Tài liệu học tập toán 12 lê quang xe

GV: LÊ QUANG XE TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 (Cập nhật đầy đủ dạng toán năm gần đây) y x O TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ Muåc luåc Phần I ĐẠI SỐ Chương ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ Bài SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ 1 A LÝ THUYẾT CẦN NHỚ B CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP | Dạng Tìm khoảng đơn điệu hàm số cho trước | Dạng Xét tính đơn điệu dựa vào bảng biến thiên, đồ thị hàm số | Dạng Tìm m để hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d đơn điệu R 10 ax + b | Dạng Tìm m để hàm y = đơn điệu khoảng xác định 12 cx + d | Dạng Biện luận đơn điệu hàm đa thức khoảng, đoạn cho trước 14 | Dạng Biện luận đơn điệu hàm phân thức khoảng, đoạn cho trước 17 | Dạng Một số toán liên quan đến hàm hợp 18 | Dạng Ứng dụng tính đơn điệu hàm số 21 C BÀI TẬP RÈN LUYỆN 25 D BÀI TẬP TỰ LUYỆN 34 Bài CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 45 A LÝ THUYẾT CẦN NHỚ 45 B CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP 45 | Dạng Ứng dụng đạo hàm (quy tắc 1) để tìm cực trị cực hàm số 45 | Dạng Xác định cực trị biết bảng biến thiên đồ thị 48 | | | | Dạng Dạng Dạng Dạng Ứng dụng đạo hàm (quy tắc 2) để tìm cực trị cực hàm số 51 Tìm m để hàm số đạt cực trị điểm x0 cho trước 51 Biện luận cực trị hàm bậc ba y = ax3 + bx2 + cx + d 52 Biện luận cực trị hàm trùng phương y = ax4 + bx2 + c 55 C BÀI TẬP RÈN LUYỆN 57 D BÀI TẬP TỰ LUYỆN 67 Bài GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ 78 A LÝ THUYẾT CẦN NHỚ 78 B CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP 79 | Dạng Tìm max – hàm số đoạn [a; b] cho cho trước 79 | Dạng Tìm max – khoảng (a; b) cho trước 83 | Dạng Một số toán ứng dụng thực tế 86 C BÀI TẬP RÈN LUYỆN 93 D BÀI TẬP TỰ LUYỆN 105 Trang ii Mục lục Bài ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ 112 A LÝ THUYẾT CẦN NHỚ 112 B CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP 113 | Dạng Tiệm cận đứng tiệm cận ngang đồ thị hàm số y = f (x) 113 | Dạng Xác định TCN TCĐ biết bảng biến thiên hàm số y = f (x) 117 | Dạng Một số toán biện luận theo tham số m 119 C BÀI TẬP RÈN LUYỆN 123 D BÀI TẬP TỰ LUYỆN 134 Bài ĐỒ THỊ CÁC HÀM SỐ THƯỜNG GẶP 143 A LÝ THUYẾT CẦN NHỚ 143 B C CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP 144 | Dạng Nhận dạng đồ thị hàm bậc ba y = ax3 + bx2 + cx + d 144 | Dạng Nhận dạng đồ thị hàm bậc bốn trùng phương y = ax4 + bx2 + c 148 ax + b | Dạng Nhận dạng đồ thị hàm biến y = 151 cx + d BÀI TẬP RÈN LUYỆN LUYỆN 155 D BÀI TẬP TỰ LUYỆN 167 Bài ỨNG DỤNG ĐỒ THỊ ĐỂ BIỆN LUẬN NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH 176 A LÝ THUYẾT CẦN NHỚ 176 B CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP 177 | Dạng Giải, biện luận nghiệm phương trình phương pháp đồ thị 177 | Dạng Giải, biện luận nghiệm bất phương trình phương pháp đồ thị 182 | Dạng Một số toán liên quan đến hàm hợp 184 C BÀI TẬP TỰ LUYỆN 191 D BÀI TẬP TỰ LUYỆN 207 Bài SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ 225 A LÝ THUYẾT CẦN NHỚ 225 B CÁC VÍ DỤ MINH HOẠ 225 | Dạng Biện luận giao điểm đường thẳng đồ thị hàm số bậc ba 225 | Dạng Biện luận giao điểm đường thẳng đồ thị hàm số trùng phương 230 ax + b | Dạng Biện luận giao đường thẳng đồ thị hàm số y = 234 cx + d BÀI TẬP TỰ LUYỆN 239 C Bài TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ 252 A LÝ THUYẾT CẦN NHỚ 252 B CÁC VÍ DỤ MINH HOẠ 252 | Dạng Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f (x) điểm (x0 ; y0 ) cho trước 252 | Dạng Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f (x) biết hệ số góc tiếp tuyến k0 256 TRƯỜNG THPT NGUYỄN TẤT THÀNH Trang iii Mục lục | Dạng Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f (x), biết tiếp tuyến qua điểm A(x A ; y A ) 259 | Dạng Bài tập tổng hợp 262 C BÀI TẬP RÈN LUYỆN 265 D BÀI TẬP TỰ LUYỆN 276  LÊ QUANG XE - ĐT: 0967.003.131 PHẦN I ĐẠI SỐ ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM KHẢO SÁTChûúng VÀỨNG VẼ ĐỒ THỊ HÀM DỤNG ĐẠOSỐ HÀM KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ §1 SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ A LÝ THUYẾT CẦN NHỚ Định nghĩa tính đơn điệu hàm số Định nghĩa 1.1 Cho hàm số y = f (x) xác định (a; b) Khi y  Hàm số đồng biến (a; b) f (x2 ) ∀ x1 , x2 ∈ (a; b) : x1 < x2 ⇒ f (x1 ) < f (x2 ) — Trên khoảng (a; b), đồ thị "đường lên" xét từ trái sang phải f (x1 ) O x1 x2 x x1 x2 x y f (x1 )  Hàm số nghịch biến (a; b) f (x2 ) ∀ x1 , x2 ∈ (a; b) : x1 < x2 ⇒ f (x1 ) > f (x2 ) — Trên khoảng (a; b), đồ thị "đường xuống" xét từ trái sang phải O Các tính chất thường dùng cho hàm đơn điệu Tính chất 1.1  Cho hàm số y = f (x) đồng biến khoảng (a; b) Xét m, n ∈ (a; b) ¬ Nếu f (m) = f (n) m = n ­ Nếu f (m) > f (n) m > n ® Nếu f (m) < f (n) m < n ¯ Với k ∈ R, phương trình f (x) = k có không nghiệm thực (a; b)  Cho hàm số y = f (x) nghịch biến khoảng (a; b) Xét m, n ∈ (a; b) ¬ Nếu f (m) = f (n) m = n ­ Nếu f (m) > f (n) m < n ® Nếu f (m) < f (n) m > n ¯ Với k ∈ R, phương trình f (x) = k có khơng q nghiệm thực (a; b)  LÊ QUANG XE - ĐT: 0967.003.131 Trang Chương ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ Liên hệ đạo hàm tính đơn điệu Định nghĩa 1.2 Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm khoảng (a; b) ¬ Nếu y0 ≥ 0, ∀ x ∈ (a; b) y = f (x) đồng biến (a; b) ­ Nếu y0 ≤ 0, ∀ x ∈ (a; b) y = f (x) nghịch biến (a; b) o Dấu xảy điểm "rời nhau" B CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP Dạng Tìm khoảng đơn điệu hàm số cho trước a) Tìm tập xác định D hàm số b) Tính y0 , giải phương trình y0 = tìm nghiệm xi (nếu có) c) Lập bảng xét dấu y0 miền D Từ dấu y0 , ta suy chiều biến thiên hàm số ○ Khoảng y0 mang dấu −: Hàm nghịch biến ○ Khoảng y0 mang dấu +: Hàm đồng biến Ví dụ Cho hàm số y = − x3 + 3x2 + Khẳng định sau đúng? A Hàm số đồng biến khoảng (0; 2) B Hàm số đồng biến khoảng (−∞; 0) C Hàm số đồng biến khoảng (2; +∞) D Hàm số nghịch biến khoảng (0; 2) đ Ta có y0 = −3x2 + 6x, y0 = ⇔ Ê Lời giải x=0 x = Bảng biến thiên x −∞ y0 − +∞ +∞ + − y Từ bẳng biến thiên ta hàm số đồng biến khoảng (0; 2) Chọn đáp án A −∞  Ví dụ Cho hàm