(Luận văn) một số tính chất của phần tử sinh của đại số đa thức xem như môđun trên đại số steenrod

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN TRẦN THỊ CHUNG lu an n va tn to p ie gh MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA PHẦN TỬ SINH CỦA ĐẠI SỐ ĐA THỨC XEM NHƯ MÔĐUN TRÊN ĐẠI SỐ STEENROD d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z m co l gm @ an Lu Bình Định - Năm 2019 n va ac th si BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN TRẦN THỊ CHUNG lu an n va p ie gh tn to MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA PHẦN TỬ SINH CỦA ĐẠI SỐ ĐA THỨC XEM NHƯ MÔĐUN TRÊN ĐẠI SỐ STEENROD w Đại số lí thuyết số 8460104 d oa nl Chuyên ngành : Mã số : nf va an lu z at nh oi lm ul Người hướng dẫn: PGS.TS NGUYỄN SUM z m co l gm @ an Lu n va ac th si i Mục lục Mở đầu 1 Kiến thức sở lu an n va Sơ lược đại số Steenrod 1.2 Cấu trúc A-môđun trái không ổn định đại số đa thức Pn 1.3 Một số kiến thức toán hit kết liên quan 10 1.3.1 Véctơ trọng lượng véctơ lũy thừa 10 1.3.2 Đơn thức chấp nhận 12 p ie gh tn to 1.1 Đồng cấu Kameko tiêu chuẩn đơn thức hit Singer 14 w 1.3.3 oa nl Một số tính chất phần tử sinh đại số đa thức Pn 16 d môđun đại số Steenrod lu Xây dựng phần tử sinh 16 2.2 Một số tính chất phần tử sinh A-môđun Pn 18 nf va an 2.1 lm ul Các đơn thức chấp nhận đại số đa thức năm biến z at nh oi bậc 5(2s − 1) + 10.2s 27 3.1 Trường hợp s = 27 3.2 Trường hợp s = 30 z @ 36 co l P5 gm Phụ lục: Các đơn thức chấp nhận bậc 10, 11, 25 Các đơn thức chấp nhận bậc 10 P5 36 4.2 Các đơn thức chấp nhận bậc 11 P5 38 4.3 Các đơn thức chấp nhận bậc 25 P50 40 m 4.1 an Lu n va ac th si ii Các đơn thức chấp nhận bậc 25 P5+ 43 4.4 Kết luận 47 Tài liệu tham khảo 48 lu an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si iii Bảng số ký hiệu F2 : Trường hữu hạn có hai phần tử Pn : Đại số đa thức có n biến x1 , x2 , , xn A : Đại số Steenrod mod Nn : Tập hợp tất số nguyên dương không vượt n Nn : Tập hợp tất cặp (i, I), với I = (i1 , i2 , , xr ) ∈ Nrn XI : Đơn thức Y xj với I = (i1 , i2 , , xr ), r < n j∈Nn \J X∅ : Đơn thức x1 x2 xn Pn lu an X : Đơn thức x1 x2 xn−1 Pn−1 va αi (n) : Hệ số thứ i > khai triển nhị phân số nguyên dương n n tn to α(n) : Số hệ số khai triển nhị phân n  ie gh µ(m) : Số r ∈ N : m = X  di (2 − 1), di > 0, i r 16i6r p d oa nl w Bn (d) : Tập hợp tất đơn thức chấp nhận bậc d A − môđun Pn nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Mở đầu Ký hiệu Pn = F2 [x1 , x2 , , xn ] đại số đa thức trường F2 , gồm n biến xi , biến có bậc Đại số đẳng cấu với đối đồng điều kỳ dị hệ số F2 lu an tích n-lần khơng gian xạ ảnh thực vơ hạn chiều Do đó, có cấu trúc n va môđun trái đại số Steenrod mod 2, A Tác động trái A Pn tn to xác định tường minh tính chất sơ cấp toán tử Steenrod ie gh Sq m , bậc m > (xem [16]) công thức Cartan [2] X p Sq m (f g) = Sq i (f )Sq j (g), i+j=m nl w d oa với đa thức f, g ∈ Pn an lu Một toán mang tính thời sự, nhiều nhà Tơpơ đại số nghiên cứu toán xác định tường minh hệ sinh tối tiểu Pn nf va xét môđun đại số Steenrod A Bài tốn có tên gọi tốn lm ul hit, nghiên cứu trước tiên Peterson [10] Singer [14] Về sau z at nh oi nghiên cứu nhiều tác Crabb and Hubbuck [3], Janfada and Wood [4], Kameko [6], Mothebe [8], Nam [9], Phúc-Sum [11], Singer [15], Wood [21] nhiều tác giả khác z m>0 l gm @ Một đa thức f Pn gọi "hit" P m biểu diễn dạng tổng hữu hạn f = Sq (fm ) fm đa thức m co Pn Xem F2 A-mơđun tầm thường, tốn hit quy xác định hệ sinh tối tiểu F2 -không gian véctơ phân bậc an Lu QPn := F2 ⊗A Pn = Pn /A+ Pn , n va ac th si ký hiệu A+ iđêan bổ sung đại số A A+ Pn tập hợp tất đa thức hit Pn Qua cơng trình Peterson [10], Wood [21] Singer [14], thấy tốn hit có mối quan hệ chặt chẽ với nhiều toán kinh điển lý thuyết đồng luân lý thuyết cobordism đa tạp; tốn phân tích ổn định khơng gian phân loại 2-nhóm Abel sơ cấp; lý thuyết biểu diễn modular nhóm tuyến tính, Cho d số nguyên dương tùy ý ký hiệu (QPn )d không gian QPn sinh lớp có phần tử đại diện đa thức bậc d lu A-môđun Pn Một công cụ hữu hiệu để giải toán 0 f∗ )(n,n+2d) : (QPn )n+2d → (QPn )d Đồng cấu f∗ = (Sq hit đồng cấu Kameko Sq an n va gh tn to cảm sinh từ ánh xạ F2 -tuyến tính ϕ : Pn −→ Pn xác định bởi:  u x = x1 x2 xn u2 , ϕ(x) = trường hợp khác, với x đơn thức tùy ý Pn ie p Bài toán hit giải tường minh Peterson [10] với số biến n nl w Trường hợp n = Kameko nghiên cứu Luận án tiến sĩ [6] Trường oa Đại học Johns Hopkins năm 1990 Sau đó, N Sum giải cụ thể cho trường d hợp n = báo [17] an lu Như biết, giải toán hit tương đương với việc xác định sở nf va không gian véctơ QPn bậc d > Tuy nhiên, từ kết Wood lm ul [21], nghiên cứu không gian QPn bậc d có dạng z at nh oi sau: d = t(2s − 1) + 2s m, (1) z với t, s, m số nguyên khơng âm thỏa mãn µ(m) < t n,   X di µ(m) = r ∈ N : m = (2 − 1), di > 0, i r l gm @ 16i6r m co Trường hợp t = n, toán nghiên cứu phần Hưng [5] Tín-Sum (QPn )n(2s −1)+2t m ∼ = (QPn )n(2τ −1)+2τ m an Lu [20] Đáng ý, [20], tác giả với s > τ, n va ac th si τ > τ (n, m) = max{0, n − α(n + m) − ς(n + m)}, ký hiệu α(k) số hệ số khai triển nhị phân k ς(k) số nguyên dương lớn p cho k chia hết cho 2p Kết mở rộng kết Hưng [5] tính chất đẳng cấu lặp đồng cấu Kameko [6] Hơn nữa, thông qua kết Tín-Sum [20], để xác định khơng gian QPn dạng bậc d (1), cần xét trường hợp s τ (n, m) Việc nghiên cứu toán hit bậc d có dạng (1) phức tạp đòi hỏi nhiều kỹ thuật Tuy nhiên, nhiều trường hợp, thơng qua vài tính chất đặc biệt phần tử sinh A-mơđun Pn , q trình giải tốn hit lu thuận lợi Trong luận văn này, chúng