Phương pháp hiệu chỉnh giải bài toán đặt không chỉnh

Luận văn tốt nghiệp Lê Đức Thọ Lời mở đầu Lý thuyết toán đặt không chỉnh phần quan trọng môn Giải Tích Số Nhiều vấn đề khoa học thực tiễn dẫn đến giải toán đặt không chỉnh Việc tìm phơng pháp làm cho nghiệm xấp xỉ toán gần với nghiệm sai số liệu nhỏ, vấn đề vô quan trọng Phơng pháp hiệu chỉnh giải toán đặt không chỉnh giải toán Với mong muốn tìm hiểu sâu sắc vấn đề này, dới giúp đỡ tận tình chu đáo TS Nguyễn Văn Khải đà chọn nghiên cứu đề tài: Phơng Pháp Hiệu Chỉnh Giải Bài Toán Đặt Không Chỉnh Nôị dung luận văn gồm ba chơng: Chơng 1: Kiến thức chuẩn bị, chơng đa số kiến thức Giải Tích Hàm Đại Số Tuyến Tính Chơng 2: Chơng đa số ví dụ toán đặt không chỉnh Đại Số Tuyến Tính Phơng Trình Đạo Hàm Riêng Cuối khái niệm Bài Tóan Đặt Không Chỉnh Chơng 3: Chơng nghiên cứu vấn đề Phơng Pháp Hiệu Chỉnh nh, khái niệm thuật toán hiệu chỉnh, tồn toán tử hiệu chỉnh, chọn tham số hiệu chỉnh theo độ lệch, phơng pháp nhân tử Lagrange xây dựng thuật toán hiệu chỉnh, cực tiểu phiếm hàm làm trơn Trên sở sâu vào nghiên cứu phơng pháp hiệu chỉnh ứng dụng cho hệ đại số tuyến tính điều kiện xấu Khoa Toán Tin Phạm Hà Nội Trờng ĐH S Luận văn tốt nghiệp Lê Đức Thọ Trong suốt trình học tập làm khóa luận em đà nhận đợc giúp đỡ tận tình, bảo ân cần, nghiêm túc thầy giáo: TS Nguyễn Văn Khải Nhân dịp này, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Chúng xin chân thành cảm ơn thầy cô giáo hội đồng phản biện đà đọc kĩ khóa luận, dành thời gian phản biện cho nhiều ý kiến đóng góp quý báu, để khóa luận hoàn thiện Ngoài để hoàn thành khóa luận em nhận đợc động viên, khích lệ thầy cô giáo môn Toán ứng dụng khoa Toán- Tin trờng ĐHSP Hà Nội với quan tâm tạo điều kiện khoa nhiều ngời thân bạn bè Cuối khuôn khổ khóa luận tốt nghiệp với khoảng thời gian có hạn lực thân nhiều hạn chế nên khóa luận chắn không tránh khỏi thiếu sót Chúng kính mong thầy cô giáo khoa bạn đọc góp ý kiến xây dựng để khóa luận đợc hoàn chỉnh Hà Nội, tháng năm 2009 Sinh viên Lê Đức Thọ Khoa Toán Tin Phạm Hà Nội Trờng ĐH S Luận văn tốt nghiệp Lê Đức Thọ Chơng 1:một số kiến thức chuẩn bị Đ1 Một số khái niệm giải tích hàm 1.1 KHÔNG GIAN METRIC : Định nghĩa 1.1.1: Một tập X đợc gọi không gian metric ,nếu với cặp phần tử x y X ( viết tắt ) tồn hàm thực kí hiệu thoả mÃn tiên đề: 1) x=y 2) 3) Định nghĩa 1.1.2: Tập phần tử x kiện đợc gọi hình kính r.Trong , Khoa Toán Tin Phạm Hà Nội thoả mÃn điều cầu mở X tâm bán đợc gọi metric không gian X Trờng ĐH S Luận văn tốt nghiệp Lê Đức Thọ Định nghĩa 1.1.3: Phần tử x0 không gian metric X, đợc gọi điểm dính tập , với hình cầu mở tâm x0, bán kính r >0 chứa phần tử thuộc M khác x0 Tập điểm