số y = x3 + 3x2 − Mệnh đề đúng? A Hàm số nghịch biến khoảng (1; 5) TRƯỜNG THPT NGUYỄN TẤT THÀNH Trang SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ B Hàm số đồng biến khoảng (−∞; 1) (2; +∞) C Hàm số nghịch biến khoảng (−∞; −2) (0; +∞) D Hàm số đồng biến khoảng (−∞; −2) (0; +∞) Ê Lời giải ñ x = −2 x = x y0 −∞ Ta có y0 = 3x2 + 6x, y0 = ⇔ Bảng biến thiên y + −2 − 0 +∞ + +∞ −∞ −2 Vậy hàm số đồng biến khoảng (∞; −2) (0; +∞) Chọn đáp án D  Ví dụ Hàm số Å y = − x ã+ 2x − 2x − Å nghịchãbiến khoảng sau đây? 1 A −∞; − B − ; +∞ C (−∞; 1) D (−∞; +∞) 2 Ê Lời giải Tập xác định hàm số D = R x=−  y = −4x + 6x − 2, y = ⇔ x=1 Bảng xét dấu f (x) x −∞ f (x) Từ bảng xét dấu f (x) − + +∞ − − Å ã suy hàm số nghịch biến khoảng − ; +∞ Chọn đáp án B  Ví dụ Hàm số y = x4 + 8x3 + nghịch biến khoảng đây? A (0; +∞) B (−∞; −6) C (−6; 0) Ê Lời giải  LÊ QUANG XE - ĐT: 0967.003.131 D (−∞; +∞) Trang Chương ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ Ta có y0 =đ4x3 + 24x2 = 4x2 (x + 6) x=0 y0 = ⇔ x = −6 Bảng biến thiên x −∞ y0 −6 − +∞ + + +∞ +∞ y y(−6) Nhìn bảng biến thiên ta thấy hàm số nghịch biến khoảng (−∞; −6) Chọn đáp án B  Ví dụ Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm f (x) = x2 + 1, ∀ x ∈ R Mệnh đề đúng? A Hàm số nghịch biến khoảng (−∞; 0) B Hàm số nghịch biến khoảng (1; +∞) C Hàm số nghịch biến khoảng (−1; 1) D Hàm số đồng biến khoảng (−∞; +∞) Ê Lời giải Ta có f (x) > 0, ∀ x ∈ R nên hàm số đồng biến khoảng (−∞; +∞) Chọn đáp án D  Ví dụ x+3 Khẳng định sau đúng? x−3 A Hàm số đồng biến khoảng (−∞; 3) (3; +∞) B Hàm số nghịch biến khoảng (−∞; 3) (3; +∞) Cho hàm số y = C Hàm số nghịch biến R \ {3} D Hàm số đồng biến R \ {3} Ê Lời giải −6 > ∀ x ∈ (−∞; 3) ∪ (3; +∞) (x − 3)2 Do đó, hàm số nghịch biến khoảng (−∞; 3) (3; +∞) Hàm số cho có tập xác định (−∞; 3) ∪ (3; +∞), y0 = Chọn đáp án B  TRƯỜNG THPT NGUYỄN TẤT THÀNH Trang 218 Chương ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ x 00 −10∞ 20 30 40 50 60 +70∞ y0 01 11 − 21 31 − 41 51 + 61 71 02 12 22 32+∞ 42 52 62 +72∞ y 03 13 23 33 43 53 63 73 04 14 24 −∞34 44 54 64 74 A nghiệm B nghiệm C nghiệm D nghiệm Ê Lời giải Ta có bảng biến thiên hàm số y = | f (x)| có dạng x 00 −10∞ 20 a 30 40 50 60 70 80 +90∞ y0 01 11 − 21 31 + 41 51 − 61 71 + 81 91 02 12 22 32 42 +∞52+∞ 62 72 82 +92∞ y 03 13 23 33 43 53 63 73 83 93 04 14 24 34 44 54 64 74 84 94 Từ bảng biến thiên ta thấy phương trình | f (x)| = có ba nghiệm phân biệt Chọn đáp án C  Bài 27 Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên hình vẽ x y0 −∞ x1 + +∞ x2 − + +∞ y −∞ −3 Phương trình | f (1 − 2x) + 2| = có tất nghiệm thực phân biệt A B C D Ê Lời giải ñ f (1 − 2x) + = f (1 − 2x) = (2) Ta có | f (1 − 2x) + 2| = ⇔ ⇔ f (1 − 2x) + = −5 f (1 − 2x) = −7 (3) Đặt − 2x = t với x ∈ R có giá trị t ∈ R Đồ thị hàm số y = f (t) đồ thị hàm số y = f (x) Số nghiệm phương trình (2) số hoành độ giao điểm đồ thị hàm số y = f (t) với đường thẳng y = Có giao điểm nên phương trình (2) có nghiệm phân biệt Số nghiệm phương trình (3)là số hoành độ giao điểm đồ thị hàm số y = f (t) với đường ñ TRƯỜNG THPT NGUYỄN