tơi trình bày chi tiết kết an báo [18] số tính chất phần tử sinh đại số đa n va thức Pn xét mơđun đại số Steenrod Từ đó, nghiên cứu to gh tn tính tốn tường minh tốn hit bậc d có dạng (1) với t = n = m = 10 ie Cấu trúc luận văn gồm phần Mở đầu, Phần nội dung, Kết luận p Tài liệu tham khảo Phần nội dung luận văn chia thành chương nl w • Chương trình bày số kiến thức biết toán hit Peterson d oa Các kiến thức chương sử dụng cho chương an lu • Chương trình bày cách xây dựng số đồng cấu chứng minh vài lm ul đại số Steenrod nf va tính chất đặc biệt phần tử sinh đại số đa thức Pn mơđun • Trong Chương 3, chúng tơi trình bày chi tiết kết [18] toán z at nh oi hit số biến n = bậc d = 5(2s − 1) + 10.2s với s số nguyên không âm tùy ý z l gm bậc 10, 11, 25 P5 @ • Cuối Chương 4, chúng tơi liệt kê tất đơn thức chấp nhận Luận văn hoàn thành hướng dẫn khoa học PGS TS Nguyễn co m Sum Tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành kính trọng sâu sắc an Lu đến Thầy hướng dẫn, Thầy tận tình việc giảng dạy, giúp đỡ truyền đạt cho tác giả kiến thức quý báu kinh nghiệm n va ac th si trình nghiên cứu khoa học, để tác giả hoàn thành luận văn cách tốt Tác giả xin gửi lời cảm ơn đến Ban lãnh đạo trường Đại học Quy Nhơn, Phòng đào tạo sau Đại học, Khoa Toán Thống kê quý thầy, giáo giảng dạy lớp Cao học Tốn Đại số lí thuyết số K20 Tác giả gửi lời cảm ơn đến anh chị em học viên lớp Cao học Tốn Đại số lí thuyết số khóa 20, gia đình bạn bè quan tâm giúp đỡ tác giả suốt năm học Cao học trường Đại học Quy Nhơn Cuối cùng, tác giả hy vọng luận văn tài liệu hữu ích cho sinh lu viên, học viên cao học tìm tịi nghiên cứu tốn hit lĩnh vực an Tơpơ đại số n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Chương Kiến thức sở Trong toàn luận văn này, vành hệ số xét trường nguyên tố F2 có lu an hai phần tử n va Trong chương này, hệ thống lại số kiến thức biết tn to toán hit Peterson bao gồm kiến thức đại số Steenrod A tác động Sơ lược đại số Steenrod p w 1.1 ie gh đại số đa thức Pn := F2 [x1 , , xn ] oa nl Trong mục này, chúng tơi trình bày sơ lược đại số Steenrod trường d F2 Các kiến thức phần chủ yếu dựa theo tài liệu [1, 2, 7, 13] lu nf va an Đại số Steenrod đại số phân bậc, kết hợp, có đơn vị trường F2 sinh toán tử đối đồng điều lm ul Sq m : H d (X) → H d+m (X), z at nh oi phép biến đổi tự nhiên đối đồng điều kỳ dị không gian tôpô X , xác định với d, m > Các toán tử gọi toán tử Steenrod giao z hoán với "phép treo”; chúng gọi tốn tử đối đồng điều ổn định an Lu i+j=m Sq i (x)Sq j (y), m X co l Sq m (xy) = gm Năm 1950, Cartan [2] @ Đại số Steenrod thường ký hiệu A n va ac th si 35 đơn thức w cho Bổ đề 3.2.3, 3.2.7, 3.2.8 3.2.9 r cho xj xl xt z = wz12 với z1 đơn thức phù hợp P5 r = max{j ∈ Z : ωj (w) > 0} Bởi Định lý 1.3.7, xj xl xt z đơn thức khơng chấp nhận Vì x đơn thức chấp nhận x = xj xl xt y với y ∈ B5 (3, 2, 1) nên ta có x = b25,u với u, u 440 Điều dẫn đến B5+ (3, 3, 2, 1) ⊆ {b25,u : u 440} Bây chứng minh tập hợp {[b25,u ] : u 440} độc lập tuyến tính (QP5 )25 Thật vậy, giả sử có quan hệ tuyến tính S= 440 X γu b25,u ≡ 0, u=1 lu an γu ∈ F2 Với i < j 5, tính tốn tường minh p(i,I) (S) theo đơn n va thức chấp nhận bậc 25 P4 (mod (A+ P4 )) Khi đó, tính tốn trực tiếp tn to từ đẳng thức p(i,I) (S) ≡ với l(I) 2, ta thu γu = 0, với u 440 Mệnh đề chứng minh gh p ie Vì ta có dim(QP5 )10 = 280 dim(QP50 )10 = 520 nên kết hợp kết tính tốn trên, thu kết sau nl w d oa Định lý 3.2.10 Với số nguyên dương s, ta có (QP5 )15.2s −5 = 1240 nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si 36 Chương Phụ lục: Các đơn thức chấp nhận bậc 10, 11, 25 P5 lu an Trong Phụ lục này, liệt kê tất đơn thức chấp nhận bậc n va 10, 11, 25 P5 tn to Các đơn thức chấp nhận bậc 10 P5 p ie gh 4.1 w • B50 (10) tập hợp 230 đơn thức: a10,t , t 230, d oa nl lu nf va x33 x74 x32 x73 14 x31 x73 19 x71 x32 24 x2 x24 x75 29 x2 x73 x24 34 x1 x74 x25 39 x1 x22 x75 44 x1 x72 x23 49 x71 x2 x24 54 x2 x34 x65 59 x2 x63 x34 64 x1 x64 x35 69 x1 x32 x65 74 x1 x62 x33 79 x31 x2 x64 84 x32 x53 x24 89 x31 x52 x24 94 x32 x33 x44 99 x31 x32 x44 z at nh oi lm ul l gm @ x73 x35 10 x72 x35 15 x31 x72 20 x31 x75 25 x2 x74 x25 30 x72 x4 x25 35 x1 x23 x75 40 x1 x22 x74 45 x71 x4 x25 50 x71 x2 x23 55 x2 x64 x35 60 x32 x4 x65 65 x1 x33 x65 70 x1 x32 x64 75 x31 x4 x65 80 x31 x2 x63 85 x31 x54 x25 90 x31 x52 x23 95 x31 x34 x45 100 x31 x32 x43 m co an Lu x33 x75 x32 x74 13 x31 x74 18 x71 x33 23 x73 x4 x25 28 x2 x73 x25 33 x1 x24 x75 38 x1 x73 x24 43 x1 x72 x24 48 x71 x2 x25 53 x33 x4 x65 58 x2 x63 x35 63 x1 x34 x65 68 x1 x63 x34 73 x1 x62 x34 78 x31 x2 x65 83 x32 x53 x25 88 x31 x52 x25 93 x32 x33 x45 98 x31 x32 x45 z x74 x35 x32 x75 12 x72 x33 17 x71 x34 22 x3 x74 x25 27 x2 x23 x74 32 x72 x3 x24 37 x1 x73 x25 42 x1 x72 x25 47 x71 x3 x24 52 x3 x64 x35 57 x2 x33 x64 62 x32 x3 x64 67 x1 x63 x35 72 x1 x62 x35 77 x31 x3 x64 82 x32 x54 x25 87 x31 x53 x24 92 x32 x34 x45 97 x31 x33 x44 an x34 x75 x73 x34 11 x72 x34 16 x71 x35 21 x3 x24 x75 26 x2 x23 x75 31 x72 x3 x25 36 x1 x23 x74 41 x1 x22 x73 46 x71 x3 x25 51 x3 x34 x65 56 x2 x33 x65 61 x32 x3 x65 66 x1 x33 x64 71 x1 x32 x63 76 x31 x3 x65 81 x33 x54 x25 86 x31 x53 x25 91 x33 x34 x45 96 x31 x33 x45 n va ac th si 37 lu an n va p ie gh tn to d oa nl x2 x3 x64 x25 x1 x3 x64 x25 x1 x2 x64 x25 x1 x2 x63 x24 x1 x62 x4 x25 x1 x23 x54 x25 x2 x23 x34 x45 x32 x3 x24 x45 x1 x23 x44 x35 x1 x22 x44 x35 x1 x22 x43 x34 x1 x32 x23 x44 x31 x3 x44 x25 x31 x2 x23 x45 x31 x42 x4 x25 x2 x3 x74 x5 x1 x3 x74 x5 x1 x2 x3 x75 x1 x72 x4 x5 x71 x2 x4 x5 x2 x33 x4 x55 x32 x53 x4 x5 x1 