CHUONG 1
GIOI HAN VA SU LIEN TUC CUA
HAM SO MOT BIEN SO
Phần đầu của chương nhắc: lại một số khái niệm cơ bản của toán học: tập hợp, số thực, ánh xạ Sau đó giới thiệu khái niệm dãy số, giới han dãy số, giới hạn hàm số, một số giới hạn cơ bản, cách khử các dạng vô định Phần cuối chương trình bày khái niệm liên tục của hàm số, một số tính chất cơ bản và bài toán xét sự liên tục của hàm số
1.1 Tập hợp, tập các số thực và giới hạn của dãy số thực 1.1.1 Tập hợp
a) Tập hợp và phần tử
Tập hợp là một khái niệm cơ bản của toán học Tập hợp được cho hoặc bằng
cách liệt kê tất cả các phần tử của nó hoặc bằng cách chỉ rõ dấu hiệu các phần tử của tập hợp với các vật không phải là phần tử của nó
Nếu phần tử ø thuộc tập hợp A thi ta viét a € 4 và đọc là a thuộc 4; trong
trường hợp ngược lại, ta viết ø ý 4 ( hoặc a €4) và đọc là ø không thuộc Ạ Dé
chỉ tập hợp 4 gồm các phan tir a,b,c, -, ta viet A = {a,b,c, -}; con để chỉ tập
hợp 4 gồm tất cả các phần tử có tính chất ø, ta viết : Á = {ø| ø có tính chất o}
b) Tập con
Tập hợp Ö được gọi là tập con của tập hợp 4 (ký hiệu là B C A hoặc 1a A D B)
nếu mọi phần tử của tập hợp đều là phần tử của tập hợp Ạ Nếu AC B và ĐC A thì AÁ = ð Từ định nghĩa này, ta suy ra:
ACB
A=ne{
BCA
c) Tập rỗng: Tập hợp rỗng (ký hiệu là @) 1a tap hop không chứa phần tử nàọ
d) Các phép toán về tập hợp |
Cho A, B 1A hai tap hợp
Goi giao cua hai tap hop A va B, viét la AM B va doc la "A giao B”, là tập hợp được định nghĩa bởi :
Trang 2
Gọi hợp của hai tập hợp 4 va B, viét la AU B và đọc là ”A hợp B”, 1a tap hop
được định nghĩa bởi : |
Gọi hiệu củ được định n Néu BCA hiéu 1a C4F Cac phép to ANB) AUB) ANB) (AUB) CăBU CĂB í1 -e) Tích Đềc ( AUB = {x |x € A hoac x € B}
a hai tap hop A va B, viết là A \ Ø và đọc là ”A hiệu B”, là tập hợp chĩa bởi :
A\B={z:z€Avà xé B}
> ›
thì A \ Ø được gọi là phần bù của tập hợp B đối với tập hợp 4 và ký
án giao, hợp và hiệu về tập hợp có các tính chất sau:
nŒ= An(øn€) | UC=AU(BUC) UC =(AUC)N (BUC) NC=(ANC)U(BNC) D) =C4BNC,4D D) =C,BUC,D AC
Cho A, B 1a hai tap hợp khác rỗng Với mỗi ø € A và với mỗi b € B, ta lap cap (a,b) gọi là cặp sắp thứ tự; tích Đẻcác của A và B, ký hiệu là 4x? và đọc là ”A4
tich Décac B” 1a tập hợp được định nghĩa bởi:
Tích Đề các (a1, đạ, , đ Ta có: Tích Đề các Vi du 1.1 C la tap hop cz Ax B={(a,b)l|ac A, be B}
cua n tap hop Aj, Ag, 5 An la tập tất cá các bộ nø phần tử có thứ tự ») trong dé a, € Aj, a2 € Ag, 5 Gn € An va ky hiéu la Ay x Ap x An
A; x Ag x An — {(0a, AQ, +++, An) |a: € Á¡,? — 1,2, tery n}
Ax.Ạ.x Ăn lan) viét gon la A”
ho R 1A tap hop các số thực Khi đó
R ={(z,g):zciR,ucR} ác điểm (z, ) trên mặt phẳng tọa độ
