(Luận văn) bài toán đuổi bắt trong trò chơi tuyến tính với hạn chế hình học trên thang thời gian

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– lu LÊ THỊ THÚY NGÀ an n va p ie gh tn to d oa nl w BÀI TOÁN ĐUỔI BẮT TRONG TRỊ CHƠI TUYẾN TÍNH VỚI HẠN CHẾ HÌNH HỌC TRÊN THANG THỜI GIAN oi lm ul nf va an lu z at nh z m co l gm @ an Lu THÁI NGUYÊN, THÁNG 11 NĂM 2017 n va ac th si ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– LÊ THỊ THÚY NGÀ lu an n va p ie gh tn to BÀI TỐN ĐUỔI BẮT TRONG TRỊ CHƠI TUYẾN TÍNH VỚI HẠN CHẾ HÌNH HỌC TRÊN THANG THỜI GIAN oa nl w d Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số: 60 46 01 12 oi lm ul nf va an lu LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z at nh z GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN PGS.TS TẠ DUY PHƯỢNG m co l gm @ an Lu n va THÁI NGUYÊN, THÁNG 11 NĂM 2017 ac th si Mục lục Mở đầu lu an n va p ie gh tn to Thang thời gian 1.1 Giải tích thang thời gian 1.1.1 Định nghĩa thang thời gian khái niệm 1.1.2 Tôpô thang thời gian 12 1.1.3 Đạo hàm thang thời gian 12 1.1.4 Phép tính tích phân thang thời gian 18 1.1.5 Tính hồi quy thang thời gian 22 1.2 Hệ động lực thang thời gian 24 1.2.1 Phương trình động lực tuyến tính bậc 24 1.2.2 Công thức nghiệm phương trình hệ phương trình động lực tuyến tính bậc 25 d oa nl w ul nf va an lu oi lm Trò chơi đuổi bắt tuyến tính với hạn chế hình học thang thời gian 27 2.1 Trị chơi đuổi bắt tuyến tính với hạn chế hình học thang thời gian 27 2.2 Trò chơi đuổi bắt tuyến tính với hạn chế hình học thông tin chậm thang thời gian 31 2.3 Trò chơi đuổi bắt tuyến tính với hạn chế hỗn hợp thang thời gian 35 2.3.1 Trị chơi đuổi bắt tuyến tính với hạn chế hỗn hợp thang thời gian 35 2.3.2 Trò chơi đuổi bắt tuyến tính rời rạc với hạn chế hỗn hợp 37 z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si 2.3.3 Trò chơi đuổi bắt tuyến tính liên tục với hạn chế hỗn hợp 38 2.4 Trị chơi đuổi bắt tuyến tính với thơng tin chậm hạn chế hỗn hợp thang thời gian 39 lu an n va p ie gh tn to d oa nl w oi lm ul nf va an lu z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si Mở đầu lu an n va p ie gh tn to Phương trình sai phân mơ hình nhiều tốn thực tế Đồng thời coi phương trình sai phân rời rạc hóa phương trình vi phân mơ hình xấp xỉ phương trình sai phân Lý thuyết phương trình vi phân phương trình sai phân phát triển song song Khá nhiều kết phương trình vi phân (tính ổn định, tính điều khiển được, tốn trị chơi, ) phát biểu lại cách tương tự cho phương trình sai phân Vậy câu hỏi tự nhiên đặt là: Liệu hợp hai mơ hình phương trình sai phân phương trình vi phân mơ hình thống không? Năm 1988, luận án Tiến sĩ (dưới hướng dẫn Bernd Aulbach), nhằm mục đích thống nghiên cứu hệ động lực liên tục (hệ phương trình vi phân) hệ động lực rời rạc (hệ phương trình sai phân), Stefan Hilger đưa khái niệm thang thời gian Từ tới nay, có số sách, hàng chục luận án Tiến