x2 x34 x55 x1 x32 x54 x5 x1 x32 x53 x4 x31 x2 x4 x55 x31 x2 x53 x5 x31 x52 x3 x4 x32 x33 x34 x5 x1 x32 x33 x34 x31 x2 x34 x35 x31 x32 x34 x5 x31 x32 x33 x4 nf va an lu 102 106 110 114 118 122 126 130 134 138 142 146 150 154 158 162 166 170 174 178 182 186 190 194 198 202 206 210 214 218 222 226 230 103 107 111 115 119 123 127 131 135 139 143 147 151 155 159 163 167 171 175 179 183 187 191 195 199 203 207 211 215 219 223 227 x2 x23 x4 x65 x1 x23 x4 x65 x1 x2 x23 x65 x1 x22 x4 x65 x1 x62 x3 x25 x1 x22 x54 x25 x2 x23 x44 x35 x32 x3 x44 x25 x1 x33 x24 x45 x1 x22 x33 x45 x1 x32 x24 x45 x1 x32 x43 x25 x31 x43 x4 x25 x31 x2 x23 x44 x31 x42 x3 x25 x2 x73 x4 x5 x1 x73 x4 x5 x1 x2 x3 x74 x1 x72 x3 x5 x71 x2 x3 x5 x2 x33 x54 x5 x1 x3 x34 x55 x1 x2 x33 x55 x1 x32 x3 x55 x31 x3 x4 x55 x31 x2 x54 x5 x31 x2 x53 x4 x2 x33 x34 x35 x1 x33 x34 x35 x31 x3 x34 x35 x31 x2 x33 x35 x31 x32 x3 x35 104 108 112 116 120 124 128 132 136 140 144 148 152 156 160 164 168 172 176 180 184 188 192 196 200 204 208 212 216 220 224 228 x2 x63 x4 x25 x1 x63 x4 x25 x1 x2 x23 x64 x1 x22 x3 x65 x1 x62 x3 x24 x1 x22 x53 x25 x2 x33 x24 x45 x32 x43 x4 x25 x1 x33 x44 x25 x1 x22 x33 x44 x1 x32 x44 x25 x1 x32 x43 x24 x31 x2 x24 x45 x31 x2 x43 x25 x31 x42 x3 x24 x72 x3 x4 x5 x1 x2 x4 x75 x1 x2 x73 x5 x1 x72 x3 x4 x71 x2 x3 x4 x32 x3 x4 x55 x1 x33 x4 x55 x1 x2 x33 x54 x1 x32 x3 x54 x31 x3 x54 x5 x31 x2 x3 x55 x31 x52 x4 x5 x32 x3 x34 x35 x1 x32 x34 x35 x31 x33 x4 x35 x31 x2 x33 x34 x31 x32 x3 x34 lm ul x2 x3 x24 x65 x1 x3 x24 x65 x1 x2 x24 x65 x1 x2 x63 x25 x1 x22 x3 x64 x2 x23 x54 x25 x1 x22 x53 x24 x2 x33 x44 x25 x1 x23 x34 x45 x1 x22 x34 x45 x1 x22 x43 x35 x1 x32 x23 x45 x31 x3 x24 x45 x31 x2 x44 x25 x31 x2 x43 x24 x2 x3 x4 x75 x1 x3 x4 x75 x1 x2 x74 x5 x1 x2 x73 x4 x71 x3 x4 x5 x2 x3 x34 x55 x32 x3 x54 x5 x1 x33 x54 x5 x1 x32 x4 x55 x1 x32 x53 x5 x31 x53 x4 x5 x31 x2 x3 x54 x31 x52 x3 x5 x32 x33 x4 x35 x1 x32 x33 x35 x31 x33 x34 x5 x31 x32 x4 x35 x31 x32 x33 x5 w 101 105 109 113 117 121 125 129 133 137 141 145 149 153 157 161 165 169 173 177 181 185 189 193 197 201 205 209 213 217 221 225 229 z at nh oi • B5+ (10) = B5+ (2, 2, 1) ∪ B5+ (2, 4) ∪ B5+ (4, 1, 1) ∪ B5+ (4, 3), B5+ (2, 2, 1) tập hợp đơn thức: a10,t , 231 t 235, 232 x1 x2 x23 x44 x25 233 x1 x22 x3 x24 x45 234 x1 x22 x3 x44 x25 z 231 x1 x2 x23 x24 x45 235 x1 x22 x43 x4 x25 @ 237 x1 x22 x23 x34 x25 238 x1 x22 x33 x24 x25 239 x1 x32 x23 x24 x25 m co l 236 x1 x22 x23 x24 x35 240 x31 x2 x23 x24 x25 gm B5+ (2, 4) tập hợp đơn thức: a10,t , 236 t 240, an Lu n va ac th si 38 B5+ (4, 1, 1) tập hợp 20 đơn thức: a10,t , 241 t 260, 241 245 249 253 257 x1 x2 x3 x4 x65 x1 x2 x3 x24 x55 x1 x22 x3 x54 x5 x1 x2 x33 x44 x5 x31 x2 x3 x4 x45 242 246 250 254 258 x1 x2 x3 x64 x5 x1 x2 x23 x4 x55 x1 x22 x53 x4 x5 x1 x32 x3 x4 x45 x31 x2 x3 x44 x5 243 247 251 255 259 x1 x2 x63 x4 x5 x1 x2 x23 x54 x5 x1 x2 x3 x34 x45 x1 x32 x3 x44 x5 x31 x2 x43 x4 x5 244 248 252 256 260 x1 x62 x3 x4 x5 x1 x22 x3 x4 x55 x1 x2 x33 x4 x45 x1 x32 x43 x4 x5 x31 x42 x3 x4 x5 B5+ (4, 3) tập hợp 20 đơn thức: a10,t , 261 t 280, 261 265 269 273 277 x1 x2 x23 x34 x35 x1 x22 x33 x4 x35 x1 x32 x23 x4 x35 x31 x2 x3 x24 x35 x31 x2 x33 x4 x25 262 266 270 274 278 x1 x2 x33 x24 x35 x1 x22 x33 x34 x5 x1 x32 x23 x34 x5 x31 x2 x3 x34 x25 x31 x2 x33 x24 x5 263 267 271 275 279 x1 x2 x33 x34 x25 x1 x32 x3 x24 x35 x1 x32 x33 x4 x25 x31 x2 x23 x4 x35 x31 x32 x3 x4 x25 264 268 272 276 280 x1 x22 x3 x34 x35 x1 x32 x3 x34 x25 x1 x32 x33 x24 x5 x31 x2 x23 x34 x5 x31 x32 x3 x24 x5 lu • Sử dụng kết [17], tính tốn trực tiếp, ta có: an n va B5 (2, 2, 1) = Φ(B4 (2, 2, 1)), tn to B5 (4, 1, 1) = Φ(B4 (4, 1, 1)) ∪ {x31 x42 x3 x4 x5 }, ie gh B5 (4, 3) = Φ(B4 (4, 3)) p Kết hợp điều B4 (2, 4) = ∅, ta thấy Giả thuyết 2.1.4 với Các đơn thức chấp nhận bậc 11 P5 d nf va an lu 4.2 oa nl w n = bậc 10 • B50 (11) tập hợp 240 đơn thức: z at nh oi x33 x4 x75 x2 x34 x75 11 x2 x73 x35 15 x32 x3 x75 19 x72 x4 x35 23 x72 x33 x5 27 x1 x33 x75 31 x1 x32 x75 35 x1 x72 x34 39 x31 x3 x75 43 x31 x2 x75 47 x31 x72 x4 51 x3 x64 x35 55 x2 x63 x34 59 x1 x64 x35 z gm @ x33 x74 x5 x2 x74 x35 12 x2 x73 x34 16 x32 x3 x74 20 x72 x34 x5 24 x72 x33 x4 28 x1 x33 x74 32 x1 x32 x74 36 x1 x72 x33 40 x31 x3 x74 44 x31 x2 x74 48 x31 x72 x3 52 x33 x4 x65 56 x32 x4 x65 60 x1 x63 x35 m co l an Lu x3 x74 x35 x73 x34 x5 10 x2 x33 x74 14 x32 x74 x5 18 x32 x73 x4 22 x72 x3 x34 26 x1 x74 x35 30 x1 x73 x34 34 x1 x72 x35 38 x31 x74 x5 42 x31 x73 x4 46 x31 x72 x5 50 x71 x34 x5 54 x2 x63 x35 58 x32 x3 x64 lm ul x3 x34 x75 x73 x4 x35 x2 x33 x75 13 x32 x4 x75 17 x32 x73 x5 21 x72 x3 x35 25 x1 x34 x75 29 x1 x73 x35 33 x1 x32 x73 37 x31 x4 x75 41 x31 x73 x5 45 x31 x2 x73 49 x71 x4 x35 53 x2 x64 x35 57 x32 x3 x65 n va ac th si 39 lu an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul l gm @ 64 x1 x62 x33 68 x31 x2 x65 72 x32 x54 x25 76 x31 x53 x25 80 x31 x52 x23 84 x32 x33 x44 88 x31 x32 x45 92 x2 x34 x65 96 x1 x33 x65 100 x1 x32 x63 104 x1 x3 x24 x65 108 x1 x2 x64 x25 112 x1 x2 x63 x24 116 x2 x23 x34 x45 120 x32 x3 x44 x25 124 x1 x33 x24 x45 128 x1 x22 x33 x44 132 x1 x32 x23 x45 136 x31 x43 x4 x25 140 x31 x2 x23 x44 144 x31 x42 x3 x25 148 x1 x22 x4 x65 152 x1 x23 x54 x25 156 x2 x33 x44 x25 160 x1 x32 x43 x24 164 x2 x33 x54 x25 168 x32 x53 x24 x5 172 x1 x33 x54 x25 176 x1 x22 x33 x54 180 x1 x32 x54 x25 184 x1 x32 x53 x24 188 x31 x53 x24 x5 192 x31 x2 x23 x54 196 x31 x52 x24 x5 200 x31 x52 x23 x4 204 x32 x3 x44 x35 208 x32 x43 x34 x5 212 x1 x32 x44 x35 216 x1 x32 x43 x34 220 x31 x33 x44 x5 224 x31 x2 x44 x35 228 x31 