RÌ={(z,w,z):zciR,uclR,zcR}
là tập hợp các điểm (z, g, z) trong khơng gian ba chiềụ
Ví dụ 1.2 C hứng minh các bao hàm thức sau
Trang 3
a) ANB CAUB;
b) Néu Ac X; Bc th Ax BCXxỴ
GIảị
a) Giả sửz€ Af\B>xc<Avàz€B=xcAUBĐB Vậy AnBC AUB
b) Gid str (t,y) €Ax Bore Aye Bore XiyeY = (z,y) EX xỵ
Vay Ax BCX xỴ Ny :
1.1.2 Ánh xạ
Cho hai tập hợp A và Ö, ta gọi một ánh xạ ƒ từ A sang ?, ký hiệu là ƒ: 4 —¬ Ư, là một qui tắc cho tương ứng mỗi phần tử của tập hợp 4 với một phần tử xác định của tap hop B, A duoc gọi là tập gốc (hoặc tập nguồn) và được gọi là tập ảnh
(hoặc tập đích);: phần tử € ứng với phần tử z € A gọi là ảnh của z qua ánh xạ
ƒ và viết = f(z) | | |
Anh xa f được gọi là đơn ánh nếu phương trình ƒ(z) = có nhiều nhất một
nghiệm z € 4, với mọi€c |
Ánh xạ ƒ được gọi là toàn ánh nếu phương trình f(x) = y có ít nhất một nghiệm +€ A, với mọi €
Ánh xạ ƒ được gọi là song ánh nếu phương trình ƒ(z) = có một nghiệm duy nhất z € Ả, với mọi + € Một song ánh là một ánh xạ vừa là đơn ánh, vừa là
toàn ánh |
Hai tap hop A va B goi 1a tuong đương với nhau, viết là A ~ B nếu tồn tại một song anh f: A— B
Vi du 1.3 Cho anh xa f : X — Ỵ Ching minh rang néu A, B 1a hai tap con cla
X thi f(AUB) = f(A) U f(B)
Giaị Gia st y € f(AUB) > Je € AUB dé f(z) = suy ra hoặc z € 4 thì
y € f(A), hoac z € B thi y € f(B) Vay y € f(A) U ƒ() |
Ngược lại, lấy € ƒ(A)U ƒ(B) suy ra hoặc y € f(A) C f(AUB), hoac y € f(B) Cc
f(AUB) suy ray € f(AUB).: Vay ta da chitng minh duoc f(AUB) = f(A)Uf(B)
Ví dụ 1.4 Cho Ñ là tập số tự nhiên Lấy z € Ñ, cÑ
ánh xạ: z > 3z là đơn ánh nhưng khơng là tồn ánh từ Ñ vào Ñ ánh xạ: (z,) z là toàn ánh nhưng không là đơn ánh từ Đˆ vào Đ
Ví dụ 1.5 ánh xạ: f:R-R
tr f(x) = 2?
không là đơn ánh cũng không là toàn ánh
Trang 41.1.3 Tập các số thực | Chúng ta đã biết tập các số tự nhiên: W = {0,1,2,3, ,m, } và tập các số nguyên : Z = {0,+1,+2, ,+n, }
Tất cả các số có thể viết dưới dạng tỷ số của hai số nguyên (dương hay âm), kể
cả số không,| gọi là các số hữu tỷ Tập hợp các số hữu tỷ ký hiệu là Q, và dĩ nhiên
ta có bao hàm thức: NC ZCQ
Mọi số hữu tỷ đều có thể viết thành một phân số thập phân hữu hạn hay vơ hạn nhưng tuần hồn, ví dụ:
3 |
TT D78
4 '
3 = 1,333 = 1,(3) 17
Một số có thể viết thành một phân số thập phân vô hạn không tuần hồn gọi là
số vơ tỷ, ví dụ: z = 3,1415926 ; v2 = 1,4142136 ; sin200 = 0.3420 là
các số vôtỷ - |
Nhu vậy, Ì SỐ vo ty khong thể là tỷ số của hai số nguyên Các số hữu tỷ và các số vô tỷ hợp lại gọi chung là các số thực Tập hợp các số thực được ký hiệu là ? và ta có bao hàm thức NC ZCQCR
Một số tỉnh chất của tập số thực
| 4 2
