê Quang Xe 121 Ô SĐT: 0967.003.131 ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ d Ví dụ Tìm tập hợp giá trị tham số m để đồ thị hàm số y = có ba Åđường ã tiệm cận ã Å 1 A m ∈ − ;0 B m ∈ − ; +∞ 3 ã ï C m ∈ − ;0 p (x − 1) (x2 + 3x + 3) mx2 + 2x − ò Å D m ∈ − ;0 Ê Lời giải Ta có (x − 1) (x + 3x + 3) ≥ ⇔ x ≥ Trường hợp 1: Nếu m = đồ thị hàm số khơng có tiệm cận ngang Do đồ thị hàm số khơng thể có ba đường tiệm cận Trường hợp 2: Nếu m 6= đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang y = Do đồ thị hàm số có ba đường tiệm cận ⇔ mx2 + 2x − = có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thuộc nửa khoảng [1; +∞) + 3m > m > − ∆ > −1 ⇔ m < ⇔ − < m < ⇔ (x1 − 1) (x2 − 1) ≥ ⇔ m ≥ 1+m (x1 − 1) + (x2 − 1) > m > −1 2 ñ m < −2 m < −2 m < −2 A m > B C D m 6= − m>2 m 6= − 2 (n − 3)x + n − 2017 (m, n số thực) nhận trục hoành Câu 22 Biết đồ thị hàm số y = x+m+3 làm tiệm cận ngang trục tung tiệm cận đứng Tính tổng m + n A B −3 C D Câu 21 Cho hàm số y = f (x) = x2 x−1 Câu 23 Có giá trị nguyên tham số m để đồ thị hàm số y = √ có mx2 − 8x + bốn đường tiệm cận? A B C D Vô số √ Câu 24 Tìm tham số m để đồ thị hàm số y = x − mx2 − 3x + có tiệm cận ngang A m = B m = −1 C m = ±1 D Không có m Câu 25 Cho hàm số y = tiệm cận ngang A a = −1; b = p Lê Quang Xe ax + 1 Tìm a, b để đồ thị hàm số có x = tiệm cận đứng y = bx − 2 B a = 4; b = C a = 1; b = 124 D a = −1; b = −2 Ô SĐT: 0967.003.131 MỤC LỤC Câu 26 Có giá trị nguyên m ∈ [−10; 10] cho đồ thị hàm số y = hai đường tiệm cận đứng? A 19 B 15 C 17 2x2 x−1 có + 6x − m − D 18 Câu 27 Có√bao nhiêu giá trị nguyên m để tổng số tiệm cận ngang tiệm cận đứng đồ thị mx2 + 3mx + 3? hàm số y = x+2 A B C Vô số D x−1 Câu 28 Tổng giá trị tham số m để đồ thị hàm số y = có x + 2(m − 1)x + m2 − tiệm cận đứng A − B C −3 D 2 x−3 Câu 29 Cho hàm số y = Có giá trị nguyên thuộc đoạn x − 3mx2 + (2m2 + 1) x − m [−6; 6] tham số m để đồ thị hàm số có bốn đường tiệm cận? A 12 B C D 11 Câu 30 Tìm tất giá trị thực tham số m cho đồ thị hàm số y = có tiệm cận đứng A m = B m > C m = m = 2x2 − 3x + m khơng x−m D m 6= Câu 31 Có giá trị nguyên tham số thực m thuộc đoạn [−2017; 2017] để đồ thị hàm x+2 số y = √ có hai tiệm cận đứng x2 − 4x + m A 2019 B 2021 C 2018 D 2020 Câu 32 Cho hàm số y = f (x) thỏa mãn lim f (x) = 2019m, lim f (x) = 2020m4 Hỏi có tất x→−∞ x→+∞ giá trị m để đồ thị hàm số y = f (x) có tiệm cận ngang? A B C D 1 √ Câu 33 Cho hàm số y = Tìm tất giá trị thực tham số [x − (2m + 1)x + 2m] x − m m để đồ tiệm cận thị hàm số có đường 0 < m < m < 0 ≤ m ≤ A B C m > D m 6= m 6= m 6= 2 6x − Câu 34 Có giá trị nguyên m để đồ thị hàm số y = (mx − 6x + 3) (9x2 + 6mx + 1) có đường tiệm cận? A B C D Vơ số √ Câu 35 Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y = x + mx2 + có tiệm cận ngang A < m < B m = C m = −1 D m > x−2 Câu 36 Cho hàm số y = Có tất giá trị tham số m để đồ thị hàm mx2 − 2x + số có hai đường tiệm cận? A B C D 2019x Câu 37 Gọi S tập giá trị nguyên m cho đồ thị hàm số y = √ có bốn 17x − − m|x| đường tiệm cận Tính số phần tử tập S p Lê Quang Xe 125 Ô SĐT: 0967.003.131 ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ A Vô số B C D Câu 38 Gọi S tập hợp tất giá trị tham số thực m cho đồ thị hàm số x √ nhận trục tung làm tiệm cận đứng Khi tổng f (x) = √ x3 + mx + − x4 + x + + m2 x phần tử S 1 1 A B − C D − 2 3 p x(x − m) − Câu 39 Có giá trị m nguyên thuộc khoảng (−10; 10) để đồ thị hàm số y = x+2 có ba đường tiệm cận? A 12 B 11 C D 10 với m tham số Tìm tất giá trị m để đồ − 3x2 + m − thị hàm số cho có đường tiệm cận A < m < B −1 < m < C m < m > D m > m < −1 √ 3x + + ax + b Câu 41 Hàm số y = khơng có tiệm cận đứng Khi hiệu a − b (x − 1)2 A B − C − D − 4 √ √ −x2 + 2016x + 2017 − 24 Câu 42 Có giá trị nguyên tham để m đồ thị hàm số y = x−m có tiệm cận đứng? A vô số B C 2017 D 2019 √ mx2 + có đường Câu 43 Tìm tất giá trị thực m cho đồ thị hàm số y = x+1 tiệm cận A −1 ≤ m < B −1 ≤ m ≤ C m < −1 D m > Câu 40 Cho hàm số y = √ p Lê Quang Xe x3 126 Ô SĐT: 0967.003.131 MỤC LỤC | Dạng Bài tập tiệm cận đồ thị hàm số x−3 Có giá trị nguyên thuộc đoạn − + (2m2 + 1) x − m [−2020; 2020] tham số m để đồ thị hàm số có đường tiệm cận? A 4039 B 4040 C 4038 D 4037 √ 20 + 6x − x2 Tìm tất cá giá trị m cho đồ thị hàm số có Câu Cho hàm số y = √ x2 − 8x + 2m hai đường tiệm cận đứng A m ∈ [6; 8) B m ∈ (6; 8) C m ∈ [12; 16) D m ∈ (0; 16) Câu Cho hàm số y = x3 3mx2 Câu Cho hàm số bậc bốn y = f (x) có đồ thị hình vẽ Số đường tiệm (x2 − 4) (x − 3) (x3 + 1) cận đồ thị hàm số g(x) = f (f (x) − 1) A B C D y y = f (x) −2 −1 Câu Cho đồ thị hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d hình vẽ Đồ thị 3x2 − x − hàm số g(x) = có đường tiệm cận 3f (x) − 6f (x) đứng A B C D O x y −2 −1 O y = f (x) x Câu Cho hàm số bậc ba y = f (x) có bảng biến thiên hình bên x −∞ f (x) −1 + − +∞ + +∞ f (x) −∞ −1 √ 2x + − 4x + Đồ thị hàm số g(x) = có tất đường tiệm cận đứng tiệm cận |f (x)| − ngang A B C D Câu p Lê Quang Xe 127 Ô SĐT: 0967.003.131 ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ Cho hàm số bậc ba f (x) = √ ax3 + bx2 + cx + d có đồ thị hình vẽ Hỏi đồ thị x − 3x + x − hàm số g(x) = có đường tiệm cận? x [f (x) − f (x)] A B C D y −2 Câu Cho hàm trùng phương y = ax4 + bx2 + c có đồ thị hình (x2 − 4) (x2 + 2x) có tổng cộng bao vẽ Hỏi đồ thị hàm số y = [f (x)]2 + 2f (x) − nhiêu tiệm cận đứng? A B C D y = f (x) O x y y = f (x) −2 x O −3 √ 3x + + ax + b khơng có tiệm cận đứng Tính a2 + b3 (x − 5) −4841 −4814 4841 4814 A B C D 152 152 152 152 Z3 Å ã a −c a c + x + ex− x2 dx = 3e b − e d , phân số ; Câu Biết tích phân I = x b d Câu Biết đồ thị hàm số y = ax + b tối giản Hãy xác định phương trình đường tiệm cận ngang đồ thị hàm số y = cx + d 25 25 25 A y= B y= C y= D y = 3 53 Câu 10 Cho hàm số bậc ba y = f (x)có đồ thị hình vẽ Tổng giá trị nguyên y 2020 14 tham số m để đồ thị hàm số g(x) = có đường tiệm f (f (x) + 1) − m cận A 15 B C 13 D 11 y = f (x) −2 O −1 x −13 Câu 11 Có giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y = f (x) = có hai đường tiệm cận? A B p Lê Quang Xe C 128 √ 6x − + mx − 2m − 3x3 − 14x2 + 20x − D Vơ số Ơ SĐT: 0967.003.131 MỤC LỤC √ − x2 − ln (x + 1) Câu 12 Số đường tiệm cận đồ thị hàm số f (x) = x3 − x A B C D Câu 13 Cho hàm số bậc ba y = f (x) có đồ thị hình vẽ Gọi M , m số tiệm cận đứng, √ tiệm cận√ngang đồ thị hàm số (x2 − 2x − 3) x2 − x x4 − 17x2 + 16 y = Khi mệnh đề |f (x) − 2| (2x2 − 3x) đúng? A 2M = 3m B M = 3m C M = 2m D M = m y y = f (x) O x √ (2x − 3) x2 + 2x − Ä√ ä có tổng số đường tiệm cận đứng, tiệm Câu 14 Đồ thị hàm sốy = (|x + 2| − 1) 4x2 + x + + 2x cận ngang A B C D √ x − x+2 x > x(x − 2)2 Câu 15 Đồ thị hàm số y = f (x) = có tất đường tiệm √ 4x + x + + 2x x ≤ cận? A B C D 4x3 − 20x2 + (m + 24) x − 2m √ có đồ thị (C) Gọi S 20x2 + 14x + − (14x + 11) 2x2 + tập hợp giá trị m để (C) có tiệm cận đứng Tổng giá trị S Câu 16 Cho hàm số y = f (x) = A −1 B −3 C −5 D −7 Câu 17 Cho đồ thị hàm số y = f (x) liên tục R có hai đường tiệm cận ngang y = −5, y = Tìm giá trị tham số m cho đồ thị hàm số y = |f (x) + m| có đường tiệm cận ngang A m = B m = −2 Câu 18 Cho hàm số f (x) = x √ C m = D m = √ ax3 + bx2 − − x2 − x + Biết đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang y = Giá trị a + b thuộc khoảng khoảng sau? A (−5; −3) B (−3; 0) C (0; 3) D (3; 5) Câu 19 p Lê Quang Xe 129 Ô SĐT: 0967.003.131 ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ Cho hàm số bậc ba f (x) = ax3 + bx2 +√ cx + d (a , b , c , d ∈ R) có đồ thị x(x − 2) có đường hình vẽ Đồ thị hàm số g(x) = f (x) − 2f (x) tiệm cận đứng? A B C D y y = f (x) O −1 Câu 20 Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y = x2 đường tiệm cận A m < ñ m>2 m < −2 C m 6= B −2 < m < Câu 21 Gọi S tập giá trị m cho đồ thị hàm số y = hai đường tiệm cận Số phần tử S A B x2 x x−1 có − 2mx + đ m>2 D m < −2 x−1 có − 2mx + m2 − 2m − C Câu 22 Cho hàm số y = f (x) = ax3 + bx2 + cx + d (a 6= 0) có đồ thị hình vẽ Gọi S tập giá trị nguyên m thuộc p khoảng (−2019; 2020) (x + 1) f (x) để đồ thị hàm số g(x) = có đường (f (x) − 