x2 x43 x34 232 x31 x32 x3 x44 236 x31 x42 x34 x5 240 x31 x42 x33 x4 m an Lu 63 x1 x62 x34 67 x31 x3 x64 71 x33 x54 x25 75 x31 x54 x25 79 x31 x52 x24 83 x32 x33 x45 87 x31 x33 x44 91 x3 x34 x65 95 x1 x34 x65 99 x1 x32 x64 103 x2 x63 x4 x25 107 x1 x2 x24 x65 111 x1 x2 x63 x25 115 x1 x62 x3 x24 119 x32 x3 x24 x45 123 x1 x23 x44 x35 127 x1 x22 x33 x45 131 x1 x32 x24 x45 135 x31 x3 x44 x25 139 x31 x2 x23 x45 143 x31 x42 x4 x25 147 x1 x23 x4 x65 151 x2 x23 x54 x25 155 x1 x22 x53 x24 159 x1 x32 x43 x25 163 x2 x33 x24 x55 167 x32 x53 x4 x25 171 x1 x33 x24 x55 175 x1 x22 x33 x55 179 x1 x32 x24 x55 183 x1 x32 x53 x25 187 x31 x53 x4 x25 191 x31 x2 x23 x55 195 x31 x52 x4 x25 199 x31 x52 x23 x5 203 x32 x3 x34 x45 207 x32 x43 x4 x35 211 x1 x32 x34 x45 215 x1 x32 x43 x35 219 x31 x33 x4 x45 223 x31 x2 x34 x45 227 x31 x2 x43 x35 231 x31 x32 x3 x45 235 x31 x42 x4 x35 239 x31 x42 x33 x5 co 62 x1 x62 x35 66 x31 x3 x65 70 x31 x2 x63 74 x32 x53 x24 78 x31 x52 x25 82 x32 x34 x45 86 x31 x33 x45 90 x31 x32 x43 94 x2 x33 x64 98 x1 x32 x65 102 x2 x3 x64 x25 106 x1 x63 x4 x25 110 x1 x2 x23 x64 114 x1 x62 x3 x25 118 x2 x33 x24 x45 122 x1 x23 x34 x45 126 x1 x22 x44 x35 130 x1 x22 x43 x34 134 x31 x3 x24 x45 138 x31 x2 x44 x25 142 x31 x2 x43 x24 146 x2 x23 x4 x65 150 x1 x22 x3 x64 154 x1 x22 x53 x25 158 x1 x32 x44 x25 162 x2 x23 x54 x35 166 x32 x3 x54 x25 170 x1 x23 x54 x35 174 x1 x22 x54 x35 178 x1 x22 x53 x34 182 x1 x32 x23 x54 186 x31 x3 x54 x25 190 x31 x2 x54 x25 194 x31 x2 x53 x24 198 x31 x52 x3 x24 202 x2 x33 x44 x35 206 x32 x33 x44 x5 210 x1 x33 x44 x35 214 x1 x32 x33 x44 218 x31 x3 x44 x35 222 x31 x43 x34 x5 226 x31 x2 x33 x44 230 x31 x32 x44 x5 234 x31 x32 x43 x4 238 x31 x42 x3 x34 z 61 x1 x63 x34 65 x31 x4 x65 69 x31 x2 x64 73 x32 x53 x25 77 x31 x53 x24 81 x33 x34 x45 85 x31 x34 x45 89 x31 x32 x44 93 x2 x33 x65 97 x1 x33 x64 101 x2 x3 x24 x65 105 x1 x3 x64 x25 109 x1 x2 x23 x65 113 x1 x62 x4 x25 117 x2 x23 x44 x35 121 x32 x43 x4 x25 125 x1 x22 x34 x45 129 x1 x22 x43 x35 133 x1 x32 x23 x44 137 x31 x2 x24 x45 141 x31 x2 x43 x25 145 x31 x42 x3 x24 149 x1 x22 x3 x65 153 x1 x22 x54 x25 157 x1 x33 x44 x25 161 x2 x23 x34 x55 165 x32 x3 x24 x55 169 x1 x23 x34 x55 173 x1 x22 x34 x55 177 x1 x22 x53 x35 181 x1 x32 x23 x55 185 x31 x3 x24 x55 189 x31 x2 x24 x55 193 x31 x2 x53 x25 197 x31 x52 x3 x25 201 x2 x33 x34 x45 205 x32 x33 x4 x45 209 x1 x33 x34 x45 213 x1 x32 x33 x45 217 x31 x3 x34 x45 221 x31 x43 x4 x35 225 x31 x2 x33 x45 229 x31 x32 x4 x45 233 x31 x32 x43 x5 237 x31 x42 x3 x35 n va ac th si 40 • B5+ (11) = B5+ (3, 2, 1) ∪ B5+ (3, 4) ∪ ψ(B5 (3)), B5+ (3, 2, 1) tập hợp 40 đơn thức: x1 x2 x3 x24 x65 x1 x2 x23 x34 x45 x1 x2 x33 x24 x45 13 x1 x22 x3 x4 x65 17 x1 x22 x3 x54 x25 21 x1 x22 x43 x4 x35 25 x1 x32 x3 x24 x45 29 x1 x32 x43 x4 x25 33 x31 x2 x3 x24 x45 37 x31 x2 x43 x4 x25 x1 x2 x3 x64 x25 x1 x2 x23 x44 x35 10 x1 x2 x33 x44 x25 14 x1 x22 x3 x24 x55 18 x1 x22 x3 x64 x5 22 x1 x22 x43 x34 x5 26 x1 x32 x3 x44 x25 30 x1 x32 x43 x24 x5 34 x31 x2 x3 x44 x25 38 x31 x2 x43 x24 x5 x1 x2 x23 x4 x65 x1 x2 x23 x54 x25 11 x1 x2 x63 x4 x25 15 x1 x22 x3 x34 x45 19 x1 x22 x33 x4 x45 23 x1 x22 x53 x4 x25 27 x1 x32 x23 x4 x45 31 x1 x62 x3 x4 x25 35 x31 x2 x23 x4 x45 39 x31 x42 x3 x4 x25 x1 x2 x23 x24 x55 x1 x2 x23 x64 x5 12 x1 x2 x63 x24 x5 16 x1 x22 x3 x44 x35 20 x1 x22 x33 x44 x5 24 x1 x22 x53 x24 x5 28 x1 x32 x23 x44 x5 32 x1 x62 x3 x24 x5 36 x31 x2 x23 x44 x5 40 x31 x42 x3 x24 x5 43 x1 x22 x33 x34 x25 47 x31 x2 x23 x24 x35 44 x1 x32 x23 x24 x35 48 x31 x2 x23 x34 x25 lu B5+ (3, 4) tập hợp 10 đơn thức: an 41 x1 x22 x23 x34 x35 45 x1 x32 x23 x34 x25 49 x31 x2 x33 x24 x25 n va 42 x1 x22 x33 x24 x35 46 x1 x32 x33 x24 x25 50 x31 x32 x3 x24 x25 tn to • Bằng tính tốn đơn giản kết hợp kết [17], ta nhận ie gh B5 (3, 2, 1) = Φ(B4 (3, 2, 1)) Kết hợp điều với B4 (3, 4) = ∅, Giả thuyết 2.1.4 p với n = bậc 11 w Các đơn thức chấp nhận bậc 25 P50 d oa nl 4.3 an lu • B5 (25) = B50 (25) ∪ B5+ (25), đó: nf va B50 (25) = B50 (3, 3, 2, 1) tập hợp 520 đơn thức: a25,t , t 520, z at nh oi x73 x34 x15 x32 x74 x15 11 x32 x15 x5 15 15 x2 x3 x5 19 x15 x4 x5 15 23 x2 x3 x35 27 x31 x73 x15 31 x31 x72 x15 35 x31 x15 x4 15 39 x1 x3 x5 43 x71 x32 x15 47 x71 x15 x4 51 x15 x3 x5 15 55 x1 x2 x75 z gm @ x73 x15 x5 15 x2 x4 x5 12 x32 x15 x4 15 16 x2 x3 x4 20 x15 x4 x 15 24 x2 x73 x34 28 x31 x73 x15 32 x31 x72 x15 36 x31 x15 x3 15 40 x1 x3 x4 44 x71 x32 x15 48 x71 x15 x3 52 x15 x3 x4 15 56 x1 x2 x74 m co l an Lu x33 x15 x5 15 x3 x4 x5 10 x32 x73 x15 14 x72 x15 x5 18 x72 x15 x4 15 22 x2 x3 x4 26 x31 x15 x5 15 30 x1 x3 x4 34 x31 x15 x5 15 38 x1 x4 x5 42 x71 x15 x4 15 46 x1 x2 x5 50 x15 x4 x 15 54 x1 x73 x34 lm ul x33 x74 x15 x15 x x5 x32 x73 x15 13 x72 x34 x15 17 x72 x15 x 15 21 x2 x3 x5 25 x31 x74 x15 29 x31 x15 x5 33 x31 x72 x15 37 x71 x34 x15 41 x71 x15 x5 15 45 x1 x2 x3 49 x15 x4 x5 15 53 x1 x3 x35 n va ac th si 41 lu an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul 59 x15 x2 x4 63 x72 x74 x11 67 x72 x11 x5 71 x71 x73 x11 75 x71 x72 x11 79 x71 x11 x4 83 x2 x3 x4 x15 87 x72 x3 x24 x15 91 x15 x3 x4 x5 95 x1 x73 x24 x15 99 x1 x22 x74 x15 103 x1 x22 x15 x5 15 107 x1 x2 x3 x5 111 x1 x15 x4 x5 15 115 x1 x2 x3 x25 119 x71 x15 x4 x5 15 123 x1 x2 x3 x4 127 x71 x15 x3 x5 15 131 x1 x3 x4 x5 135 x15 x2 x3 x4 15 139 x1 x2 x3 x25 143 x2 x15 x4 x5 3 15 147 x2 x3 x4 x45 151 x32 x15 x4 x5 15 3 155 x2 x3 x4 x45 159 x1 x15 x4 x5 163 x1 x2 x3 x15 x3 167 x1 x15 x 171 x31 x33 x44 x15 175 x31 x15 x x 15 179 x1 x2 x4 x5 183 x31 x2 x15 x4 3 15 187 x1 x2 x3 x4 191 x31 x52 x15 x5 15 195 x1 x2 x3 