Không gian hàm bânch

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC ——————————————– KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP KHÔNG GIAN HÀM BANACH Sinh viên: Trương Thị Anh Lớp:K17B - ĐHSP Toán Giảng viên hướng dẫn: Lê Anh Minh THANH HÓA, 2018 i LỜI CẢM ƠN Đầu tiên cho em kính gửi lời cảm ơn chân thành đến quý Thầy Cô, đặc biệt quý Thầy cô Khoa Khoa học Tự Nhiên trường Đại học Hồng Đức nhiệt tình giảng dạy tạo điều kiện cho em để thực tốt đề tài khóa luận tốt nghiệp Để hồn thành đề tài này, em xin chân thành cảm ơn Thầy giáo Lê Anh Minh tận tình giảng dạy, truyền đạt kiến thức quý báu dẫn dắt em suốt thời gian nghiên cứu vừa qua Cuối em kính chúc quý Thầy Cô dồi sức khỏe ngày thành cơng nghiệp cao q Thanh Hóa, tháng năm 2018 Sinh viên Trương Thị Anh ii MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN i MỤC LỤC ii MỘT SỐ KÝ HIỆU VÀ TỪ VIẾT TẮT iii MỞ ĐẦU .1 Chương CÁC KHÁI NIỆM CỦA KHÔNG GIAN HÀM BANACH Chương TÍNH CHẤT CỦA KHÔNG GIAN HÀM BANACH 23 KẾT LUẬN 37 Tài liệu tham khảo 38 iii MỘT SỐ KÝ HIỆU VÀ TỪ VIẾT TẮT • R: tập hợp số thực; • N: tập hợp số tự nhiên; • S: cỏc hm n trờn R; ã (R, à): khụng gian o - hu hn; ã M (R, à): cỏc hm thc à- o c trờn R; ã M0 (R, µ): lớp hàm M (R, µ) hu hn à- h.k.n; ã M+ (R, à): M0 (R, µ) bao gồm hàm số khơng âm; • supp f : giá hàm số f MỞ ĐẦU Một đối tượng nghiên cứu giải tích hàm lý thuyết khơng gian hàm, khơng gian hàm đóng vai trò quan trọng việc nghiên cứu dáng điệu tiệm cận phương trình vi phân khơng gian hàm đó, gần với nhu cầu thực tế xuất phát từ lý thuyết xấp xỉ, lý thuyết độ đo, lý thuyết nội suy nhiều không gian hàm đề xuất, chẳng hạn: Không gian Besov, không gian Morrey, không gian Lebesgue, không gian Orlicz hay không gian Lorentz, Các khơng gian có cách định nghĩa, tính chất riêng ứng dụng khác Trong nỗ lực tìm đặc điểm chung để khái quát không gian qua hệ tiên đề mang tính trừu tượng, khái niệm “Không gian hàm Banach” đời “Không gian hàm Banach” chứa đựng không gian hàm ta nêu trên, đồng thời mang tính tổng quát cho tất không gian hàm xuất giải tích hàm đại ngành khoa học Tốn gần với giải tích hàm Điều cho phép nhà Toán học cần nghiên cứu lớp không gian hàm tổng quát “Không gian hàm Banach” hay rộng “Không gian hàm Banach chấp nhận được” Với ý nghĩa vậy, em dành tồn khóa luận tốt nghiệp để tìm hiểu cách khoa học, có hệ thống “Khơng gian hàm Banach” Cụ thể, ngồi phần Mở đầu, Kết luận Tài liệu tham khảo, khóa luận tốt nghiệp Không gian hàm Banach gồm chương: Chương Các khái niệm không gian hàm Banach Trong chương này, em trình bày cách tổng quan chi tiết khái niệm không gian hàm Banach; Không gian liên kết liên tục tuyệt đối chuẩn Chương Tính chất không gian hàm Banach Trong chương này, em trình bày hai tính chất: Tính phản xạ tính tách khơng gian hàm Banach Chương 1.1 CÁC KHÁI NIỆM VỀ KHÔNG GIAN HÀM BANACH Không gian hàm Banach Trong chương này, ta giả thiết (R, µ) khơng gian đo σ - hữu hạn, tức tồn dãy {Rn }∞ n=1 cho µ(Rn ) < ∞ với n ∈ N R= ∞ [ Rn n=1 Cho (R, µ) khơng gian độ đo σ - hữu hạn khơng atomic, M (R, µ) tập hàm thực µ- đo R Ta kí hiu ã Cho M0 (R, à) kớ hiu lp cỏc hàm M (R, µ) hữu hạn µ- h.k.n • M+ (R, µ) tập M0 (R, µ) bao gồm hàm số khơng âm • Khi R khoảng (a, b), −∞ ≤ a < b ≤ ∞ µ độ đo Lebesgue chiều, ta viết M+ (a, b) Chú ý 1.1.1 Thông thường, hai hàm µ- h.k.n Các phép tốn khơng gian vectơ định nghĩa tốt M0 (mặc dù tất M ), M0 hội tụ theo topo tập độ đo hữu hạn, trở thành khơng gian topo khả metric Một metric cho bởi: ∞ d( f , g) := −n ∑2 n=1 | f (x) − g(x)| dµ(x), Sn + | f (x) − g(x)| Z Sn tập rời cho µ(Sn ) < ∞ với n ∈ N ∪n∈N Sn = R Hơn nữa, không gian metric (M , d) đầy đủ Kí hiệu 1.1.2 Ta kí hiệu A B A & B nghĩa A ≤ CB B ≤ CA, với C số dương thích hợp hai đại lượng xấp xỉ A B Ta viết, A ≈ B hai đánh giá A B A & B thỏa mãn Quy ước, 0.∞ = 0, 0 = ∞ ∞ = Định nghĩa 1.1.3 Ta nói hàm ρ : M+ → [0, ∞] chuẩn hàm Banach (Banach function norm) với f , g { fn }∞ n=1 thuộc M+ , λ = tập E µ- đo R, thỏa mãn tính chất sau: (P1) ρ( f ) = ⇔ f = µ − h.k.n ρ(λ f ) = λ ρ( f ) ρ( f + g) ρ( f ) + ρ(g); (P2) 05g5 f µ − h.k.n ⇒ ρ(g) ρ( f ) ( Tính chất giàn) ; fn ↑ f µ − h.k.n ⇒ ρ( fn ) ↑ ρ( f ) ( Tính chất Fatou) ; (P3) (P4) µ(E) < ∞ ⇒ ρ(χE ) < ∞; (P5) µ(E) < ∞ ⇒ Z E f dµ ≤ CE ρ( f ) với số CE ∈ (0, ∞) f Định nghĩa 1.1.4 Cho ρ chuẩn hàm Banach Khi đó, tập X = X(ρ) hàm M cho ρ(| f |) < ∞ không gian hàm Banach Với f ∈ X, ta xác định: k f kX := ρ(| f |) (1.1) Chú ý 1.1.5 Phiếm hàm k f kX xác định với f ∈ M0 vơ hạn Một hàm f thuộc X = X(ρ) k f kX < ∞ Định nghĩa 1.1.6 Một hàm thực s không gian độ đo (R, µ) gọi µ- đơn tổ hợp tuyến tính hữu hạn hàm đặc trưng tập µ- đo hữu hạn Nói cách khác, tồn m ∈ N, dãy hữu hạn số thực {a1 , , am } dãy hữu hạn {E1 , , Em } rời tập R µ- đo hữu hạn cho: s(x) =   a j , x ∈ E j , j = 1, , m,  0, x ∈ R \ ∪m E j j=1 Tập tất hàm µ- đơn kí hiệu S Định lý 1.1.7 Cho X không gian hàm Banach sinh chuẩn hàm Banach ρ Khi đó, (X, k.kX ) khơng gian tuyến tính định chuẩn Hơn nữa, ta có bao hàm S ⊂ X ,→ M0 (1.2) với S tập hàm đơn R Chứng minh Do µ độ đo σ - hữu hạn nên hàm khả tích địa phương µ- hữu hạn h.k.n Bởi vậy, X ⊂ M0 Theo tính chất (P5) Định nghĩa 1.1.3 chuẩn k.kX , hàm X khả tích địa phương R Do M0 không gian vectơ, nên X không gian vector Hơn nữa, theo (P1) X không gian định chuẩn Mặt khác, theo (P4), χE ∈ X với tập E cho µ(E) < ∞ theo tính tuyến tính X ta S ⊂ X Tiếp tục, để phép nhúng X ,→ M0 liên tục Ta giả sử rằng, dãy { f n }∞ n=1 thỏa mãn f n → f X Theo (1.1), ρ(| f n − f |) → với