2) (x2 − 2mx + m + 2) tiệm cận (tiệm cận đứng tiệm cận ngang) Số phần tử tập S A 2016 B 4034 C 4036 D 2017 Câu 23 Cho hàm số bậc ba f (x) = ax3 + bx2 +√cx + d có đồ thị hình vẽ (x2 − 2x) − x có đường Hỏi đồ thị hàm số g(x) = (x − 3) [f (x) + 3f (x)] tiệm cận đứng? A B C D D y y = f (x) O −1 x y y = f (x) x O −3 p Lê Quang Xe 130 Ô SĐT: 0967.003.131 MỤC LỤC BÀI CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐỒ THỊ HÀM SỐ AA A LÝ THUYẾT Hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d (a 6= 0) Khảo sát Hàm số bậc ba ○ Trường hợp 1: phương trình y = có hai nghiệm phân biệt y y O O x Với a < Với a > ○ Trường hợp 2: phương trình y = có nghiệm kép y y O O x x x Với a > Với a < ○ Trường hợp 3: phương trình y = vơ nghiệm p Lê Quang Xe 131 Ô SĐT: 0967.003.131 CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐỒ THỊ HÀM SỐ y y O x x O Với a < Với a > Hàm số y = ax4 + bx2 + c (a 6= 0) Hàm trùng phương ñ x=0 a) Đạo hàm y = 4ax3 + 2bx = 2x(2a2 x + b), y = ⇔ 2ax2 + b = b) Để hàm số có cực trị: ab < ® a0 ® a>0 ○ Nếu hàm số có cực đại cực tiểu b0 ○ Nếu hàm số có cực tiểu khơng có cực đại b≥0 ® a p Lê Quang Xe x Với a < 132 Ô SĐT: 0967.003.131 MỤC LỤC ○ Trường hợp 2: phương trình y = có nghiệm y y O O x Với a > Hàm số y = x Với a < ax + b (c 6= 0, ad − bc 6= 0) cx + d Hàm số biến ß ™ d ○ Tập xác định D = R \ − c ○ Đạo hàm y = ad − bc (cx + d)2 ○ Nếu ad − bc > hàm số đồng biến khoảng xác định Đồ thị nằm góc phần tư ○ Nếu ad − bc < hàm số nghịch biến khoảng xác định Đồ thị nằm góc phần tư d a TCN y = c c Å ã d a ○ Đồ thị có tâm đối xứng I − ; c c ○ Đồ thị hàm số có TCĐ x = − Các phép biến đổi đồ thị Dạng Từ đồ thị (C) : y =®f (x) suy đồ thị (C ) : y = f (|x|) f (x) x ≥ Ta có y = f (|x|) = f (−x) x < y = f (|x|) hàm chẵn nên đồ thị (C ) nhận Oy làm trục đối xứng Cách vẽ (C ) từ (C) ○ Giữ nguyên phần đồ thị bên phải Oy đồ thị (C) : y = f (x) ○ Bỏ phần đồ thị bên trái Oy (C), lấy đối xứng phần đồ thị giữ qua Oy Dạng Từ đồ thị (C) : y =®f (x) suy đồ thị (C ) : y = |f (x)| f (x) f (x) ≥ Ta có y = |f (x)| = −f (x) f (x) < 0 Cách vẽ (C ) từ (C) ○ Giữ nguyên phần đồ thị phía Ox đồ thị (C) : y = f (x) ○ Bỏ phần đồ thị phía Ox (C), lấy đối xứng phần đồ thị bị bỏ qua Ox p Lê Quang Xe 133 Ô SĐT: 0967.003.131 CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐỒ THỊ HÀM SỐ Dạng Từ đồ thị (C) : y = u(x)v(x) ® suy đồ thị (C ) : y = |u(x)| · v(x) u(x)v(x) = f (x) u(x) ≥ Ta có y = |u(x)| · v(x) = −u(x)v(x) = −f (x) u(x) < 0 Cách vẽ (C ) từ (C) ○ Giữ nguyên phần đồ thị miền u(x) ≥ đồ thị (C) : y = f (x) ○ Bỏ phần đồ thị miền u(x) < (C), lấy đối xứng phần đồ thị bị bỏ qua Ox AA B VÍ DỤ MINH HỌA d Ví dụ Từ đồ thị (C) : y = f (x) = x3 − 3x suy đồ thị (C)0 : y = |x|3 − 3|x| a) Bỏ phần đồ thị (C) bên trái Oy, giữ nguyên (C) bên phải Oy b) Lấy đối xứng phần đồ thị giữ qua Oy y y −1 O −1 x x O −2 −2 (C)0 : y = |x|3 − 3|x| 0.1 Bài tập rèn luyện AA C MỘT SỐ DẠNG TOÁN CƠ BẢN | Dạng Đọc biến đổi đồ thị Câu Cho hàm số y = ax4 + bx2 + c có đồ thị hình bên Mệnh đề đúng? A a > 0, b < 0, c < B a > 0, b > 0, c < C a < 0, b > 0, c < D a > 0, b < 0, c > p Lê Quang Xe 134 y −2 −1O x Ô SĐT: 0967.003.131 MỤC LỤC Câu Tìm a, b, c để hàm số y = A a = 1; b = 1; c = −1 C a = 1; b = 2; c = ax + có đồ thị hình vẽ sau cx + b B a = 1; b = −2; c = D a = 2; b = −2; c = −1 y −2 −1 O x Câu Hàm số y = ax4 + bx2 + c, (a 6= 0) có đồ thị hình bên Mệnh đề đúng? A a > 0, b < 0, c ≤ B a < 0, b < 0, c < C a > 0, b ≥ 0, c > D a > 0, b ≥ 0, c < y O x O x Câu bx − c (a 6= a, b, c ∈ R) có đồ thị hình bên x−a Khẳng định đúng? A a > 0, b > 0, c − ab < B a < 0, b > 0, c − ab < C a < 0, b < 0, c − ab > D a > 0, b < 0, c − ab < Cho hàm số y = y Câu ax + có đồ thị hình vẽ bên x−b Mệnh đề sau đúng? A a > > b B a > b > C a < b < D a < < b Cho hàm số y = y I O x Câu p Lê Quang Xe 135 Ô SĐT: 0967.003.131 CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐỒ THỊ HÀM SỐ ax − b có đồ thị hình x−1 Khẳng định đúng? A b < < a B < b < a C b < a < Cho hàm số y = y D < a < b O x −1 −2 Câu Cho hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d có đồ thị hình bên Khẳng định sau đúng? A a > 0, b < 0, c > 0, d > B a > 0, b > 0, c < 0, d > C a > 0, b < 0, c < 0, d > D a < 0, b > 0, c < 0, d > y x O Câu Cho hàm số f (x) = ax4 + bx2 + c (với ab 6= 0) Chọn điều hình bên ® kiện a,®b để hàm số cho®có dạng đồ thị ® a0 a0 A B C D b>0 b 0, bd > y B bc > 0, ad < D bd < 0, ad > x O Câu 10 Cho hàm số y = f (x) = ax3 + bx2 + cx + d có đồ thị hình vẽ bên Mệnh đề sau đúng? A a > 0, b > 0, c > 0, d > B a > 0, b < 0, c > 0, d > C a < 0, b < 0, c > 0, d < D a > 0, b > 0, c < 0, d > y O p Lê Quang Xe 136 x Ô SĐT: 0967.003.131 MỤC LỤC Câu 11 Cho hàm số y = f (x) = ax4 + bx2 + c có đồ thị hình vẽ bên Mệnh đề sau đúng? A a > 0, b < 0, c < B a > 0, b > 0, c > C a > 0, b < 0, c > D a < 0, b > 0, c > y x O ax + b có đồ thị hình bên với a, b, c ∈ Z x+c Tính giá trị biểu thức T = a − 3b + 2c? A T = −9 B T = −7 C T = 12 D T = 10 Câu 12 Cho hàm số y = y O x −1 −2 Câu 13 Cho hàm số y = f (x) liên tục có đạo hàm cấp hai R Đồ thị hàm số y = f (x), y = f (x), y = f 00 (x) đường cong hình bên? A (C3 ), (C2 ), (C1 ) B (C1 ), (C3 ), (C2 ) C (C3 ), (C1 ), (C2 ) D (C1 ), (C2 ), (C3 ) (C3 ) y (C1) −4 −2 O −2 x −4 (C2 ) Câu 14 Cho hàm số y = f (x) Biết f (x) có đạo hàm f (x) hàm số y = f (x) có đồ thị hình vẽ sau Kết luận sau đúng? A Hàm số y = f (x) có hai điểm cực trị B Đồ thị hàm số y = f (x) có hai điểm cực trị chúng nằm hai phía trục hoành y x O C Hàm số y = f (x) nghịch biến khoảng (−∞; 2) D Hàm số y = f (x) dồng biến khoảng (1; 3) Câu 15 Cho hàm số y = f (x)xác định liên tục R y = f (x) có đồ thị hình vẽ Khẳng định đúng? A f (x) đạt cực đại x = B f (x) đạt cực đại C f (x) đạt cực đại x = ±2 D f (x) đạt cực đại p Lê Quang Xe 137 hàm số sau y x = −1 x = −2 O x Ô SĐT: 0967.003.131 CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐỒ THỊ HÀM SỐ Câu 16 Hình vẽ bên phần đồ thị hàm số nào? −x − x−1 A y= B y= |x| + |x| + x−1 x C y= D y= |x + 1| |x| + y O x −1 Câu 17 Cho hàm số y = f (x) liên tục có đạo hàm cấp hai R Đồ thị hàm số y = f (x), y = f (x), y = f 00 (x) đường cong hình bên? y y −2 O 1 x −2 −2 x+2 A y= |2x − 1| O x −2 |x + 2| B y= 2x − |x| + C y= |x| − Câu 18 Đường cong hình bên đồ thị hàm số bốn hàm số liệt kê bốn phương án A, B, C, D Hỏi hàm số hàm số nào? A y = ln (x + 1) − ln B y = |ln x| C y = ln |x + 1| − ln D y = ln |x| x+2 D y = 2x − y O Câu 19 Cho hàm số y = f (x) xác định, liên tục đoạn [−2; 2] có đồ thị đường cong hình vẽ bên Các giá trị tham số để phương trình |f (x)| = m có nghiệm thực phân biệt A < m < B m < C m > D ≤ m ≤ x e y −2 −1 O x −2 −4 p Lê Quang Xe 138 Ô SĐT: 0967.003.131 MỤC LỤC Câu 20 Đường cong hình bên đồ thị hàm số y = ax + b với cx + d y a, b, c, d số thực Mệnh đề đúng? A y < 0, ∀x 6= B y < 0, ∀x 6= C y > 0, ∀x 6= D y > 0, ∀x 6= 1 x O2 Câu 21 Cho hàm số y = f (x) xác định R có đồ thị hình vẽ Tìm giá trị thực tham số m để phương trình |f (x)| = m có nghiệm phân biệt A < m < B < m < C −4 < m < −3 D < m < y −1 O x −3 −4 Câu 22 Cho đồ thị (C) có phương trình y = trục tung Khi f (x) x+2 A y= x+1 B y=− x+2 , biết ĐTHS y = f (x) đối xứng với (C) qua x−1 x+2 x−1 C y=− x−2 x+1 Câu 23 Cho đồ thị ba hàm số y = f (x), y = f (x), y = f 00 (x) vẽ mơ tả hình Hỏi đồ thị hàm số y = f (x), y = f (x) y = f 00 (x) theo thứ tự, tương ứng với đường cong nào? A (C3 ); (C2 ); (C1 ) B (C2 ); (C1 ); (C3 ) C (C2 ); (C3 ); (C1 ) D (C1 ); (C3 ); (C2 ) D y= x−2 x+1 y C3 C1 O x C2 Câu 24 Cho đồ thị ba hàm số y = f (x), y = f (x), y = f 00 (x) vẽ mơ tả hình Hỏi đồ thị hàm số y = f (x), y = f (x) y = f 00 (x) theo thứ tự, tương ứng với đường cong nào? A (C3 ); (C2 ); (C1 ) B (C2 ); (C1 ); (C3 ) C (C2 ); (C3 ); (C1 ) D (C1 ); (C3 ); (C2 ) y C1 x O C2 p Lê Quang Xe 139 C3 Ô SĐT: 0967.003.131 CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐỒ THỊ HÀM SỐ Câu 25 Cho hàm số y = f (x) xác định R hàm số y = f (x) có đồ thị hình bên Đặt g(x) = f (|x + m|) Có giá trị nguyên tham số m để hàm số g(x) có điểm