(Luận văn) một số dạng phương trình đối với các hàm số học

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN PHAN LINH HY lu an n va p ie gh tn to MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI VỚI CÁC HÀM SỐ HỌC d oa nl w nf va an lu LUẬN VĂN THẠC SĨ PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu BÌNH ĐỊNH - NĂM 2020 n va ac th si BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN PHAN LINH HY lu an n va p ie gh tn to MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI VỚI CÁC HÀM SỐ HỌC d oa nl w an lu Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp nf va Mã số: 8.46.01.13 lm ul z at nh oi Người hướng dẫn: PGS.TS NGUYỄN SUM z m co l gm @ an Lu n va ac th si Mục lục MỞ ĐẦU Lời cảm ơn lu an Hàm số liên tục 1.2 Hàm số chẵn, hàm số lẻ 1.3 Hàm số tuần hoàn phản tuần hoàn 1.4 p ie gh tn to 1.1 w n va MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH HÀM CƠ BẢN oa nl Một số phương trình hàm 10 Phương trình hàm Cauchy 10 d 1.4.1 an lu Phương trình hàm Jensen 15 1.4.3 Phương trình hàm Jensen đoạn [α, β] 17 nf va 1.4.2 z at nh oi lm ul PHƯƠNG TRÌNH HÀM ĐỐI VỚI CÁC HÀM SỐ HỌC 20 Khái niệm phương trình sai phân 20 2.2 Hàm nhân tính 24 2.3 Phương trình sai phân tuyến tính 26 z 2.1 l gm @ Một số khái niệm kết 26 2.3.2 Lý thuyết nghiệm m co 2.3.1 an Lu n va i 27 ac th si ii 2.3.3 2.4 Giải phương trình sai phân tuyến tính 32 Một số toán áp dụng 39 Kết luận 49 Tài liệu tham khảo 50 lu an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài lu Một lĩnh vực nghiên cứu với nhiều kết đẹp, thú vị an có nhiều ứng dụng tốn học tốn phương trình hàm va n Chẳng hạn, phương trình hàm Cauchy phương trình hàm đơn gh tn to giản nhất, có nhiều ứng dụng hình học, số học, xác suất thống p ie kê, lý thuyết số, ứng dụng vật lý có ứng dụng số nl w vấn đề kĩ thuật, kinh tế, tài d oa Các hướng nghiên cứu phương trình hàm thu hút đội ngũ an lu đơng đảo nhà tốn học giới quan tâm nghiên cứu nf va lớp phương trình hàm mà ẩn hàm hàm xác định không lm ul gian trừu tượng Đối với lớp phương trình hàm sơ cấp, hàm cần tìm hàm số thực phức, chưa có tài liệu trình z at nh oi bày cách bao quát lý thuyết ứng dụng Do đó, đề tài lớp phương trình hàm cụ thể đa dạng, phong phú z gm @ mang tính thời l Một lớp phương trình hàm thường sử dụng m co kì thi học sinh giỏi, Olympic toán học cho học sinh sinh viên đại học an Lu lớp phương trình hàm hàm số học Việc nghiên cứu n va ac th si tìm hiểu lớp phương trình hàm mang lại nhiều lợi ích việc giảng dạy trung học phổ thông bồi dưỡng học sinh giỏi cấp Mục tiêu nghiên cứu Mục đích luận văn trình bày, hệ thống hóa kiến thức lớp phương trình hàm hàm số học