sĩ hàng nghìn báo nghiên cứu giải tích (phép tốn vi phân tích phân) hệ động lực thang thời gian Thang thời gian có ý nghĩa triết học sâu sắc: Thang thời gian cho phép nghiên cứu hai mặt chất thực tế, tính liên tục tính rời rạc Trong tốn học, thang thời gian cho phép thống nhiều mơ hình khác khái niệm cơng cụ Giải tích thang thời gian hệ động lực thang thời gian nhiều nhóm nhà tốn học nước (GS Nguyễn Hữu Dư học trị, xem thí dụ [1]) nước (Đức, Mỹ, Nga, Trung Quốc, ) quan tâm nghiên cứu Đã có số viết ứng dụng thang thời gian nghiên cứu kinh tế vĩ mô, mô tả hệ sinh thái, tốn tối ưu Lý thuyết trị chơi đời từ năm 1950-1960 với cơng trình d oa nl w oi lm ul nf va an lu z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si lu an n va p ie gh tn to móng nhà toán học Isaacs R., Pontriagin L S, Kraxopxkii N E Sau lý thuyết trị chơi phát triển mạnh mẽ, nhiều nhà toán học giới nghiên cứu vấn đề Lý thuyết trò chơi có nguồn gốc từ tốn thực tế: Khảo sát hệ động lực có nhiều đối tượng điều khiển, đối tượng có mục đích riêng, chí trái ngược nhau; nghiên cứu đối tượng điều khiển khơng có đầy đủ thơng tin trạng thái pha nó; đưa đối tượng điều khiển chịu tác động ngẫu nhiên trước trạng thái cho trước; toán đuổi bắt đối tượng đối tượng khác, Bài toán đuổi bắt tốn lý thuyết trị chơi Bài tốn phát biểu sau: cho hai đối tượng (người đuổi người chạy) mà chuyển động chúng mơ tả hệ phương trình vi phân có tham gia biến điều khiển Mục tiêu người đuổi để tiến gần đến người chạy nhanh tốt Mục đích người chạy làm để tránh người đuổi lâu tốt, xa tốt Vì nói mục đích người đuổi làm cực tiểu hàm đó, cịn người chạy làm cực đại hàm Để giải vấn đề người ta thường tập trung vào tìm điều kiện đủ điều kiện cần đề kết thúc trò chơi Luận văn "BÀI TỐN ĐUỔI BẮT TRONG TRỊ CHƠI TUYẾN TÍNH VỚI HẠN CHẾ HÌNH HỌC TRÊN THANG THỜI GIAN" nghiên cứu trị chơi tuyến tính thang thời gian Luận văn gồm phần Mở đầu, chương, phần Kết luận Tài liệu tham khảo Chương Nhắc lại khái niệm thang thời gian, khái niệm toán tử nhảy tiến, toán tử nhảy lùi, hàm hạt, điểm trù mật điểm cô lập; khái niệm tính chất phép tính vi phân, tích phân thang thời gian đối chiếu kết số thang thời gian thường gặp Tiếp đưa cơng thức nghiệm hệ động lực tuyến tính thang thời gian Chương Trình bày khái niệm trị chơi đuổi bắt tuyến tính thang thời gian với hạn chế hình học điều kiện kết thúc trò chơi; chứng minh điều kiện đủ kết thúc trị chơi đuổi bắt tuyến tính thang thời gian với hạn chế hình học hạn chế hỗn hợp với thông tin chậm Các định lí chương kết chung ba tác giả Vi Diệu Minh, Lê Thị d oa nl w oi lm ul nf va an lu z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si lu an n va p ie gh tn to Thúy Ngà Lê Văn Quý hoàn thành hướng dẫn PGS TS Tạ Duy Phượng Tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới PGS TS Tạ Duy Phượng, người thầy dành thời gian hướng dẫn, tận tình bảo, tạo điều kiện giúp đỡ trang bị kiến