Tích các nhóm

LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, em kính gửi lời cảm ơn chân thành tri ân sâu sắc thầy, cô Trường Đại Học Hồng Đức Đặc biệt thầy, cô Khoa Khoa Học Tự Nhiên nhiệt tình giảng dạy, tạo điều kiện cho em suốt thời gian qua để thực tốt khóa luận Để hồn thành khóa luận, em xin chân thành cảm ơn đến giảng viên hướng dẫn TS.Phạm Thị Cúc tận tình giúp đỡ, truyền đạt kiến thức hướng dẫn em suốt thời gian qua Nếu khơng có lời hướng dẫn, dạy bảo em nghĩ khóa luận khó thực Một lần em xin chân thành cảm ơn Trong q trình học tập làm khóa luận em khó tránh khỏi sai sót, mong thầy, bỏ qua Đồng thời trình độ kinh nghiệm em cịn hạn chế nên khóa luận khơng thể tránh khỏi thiếu sót định mà thân chưa thấy Em mong nhận ý kiến đóng góp thầy, để khóa luận hồn chỉnh Cuối cùng, em xin kính chúc thầy, dồi sức khỏe ngày thành công nghiệp cao quý Em xin chân thành cảm ơn! Thanh Hóa, ngày 09 tháng 12 năm 2017 Sinh viên Trần Hải Yến i MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN i MỤC LỤC ii MỞ ĐẦU I LỜI NÓI ĐẦU II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU III NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU IV PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU V CẤU TRÚC KHÓA LUẬN CHƢƠNG I: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Nhóm 1.2 Nhóm nhóm chuẩn tắc 1.2.1 Nhóm 1.2.2 Nhóm chuẩn tắc 1.3 Đồng cấu nhóm 10 1.4 Ảnh hạt nhân đồng cấu nhóm 13 1.5 Tập tự đẳng cấu nhóm 14 CHƢƠNG 2: TÍCH CÁC NHĨM 20 1.1 Tích trực tiếp 20 1.1.1 Định nghĩa 20 1.1.2 Ví dụ 23 1.1.3 Một số tính chất 29 1.2 Tích nửa trực tiếp 38 KẾT LUẬN 42 TÀI LIỆU THAM KHẢO 43 ii MỞ ĐẦU I LỜI NÓI ĐẦU Nhóm cấu trúc phổ biến số cấu trúc trừu tƣợng Hiện lý thuyết nhóm phần phát triển đại số có nhiều ứng dụng lĩnh vực khoa học khác Nhóm tập hợp với phép tốn hai ngơi có tính chất kết hợp, có phần tử đơn vị phần tử tập hợp khả nghịch Từ ví dụ đơn giản nhóm nhƣ nhóm cộng số nguyên nhóm trừu tƣợng khác có mặt khắp nơi nhiều lĩnh vực bên bên ngồi tốn học Việc xây dựng cấu trúc từ cấu trúc biết hƣớng nghiên cứu tự nhiên phổ biến toán học Xuất phát từ cấu trúc nhóm, ngƣời ta xây dựng nên nhiều cấu trúc đại số phức tạp nhƣ: vành, trƣờng, đại số, … ngƣời ta sâu nghiên cứu số lớp nhóm đặc biệt nhƣ: nhóm aben, nhóm xyclic, nhóm hữu hạn, … Ngƣời ta có nhiều khác để xây dựng nên nhóm từ nhóm biết Một phƣơng pháp xây dựng đơn giản xây dựng nên nhóm từ hai nhóm mà khơng có tƣơng tác chúng Đó đƣợc gọi tích trực tiếp hai nhóm Tích trực tiếp số nhóm