x4 199 x31 x15 x3 x5 15 203 x1 x2 x3 x5 3 207 x15 x3 x4 x5 15 211 x1 x2 x63 x34 215 x15 x2 x3 x5 15 219 x1 x2 x3 x5 223 x2 x15 x4 x5 15 227 x1 x3 x4 x65 231 x1 x32 x63 x15 235 x1 x15 x3 x5 239 x15 x2 x3 x5 14 243 x2 x3 x4 x35 l gm @ 60 x15 x2 x3 64 x72 x11 x5 11 68 x2 x3 x4 72 x71 x73 x11 76 x71 x72 x11 80 x71 x11 x3 15 84 x2 x3 x4 x25 88 x72 x3 x15 x5 15 92 x2 x3 x4 x5 96 x1 x73 x15 x5 15 100 x1 x2 x4 x75 104 x1 x22 x15 x4 15 108 x1 x2 x3 x4 112 x1 x15 x4 x5 15 116 x1 x2 x3 x24 120 x71 x2 x24 x15 124 x71 x2 x15 x5 128 x71 x15 x3 x4 15 132 x1 x2 x4 x5 136 x15 x2 x3 x5 15 140 x1 x2 x3 x24 144 x32 x3 x64 x15 148 x32 x53 x24 x15 5 152 x32 x15 x4 x5 15 156 x2 x3 x4 x25 160 x1 x62 x34 x15 164 x1 x62 x15 x5 168 x1 x15 x3 x4 3 15 172 x1 x3 x4 x45 176 x31 x15 x4 x5 180 x1 x2 x3 x15 184 x31 x32 x44 x15 188 x31 x32 x15 x5 192 x31 x52 x23 x15 196 x31 x15 x4 x5 200 x31 x15 x3 x4 15 204 x1 x2 x3 x4 208 x15 x3 x4 x5 15 212 x1 x2 x4 x65 216 x15 x2 x3 x4 15 220 x1 x2 x3 x4 224 x15 x3 x4 x5 228 x1 x2 x4 x15 232 x1 x32 x15 x 15 236 x1 x2 x3 x4 240 x15 x2 x3 x4 3 244 x2 x3 x4 x12 m co an Lu 58 x15 x2 x5 62 x73 x11 x5 7 11 66 x2 x3 x4 70 x71 x11 x5 11 74 x1 x3 x4 78 x71 x11 x5 15 82 x2 x3 x4 x75 86 x2 x15 x4 x5 15 90 x2 x3 x4 x75 94 x1 x23 x15 x5 15 98 x1 x3 x4 x5 102 x1 x22 x73 x15 106 x1 x72 x15 x5 110 x1 x72 x15 x4 15 114 x1 x2 x3 x4 118 x71 x3 x15 x5 15 122 x1 x2 x3 x5 126 x71 x15 x4 x5 15 130 x1 x3 x4 x5 134 x15 x2 x3 x5 15 138 x1 x2 x4 x25 142 x2 x63 x15 x5 3 15 146 x2 x3 x4 x5 150 x32 x15 x4 x5 15 154 x2 x3 x4 x5 158 x1 x63 x15 x5 15 162 x1 x2 x3 x5 166 x1 x15 x4 x5 15 170 x1 x3 x4 x65 174 x31 x53 x15 x5 15 178 x1 x2 x4 x5 182 x31 x2 x15 x5 3 15 186 x1 x2 x3 x5 190 x31 x52 x24 x15 194 x31 x52 x15 x5 198 x31 x15 x4 x5 15 202 x1 x2 x3 x44 206 x15 x3 x4 x5 15 210 x1 x2 x3 x5 214 x15 x2 x4 x 15 218 x1 x2 x33 x44 222 x2 x33 x15 x5 15 226 x1 x3 x4 x5 230 x1 x32 x63 x15 234 x1 x15 x4 x 238 x15 x2 x4 x 14 242 x2 x3 x4 x75 z 57 x15 x2 x3 61 x73 x74 x11 65 x72 x73 x11 69 x71 x74 x11 73 x71 x11 x5 77 x71 x72 x11 81 x2 x23 x74 x15 x7 85 x2 x15 x 89 x72 x15 x4 x5 93 x1 x23 x74 x15 97 x1 x15 x4 x5 101 x1 x22 x73 x15 105 x1 x72 x24 x15 109 x1 x72 x15 x5 15 113 x1 x2 x3 x5 117 x71 x3 x24 x15 121 x71 x2 x15 x5 125 x71 x2 x15 x4 15 129 x1 x3 x4 x5 133 x15 x2 x4 x5 15 137 x1 x2 x3 x24 141 x2 x63 x34 x15 145 x32 x3 x15 x5 149 x32 x53 x15 x5 15 153 x2 x3 x4 x5 157 x1 x63 x34 x15 161 x1 x62 x15 x5 165 x1 x62 x15 x4 15 169 x1 x3 x4 x5 173 x31 x53 x24 x15 5 177 x31 x15 x4 x5 181 x31 x2 x63 x15 4 185 x31 x32 x15 x5 189 x31 x32 x15 x4 15 193 x1 x2 x3 x4 197 x31 x15 x4 x5 15 201 x1 x2 x3 x45 205 x15 x3 x4 x5 15 209 x1 x2 x4 x35 3 213 x15 x2 x4 x5 15 217 x1 x2 x33 x45 221 x2 x33 x64 x15 225 x1 x33 x64 x15 229 x1 x32 x15 x5 15 233 x1 x2 x3 x4 237 x15 x3 x4 x5 241 x2 x3 x4 x14 n va ac th si 42 lu an n va p ie gh tn to d oa nl w an lu l gm @ 248 252 256 260 264 268 272 276 280 284 288 292 296 300 304 308 312 316 320 324 328 332 336 340 344 348 352 356 360 364 368 372 376 380 384 388 392 396 400 404 408 412 416 420 424 x32 x13 x4 x5 x72 x33 x4 x14 x72 x73 x94 x25 x1 x14 x4 x5 x1 x2 x3 x14 x7 x1 x14 x x31 x33 x12 x5 x31 x13 x4 x5 3 x1 x2 x3 x12 x31 x72 x74 x85 x31 x72 x93 x65 x31 x13 x4 x5 13 x1 x2 x3 x34 x71 x33 x4 x14 x71 x73 x94 x25 x71 x2 x33 x14 x71 x32 x13 x5 x71 x32 x73 x84 x71 x72 x94 x25 x71 x72 x93 x24 x71 x11 x3 x4 x2 x73 x14 x5 14 x1 x3 x4 x5 x1 x72 x11 x4 11 x1 x2 x4 x5 x71 x2 x14 x5 11 x2 x3 x4 x5 x32 x53 x10 x5 x2 x3 x4 x5 x1 x62 x74 x11 x1 x62 x11 x5 x1 x72 x10 x4 14 x1 x2 x4 x5 x31 x52 x10 x5 10 x1 x2 x3 x4 x71 x93 x34 x65 x71 x32 x54 x10 x71 x32 x93 x65 x71 x92 x33 x64 x32 x13 x4 x5 7 x1 x2 x3 x10 x6 x31 x13 x x31 x72 x54 x10 x6 x31 x13 x x71 x2 x73 x10 m an Lu x32 x73 x94 x65 x72 x3 x34 x14 x72 x73 x4 x10 x1 x33 x74 x14 x1 x32 x73 x14 x1 x14 x3 x5 3 x1 x3 x4 x12 x7 x31 x13 x x31 x32 x12 x5 x31 x32 x12 x4 7 x x2 x3 x4 x31 x13 x4 x5 13 x1 x2 x3 x35 x71 x3 x34 x14 x71 x73 x4 x10 x71 x2 x34 x14 x71 x32 x74 x85 x71 x32 x73 x85 x71 x72 x4 x10 x71 x72 x93 x25 x71 x11 x3 x5 x2 x73 x11 x5 11 x x3 x4 x5 x1 x72 x11 x5 11 x x3 x4 x5 x71 x3 x14 x5 11 x x3 x4 x5 x32 x53 x74 x10 x72 x33 x94 x65 x1 x73 x10 x5 11 x x2 x3 x4 x1 x72 x10 x5 10 x x3 x4 x5 x31 x52 x74 x10 x31 x52 x10 x5 x71 x33 x94 x65 x71 x2 x10 x4 x71 x32 x53 x10 x71 x92 x33 x65 x32 x73 x54 x10 x1 x72 x74 x10 x31 x73 x54 x10 x31 x2 x14 x4 x31 x13 x4 x5 7 x1 x2 x4 x10 z at nh oi 247 251 255 259 263 267 271 275 279 283 287 291 295 299 303 307 311 315 319 323 327 331 335 339 343 347 351 355 359 363 367 371 375 379 383 387 391 395 399 403 407 411 415 419 423 co x32 x73 x74 x85 x32 x13 x4 x5 13 x2 x3 x4 x25 x72 x11 x4 x5 x1 x2 x4 x14 x3 x1 x14 x x1 x14 x3 x4 x31 x73 x94 x65 x31 x32 x74 x12 x31 x32 x12 x 7 x x2 x3 x5 x31 x13 x4 x5 13 x1 x2 x3 x74 x31 x13 x3 x4 13 x1 x3 x4 x25 x71 x11 x4 x5 x1 x2 x4 x14 x71 x32 x3 x14 x71 x32 x13 x4 x71 x72 x3 x10 x71 x11 x4 x5 x71 x11 x3 x4 14 x2 x3 x4 x35 x1 x72 x14 x5 14 x x2 x3 x4 x31 x72 x11 x4 14 x x2 x3 x4 x32 x3 x74 x14 x72 x33 x54 x10 x1 x63 x11 x5 11 x x2 x3 x5 x1 x72 x10 x5 10 x x3 x4 x5 x31 x2 x73 x14 x31 x52 x73 x10 x71 x33 x54 x10 x71 x2 x10 x5 x71 x32 x53 x10 x71 x92 x34 x65 x32 x3 x14 x5 7 10 x x x4 x5 x31 x3 x14 x5 14 x x x3 x5 x31 x72 x53 x10 x71 x3 x74 x10 z 246 250 254 258 262 266 270 274 278 282 286 290 294 298 302 306 310 314 318 322 326 330 334 338 342 346 350 354 358 362 366 370 374 378 382 386 390 394 398 402 406 410 414 418 422 lm ul x32 x33 x12 x5 x32 x13 x4 x5 7 x2 x3 x4 x85 x72 x11 x4 x5 14 x1 x3 x4 x5 x1 x14 x4 x5 14 x1 x2 x3 