PHÒNG GD&ĐT TAM DƯƠNG ĐỀ KSCL HỌC SINH LỚP 9, NĂM HỌC 2021-2022 MƠN: TỐN Thời gian làm bài: 120 phút- Ngày khảo sát: 24.4.2022 I TNKQ (2,0 điểm) Ghi vào làm chữ đứng trước câu trả lời Câu Phương trình sau vô nghiệm? A x + x + = B x − x + = C x − x + = D x − x − = Câu Hàm số y = ( m + 2022 ) x − 2023 (m tham số) hàm số bậc khi: A m −2022 B m = −2022 C m > −2022 D m < −2022 Câu Một hình trụ có chiều cao bán kính đáy cm Khi thể tích hình trụ là: A 64 (cm3) B 128 (cm3) C 512 (cm3) D 16 (cm3) ﾷ Câu Cho tam giác ABC cân A nội tiếp đường tròn (O) Góc BAC có số đo 1200 Số đo ﾷACO bằng: A 1200 B 450 C 600 D 300 II Tự luận (8,0 điểm) Câu (3,0 điểm) a) Giải phương trình: x4 – x2 – 12 = b) Cho hàm số bậc y = ax − Xác định hệ số a, biết đồ thị hàm số cho cắt đường thẳng (d) : y = −3 x + điểm có tung độ c) Giải toán sau cách lập phương trình hệ phương trình Một đồn khách du lịch gồm 40 người dự định tham quan đỉnh núi Tây Thiên (Thuộc huyện Tam Đảo- Vĩnh Phúc) cáp treo (gồm lượt lên lượt xuống) Nhưng tới nơi có bạn trẻ muốn khám phá đường leo lên lúc xuống cáp treo để trải nghiệm nên bạn mua vé lượt xuống, đồn chi 450000 đồng để mua vé Hỏi giá vé cáp treo giá vé lượt bao nhiêu? Biết giá vé lượt rẻ giá vé 110000 đồng Câu (1,5 điểm) Cho phương trình x − 2(m + 1) x + m + = ( 1) ( x ẩn số, m tham số) a) Giải phương trình ( 1) m = b) Xác định giá trị m để phương trình ( 1) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn điều kiện x1 + ( m + 1) x2 = 12m + Câu (3,0 điểm) Cho tam giác nhọn A BC nội tiếp đường tròn (O ) Các đường cao A D , BE , CF( D thuộc BC , E thuộc A C , F thuộc A B ) tam giác cắt H , M trung điểm cạnh BC a) Chứng minh A EHF tứ giác nội tiếp b) Chứng minh đường thẳng M E M F tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tứ giác A EHF c) Chứng minh DE + DF BC Câu (0,5 điểm) Cho a, b số thực dương thỏa mãn điều kiện a + b = 2ab Chứng minh rằng: 1 + a + b + ab a + b + 2a2 b2 4 -HẾT Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh SBD: Phòng thi PHÒNG GD&ĐT TAM DƯƠNG HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ KSCL HỌC SINH LỚP 9, NĂM HỌC 2021-2022 MƠN: TỐN I TNKQ (2,0 điểm) Tổng điểm Mỗi câu 0.4 điểm Câu ĐA B A C C II Tự luận (8,0 điểm) Câu (3,0 điểm) Phần Nội dung trình bày a (1đ) x4 – x2 – 12 = (1) Đặt x2 = t ( ĐK: t ≥ 0) Từ (1) => t2 - t - 12 = Δ = (-1)2 - 4.1.(-12) = 49 >0 Suy + 49 t1 = = ( t / m) ; 2.1 − 49 x2 = = −3 (loai ) 2.1 Điểm 0,25 0,25 0,25 0,25 Với t = ta có: x = x = ±2 1,2 b (1đ) c (1đ) Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt là: x = ±2 Để hàm số y = ax − hàm số bậc cắt đường thẳng y = −3 x + a ≠ a ≠ -3 Vì đồ thị hàm số cho cắt đường thẳng (d) : y = −3 x + điểm có tung độ nên y = Suy = -3x + x = -1 Vì (-1; 5) thuộc đồ thị hàm số y = ax − nên = a.(-1) -4 a = -9 (thỏa mãn) Vậy a = -9 Gọi giá vé cáp treo x (đồng) giá vé cáp treo lượt y (đồng) (điều kiện: x > y > ) Ta có: x − y = 110000 (1) Số tiền mua vé cho 35 người là: 35.x (đồng) Số tiền mua vé lượt cho người là: 5.y (đồng) Theo ta có phương trình: 35 x + y = 450000 (2) x − y = 110000 35 x + y = 450000 Giải hệ phương trình ta được: x = 250000, y = 140000 (thỏa mãn điều kiện) Vậy giá vé 250000 đồng, giá vé lượt 140000 đồng Từ (1) (2) ta có hệ phương trình: Câu (1,5 điểm) a) (0,5 điểm) (1,5đ) 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Với m = phương trình ( 1) có dạng x − x + = Vì a + b + c = + (−4) + = nên phương trình