tích nhóm Việc nghiên cứu định nghĩa, tính chất đặc trƣng nhóm tích giúp em hiểu rõ khái niệm trừu tƣợng, ứng dụng quan trọng nhóm tốn học Đó lý em chọn đề tài “ Tích nhóm ” II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Tìm hiểu tích nhóm, tích trực tiếp, nửa trực tiếp III NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU Tìm hiểu, nghiên cứu tích trực tiếp, nửa trực tiếp: định nghĩa, tính chất đặc trƣng IV PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Đọc, phân tích tài liệu, ví dụ có liên quan đến tích nhóm từ xếp tính chất, bổ đề, định lý chứng minh chúng V CẤU TRÚC KHĨA LUẬN Ngồi phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo nội dung khóa luận gồm chƣơng: Chƣơng 1: Kiến thức chuẩn bị Chƣơng này, em trình bày kiến thức nhóm, nhóm nhóm chuẩn tắc, đồng cấu nhóm, ảnh hạt nhân đồng cấu nhóm, tập tự đẳng cấu nhóm số định lý, bổ đề liên quan đến vấn đề nghiên cứu Chƣơng 2: Tích nhóm Trong chƣơng này, em giới thiệu số cấu trúc nhóm qua ví dụ Trình bày định nghĩa, tính chất số ví dụ tích trực tiếp, tích nửa trực tiếp CHƢƠNG I: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Nhóm Định nghĩa: Vị nhóm  G,  đƣợc gọi nhóm với phần tử a  G tồn phần tử a'  G cho a a'  a' a  e Nói cách khác , tập hợp G với phép tốn hai ngơi điều kiện sau đƣợc thỏa mãn: i đƣợc gọi nhóm Phép toán kết hợp: a (b c)  (a b) c, với a,b,c thuộc G ii Trong phần tử G có phần tử e ( gọi đơn vị) cho e a  a e  a, với a  G iii Đối với a  G tồn phần tử a'  G cho a a '  a ' a  e Nhóm G đƣợc gọi giao hốn hay abel ab  ba với a, b  G Bổ đề 1.1.1 Giả sử nửa nhóm G có đơn vị e Khi phần tử a ' có tính chất aa '  a ' a  e a  G Chứng minh Giả sử ngồi phần tử a ' cịn có phần tử a '' cho aa ''  a '' a  e Khi đó: a ''  a '' e  a ''(aa ')  (a '' a)a '  ea '  a ' Phần tử a ' đƣợc gọi nghịch đảo a kí hiệu a 1 Bây ta nói nhóm G vị nhóm mà phần tử cửa có nghịch đảo (hay phần tử khả nghịch) Bổ đề 1.1.2 Đối với phần tử a, b nhóm G ta có i (a 1 )1  a; ii (ab)1  b1a 1 Chứng minh i Do aa 1  e nên a phần tử nghịch đảo a 1 Từ tính chất ii nghịch đảo ta suy (a 1 )1  a Rõ ràng ta có (ab)(b1a 1 )  a(bb 1 )a 1  aa 1  e (b1a 1 )(ab)  b1 (a 1a)b  b 1b  e nên phần tử b1a 1 phần tử nghịch đảo ab Hệ 1.1.3 Trong nhóm G luật giản ước ln ln thực được, nghĩa ax  ay kéo theo x = y xb  yb kéo theo x = y, với a, b  G Chứng minh Nhân a 1 vào bên trái vế đẳng thức thứ ta đƣợc a 1 (ax)  a 1 (ay )  (a 1a) x  (a 1a) y  x  y Điều lại chứng minh tƣơng tự Chúng ta kí hiệu a k , k  tích a với k lần