thức, nghiên cứu tổng hợp tài liệu để hoàn thành luận văn Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thày, Ban giám hiệu, Phịng Sau đại học, Phịng Đào tạo, Khoa Toán-Tin trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên tạo điều kiện thuận lợi mặt suốt trình học tập trường qua trình làm luận văn Xin cảm ơn Ban giám hiệu, Ban chuyên môn đồng nghiệp Trường trung học phổ thông Hưng Yên, tỉnh Hưng Yên, nơi công tác, tạo điều kiện để tơi hồn thành nhiệm vụ học tập Xin chân thành cảm ơn Thạc sĩ Vi Diệu Minh, giảng viên mơn Tốn, trường Đại học Nơng Lâm, Đại học Thái Nguyên cộng tác giúp đỡ chun mơn suốt q trình làm luận văn Cuối tác giả xin gửi lời cảm ơn đặc biệt đến người thân, gia đình, đồng nghiệp người bạn tạo điều kiện thuận lợi, động viên, giúp đỡ tơi suốt q trình học tập hoàn thiện luận văn d oa nl w oi lm ul nf va an lu Thái Nguyên, ngày 10 tháng 11 năm 2017 Tác giả luận văn z at nh z @ m co l gm Lê Thị Thúy Ngà an Lu n va ac th si Chương Thang thời gian lu an n va p ie gh tn to Trong chương này, trình bày số vấn đề giải tích thang thời gian hệ động lực thang thời gian có liên quan đến nội dung nghiên cứu đề tài Các kiến thức chương tham khảo tài liệu [1], [4], [5], [7], [8], [9] Giải tích thang thời gian Định nghĩa thang thời gian khái niệm d oa 1.1.1 nl w 1.1 nf va an lu Định nghĩa 1.1 Thang thời gian (time scale) tập đóng tùy ý khác rỗng tập số thực R Thang thời gian thường ký hiệu T oi lm ul Ví dụ 1.1 [2k, 2k + 1] ; Pa,b = [k (a + b) , k (a + b) + a] k=0,k∈N gm @ k=0,k∈N ∞ [ z T1 = ∞ [ z at nh 1) Các tập hợp R, Z thang thời gian chúng tập đóng R 2) Các tập hợp m co l (với a, b số thực dương) thang thời gian chúng tập đóng R 3) Các khoảng mở R không tập đóng R nên chúng khơng phải thang thời gian 4) Các tập Q, R\Q; [0, 1) thang thời gian chúng khơng phải tập đóng R an Lu n va ac th si Thật vậy, tập Q tập đóng R Q dãy 1, 7; 1, 73; 1, 732; √ có giới hạn √là √ 3√khơng thuộc Q Tập R\Q khơng tập đóng R √ dãy số 2; 22 32 ; 42 R\Q có giới hạn không thuộc R\Q Tập [0, 1) khơng tập đóng có dãy ; ; ; ; [0, 1) có giới hạn không thuộc [0, 1) 5) Cho số cố định h ∈ R, h > T xác định sau T = hZ = {hn, n ∈ Z} = { , −3h, −2h, −h, 0, h, 2h, 3h } lu an n va tn to T thang thời gian tập đóng trong R 6) Cho số cố định q ∈ R, q > T xác định sau  T = q Z = {q n , n ∈ Z} = , q −3 , q −2 , q −1 , 1, q, q , q ,  n T có T không thang thời gian Thật vậy, xét dãy số un = 1q p ie gh giới hạn khơng thuộc T nên T khơng tập đóng 7) Cho số cố định q ∈ R, q > T xác định sau  T = q Z ∪ {0} = {q n , n ∈ Z} ∪ {0} = , q −3 , q −2 , q −1 , 1, q, q , q , ∪ {0} oa nl w d T thang thời gian T tập đóng 8) Tập số phức C khơng phải thang thời gian C khơng phải tập R C tập đóng nf va an lu oi lm ul Định nghĩa 1.2 Cho T thang thời gian Toán tử nhảy tiến (forward jump) toán tử xác định công thức z at nh σ:T→T z @ l gm σ(t) := inf{s ∈ T, s > t} Toán tử nhảy lùi (backward