TẤT THÀNH Trang 219 ỨNG DỤNG ĐỒ THỊ ĐỂ BIỆN LUẬN NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH thẳng y = −7 Có giao điểm nên phương trình (3) có nghiệm Nghiệm phương trình(3) khơng trùng với nghiệm phương trình (2) Vậy phương trình có nghiệm phân biệt Chọn đáp án B  Bài 28 Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên hình vẽ Phương trình f (x2 − 3) = có nghiệm âm? A B C D −∞ x y0 + −1 − +∞ + +∞ y −∞ −3 Ê Lời giải Đặt u = x2 − 3, đó, nghiệm phương trình f (x2 − 3) = giao điểm đồ thị hàm số y = f (u) đường thẳng y = Dựa vào bảng biến thiên hàm số y = f (x) ta có √ x=± f (x − 3) = ⇔ ⇔ ⇔ p x − = u1 với u1 > x = + u1 x = ± u1 + ñ x2 − = ñ " x2 = Vậy phương trình cho có hai nghiệm âm phân biệt Chọn đáp án D  Bài 29 Cho hàm số f (x) xác định R \ {0}, có bảng biến thiên hình vẽ x y0 −∞ − − +∞ + +∞ +∞ +∞ y −∞ Số nghiệm phương trình | f (x)| − 10 = A B C D Ê Lời giải Ta có 10  3 | f (x)| − 10 = ⇔  10 f (x) = −  f (x) = 10 phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hàm số y = f (x) ○ Phương trình f (x) = 10 đường thẳng y = 10 Theo bảng biến thiên, đường thẳng y = cắt đồ thị hàm số y = f (x) điểm phân biệt, 10 nên phương trình f (x) = có nghiệm phân biệt  LÊ QUANG XE - ĐT: 0967.003.131 Trang 220 Chương ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 10 ○ Phương trình f (x) = − phương trình hoành độ giao điểm đồ thị hàm số y = f (x) 10 đường thẳng y = − 10 cắt đồ thị hàm số y = f (x) điểm, nên Theo bảng biến thiên, đường thẳng y = − 10 phương trình f (x) = − có nghiệm Vậy phương trình | f (x)| − 10 = có nghiệm phân biệt Chọn đáp án C  Bài 30 Cho hàm số bậc ba f (x) = ax3 + bx2 + cx + d, (a, b, c, d ∈ R a 6= 0) có đồ thị hình vẽ Phương trình f (x) = f (8a + 4b + 2c + d) có nghiệm? y −1 O −1 x −2 A B C D Ê Lời giải Ta có f (x) = f (8a + 4b + 2c + d) ⇔ f (x) = f ( f (2)) Từ đồ thị hàm số ta có x = nghiệm phương trình f (x) = hay f (2) = Suy f (x) = f ( f (2)) ⇔ f (x) = f (0) ⇔ f (x) = −2 Do số nghiệm phương trình f (x) = f (8a + 4b + 2c + d) số nghiệm phương trình f (x) = −2 Từ đồ thị hàm số ta thấy đường thẳng y = −2 cắt đồ thị hàm số y = f (x) điểm có hồnh độ x = x = Vậy phương trình có nghiệm Chọn đáp án B y −1 O −1 −2 x y = −2  Bài 31 Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên hình vẽ bên x −∞ f (x) −1 + − + +∞ f (x) −2 −∞ +∞ −2 Có số nguyên tham số m để phương trình f (2 sin x + 1) = f (m) có nghiệm thực? A B C D TRƯỜNG THPT NGUYỄN TẤT THÀNH Trang 221 ỨNG DỤNG ĐỒ THỊ ĐỂ BIỆN LUẬN NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH Ê Lời giải Với ∀ x ∈ R ta có −1 ≤ sin x + ≤ Từ bảng biến thiên, suy −2 ≤ f (2 sin x + 1) ≤ Do phương trình f (2 sin x + 1) = f (m) có nghiệm −2 ≤ f (m) ≤ Dựa vào bảng biến thiên ta suy −1 ≤ m ≤ Do có giá trị nguyên m thỏa mãn Chọn đáp án A  Bài 32 Cho hàm số y = f (x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e với (a, b, c, d, e ∈ R) Biết hàm số y = f (x) có đồ thị hình vẽ Có giá trị nguyên m [−5; 5] để phương trình f (− x2 + 2x + m) = e có bốn nghiệm phân biệt y O A B C x D Ê Lời giải f (x) Vì y = f (x) hàm đa thức