có hai nghiệm x1 = 1; x2 = Vậy phương trình có hai nghiệm x1 = 1; x2 = m = b) (1,0 điểm) ( ) 2 Có ∆ ' = [ −(m + 1) ] − m + = m + 2m + − m − = 2m − Phương trình ( 1) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 0,25 ∆' > m> 2m − > 0,25 0,25 x1 + x2 = 2( m + 1) Khi theo hệ thức Vi-ét x1 x2 = m + ( *) Thay ( m + 1) = x1 + x2 vào biểu thức x12 + ( m + 1) x2 = 12m + x12 + ( x1 + x2 ) x2 = 12m + ( x1 + x2 ) − x1 x2 = 12m + ( ) Thay ( *) vào phương trình ( ) ta ( ) ( m + 1) − m + = 12m + 2 3m − 4m = ( ) Giải phương trình ( 3) ta m = KTM m > Vậy với m = 0,25 ,m= TM m > phương trình ( 1) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn 0,25 x + ( m + 1) x2 = 12m + 2 Câu (3,0 điểm) a (1đ) A I F E H O B D M C 0,5 b (1đ) 0,5 a Chứng minh A EHF tứ giác nội tiếp ﾷ FH + A ﾷ EH = 90 + 90 = 180 Xét tứ giác AEHF có: A Mà hai góc đối diện tứ giác A EHF nên tứ giác A EHF tứ giác nội tiếp (dhnb) b Chứng minh đường thẳng M E M F tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tứ giác A EHF Gọi I trung điểm A H suy I tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEHF 0,25 ﾷ ﾷ IH = IF ∆HFI cân I (tính chất tam giác cân) IFH = IHF ﾷ ﾷ ﾷ ﾷ Mà IHF (đối đinh) = DHC IFH = DHC Do ∆BFC vuông F , M trung điểm BC nên M F = BC = M C (định lí đường trung tuyến tam giác vuông) 0,25 ﾷ FH = M ﾷ CF (2) M ﾷ FH + IFH ﾷ ﾷ ﾷ CF = 90 (Do tam giác Từ (1) (2) suy ra: M = DHC +M CDH vuông D ) 0,25 ﾷ FI = 90 hay IF ⊥ M F Suy ra: M 0,25 Vậy M F tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tứ giác A EHF Chứng minh tương tự ta M E tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tứ giác A EHF c Chứng minh DE + DF BC DE ף+DF ף+BC+ ( DE DF) BC BC DE BC DF BC BC ∆M FC cân M c (1đ) ( DE ףDF) BC Ta có BC BC +2 = ( BD + CD ) BC = BD BC + CB CD Các tứ giác A CDF , A BDE tứ giác nội tiếp (do có hai đỉnh kề nhìn cạnh AC AB góc vng) nên ta có: BD BC = BF BA CB.CD = CE.CA 0,25 Do BC = BF.BA + CE.CA ( 1) Xét ∆BDF ∆BA C có: ﾷ BC chung; A ﾷ ﾷ (góc ngồi góc đỉnh đối diện tứ giác nội tiếp BFD = BCA A CDF ) DF BF ∆BDF ∽ ∆BA C( g.g ) = DF.BC = BF.A C (2) A C BC Chứng minh tương tự ta có ∆CDE ∽ ∆CA B( g.g ) DE CE = A B BC DE BC = A B CE (3) Cộng vế theo vế (2) (3) ta có: DF BC + DE BC = A C BF + A B CE ( DE + DF).BC = A C BF + A B CE (4) Xét hiệu: BF BA + CE CA − ( A C BF + A B CE) = BF BA + CE CA − A C BF − A B CE = A C(CE − BF) + A B( BF − CE) = (CE − BF)( A C − A B) (*) 0,25 Nếu A C AB CE2 = BC − BE Áp dụng định lí Pytago ta có: BF2 = BC − CF 2S A BC = BE.A C = CF A B Mà A B A C 0,25 ۣ BE CF CE2 BF2 CE BF (CE − BF)( A C − A B) ׳+− BF+ BA CE CA ( A C BF A B CE) + BF ׳+ BA CE CA A C BF A B CE 0,25 ( 5) + => DE + DF Từ (1), (4) (5) suy ( DE ףDF) BC BC Tương tự cho TH AC ≤ AB suy CE ≤ BF Vậy DE + DF BC Câu (0,5 điểm) Đặt x = a; y = b ( x > 0; y > ) 1 + Ta phải chứng minh: 2 x + y + xy x + y + 2x2 y Áp dụng bất đẳng thức Co-si cho hai số dương ta có: x + y 2 x y ; x + y xy x + y + xy 2 x y + xy 2 xy ( x + y ) 4x2 y2 x + y + x2 y 1 = 2 xy + x y xy ( x + y ) 4x2 y2 = 2 1 + 2 x + y + xy x + y + 2x2 y xy 1 + 2 x + y + xy x + y + 2x2 y 0,25 1 + 2 = 2 2 4x y 4x y 2x y x +y= xy Ta có: xy BC xy x 2y 1 x4 = y Dấu xảy Vậy x2 = y x= y x; y > x = y =1 1 + a + b + 2ab a + b + 2a2b2 4 0,25 Dấu “=” xảy a=b=1 Các lưu ý giám khảo: - HDC trình bày cách giải, cách làm khác cho điểm tối đa; - Bài hình khơng vẽ hình vẽ hình sai khơng cho điểm; - Điểm tồn tổng điểm câu khơng làm trịn