Tƣơng tự, ta ký hiệu a  k  (a 1 )k , với k  Sau ta viết a đơn vị Nhƣ ta xác định a k với k  , ta có luật lũy thừa: a k a m  a k  m ,(a k )m  a km a  G k , m Hơn nữa, ab  ba (ab)k  a k bk , k  Tuy nhiên điều không ab  ba Sau điều kiện tƣơng đƣơng với định nghĩa nhóm Định lí 1.1.4 Một nửa nhóm G nhóm hai điều kiện sau thỏa mãn: a Tồn phần tử e  G cho ea  a với a  G ( e gọi đơn vị trái G) b Với x  G tồn x '  G cho x ' x  e ( x ’ gọi nghịch đảo trái x ) Chứng minh    Điều hiển nhiên    Giả sử e đơn vị trái nửa nhóm G Ta chứng tỏ e đơn vị G Lấy phần tử tùy ý a  G Khi tồn b  G để ba  e , ta lại có phần tử c  G để cb  e Khi ab  eab   cb  ab   c  ba  b  cb  e Điều chứng tỏ b nghịch đảo phải a Khi ta có: ae  a(ba)  (ab)a  ea  a Nhƣ e đơn vị phải đơn vị G Đồng thời nghịch đảo trái phần tử tùy ý a nghịch đảo hai phía Vậy G nhóm Hệ 1.1.5 Nửa nhóm G nhóm phương trình ax = b ya = b có nghiệm G với a, b  G Chứng minh    Nếu G nhóm phƣơng trình lần lƣợt có nghiệm x  a 1b, y  ba 1   Lấy phần tử a  G Gọi e nghiệm phƣơng trình ya  a Ta chứng tỏ e đơn vị trái G Thật vậy, c phần tử G tồn phần tử u  G nghiệm phƣơng trình ax  c Khi ec  e  au    ea  u  au  c Bây với phần tử a  G nghiệm phƣơng trình ya  e nghịch đảo trái a Vậy G nhóm 1.2 Nhóm nhóm chuẩn tắc 1.2.1 Nhóm Định nghĩa: Tập đóng H nửa nhóm nhân G đƣợc gọi nhóm G nhóm phép tốn cảm sinh phép nhân G Ví dụ: Trong nhóm n  ,   tập n   x / x  na, a   nhóm với Định lí 1.2.1.1 Tập H nhóm G nhóm điều kiện sau thỏa mãn: i Nếu a, b  H ab  H , ii e H , Nếu a  H a 1  H iii Chứng minh    Điều kiện (i) chứng tỏ H tập đóng phép nhân G phép nhân cảm sinh H kết hợp Các điều kiện (ii) (iii) chứng tỏ H nhóm , H nhóm G    Giả sử nhóm H có đơn vị eH Khi eH2  eH  eeH Thực luật giản ƣớc G ta có eH  e Bây giả sử a  H có nghịch đảo G nghịch đảo H lần lƣợt a 1 , c Khi aa 1  e  ac Thực luật giản ƣớc G ta có a 1  c Cuối cùng, H nhóm nên tập đóng có (i) Mệnh đề 1.2.1.2 Nếu H tập hữu hạn khác rỗng nhóm G ab  H với a, b  H , H nhóm G Chứng minh Chúng ta chứng tỏ phần tử đơn vị e thuộc H, a  H , nghịch đảo thuộc H Do H tập đóng nên phần tử a, a , a3 , thuộc vào H Nhƣng H tập hữu hạn nên phần tử không thật phân biệt, phải có  a j  i  j Giản ƣớc hai vế cho a i ta đƣợc e  a j i , điều chứng tỏ e  H Bây ta có a 1  a j i 1  H , j  i   Hệ 1.2.1.3 Giả sử H nhóm khác rỗng nhóm G Khi điều kiện sau là tương đương: i H nhóm G ii Nếu a, b  H a 1  H ab  H iii Nếu a, b  H ab1  H Chứng minh  i    ii  Định lí 1.2.1  ii    iii  Nếu a, b  H b1  H ab1  H  iii    