bậc bốn nên đa thức bậc ba Dựa vào đồ thị hàm số f (x) hình vẽ ta suy f (x) = kx2 (x − 3) Đồ thị hàm số f (x) qua điểm (2; 1) nên k = − 3 Do f (x) = − x + x 4 3 Ta lại có f (x) = ax4 + bx  + cx + dx + e , suy f (x) = 4ax + 3bx + 2cx + d a = − , b = Đồng hế số ta có 16  c=d=0 1 Vậy f (x) = − x4 + x3 + e 16 Với phương trình f (− x2 + 2x + m) = e , ta đặt X = − x2 + 2x + m f (X) = e ñ ñ x − 2x − m = X=0 Tức là, − X + X + e = e ⇔ ⇔ 16 X=4 x − 2x − m + = Dễ thấy nghiệm phương trình x2 − 2x − m = nghiệm phương trình x2 − 2x − m + = nên phương trình cho có nghiệm phân biệt phương trình bậc ® hai phải có hai nghiệm phân biệt Điều tương đương với 1+m > ⇔m>3 −3+m > Vậy có hai giá trị nguyên m [−5; 5] để phương trình f (− x2 + 2x + m) = e có bốn nghiệm phân biệt  LÊ QUANG XE - ĐT: 0967.003.131 Trang 222 Chương ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ Chọn đáp án B  Bài 33 Có giá trị nguyên tham số m  để phương  trình cos 3x − cos 2x + m cos x = có π bảy nghiệm khác thuộc khoảng − ; 2π ? A B C D Ê Lời giải Ä ä Ta có cos 3x − cos 2x + m cos x = ⇔ cos x − cos x − cos2 x − + m cos x = ⇔ cos3 x − cos2 x + (m − 3) cos x = Đặt cos x = t với t ∈ [−1; 1] Ta có phương trình đ 4t3 − 2t2 + (m − 3)t = ⇔ ○ Với t = cos x = ⇔ x = t=0 4t2 − 2t + (m − 3) = (∗)  π  π π 3π + kπ, có nghiệm ; thuộc − ; 2π 2 2  π  ○ Với giá trị t ∈ (0; 1) phương trình cos x = t có nghiệm thuộc − ; 2π   π ○ Với giá trị t ∈ (−1; 0] phương trình cos x = t có nghiệm thuộc − ; 2π  π  ○ Với t = −1 phương trình cos x = t có nghiệm thuộc − ; 2π Để pt có nghiệm thỏa mãn phương trình (*) phải có nghiệm t1 ; t2 thỏa mãn điều kiện −1 < t1 < < t2 < Ta có (∗) ⇔ m = −4t2 + 2t + Bảng biến thiên hàm số y = −4t2 + 2t + x −1 y0 + y −3 − 13 Từ bảng biến thiên ta có m ∈ (1; 3) Vậy m = {2} Chọn đáp án D  TRƯỜNG THPT NGUYỄN TẤT THÀNH Trang 223 ỨNG DỤNG ĐỒ THỊ ĐỂ BIỆN LUẬN NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH Bài 34 Cho hàm số y = f (x) có đồ thị hình
vẽ bên Có số ngun m để phương trình f x3 − 3x = m có nghiệm phân biệt thuộc đoạn [−1; 2]? A B C D y O x −2 Ê Lời giải Đặt t = g(x) = x3 − 3x,ñx ∈ [−1; 2] x=1 g0 (x) = 3x2 − = ⇔ x = −1 Bảng biến thiên hàm số g(x) [−1; 2] x g0 (x) g(x) −1 − + 2 −2 Suy với t = −2, có giá trị x thuộc đoạn [−1; 2] t ∈ (−2; 2], có giá trị
x thuộc đoạn [−1; 2] Phương trình f x − 3x = m có nghiệm phân biệt thuộc đoạn [−1; 2] phương trình f (t) = m có nghiệm phân biệt thuộc (−2; 2] (1) Dựa vào đồ thị hàm số y = f (x) m nguyên ta có hai giá trị m thỏa mãn điều kiện (1) là: m = 0, m = −1  Chọn đáp án B Bài 35 Cho hàm số y = f (x) có đồ thị hình vẽ bên Số điểm cực trị hàm số y = f ( f (x)) A 10 B C D y −2 O −1 Ê Lời giải Đặt g(x) = f ( f (x)), suy x=0  f (x) =  x = ±2 g0 (x) = f (x) · f ( f (x)) = ⇔ ⇔  f (x) = f ( f (x)) = f (x) = ±2  ñ Ta xét trường hợp sau  LÊ QUANG XE - ĐT: 0967.003.131 x Trang 224 Chương ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ ○ f (x) = có nghiệm đơi khác a, b, c d ○ f (x) = có nghiệm phân biệt x = x = m, x = n ○ f (x) = −2 vơ nghiệm Phương trình g0 (x) = có nghiệm đơn đơi khác có nghiệm