dính M đợc gọi bao đóng M kí hiệu Định nghĩa 1.1.4: Một dÃy xn gồm tất phần tử đợc gọi hội tụ đến phần tử x , viÕt lµ , nÕu Ta nãi {xn} lµ mét d·y Cauchy hay dÃy không gian metric X nÕu víi mäi tån t¹i N cho : , Nếu dÃy Cauchy X hội tụ X đợc gọi không gian đầy đủ Định nghĩa 1.1.5: Một tập M không gian metric X đợc gäi lµ mét tËp compact X, nÕu mäi d·y {xn} tìm đợc dÃy hội tụ đến phần tử thuộc M 1.2 KHÔNG GIAN tuyến tính Định nghĩa 1.1.6: Không gian metric X đợc gọi không gian tuyến tính trờng K (thực phức) với hai phần tử x1 , x2 bÊt k× thuéc X ta cã phÐp céng x + x2 phép nhân số Khoa Toán Tin Phạm Hà Nội với phần tử cho ta phần Trờng ĐH S Luận văn tốt nghiệp Lê Đức Thọ tử thuộc X Hai phép cộng nhân phải thoả mÃn yêu câù sau : x1 + x2= x2 + x1 x1 + (x2+x3)=( x1 + x2)+x3 Tồn phần tử không gian X cho với , x+0=x Với phần tử x không gian X có để Với hai số phần tư bÊt k× ,ta cã , Víi mäi số Với số phần tử ta có hai phần tử x1 , x2 X ta có 1.3 Không gian định chuẩn Định nghĩa 1.1.7: Cho K trờng ( thực phức), không gian định chuẩn không gian tuyến tính với chuẩn thờng đợc kí hiệu , hàm xác định toàn không gian X, nhận giá trị hữu hạn thoả mÃn tính chất sau: 1) Khoa Toán Tin Phạm Hà Nội x=0 Trờng ĐH S Luận văn tốt nghiệp Lê Đức Thọ 2) 3) , phần tử , Một không gian định chuẩn X trở thành không gian metric, lấy Một số ví dụ không gian định chuẩn 1) Không gian với Khi p=2, ta thờng kí hiệu En gọi không gian Euclid n chiều 2) Không gian dÃy số với 3) Không gian hàm hàm đo đợc x(t) có , phần tử khả tích với 4) Không gian hàm x(t) liên tục [a,b] kí hiệu 1.4 KHÔNG GIAN HILBERT Khoa Toán Tin Phạm Hà Nội Trờng ĐH S Luận văn tốt nghiệp Lê Đức Thọ Định nghĩa 1.1.8: Không gian tuyến tính X đợc gọi không gian tiền Hilbert hay gọi không gian với tích vô hớng, X xác định đợc hàm thực hai biến, kí hiệu đợc gọi tích vô hớng x2, thoả mÃn điều kiện sau: Nếu với Víi mäi Víi mäi Víi mäi Víi hµm , , x2 , , = , vµ sè thùc : và x=0 X trở thành không gian định chuẩn X trở thành không gian metric Không gian với tích vô hớng đầy đủ gọi không gian Hilbert Định nghĩa 1.1.9: Cho không gian Hilbert H DÃy điểm gọi hội tụ yếu tới điểm , kÝ hiƯu lµ , nÕu mäi phiÕm hµm tun tÝnh y ta có Bổ Đề 1.1.1 (Tikhnov): Cho lên biến đổi tập X0 , A ánh xạ liên tục, song đơn ánh X tập compăct X A-1 ánh xạ liên tục từ Khoa Toán Tin Phạm Hà Nội lên X0 Trờng ĐH S Luận văn tốt nghiệp Lê §øc Thä Chøng minh: KÝ hiƯu f=A(x) vµ x= x(f)=A-1(x) ánh xạ thuận nghịch ảnh ánh xạ A từ X vào Y Lấy phần tử f0 thuộc Y Ta chứng minh ánh xạ x(f) liên tục f =f0.Thật vậy, giả sử x(f) không liên tục f=f0 Khi đó, tồn số phần tử với >0 cho với Lấy dÃy tìm đợc , gồm số dơng dần tới 0, với Tìm