jump) toán tử n va ρ(t) := sup{s ∈ T, s < t} an Lu xác định công thức m co ρ:T→T ac th si Quy ước inf ∅ = sup T; sup ∅ = inf T Nhận xét Nếu T có giá trị lớn M σ(M ) = M Nếu T có giá trị nhỏ m ρ(m) = m lu Định nghĩa 1.3 Cho T thang thời gian Điểm t ∈ T gọi điểm cô lập phải (right-scattered) σ(t) > t; Điểm t ∈ T gọi điểm cô lập trái (left-scattered) ρ(t) < t; Điểm t ∈ T gọi điểm cô lập (insolated) ρ(t) < t < σ(t) an n va p ie gh tn to Định nghĩa 1.4 Cho T thang thời gian Điểm t ∈ T gọi điểm trù mật phải (right-dence) σ(t) = t; Điểm t ∈ T gọi điểm trù mật trái (left-dence) ρ(t) = t; Điểm t ∈ T gọi điểm trù mật (dence) ρ(t) = t = σ(t) w Định nghĩa 1.5 Cho thang thời gian T Hàm hạt (grainiess) toán tử oa nl µ : T → [0; ∞) d xác định cơng thức lu oi lm ul Ví dụ 1.2 nf va an µ(t) := σ(t) − t 1) Khi T = Z (thang thời gian rời rạc) ρ(t) = t − 1; z at nh σ(t) = t + 1; µ (t) = 1, z với t thuộc Z Do t − < t < t + 1, với t thuộc Z nên điểm Z điểm cô lập m co µ (t) = 0, an Lu σ(t) = t; ρ(t) = t; l gm @ 2) Khi T = R (thang thời gian liên tục) n va với t thuộc R Do σ(t) = ρ(t) = t, với t thuộc R nên điểm R điểm ac th si hay − f ∆ (t) ≤ ε Vậy f ∆ (t) = z at nh z l gm @ Kết luận Đạo hàm Hilger điểm hàm số f (t) = t thang thời gian m co Định lí 1.1 Cho hàm f : T → R hàm xác định với t ∈ Tk Khi 1) Nếu f khả vi t f liên tục t 2) Nếu f liên tục t t điểm lập phải f khả vi t n va f (σ(t)) − f (t) µ(t) an Lu f ∆ (t) = ac th si 15 3) Nếu t điểm trù mật phải f khả vi t giới hạn sau tồn hữu hạn f (t) − f (s) s→t t−s lim Khi ta có f (σ(t)) − f (s) s→t σ(t) − s f ∆ (t) = lim 4) Nếu f khả vi t f (σ(t)) = f (t) + µ(t)f ∆ (t) lu Chứng minh 1) Giả sử f khả vi t Lấy ε ∈ (0; 1) kí hiệu an va ε Khi ε∗ ∈ (0; 1) ∆ + 2µ(t) + |f (t)| Theo định nghĩa đạo hàm Hilger, ta có Với ε∗ > 0, có lân cận U (t, δ) ∩ T t cho n ε∗ = p ie gh tn to oa nl w [f (σ(t)) − f (s)] − f ∆ (t).(σ(t) − s)| ≤ ε∗ |(σ(t) − s)|, với s ∈ U (t, δ) ∩ T d Đặt U ∗ = U (t, δ) ∩ U (t, ε∗ ) Lấy s ∈ U ∗ ta có lu va an |f (t) − f (s)| = |[f (σ(t)) − f (s) − f ∆ (t).(σ(t) − s)] − [f (σ(t)) − f (t) nf − f ∆ (t).(σ(t) − t)] + (t − s).f ∆ (t)| oi lm ul ≤ ε∗ |σ(t) − s| + ε∗ |σ(t) − t| + |(t − s).f ∆ (t)| z at nh ≤ 2ε∗ (σ(t) − t) + ε∗ |t − s| + |t − s| |f ∆ (t)| | {z } | {z } ≤ε∗ ≤ε∗ (vì s ∈ U ∗ ⇒ |t − s| ≤ ε∗ ) z ≤ ε∗ [1 + 2µ(t) + |f ∆ (t)] ≤ ε, gm @ ∀s ∈ U ∗ m co l Vậy f liên tục t 2) Vì t điểm lập phải nên σ(t) > t hay σ(t) − t > Ta có f (σ(t)) − f (t) f (σ(t)) − f (s) f ∆ (t) = lim = lim s→t s→t σ(t) − s σ(t) − t an Lu n va Giới hạn tồn (do σ(t) − t > 0) nên suy f khả vi t ac th si 16 Do giả thiết f liên tục nên f (σ(t)) − f (s) f (σ(t)) − f (t) = s→t σ(t) − t σ(t) − t f ∆ (t) = lim f ∆ (t) = ⇔ f (σ(t)) − f (t) µ(t) 3) Do t điểm trù mật phải nên σ(t) = t f (t) − f (s) tồn s→t t−s (⇒) Giả sử f khả vi t Cần chứng minh giới hạn lim f (t) − f (s) s→t t−s f ∆ (t) = lim lu f (σ(t)) − f (s) tồn tại, với s→t σ(t) − s an Do f