i  Lấy phần tử a  H Khi e  aa 1  H Lại có với e, a  H ta có a 1  ea 1  H Cuối cùng, với a, b  H ta có b1  H ab  a(b1 )1  A Vậy H nhóm G Hệ 1.2.1.4 Trong nhóm G tập hợp tất lũy thừa a n  n   phần tử a lập thành nhóm con, gọi nhóm xyclic sinh a Định nghĩa 1) Phần tử a nhóm G gọi cấp vơ hạn không tồn số nguyên dƣơng n cho a n  e Phần tử a đƣợc gọi cấp hữu hạn m m số nguyên dƣơng bé cho a m  e 2) Lực lƣợng nóm G, kí hiệu | G |, đƣợc gọi cấp nhóm G đƣợc gọi nhóm hữu hạn | G | hữu hạn, đƣợc gọi nhóm vơ hạn | G | vơ hạn Ví dụ Nhóm 1, 1, i, i nhóm xyclic cấp sinh i Nhóm phép quay đa giác n đỉnh mặt phẳng nhóm xyclic cấp n, sinh phép quay góc 2 / n radian Nhóm kí hiệu Cn Bổ đề 1.2.1.5 Cho G nhóm với phần tử đơn vị e a  G phần tử có cấp n Khi a k  e k chia hết cho n Chứng minh Điều kiện đủ hiển nhiên Bây ta chứng minh điều kiện cần Giả sử k số nguyên cho a k  e Theo định lí phép chia với dƣ ta có k  nq  r ,0  r  n Do a n  e nên từ đẳng thức suy a k  a r , a r  e Nếu r  điều trái với tính bé n Bởi vậy, phải có r  , ta có điều phải chứng minh 1.2.2 Nhóm chuẩn tắc Định nghĩa      1 1 b2      1 1             1 1     b3      1 1          Vậy b có cấp Ta có  1    1 ab      1 1   1       Bằng quy nạp ta chứng minh đƣợc 1 n  0 1  ab n   Vậy ab có cấp vơ hạn      hai phần tử khác khơng có cấp vô hạn nhƣng a  b   0,0   e có cấp hữu hạn Ngƣợc lại, a  1,1 , b  1, 1  1.1.3 Một số tính chất Mệnh đề 1.1.3.1 Nếu G phân tích thành tích trực tiếp hai nhóm chuẩn tắc A,B phần tử A giao hoán với phần tử B phần tử G viết cách dạng ab, a  A, b  B Chứng minh Với phần tử tùy ý a  A, b  B ta cần chứng minh ab  ba Muốn ta xét phần tử c  aba 1b1 Do A nhóm chuẩn tắc nên ba 1b1  S , c  A Tƣơng tự, c  B c  A B Do A ab  ba 29 B  e nên c = e, nghĩa Do G  AB nên phần tử g G đƣợc viết dƣới dạng g  ab với a  A, b  B Giả sử g có biểu diễn g  uv, u  A, v  B Khi ab  uv Từ đó, bv 1  a 1u phần tử thuộc A B e Điều chứng tỏ a  u, b  v Mệnh đề 1.1.3.2 a) Giả sử M N nhóm chuẩn tắc G, M N  e Khi với m  M n  N mn  nm b) MN  mn : m  M , n  N  nhóm  m, n  mn đẳng cấu từ M  N vào MN c) Nếu MN  G G  M  N Chứng minh: Ta có mn  nm  mnm1n1  e Nhận xét rằng: mnm1n1  (mnm1 )n  N , Vì N nhóm chuẩn tắc Mặt khác: mnm1n1  m(nm1n1 )  M , Vì M nhóm chuẩn tắc giao điểm M N giao tầm thƣờng nên: mnm1n1  e Bây dễ dàng kiểm tra MN nhóm  m, n  mn phép đồng cấu từ M  N vào MN Đồng cấu đơn ánh, mn  e m  n1  M N  e Khẳng địng (c) rõ ràng Kí hiệu 1.1.3.3 Khi G có nhóm N M cho N M  e NM  G , ta viết G  N  M để biểu đạt