Định lý 1.1 Tập hợp số hữu ty Q là đếm được (có nghĩa là có thê xây dựng một
song anh tir Q vao N, ky hiéu Q ~ N)
Dinh ly 1.2 Tap hợp số thực R 1A khong dém duoc ( R « N)
| » , ,
Bạn đọc tự tìm hiệu chứng minh hai định lý trên
Trên tập hợp số thực, người ta đưa vào các phép toán cơ bản sau:
1 Các phép toán số học: trên IR có hai phép tốn cộng (+) và nhân (.) thỏa mãn
các tính chất sau: |
e Tinh giao hoán :
Trang 5e Tính phân phối: ăb+c)=ab+ac Va,b,cER (a + b).c =.ạe +b.c: e Phép cộng có phần tử khơng, ký hiệu là 0: a+0=0+a=a VaER
Phép nhân có phần tử đơn vi, ký hiệu 1a 1;
al=la=a VYaeER
Mọi phần tử a đều tồn tại phần tử đối, ký hiệu —ø sao cho:
e
`
5 —: 5 - >, =i = > Q + So OQ O», = ng ©, 2 lung x —- So =—- Đ>„ =) -_ => =i ga > opto œ > Qs Seo
w
~~
ti -
—° “(> = Q L ai ® © œ = ©
2 Quan hệ thứ tự: cho ba số thực a, b, c bất kỳ Khi đó ta có:
Với hai số thực a, b chỉ xy ra một trong ba quan hé: a= b, a> b, b >ạ Tính chất bắc cầu: nếu øa > ở, b> c thì a>c
Tính trù mật: nếu ø > ở thì tồn tại c € R sao choa>c> b
ear>bsb<a *) Khoang sé thuc
Cho hai số thực xác định a và ö với a < 0
Tập hợp các số thực z thoả mãn ø < z < b goi 14 khoảng mở từ a đến b, ký hiệu là
(a,b)
'Tập hợp các số thuc x thoa min a < x < b goi lA khoang dong tir a dén b, ky hiéu
la [a, b] |
Tập hợp các số thực z thoả mãn a < z < b (hay a < x < Ù) gọi là khoang nua md,
nửa đóng, ký hiệu là (a, b| ( hay [a, Ò)
Khoảng đóng {a, b] cịn gọi là đoạn [a, b| Đó là các khoảng hữu hạn vi a va b 1a cac
số xác định
Tập hợp tất cả các số thực z gọi là khoảng vô hạn từ âm vô cực đến dương vô cực, ký hiệu là (—œ, +œo) Các tập hợp số thực x thoả mãn # > a; # 3 4q; # < q;
+ < a gọi là các khoảng nửa vô hạn, ký hiệu thứ tự là: (a, +oo); [ø, +©o); (—oe, a);
Trang 6
(—co, a]
#) Trị tuyệt đối của một số thực
Trị tuyệt đối của một số thực ø, ký hiệu là |ø|là một số thực không âm xác định như sau:
| a néua>O0
ja] = —a nếu „<0
Từ đó, dé dàng suy ra các tính chất sau:
a) Nếu |z| < ăa > 0) thì —a < z < a và ngược lạị
b) Nếu |z| > b(b > 0) thì z > b hoặc z < —b và ngược lạị
©) |ø + b| < |a| + |b| đ) |ø — b| > ||a| — |ð|| e) |ạ| = H8 a| |a Ð A = BỊ Từ đó suy ra c) : Để chứng minh ‘d), ta để ý |ø| = |ø— b+ b| < |a — b| + |b| Do đó |øa| — |b| < |a — b| Tương tự |b|'— |ø| € |b — a| = |ø — b| Từ đó suy ra d) *) Truc số thực! s
Để biểu diễn-hình học tập hợp các số thực , ta xét trục Óz, với Ó là điểm gốc Mỗi điểm A trên trục Óz được ứng với số thực a sao cho OA = ạ Méi sé thuc
a duoc iting với điểm A trên trục Óz sao cho ÓA = ø Đây là một song ánh giữa
tập hợp các số thực ?? và trục Óz Chúng ta gọi trục Oz là trục số thực hay đường thẳng thực _