cực trị? A B C D Vô số Câu 26 Cho hàm số y = f (x) xác định R hàm số y = f (x) có đồ thị hình bên Đặt g(x) = f (|x| + m) Có giá trị nguyên tham số m để hàm số g(x) có điểm cực trị? A B C D Vô số y x −2 O y x −2 O Câu 27 Cho hàm số y = f (x) có đồ thị hình vẽ bên Đồ thị hàm số g(x) = |f (x + 2018) + m2 | có điểm cực trị A B C D y x O −2 −6 Câu 28 Cho hàm số y = f (x) có đồ thị hình vẽ bên Với m < −1 hàm số g(x) = f (|x + m|) có điểm cực trị? A B C D y 1 −1O −1 Câu 29 Cho hàm số y = f (x) có đồ thị hình vẽ bên Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số g(x) = f (|x| + m) có điểm cực trị A m < −1 B m > −1 C m > D m < y −1 p Lê Quang Xe 140 x O1 x Ô SĐT: 0967.003.131 MỤC LỤC Câu 30 Cho hàm số y = f (x) có đồ thị hình vẽ bên Tìm tất giá trị tham số m để đồ thị hàm số h(x) = |f (x)+f (x)+m| có điểm cực trị 1 A m> B m≥ C m < D m ≤ 4 y y = f (x) x O Câu 31 Cho hàm số y = ax + ( với a, b, c tham số) có bảng biến thiên sau: bx + c x −∞ f (x) +∞ + + +∞ f (x) −∞ Xét bốn phát biểu sau: (1) c > 1; (2) a + b < 0; (3) a + b + c = 0; (4) a > Số phát biểu bốn phát biểu nêu A B C D ax − Câu 32 Cho hàm số f (x) = , (a, b, c ∈ R) có bảng biến thiên sau: bx + c x −∞ f (x) −2 + +∞ + +∞ −2 f (x) −2 −∞ Trong số a, b c có số âm? A B C D ax + b , (a, b, c ∈ R) có đồ thị hình vẽ: cx − Trong số a, b c có số dương? A B C D Câu 33 Cho hàm số f (x) = y O p Lê Quang Xe 141 x Ô SĐT: 0967.003.131 CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐỒ THỊ HÀM SỐ | Dạng Tương giao đồ thị hàm số 0.1 Lý thuyết Tọa độ giao điểm hai đồ thị hàm số Phương pháp Cho hàm số y = f (x), y = g(x) có đồ thị (C) (C ) ○ Lập phương trình hồnh độ giao điểm (C) (C ) : f (x) = g(x) (∗) ○ Giải phương trình tìm x từ suy y tọa độ giao điểm ○ Số nghiệm (∗) số giao điểm (C) (C ) Tương giao đồ thị hàm bậc Phương pháp a) Phương pháp 1: Bảng biến thiên (phương pháp đồ thị) ○ Lập phương trình hồnh độ giao điểm dạng F (x, m) = (phương trình ẩn x tham số m) ○ Cơ lập m đưa phương trình dạng m = f (x) ○ Lập bảng biến thiên cho hàm số y = f (x) ○ Dựa giả thiết bảng biến thiên từ suy m Dấu hiệu: Sử dụng phương pháp bảng biến thiên m độc lập với x b) Phương pháp 2: Nhẩm nghiệm – tam thức bậc ○ Lập phương trình hồnh độ giao điểm F (x, m) = ○ Nhẩm nghiệm (Khử tham số) Giả sử x = x0 nghiệm phương trình đ x = x0 ○ Phân tích F (x, m) = ⇔ (x − x0 ) · g(x) = ⇔ (g(x) = phương trình bậc g(x) = hai ẩn x tham số m) ○ Dựa vào yêu cầu toán xử lý phương trình bậc hai g(x) = c) Phương pháp 3: Cực trị ○ Nhận dạng: Khi toán không cô lập m không nhẩm nghiệm ○ Quy tắc — Lập phương trình hồnh độ giao điểm F (x, m) = (1) Xét hàm số y = F (x, m) — Để (1) có nghiệm đồ thị y = F (x, m) cắt trục hoành điểm + Hoặc hàm số đơn điệu R hàm số khơng có cực trị ⇔ y = vơ nghiệm có nghiệm kép ⇔ ∆y0 ≤ + Hoặc hàm số có cực đại, cực tiểu yCĐ · yCT > y y O O p Lê Quang Xe x x 142 Ô SĐT: 0967.003.131 MỤC LỤC — Để (1) có nghiệm đồ thị y = F (x, m) cắt trục hoành điểm phân biệt ⇔ Hàm số có cực đại, cực tiểu yCĐ · yCT = (tham khảo hình vẽ) y y x O x O — Để (1) có nghiệm đồ thị y = F (x, m) cắt trục hoành điểm phân biệt ⇔ Hàm số có cực đại, cực tiểu yCĐ · yCT < (tham khảo hình vẽ) y O y x O x Tương giao hàm số phân thức a) Cho hàm số y = ax + b cx + d (C) đường thẳng d : y = px + q Phương trình hoành độ giao điểm (C) d : ax + b = px + q ⇔ F (x, m) = (phương trình cx + d bậc ẩn x tham số m) b) Các câu hỏi thường gặp d ○ Tìm m để d cắt (C) điểm phân biệt ⇔ (1) có nghiệm phân biệt khác − c ○ Tìm m để d cắt (C) điểm phân biệt thuộc nhánh phải (C) ⇔ (1) có nghiệm d phân biệt x1 ; x2 thỏa mãn − < x1 < x2 c ○ Tìm m để d cắt (C) điểm phân biệt thuộc nhánh trái (C) ⇔ (1) có nghiệm d phân biệt x1 ; x2 thỏa mãn x1 < x2 < − c ○ Tìm m để d cắt (C) điểm phân biệt thuộc hai nhánh (C) ⇔ (1) có nghiệm phân d biệt x1 ; x2 thỏa mãn x1 < − < x2 c ○ Tìm m để d cắt (C) điểm phân biệt A B thỏa mãn điều kiện hình học cho trước — Đoạn thẳng AB = kS — Tam giác ABC vng — Tam giác ABC có diện tích S0 c) Quy tắc ○ Tìm điều kiện tồn A, B ⇔ (1) có nghiệm phân biệt ○ Xác định tọa độ A B (chú ý Vi-ét) ○ Dựa vào giả thiết xác lập phương trình ẩn m Từ suy m d) Công thức khoảng cách » ○ A (xA ; yA ) , B (xB ; yB ) AB = (xB − xA )2 + (yB − yA )2 ® M (x0 ; y0 ) |Ax0 + By0 + C| √ ○ ⇒ d (M, ∆) = ∆ : Ax0 + By0 + C = A2 + B p Lê Quang Xe 143 Ô SĐT: 0967.003.131 CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐỒ THỊ HÀM SỐ Tương giao hàm số bậc a) Nghiệm phương trình bậc bốn trùng phương ax4 + bx2 + c = (1) b) Nhẩm nghiệm ○ Nhẩm nghiệm: Giả sử x = x0 nghiệm phương trình ® x = ±x0 ○ Khi ta phân tích: f (x, m) = (x2 − x20 ) g(x) = ⇔ g(x) = ○ Dựa vào giả thiết xử lý phương trình bậc hai g(x) = c) Ẩn phụ - tam thức bậc ○ Đặt t = x2 , (t ≥ 0) Phương trình (1) trở thành at2 + bt + c = (2) ñ t1 < = t2 ○ Để (1) có nghiệm (2) có nghiệm t1 ; t2 thỏa mãn t1 = t2 = ñ t1 < < t2 ○ Để (1) có nghiệm (2) có nghiệm t1 ; t2 thỏa mãn < t1 = t2 ○ Để (1) có nghiệm (2) có nghiệm t1 ; t2 thỏa mãn = t1 < t2 ○ Để (1) có nghiệm (2) có nghiệm t1 ; t2 thỏa mãn < t1 < t2 d) Bài tốn: tìm m để (C) : y = ax4 + bx2 + c cắt Ox bốn điểm có hồnh độ lập thành cấp số cộng ○ Phương trình hồnh độ giao điểm ax4 + bx2 + c = 2 ○ Đặt t = x , (t ≥ 0) Phương trình at + bt + c = (1) (2) ○ Để (1) cắt Ox điểm phân biệt (2) phải có nghiệm dương t1 < t2 thỏa mãn t2 = 9t1 ○ Kết hợp t2 = 9t1 với định lý Vi–ét tìm m 0.2 Ví dụ minh họa d Ví dụ Gọi m số thực dương cho đường thẳng y = m + cắt đồ thị hàm số y = x4 − 3x2 − hai điểm phân biệt M, N thỏa mãn tam giác OM N vuông O (O gốc tọa độ).ÅKết luận ã sau Å đúng? ã Å ã Å ã 11 15 A m∈ B m∈ C m∈ D m∈ ; ; ; ; 4 4 4 Ê Lời giải Gọi d : y = m + (C) : y = x4 − 3x2 − Phương trình tương giao x4 − 3x2 − = m + ⇔ x4 − 3x2 − m − = (1) Đặt t = x2 ≥ 0, phương trình (1) trở thành t2 − 3t − m − = (2) Phương trình (2) có tích a · c = −m − < m số thực dương Suy phương trình (2) ln có hai nghiệm trái dấu t1 < < t2 √ √ Từ suy phương trình (1) có hai nghiệm đối x1 = t2 Khi d (C) cắt √ − t2 ; x2 = √ hai điểm phân biệt đối xứng qua Oy M − t2 ; m + , N t2 , m + # » # » Mặt khác tam giác OM N vuông O OM · ON = ⇔ t2 = (m + 1) Thay t2 = (m + 1)2 vào phương trình (2) ta (m + 1)4 − 3(m + 1)2 − m − = ⇔ (m + 1)4 − 3(m + 1)2 − (m + 1) − = p Lê Quang Xe 144 Ô SĐT: 0967.003.131 MỤC LỤC Đặt a = m + > ta phương trình a4 − 3a2 − a − = ⇔ (a − 2) · (a3 + 2a2 + a + 1) = ⇔ a = 2(doa > 1nêna3 + 2a2 + a + > 0) Từ ta m + = ⇔ m = Chọn đáp án D d Ví dụ Cho hàm số y = f (x) xác định R\{1}, liên tục khoảng xác định có bảng biến thiên hình vẽ x y0 −∞ + −1 +∞ − +∞ + +∞ y −∞ −4 Tìm tập hợp tất giá trị thực tham số m cho phương trình f (x) + = m có ba nghiệm thực phân biệt A (−4; 2) B (−∞; 2] C [−4; 2) D (−3; 3) Ê Lời giải Phương trình f (x) + = m ⇔ f (x) = m − có ba nghiệm phân biệt đồ thị hàm số y = f (x) đường thẳng y = m − cắt ba điểm phân biệt Căn vào bảng biến thiên hàm số y = f (x) ta −4 < m − < ⇔ −3 < m < Vậy m ∈ (−3; 3) Chọn đáp án D d Ví dụ Cho hàm số f (x) = x3 + 3x2 + mx + Gọi S tổng tất giá trị tham số m để đồ thị hàm số y = f (x) cắt đường thẳng y = ba điểm phân biệt A(0; 1), B, C cho tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f (x) B, C vuông góc với Giá trị S 9 11 A B C D 5 Ê Lời giải Phương trình hồn độ giao điểm y = x3 + 3x2 + mx + y = ñ x=0 2 x + 3x + mx + = ⇔ x(x + 6x + m) = ⇔ x + 6x + m = (∗) Để đồ thị hàm số y = f (x) cắt đồ thị hàm số y = ba điểm phân biệt A(0; 1), B (x1 ; y1 ), C (x2 ; y2 ) phương trình (∗) có hai nghiệm phân biệt khác ® m 6= m 6= ⇒ ⇔ m < ∆ = − 4m > ® x1 + x2 = −3 Theo hệ thức Vi-ét ta có x1 · x2 = m Để tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f (x) B, C vuông góc với f (x1 ) · f (x2 ) = −1 ⇔ 3x21 + 6x1 + m · 3x22 + 6x2 + m = −1 ⇔ 9x21 x22 + 18x1 x2 (x1 + x2 ) + 3m x21 + x22 + 6m (x1 + x2 ) + 36x1 x2 + m2 + = √ + 65 √ √ m= + 65 − 65 8√ ⇒ S = ⇔ 4m2 − 9m + = ⇔ + = 8 − 65 m= p Lê Quang Xe 145 Ô SĐT: 0967.003.131 CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐỒ THỊ HÀM SỐ Chọn đáp án C x , (C) điểm A(−1; 1) Tìm m để đường