G  N  M N M nhóm G 30 Định lí Nhóm G phân tích thành tích trực tiếp nhóm chuẩn tắc A B ánh xạ:  : A B  G  a, b  ab đẳng cấu Chứng minh    Giả sử G phân tích đƣợc thành tích trực tiếp nhóm chuẩn tắc A B Trƣớc hết thử lại  đồng cấu Do G  AB nên  toàn cấu Nếu  a, b  phần tử thuộc hạt nhân Ker ab  e Do cách viết e  G , ta suy a  b  e Bởi Ker  e ,e  ,  đơn cấu    Bây giả sử  đẳng cấu Nếu g phần tử tùy ý thuộc G tồn  a, b   A  B cho    a, b    ab  g  Điều có nghĩa G  AB Nếu c phần tử thuộc giao A  B  c, c 1  cc 1  e Do  đơn cấu nên điều kéo theo c  c1  e Vậy A B  e, G phân tích đƣợc thành tích trực tiếp A B Chú ý thuật ngữ kí hiệu 1) Do định lí nói trên, G phân tích đƣợc thàng tích trực tiếp A B kí hiệu A  B mà khơng sợ có hiểu lầm Sự phân biệt hai khái niệm đƣợc hiểu tình cụ thể 31 2) Nếu G nhóm aben phép tốn nhóm G ký hiệu + ta ký hiệu G  A  B thay cho A  B gọi G tổng trực tiếp A B Mệnh đề 1.1.3.4 Nếu f : A  X , g : B  Y hai đồng cấu nhóm ánh xạ A B  X Y  a, b   f  a  , g b  đồng cấu kí hiệu f  g Mệnh đề 1.1.3.5 Nếu A,B nhóm chuẩn tắc nhóm X, Y tích trực tiếp A  B nhóm chuẩn tắc tích trực tiếp X  Y  X  Y  /  A  B    X / A   Y / B  Chứng minh Xét phép chiếu tự nhiên  :Y  Y / B  : X  X / A, x x y y Khi kiểm tra đƣợc      : X  Y   X / AY / B   x, y  đồng cấu Hơn nữa, dễ thấy  x, y   toàn cấu Cặp  x, y  thuộc hạt nhân Ker     x, y   x, y   eA , eB  Điều nghĩa x  A, y  B Vậy Ker   A  B Theo định lý đồng cấu ta có  X  Y  / Kqr  Im  Đó điều phải chứng minh 32 Bổ đề 1.1.3.6 Giả sử a b phần tử nhóm aben, có cấp r s với r s nguyên tố Khi ab có cấp rs Chứng minh Gọi A B tƣơng ứng nhóm sinh a b Vì ab  ba , ta có  ab rs  a rsbrs   a r  Giả sử  ab k s b  s r  e s er  e  e , ta cần rs chia hết cho k Rõ ràng a k  bk  A B Vì A B nhóm A B nên cấp chia hết A  r B  s , theo định lí Lagrange Vì r s ngyên tố nên A B  Từ suy a k  e, bk  e, r chia hết k s chia hết k Do đó, rs chia hết k Mệnh đề 1.1.3.7 Cho hai nhóm G H Nếu G  H nhóm xyclic G H nhóm xyclic Chứng minh: Giả sử  g , h  phần tử sinh nhóm G  H Ta chứng tỏ G, H nhóm xyclic tƣơng ứng sinh g h Thật vậy, lấy x  G Khi ta có :  x, eH   G  H Do tồn số nguyên n cho  x, eH    g , h n Từ suy x  g n Vậy G nhóm xyclic sinh g Chứng minh tƣơng tự, ta đƣợc H nhóm xyclic sinh h 33 Mệnh đề 1.1.3.8 Cho X Y nhóm tương ứng có cấp m n.Thì X  Y nhóm xyclic m n nguyên tố Chứng minh: Giả sử X  Y nhóm xyclic  m, n   d  Khi với  x, y   X  Y ta có:  x, y  mn d    xm   n d m yn d   ,      eX , eY    Từ suy nhóm X  Y , phần tử có cấp nhỏ mn , khơng có phần tử có cấp mn Điều trái d với giả thiết X  Y nhóm xyclic có cấp mn Vậy m n nguyên tố Đảo lại, giả sử m,n nguyên tố Gọi g,h tƣơng ứng phần tử sinh X, Y Ta chứng minh  g , h  phần tử sinh X  Y Thật vậy, ta có:  g , h mn    g m   n   , hn m    eX , eY     k k Bây giả sử  g , h    eX , eY  , nghĩa g , h   eX , eY  Do g, h k có cấp tƣơng ứng m, n nên ta suy k m, k n Vì mn nguyên tố nên k mn Vậy  g , h  có cấp mn, nghĩa  g , h  phần tử sinh nhóm X  Y Vậy X  Y nhóm xyclic Mệnh đề 1.1.3.9 Nếu f : G  H tồn cấu nhóm A nhóm chuẩn tắc G cho thu hẹp k  f | A đẳng cấu G phân tích thành tích trực tiếp A hạt nhân B  Kerf Chứng minh: 34 B  e Thật vậy, giả sử x  A B Do x  B  Kerf nên ta có f  x   e , suy k  x   e Do k đẳng cấu nên Trƣớc hết ta chứng tỏ A ta có x  e Với x  G bất kỳ, k  f | A đẳng cấu nên tồn a  A cho k  a   g  x  Khi ta có:     g x.a 1  g  x  g a 1  g  x   g  a   1  g  x   k  a  1  e Suy x.a 1  b  Kerf  B Vậy x  a.b  AB Giả sử ta cịn phân tích x  cd với c  A, d  B Khi : a.c1  db1  A B Theo nhận xét ta suy a.c 1  db1  e Từ suy a  c, b  d Vậy G  AB Mệnh đề 1.1.3.10 Cho B, C hai nhóm aben Nếu  : B  C  : C  B đồng cấu thỏa mãn điều kiện    idC B  Ker   Im  Chứng minh : Im  Khi tồn c  C cho x    c  Giả sử x  Ker  Từ đó: c      c     x   Suy x    c   Vậy Ker  Im   Lấy b  B Đặt u    B  b    Im  Ta có   u      B  b           b     b  Suy   b  u   0, nghĩa b  u  v  Ker  Vậy: b  u  v  Ker   Im  , B  Ker   Im  Mệnh đề 1.1.3.11 Cho X Y hai nhóm Khi đó: 35 a) X  Y nhóm giao hốn X Y nhóm giao hốn b) Tâm nhóm X  Y Z  X   Z Y  , với Z  X  , Z Y  tâm nhóm X nhóm Y Chứng minh: a) X  Y nhóm giao hốn  a, b . x, y    x, y . a, b  với  a, b   x, y   X Y Điều tƣơng đƣơng với ax  xa, by  yb với a, x  X ; b, y Y , nghĩa X, Y nhóm giao hốn b) Phần tử  a, b  thuộc tâm nhóm X  Y  a, b . x, y    x, y . a, b  với  a, b   x, y   X Y Điều tƣơng đƣơng với ax  xa, by  yb với x  X , y Y Điều có nghĩa a  Z  X  , b  Z Y  Vậy tâm nhóm X  Y Z  X   Z Y  Bổ đề 1.1.3.12 Nếu  G,  nhóm hữu hạn mà phần tử g  G thỏa mãn g  e , G  2n với n  , đẳng cấu với tích trực tiếp n- C2 C2n  C2  C2   C2 Chứng minh Mọi phần tử G có cấp 2, có đơn vị có cấp Bởi phần tử G nghịch đảo Nhóm G giao hốn với g , h  G gh   gh  1  h1g 1  hg 36 Chọn phần tử a1, a2 , , an  G cho  e đƣợc viết nhƣ tích lũy thừa a1, a2 , , 1 Hơn nữa, chọn n số lớn cho phần tử đƣợc biểu diễn qua phần tử Nếu C2 đƣợc sinh g , ta chứng tỏ ánh xạ f : C2n  G, xác định   f g r1 , g r2 , , g rn  a1r1 a2r2 anrn đẳng cấu Trƣớc