đợc phần tử , Do cho Dễ dàng thấy hội tụ đến f0 thc compact Y0 cho nªn cã thĨ trÝch mét d·y héi tơ X tíi phÇn tư , Điều nói lên dÃy dÃy Suy hội tụ đến dÃy Do A song đơn ánh nên Điều mâu thuẫn với giả thiết Bổ đề đợc chứng minh Khoa Toán Tin Phạm Hà Nội Trờng ĐH S Luận văn tốt nghiệp Lê Đức Thọ Kí hiệu toán tử liên hợp A Ta có : f phiếm hàm tuyến tính liên tục, nên viết f(x)= , có tính chất liên tục Giả sử E không gian Hilbert A toán tử tuyến tính, A tự liên hợp A=A* Nh A tự liên hợp Toán tử liên hợp A đợc gọi xác định dơng > 0, thuộc miền xác định A Ví dụ toán tử xác định d- ơng A*A Định nghĩa 1.1.10: Phiếm hàm gọi nửa Phiếm hàm liên tục dới xác định X đợc yếu x0, đợc gọi nửa liên tục dới yếu liên tục dới yếu điểm miền xác định 1.5 Giá trị riêng vectơ riêng Định nghĩa 1.1.11: Cho X không gian tuyến tính A toán tử tuyến tính A:X riêng toán tử A tồn véc tơ X Số đợc gọi giá trị , thuộc miền xác định A cho Ax= x Véc tơ x đợc gọi gọi véc tơ riêng ứng với giá trị riêng Khoa Toán Tin Phạm Hà Nội 1 Trờng ĐH S Luận văn tốt nghiệp Lê Đức Thọ Nếu A toán tử tuyến tính tự liên hợp tất giá trị riêng số thực max ; Nếu A toán tử tuỳ ý (có thể phức) thì: ; Tập giá trị riêng toán tử đợc gọi phổ toán tử 1.6 Bài toán cực tiểu phiếm hàm không gian Banach Ta xét toán cực tiểu phiếm hàm Banach X nghĩa tìm phần tử không gian cho : ; Định nghĩa 1.1.12: DÃy đợc gọi dÃy cực tiểu hoá cho toán cực tiểu trên, : Điều tơng đơng với : Khoa Toán Tin Phạm Hà Nội ta có Trờng ĐH S Luận văn tốt nghiệp Lê Đức Thọ X1 Khi đó, với hàm từ lớp Và hàm () dơng thỏa mÃn ta có , Phần tử dơng thỏa mÃn , , R số = (h, ) , héi tơ ®Õn x0 Chøng minh: Gäi z phần tử cực tiểu phiếm hàm víi mäi  > 0, Do ®ã, Do, Suy ra: Đ5 Hệ phơng trình đại số tuyến tính điều kiện xấu Cho hệ đại số tuyÕn tÝnh: Ax = f0 (3.12) Khoa To¸n – Tin Phạm Hà Nội Trờng ĐH S Luận văn tốt nghiệp Lê Đức Thọ A ma trận vuông cấp n, vectơ cột nghiƯm cđa (3.12) víi vÕ ph¶i cho tr- íc Nh ta đà biết đại số tuyến tính det A = (3.12) nghiệm vô nghiệm Còn det A Ta xét ví dụ sau để thấy đợc điều Ví dụ 3.5.1: Giải hệ phơng trình: (3.13) Ta có hệ đại số tuyến tính có det A = 0,01 Nên dễ thấy hệ có nghiệm Xét thay đổi nhỏ vế phải (3.13), ta có hệ phơng trình nh sau: (3.14) Víi hƯ nµy dƠ thÊy cã nghiƯm Sai số vế phải là: sai số nghiệm lần lợt là: ; Ta thÊy sai sè cđa hai nghiƯm lín h¬n rÊt nhiỊu so víi sai sè cđa vÕ ph¶i Ta sÏ xÐt ®Õn sè ®iỊu kiƯn cđa A, cond (A) Khoa Toán Tin Trờng ĐH S Phạm Hà Nội Luận văn tốt nghiệp Lê Đức Thọ Xét phơng trình đặc trng: Các giá trị riêng A số dơng, A ma trận xác định dơng nhng không đối xứng Ta tìm cond(A) thông qua ma trận, đối xứng xác định dơng (A*A) Ta có giá trị riêng ma trận