x35 x31 x73 x74 x85 x31 x13 x4 x5 x31 x32 x73 x12 x31 x72 x94 x65 x31 x72 x93 x64 x31 x13 x3 x5 x31 x13 x3 x5 7 x1 x3 x4 x85 x71 x11 x4 x5 14 x1 x2 x3 x4 x71 x32 x3 x14 x71 x32 x13 x5 x71 x72 x3 x10 x71 x11 x4 x5 x71 x11 x3 x5 11 x2 x3 x4 x45 x1 x72 x11 x5 14 x1 x2 x3 x5 x31 x72 x11 x5 14 x1 x2 x3 x5 x2 x73 x10 x5 10 x2 x3 x4 x5 x1 x63 x74 x11 x1 x62 x11 x5 x1 x62 x11 x4 14 x1 x3 x4 x5 x31 x2 x73 x14 x31 x52 x73 x10 x71 x3 x10 x5 10 x1 x2 x4 x5 x71 x32 x94 x65 x71 x32 x93 x64 x2 x73 x74 x10 x72 x3 x74 x10 x1 x72 x73 x10 x31 x2 x14 x5 x31 x72 x53 x10 x31 x13 x3 x4 nf va 245 249 253 257 261 265 269 273 277 281 285 289 293 297 301 305 309 313 317 321 325 329 333 337 341 345 349 353 357 361 365 369 373 377 381 385 389 393 397 401 405 409 413 417 421 n va ac th si 43 lu an n va p ie gh tn to 425 429 433 437 441 445 449 453 457 461 465 469 473 477 481 485 489 493 497 501 505 509 513 517 x71 x2 x73 x10 x32 x53 x14 x 7 x2 x3 x4 x5 x31 x53 x14 x5 14 x1 x2 x4 x5 x31 x52 x63 x11 x31 x52 x14 x4 x71 x73 x84 x35 x71 x32 x34 x12 x71 x32 x11 x 7 x1 x2 x3 x4 x31 x33 x54 x14 x31 x32 x53 x14 x71 x73 x34 x85 x32 x73 x34 x12 x31 x72 x33 x12 x32 x73 x4 x14 x1 x33 x14 x5 14 x1 x2 x3 x5 x1 x72 x33 x14 x31 x73 x4 x14 x31 x72 x3 x14 x71 x3 x64 x11 x71 x2 x63 x11 x32 x53 x34 x14 x72 x3 x11 x 5 14 x x x4 x5 x31 x52 x34 x14 x31 x52 x33 x14 x31 x52 x11 x5 11 x x3 x4 x5 x71 x2 x11 x5 11 x x2 x4 x5 x71 x32 x11 x4 3 14 x x x4 x5 x31 x33 x13 x5 3 14 x x x3 x4 x71 x72 x34 x85 x31 x73 x34 x12 x2 x33 x14 x 13 x x x4 x5 x1 x73 x34 x14 x1 x32 x14 x4 x1 x72 x33 x14 x31 x73 x13 x5 x31 x72 x3 x14 4 x71 x11 x4 x5 x71 x11 x4 x5 427 431 435 439 443 447 451 455 459 463 467 471 475 479 483 487 491 495 499 503 507 511 515 519 x32 x53 x64 x11 x72 x33 x34 x12 x31 x53 x64 x11 x31 x52 x64 x11 x31 x52 x33 x14 x31 x52 x11 x4 3 12 x x3 x4 x5 x71 x2 x11 x5 3 12 x x2 x3 x5 x71 x72 x84 x35 x32 x33 x13 x5 x31 x32 x54 x14 x31 x32 x13 x5 x71 x72 x33 x85 x31 x72 x34 x12 x2 x73 x34 x14 x72 x3 x64 x11 x1 x73 x64 x11 x1 x72 x34 x14 x1 x72 x63 x11 x31 x72 x4 x14 x31 x72 x13 x5 11 x x2 x4 x5 x71 x11 x3 x5 428 432 436 440 444 448 452 456 460 464 468 472 476 480 484 488 492 496 500 504 508 512 516 520 x32 x53 x11 x5 x72 x33 x11 x5 11 x1 x3 x4 x5 x31 x52 x11 x5 11 x1 x2 x3 x5 x31 x52 x14 x5 11 x1 x3 x4 x5 x71 x2 x11 x4 3 12 x1 x2 x3 x4 x71 x72 x83 x35 x72 x73 x34 x85 x31 x32 x13 x5 3 13 x1 x2 x3 x4 x71 x72 x33 x84 x31 x72 x33 x12 x2 x73 x64 x11 x72 x11 x4 x5 x1 x32 x14 x5 11 x1 x2 x4 x5 x1 x72 x63 x11 x31 x72 x13 x5 x31 x72 x13 x4 11 x1 x2 x3 x5 x71 x11 x3 x4 w 426 430 434 438 442 446 450 454 458 462 466 470 474 478 482 486 490 494 498 502 506 510 514 518 Các đơn thức chấp nhận bậc 25 P5+ d oa nl 4.4 lu nf va an • Ta có B5+ (25) = B5+ (3, 3, 2, 1) ∪ ψ(B5 (10)), với B5+ (3, 3, 2, 1) tập hợp 440 đơn thức chấp nhận được: b25,u , u 440, z at nh oi x1 x2 x63 x24 x15 x1 x22 x33 x44 x15 11 x1 x22 x15 x4 x5 15 x1 x32 x15 x4 x5 15 19 x1 x2 x3 x4 x65 23 x1 x15 x3 x4 x5 27 x1 x2 x3 x24 x15 31 x31 x42 x3 x24 x15 35 x31 x15 x3 x4 x5 39 x15 x2 x3 x4 x5 15 43 x1 x2 x3 x24 x45 47 x1 x22 x3 x15 x5 15 51 x1 x2 x3 x4 x5 z l gm @ x1 x2 x63 x15 x5 x1 x22 x33 x15 x5 15 12 x1 x2 x3 x4 x35 16 x1 x62 x3 x24 x15 20 x1 x15 x x4 x5 24 x1 x15 x3 x4 x5 15 28 x1 x2 x3 x4 x5 32 x31 x42 x3 x15 x5 15 36 x1 x2 x3 x4 x5 40 x15 x2 x3 x4 x5 15 44 x1 x2 x3 x44 x25 48 x1 x22 x53 x24 x15 52 x1 x32 x43 x24 x15 m co x1 x2 x23 x15 x5 6 x1 x2 x15 x4 x5 10 x1 x2 x3 x15 x5 14 x1 x32 x23 x15 x5 15 18 x1 x2 x3 x4 x5 22 x1 x15 x3 x4 x5 26 x1 x2 x3 x15 x5 30 x31 x2 x15 x4 x5 15 34 x1 x2 x3 x4 x45 38 x15 x2 x3 x4 x5 15 42 x1 x2 x3 x4 x25 46 x1 x22 x3 x64 x15 50 x1 x22 x15 x4 x lm ul x1 x2 x23 x64 x15 x6 x1 x2 x15 x x1 x22 x43 x34 x15 13 x1 x32 x23 x44 x15 17 x1 x62 x3 x15 x5 21 x1 x15 x3 x4 x 25 x1 x2 x3 x44 x15 x4 29 x31 x2 x15 x 33 x31 x42 x15 x4 x 37 x15 x2 x3 x x5 15 41 x1 x2 x3 x4 x45 45 x15 x2 x x4 x5 15 49 x1 x2 x3 x4 x5 an Lu n va ac th si 44 lu an n va p ie gh tn to d oa nl w lu nf va z at nh oi lm ul 55 x1 x15 x3 x4 x5 59 x15 x2 x3 x4 x5 63 x1 x2 x3 x24 x14 67 x1 x22 x43 x74 x11 71 x1 x32 x33 x44 x14 75 x1 x32 x12 x4 x5 79 x1 x2 x3 x4 x75 83 x31 x2 x53 x24 x14 87 x31 x2 x63 x13 x5 91 x31 x2 x14 x4 x 5 14 95 x1 x2 x3 x4 x25 99 x31 x52 x23 x11 x5 103 x1 x2 x3 x4 x25 107 x31 x72 x3 x12 x5 12 111 x1 x2 x3 x4 x5 115 x71 x2 x73 x24 x85 119 x71 x32 x33 x44 x85 123 x71 x72 x3 x24 x85 127 x1 x2 x63 x34 x14 131 x1 x62 x3 x34 x14 5 135 x1 x62 x11 x4 x5 139 x1 x72 x10 x4 x5 11 143 x1 x2 x3 x4 x5 147 x31 x2 x14 x4 x5 151 x1 x2 x3 x4 x14 155 x31 x42 x11 x x 159 x1 x2 x3 x4 x5 163 x31 x13 x3 x4 x5 167 x1 x2 x3 x10 x5 171 x71 x92 x3 x24 x65 175 x71 x92 x33 x44 x25 179 x1 x22 x73 x54 x10 183 x1 x22 x13 x4 x5 187 x1 x32 x63 x94 x65 191 x1 x62 x33 x34 x12 195 x1 x62 x73 x34 x85 199 x31 x2 x53 x10 x5 203 x31 x2 x12 x4 x5 3 207 x1 x2 x3 x4 x65 211 x31 x32 x53 x10 x5 10 215 x1 x2 x3 x4 x5 219 x31 x52 x23 x12 x5 223 x1 x2 x3 x4 x5 227 x1 x32 x63 x4 x14 231 x1 x72 x33 x10 x5 235 x31 x2 x33 x44 x14 239 x31 x2 x13 x4 x 243 x31 x72 x3 x44 x10 z l gm @ 56 x1 x15 x x4 x5 60 x15 x x3 x4 x5 64 x1 x2 x3 x14 x5 68 x1 x22 x43 x11 x5 14 72 x1 x2 x3 x4 x5 76 x1 x32 x12 x4 x5 80 x1 x2 x3 x4 x12 84 x31 x2 x63 x4 x14 88 x31 x2 x73 x12 x5 92 x31 x32 x43 x74 x85 96 x31 x52 x23 x44 x11 100 x31 x52 x73 x24 x85 104 x31 x52 x11 x4 x5 108 x31 x72 x83 x34 x45 112 x71 x2 x23 x74 x85 116 x71 x2 x10 x4 x5 3 120 x1 x2 x3 x4 x45 124 x71 x72 x3 x84 x25 128 x1 x2 x63 x11 x5 132 x1 x62 x33 x4 x14 136 x1 x72 x3 x64 x10 5 140 x1 x72 x10 x4 x5 144 x1 x2 x3 x4 x10 148 