(Luận văn) functional caculus cho các toán tử không bị chặn và các toán tử quạt

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Phạm Hữu Hiệp lu an n va tn to ie gh FUNCTIONAL CALCULUS p CHO CÁC TỐN TỬ KHƠNG BỊ CHẶN VÀ d oa nl w CÁC TOÁN TỬ QUẠT ll u nf va an lu oi m z at nh LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z m co l gm @ an Lu Thành phố Hồ Chí Minh – 2019 n va ac th si BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Phạm Hữu Hiệp lu an n va FUNCTIONAL CALCULUS gh tn to CHO CÁC TỐN TỬ KHƠNG BỊ CHẶN VÀ p ie CÁC TOÁN TỬ QUẠT nl w d oa Chun ngành: Tốn giải tích lu ll u nf va an Mã số: 60 46 01 02 m oi LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z at nh z NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: gm @ TS TRẦN TRÍ DŨNG m co l an Lu Thành phố Hồ Chí Minh – 2019 n va ac th si LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn tốt nghiệp tơi thực hướng dẫn khoa học TS Trần Trí Dũng Các nội dung nghiên cứu kết tham khảo luận văn trích dẫn liệt kê đầy đủ mục Tài liệu tham khảo Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 30 tháng 09 năm 2019 PHẠM HỮU HIỆP lu an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si LỜI CẢM ƠN Hai năm qua thật khoảng thời gian không dễ dàng đối bạn sinh viên trường phải cố gắng hoàn thành tốt nhiệm vụ quan công việc học tập, kể tơi Có thời điểm cơng việc nhiều tưởng chừng tiếp tục đường học vấn Nhưng, "Khó khăn qua Giống mưa ngồi cửa sổ, có tầm tã cỡ cuối trời quang mây tạnh" Để vượt qua khó khăn ấy, đường tơi ln có đồng hành gia đình, Thầy Cô bạn bè lu an Tại trường Đại học Sư Phạm TP HCM, học tập nhiều điều bổ va ích chun mơn, đơi lúc mở mang thêm kiến thức xã hội n to Trên hết, cảm nhận nhiệt tình, tận tâm Thầy Cơ giảng viên, tn ie gh Thầy Cơ phịng sau đại học, đội ngũ nhân viên trường nói chung p Thầy Cơ khoa Tốn - Tin học nói riêng Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Thầy Cơ nhiệt tình, tận tâm nl w oa Thời gian thực luận văn có lẽ thời gian khó khăn đầy áp lực đối d với riêng Nhưng may mắn thay, bên tơi ln có ủng hộ, động viên gia lu nf va an đình, người thân bạn bè Cảm ơn Cha, Mẹ, Anh em trai chỗ dựa tinh thần vững chắc, bên lúc khó khăn, bế tắc đời Cảm ơn lm ul bạn ngồi nghe tâm nhàm chán, để giải tỏa z at nh oi căng thẳng mà gây Cảm ơn anh chị, bạn bè đồng môn bước qua hai năm học đầy gian nan nhiều thử thách Tôi xin gửi lời cảm ơn đến quý Thầy Cô trường THPT Chuyên Tiền z gm @ Giang tạo điều kiện tốt để tiếp tục đường học vấn Cảm ơn Thầy Nguyễn Trọng Nghĩa với lời dạy, kinh nghiệm vô quý báu l m co cách viết bảo vệ luận văn Đặc biệt, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc chân thành đến Thầy hướng dẫn khoa học, TS Trần Trí Dũng, giảng viên an Lu khoa Toán - Tin học, trường Đại học Sư Phạm TP HCM tận tình hướng n va ac th si dẫn, có