là: Ta có: Ta có ớc lợng sai số: Ta thấy nghiệm (3.13) giảm không ổn định nghĩa sai số hai nghiệm lớn sai số vế phải Trong thực tế hệ có hay số điều kiện cond(A) lớn hệ không ổn định Những hệ nh ta gọi hệ điều kiện xấu Các hệ phơng trình đại số tuyến tính, thực tế thờng thu đợc từ bớc trung gian trình tìm nghiệm xấp xỉ toán liên quan đến phơng trình tích phân, phơng trình vi phân đạo hàm riêng Do thay cho Khoa Toán Tin Phạm Hà Nội Trờng ĐH S Luận văn tốt nghiệp Lê Đức Thọ giá trị xác (A, f0) ta có giá trị xấp xỉ Nh ta có họ toán (3.12) với ma trận A h vế phải đến, với giá trị Ah Dẫn hệ có nghiệm, vô nghiệm, vô định Do ta phải xây dựng nên thuật toán giải hệ đại số tuyến tính cho tất trờng hợp Định nghĩa 3.5.1: Phần tử , đợc gọi giả nghiệm hệ phơng trình đại số tuyến tính (3.12) nếu: , Phần tử có chuẩn nhỏ đợc gọi nghiệm chuẩn tắc hệ (3.12) Đối với hệ phơng trình đại số tuyến tính, dễ dàng kiểm tra đợc nghiệm chuẩn tắc tồn Nếu hệ (3.12) vô nghiệm thì: Ta có nghiệm xấp xỉ cho (3.12) đợc chọn từ tập: (3.15) Khi toán tử A cho xác, tức A = A h, h Nhng thay cho f0 ta biết , vế phải (3.15) nghĩa đợc Ta tìm đợc Khoa Toán Tin Phạm Hà Nội Trờng ĐH S Luận văn tốt nghiệp Lê Đức Thọ Suy ra: Nh vậy, Do đó, phần tử xấp xỉ nên chọn từ tập Nếu có thông tin khẳng định hệ (3.12) giải đợc = Vì nghiệm chuẩn tắc giả nghiệm có chuẩn nhỏ nhất, phần tử xấp xỉ cho xo, nên lấy từ mà có chuẩn nhỏ Tức tìm nghiệm xấp xỉ cho (3.2) ta giải toán sau: tìm phần tử làm cực tiểu phiếm hàm tập Định lý 3.5.1 Phần tử cực tiểu đợc xác định mét c¸ch nhÊt víi mäi Chøng minh: Do , tồn Và dÃy cực tiểu hóa Tức Không tính tổng quát, ta giả thiết có: Khoa Toán Tin Phạm Hà Nội Trờng ĐH S Luận văn tốt nghiệp Lê Đức Thọ Nh dÃy Tập , l tập compact, nên theo định lý Bolsano-Weierstrass, tồn dÃy hội tụ đến phần tử đó, Xét Do phần tử thuộc , Mặt khác , Trong có chuÈn nhá nhÊt dÉn ®Õn Ta chøng minh cho , LÊy mét d·y Ta cã t¬ng tù dÃy : Theo định lý Bolsano-Weierstrass tån t¹i mét d·y : (3.16) Khoa Toán Tin Phạm Hà Nội Trờng ĐH S Luận văn tốt nghiệp Lê Đức Thọ Đối với có Nh phải Mặt khác, từ , nghiệm chuẩn tắc LËp luËn t¬ng tù ta cã, mäi d·y héi tụ dÃy hội tụ đến xo Vậy dÃy hội tụ đến xo Định lý đợc chứng minh Nghiệm xấp xỉ , xác định đợc dựa vào việc cực tiểu phiếm hàm nằm biên tập , tức là: Lúc áp dụng phơng pháp nhân tử Lagrange, ta có toán tìm cực tiểu phiếm hµm: (3.17) Víi viƯc chän tham sè cho Tuy nhiên, ta xét toán cực tiểu độc lập với toán cực tiểu phiếm hàm Định lý 3.5.2: Cho x0 nghiệm chuẩn tắc (3.12), l hàm thực xác định đơn điệu giảm đến 0, Khoa Toán Tin Phạm Hà Nội , dơng cho: Trờng ĐH S Luận văn tốt nghiệp Lê Đức Thọ Khi đó, với hàm , phần tử hội tụ đến