x31 x32 x3 x44 x14 152 x31 x42 x3 x11 x5 156 x31 x42 x11 x4 x5 160 x1 x2 x3 x4 x25 164 x31 x13 x3 x4 x5 168 x1 x2 x3 x12 x5 172 x71 x92 x23 x4 x65 176 x1 x2 x14 x4 x5 180 x1 x22 x73 x94 x65 184 x1 x32 x3 x14 x5 188 x1 x32 x73 x84 x65 192 x1 x62 x33 x54 x10 196 x1 x62 x73 x84 x35 200 x31 x2 x63 x34 x12 204 x31 x32 x3 x64 x12 208 x31 x32 x43 x11 x5 212 x31 x42 x33 x54 x10 216 x31 x52 x23 x34 x12 220 x31 x52 x33 x44 x10 224 x31 x52 x83 x34 x65 228 x1 x32 x63 x13 x5 10 232 x1 x2 x3 x4 x5 236 x31 x2 x33 x14 x5 3 14 240 x1 x2 x3 x4 x5 244 x31 x72 x3 x10 x5 m co an Lu n va 54 x1 x32 x15 x4 x5 58 x15 x2 x3 x4 x5 14 62 x1 x2 x3 x4 x5 66 x1 x2 x14 x4 x5 70 x1 x2 x3 x4 x75 74 x1 x32 x73 x12 x5 7 78 x1 x2 x3 x4 x5 82 x1 x72 x10 x4 x 11 86 x1 x2 x3 x4 x45 90 x31 x2 x12 x4 x5 94 x1 x2 x3 x4 x14 98 x31 x52 x23 x84 x75 102 x31 x52 x83 x24 x75 106 x31 x72 x3 x24 x12 110 x31 x72 x93 x44 x25 114 x71 x2 x33 x24 x12 118 x71 x32 x3 x12 x5 122 x71 x32 x12 x x5 14 126 x1 x2 x3 x4 x5 130 x1 x32 x3 x64 x14 134 x1 x62 x11 x x5 138 x1 x72 x33 x12 x5 14 142 x1 x2 x3 x4 x5 146 x31 x2 x14 x x5 3 13 150 x1 x2 x3 x4 x5 154 x31 x42 x33 x13 x5 158 x1 x2 x3 x4 x5 162 x31 x13 x3 x x5 10 166 x1 x2 x3 x4 x5 170 x71 x2 x10 x4 x5 174 x1 x2 x3 x4 x45 178 x1 x22 x73 x34 x12 182 x1 x22 x13 x x5 186 x1 x32 x53 x64 x10 190 x1 x62 x3 x14 x5 194 x1 x62 x33 x11 x5 3 12 198 x1 x2 x3 x4 x5 202 x31 x2 x12 x x5 3 206 x1 x2 x3 x4 x12 210 x31 x32 x53 x84 x65 214 x31 x42 x93 x34 x65 218 x31 x52 x23 x94 x65 222 x31 x52 x33 x10 x5 226 x31 x52 x10 x4 x5 13 230 x1 x2 x3 x4 x25 234 x1 x72 x93 x64 x25 238 x31 x2 x73 x10 x5 242 x31 x32 x13 x4 x5 an 53 x1 x32 x43 x15 x5 57 x1 x15 x3 x4 x5 61 x1 x2 x3 x74 x14 x7 65 x1 x2 x14 x 69 x1 x22 x73 x74 x85 73 x1 x32 x63 x44 x11 77 x1 x32 x14 x4 x5 81 x1 x72 x73 x24 x85 85 x31 x2 x63 x44 x11 x7 89 x31 x2 x12 x 93 x31 x32 x43 x84 x75 97 x31 x52 x23 x74 x85 101 x31 x52 x73 x84 x25 105 x31 x52 x14 x4 x5 109 x1 x2 x3 x4 x5 113 x71 x2 x23 x84 x75 117 x71 x32 x3 x24 x12 121 x71 x32 x83 x34 x45 125 x71 x72 x83 x4 x25 129 x1 x2 x73 x64 x10 133 x1 x62 x33 x13 x5 137 x1 x72 x3 x10 x5 14 141 x1 x2 x3 x4 x5 145 x31 x2 x73 x84 x65 149 x31 x32 x3 x14 x5 153 x31 x42 x33 x4 x14 157 x31 x72 x3 x64 x85 161 x31 x13 x3 x4 x5 13 165 x1 x2 x3 x4 x25 169 x71 x2 x10 x4 x5 173 x1 x2 x3 x4 x5 177 x1 x2 x14 x4 x5 12 181 x1 x2 x3 x4 x35 185 x1 x32 x33 x12 x5 12 189 x1 x2 x3 x4 x5 193 x1 x62 x33 x94 x65 197 x1 x62 x93 x34 x65 201 x31 x2 x63 x54 x10 205 x31 x32 x3 x12 x5 209 x31 x32 x53 x44 x10 213 x31 x42 x33 x94 x65 217 x31 x52 x23 x54 x10 221 x31 x52 x33 x64 x85 225 x31 x52 x10 x4 x5 10 229 x1 x2 x3 x4 x45 233 x1 x72 x63 x94 x25 237 x31 x2 x73 x64 x85 241 x31 x32 x43 x13 x5 ac th si 45 lu an n va d oa nl w lu nf va x31 x72 x43 x4 x10 x71 x2 x63 x94 x25 x71 x32 x43 x4 x10 x1 x2 x73 x10 x 3 14 x1 x2 x3 x4 x5 x1 x2 x33 x14 x5 14 x1 x2 x3 x4 x5 x1 x22 x33 x74 x12 x1 x22 x53 x64 x11 x1 x22 x53 x14 x5 13 x1 x2 x3 x4 x5 x1 x22 x13 x x5 13 x1 x2 x3 x4 x65 x1 x32 x43 x74 x10 x1 x32 x53 x10 x5 x1 x32 x63 x74 x85 x1 x32 x73 x44 x10 x3 x1 x32 x14 x x1 x62 x3 x10 x5 x1 x62 x11 x x5 x1 x2 x3 x4 x12 x1 x72 x23 x11 x x1 x2 x3 x4 x5 x1 x72 x73 x84 x25 x1 x72 x11 x4 x x1 x14 x3 x x5 14 x1 x2 x3 x4 x25 x31 x2 x23 x74 x12 x31 x2 x43 x64 x11 x31 x2 x53 x64 x10 x31 x2 x63 x94 x65 x31 x2 x14 x4 x 3 x1 x2 x3 x4 x85 x31 x32 x12 x4 x 5 x1 x2 x3 x4 x10 x31 x52 x33 x84 x65 x31 x52 x63 x94 x25 x31 x52 x10 x4 x5 12 x1 x2 x3 x4 x65 x31 x13 x3 x4 x5 x1 x2 x3 x14 x5 x71 x2 x23 x54 x10 x71 x2 x23 x13 x5 x71 x2 x63 x34 x85 x71 x2 x93 x24 x65 z at nh oi lm ul l gm @ 248 252 256 260 264 268 272 276 280 284 288 292 296 300 304 308 312 316 320 324 328 332 336 340 344 348 352 356 360 364 368 372 376 380 384 388 392 396 400 404 408 412 416 420 424 m 247 251 255 259 263 267 271 275 279 283 287 291 295 299 303 307 311 315 319 323 327 331 335 339 343 347 351 355 359 363 367 371 375 379 383 387 391 395 399 403 407 411 415 419 423 co x31 x72 x43 x94 x25 x71 x2 x93 x64 x25 x71 x32 x43 x94 x25 x1 x62 x3 x11 x5 x1 x2 x3 x4 x5 x1 x2 x63 x64 x11 x1 x22 x3 x74 x14 x1 x22 x33 x12 x5 10 x1 x2 x3 x4 x5 x1 x22 x73 x4 x14 x1 x22 x12 x4 x5 x1 x32 x23 x54 x14 x1 x32 x33 x64 x12 x1 x32 x43 x10 x5 14 x1 x2 x3 x4 x5 x1 x32 x63 x84 x75 x1 x32 x12 x4 x5 x1 x32 x14 x4 x5 x1 x2 x3 x4 x85 x1 x72 x3 x24 x14 x1 x72 x23 x44 x11 x1 x72 x23 x12 x5 x x2 x3 x4 x5 x1 x72 x83 x34 x65 x1 x72 x14 x4 x5 x1 x14 x3 x4 x5 14 x1 x2 x3 x4 x25 x31 x2 x23 x12 x5 10 x1 x2 x3 x4 x5 x31 x2 x53 x14 x5 12 x x2 x3 x4 x5 x31 x32 x43 x34 x12 x31 x32 x53 x12 x5 x31 x42 x3 x74 x10 x31 x52 x23 x4 x14 x31 x52 x33 x12 x5 x x2 x3 x4 x5 x31 x52 x11 x4 x5 12 x1 x2 x3 x4 x65 x31 x13 x3 x4 x5 x1 x2 x3 x4 x14 x71 x2 x23 x94 x65 x71 x2 x33 x44 x10 x71 x2 x63 x84 x35 x71 x2 x11 x4 x5 an Lu x31 x72 x33 x84 x45 x71 x2 x63 x4 x10 x71 x32 x3 x10 x5 x71 x32 x93 x44 x25 x31 x32 x73 x84 x45 x1 x32 x63 x11 x5 10 x x2 x3 x4 x5 x1 x22 x33 x54 x14 x1 x22 x53 x34 x14 x1 x22 x53 x11 x5 11 x x2 x3 x4 x5 x1 x22 x13 x4 x5 12 x1 x2 x3 x4 x75 x1 x32 x43 x64 x11 x1 x32 x43 x14 x5 x1 x32 x63 x54 x10 x1 x32 x73 x24 x12 x1 x32 x14 x4 x5 10 x x2 x3 x4 x x1 x62 x73 x94 x25 x1 x72 x23 x4 x14 x1 x72 x23 x94 x65 x1 x72 x33 x44 x10 x1 x72 x63 x84 x35 x1 x72 x11 x4 x5 x1 x14 x3 x4 x5 14 3 x1 x2 x3 x4 x45 x31 x2 x23 x54 x14 x31 x2 x33 x12 x5 x31 x2 x43 x14 x5 x x2 x3 x4 x5 x31 x2 x13 x4 x5 3 x1 x2 x3 x4 x12 x4 x31 x32 x12 x x31 x42 x73 x94 x25 x31 x52 x33 x24 x12 x31 x52 x63 x34 x85 x31 x52 x10 x x5 x1 x2 x3 x4 x5 x31 x13 x3 x x5 x1 x2 x3 x4 x14 x71 x2 x23 x44 x11 x71 x2 x23 x12 x5 x71 