thẳng 1−x d : y = mx − m − cắt (C) hai điểm phân biệt M, N cho AM + AN đạt giá trị nhỏ A m = −1 B m = C m = −2 D m=− d Ví dụ Cho hàm số y = Ê Lời giải x Phương trình hồnh độ giao điểm (C) d = mx − m − (đk x 6= 1) 1−x ⇒ x = (1 − x)(mx − m − 1) ⇔ x = mx − m − − mx2 + mx + x ⇔ mx2 − 2mx + m + = (∗) Để (C) d cắt hai điểm phân biệt M, N (∗) phải có nghiệm phân biệt khác m 6= ∆0 = m2 − m(m + 1) = −m > ⇔ m < ⇔ m − 2m + m + 6= m+1 Giả sử M (x1 ; y1 ) , N (x2 ; y2 ) Theo hệ thức viét x1 + x2 = 2; x1 · x2 = m Suy y1 + y2 = m (x1 + x2 ) − 2m − = 2m − 2m − = −2 y1 · y2 = (mx1 − m − 1)(mx2 − m − 1) = m2 x1 x2 − m(m + 1) (x1 + x2 ) + (m + 1)2 = m(m + 1) − 2m(m + 1) + (m + 1)2 = m + Ta có AM + AN = (x1 + 1)2 + (y1 − 1)2 + (x2 + 1)2 + (y2 − 1)2 = (x1 + x2 + 2)2 − (x1 + 1) (x2 + 1) + (y1 + y2 − 2)2 − (y1 − 1) (y2 − 1) = (x1 + x2 + 2)2 − (x1 x2 + x1 + x2 + 1) + (y1 + y2 − 2)2 − (y1 y2 − (y1 + y2 ) + 1) Å ã m+1 = (2 + 2) − + + + (−2 − 2)2 − (m + − (−2) + 1) m Å ã ï ò m+1 = 18 − − 2m = 18 − − · − 2m = 16 + · + (−m) m m −m ≥ 16 + · = 20 Suy AM + AN đạt giá trị nhỏ 20 = −m ⇔ m2 = ⇔ m = ±1 −m Vậy m = −1 (vì m < 0) Chọn đáp án A d Ví dụ Cho hàm số y = x4 − 2x2 có đồ thị (C), có đường thẳng d có điểm chung với đồ thị (C) điểm chung có hồnh độ x1 , x2 , x3 thỏa mãn x31 + x32 + x33 = −1 A B C D Ê Lời giải Vì đường thẳng d cắt đồ thị hàm số (C) điểm phân biệt nên đường thẳng d đường thẳng có hệ số góc dạng y = ax + b Phương trình hồnh độ giao điểm d (C) x4 − 2x2 = ax + b Mà phương trình phương trình bậc nên phương trình muốn có nghiệm phân biệt có nghiệm kép gọi x1 , hai nghiệm lại x2 , x3 Suy đường thẳng d tiếp tuyến đồ thị (C), khơng tính tổng qt giả sử đường thẳng d tiếp xúc với đồ thị hàm số (C) x1 Gọi d tiếp tuyến (C) điểm có hồnh độ x1 , d cắt (C) điểm phân biệt có hồnh độ x2 , x3 (6= x1 ) thỏa mãn x31 + x32 + x33 = −1 Ta có d : y = (4x31 − 4x1 )(x − x1 ) + x41 − 2x21 p Lê Quang Xe 146 Ô SĐT: 0967.003.131 MỤC LỤC Phương trình hồnh độ giao điểm d (C) x4 − 2x2 = (4x31 − 4x1 )(x − x1 ) + x41 − 2x21 (1) 3 Yêu cầu toán ⇔ (1) có nghiệm phân biệt ß thỏa mãn x1 + x2 + x3 = −1 x = x1 (1) ⇔ (x − x1 )2 (x2 + 2x1 x + 3x21 − 2) = ⇔ f (x) = x2 + 2x1 x + 3x21 − = Để phương trình (1) có nghiệm phân biệt thỏa mãn x31 + x32 + x33 =ß−1 phương trình f (x) = x2 + x3 = −2x1 phải có nghiệm phân biệt x2 , x3 khác x1 thỏa mãn định lí Vi–ét x · x3 = 3x1 − −1 < x1 < ∆ = x21 − 3x21 + > 2 3x2 − 6= x + 2x1 + 3x1 − 6= ⇔ Ta có 31 13 x1 + (−2x1 )3 − 3(3x21 − 2).(−2x1 ) = −1 x1 + (x2 + x3 ) − 3x2 x3 (x2 + x3 ) = −1 √ −11 + 165 ⇔ x1 = 22 Vậy có đường thẳng thỏa mãn yêu cầu toán Chọn đáp án B d Ví dụ Có số thực tham số m để đường thẳng y = (m−6)x−4 cắt đồ thị hàm số 1 y = x3 +x2 −3x−1 ba điểm phân biệt có tung độ y1 , y2 , y3 thỏa mãn + + = y1 + y2 + y3 + A B C D Ê Lời giải Ta có phương trình hồnh độ giao điểm đường thẳng đồ thị hàm bậc ba cho x3 + x2 − 3x − = (m − 6)x − ⇔ x3 + x2 + (3 − m)x + = (1) Giả sử x1 , x2 , x3 ba nghiệm phân biệt phương trình (1) x1 + x2 + x3 = −1 x x + x2 x3 + x x1 = − m Theo hệ thức viet phương trình bậc ba ta có x1 x2 x3 = −3 Nhận thấy tung độ ba giao điểm thỏa mãn phương trìnhy = (m − 6)x − nên ta có y1 + = (m − 6)x1 , y2 + = (m − 6)x2 vày3 + = (m − 6)x3 1 1 + + = ⇔ + + = y1 + y2 + y3 + (m − 6)x1 (m − 6)x2 (m − 6)x3 x x2 + x2 x3 + x3 x 3−m · = ⇔ = ⇔ m = m−6 x1 x x3 m − −3 Thử lại với m = suy phương trình hồnh độ giao điểm x3 + x2 − 6x + = có ba nghiệm phân biệt thỏa mãn giả thiết cho (Dùng casio để kiểm tra) Vậy có số thực m thỏa mãn Chọn đáp án D Khi d Ví dụ Một đường thẳng cắt đồ thị hàm số y = x4 − 2x2 bốn điểm phân biệt có hồnh độ 0, 1, m n Tính S = m2 + n2 A S = B S = C S = D S = Ê Lời giải p Lê Quang Xe 147 Ô SĐT: 0967.003.131 CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐỒ THỊ HÀM SỐ Do đường thẳng cắt đồ thị hàm số y = x4 − 2x2 điểm có hồnh độ nên phương trình đường thẳng có dạng y = ax Phương trình hồnh độ giao điểm đường thẳng y = ax với đồ thị hàm số y = x4 − 2x2 x4 − 2x2 = ax ⇔ x4 − 2x2 − ax = ⇔ x(x3 − 2x − a) = Do phương trình có nghiệm 0, 1, m, n nên ta có x(x3 − 2x − a) = x(x − 1)(x − m)(x − n) ⇒ x3 − 2x − a = (x2 − mx − x + m)(x − n) ⇔ x3 − 2x − a = x3 − nx2 − mx2 + mnx − x2 + nx + mx − mn ⇔ x3 − 2x − a = x3 + (−n − m − 1)x2 + (m + n + mn)x − mn −m−n−1=0 ⇔ m + n + mn = −2 − mn = −a ® m + n = −1 ⇔ mn = −1 ⇒ S = m2 + n2 = (m + n)2 − 2mn = Chọn đáp án D d Ví dụ Cho phương trình (x2 − 3x + m) + x2 − 8x + 2m = Có giá trị nguyên tham số m thuộc đoạn [−20; 20] để phương trình cho có nghiệm phân biệt? A 19 B 18 C 17 D 20 Ê Lời giải Ta có ỵ ó 2 2 x2 − 3x + m + x2 − 8x + 2m = ⇔ x2 − 3x + m − x2 + 2x2 − 8x + 2m = ⇔ x2 − 4x + m x2 − 2x + m + x2 − 4x + m = ⇔ x2 − 4x + m x2 − 2x + m + = ñ x − 4x + m = (1) ⇔ x − 2x + m + = (2) u cầu tốn ⇔ phương trình (1) (2) có® nghiệm phân ® biệt khơng trùng ® ∆1 > 4−m>0 m 1−m−2>0 m < −1 Giả sử phương ® trình (1) (2) có nghiệm x0 trùng x − 4x + m = (1) Suy hệ có nghiệm x2 − 2x + m + = (2) ⇒ x20 − 4x0 + m − (x20 − 2x0 + m + 2) = ⇔ x0 = −1 Với x0 = −1 thay vào (1) ta m = −5 Với m 6= −5 phương trình (1) (2) khơng có nghiệm trùng Kết hợp m số nguyên thuộc đoạn [−20; 20] suy m ∈ {−20; −19; ; −6; −4; −3; −2} Vậy có 18 số nguyên m thoả mãn yêu cầu toán Chọn đáp án B p Lê Quang Xe 148 Ô SĐT: 0967.003.131 MỤC LỤC 0.3 Bài tập áp dụng Câu Cho hàm số bậc ba y = f (x)có đồ thị đường cong thực phân biệt phương trình √ hình vẽ bên Số nghiệm f − x2 − |x2 − 1| = 2021 y √ O x √ −493 A 24 B 14 C 12 D 10 x+3 Câu Cho hai hàm số u(x) = √ f (x), đồ thị hàm số x2 + y = f (x) hình vẽ bên Hỏi có số nguyên m để phương trình f (u(x)) = m có nghiệm phân biệt? y −1 O x x −3 A B C D Câu Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm cấp hai R có đồ thị y = f (x) đường cong hình vẽ bên Đặt g(x) = f (f (x) − 1), gọi S tập nghiệm phương trình g (x) = Số phần tử tập S y −1 −2 A B C 10 D Câu Cho hàm số f (x) liên tục R có đồ thị hình vẽ.Å Có giá tham số m để phương trình trị ã nguyên Äp ä sin x − cos x − + có nghiệm? +2 =f f (m + 2) cos x − sin x + y O A B C y O 149 x D Câu Cho hàm số y = f (x) liên tục R có đồ thị hình vẽ bên Gọi (C1 ) (C2 ) đồ thị hai hàm số y = f 00 (x) · f (x) − [f (x)]2 y = 2021x Số giao điểm (C1 ) (C2 ) p Lê Quang Xe x Ô SĐT: 0967.003.131 CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐỒ THỊ HÀM SỐ A B C D Câu Biết hàm số f (x) = ax3 + bx2 + cx + d đạt cực trị x = x = 2021 Có số nguyên m để phương trình f (x) = f (m) có ba nghiệm phân biệt? A 4037 B 2019 C 4001 D 2021 Câu Cho hàm số y = f (x) liên tục R có đồÄ thị hình vẽ Có bao ä nhiêu p giá trị ngun tham số mđể phương trình f + 2f (cos x) = m có π ? nghiệm x ∈ 0; y −2 −1 O x −2 A B C D Câu Cho hàm số y = f (x) có đồ thị hình vẽ bên Có số nguyên m để phương trình f (2x3 − 6x + 2) = m − có nghiệm phân biệt thuộc đoạn [−1; 2]? y −2 A B C x D Câu Cho hàm số y = f (x) liên tục R có bảng biến thiên hình vẽ Số nghiệm phương trình |f (f (x))| = x f (x) −∞ +∞ − −4 + − +∞ + +∞ f (x) −2 A −4 B C D Câu 10 Cho hàm số y = f (x) = ax2 + bx + c có đồ thị (C) Có giá trị nguyên tham số m để phương trình f (|x|) + (m − 2)f (|x|) + m − = có nghiệm phân biệt? y O x −1 A p Lê Quang Xe B C 150 D Ô SĐT: 0967.003.131 MỤC LỤC Câu 11 Biết đồ thị hàm số bậc bốn y = f (x) cho hình vẽ bên Tìm số giao điểm đồ thị hàm số y = g(x) = [f (x)]2 − f (x) · f 00 (x) trục hoành y O x A B C D √ Câu 12 Cho hàm √ số f (x) = x + + x Số giá trị nguyên tham số m để phương trình + 4x + m − √ = có hai nghiệm phân biệt xf (x) − f (−1 − 4x + m − 1) A B C D Câu 13 Cho hàm số f (x) = (1 − m3 )x3 + 3mx2 + (3m2 − 2m + 2)x + m3 + 2m với m tham số Có số nguyên m ∈ [−2020; 2021] cho f (x) ≥ với x ∈ [2020; 2021]? A 2023 B 2022 C 2021 D 2020 Câu 14 Cho hàm Å Å ãã số y = f (x) = 2x − 3x + Tập hợp giá trị m để phương trình sin x + f f = f (m) có nghiệm đoạn [a; b] Khi giá trị 4a2 + 8b thuộc khoảng sau đây? Å ã Å ã Å ã 23 43 39 37 65 A 7; B (−2; 5) C ; D ; 3 x2 + 5x + Câu 15 Cho hàm số f (x) = Có tất giá trị nguyên dương tham số m √ 2x + √ để bất phương trình 2021f ( 3x2 − 18x + 28) − m 