n → ∞ Cho trước ε > tập E ⊂ R cho µ(E) < ∞, theo (P5) ta có: µ{x ∈ E : | f (x) − fn (x)| > ε} ≤ ε Z E | f − fn | dµ ≤ CE ρ(| f − fn |), ε hội tụ n → ∞, nên CE khơng phụ thuộc vào n Vì vậy, fn → f theo độ đo tập có độ đo hữu hạn Nói cách khác, fn → f M0 Chú ý 1.1.8 Theo Định lý 1.1.7 fn → f X fn → f tập có độ đo hữu hạn Chú ý 1.1.9 Cho X không gian hàm Banach fn ∈ X, n ∈ N Giả sử fn ↑ f µ − h.k.n với số hàm f ∈ M Khi đó, có hai khả sau: • f ∈ X, k f kX < ∞ k fn kX ↑ k f kX ; • k fn k ↑ ∞ f ∈ / X Bổ đề 1.1.10 (Bổ đề Fatou cho không gian hàm Banach) Cho X không gian hàm Banach giả sử fn ∈ X, n ∈ N fn → f µ- h.k.n với f ∈ M Giả sử thêm lim inf k fn kX < ∞ n→∞ Khi f ∈ X k f kX lim inf k fn kX n→∞ Chứng minh Đặt gn (x) := infm=n | fm (x)| Khi đó, gn ↑ | f | µ- h.k.n (do (P2) (P3)), k f kX = lim kgn kX lim inf k fm kX = lim inf k fn kX < ∞ n→∞ n→∞ m=n n→∞ Vậy, f ∈ X k f kX lim inf k fn kX n→∞ Như hệ Bổ đề Fatou, không gian hàm Banach đầy đủ Định lý 1.1.11 Mọi không gian hàm Banach có tính chất Riesz-Fisher Chứng minh Cho X không gian hàm Banach, { fn }∞ n=1 ⊂ X giả sử ∞ ∑ k fnkX < ∞ (1.3) n=1 n ∞ k=1 n=1 Với n ∈ N, ta đặt gn := ∑ | fk | g = ∑ | fn | dễ thấy gn ↑ g Do đó, n kgn kX ∞ ∑ k f k kX ∑ k f n kX , n ∈ N, n=1 k=1 theo (1.3) Bổ đề 1.1.10 g ∈ X Bằng phép nhúng X ,→ M0 (1.2) Chú ý ∞ ∞ n=1 n=1 1.1.1, chuỗi ∑ | fn (x)| hội tụ theo điểm µ- h.k.n, ∑ fn (x) hội tụ Ta đặt ∞ f := ∑ fn n=1 n hn = ∑ fk , n ∈ N, k=1 hn → f µ- h.k.n Vậy, với m ∈ N, ta hn − hm → f − hm µ − h.k.n , n → ∞ Hơn nữa, n lim inf khn − hm kX lim inf n→∞ n→∞ ∑ ∞ k f k kX = k=m+1 ∑ k f k kX , k=m+1 dần m → ∞ (1.3) Như vậy, theo Bổ đề 1.1.10, f − hm ∈ X suy f ∈ X k f − hm k → với m → ∞ Nghĩa là, với m ∈ N, m k f kX k f − hm kX + khm |X k f − hm kX + ∑ k fk kX k=1 Cho n → ∞, ∞ kfk ∑ k f n kX (1.4) n=1 Hệ 1.1.12 Mọi không gian hàm Banach đầy đủ Sau đây, ta tóm tắt tính chất không gian hàm Banach ý: Chú ý 1.1.13 Cho X không gian hàm Banach sinh chuẩn ρ Giả sử, k f kX = ρ(| f |) với f ∈ X Khi đó, (X, k · kX ) không gian Banach có tính chất sau với f , g, fn , (n ∈ N) thuộc M với tập đo E ⊂ R: (i) (Tính chất giàn) Nếu |g| | f | µ-h.k.n f ∈ X g ∈ X kgkX k f kX (ii) Đặc biệt, hàm f ∈ M thỏa mãn f ∈ X | f | ∈ X k f kX = k| f |kX (iii) (Tính chất Fatou) Giả sử fn ∈ X, fn = 0, n ∈ N fn ↑ f µ- h.k.n Nếu f ∈ X k fn kX ↑ k f kX , mặt khác f ∈ / X k fn k → ∞ (iv) (Bổ đề Fatou) Nếu fn ∈ X, n ∈ N, fn → f µ-h.k.n, lim inf k fn kX < ∞, n→∞ f ∈ X k f kX lim inf k fn kX n→∞ φ dµ λ k fn kX 00 fn k f n kX < λ kφ k R X Cho λ → 1, ta (1.2.6) Điều phải chứng minh 13 Bổ đề 1.2.9 Cho X không gian hàm Banach X khơng gian liên kết X Khi đó,  Z  kgkX = sup f g dµ ; f ∈ X, k f kX , R g∈M (1.14) Chứng minh Theo Định lý 1.2.5, với f ∈ X, k f kX ≤ 1, g ∈ X , Z