Hay nói cách khác, trình bày kết lớp phương trình hàm hàm số xác định lu tập hợp số tự nhiên rộng tập hợp rời rạc an va n Đối tượng phạn vi nghiên cứu ie gh tn to Đối tượng nghiên cứu đề tài lớp phương trình hàm p xác định tập hợp rời rạc số dạng tốn sơ cấp có liên quan d oa nl w đến dạng phương trình nf va an lu Phương pháp nghiên cứu Trước hết chúng tơi nghiên cứu số tài liệu phương trình hàm, lm ul trình bày cách hệ thống sở lý thuyết toán ứng dụng z at nh oi phương trình hàm hàm số học Trình bày số phương pháp để giải dạng phương trình z l gm @ Nội dung luận văn an Lu Chương 1: Kiến thức chuẩn bị m co Nội dung luận văn chia thành hai chương, cụ thể: n va ac th si Trình bày kiến thức chuẩn bị hàm phương trình hàm nói chung Các kết chương tham khảo từ tài liệu [2], [3], [4], [5], [7] Chương 2: Phương trình hàm hàm số học Trình bày lý thuyết tốn phương trình hàm hàm số học phương trình sai phân, tính chất cộng tính nhân lu tính hàm số học, phương trình sai phân tuyến tính an n va Các kết chương tham khảo từ tài liệu [1], [2], p ie gh tn to [4], [6], [8] d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành luận văn, trước hết xin gởi lời cảm ơn sâu sắc đến PGS.TS.Nguyễn Sum dành thời gian hướng dẫn, đánh giá, bảo, lu an tận tình giúp đỡ suốt trình xây dựng đề tài hoàn thành va luận văn Qua đây, xin gởi đến Ban giám hiệu trường Đại học n tn to Quy Nhơn, Phòng Đào tạo sau đại học, q thầy khoa Tốn Thống ie gh kê, quý thầy cô tham gia giảng dạy khóa cao học Tốn 2018 - p 2020 lời cảm ơn sâu sắc công lao dạy dỗ suốt trình giáo dục, oa nl w đào tạo nhà trường Đồng thời, xin gởi lời cảm ơn tới tập thể lớp Cao học Tốn khóa K21 trường Đại học Quy Nhơn, động viên, giúp đỡ d lu nf va an tơi q trình học tập hồn thành luận văn Tuy có nhiều cố gắng thời gian khả hạn hẹp lm ul nên vấn đề luận văn chưa trình bày sâu sắc khơng thể bạn z at nh oi tránh khỏi sai sót Mong nhận góp ý xây dựng quý thầy cô z m co l gm @ an Lu n va ac th si Chương MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH HÀM CƠ BẢN lu an va n Trong chương này, giới thiệu định nghĩa vài tính gh tn to chất, định lý quan trọng, cần thiết hàm phương trình hàm nói chung p ie Các kết tham khảo từ tài liệu [2], [3], [4], [5], [7] Hàm số liên tục d oa nl w 1.1 an lu Định nghĩa 1.1.1 Giả sử hàm số f xác định khoảng (a, b) ⊂ R nf va x0 ∈ (a, b) Ta nói f (x) hàm liên tục x0 với dãy số lm ul {xn }∞ n=1 , xn ∈ (a, b) cho lim xn = x0 ta có lim f (xn ) = f (x0 ) n→∞ n→∞ z at nh oi Định nghĩa tương đương với định nghĩa đây: Định nghĩa 1.1.2 Hàm f (x) xác định (a, b) gọi liên tục z gm @ x0 ∈ (a, b) lim f (x) = f (x0 ) co l x→x0 m Hàm số không liên