khả vi t nên suy f ∆ (t) = lim va n t ∈ Tk p ie gh tn to f (t) − f (s) tồn s→t t−s f (t) − f (s) (⇐) Giả sử f ∆ (t) = lim tồn Do σ(t) = t nên suy s→t t−s Do σ(t) = t, nên f ∆ (t) = lim f (σ(t)) − f (s) s→t σ(t) − s oa nl w f ∆ (t) = lim d tồn Vậy f khả vi t 4) Giả thiết ta có f khả vi t Nếu σ(t) = t ⇔ µ(t) = đẳng thức nf va an lu oi lm ul f (σ(t)) = f (t) + µ(t)f ∆ (t) z at nh hiển nhiên Nếu σ(t) > t Do f khả vi nên f liên tục Suy tồn giới hạn z f (σ(t)) − f (s) f (σ(t)) − f (t) = s→t σ(t) − s σ(t) − t f ∆ (t) = lim l gm @ ⇔ f (σ(t)) = f (t) + µ(t)f ∆ (t) m co Ví dụ 1.5 Cho thang thời gian T := { n2 : n ∈ N} Hàm f : T → R Tính f ∆ (t) biết f (t) = t2 Ta có n n+1 2t + 1 σ( ) = ⇒ σ(t) = =t+ 2 2 an Lu n va ac th si 17 nên f (σ(t)) = t+ !2 Vì f ∆ (t) = f (σ(t)) − f (t) = 2t + σ(t) − t Nhận xét 1.2 Trên thang thời gian liên tục R, hàm số f (t) = t2 có đạo hàm Hilger f ∆ (t) = 2t Trên thang thời gian rời rạc Z, hàm số f (t) = t2 có đạo hàm Hilger lu an f ∆ (t) = f (t + 1) − f (t) = (t + 1)2 − t2 = 2t + va n Ví dụ 1.6 Cho thang thời gian T tn to ∞ [ gh T= [2k, 2k + 1] p ie k=0,k∈N d oa nl w Hàm số f : T → R Tính f ∆ biết f (t) = t3 Nếu t ∈ (2k; 2k + 1) ∪ {2k} σ (t) = t Khi t điểm trù mật phải nên áp dụng Định lí 1.1, ta có ul nf va an lu f (σ(t)) − f (s) t3 − s3 f (t) − f (s) = lim = lim = 3t2 lim s→t s→t t − s s→t t−s σ(t) − s oi lm Vì f ∆ (t) = 3t2 với t ∈ (2k; 2k + 1) ∪ {2k} Nếu t = 2k + σ (t) = 2k + = t + Khi t điểm lập phải nên áp dụng Định lí 1.1, ta có z at nh f (σ(t)) − f (t) f (t + 1) − f (t) (t + 1)3 − t3 f (t) = = = = 3t2 + 3t + σ(t) − t t+1−t t+1−t ∆ z gm @ m co l Nhận xét 1.3 Trên thang thời gian liên tục R, hàm số f (t) = t3 có đạo hàm Hilger f ∆ (t) = 3t2 Trên thang thời gian rời rạc Z, hàm số f (t) = t3 có đạo hàm Hilger f ∆ (t) = f (t + 1) − f (t) = (t + 1)3 − t3 = 3t2 + 3t + an Lu n va Định lí 1.2 (Xem Theorem 1.6, [4]) Cho f : T → R g : T → R hàm ∆− khả vi t ∈ Tk Khi ta có ac th si 18 1) Hàm f + g ∆− khả vi t ∈ Tk (f + g)∆ (t) = f ∆ (t) + g ∆ (t) 2) Hàm f.g ∆− khả vi t ∈ Tk (f.g)∆ (t) = f ∆ (t).g(t) + f (σ(t))g ∆ (t) = f (t)g ∆ (t) + f ∆ (t)g(σ(t)) 3) Nếu f (t)f (σ(t)) 6= f ∆− khả vi t ∈ Tk f ∆ (t) ( )∆ (t) = − f f (t)f (σ(t)) lu an 4) Nếu g(t)g(σ(t)) 6= f g ∆− khả vi t ∈ Tk va n f ∆ (t).g(t) − f (t)g ∆ (t) f ∆ ( ) (t) = g g(t)g(σ(t)) p ie gh tn to d oa nl w Đạo hàm vectơ hàm ma trận hàm Giả sử f : T → Rn hàm vectơ n chiều A : T → Rn×m ma trận hàm cấp n × m đạo hàm Hilger vectơ hàm ma trận hàm định nghĩa vectơ ma trận đạo hàm hàm thành phần va an lu Phép tính tích phân thang thời gian oi lm ul nf 1.1.4 z at nh Định nghĩa 1.10 Hàm số f : T → R gọi quy (regulated) giới hạn phải tồn (hữu hạn) điểm trù mật phải T giới hạn trái tồn (hữu hạn) điểm trù mật trái T z @ m co l gm Định nghĩa 1.11 Hàm f : T → R gọi rd-liên tục (right-dense continuous) liên tục điểm trù mật phải T giới hạn trái tồn (hữu hạn) điểm trù mật trái T an Lu Định nghĩa 1.12 Một m × n ma trận A(.) xác định thang thời gian T gọi rd - liên tục phần tử A(.) rd - liên tục n va ac th si 19 Định nghĩa 1.13 Cho X khơng gian Banach, ánh xạ f :T×X →X (t, x) 7→ f (t, x) gọi rd - liên tục thỏa mãn điều kiện sau a) Hàm f liên tục điểm (t, x) với t trù mật phải t = maxT b) Các giới hạn