hết, định nghĩa hợp lí với số nguyên ri , g ri  g qi i  i Ta có r f  g r1 q  , , g rn  g s1 , g s2 , , g sn   f  g r1  s1 , g r2  s2 , , g rn  sn  a1r1  s1 anrn  sn    a1r1 anrn a1s1 ansn        f g r1 , g r2 , , g rn f g s1 , , g sn Do f đồng cấu nhóm  r Gọi g , , g rn   Kerf Giả sử ri số mũ lẻ cuối , cho tất r r 1 số ri 1, ri  , , rn số chẵn Khi a11 i  e r 1  ai1  a1r1 i Nó mâu thuẫn Bởi vậy, tất số mũ chẵn, f đơn ánh Việc chọn phần tử đảm bảo f tồn ánh Do f song ánh Với kết ta mơ tả nhóm có cấp Giả sử G nhóm cấp Mỗi phần tử G có cấp 1,2,3 Trƣờng hợp Nếu có phần tử cấp nhóm xyclic 37 Trƣờng hợp Nếu G khơng có phần tử cấp theo bổ đề 1.6, khơng thể có tất phần tử khác đơn vị có cấp Do có phần tử,   ký hiệu a, có cấp Nhóm H  e, a, a có số b  H tập phần tử nhóm G H   bH  e, a, a , b, ab, a 2b Do H nhóm có số G nên chuẩn tắc, nhóm thƣơng theo H nhóm xyclic cấp Do br  br H   bH  = H r r chẵn bH r lẻ Bởi vậy, b có cấp chẵn Nó khơng thể 6, phải Vì H chuẩn tắc nên bab1  H Do a  e nên bab1  e Nếu bab1  a ba  ab , theo bổ đề 1.6, ab có cấp Điều trái với giả thiết Bởi bab1  a , nhóm G đƣợc sinh hai phần tử a b, thỏa mãn quan hệ a3  b2  e ba  a 2b Nhóm đẳng cấu với D3 S3 1.2 Tích nửa trực tiếp Bổ đề 1.2.1 Cho N Q hai nhóm  : Q  Aut ( N ) đồng cấu nhóm Khi tập hợp  n, q  / n  N , q  Q với phép toán xác định  n, q  n ', q '   n  q  n ' , qq ' nhóm, ký hiệu N  Q Định nghĩa 38 Cho N Q hai nhóm  : Q  Aut  N  đồng cấu nhóm Nhóm N  Q gọi tích nửa trực tiếp ngồi hai nhóm N Q đồng cấu  Nhận xét 1.2.2 i) Nếu  đồng cấu tầm thƣờng tích nửa trực tiếp N  Q tích nửa trực tiếp N  Q ii) Nếu N Q nhóm giao hốn  đồng cấu tầm thƣờng N  Q nhóm giao hốn iii) Nếu N Q hai nhóm hữu hạn N  Q  N  Q Thí dụ Q  C2  b / b2   1, b Xét   N  C4 a / a   1, a, a , a3   Ta có Aut  C4   1C3 , với  đƣợc xác định   x   x3 Suy có hai đồng cấu từ nhóm lên nhóm tự đẳng cấu Q Aut  N   : Q  Aut  N  ;1  1C3 ; b   , 1 đồng cấu tầm thƣờng Khi tích nửa trực tiếp N với Q đồng cấu  nhóm khơng giao hoán cấp Dễ dàng kiểm chứng đƣợc ánh xạ sau hai đơn cấu Q  N  Q b 1N , b   N  N  Q a  a,1Q   Đồng a  a,1Q b  1N , b  nhóm N  Q có biểu diễn N  Q  a, b / a  b2  1, bab1  a 1 Nhóm nhóm khơng giao hốn cấp đẳng cấu với nhóm D4 Với  : Q  Aut ( N ) đồng cấu tầm thƣờng N 1 Q N  Q  C4  C2 39 Định lí 1.2.3 Cho G  N  Q Khi đó: i) N nhóm chuẩn tắc G , ii) NQ  G , iii) N  Q  1G  Định nghĩa Cho G nhóm N , Q nhóm G Nhóm G gọi tích nửa trực tiếp N Q nếu: i) N nhóm chuẩn tắc G , ii) NQ  G , iii) N  Q  1G  Định lí 1.2.4 Cho G