x2 x33 x84 x65 x71 x2 x83 x34 x65 z 246 250 254 258 262 266 270 274 278 282 286 290 294 298 302 306 310 314 318 322 326 330 334 338 342 346 350 354 358 362 366 370 374 378 382 386 390 394 398 402 406 410 414 418 422 an x31 x72 x33 x44 x85 x71 x2 x33 x10 x5 10 x x x3 x4 x5 x71 x32 x93 x24 x45 x31 x32 x33 x12 x5 x31 x32 x73 x44 x85 x1 x2 x63 x74 x10 x1 x22 x3 x14 x 13 x x x3 x4 x5 x1 x22 x53 x10 x5 11 x x2 x x4 x5 x1 x22 x12 x4 x5 x1 x2 x3 x4 x12 x1 x32 x43 x34 x14 x1 x32 x43 x11 x5 x1 x32 x63 x34 x12 x1 x32 x63 x12 x5 x1 x32 x13 x4 x5 6 x1 x2 x3 x4 x11 x1 x62 x73 x4 x10 x1 x72 x3 x14 x5 x1 x72 x23 x54 x10 x1 x72 x23 x13 x5 x1 x72 x63 x34 x85 x1 x72 x93 x24 x65 x1 x14 x3 x4 x5 14 x1 x2 x3 x4 x65 x31 x2 x3 x64 x14 x31 x2 x23 x13 x5 x31 x2 x43 x10 x5 x x2 x x4 x5 x31 x2 x73 x24 x12 x31 x32 x43 x54 x10 x31 x32 x12 x4 x5 10 x x2 x x4 x5 x31 x52 x23 x13 x5 10 x x2 x3 x x5 x31 x52 x93 x64 x25 x31 x72 x53 x24 x85 x31 x12 x3 x4 x5 13 x1 x2 x3 x4 x25 x71 x2 x23 x34 x12 x71 x2 x23 x11 x5 x71 x2 x33 x64 x85 x71 x2 x73 x84 x25 p ie gh tn to 245 249 253 257 261 265 269 273 277 281 285 289 293 297 301 305 309 313 317 321 325 329 333 337 341 345 349 353 357 361 365 369 373 377 381 385 389 393 397 401 405 409 413 417 421 n va ac th si 46 425 429 433 437 x71 x2 x11 x4 x5 x71 x32 x53 x24 x85 x71 x82 x3 x34 x65 x71 x92 x23 x34 x45 426 430 434 438 x71 x2 x14 x4 x5 x71 x32 x53 x84 x25 x71 x82 x33 x4 x65 x71 x11 x3 x4 x5 427 431 435 439 x71 x32 x3 x64 x85 x71 x32 x83 x4 x65 x71 x82 x33 x54 x25 x71 x11 x x4 x5 x71 x32 x3 x84 x65 x71 x32 x83 x54 x25 x71 x92 x3 x64 x25 x71 x11 x3 x4 x 428 432 436 440 • Bằng tính tốn trực tiếp, sử dụng kết [17], ta có |Φ(B4 (3, 3, 2, 1))| = 361 and Φ(B4 (3, 3, 2, 1)) ⊂ B5 (3, 3, 2, 1) Nếu ω véctơ trọng lượng bậc 25 ω 6= (3, 3, 2, 1) B4 (ω) = ∅ Nếu s > B4 (5.(2s − 1) + 10.2s ) = ∅ Do đó, Giả thuyết 2.1.4 với n = dạng bậc 5.(2s − 1) + 10.2s với s số nguyên không âm lu an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si 47 Kết luận Trong luận văn này, chúng tơi tìm hiểu trình bày kết sau: • Trình bày tổng quan đại số Steenrod mod-2, A tác động lu đại số đa thức Pn = F2 [x1 , , xn ] an n va • Trình bày số kiến thức toán hit phép chứng minh chi tiết đại số đa thức Pn môđun đại số Steenrod gh tn to kết báo [18] số tính chất phần tử sinh p ie • Trình bày phép chứng minh chi tiết kết [18] toán hit đối w với đại số P5 dạng bậc t(2s − 1) + 2s m với t = n = 5, m = 10 s số d oa nl nguyên không âm tùy ý nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si 48 Tài liệu tham khảo [1] J Adem, The interation of Steenrod squares in algebraic topolog, Proc Nat Acad Sci U.S.A., 38, 720-726 (1952) [2] H Cartan, Une théories axiomatique des carrés de Steenrod, C R Acad Sci lu an Paris, Ser I, 230, 425-427 (1950) n va [3] M C Crabb and J R Hubbuck, Representations of the homology of BV tn to and the Steenrod algebra II, algebraic topology: new trend in localization p ie gh and periodicity Prog Math., 136, 143-154 (1996) [4] A S Janfada, R.M.W Wood, The hit problem for symmetric polynomials d oa (2002) nl w over the Steenrod algebra, Math Proc Camb Philos Soc., 133, 295–303 lu an [5] N H V Hưng, The cohomology of the Steenrod algebra and representations nf va of the general linear groups, Trans Amer Math Soc., 357, 4065-4089 (2005) lm ul [6] M Kameko, Products of projective spaces as Steenrod modules, PhD Thesis, z at nh oi The Johns Hopkins University, 1990 [7] Robert E Mosher and Martin C Tangora, Cohomology operations and applications in homotopy theory, Harper and Row, Publishers, (1968) z @ gm [8] M F Mothebe, Generators of the polynomial algebra F2 [x1 , x2 , , xn ] as a m co ester, 1997 l module over the Steenrod algebra, Ph.D Thesis, The University of Manch- 186, 334-362 (2004) an Lu [9] T N Nam, A-générateurs génériques pour l’algèbre polynomiale, Adv Math., n va ac th si 49 [10] F P Peterson, Generators of H ∗ (RP ∞ ×RP ∞ ) as a module over the Steenrod algebra, Abstracts Amer Math Soc.,833, 55-89 (1987) [11] Đ V Phúc and N Sum, On the generators of the polynomial algebra as a module over the Steenrod algebra, C.R.Math Acad Sci Paris, Ser I, 353, 1035-1040 (2015) [12] S Priddy, On characterizing summands in the classifying space of a group, I, Amer Jour Math., 112, 737-748 (1990) [13] J P Serre, Cohomologie modulo des complexes d’Eilenberg-MacLane, lu Comment Math Helv., 27, 198-232 (1953) an n va [14] W M Singer, The transfer in homological algebra, Math Zeit., 202, 493- tn to 523 (1989) gh [15] W M Singer, On the action of the Steenrod squares on polynomial algebra, p ie Proc Amer Math Soc., 111, 577-583 (1991) nl w [16] N E Steenrod, Products of cocycles and extensions of mappings, Ann of d oa Math., 48, 290-320 (1947) an lu [17] N Sum, On the Peterson hit problem, Adv Math., 274, 432-489 (2015) nf va [18] N Sum, On a construction for the generators of the polynomial alge- lm ul bra as a module over the Steenrod algebra, In: Singh M., Song Y., Wu J (eds) Algebraic Topology and Related Topics Trends in Mathematics z at nh oi Birkhăauser/Springer, Singapore (2019), 265-286 [19] N K Tín, The admissible monomial basis for the polynomial algebra of five z gm @ variables in degree 2s+1 + 2s − 5, East-West J Math., 16, 34-46 (2014) C R Acad Sci Paris, Ser I, 354, 940-943 (2016) m co l [20] N K Tín and N Sum, Kameko’s homomorphism and the algebraic transfer, an Lu [21] R M W Wood, Steenrod squares of polynomials and the Peterson conjecture, Math Proc Cambridge Phil Soc., 105, 307-309 (1989) n va ac th si