f t− , x = lim f (t, y) ; lim f (t, y) y→x (s,y)→(t,x),s≤t lu tồn tại điểm (t, x) với t điểm trù mật trái an n va p ie gh tn to Định lí 1.3 (Xem Theorem 2.2, [8]) Cho thang thời gian T f : T → R , ta có 1) Nếu f liên tục f rd - liên tục 2) Nếu f rd-liên tục f qui 3) Nếu f quy (rd-liên tục) f σ := f ◦ σ quy (rd-liên tục) 4) Cho f liên tục Nếu g : T → R quy (rd-liên tục) f ◦ g quy (rd-liên tục) d oa nl w lu oi lm ul nf va an Định nghĩa 1.14 Cho thang thời gian T Một hàm liên tục f : T → R gọi tiền khả vi (pre-differentiable) với miền khả vi D điều kiện sau đồng thời thỏa mãn 1) D ⊂ Tk ; 2) Tk \ D không đếm không chứa điểm cô lập phải T; 3) f khả vi điểm t ∈ D z at nh z m co l gm @ Định lí 1.4 (Định lý giá trị trung bình)(xem Theorem 1.19, [4]) Cho thang thời gian T, f g hàm nhận giá trị thực, xác định T tiền khả vi với miền khả vi D Khi đó, |f ∆ (t)| ≤ g ∆ (t) với t ∈ D |f (s) − f (r)| ≤ g(s) − g(r) với r, s ∈ T; r ≤ s an Lu n va Định lí 1.5 (Xem Theorem 2.3, [8]) Cho thang thời gian T, f : T → R hàm qui Khi tồn hàm tiền khả vi F với miền khả vi D cho F ∆ (t) = f (t), với t ∈ D ac th si 20 Định nghĩa 1.15 1) Hàm F Định lí 1.5 gọi tiền nguyên hàm (preantiderivative) hàm qui f 2) Tích phân bất định hàm qui f Z f (t).∆t := F (t) + C C số tùy ý F tiền nguyên hàm hàm f lu 3) Cho F tiền nguyên hàm hàm f r, s ∈ T Tích phân xác định hàm quy f Z s f (t)∆t := F (s) − F (r) an va r n ie gh tn to 4) Một hàm F : T → R gọi nguyên hàm (antiderivative) f : T → R F ∆ (t) = f (t) với t ∈ Tk p Định lí 1.6 (Xem Theorem 1.27, [4]) Cho thang thời gian T, f : T → R Mọi hàm f hàm rd− liên tục có nguyên hàm Với t0 ∈ T nguyên hàm F hàm f định nghĩa Z t F (t) := f (τ )∆(τ ), t ∈ T d oa nl w lu an t0 oi lm ul nf va Định lí 1.7 (Xem Theorem 1.29, [4]) Cho thang thời gian T, f : T → R Nếu f hàm rd− liên tục t ∈ Tk Z σ(t) f (s)∆s = µ(t)f (t) z at nh t z Chứng minh Vì f rd− liên tục nên tồn nguyên hàm F f Do Z σ(t) f (s)∆s = F (σ(t)) − F (t) gm @ t l Theo Định lí 1.1 ta có m co F (σ(t)) − F (t) = µ(t)F ∆ (t) = µ(t)f (t) an Lu Vậy Z σ(t) n va f (s)∆s = µ(t)f (t) t ac th si 21 Định lí 1.8 (Xem Theorem 1.28, [4]) Cho thang thời gian T, f : T → R, g : T → R Nếu a, b, c ∈ T, α ∈ R f, g hàm rd− liên tục lu 1) Rb 2) Rb 3) Rb 4) Rb 5) Rb 6) Rb a [f (t + g(t))]∆t = a (αf )(t)∆t = α a a Ra f (t)∆t = − f (t)∆t = Rb b Rc a a Rb a f (t)∆t + Rb g(t)∆t; a f (t)∆t; f (t)∆t; f (t)∆t + Rb c f (t)∆t; an n va a f (t)g ∆ (t)∆t = (f.g)(b) − (f.g)(a) − Rb a Rb a f ∆ (t)g(t)∆t; f ∆ (t)g(σ(t))∆t; ie gh tn to a f (σ(t))g ∆ (t)∆t = (f.g)(b) − (f.g)(a) − Ra p a f (t)∆t = 0; w 7) d oa nl R R