x = bội Vậy hàm số y = f ( f (x)) có điểm cực trị Chọn đáp án D  ——HẾT—— TRƯỜNG THPT NGUYỄN TẤT THÀNH Trang 225 SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ §7 SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ A LÝ THUYẾT CẦN NHỚ Phương pháp đại số Định nghĩa 7.1 Xác định tọa độ giao điểm hai đồ thị y = f (x) y = g(x), ta thực bước: ¬ Giải phương trình hồnh độ giao điểm f (x) = g(x) Tìm nghiệm x0 ∈ D f ∩ Dg ­ Với x0 vừa tìm, thay vào hàm số ban đầu để tìm y0 ® Kết luận giao điểm (x0 ; y0 ) Phương pháp đồ thị Định nghĩa 7.2 ¬ Nếu đề cho hình ảnh đồ thị y = f (x) y = g(x), ta dùng hình vẽ để xác định tọa độ giao điểm chúng ­ Số nghiệm phương trình f (x) = m số giao điểm đồ thị y = f (x) với đường thẳng y = m (nằm ngang) B CÁC VÍ DỤ MINH HOẠ Dạng Biện luận giao điểm đường thẳng đồ thị hàm số bậc ba Xét hàm số bậc ba y = ax3 + bx2 + cx + d (a 6= 0) có đồ thị (C) đường thẳng d có phương trình y = kx + n Lập phương trình hồnh độ giao điểm (C) d: ax3 + bx2 + cx + d = kx + n (1) Ta có hai trường hợp xảy ra:  Trường hợp 1: Phương trình (1) có “nghiệm đẹp” x0 Khi đó, ta phân tích (1) dạng ñ x = x0 (1) ⇔ (x − x0 )(Ax2 + Bx + C) = ⇔ Ax2 + Bx + C = (2) Các toán thường gặp: ¬ (C) d có ba điểm chung ⇔ (2) có hai nghiệm phân biệt khác x0 ® ∆>0 ⇔ Ax02 + Bx0 + C 6= ­ (C) d có hai điểm chung ⇔ (2) có nghiệm khác x0   ∆ = ∆ > ⇔  − B = x0  − B = x0 2A 2A  LÊ QUANG XE - ĐT: 0967.003.131 Trang 226 Chương ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ ® (C) d có điểm chung ⇔ (2) vơ nghiệm có nghiệm nghiệm x0  ∆ = ⇔ ∆ <  − B = x0 2A  Trường hợp 2: Phương trình (1) khơng có “nghiệm đẹp” Khi ta tiến hành bước: ¬ Cơ lập tham số m, chuyển phương trình (1) dạng f (x) = m Số nghiệm phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị y = f (x) với đường thẳng y = m (nằm ngang) ­ Lập bảng biến thiên hàm y = f (x) miền đề yêu cầu ® Tịnh tiến đường thẳng y = m theo phương song song với Ox, nhìn giao điểm suy kết Ví dụ Đường thẳng y = −3x + cắt đồ thị hàm số y = x3 − 2x2 − điểm có tọa độ (x0 ; y0 ) Chọn câu trả lời sai câu trả lời sau A x03 − 2x02 − − y0 = B y0 + 3x0 − = C x0 + y0 + = D x03 − = 2x03 − 3x0 Ê Lời giải Tọa độ giao điểm đường thẳng đồ thị hàm số nghiệm hệ phương trình ® ® y = −3x + x0 = ⇔ y0 = −2 y = x − 2x − Chọn đáp án C  Ví dụ Số giao điểm đồ thị hàm số y = (x − 1)(x2 − 3x + 2) trục hoành A B C D Ê Lời giải Phương trình y = có hai nghiệm x = x = Chọn đáp án C  Ví dụ Đường thẳng y = x − cắt đồ thị hàm số y = x3 − x2 + x − hai điểm Tìm tổng tung độ giao điểm A −3 B C D −1 Ê Lời giải TRƯỜNG THPT NGUYỄN TẤT THÀNH Trang 227 SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ Phương trình hồnh độ giao điểm ñ x −x +x−1 = x−1 ⇔ x=1⇒y=0 x = ⇒ y = −1 Tổng tung độ giao điểm + (−1) = −1 Chọn đáp án D  Ví dụ Đồ thị hàm số y = x3 − 3x2 + 2x − cắt đồ thị hàm số y = x2 − 3x + hai điểm phân biệt A, B Tính độ dài AB √ A AB = B AB = 2 C AB = D AB = Ê Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm ñ ñ x=1 y = −1 ⇒ x − 3x + 2x − = x − 3x + ⇔ x − 4x + 5x − = ⇔ x=2 y = −1 2 # » Khơng tính tổng qt, ta giả