xo, dơng , làm cực tiểu phiÕm hµm (3.17), Chøng minh : PhiÕm hµm ë thoả mÃn hai điều kiện phiếm hàm ổn định Vì tồn phần tử cực tiểu (3.17) suy từ định lý (3.1.1), (3.1.2) Ta cÇn chøng minh , héi tơ ®Õn xo, ký hiƯu lµ DƠ dµng nhËn thÊy: Nh vËy, víi mäi > vµ Do ta có , Từ điều kiện định lý suy Khoa Toán Tin Phạm Hà Nội Trờng ĐH S Luận văn tốt nghiệp Lê Đức Thọ Hay Với , Lấy dÃy , có tơng ứng dÃy cực tiĨu Víi ta , tháa m·n (3.18) Do ®ã, chọn đợc dÃy tử đó, Khoa Toán Tin Phạm Hà Nội hội tụ đến phần Dễ dàng kiểm tra đợc 5 Trờng ĐH S Luận văn tốt nghiệp Lê Đức Thọ Vì Từ bất đẳng thức cuối suy Điều nói lên giả nghiệm (3.12), Cũng từ (3.18) suy giả nghiệm có chuẩn nhỏ tất giả nghiệm Nhng nghiệm chuẩn tắc ,cho nên Qua ta dễ thấy mäi d·y héi tơ cđa tơ tíi x0 hội hội tụ đến x0 Để tìm nghiệm hiệu chỉnh ta cần phải giải hệ phơng trình Bây thay cho thông tin xấp xỉ chúng, ta có thông tin ta cần tìm cho : Phần tử thỏa mÃn tính chất đợc gọi nghiệm xấp xỉ x0 Phần tử này, tìm đợc dựa vào việc cực tiểu phiếm hàm (3.19) Khoa Toán Tin Phạm Hà Nội Trờng ĐH S Luận văn tốt nghiệp Lê Đức Thọ Định lý 3.5.3: Cho x0 nghiệm chuẩn tắc (3.12), hàm thực xác định đơn điệu giảm đến 0, dơng cho =0 Khi đó, với hàm Phần tử đến x0, dơng cho : cực tiểu phiếm hàm (3.19), hội tụ q số dơng thoả mÃn Chứng minh: Ta cần phải chứng minh phần tử (3.19) hội tụ đến x0, Vì cực tiểu làm cực tiểu (3.19) Do đó, với việc đặt Ta có Khoa Toán Tin Phạm Hà Nội Trờng ĐH S Luận văn tốt nghiệp Lê Đức Thọ Nh vậy, với Cũng từ Cho nên Vì Điều tơng đơng với: Từ điều kiện định lý ta có: Khoa Toán Tin Phạm Hà Nội Trờng ĐH S Luận văn tốt nghiệp Lê Đức Thọ (3.20) Lấy hai dÃy Với Ta có tơng ứng dÃy cực tiểu Do chọn đợc dÃy thoả mÃn hội tụ đến phần tử Nào đó, Và Khoa Toán Tin Phạm Hà Néi ta cã Trêng §H S LuËn văn tốt nghiệp Lê Đức Thọ Cho nên , từ bất đẳng thức cuối ta có Điều nói lên giả nghiệm (3.12) Từ (3.20) suy giả nghiệm có chuẩn nhỏ tất giả nghiệm tức nghiệm chuẩn tắc Nhng nghiệm chuẩn tắc nên hội tụ Bằng lập luận tơng tự ta cã mäi d·y ®Ịu héi tơ ®Õn x0 Cho nên dÃy hội tụ đến x0 Định lý đợc chứng minh Tài liệu tham khảo Khoa Toán Tin Phạm Hà Nội Trờng ĐH S Luận văn tốt nghiệp Lê Đức Thọ [1] Phạm Kỳ Anh, Nguyễn Bờng( 2007), Bài toán đặt không chỉnh, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội [2] Phạm Kỳ Anh (2005), Giải Tích Số, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội [3] Cơ Sở Lý Thuyết Hàm Giải Tích Hàm tập 1, tập NXB Giáo Dục 2001 [4] [5] Đoàn Quỳnh, Đại Số Tuyến Tính Hình Học Giải Tích Nguyễn Minh Chơng, Phơng trình đạo hàm riêng NXB Giáo Dục 2000 [6] Nguyễn Mạnh Hùng, Phơng trình đạo hàm riêng, NXB ĐHSP Hà Nội Khoa Toán Tin Phạm Hà Néi Trêng §H S