định hướng, góp ý vơ q báu để tơi điều chỉnh luận văn kịp thời Nhân đây, xin gửi lời cảm ơn đến tác giả tài liệu tham khảo Trong q trình thực đề tài, tơi dành nhiều nỗ lực, tâm huyết nghiêm túc nghiên cứu Tuy nhiên, đề tài thật mẻ hạn chế mặt kiến thức, thời gian khả tiếp cận nguồn tư liệu, luận văn khó tránh khỏi thiếu sót, mong nhận góp ý quý Thầy Cô bạn đồng môn Một lần nữa, xin cảm ơn tất người, chúc người thật nhiều sức lu khỏe thành công sống! an n va Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 30 tháng 09 năm 2019 p ie gh tn to PHẠM HỮU HIỆP d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Mục lục lu an Mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị n va Tổng trực tiếp không gian Banach 1.2 Đại số Banach gh tn to 1.1 10 2.1 Tốn tử đóng 10 Tốn tử khơng bị chặn p ie Functional calculus cho tốn tử đóng 14 oa nl w 2.2 16 d Functional calculus cho toán tử quạt lu Toán tử quạt 16 3.2 Không gian hàm chỉnh hình 26 3.3 The natural functional calculus 29 lm ul 3.3.1 Functional calculus theo tích phân loại Cauchy 30 3.3.2 The natural functional calculus 33 3.3.3 Một số tính chất khác 37 3.3.4 Luật hợp thành 39 z at nh oi z gm @ Sự mở rộng thông qua điều kiện phổ 41 l 3.4.1 Trường hợp A đơn ánh 42 3.4.2 Trường hợp ∈ ρ(A) 48 m co an Lu 3.5 nf va 3.4 an 3.1 Tính bị chặn xấp xỉ 50 n va ac th si 3.5.1 Xấp xỉ quạt 50 3.5.2 Tính bị chặn 50 3.5.3 Tính xấp xỉ hàm số 52 3.5.4 Kỹ thuật xấp xỉ McIntosh 54 Tính bị chặn H ∞ -Calculus 58 3.6 3.6.1 Định lý tính bị chặn Functional calculus 59 3.6.2 Tính Functional calculus 61 lu Kết luận kiến nghị 63 Tài liệu tham khảo 64 an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU lu an n va Tốn tử đồng A Bao đóng tốn tử A A−1 Tốn tử khả nghịch toán tử A An Lũy thừa tự nhiên toán tử A C∞ Mặt phẳng phức mở rộng D(A) Miền xác định toán tử A R(A) Miền giá trị toán tử A N (A) Hạt nhân tốn tử A C(X, Y ) Khơng gian tốn tử đóng từ X vào Y C(X) Khơng gian tốn tử đóng từ X vào X L(X, Y ) Khơng giác tốn tử tuyến tính bị chặn từ X vào Y gh tn to I L(X) Khơng gian tốn tử tuyến tính bị chặn không gian ie p Banach X Tập giải thức toán tử A nl Phổ toán tử A d oa σ(A) w ρ(A) Phổ mở rộng toán tử A R (·, A) Ánh xạ giải thức tốn tử A Sω Hình quạt với góc 2ω đối xứng qua trục thực Sω0 (0, R) Tập hợp Sω0 ∩ B(0, R) Sω0 (ε0 , ∞) Tập hợp Sω0 \B (0, ε0 ) O (Ω) Không gian hàm chỉnh hỉnh tập mở Ω ⊂ C Oc (Sϕ ) Khơng gian hàm chỉnh hình Sϕ bị chặn tập nf va an lu σ ˜ (A) z at nh oi lm ul z @ A (Sϕ ) an Lu B (Sϕ ) m ϕ>ω co A [Sω ] Lớp hàm The natural functional calculus cho toán tử quạt [ l A (Sϕ ) gm Sϕ ∩ {r ≤ |z| ≤ R} với < r < R < ∞ Lớp hàm The natural functional calculus cho toán tử quạt đơn ánh n va ac th si [ B [Sω ] B (Sϕ ) ϕ>ω C (Sϕ ) Lớp hàm The natural functional calculus cho toán tử quạt khả nghịch [ C [Sω ] C (Sϕ ) ϕ>ω R∞ (Ω) Không gian hàm hữu tỷ bị chặn Ω R∞ (Ω) Không gian hàm hữu tỷ bị chặn Ω triệt tiêu ∞ H ∞ (Ω) Khơng gian hàm chỉnh hình bị chặn tập mở Ω ⊂ C∞ C (Ω) Không gian hàm liên tục không gian compact địa lu an phương Ω Không gian hàm liên tục triệt tiêu ∞ không gian n va C0 (Ω) to compact địa phương Ω tn ◦ Không gian hàm liên tục K ⊂ C∞ chỉnh hình K A(K) gh p Xấp xỉ quạt toán tử A Lớp Dunford-Riesz góc quạt Sϕ [ d oa DR [Sϕ ] nl DR (Sϕ ) w Aε Góc phổ tốn tử quạt A ie ωA DR (Sϕ ) lu ϕ>ω Không gian hàm chỉnh Sϕ ∩ {0} tắt dần ∞ DRext (Sϕ ) Lớp Dunford-Riesz mở rộng góc quạt Sϕ [ nf va lm ul DRext [Sϕ ] an DR0 (Sϕ ) DRext (Sϕ ) ϕ>ω z at nh oi Phép dãn hàm ψ với hệ số t dương ψa,b Hàm số sử dụng kĩ thuật xấp xỉ McIntosh Sect (ω) Lớp toán tử quạt với góc ω khơng gian Banach X τ Hàm ΛA Toán tử τ (A)−1 = (1 + A)A−1 (1 + A) Γϕ Biên định hướng dương góc quạt Sϕ Γϕ,δ Biên định hướng dương của Sϕ ∪ Bδ (0) C (f, ω ) Hằng số đặc trưng, xác định f ∈ DRext (Sϕ ) ω < ϕ z ψt m co l gm @ z (1 + z)2 an Lu n va ac th si Mở đầu Xét không gian Banach X = C[0, 1] hàm liên tục nhận giá trị phức khoảng đơn vị Mỗi hàm f ∈ X xác định tốn tử tuyến tính bị chặn lu an Mf = (g 7→ f g) : C[0, 1] → C[0, 1] n va gh tn to X gọi toán tử hợp thành liên kết với f Phổ miền giá trị
f [0, 1] f Cho hàm liên tục tùy ý ψ : σ Mf → C, ta xét toán tử hợp p ie thành Mψ◦f liên kết với ψ ◦ f Điều cho ta đồng cấu đại số (algebra
Φ = ψ 7→ Mψ◦f : C σ Mf

→ L(X) d oa nl w homomorphism) an lu


Do ta có Φ(z) = Mf Φ (λ − z)−1 = R λ, Mf với λ ∈ ρ Mf toán tử nf va Φ (ψ) đơn giản hợp thành ψ (f (z)), ta nói Φ (ψ) thu cách lm ul "chèn" toán tử Mf vào hàm ψ viết ψ (f (z)) = Φ (ψ) Tổng quát ví dụ z at nh oi thành không gian Banach X = C0 (R), ta nhận thấy tính bị chặn tốn tử khơng phải yêu cầu cốt yếu Ý tưởng trực giác Functional calculus tốn tử A đóng khơng gian Banach X tương ứng với đại số z @ hàm phức phổ nó, tốn tử A chèn cách hợp gm lý Tính hợp lý có nghĩa ψ(A) có ý nghĩa mong đợi vào điều ta co l mong muốn, ví dụ λ ∈ ρ(A) ta mong muốn (λ − z)−1 (A) = R(λ, A) m A sinh nửa nhóm (semigroup) T etz (A) = T (t) Ánh xạ thu an Lu ψ 7→ ψ(A) gọi Functional calculus với A Nhưng đáng tiếc, cho ac th n va đến năm 2003 khơng có thức hóa tổng thể ý tưởng Điều tốt si 30 tích phân Cauchy 3.3.1 Functional calculus theo tích phân loại Cauchy Cho < ϕ < π δ > Ta gọi Γϕ = ∂Sϕ biên hình quạt Sϕ , định hướng theo chiều dương, nghĩa Γϕ = −R+ eiϕ ⊕ R+ e−iϕ Bên cạnh đó, ta kí hiệu Γϕ,δ = ∂ (Sϕ ∪ Bδ (0)) biên định hướng dương Sϕ ∪ Bδ (0), nghĩa lu Γϕ,δ = − (δ, ∞) eiϕ ⊕ (δ, ∞) e−iϕ ⊕ δei(ϕ,2π−ϕ) an n va tn to Với ω < ϕ < π , f ∈ DR (Sϕ ) g ∈ DR0 (Sϕ ) ta định nghĩa Z f (z)R (z, A) dz f (A) = 2πi ie gh p g(A) = 2πi (3.3.1) Γω0 Z (3.3.2) g(z)R (z, A) dz, w Γω0 ,δ d cận Bδ (0) oa nl ω < ω < ϕ δ > chọn cho g chỉnh hình liên tục đến lân lu nf va an Sau hình