sử A(1; −1), B(2; −1) Suy AB = (1; 0) ⇒ AB = Chọn đáp án D  Ví dụ Đồ thị sau hàm số y = x3 − 3x + Với giá trị m phương trình x3 − 3x − m = có nghiệm phân biệt? A −2 < m < B −1 < m < C −2 ≤ m < D −2 < m < y −1 O x −1 Ê Lời giải Ta có x3 − 3x − m = ⇔ x3 − 3x + = m + Phương trình có ba nghiệm phân biệt ⇔ Đường thẳng y = m + cắt đồ thị hàm số y = x3 − 3x + ba điểm phân biệt ⇔ −1 < m + < ⇔ −2 < m < Chọn đáp án A Ví dụ Cho hàm số y = (x − 2)(x2 + mx + m2 − 3) Tìm tập hợp giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số cho cắt trục hồnh ® ba điểm phân biệt ® −2 < m < −1 < m < A −1 < m < B C D −2 < m < −1 m = −1 m 6=  LÊ QUANG XE - ĐT: 0967.003.131  Trang 228 Chương ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ Ê Lời giải Đồ thị hàm số cho cắt trục hoành ba điểm phân biệt phương trình (x − 2)(x2 + mx + m2 − 3) = có nghiệm phân biệt hay phương trình x2 + mx + m2 − = có nghiệm phân biệt khác ® ® ∆ = −3m2 + 12 > −2 < m < ⇔ ⇔ m = −1 m2 + 2m + 6= Chọn đáp án B  Ví dụ Cho hàm số y = x3 − 3x + có đồ thị (C) Gọi d đường thẳng qua điểm A(3; 20) có hệ số góc m Với giá trị phân biệt? m d cắt (C) ba điểm   15 m < m < m > 15 m > A B C D 5     m 6= 24 m 6= m 6= m 6= Ê Lời giải Đường thẳng d · y = m(x − 3) + 20 hay d : y = mx − 3m + 20 Hoành độ giao điểm d (C) nghiệm phương trình x3 − 3x + = mx − 3m + 20 ⇔ x3 − (3 + m)x + 3m − 18 = ⇔ (x − 3)(x2 + 3x + − m) = ñ x=3 ⇔ x2 + 3x + − m (1) ® Đường thẳng d cắt (C) ba điểm phân biệt ⇔  m > 15 ⇔  32 + · + − m 6= m 6= 24 ∆ = 4m − 15 > Chọn đáp án C  Ví dụ Biết có hai số m1 , m2 hai giá trị tham số m cho đồ thị (C) hàm số y = x3 − 3mx2 − 3x + 3m + cắt trục hồnh điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 , x3 thỏa mãn x12 + x22 + x32 = 15 Tính m1 + m2 A B C D Ê Lời giải Xét phương trình hồnh độ giao điểm x3 − 3mx2 − 3x + 3m + = ⇔ (x − 1)[x2 + (1 − 3m)x − 3m − 2] = ñ x=1 ⇔ g(x) = x2 + (1 − 3m)x − 3m − = TRƯỜNG THPT NGUYỄN TẤT THÀNH Trang 229 SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ Để (C) cắt trục hoành ba điểm phân biệt g(x) = có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 khác ® ® Theo định lí Vi-ét ta có ∆g > ⇔ g(1) 6= ® 9m2 + 6m + > ⇔ m 6= − 6m 6= x1 + x2 = 3m − x1 x2 = −3m − ⇔ ⇒ ⇔ ⇔ x12 + x22 + x32 = 15 ⇔ x12 + x22 = 14 (x1 + x2 )2 − 2x1 x2 − 14 = (3m − 1)2 − 2(−3m − 2) − 14 = 9m2 − = ñ m = −1 m = Vậy m1 + m2 = Chọn đáp án A  Ví dụ Cho hàm số y = x3 + mx2 − x − m (Cm ) Hỏi có tất giá trị tham số m để đồ thị hàm số (Cm ) cắt trục Ox ba điểm phân biệt có hồnh độ lập thành cấp số cộng ? A B C D Ê Lời giải Phương trình hoành độ giao điểm (Cm ) Ox : x3 + mx2 − x − m = ⇔ (x + m)(x2 − 1) = ñ x = −m ⇔ x = ±1 Từ có ba trường hợp: a) Trường hợp Thứ tự số hạng cấp số cộng −m, −1, Khi m = b) Trường hợp Thứ tự số hạng cấp số cộng −1, −m, Khi m = c) Trường hợp Thứ tự số hạng cấp số cộng −m, 1, −1 Khi m = −3 Vậy có giá trị m thỏa mãn Chọn đáp án B  LÊ QUANG XE - ĐT: 0967.003.131  Trang 230 Chương ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ Ví dụ 10 Tìm tất giá trị m để đường thẳng ∆ : y = x + cắt đồ thị hàm số y = x3 + 2mx2 + (m + 3)x + ba điểm phân biệt A(0; 4), B C cho diện tích tam giác MBC 4, với M(1; 3) A m = m = B m = −2 m = C m = D m = −2 m = −3 Ê Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm ñ x3 + 2mx2 + (m + 3)x + = x + ⇔ x3 + 2mx2 + (m + 2)x = ⇔ x=0 x2 + 2mx + m + = Đường thẳng ® ∆ cắt2 đồ thị điểm®phân biệt ⇔ x + 2mx + m + = có nghiệm phân biệt m > 2, m < −1 ∆ = m −m−2 > khác ⇔ ⇔ m = −2 m + 6= Gọi hoành độ giao điểm B, C b, c Ta có B(b; b + 4), C(c; c + 4) c + b = −2m, bc = m + » » »   BC = (c − b)2 + (c + − b − 4)2 = (c + b)2 − 4bc = 2(m2 − m − 2) √ Đường thẳng ∆ : x − y + = Khoảng cách d(M, BC) = d(M, ∆) = Diện tích tam giác MBC nên p √ » · 2(m2 − m − 2) · = ⇔ m2 − m − = ⇔ m = ∨ m = −2 m = −2 không thõa mãn điều kiện Vậy m = giá trị cần tìm Chọn đáp án C Dạng  Biện luận giao điểm đường thẳng đồ thị hàm số trùng phương Cho hàm số y = ax4 + bx2 + c(a 6= 0) có đồ thị (C) đường thẳng y = k có đồ thị d Lập phương trình hồnh độ giao điểm (C) d: ax4 + bx2 + c = k (1) Đặt t = x2 (t ≥ 0) ta có phương trình at2 + bt + c − k = Các tốn thường gặp: (2) ¬ (C) d có bốn điểm chung⇔ (2) có hai nghiệm dương phân biệt   ∆ > ⇔ P>0   S>0 ­ (C) d có ba điểm chung ⇔ (2) có hai nghiệm phân biệt, có nghiệm dương nghiệm t = ® (C) d có hai điểm chung ⇔ (2) có nghiệm kép dương có hai nghiệm trái dấu ¯ (C) d có điểm chung ⇔ (2) có nghiệm t = nghiệm âm TRƯỜNG THPT NGUYỄN TẤT THÀNH Trang 231 SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ ° (C) d khơng có điểm chung ⇔ (2) vơ nghiệm có nghiệm âm o Có thể chuyển tốn biện luận giao điểm đồ thị cố định với đường thẳng nằm ngang Ví dụ Tìm số giao điểm đồ thị hàm số y = x4 − 2x2 + với trục Ox A B C D Ê Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm x4 − 2x2 + = ⇔ (x2 − 1)2 = ⇔ x = ±1 Vậy có hai giao điểm Chọn đáp án B  Ví dụ Đồ thị hàm số y = 2x4 − 3x2 đồ thị hàm số y = − x2 + có điểm chung? A B C D Ê Lời giải Ta có: 2x4 − 3x2 = − x2 + ⇔ 2x4 − 2x2 − = √    1− √ x = (loại)  + 2√ ⇔ ⇔x=±  1+ x = Chọn đáp án A  Ví dụ Tìm tất giá trị thực tham số m để đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số y = x4 − 2x2 − bốn điểm phân biệt A m > −1 B −1 < m < C m < −4 D −4 < m < −3 Ê Lời giải ñ Xét hàm số y = x4 − 2x2 − Ta có y0 = 4x3 − 4x = ⇔ Bảng biến thiên  LÊ QUANG XE - ĐT: 0967.003.131 x=0 x = ±1 Trang 232 Chương ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ x −∞ −1 y0 − + +∞ +∞ − + +∞ -3 y -4 -4 Suy với −4 < m < −3 hai đồ thị cho cắt điểm phân biệt Chọn đáp án D  Ví dụ Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y = x4 − 3x2 − m − cắt trục hoành haiđiểm phân biệt  m > −1 m ≥ −1   A B m > −1 C D m ≥ −1 13 13 m=− m=− 4 Ê Lời giải  Xét hàm số f (x) = x4 − 3x2 , có f (x) = 4x3 − 6x = ⇔  x=0 x=± √ y Ç √ å = − , suy đồ thị (C) hàm số Tính giá trị f (0) = 0; f ± y = f (x) hình vẽ Để  phương trình f (x)= m + có nghiệm phân biệt m > −1 m+1 >   ⇔ ⇔ 13 m+1 = − m=− 4 √ − O √ x − Chọn đáp án A  Ví dụ Có giá trị nguyên tham số m để đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số y = 2x2 | x2 − 2| điểm phân biệt? A B C D Ê Lời giải TRƯỜNG THPT NGUYỄN TẤT THÀNH