” | ]
Anh của các số —2, —1, —a:0, Pq 1 trên trục Óz được cho ở hình bên
-2 -1 + 0 † 1 + »>x
_i 2 1 4 4 3
Hinh 1.1: Ta đưa vào các ký hiệu sau:
h, ={£€R:z>0}), R ={zcR:z<0), R= R-{O}; R=
Ry — {0}; Rt =R {0}; N*=N — {0}
Trên trục số thực, lấy hai điểm z, Người ta gọi khoảng cách giữa hai điểm ấy là 12
Trang 7
số, ký hiệu đ(z, ) được xác định bởi: đ(z, ) = |z - — yl
Như vậy |a| chinh 1a khoảng cách giữa a và 0: |a| = d(a, 0)
Nguyên lý Archimede: Với mọi c > 0 cho trước, với mọi z > 0 cho trước, luôn tồn tại một số nguyên dương k sao cho ke > z
Định lý 1.3 Giữa hai số thực bất kỳ luôn tồn tại một số hữu tỷ
Chứng mình: Giả sử a, b là hai số thực với a < b Khi đó b—ø > 0Ö nên theo nguyên lý Archimede, tồn tại số nguyên dương g sao cho : g(b — ø) > 1 © g.b > qg.a + 1 Mặt khác lúc đó sẽ tồn tại số nguyên dương p sao cho p < ga + 1 < p+ 1 Suy ra —l<qa<p< ag+1<qbea< © <a,” €Q (dpom) q | L] “Hệ quả 1.1 Giữa hai số thực bất kỳ, có vơ số số hữm tỷ
*) c lân cận và lân cận của một điểm
Định nghĩa 1.1 Cho « > 0 1a số thực bất kỳ Tập Ứ,(zo) = {z € Ï:zog—€< # < #ọ + c} được gọi là ”c lân cận” của điềm Zọ
Tương tự, ta có ”c lân cận trái” của điểm zạ là tập hợp /,(zo — 0) = = {x ER:
#o—€< #< xo} và ”c lân cận phải” của điểm zọ là tập hợp Ụ(zp + 0) = = {x €
Rit <xu<2t+ c} |
Định nghĩa 1.2 Một tập U(zo) được gọi là lân cận của điểm zọ nếu tồn tại một
số € > 0 sao cho [/¿(zo) C (na)
Như vậy, khi nói z thuộc ,(zo) thì z gần zo một khoảng bé hơn Do tính chất
của tập các số thực, ta có : Vø,b € ?? và a < b, luôn 3c: a < e< b nên 3c > Ö sao
cho Ứ,(a) 1 U,(b) = 0
Cho số thực Ä⁄ƒ > 0 Khoảng vô hạn ;(+œ) = {z cữ:z> M} được gọi là M lân cận của điểm +œo; U-„„ = {z€ f:z< —M} được gọi là —M⁄ lân cận của điểm —oœẹ
*) Tập số thực bi chan
Tập A bị chặn dưới nếu 3 m € R : mm < a, Va € Ạ Tap A bi chan trén néu 3 ME R:a<M, Woe Ạ
Tập A goi la bi chan néulm,M ER: m<aK<M, VacẠ
Giả sử A là tập số thực bị chặn trên, M = max A néu M € A va Va € A ta déu cé
< M
“M=supA nếu Va € A đều có a < và Vé >0; 3ø€ A sao cho a > M —ẹ Như vậy max 4 phải thuộc 4, cịn sup 4 có thể thuộc 4 hoặc không thuộc Ạ
Nếu A bị chặn trên thì chưa chắc tồn tại max A nhưng luôn tồn tại sup 4 Trường
hợp tồn tại max A thi sup A = max Ạ
Tương tự giả sử 4 là tập số thực bi chặn dưới ta có
mm = mìn A nếu m € A và Vø € A đều có ø >m;
m = inf A nếu Va € A đều có ø > m và Ve > 0; da€ A sao cho a < m +
13
Trang 8
- Ví dụ 16 €
- Giải: Ta
| |
ho tập A = i n €N*} Tim max A, min A, sup A, inf Ạ cé max A = 1, do dé sup A = max A = 1
` ] , ae ^ ` `
inf A = 0 vi Va € A déu c6 a = — >0 Mặt khác với Ve > 0 đêu tồn tại ? sao
] !