tục điểm x0 gọi gián đoạn điểm x0 an Lu Định nghĩa 1.1.3 Giả sử hàm số f xác định tập hợp K , n va ac th si K khoảng hợp nhiều khoảng R Ta nói hàm số f liên tục K liên tục điểm thuộc tập hợp Định nghĩa 1.1.4 Hàm số f xác định đoạn [a, b] gọi liên tục đoạn [a, b] liên tục khoảng (a, b) lim f (x) = f (a), lim− f (x) = f (b) x→a+ x→b Ở mục trên, ta định nghĩa hàm số liên tục Tuy nhiên, việc sử dụng định nghĩa để xác định hàm số liên tục khơng dễ dàng lu an Do vậy, người ta chứng minh số tính chất hữu ích, giúp ta va n xác định nhanh hàm số liên tục gh tn to 1) Các hàm số sơ cấp như: hàm đa thức, hàm lũy thừa, hàm p ie thức, hàm lượng giác, hàm số mũ, hàm logarit, hàm số liên tục w miền xác định chúng oa nl 2) Giả sử f (x), g(x) hàm liên tục D ∈ R Khi (f +g)(x) = d f (x) + g(x), (f ◦ g)(x) = f [g(x)] hàm liên tục D an lu nf va 3) Giả sử g(x) 6= 0, ∀x ∈ R Khi f (x) g(x) hàm liên tục 1.2 z at nh oi lm ul Ngoài ra, ta cịn có tính chất sau Hàm số chẵn, hàm số lẻ z Định nghĩa 1.2.1 Xét hàm số f (x) với tập xác định D(f ) ⊂ R tập l gm @ giá trị R(f ) ⊂ R Khi đó: a) f (x) gọi hàm số chẵn M , M ⊂ D(f ) (gọi tắt hàm m co chẵn M ) an Lu ∀x ∈ M ⇒ −x ∈ M f (−x) = f (x), ∀x ∈ M n va ac th si 36 Cho phương trình sai phân an+2 + p1 an+1 + p2 an = 0, n = 0, 1, 2, , lấy λ1 , λ2 hai nghiệm (có thể trùng nhau) phương trình đặc trưng λ2 + p1 λ + p2 = Ta viết phương trình sai phân dạng ˆ Tˆ − λ1 I)a ˆ n = 0, (Tˆ − λ1 I)( lu Tˆ tốn tử tịnh tiến Iˆ toán tử đơn vị Bây giờ, ta định an n va nghĩa dãy (2.13) gh tn to   ˆ ˆ bn = T − λ2 I an , n = 0, 1, 2, , p ie dãy viết lại sau   ˆ T − λ1 bn = nl w d oa Tuy nhiên, phương trình cuối đơn giản: hệ thức quy nạp bn+1 = λ1 bn , bn = b0 λn1 z at nh oi lm ul với nghiệm nf va an lu cấp số nhân Quay trở lại với Định nghĩa (2.13) bn , ta thấy an nghiệm z phương trình @ l gm an+1 − λ2 an = b0 λn1 m co Phương trình giải Bài toán 2.4.4 phần sau Nghiệm cuối n va λn1 − λn2 + b0 , λ1 − λ2 an Lu an = λn2 a0 ac th si 37 λ1 6= λ2 an+1 = λn2 a0 + b0 nλn−1 , λ1 = λ2 Bằng cách xác định lại số, viết nghiệm sau an = β1 λn1 + β2 λn2 , an = β1 λn2 + β2 nλn2 , lu tương ứng an n va Phương trình tuyến tính khơng gh tn to Cho phương trình tuyến tính khơng có dạng p ie a (n + k) + p1 a (n + k − 1) + + pk a (n) = g (n) , g (n) 6≡ 0, ta có định lý sau: nl w d oa Định lý 2.3.19 Nghiệm tổng quát phương trình tuyến tính khơng nf va an lu viết a (n) = xp (n) + k X βi xi (n) , lm ul i=1 z at nh oi {x1 (n) , x2 (n) , , xk (n)} nghiệm phương trình xp (n) nghiệm riêng phương trình khơng z @ l gm Chứng minh Dễ dàng chứng minh nghiệm phương m trình khơng Khi co trình khơng Ngược lại, cho xp (n) nghiệm phương an