3x2 − 18x + 28 ≥ m + 4042 nghiệm với x thuộc đoạn [2; 4] A 673 B 808 C 135 D 898 Câu 16 hàmäsố y = f (x) liên tục R có bảng biến thiên hình Số nghiệm phương Ä Cho 3x4 −4x2 +2 trình f + = x y0 −∞ − −1 + − +∞ + y −∞ A −1 B C −∞ D Câu√17 Cho hàm số f (x) có đồ thị bên Số nghiệm phương trình 2f (x + − 6x + 3) = y O A p Lê Quang Xe B C 151 x D Ô SĐT: 0967.003.131 CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐỒ THỊ HÀM SỐ Câu 18 Cho hàm số f (x) = x3 − mx + m − 8, x ∈ R với m số khác Biết phương trình f (x) = có hai nghiệm phân biệt Hỏi có giá trị nguyên k thỏa mãn phương trình f (x) = k có nghiệm phân biệt ? A B 34 C D 34 Câu 19 Cho hàm đa thức y = f (x) có đồ thị hình vẽ Đặt g(x) = |f (x2 )| Số nghiệm phương trình g(x) · [2g(x) − 1] = y O x −1 −1 A 11 B 10 C 13 D 12 Câu 20 Hàm số y = f (x) liên tục R có bảng biến thiên hình vẽ Phương trình |f (2x2 + 3) − 2| = có nghiệm? x y0 −∞ + −1 − +∞ + y −∞ A −3 B C D Câu 21 Cho hai hàm y = f (x) y = g(x) liên tục R có đồ thị hình vẽ Khi tổng số nghiệm phương trình f (g(x)) = g(f (x)) = y = g(x) y −1 −3 −2 O x −4 y = f (x) A 25 B 22 C 21 D 26 Câu 22 Cho f (x) hàm số bậc ba Hàm số f (x) có đồ thị hình.Tìm tất giá trị thực tham số m để phương trình f (ex +1)−x−m = có hai nghiệm thực phân biệt y f (x) O A m > f (2) p Lê Quang Xe B m > f (2) − C m < f (1) − ln 152 x D m > f (1) + ln Ô SĐT: 0967.003.131 MỤC LỤC Câu 23 Cho hàm số bậc ba y = f (x) có đồ thị đường cong hình bên Số nghiệm thực phân biệt phương trình f (x3 f (x)) + = y O x −1 A B C D Câu 24 Cho hàm số y = f (x) = ax4 +bx3 +cx2 +dx+e với (a, b, c, d, e ∈ R) Biết hàm số y = f (x) có đồ thị hình vẽ Có giá trị ngun m [−5; 5] để phương trình f (−x2 + 2x + m) = e có bốn nghiệm phân biệt y O A B C x D Câu 25 Cho hàm số y = f (x) liên tục R có đồ thị hình vẽ Có giá trị ngun củah tham số m để phương trình p π f ( + 2f (cos x)) = m có nghiệm x ∈ 0; y −2 −1 O x −2 A B C D Câu 26 Cho hàm số f (x) = x3 + x − 2m Có giá trị nguyên tham số m để phương trình f (f (x)) = x có nghiệm thuộc đoạn [1; 2] A B C Câu 27 Cho hàm số y = f (x) = ax3 + bx2 + cx + d có đồ thị hình Có tất giá trị nguyên tham số m ∈ (−5; 5) để phương trình f (x) − (m + 4) |f (x)| + 2m + = có nghiệm phân biệt? D y −2 O x −4 A p Lê Quang Xe B C 153 D Ô SĐT: 0967.003.131 CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐỒ THỊ HÀM SỐ Câu 28 Cho hàm số y = f (x) có đồ thị đường cong hình bên Số nghiệm thực phân biệt phương trình f (x2 f (x)) + = y x O A p Lê Quang Xe B 12 C 154 −2 D Ô SĐT: 0967.003.131 MỤC LỤC x−1 x x+1 x+2 + + + y = |x + 2| − x − m (m tham số x x+1 x+2 x+3 thực) có đồ thị (C1 ) , (C2 ) Tập hợp tất giá trị m để (C1 ) (C2 ) cắt bốn điểm phân biệt A (−2; +∞) B (−∞; −2] C [−2; +∞) D (−∞; −2) √ Câu Tìm tập hợp tất giá trị tham số m để đồ thị hai hàm số y = (2x2 + 1) x − 11 − + 11 + m cắt điểm phân biệt y= 3x − − x A (−∞; 0) B (−∞; 1) C (−∞; 1] D (−∞; 2] Câu Cho hai hàm số y = Câu Có cặp số thực (a; b) để bất phương trình (x − 1) (x + 2) (ax2 + bx + 2) ≥ nghiệm với x ∈ R? A B C D Câu Cho hàm số y = x7 + x5 + x3 + 3m − y = |x − 2| − x − 2m (m tham số thực) có đồ thị (C1 ), (C2 ) Tập hợp tất giá trị m để (C1 ) cắt (C2 ) A m ∈ R B m ∈ (2; +∞) C m ∈ (−∞; 2) D m ∈ [2; +∞) Câu trị nguyên√của tham số thực√m thuộc đoạn [−2019; 2019] để phương trình √ Có √ bao nhiêugiá √ + x + x − m + − x − x + 2m = −x2 − 2x + có nghiệm thực? A 2019 B 4032 C 4039 D 4033 Câu Có m nguyên dương để hai đường cong (C1 ) : y = + (C2 ) : y = x − 10 √ 4x − m cắt ba điểm phân biệt có hồnh độ dương? A 35 B 37 C 36 D 34 Câu Cho hàm số f (x) = (x − 1) · (x − 2) · · · (x − 2020) Có giá trị nguyên m thuộc đoạn [−2020; 2020] để phương trình f (x) = m · f (x) có 2020 nghiệm phân biệt? A 2020 B 4040 C 4041 D 2020 x − y = − + 4m − 2020 Tổng tất các giá trị nguyên Câu Cho hai hàm số y = ln x x−2 x tham số m để đồ thị hai hàm số cắt điểm A 506 B 1011 C 2020 D 1010 Câu Cho hai hàm số y = (x + 1) (2x + 1) (3x + 1) (m + |x|); y = −12x4 − 22x3 − x2 + 10x + có đồ thị (C1 ), (C2 ) Có giá trị nguyên tham số m đoạn [−2020; 2020] để (C1 ) cắt (C2 ) điểm phân biệt? A 4040 B 2020 C 2021 D 4041 √ Câu 10 Cho hai hàm số y = x6 + 6x4 + 6x2 + y = x3 m − 15x (m + − 15x) có đồ thị (C1 ) (C2 ) Gọi S tập hợp tất giá trị nguyên tham số m thuộc đoạn [−2019; 2019] để (C1 ) (C2 ) cắt hai điểm phân biệt Số phần tử tập hợp S A 2006 B 2005 C 2007 D 2008 Câu 11 Cho hàm số y = f (x) = ax4 +bx3 +cx2 +dx+e có đồ thị hình vẽ bên Äđây, ä a, b, c, d, p pe hệ số thực Số nghiệm phương trình f f (x) + f (x) + f (x) − = A B C y D −1 O x Câu 12 Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên hình vẽ: p Lê Quang Xe 155 Ơ SĐT: 0967.003.131 CÁC BÀI TỐN LIÊN QUAN ĐẾN ĐỒ THỊ HÀM SỐ x y0 −∞ − +∞ −4 + −2 − 0 +∞ + +∞ y −2 −3 Có giá trị nguyên tham số m để phương trình 6f (x2 − 4x) = m có ba nghiệm thực phân biệt thuộc khoảng (0; +∞)? A 25 B 30 C 29 D 24 Câu 13 Cho hàm số y = f (x) liên tục đoạn [−1; 4] có đồ thị hình vẽ Có giá trị nguyên m thuộc đoạn [−10; 10] để bất phương trình |f (x) + m| < 2m với x thuộc đoạn [−1; 4] A B C D y O −1 x −2 Câu 14 Cho hàm số y = f (x) liên tục R có đồ thị hình vẽ bên Gọi S tập hợp tất giá trị nguyên tham số m để phương trình f (sin x) − m + = sin x có nghiệm thuộc khoảng (0; π) Tổng phần tử S A B −1 C D y 1 x −1O −1 Câu 15 Cho hàm số f (x) =äx3 + x + Có tất giá trị nguyên tham số m để phương Äp trình f f (x) + f (x) + m = −x3 − x + có nghiệm x ∈ [−1; 2]? A 1750 B 1748 C 1747 Câu 16 Cho hàm số f (x) liên tục [2; 4] có bảng biến thiên hình vẽ bên.√Có giá trị nguyên m để phương trình x + x2 − 2x = m · f (x) có nghiệm thuộc đoạn [2; 4]? A B C D D 1746 x √ 11 f (x) Câu 17 Cho hàm số y = f (x) liên tục có đạo hàm đoạn [−2; 4] có bảng biến thiên sau x y0 −2 + 0 y − − + 1, −3 p Lê Quang Xe 156 Ô SĐT: 0967.003.131 MỤC LỤC −4≥0 Có giá trị nguyên tham số m để hệ phương trình x2 6f (−2x + 1) − 8x3 + 6x − m = có ba nghiệm phân biệt? A B 11 C 10 D p Lê Quang Xe 157 Ơ SĐT: 0967.003.131 CÁC BÀI TỐN LIÊN QUAN ĐẾN ĐỒ THỊ HÀM SỐ | Dạng Tiếp tuyến - tiếp xúc hai đồ thị 0.4 Lý thuyết Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) : y = f (x) M (x0 ; y0 ) Cho hàm số y = f (x) có đồ thị (C) điểm M (x0 ; y0 ) ∈ (C) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị M ○ Bước 1: Tính f (x) Tìm hệ số góc tiếp tuyến M f (x0 ) ○ Bước 2: Phương trình tiếp tuyến M y = f (x0 ) · (x − x0 ) + y0 Viết phương trình tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước ○ Gọi ∆ tiếp tuyến cần tìm ○ Gọi M (x0 ; y0 ) tiếp điểm Khi x0 thỏa mãn f (x0 ) = k ○ Giải phương trình tìm x0 Suy y0 = f (x0 ) ○ Phương trình tiếp tuyến cần tìm y = k · (x − x0 ) + y0 Điều kiện tiếp xúc hai đồ thị Cho hai đồ thị (C) : y = f (x) (C ) : y = g(x) Khi (C) (C ) tiếp xúc hệ sau có nghiệm ® f (x) = g(x) f (x) = g (x) Nghiệm hệ phương trình hồnh độ tiếp điểm 3.1 Ví dụ minh họa x+1 có đồ thị (C) Điểm M thuộc (C) có hồnh độ lớn x−1 Tiếp tuyến (C) M cắt hai tiệm cận A B Diện tích nhỏ tam giác OAB √ √ √ A + 2 B C D + d Ví dụ 10 Cho hàm số y = Ê Lời giải −2 Ta có y = Å (x − 1) ã Gọi M m + 1; + tiếp điểm (với m > 0) ∆ tiếp tuyến (C) M m 2 Khi ∆ : y = − · (x − m − 1) + + m m Ta có tiệm cận đứng: x = tiệm cận ngang: y = Gọi A(1; yA ) giao điểm ∆ tiệm cận đứng 2 Suy yA = − · (−m) + + =1+ m m m Gọi B(xB ; 1) giao điểm ∆ tiệm cận ngang 2 Suy = − (xB − m − 1) + + ⇒ xB = 2m + m m Å ã # » # » Khi OA = 1; + OB = (2m + 1; 1) m p Lê Quang Xe 158 Ô SĐT: 0967.003.131 MỤC LỤC … √ 8m + 2 = + m + = + m + ≥4+2 m· = + 2 Suy SOAB = − 2m − − m m m √m √ Vậy SOAB đạt GTNN + 2 m = Chọn đáp án A 3 x − x + có đồ thị (C) Xét hai điểm A(a; yA ); B(b; yB ) 2 thuộc đồ thị cho tuyến tuyến (C) A B song song Biết đường thẳng AB qua điểm D(5; 3) Phương trình AB A x − y − = B x + y − = C x − 3y + = D x − 2y + = d Ví dụ 11 Cho hàm số y = Ê Lời giải Ta có y = x2 − 3x Do tiếp tuyến A B song song nên y (a) = y (b) 3 ⇔ a − 3a = b2 − 3b 2 ⇔ (a − b)(a + b − 2) = ⇔ a + b − = (do a 6= b) Mặt khác yA + yB = (a3 + b3 ) − (a2 + b2 ) + 2 3 1 = (a + b)3 − 3ab(a + b) − (a + b)2 − 2ab + 2 = x + xB x I = A =1 Gọi I trung điểm AB Khi ta có yI = yA + yB = #» Mà AB qua D(5; 3) nên AB có véc-tơ phương ID = (4; 2) = 2(2; 1) Suy #» n = (1; −2) véc-tơ pháp tuyến AB Vậy AB có phương trình · (x − 1) − · (y − 1) = ⇔ x − 2y + = Chọn đáp án D x+2 điểm A(0; a) Hỏi có giá trị nguyên x−1 a ∈ [−2018; 2018] cho từ A kẻ hai tiếp tuyến đến (C) đồng thời hai tiếp điểm nằm hai phía trục hồnh? A 2020 B 2018 C 2019 D 2017 d Ví dụ 12 Cho đồ thị (C) : y = Ê Lời giải −3 (x − 1)2 Phương trình đường thẳng ∆ qua A, hệ số góc k có dạng Ta có y = y = k · x + a p Lê Quang Xe 159 Ơ SĐT: 0967.003.131 CÁC BÀI TỐN LIÊN QUAN ĐẾN ĐỒ THỊ HÀM SỐ ∆ tiếp xúc với (C) ⇔ hệ sau có nghiệm x+2 = kx + a x−1 = k − (x − 1)2 x+2 3x =− + a ⇔ (1 − a)x2 + 2(2 + a)x − − a = (với x 6= 1) (*) x−1 (x − 1)2 Từ A kẻ tiếp tuyến đến (C) (∗) có hai nghiệm phân biệt khác a 6= 1 − a 6= 0 ⇔ (2 + a)2 + (1 − a)(2 + a) > ⇔ ∆y0 > 6= − a + 2(2 + a) − − a 6= ® a 6= ⇔ a ∈ (−2; +∞) \ {1} ⇔ 3a + > Suy x1 + x2 + y2 = hai tung độ tiếp điểm x1 − x2 − Yêu cầu toán Gọi y1 = x1 + x2 + · 0 ○ Trường hợp 3: (*) có hai nghiệm phân biệt, có nghiệm ⇔ ⇔ a = a=2 x=2 Khi (∗) ⇔ 2x − 5x + ⇔ x= Å ã 0 = − 6= Khi tổng hệ số góc f (2) + f Suy loại a = √ √ 3+2 6 Vậy a = −1; a = thỏa mãn yêu cầu toán tổng giá trị a 3 Chọn đáp án D p Lê Quang Xe 162 Ô SĐT: 0967.003.131 MỤC LỤC 14 x − x có đồ thị (C) Có điểm A ∈ (C) cho 3 tiếp tuyến (C) A cắt (C) hai điểm M (x1 ; y1 ); N (x2 ; y2 ) phân biệt khác A cho y1 − y2 = 8(x1 − x2 )? A B C D d Ví dụ 16 Cho hàm số y = Ê Lời giải ã Å 14 Gọi A a; a4 − a2 3 28 Ta có y = x − x 3 Å ã 28 14 Phương trình tiếp tuyến ∆ (C) A có dạng y = a − a · (x − a) + a4 − a2 3 3 Phương trình hồnh độ giao điểm (C) d Å ã 28 14 14 a − a · (x − a) + a4 − a2 = x4 − x2 3 3 3 2 ⇔ (x − a) · x + 2ax + 3a − 14 = ñ x=a ⇔ x2 + 2ax + 3a2 − 14 = (∗) Tồn hai giao điểm M , N (∗) có hai nghiệm phân biệt khác a ® ® ® √ ´ Ä √ √ ä ∆ >0 − 2a2 + 14 > 21 ⇔ ⇔ ⇔ a ∈ − 7; \ ± (∗∗) 2 2 a + 2a + 3a − 14 6= 6a − 14 6= Ta có y − y2 = 8(x1 − x2 ) ã Å1 28 a − a · (x1 − x2 ) = 8(x1 − x2 ) ⇔ 3 28 a − a−8=0 ⇔ 3 a=3 ⇔ a = −1 a = −2 ñ a = −1 So với điều kiện (∗∗) ta a = −2 Chọn đáp án B p Lê Quang Xe 163 Ô SĐT: 0967.003.131 CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐỒ THỊ HÀM SỐ Bài tập minh họa Câu Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = x3 − 2x2 + x + 2019 điểm có hồnh độ x0 = −1 A y = 8x + 2016 B y = 8x + 2007 C y = 8x + 2014 D y = 8x + 2023 Câu Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = x (4 − x)2 điểm M0 (1; 9) A y = 3x + 12 B y = 3x + C y = 3x − D y = 3x + Câu Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = x4 + 2x2 − điểm có hồnh độ x0 = −2 A y = −40x − 80 B y = −40x − 57 C y = −40x + 103 D y = −40x + 25 Câu Cho hàm số y = x4 + 2x2 + có đồ thị (C) Phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) M (1; 6) A y = 8x − B y = 8x + C y = 8x − D y = 8x + 14 x+1 Câu Cho hàm số y = có đồ thị (C) Tiếp tuyến (C) điểm có tung độ x−2 A y = 3x − B y = −3x + 13 C y = 3x + 13 D y = −3x + Câu Cho hàm số y = có đồ thị (C) Tiếp tuyến (C) điểm có tung độ tạo với x−1 hai trục tọa độ Ox, Oy tam giác có diện tích A B C D 2 Câu Cho hàm số y = ln(x + 1) + ln x có đồ thị (C), điểm M ∈ (C) có tung độ ln Phương trình tiếp tuyến (C) điểm M 3 A y = − x + + ln B y = x − + ln 2 2 C y = 3x − D y = x− 2 Câu Cho hàm số y = x ln(x − 1) có đồ thị (C) Phương trình tiếp tuyến (C) giao điểm (C) với trục hoành A y = B y = x − C y = 2x − D y = 2x + Câu Cho hàm số y = x3 − 6x2 + 9x + có đồ thị (C) Phương trình tiếp tuyến (C) điểm có tung độ y0 = −15 A y = 24x + B y = 24x + 39 C y = −15 D y = 24x − 39 Câu 10 Cho hàm số y = x3 − x2 + 2x + có đồ thị (C) Trong tiếp tuyến (C), tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ tiếp xúc với (C) điểm có tung độ 151 113 A B C D 27 27 x+3 Câu 11 Cho hàm số y = log2 có đồ thị (C) Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số giao 2−x điểm đồ thị (C) với đường thẳng d : y = 5 x− x+2− A y= B y= ln ln ln ln 5 x+2− C y =x+2− D y= ln ln ln Câu 12 Biết đường thẳng y = ln · x + m tiếp tuyến đường cong y = 42x giá trị tham số m A ln − B C D ln − Câu 13 Cho hàm số y = x3 − 4x2 + 3x − có đồ thị (C) Có tiếp tuyến đồ thị (C) song song với đường thẳng ∆ : 2x + y + = 0? A B C D p Lê Quang Xe 164 Ô SĐT: 0967.003.131 MỤC LỤC Câu 14 Cho hàm số y = −x3 + 3x2 − 7x + Tiếp tuyến đồ thị hàm số có hệ số góc lớn có phương trình A y = 4x − B y = 4x + C y = −4x − D y = −4x + Câu 15 Biết tiếp tuyến đồ thị hàm số y = ax4 + bx2 + 23 điểm A (2; −5) vng góc với đường thẳng x + 4y − 2019 = Tình 2a + b − A 15 B 23 C −23 D −15 Câu 16 Đường thẳng y = m tiếp xúc với đồ thị hàm số (C) : f (x) = x4 − 8x2 + 35 hai điểm phân biệt Tìm tung độ tiếp điểm A −35 B 35 C −19 D 19 x − ln (2x − 2) có đồ thị (C) Số tiếp tuyến với đồ thị (C) hàm số vng góc với đường thẳng y = −x + A B C D Câu 17 Cho hàm số y = Câu 18 Cho hàm số y = ex − e−x có đồ thị (C) Tiếp tuyến đồ thị (C) có hệ số góc nhỏ A y = B y = 2x + C y = x + D y = 2x Câu 19 Cho hàm số y = x3 + 3x2 − 6x + có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) biết tiếp tuyến qua điểm N (0; 1) 33 33 33 33 A y = − x + 11 B y = − x + 12 C y = − x + D y = − x + 4 4 Câu 20 Cho hàm số y = x3 − 3x2 + Có tất tiếp tuyến đồ thị hàm số qua điểm A (1; 0) A B C D Câu 21 Cho hàm số y = điểm A (4; 1)? A x2 − x − có đồ thị (C) Có tiếp tuyến đồ thị (C) qua x−3 B C D 2x có đồ thị (C) Biết có hai tiếp tuyến đồ thị (C) qua điểm x+1 A (0; 1) Tích hệ số góc hai tiếp tuyến A B −1 C −2 D Câu 22 Cho hàm số y = Câu 23 Gọi S tập giá trị tham số m để đồ thị hàm số y = x3 + mx2 − 9x − 9m tiếp xúc với trục hoành Tổng phần tử S A B C D −3 Câu 24 Xét đồ thị (C) hàm số y = x3 + 3ax + b với a, b số thực Gọi M , N hai điểm phân biệt thuộc (C) cho tiếp tuyến với (C) hai điểm có hệ số góc Biết khoảng cách từ gốc tọa độ tới đường thẳng M N Khi giá trị lớn a2 − b2 −2 A B C −2 D Ä ä √ √ Câu 25 Cho hàm số f (x) thỏa mãn f x + x2 + = x − x2 + ∀x ∈ R Gọi ∆ tiếp tuyến đồ thị hàm số f (x) điểm có hồnh độ x0 = Giả sử ∆ cắt Ox điểm A cắt Oy điểm B Khi diện tích tam giác OAB A B C D 2x + có đồ thị (C) Phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) biết tiếp x−1 tuyến điểm M (x0 ; y0 ) ∈ (C) thỏa mãn phương trình |x0 | − = Câu 26 Cho hàm số: y = p Lê Quang Xe 165 Ơ SĐT: 0967.003.131 CÁC BÀI TỐN LIÊN QUAN ĐẾN ĐỒ THỊ HÀM SỐ A y =− x− C y =− x− , y = 4x + 14 , y = 4x + B y =− x− D y =− x− , y = 4x + , y = −4x + 14 Câu 27 Cho hàm số y = 4x2 (1 − x) + x4 (C) Phương trình tiếp tuyến giao điểm (C) với parabol (P ) : y = x2 A y = 0; y = 1; y = 24x − B y = 9; y = 1; y = 24x − C y = 0; y = 5; y = 24x − 63 D y = 0; y = 1; y = 24x − 63 2x − có đồ thị (C) Gọi I giao điểm đường tiệm cận Gọi M (x0 , y0 ), x+1 x0 < −3 điểm (C) cho tiếp tuyến với (C) M cắt hai đường tiệm cận A, B thỏa mãn AI + IB = 40 Khi tích x0 y0 A −1 B −12 C D 12 Câu 28 Cho hàm số y = Câu 29 Cho hàm số f (x) = tiếp tuyến tới (H) A M (0; 1) C Khơng tồn x+1 có đồ thị (H) Tìm Oy tất điểm từ kẻ x−1 B M1 (0; 1) M2 (0; −1) D M (0; −1) 2x − có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến x−1 √ cắt trục hoành trục tung điểm A, B phân biệt thỏa mãn AB = 82 · OB 13 25 25 A y = − x + y = − x + B y =− x+ 9 9 9 13 17 25 1 y = x + C y =− x+ D y =− x+ 9 9 9 Câu 30 Cho hàm số y = x2 Câu 31 Tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = điểm có hồnh độ x0 nghiệm phương x+1 √ trình 16x2 − 2x − = 2x − 3 9 A y = x− B y = x− C y= D y = x− 4 4 x−1 Câu 32 Cho hàm số y = có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm M có x−2 hồnh độ khơng nhỏ 3, biết tiếp tuyến cắt hai tia Ox, Oy hai điểm A, B cho tam giác OAB cân A y = x − B y = −x + C y = x − D y = −x + 3x − có đồ thị (C) Biết y = ax + b phương trình tiếp tuyến (C) có x−1 hệ số góc nhỏ tiếp tuyến có hồnh độ tiếp điểm số nguyên dương Tính 2a + b A −2 B C D Câu 33 Cho hàm số y = 3−x có đồ thị (C) đường thẳng ∆ : y = −4x + m Tính tổng tất x+1 giá trị m thỏa mãn ∆ tiếp tuyến (C) A 10 B C −13 D −10 Câu 34 Cho hàm số y = Câu 35 Cho hàm số y = x2 (x2 − 2) có đồ thị (C) Gọi M (0; b) điểm thuộc trục Oy mà từ kẻ tiếp tuyến đến (C) Giá trị b b=0 A < b < B C −1 < b < D 0 − a > −2 a>− 3 A B C D −2 < a < − a 6= a 6= a= Câu 38 Cho hàm số y = Câu 39 Cho hàm số y = −x3 + mx2 − x − 4m có đồ thị (Cm ) A điểm cố định có hồnh độ âm (Cm ) Giá trị m để tiếp tuyến A (Cm ) vuông góc với đường phân giác góc phần tư thứ −7 A m = −6 B m = C m = −3 D m= 2x − có đồ thị (C) Gọi M (x0 ; y0 ) (với x0 > 1) điểm thuộc (C), biết tiếp 2x − tuyến (C) M cắt tiệm cận đứng tiệm cận ngang A B cho S∆OIB = 8S∆OIA (trong O gốc tọa độ, I giao điểm hai tiệm cận) Tính giá trị S = x0 + 4y0 Câu 40 Cho hàm số y = A S = B S= 17 C S= 23 D S = Câu 41 x+1 có đồ thị (C) Gọi A (xA ; yA ), B (xB ; yB ) x−1 hai điểm thuộc (C) cho tiếp tuyến (C) A, B song song với (xA < xB ) Tiếp tuyến A cắt đường tiệm cận ngang (C) D, tiếp tuyến B cắt đường tiệm cận đứng (C) C (tham khảo hình vẽ bên dưới) Chu vi tứ giác ABCD đạt giá trị nhỏ A 16 B C 20 D 12 Cho hàm số y = y C B D A O x Câu 42 p Lê Quang Xe 167 Ô SĐT: 0967.003.131 CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐỒ THỊ HÀM SỐ x−1 có đồ thị (C) Gọi A, B hai điểm x+1 thuộc hai nhánh (C) tiếp tuyến (C) A, B cắt đường tiệm cận ngang tiệm cận đứng (C) điểm M , N , P , Q (tham khảo hình vẽ bên dưới) Diện tích tứ giác M N P Q có giá trị nhỏ A 16 B 32 C D Cho hàm số y = y Q B M P −1 O A x N Câu 43 Hỏi có giá trị tham số m để đồ thị hàm số y = x4 − 2mx2 + 3m tiếp xúc với trục hoành hai điểm phân biệt? A B C D Vô số x4 − x3 − m2 x2 + m2 x Có giá trị m để đồ thị hàm số x2 + cho tiếp xúc với trục hoành? A B C D Câu 44 Cho hàm số y = Câu 45 Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y = ex + m tiếp xúc với đồ thị hàm số y = ln (x + 1) A m = e B m = C m = −e D m = −1 x4 − 2x2 + 4và (C2 ) : y = x2 + C D Câu 46 Số tiếp tuyến chung hai đồ thị (C1 ) : y = A B Câu 47 Cho hai hàm số y = x2 (C1 ) y = hai đồ thị (C1 ) , (C2 ) có hệ số góc dương −1 1 x− A y= B y = x− 16 16 √ 41 − x2 − (C2 ) Phương trình tiếp tuyến chung 16 C y= −1 x− 16 1 D y = x− 16 Câu 48 Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = f (x) điểm có hồnh độ x = 1, biết f (1 + 2x) = x − f (1 − x) đường thẳng sau đây? A 3x − 7y + = B x − 7y − = C x + 7y + = D 3x + 7y + = Câu 49 Cho hai hàm số y = f (x) y = g (x) có đạo hàm R thỏa mãn f (2 − x) − 2f (2 + 3x) + x2 · g (x) + 36x = 0, ∀x ∈ R Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f (x) xo = A y = −3x B y = 2x − C y = −x + D y = x 2x − có đồ thị (C) Gọi điểm I giao hai đường tiệm cận x−1 (C) M điểm (C) tiếp tuyến √ (C) M cắt hai tiệm cận A, B Biết chu vi tam giác IAB có giá trị nhỏ a + b với a, b ∈ N Hỏi mệnh đề sau đúng? A a − b + = B 2a − b < C a2 + b2 = 100 D loga b = Câu 50 Cho hàm số y = Câu 51 Cho hàm số y = x4 − (m + 1)x2 + 4m có đồ thị (Cm ) Tìm tham số m để (Cm ) tiếp xúc với đường ñthẳng (d) : y = hai ñđiểm phân biệt ñ ñ m=1 m=1 m=2 m=1 A B C D m=3 m = 16 m = 13 m = 13 p Lê Quang Xe 168 Ô SĐT: 0967.003.131 MỤC LỤC Câu 52 Giá trị m để đường thẳng ∆ : y = m(2 − x) + cắt đồ thị (C) : y = −x3 + 3x2 − điểm phân biệt A(2 ; 2), B, C cho tích hệ số góc tiếp tuyến với đồ thị (C) B C đạt giá trị nhỏ là: A m = B m = −2 C m = D m = −1 Câu 53 Cho hàm số y = (−x2 − 2x − 2) e−x có đồ thị (C) Có tiếp tuyến với đồ thị (C) ’ = √5 cắt trục Ox, Oy A, B (với A, B khác O) cho cos ABO 26 A B C D Câu 54 Biết tồn √ giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y = x2 − 6x + m tiếp xúc với đồ thị hàm số y = − x2 Giá trị m thuộc khoảng cho đây? A (− ∞; −6) B (−6; 0) C (0; 6) D (6; + ∞) f (x) = 4x2 + x 3x, ∀x ∈ R f (1) = Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f (x) điểm có hồnh độ x = A y = −16x − 20 B y = 16x − 20 C y = 16x + 20 D y = −16x + 20 Câu 55 Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục (0; +∞) thỏa mãn f (x) + Câu 56 Cho hàm đa thức bậc bốn y = f (x) có đồ thị (C) Hàm số y = f (x) có đồ thị hình vẽ Gọi đường thẳng ∆ tiếp tuyến đồ thị (C) điểm có hồnh độ Hỏi ∆ (C) có điểm chung? y O x A B C D x+3 có đồ thị (C), điểm M thay đổi thuộc đường thẳng d : y = − 2x x−1 cho qua M có hai tiếp tuyến (C) với hai tiếp điểm tương ứng A, B Biết đường thẳng AB qua điểm cố định H Độ dài đoạn OH √ √ √ √ 10 A 34 B C 29 D 58 Câu 57 Cho hàm số y = Câu 58 Cho hàm số y = (m + 1) x3 − (2m + 1) x − m + có đồ thị (Cm ), biết đồ thị (Cm ) qua ba điểm cố định A, B, C thẳng hàng Có số nguyên m thuộc đoạn [−10; 10] để (Cm ) có tiếp tuyến vng góc với đường thẳng chứa ba điểm A, B, C? A 19 B C 20 D 10 Câu 59 Cho đồ thị (C) : y = x3 − 3x2 Có số nguyên b ∈ (−10; 10) để có tiếp tuyến (C) qua điểm B (0; b)? A B C 17 D 16 p Lê Quang Xe 169 Ơ SĐT: 0967.003.131 CÁC BÀI TỐN LIÊN QUAN ĐẾN ĐỒ THỊ HÀM SỐ | Dạng Toàn tập phương pháp ghép trục 4.1 Cơ sở phương pháp ghép trục giải toán hàm hợp g = f (u(x)) Lý thuyết Ta thực theo bước sau đây: ○ Bước 1: Tìm tập xác định hàm g = f (u(x)) Giả sử tập xác định tìm sau: D = (a1 ; a2 ) ∪ (a3 ; a4 ) ∪ ∪ (an−1 ; an ), a1 ≡ −∞; an ≡ +∞ ○ Bước 2: Xét biến thiên hàm u = u(x) hàm y = f (x) Lập bảng biến thiên kép, xét tương quan [x; u = u(x)] [u; g = f (u)] (Bảng biến thiên thường có dịng) x u = u(x) a1 u1 b1 b2 · · · bk g(b2 ) · · · g = f (u(x)) a2 ··· an−1 an u2 ··· un−1 un g(u2 ) ··· g(un ) g(b1 ) g(u1 ) g(bk ) — Dòng 1: Xác định điểm đặc biệt hàm u = u(x), xếp điểm theo thứ tự tăng dần từ trái qua phải, giải sử sau: a1 < a2 < < an−1 < an (xem ý số 1) — Dòng 2: Điền giá trị ui = u (ai ), với i = 1, , n Trên khoảng (ui ; ui+1 ), với i = 1, n − cần bổ sung điểm kì dị b1 , b2 , , bk hàm số y = f (x) Trên khoảng (ui ; ui+1 ), với i = 1, n − , xếp điểm ui ; bk theo thứ tự, chẳng hạn: ui < b1 < b2 < < bk < ui+1 ui > b1 > b2 > > bk > ui+1 (xem ý số 2) — Dòng 3: Xét chiều biến thiên hàm dựa vào bảng biến thiên hàm y = f (x) cách hốn đổi u đóng vai trị x; f (u) đóng vai trị f (x) Sau hoàn thiện bảng biến thiên g = f (u(x)) ta thấy hình dạng đồ thị hàm số ○ Bước 3: Dùng bẳng biến thiên hàm hợp g = f (u(x)) để giải yêu cầu toán đưa kết luận Một số ý quan trọng sử dụng phương pháp ghép trục để giải toán hàm hợp o ○ Các điểm đặc biệt u = u(x) gồm: điểm biên tập xác định D, điểm cực trị hàm số u = u(x) ○ Nếu xét hàm u = |u(x)| dịng điểm đặc biệt cịn có nghiệm phương trình u(x) = (là hồnh độ giao điểm hàm số u = u(x) với trục Ox) ○ Nếu xét hàm u = u(|x|) dịng điểm đặc biệt cịn có số 0(là hồnh độ giao điểm u = u(x) trục Oy) o ○ Có thể dùng thêm mũi tên để thể chiều biến thiên u = u(x) ○ Điểm đặc biệt hàm số y = f (x) gồm: điểm f (x) f (x) khơng xác định, p Lê Quang Xe 170 Ơ SĐT: 0967.003.131 MỤC LỤC điểm cực trị hàm số y = f (x) ○ Nếu xét hàm g = |f (u(x))| dịng điểm đặc biệt cịn có nghiệm phương trình f (x) = ○ Nếu xét hàm g = f (u(|x|)) dịng điểm đặc biệt cịn có số 5.1 Ví dụ minh họa d Ví dụ 17 Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên sau: x −∞ y0 +∞ − − + +∞ − 0 + +∞ y −2 −4 ò π 5π hàm số 5f (cos2 x − cos x) = Số nghiệm thuộc đoạn − ; 2 A 11 B 10 C ï D 12 Ê Lời giải Tiến hành đặt u = cos2 x − cos x Đạo hàm u = −2 · cos x · n sin x + sin x = sin x (1 − cos x) sin x = ⇔ x = kπ ⇒ x = 0; π; 2π Giải phương trình: u = ⇔ π π 5π 7π cos x = ⇔ x = ± + 2kπ ⇒ x = ± ; ; 3 3 Sử dụng phương pháp ghép trục: π x − u − π π − − f (u) −2 π 2 5π − −2 2π 7π − −2 5π 2 −2 −4 Từ bảng biến thiên ta có phương trình f (u) = có tất 10 nghiệm phân biệt Chọn đáp án B d Ví dụ 18 p Lê Quang Xe 171 Ô SĐT: 0967.003.131 CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐỒ THỊ HÀM SỐ Cho hàm số y = f (x) có đồ thị hình vẽ Gọi S tập hợp m giá trị nguyên tham số m để phương trình f (f (x) + 2) = có nghiệm phân biệt Số phần tử tập S là? A 11 B 32 C D 34 y 13 O x −2 −11 Ê Lời giải Đặt u = f (x) + Từ đồ thị ta thấy hàm số đạt cực trị x = x = Sử dụng phương pháp ghép trục: x −∞ u −∞ 2 +∞ 5 2 +∞ +∞ 13 f (u) −2 −2 −2 −11 −∞ Từ bảng biến thiên, phương trình có nghiệm phân biệt m ñ − 11 < < −2 < m < 26 ⇔ ⇔ m − 22 < m < −4 4< < 13 Vậy có 34 giá trị m thỏa mãn Chọn đáp án D d Ví dụ 19 Cho hàm số y = f (x) liên tục R có đồ thị hình vẽ Hỏi phương trình f (|x3 − 3x|) có điểm cực trị thuộc đoạn [−2; 2]? A 10 B 17 C 12 D 15 y 2,5 O b a x −2 p Lê Quang Xe 172 Ô SĐT: 0967.003.131 MỤC LỤC Ê Lời giải » (x3 − 3x) (3x2 − 3) » (x3 − 3x)2 ⇒ u0 = (x3 − 3x)2 Giải phương trình đạo hàm Đặt u = |x3 − 3x| = x=0 (x3 − 3x) (3x2 − 3) x = ±1 » =0⇒ u = √ (x3 − 3x)2 x = ± Sử dụng phương pháp ghép trục: x −2 u √ − b a 2,5 f (u) −1 a b a b 2,5 a 2,5 b b 2,5 a a b −2 2,5 −2 2,5 −2 √ −2 −2 −2 Từ bảng biến thiên, suy hàm số f (|x3 − 3x|) có 17 điểm cực trị Chọn đáp án B d Ví dụ 20 Cho hàm số y = f (x) liên tục R có đồ thị hình vẽ Hỏi có bao ngun tham số m để phương trình √ nhiêu giá trị 7f −h +i3 cos x = 3m − 10 có ba nghiệm phân biệt π π thuộc − ; 2 A 10 B C 15 D y O x −2 −4 Ê Lời giải 3m − 10 √ Phương trình cho tướng tương với f − + cos x = √ sin x Đặt u = − + cos x ⇒ u0 = √ + cos x sin x Giải phương trình đạo hàm u0 = √ = ⇔ x = + cos x Sử dụng phương pháp ghép trục: p Lê Quang Xe 173 Ô SĐT: 0967.003.131 CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐỒ THỊ HÀM SỐ π x − u − 2 π −2 f (u) −4 Từ bảng biến thiên, yêu cầu toán ⇔ −4 3m − 10 = −2 ⇔ m = − Vậy có giá trị m thỏa mãn Chọn đáp án B 5.2 Bài tập rèn luyện Câu 60 Cho hàm số y = f (x) = ax + cx + d có đồ thị hình vẽ Å + bx ã 3π Số nghiệm thuộc khoảng − ; 3π phương trình f (sin x) − |f (sin x)| + = A 13 B 12 C 11 D 10 y O −1 x −1 Câu 61 Cho hàm số y = f (x) = ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + f có đồ thị hình vẽ Số nghiệm thực phân biệt phương trình f (|4x + 5| − 2) − = A B C 10 D y y = f (x) O x −2 Câu 62 Cho hàm số f (x) có bảng biến thiên sau: x −∞ f (x) −1 0 +∞ f (x) −∞ √ Hỏi phương trình f x − − x − = có nghiệm thực? A 12 B C −∞ D Câu 63 Cho bảng biến thiên hàm số f (5 − 2x) hình vẽ p Lê Quang Xe 174 Ô SĐT: 0967.003.131 MỤC LỤC x −∞ +∞ y −1 −∞ Hỏi phương trình |2f (x2 − 4x + 3) − 1| = có nghiệm thực x tương ứng? A B C D Câu 64 Cho bảng biến thiên hàm số f (3 − 2x) hình vẽ Biết f (4) = 3; f (0) = Hỏi có giá trị nguyên tham số m để phương trình |f (x3 − 3x + 2) − m| = có nhiều nghiệm nhất? x −∞ −1 +∞ 12 y −2 A −∞ B C D Câu 65 Cho hàm số f (x) liên tục R, thỏa mãn f (−1) < < f (5) có bảng biến thiên sau: x f (x) −∞ + −2 − +∞ + 0 − f (x) −∞ −∞ ã Å Äp ä 5π Số nghiệm phương trình f cos (x) + cos x + + cos x = khoảng 0; là? A B C D Câu 66 Cho hàm số f (x) liên tục R có bảng biến thiên hình bên x −∞ −1 √ +∞ +∞ +∞ f (x) 2 −4 p Lê Quang Xe 175 Ô SĐT: 0967.003.131 CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐỒ THỊ HÀM SỐ Số giá trị nguyên tham số mhđể phương trình f (cos x) + (3 − m)f (cos x) + 2m − 10 = có π i nghiệm phân biệt thuộc đoạn − ; π A B C D Câu 67 Cho f (x) hàm đa thức bậc có đồ thị hàm số y = f (x) hình vẽ Hỏi hàm số y = g(x) = f (x2 + 4x + 5) có điểm cực trị? A B C D y O x Câu 68 Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm √ liên tục Rvà có bảng xét đấu đạo hàm f (x) hình vẽ bên Hàm số g(x) = f − − x2 đồng biến trên: x f (x) −∞ A (0; 1) − −3 + B (1; 2) +∞ − + C (−1; 0) D (−3; −1) Câu 69 Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm √ liên tục R có bảng xét đấu đạo hàm f (x) hình vẽ bên Hàm số g(x) = f −1 + + 6x − x nghịch biến trên: x f (x) A (5; 6) p Lê Quang Xe −∞ + +∞ − B (−1; 2) C (2; 3) 176 + D (3; 5) Ô SĐT: 0967.003.131 MỤC LỤC Bài tập nâng cao Câu Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục R, f (−2) = có bảng biến thiên x y0 −∞ +∞ − −1 0 + −1 y −2 − +∞ + +∞ −2 Có tất giá trị nguyên tham số m để phương trình f (|x2 − 1| − 2) = m có nghiệm thực phân biệt? A B C D Câu Cho hàm số bậc bốn y = f (x) có đồ thị hình vẽ bên Có giá trị nguyên tham số m để phương trình f (|x + 3|(x − 1)) = log m có nghiệm phân biệt? A 990 B 991 C 989 D 913 y −4 −3 x O −4 Câu Cho hàm số y = f (x) = x3 + ax2 + bx − a, b tham số thực thỏa mãn ® a+b−2>0 Hỏi phương trình 2f (x) · f 00 (x) = [f (x)]2 có nghiệm? 24 + 3(3a + b) < A B C D Câu Cho hàm số y = f (x) có đồ thị hình vẽ bên Số nghiệm thực phương trình |f (2x3 − 6x + 2)| = A 15 B 14 C 12 D 13 y −2 − x O 13 Câu Cho hàm số y = f (x) xác định liên tục R, có đồ thị f (x) hình Å 3vẽ Có ã giá trị nguyên m ∈ [−10; 10] để hàm số g(x) = x +1 f −(2m−1) (x4 + 2x2 + 2019) đồng biến khoảng (0; +∞)? A B C 11 D 10 y O x −2 Câu Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm R có bảng biến thiên sau p Lê Quang Xe 177 Ơ SĐT: 0967.003.131 CÁC BÀI TỐN LIÊN QUAN ĐẾN ĐỒ THỊ HÀM SỐ x −∞ f (x) + −3 − −1 + − + +∞ f (x) −∞ −3 Số điểm cực đại hàm số g(x) = |f (|x2 − 8x + 7| + x2 − 3)| A B C −∞ D Câu ò ï 3π Cho hàm số y = f (x) có đồ thị hình vẽ bên Số nghiệm thuộc đoạn −2π, phương trình 2f (sin x + 2) − = A 11 B 15 C D y O Câu −1 Cho hàm số y = ax4 + bx3 + cx2 + dx + d (a, b, c, d, e ∈ R), biết f (1) = đồ thị hàm số y = f (x) hình vẽ bên Hàm số g(x) = |2f (x) − x2 + 2x| đồng biến khoảng A (2; +∞) B (−1; 1) C (1; 2) D (−∞; −1) x y −1 x O −2 Câu Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục R có đồ thị hàm số y = f (x2 − 2x) hình vẽ bên Hỏi hàm số y = f (x2 − 1) + x3 + đồng biến khoảng nào? A (−3; −2) B (1; 2) C (−2; −1) D (−1; 0) Câu 10 Cho hàm số f (x) thỏa mãn f (0) < Đồ thị hàm số y = f (x) cho hình vẽ bên Hàm số g(x) = |f (|x|) + 3|x|| có điểm cực tiểu? A B C D y 2 x −1 O −1 y −1 x O −3 Å ã 9x Tìm m để phương trình f 3m + sin x + f (cos2 x) = Câu 11 Cho hàm số y = f (x) = x +3 có nghiệm phân biệt thuộc [0; 3π] Câu 12 Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên sau p Lê Quang Xe 178 Ô SĐT: 0967.003.131 MỤC LỤC x −∞ f (x) + −1 0 − + +∞ − f (x) −∞ −∞ ï ò 9π Số nghiệm thuộc đoạn 0; phương trình f [f (cos x)] = A B C D Câu 13 Cho hàm số y = f (x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e với a 6= có đồ thị hình vẽ bên Phương trình |f (f (x))| = log2 m (với m tham số thực dương), có tối đa nghiệm? A 18 B C D y −1 O x −1 Câu 14 Cho hàm số y = f (x) có đồ thị hình Có số ngun m để phương trình f (2x3 − 6x + 2) = 2m − có nghiệm phân biệt thuộc đoạn [−1; 2]? A B C D y 2 −2 − x O 13 Câu 15 Cho hàm số y = f (x),Åhàm số y = hình ã f (x) có đồ thị sin x − (5 sin x − 1)2 bên Hàm số g(x) = 2f + + có điểm cực trị khoảng (0; 2π)? A B C D y 1 O −1 − −1 −3 x Câu 16 Cho f (x) hàm số bậc bốn thỏa mãn f (0) = Hàm số f (x) có bảng biến thiên sau x −∞ f (x) −3 −1 −1 − −∞ Hàm số g(x) = |f (x3 ) − 3x| có điểm cực trị? A B C p Lê Quang Xe 179 +∞ +∞ 61 D Ơ SĐT: 0967.003.131 CÁC BÀI TỐN LIÊN QUAN ĐẾN ĐỒ THỊ HÀM SỐ Câu 17 Cho hàm số y = f (x) liên tục R có đồ thị hình vẽ bên Số nghiệm thực phân biệt phương trình f (f (x)) = x A B C D −2 y x −1 O −2 Câu 18 Cho hàm số đa thức bậc bốn y = f (x) có đồ thị hình vẽ Tìm số điểm cực trị hàm số g(x) biết g (x) = x2 [f (x2 − 1)] A B C D 10 y −1 x O −2 Câu 19 Cho hàm số bậc ba y = f (x) có đồ thị hình vẽ bên Có giá trị ngun tham số m thuộc đoạn [−20; 20] để hàm số g (x) = |f (1 − |x|) + m| có điểm cực trị? A 14 B 15 C 16 D 17 y O x −2 −4 −6 Câu 20 Cho hàm số y = f (x) có đồ thị hàm số y = f (x) hình vẽ bên Hàm số g (x) = f (|x| + |x2 − 1|) có điểm cực đại? A B C D y x O −1 Câu 21 Cho hàm số y = f (x) liên tục R có đồ thị hình bên Số giá trị nguyên tham số m ïcho phương trình f (2 sin x) = f (m) có ị 3π nghiệm phân biệt thuộc đoạn 0; A B C D y −2 x −1 O −3 p Lê Quang Xe 180 Ô SĐT: 0967.003.131 MỤC LỤC Câu 22 Cho hàm số bậc ba y = f (x) có đồ thị hình vẽ bên Có giá trị nguyên tham số m thuộc đoạn [−20; 20] để hàm số g (x) = |f (1 − |x|) + m| có điểm cực trị ? A 14 B 13 C 11 D 12 y x O −4 −8 −10 Å ã √ Câu 23 Cho hàm số y = f (x) = x −3x Số điểm cực tiểu hàm số f sin 3x − (sin x + cos x) ï ò π 13π − ; 6 A B C D Câu 24 Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục R,f (−2) = có bảng biến thiên hình x y0 −∞ +∞ − −1 0 + −1 y − −2 +∞ + +∞ −2 Có tất giá trị nguyên tham số m để phương trình f (|x2 − 1| − 2) = m có nghiệm thực phân biệt ? A B C D Câu 25 Cho hàm số bậc ba y = f (x) hàm số bậc y = g (x) có đồ thị hình y y = f (x) y = g(x) −2 O x f (x) Z Hàm số h (x) = g (t) dt nghịch biến khoảng đây? A (−3; −2) p Lê Quang Xe B (−2; −1) C (−1; 1) 181 D (1; 3) Ô SĐT: 0967.003.131