cho ø = — < 0+ xây ra khi n > -
n € - ` ^
x `
_: Không tơn tại min Á vì nếu có thì min A = inf A = 0, điều này mâu thuẫn vì O¢ Ạ 11.4 M 1 Phương Để chứng m n bat kỳ bat i) Khang di ii) Nếu khãi
Phung phap c Vi du 1.7 D
Chimg minh
ot so phuong phap chitng minh trong toan hoc
phap quy nap
inh khang dinh Q nao đó (phụ thuộc số tự nhiên) đúng với số tự nhiên: đầu từ nọ ta cần chứng minh :
nh đó đúng với ? = nọ
ng định đúng với số tự nhiên k nào đó (k > nạ) thì cũng đúng với Èk + 1
hứng minh này được gọi là phương pháp quy nạp toán học ùng phương pháp quy nạp chứng minh bất đẳng thức:
n°?! >(m+1)*_ Vn 3> 3
Rõ ràng bất đẳng thức đúng với n = 3 Giả sử nó đúng với w = k ta chứng minh nó cũng đúng với n = k + 1, nghĩa là chứng minh
nếu
Nhân hai vế của bất đẳng thức trên với
Nhưng vì nên suy ra (k Ví dụ 1.8 Ch 14 (k + 1)*?? >(k+2)ˆ* ke) > (k+1)Ẻ (kK+1 ¿®+1 )*12 ta được: xạ (k+1)?2£+Đ > kk+1 (k +1) (k 4 1)2@*) per > (e+ 2 +1)*†2 > (k + 2)k+1,
lứng minh các đẳng thức sau đúng với mọi số tự nhiên:
Trang 9
n(n + 1)(2n + 1) ———pg——~ b)_ 1'+2‡+ +m=(1+2+ +n)? a) 12+27+ +n?=
Chứng minh a) Dé dàng kiểm tra đẳng thức đúng với ø = I1 Giả sử đẳng thức
đúng với = È, ta chứng minh nó cũng đúng với ø„ = & + 1 Thật vậy:
2 k(k + 1)(2k + 1) (K+ 1)(kK + 2)(2k 4+ 3)
6 6
b) Dé dàng kiểm tra đẳng thức đúng với „ = 1 Giả sử đẳng thức đúng với n = k, ta chứng minh nó cũng đúng với n = k + 1 Thật vay: |
17+2?+ +k”+(k+1) +(k+1)?= 13+28+ +kŠ+(k+1)` = (1+2+ +E)?+(k+1)9 = (1+2+ +(k+1))ˆ LÌ Ví dụ 1.9 Chứng minh bất đẳng thức sau: X%+%ợ ¢+ In > \/Z1Zạ Z„ trong đó z; > 0, ? = 1,2, ,m 2 7 1+ 2 (\V#L— v#z
Ching minh V6i n = 2: ` ˆ— V12 = (vai vray = 0
Vậy bất đẳng thức đã cho đúng với ø = 2 Giả sử bất đẳng thức đã cho đúng với ø, khi đó:
#i+Zza+đ +7aạ
#„+#a+ T+Tn+l _ n + Inti > n.\/21Za2 -‹-#n đ Zn+1
m„ + ] n+] n+1
Đặt ziz¿ z„ = at: x„.¡ — b*†} và sử dụng bất đăng thức cuối cùng ta có:
N/E, -En + Ln41 — "†1/122 mw Int} > — ntl T122 mm #Ÿn+1 UjtMet +2n41 m + Ì m + Ì nạam+1 4 prt 1 — _S _—D _- — Tì — nr —b —b n_ §" n+l a" (2 ) — O(a )
= 2=* (nat — ba" — Bat? — 8")
n+1
a—b n n—l n 2 _m—2$ ` nó n
= (12 — ba"~*) + (a" — bˆa""“)+ + (a =9)
n+] — B\2
= (a— 6)" lam +a*~2(qœ + b) + a*~3(a” + ab + bŸ) +
n+1
+(a"~! + ba""? + + mt) >0
Vậy bất đẳng thức đã cho đúng với m + 1
Dấu ” =” xay ra khi và chỉ khi #¡ = z¿ = = Zn : Oọ
Trang 10Chú ý 1.1 2 Giả s 1 ] —_ — Ly x 2 Phươn| Giả sử cần bằng suy lu thiết Ö sat minh Vi du 1.10 tri 4m lan d
1 Bất đẳng thức đã cho được gọi là bat dang thttc Cauchỵ