minh họa cho định nghĩa f (A) Γω0 z at nh oi lm ul f (A) = R f (z)R (z, A) dz 2πi Γω0 z σ(A) m co l gm @ an Lu ∂Sω n va ac th si 31 Tương tự, ta có hình ảnh g(A) Γω0 σ(A) lu an n va ∂Sω tn to Các định nghĩa không phụ thuộc vào tham số ω δ Điều sử gh p ie dụng Định lý tích phân Cauchy Hai định nghĩa cho thấy f = g ∈ DR ∩ DR0 w giao hai không gian hàm, trường hợp ta chọn δ tiến đến oa nl tích phân (3.3.2) thu biểu diễn (3.3.1) qua giới hạn Do đó, d h(A) = f (A) + g(A) với h = f + g ∈ DR (Sϕ ) + DR0 (Sϕ ) an lu nf va xác định ánh xạ tuyến tính lm ul (h 7→ h(A)) : DR (Sϕ ) + DR0 (Sϕ ) → L(X) z at nh oi Ta tóm tắt tính chất ánh xạ Mệnh đề 3.3.1 (Trích [10], Trang 25, 26) Cho A ∈ Sect(ω) ϕ > ω Khi z khẳng định sau gm @ λ−z (c) Ta có (A − ν)R (λ, A) R (µ, A) =  (A) với λ, µ ∈ / Sϕ n va ν ∈ C (z − ν) (λ − z)(µ − z) an Lu  m co l (a) Nếu x ∈ N (A) f ∈ DR (Sϕ ) + DR0 (Sϕ ) f (A)x = f (0)x   (b) Với λ ∈ / Sϕ đẳng thức R (λ, A) = (A) ac th si 32 (d) Nếu B tốn tử đóng giao hốn với giải thức A, B giao hoán với f (A) Đặc biệt, f (A) giao hoán với A (e) Cho B phần đơn ánh A Khi Y = R(A) bất biến tác động f (A) f (B) = f (A) |Y Chứng minh (a) Do x ∈ N (A) f ∈ DR ∪ DR0 ta có Z Z f (z)R(z, A)xdz = Γ Γ f (z) dz x z Trường hợp f ∈ DR, ta xấp xỉ Γ đường cong kín mà chứa hẳn Sϕ Theo Định lý tích phân Cauchy, tích phân triệt tiêu Tương tự, lu an f ∈ DR0 , ta viết Γ = Bδ (0) ⊕ Γ1 với Γ1 chứa Sϕ Theo công va n thức tích phân Cauchy, ta có Z tn to f (z) dz = 2πif (0) z gh Γ p ie Như vậy, Z f (z)R(z, A)xdz = f (0)x Γ nl w f (A)x = 2πi d oa (b) Cho f (z) = (µ − z)−1 Khi f ∈ DR0 (Sϕ ), Z 2πi nf va an lu f (A) = f (z)R(z, A)dz Γω0 ,δ Bây giờ, chọn R > |λ| cho |R sin ω | > |Im λ|, đường cong Γ = −Γω0 ,R lm ul z at nh oi Do cơng thức tích phân Cauchy nên ta thu Z Z f (z)R(z, A)dz = 2πiR (µ, A) f (z)R(z, A)dz + Γω0 ,δ Γ R z Tiếp tục sử dụng Định lý tích phân Cauchy ta thấy Γ−n f (z)R(z, A)dz @ co l gm không phụ thuộc vào n ∈ N (cách chọn R ln đảm bảo µ ∈ Γ − n) Cho R n → ∞ ta Γ−n f (z)R(z, A)dz → an Lu n va đại số m z−ν λ−ν =− + (µ − z)(λ − z) µ − z (µ − z)(λ − z) với lưu ý ánh xạ (h 7→ h(A)) : DR (Sϕ ) + DR0 (Sϕ ) → L(X) đồng cấu (c) Khẳng định suy từ (b), đẳng thức ac th si 33 (d) Hiển nhiên (e) Phát biểu suy từ Y R (λ, A) −bất biến, với R (λ, A) Y = R (λ, B) với λ ∈ ρ(A) Trong mục tiếp theo, ta mở rộng Functional calculus đến lớp hàm rộng Dĩ nhiên, ta định nghĩa f (A) với f ∈ DRext 6∈ DR + DR0 Khi đó, Mệnh đề 3.3.1 lu 3.3.2 The natural functional calculus an n va Ta giữ nguyên giả thiết toán tử A Sự mở rộng Functional calculus tn to mô tả trực quan tốt Bởi khơng với tích p ie gh phân loại Cauchy nữa, nên ta phải sử dụng thủ thuật nhỏ Ta định nghĩa   f (z) ∈ DR (Sϕ ) + DR0 (Sϕ ) , A (Sϕ ) = f : Sϕ → C ∃n ∈ N : (1 + z)n w S ϕ>ω A (Sϕ ) Nếu ω xác định, ta viết đơn giản A thay cho A [Sω ] oa nl A [Sω ] = d Bổ đề 3.3.2 (Trích [10], Trang 26, 27) Cho f : Sϕ → C hàm chỉnh hình Các lu nf va an khẳng định sau tương đương lm ul (i) Hàm f thuộc vào A (Sϕ ) z at nh oi (ii) Hàm f thuộc vào Oc (Sϕ ) thỏa hai tính chất sau z (a) f (z) = O (|z|α ) (z → ∞) với α ∈ R
(b) f (z) − c = O |z|β (z → 0) với β > c ∈ C gm @ (iii) Tồn c ∈ C, n ∈ N F ∈ DR cho f (z) = c + (1 + z n ) F (z) Nếu f bị n va f (z) (1 + z)−n = F (z) + G(z), an Lu Chứng minh (i) ⇒ (ii) Do f ∈ A (Sϕ ) nên ta viết m co l chặn, ta chọn n = (iii) ac th si 34 F ∈ DR G ∈ DR0 Khi đó, rõ ràng (iia) thỏa mãn Hàm (1 + z)n G(z) − G(0) chỉnh hình 0, nên tắt dần Do đó, f (z) = (1 + z)n F (z) + ((1 + z)n G(z) − G(0)) + G(0) thỏa mãn (iib) với c = G(0) (ii) ⇒ (iii) Chọn α, β, c (ii) n > α Rõ ràng (f (z) − c) (1 + z)−n ∈ DR Nếu f bị chặn, ta lấy α = Khi đó, với n = (iii) thỏa (iii) ⇒ (i) Hiển nhiên lu an c f (z) = F (z) + ∈ DR + DR0 n (1 + z) (1 + z)n va n Do đó, f ∈ A (Sϕ ) gh tn to p ie Với f ∈ A (Sϕ ), ta định nghĩa f (z) (1 + z)n  (A) oa nl w f (A) = (1 + A)n  d n số thỏa f (z)(1 + z)−n ∈ DR (Sϕ ) + DR0 (Sϕ ) Theo Mệnh đề 3.3.1, lu nf va an định nghĩa không phụ thuộc vào giá trị riêng n Ta gọi ánh xạ  lm ul (f 7→ f (A)) : A [Sω ] → tốn tử đóng X z at nh oi The natural functional calculus A Sω Định lý 3.3.3 (Trích [10], Trang 27) Cho f ∈ A (Sϕ ) Khi khẳng định z sau l gm @ (a) Tốn tử f (A) đóng an Lu L(X), f (A) giao hốn với A m co (b) Nếu T ∈ L(X) giao hoán với A giao hốn với f (A) Nếu f (A) ∈ n va (c) Nếu D(A) = X f (z)(1 + z)−n ∈ DR + DR0 , D (An ) core for f (A) ac th si 35 (d) Cho g ∈ A Khi f (A) + g(A) ⊂ (f + g)(A) f (A)g(A) ⊂ (f g)(A) Hơn nữa, D ((f g)(A)) ∩ D (g(A)) = D (f (A)g(A))   f (z) (e) Ta có (1)(A) = I , (A) = f (A)R (λ, A) với λ 6∈ Sϕ , ((z − µ)f (z)) (A) = λ−z (A − µ)f (A) với µ ∈ C


(f) Nếu A đơn ánh f z −1 ∈ A, luật khả nghịch f (A) = f z −1 A−1 lu an
(g) Nếu f, f −1 ∈ A, f −1 (A) = f (A)−1 , đặc biệt, f (A) đơn ánh n va tn to (h) Ký hiệu B phần đơn ánh A Y = R(A) Khi D (f (B)) = D (f (A))∩Y với f (B) = f (A) Từ đó, đẳng thức f (A)(x⊕y) = f (0)x⊕f (B)y gh Y với tất x ∈ N (A), y ∈ R(A) p ie nl w Chứng minh Lấy số tự nhiên n cho F = f (z)(1 + z)−n ∈ DR + DR0 nf va an (b) Ta có lu đóng d oa (a) Do tốn tử (1 + A)n đóng theo Bổ đề 1.2.3 ta có f (A) = (1 + A)n F (A) lm ul T f (A) = T (1 + A)n F (A) ⊂ (1 + A)n T F (A) = (1 + A)n F (A)T = f (A)T z at nh oi (c) Toán tử F (A) giao hốn với (1 + A)−n , F (A)−bất biến Suy D (An ) ⊂
n D (f (A)) Lấy x ∈ D (f (A)) tùy ý, ta có Tt (x) = t(t + A)−1 x → x t → ∞ z gm @ Mặc khác, Tt (x) ∈ D (An ) theo (b), ta có f (A)Tt x = Tt f (A)x → f (A)x co l (d) Lấy g ∈ A Khi đó, ta chọn m ∈ N cho G(z) = g(z)(1 + z)−m Khơng tính tổng qt, ta giả sử m = n Khi đó, ta có m an Lu f (A) + g(A) = (1 + A)n F (A) + (1 + A)n G(A) ⊂ (1 + A)n (F + G) (A) = (f + g)(A) n va ac th si