Lu xp (n + k) + p1 xp (n + k − 1) + + pk xp (n) = g (n) n va ac th si 38 Trừ vế theo vế phương trình với phương trình sai phân cho, thấy a (n) − xp (n) nghiệm phương trình a (n) − xp (n) = k X βi xi (n) i=1 Do đó, việc giải phương trình khơng thực chất tìm nghiệm riêng xp Có nhiều phương pháp nghiên cứu để tìm nghiệm riêng Phương pháp hiệu phương pháp lu hệ số bất định Phương pháp có hiệu tốt g(n) có dạng an n va an , sin(bn), cos(bn) nl (hoặc số kết hợp chúng) Bảng 2.1 tn to đưa dạng xp cho trường hợp g (n) p ie gh Bảng 2.1: Thành phần lực phổ biến với nghiệm riêng tương ứng Thành phần lực g (n) Nghiệm riêng xp can nl c0 + c1 n + + cl nl an nl an c0 + c1 n + + cl nl d oa nl w an
lu c1 sin(bn) + c2 cos(bn) an sin(bn), an cos(bn) an [c1 sin(bn) + c2 cos(bn)] nf va an sin(bn), cos(bn) z at nh oi lm ul an n` sin(bn), an n` cos(bn) an 
c0 + c1 n + + c` n` sin(bn) z
 + d0 + d1 n + + dl n` cos(bn) gm @ m an+2 + an+1 − 12an = n2n co l Ví dụ 2.3.20 Tìm nghiệm tổng quát phương trình sai phân sau: an Lu Lời giải Dùng kĩ thuật phần trước, nghiệm tổng quát phương n va ac th si 39 trình β1 3n + β2 (−4)n Bởi thành phần lực có dạng bn n` , ta dự đốn xp (n) có dạng c1 2n + c2 n2n Đưa hàm vào phương trình giải số, có xp (n) = − n n − n2 18 Do nghiệm tổng quát n n − n2 18 lu an = β1 3n + β2 (−4)n − an n va Một số toán áp dụng gh tn to 2.4 p ie Bài toán 2.4.1 (UK 1996; Estonia 1997; Greece 1999) Một hàm số xác (a) f (1) = 1996, d oa nl w định tập số nguyên dương thỏa mãn nf va Tìm f (1996) an lu (b) f (1) + + f (n) = n2 f (n) , n > lm ul Lời giải Trong điều kiện (b), thay n − cho n, ta z at nh oi f (1) + + f (n − 1) = (n − 1)2 f (n − 1) , z Sau trừ phương trình với phương trình cho, tìm gm @ phương trình sai phân bậc m co l f (n) = n2 f (n) − (n − 1)2 f (n − 1) , suy n va n−1 f (n − 1) n+1 an Lu f (n) = ac th si 40 Bằng cách lặp lại lập luận ta f (n) = n − 1n − 2n − f (1) = f (1) n+1 n n−1 n (n + 1) Do đó, f (1996) = 2 1996 = 1996.1997 1997 Bài toán 2.4.2 (C.Efthimiou [6]) Hàm F xác định tập số tự nhiên khác không N∗ thỏa mãn điều kiện sau (a)F (n) = F (n − 1) + an , lu an (b)F (1) = n va Lời giải Trong điều kiện (a), thay cho n với 2, 3, , n − 1, n, ie gh tn to Tìm F (n) p ta có w d oa nl F (2) = F (1) + a2 nf va an lu F (3) = F (2) + a3 lm ul F (n − 1) = F (n − 2) + an−1 Từ ta z at nh oi F (n) = F (n − 1) + an z F (n) = F (1) + n X ak @ k=2 gm Nếu a 6= 1, an Lu F (n) = n m Nếu a = 1, co l a2 (an−1 − 1) F (n) = + a−1 n va ac th si 41 Bài toán 2.4.3 (C.Efthimiou [6]) Một dãy số thực thỏa mãn điều kiện an = λan−1 + ω, n = 0, 1, 2, , với λ 6= 0, ω 6= 0, cho trước Tìm biểu thức an theo a0 Chú ý dãy số gọi cấp số hỗn hợp với công bội λ công sai ω Lời giải Trong điều kiện cho, thay n 1, 2, 3, , n − 1, n : lu a1 = λa0 + ω, an n va a2 = λa1 + ω, p ie gh tn to a3 = λa2 + ω, w an−1 = λan−2 + ω, d oa nl an = λan−1 + ω an lu Ta nhân chúng với λn−1 , λn−2 , , λ, tương ứng cộng phương trình nf va thu ta tìm thấy: lm ul n an = λ a0 + ω λk , k=0 z at nh oi hay n−1 X λn − an = λ a0 + ω λ−1 n z @ l gm Bài toán 2.4.4 (C.Efthimiou [6]) Dãy số thực an thỏa mãn điều kiện m co an = λan−1 + ωµn−1 , n = 0, 1, 2, , an theo a0 an Lu với λ 6= 0, khái quát cấp số hỗn hợp tốn trước Tìm biểu thức n va ac th si 42 Lời giải Trong điều kiện cho, thay n 1, 2, 3, , n − 1, n, ta có a1 = λa0 + ω, a2 = λa1 + ωµ, a3 = λa2 + ωµ2 , an−1 = λan−2 + ωµn−2 , lu an an = λan−1 + ωµn−1 va n Ta nhân phương trình với λn−1 , λn−2 , , λ, tương ứng cộng gh tn to phương trình thu ta nhận ie n  k ω nX λ an = λ a0 + µ , λ µ n p k=1 w oa nl Nếu µ = λ, d an = λn a0 + ωnλn−1 , an lu nf va ngồi µ 6= λ, z at nh oi lm ul λn − µn an = λ a0 + ω λ−µ n Bài tốn 2.4.5 (C.Efthimiou [6]) Một dãy số thực an thỏa mãn điều kiện an = λxan−1 + ω z @ l gm x > λ 6= 0, cho trước Tìm biểu thức an theo a0 m co Lời giải Hệ thức quy nạp cho viết dạng an Lu an − ω = λxω xan−1 −ω n va ac th si 43 Để đơn giản, ta ký hiệu βn = an − ω, µ = λxω Khi βn = µxβn−1 Nếu µ = 1, cách thay ta dễ dàng tìm βn = xx β0 x lu an x xuất n lần Nếu µ 6= 1, ta viết n va βn −1 βn = (xµ ) µ , µ tn to ie gh ta xác định p γn = nl w Do βn , y = xµ µ d oa γn = y γn −1 nf va an lu với nghiệm γn = y y γ0 y lm ul y xuất n lần Giá trị viết lại cho dãy an ban z at nh oi đầu: an = ω + λxω y y a0 −ω y λxω ω , y = xλx z @ m co u0 = 2, u1 = , l gm Bài toán 2.4.6 (IMO 1976) Một dãy (un ) xác định an Lu un+1 = un (u2n−1 − 2) − u1 , n > 1, 2, n va ac th si 44 Chứng minh với số nguyên dương n, bun c = b2n −(−1)n c , bxc phần nguyên x Lời giải Thay n = 1, hệ thức quy nạp cho, ta tìm u2 = u3 = 65 Khi ta ý lu u0 = = 20 + 2−0 , u1 = = 21 + 2−1 , u2 = = 21 + 2−1 , 65 = 23 + 2−3 u3 = an n va ie gh tn to p Do ta dự đốn un viết dạng oa nl w un = 2an + 2−an , d với dãy {an } Hơn nữa, xuất số hạng an lu số nguyên, số hạng thứ hai phân số, suy phần nguyên un nf va dựa số hạng Do phương pháp quy nạp chúng lm ul tơi thu 2n − (−1)n z at nh oi an = Thật vậy, khẳng định với số hạng z @ thấy Ta giả thiết với số hạng lên đến số k Khi gm +2 , ak+1 2k+1 − (−1)k+1 = , m uk+1 = −ak+1 co ak+1 l an Lu ta uk+1 thỏa mãn hệ thức đệ quy toán Đầu tiên ta n va ac th si 45 thấy   uk (u2k−1 − 2) = (2ak + 2−ak ) (2ak−1 + 2−ak−1 )2 − = (2ak + 2−ak )(22ak−1 + 2−2ak−1 ) = 2ak +2ak−1 + 2−(ak +2ak−1 ) + 2ak −2ak−1 + 2−(ak −2ak−1 ) Khi 2k − (−1)k 2k−1 − (−1)k−1 +2 3 k k k+1 − 2(−1)k+1 + (−1) + = 3 k+1 k+1 − (−1) = ak + 2ak−1 = lu an n va to gh tn = ak+1 , p ie ak − 2ak−1 d oa nl w lu = (−1)k+1 nf va an Do 2k−1 − (−1)k−1 2k − (−1)k −2 = 3 k k+1 k + (−1) − 2(−1)k+1 = − 3 lm ul uk (u2k−1 − 2) = 2ak+1 + 2−ak+1 + 2(−1) k+1 + 2−(−1) k+1 z at nh oi Lưu ý hai số hạng cuối 21 hay 2(−1) với k Và tổng chúng u1 Do ta kết luận z @ điều phải chứng minh m co l gm uk (u2k−1 − 2) = uk+1 + u1 , Bài toán 2.4.7 (N T Chung [1]) Cho a1 = 1, a2 = an Lu an+2 = an+1 − an , ∀n ∈ N∗ n va ac th si 46 √ Chứng minh |an | , ∀n ∈ N∗ Lời giải Phương trình đặc trưng λ − λ + = có nghiệm λ = Ta có √ r + = 1; tan ϕ = r = |λ| = 4

Do λ = cos π3 ± i sin π3 an = c1 cos( 2 √ = 3⇒ϕ= √ 1±i π nπ nπ ) + c2 sin( ), ∀n ∈ N∗ 3 √ lu Kết hợp a1 = 1, a2 = ta suy c1 = c2 = an va an = cos Từ n nπ nπ + sin , ∀n ∈ N∗ 3 gh tn to Từ suy p ie v u u |an | t12 + nl w √ !2 √ , ∀n ∈ N∗ = 2 d oa Bài toán 2.4.8 (N T Chung [1]) Tìm tất hàm số f : N → N thỏa an lu mãn f (f (f (n))) + f (f (n)) = 3f (n) − n, ∀n ∈ N nf va (2.14) lm ul Lời giải Giả sử tồn hàm f thỏa mãn yêu cầu toán Với số tự z at nh oi nhiên n bất kì, xét dãy số (an ) sau: a0 = n an+1 = f (an ) Khi an > 0, ∀n ∈ N, từ (2.14) thay n an ta z gm @ an+3 + an+2 = 3an+1 − an , ∀n ∈ N co l √ Phương trình đặc trưng λ3 + λ2 − 3λ + = có nghiệm λ ∈ 1, −1, ± m Do đó, an Lu  √ n √ n an = C + A −1 − + B −1 + , ∀n ∈ N  (2.15) n va ac th si 47 √ Vì | − + 2| < < | − − lim (−1 − √ n→∞ √ 2| nên lim (−1 + √ n→∞ 2)n+1 = −∞, lim (−1 − n→∞ √ 2)n = 2)2n = +∞ Do từ (2.15), A > ta cho n lẻ đủ lớn có an < 0,mâu thuẫn, A < ta cho n chẵn đủ lớn có an < 0, vơ lý Do A = Vậy  √ n an = C + B −1 + , ∀n ∈ N (2.16) lu Từ (2.16) ta có n = a0 = C + B  √  √  f (n) = f (a0 ) = a1 = C + B −1 + = n + − B an va n Thay (2.17) vào (2.14) ta √ (2.17)
− B = ⇔ B = Do đó, (2.17) ie gh tn to trở thành f (n) = n, ∀n ∈ N Thử lại thấy thỏa mãn p Bài tốn 2.4.9 Tìm tất hàm số f : N → N thỏa mãn f (f (f (n))) + 6f (n) = 3f (f (n)) + 4n + 2020, ∀n ∈ N d oa nl w (2.18) an lu Lời giải Giả sử hàm f thỏa mãn yêu cầu toán Với k số tự nhiên lm ul xn ta nf va bất kì, xét dãy (xn ) sau: x0 = k, xn+1 = f (xn ) Từ (2.18) thay n z at nh oi xn+3 = 3xn+2 − 6xn+1 + 4xn + 2020, ∀n ∈ N z Phương trình đặc trưng λ3 − 3λ2 + 6λ − = có nghiệm λ ∈ √ {1, 1, ±i 3} Số hạng tổng quát dãy (xn )  nπ nπ  n + C sin xn = A + B cos + Dn, ∀n ∈ N 3 m co l gm @ Ta có k = x0 = A + B , suy an Lu √ √ f (k) = f (x0 ) = x1 = A + B + C + D ⇒ f (k) = k + C + D (2.19) n va ac th si 48 √ Thay (2.19) vào (2.18) ta D + C = f (n) = n + 2020 (2.19) trở thành 2020 , ∀n ∈ N Thử lại thấy thỏa mãn Bài toán 2.4.10 (Balkan MO 2002) Tìm tất hàm số f : N → N thỏa mãn f (f (n)) + f (n) = 2n + 2001 2n + 2002, ∀n ∈ N (2.20) lu an Lời giải Giả sử tồn hàm số f thỏa mãn yêu cầu đề Với k va n số tự nhiên bất kì, xét dãy số (an ) sau: a0 = k, an+1 = f (an ) Từ gh tn to (2.20) thay n an ta p ie an+2 + an+1 = 2an + 2001 2an + 2002, ∀n ∈ N nl w Phương trình đặc trưng dãy số (an ) λ2 + λ − = ⇔ λ ∈ {1, −2} d oa Suy an = A + B(−2)n + Cn, ∀n ∈ N Ta có k = a0 = A + B , suy lu f (k) = a1 = A − 2B + C = A + B − 3B + C = k − 3B + C nf va an (2.21) lm ul Thay g(n) = n − 3B + C vào (2.20) ta −3B + C = 667 2002 z at nh oi Vậy từ (2.21) ta có f (n) = n + 667 f (n) = n + 2002 (không thỏa mãn
f (n) = n + 2002 ∈ / N) Thử lại thấy f (n) = n + 667 thỏa mãn Do có hàm số z m co l gm @ thỏa mãn yêu cầu đề f (n) = n + 667, ∀n ∈ N an Lu n va ac th si KẾT LUẬN Luận văn tìm hiểu, trình bày hệ thống lại số kiến thức sau: lu Chúng tơi hệ thống lại số tính chất hàm số để sử dụng an tìm hiểu phương trình hàm bao gồm: tính chẵn, lẻ hàm số, va n hàm tuần hoàn, tính liên tục gián đoạn hàm số ie gh tn to Để minh họa cho lớp phương trình hàm, chúng tơi trình bày chi p tiết số kết dạng phương trình hàm oa nl w phương trình hàm Cauchy phương trình hàm Jensen d Trình bày kiến thức lớp phương trình hàm lu nf va an hàm số học Trình bày phương pháp giải lớp phương trình hàm sử dụng kết phương trình sai phân, đặc lm ul biệt lớp phương trình sai phân tuyến tính không z at nh oi Chúng trình bày số dạng nghiệm riêng phương trình sai phân tuyến tính khơng z gm @ Chúng tơi trình bày hệ thống lại số tốn lớp phương trình hàm hàm số học, có số toán sử l m co dụng kỳ thi học sinh giỏi thi olympic toán quốc tế an Lu n va 49 ac th si Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Tài Chung, Bồi dưỡng học sinh giỏi phương trình hàm, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội, 2014 lu an [2] Nguyễn Văn Mậu, Phương trình hàm, NXB Giáo Dục, 1999 n va học - Trường Đại học Quy Nhơn, Tập 11, Số 5, 2017, 5-7 ie gh tn to [3] Nguyễn Sum, Phương trình hàm Cauchy đoạn, Tạp chí khoa p [4] Nguyễn Văn Tuấn, Một số lớp toán phương trình hàm, Hà Nội, oa nl w 2011 d [5] J Aczél, Lectures on functional equation and their applications, Aca- lu nf va an demic Press, New York - London, 1966 [6] C Efthimiou, Introduction to functional equations - theory and prob- lm ul lem, Mathematical Sciences Research Institute, AMS, 2011 z at nh oi [7] M Kuczma, A survey of the theory of functional equations, University of Belgrade, Series Mathematics and Physics, 130 (1964), 1-64 z @ CRC Press - London - New York, 2011 m co l gm [8] P Sahoo and P.Kannappan, Introduction to functional equations, an Lu n va 50 ac th si