tích nửa trực tiếp hai nhóm N Q Giả sử G  NQ N  Q  1G  Khi g  G biểu diễn dạng: g  nq, n  N q  Q Định lí 1.2.5 Giả sử G tích nửa trực tiếp hai nhóm N Q Khi G  N  Q,  : Q  Aut  N  cho   q  n   qnq 1, q  Q, n  N Nhận xét 1.2.6 i) Ta thấy G nhóm có hai nhóm N Q, N G, NQ  G N  Q  1G  tồ đồng cấu  : Q  Aut  N  cho G  N  Q Nhƣ ta xác định đƣợc nhóm G biết nhóm Q nhóm chuẩn tắc N G thỏa mãn N  Q  1G  NQ  G 40 ii) Nếu G nhóm cyclic cấp p ( p số ngun tố) G khơng phải tích nửa trực tiếp Do G có nhóm cấp p iii) Cho hai nhóm N Q Gọi G  N  Q tích nửa trực tiếp ngồi N Q Khi theo định lí (chƣơng 2), N nhóm chuẩn tắc G, N  Q  1G  NQ  G Do G  N  Q với  '  q  n   qnq 1, q Q, n  N Tuy nhiên  , ' Thật vậy, ta có:       '  q  n   1N , q . n,1Q  1N , q 1  1N   q  n  , q  1N , q 1    q  n .  q  1N  , qq 1 Do    ' Định lí 1.2.7 Cho G nhóm có hai nhóm chuẩn tắc N Q cho N  Q  1G  NQ  G Khi đồng cấu  : Q  Aut  N  cho bởi:   q  n   qnq 1, q  Q, n  N đồng cấu tầm thường Định lí 1.2.8 Nếu   ' liên hợp, nghĩa tồn   Aut  N  cho  '  q      q   1, với q  Q, N  Q  N  ' Q Định lí 1.2.9 Nếu tồn   Aut  N  cho  '    N  Q  N  ' Q Định lí 1.2.10 Nếu Q nhóm cyclic nhóm   Q  Aut  N  liên hợp  '  Q  N  Q  N  ' Q 41  KẾT LUẬN Sau thời gian tìm tịi nghiên cứu dƣới hƣớng dẫn tận tình cô giáo, tiến sĩ Phạm Thị Cúc, em hồn thành khố luận Trong q trình nghiên cứu để làm khoá luận, em hiểu thêm nhiều kiến thức toán học, củng cố lại số kiến thức cũ, đặc biệt hiểu sâu tích nhóm đồng thời trang bị cho phƣơng pháp tƣ số kỹ phân tích, tìm tịi để phát vấn đề tốn học Ngồi ra, việc làm khố luận cịn giúp em bƣớc đầu làm quen tập dƣợt với hoạt động nghiên cứu khoa học Đó điều vơ bổ ích Đối với khoá luận này, sinh viên bạn đọc quan tâm đến vấn đề dùng làm tài liệu tham khảo qua phát triển thêm nội dung khoá luận Đây lần tập dƣợt nghiên cứu khoa học nên nội dung khố luận khơng tránh khỏi thiếu sót Vì vậy, em mong nhận đƣợc góp ý thầy bạn để khố luận hồn thiện Cuối cùng, lần em xin chân thành cảm ơn giúp đỡ tận tình giáo Phạm Thị Cúc, thầy cô bạn sinh viên khoa Khoa học Tự nhiên Thanh Hoá, tháng năm 2018 Sinh viên Trần Hải Yến 42 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Tiến Quang, Đại số đại cương Nhà xuất Giáo dục, 2008 [2] Nguyến Tiến Quang (Chủ biên), Phạm Thị Cúc – Đặng Đình Hanh, Hƣớng dẫn giải tập đại số đại cƣơng Nhà xuất Giáo dục, 2009 [3] Hồng Xn Sính, Đại số đại cương Nhà xuất Giáo dục, 1972 [4] Frederick M Goodman, Algebra, Abstract and Concrete Semisimple Press Iowa City, IA, 2006 43