iz; > 0, i = 1,2, ,n áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho cdc số
1 n
L ,— taduoc: ‡/2Zạ #n > i i TT:
2 ửn : —+—+ +— #1
LQ In
g pháp chứng mỉnh bằng phản chứng
chứng minh mệnh đề A => Ö Giả sử A đúng nhưng B saị Khi đó nếu
ận logic chính xác từ giả thiết đó dẫn đến kết luận chắc chắn sai thì giả
là khơng đúng, do đó Ư đúng và khi đó mệnh dé A => ? được chứng Chứng minh rằng hàm số (+) = cos 3z + acos 2z + bcos z nhận cả giá ƯƠng
Chứng mình Giả sử trái lại, tức là hàm số chỉ nhận giá trị âm hoặc dương Không
mất tính tốr
Khi đó ta c
Suy ra acos
e Trudi
\g quát, có thể giả sử hàm số chi nhan gid tri duong: y(x) > 0, Vz€ R
Ó:
y(xz) = cos3z + acos2z + bcosz > 0
y(z +7) — cos 3x + acos2x — bcosx > 0 ©
2x >0, Vee R
TL
ng hop a ¥ 0 thi ta đi đến điều mâu thuẫn vì ø cos (2 5 ) = —a, acos (2.0) = ø là hai- giá trị trái dấụ
e Trường hợp a = 0 ta có: 1(z) = cos(3z) + bcos(z) => b z# 0 vì nếu b = 0 thì (z) = cos(3z) sẽ nhận cả giá trị âm và giá trị dương
e Vậy chỉ cần xét a = 0, b Z 0 nữa là đủ |
—1—b<(0 Vậy y(x) nhan
= v8, Vậy (+
— 6 ) nhan hân cả siá ca gia
- Nếu b > 0ta có (0)=1+b>0, (m) |,
tri
l giá trị âm và giá trị dương
TT
5 (3)
| ca
(5) =o NBL 2?
âm và giá trị dương
Như vậy mỏi trường hợp đều dẫn tới điều mâu thuẫn với giả thiết hàm (z) chỉ nhận
gia tri duon
- Néub<Otacdy
giá trị dươn
g Vậy giả thiết của ta là sai, suy ra hàm đã cho nhận cả giá trị âm lẫn |
g _ L
Ví đụ 1.11 |Chứng minh rằng v⁄2 + v⁄3 là số vô tỷ
16
Trang 11
Ching mình Giả sử r = V3 + V2 1a s6 hitu tỵ Khi dé:
V3=r—-V2 > 3=r?—2zv2+2 = 2rVv2=r?—]
r2 —
Vì r #0 nên: 2= là số hữu tỷ => xv⁄2 là số hữu tỷ Vô lý
: T
Vay V2 + V3 1a số vô tỷ Oo
1.1.5 Dãy số thực
a) Khái niệm về đãy số thực
Định nghĩa 1.3 Một dãy số thực (nói ngắn gọn là dãy số) là một ánh xa ƒ từ N* vào R, f:N* > R, n ƒ(n) = xạ Người ta thường ký hiệu {z-};n = 1,2,3, -
_ để chỉ một dãy số; z„ gọi là số hạng tổng quát của dãy số Vi du 1.12 i) {an}: tp, = 1:11 = ];#a = ̇3 = Ì¡''' ¡2a m
ii) {Zn} : za = (—1)*”;ữi = —];¡#a = ]¡Z3 = —Ì;-'' ;#a = (—1)*; -
HH) {#„} “ny fos hy T— : #„ = = n va =2:7 9H] — 4 2 a8 27? 2.4 = 4 gig 100 — = 11+ I 100 " › 1 n,
Tr
Định nghĩa 1.4 +) Dãy số {z„} gọi là bị chặn trên nếu tồn tại số M sao cho
z„ < M với mọi ? € Ñ
+) Dãy số {z„} gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại số À⁄ sao cho x, > M véi moi
nĐ ©
+) Dãy số {z„} gọi là bị chặn (giới nội) nếu nó vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới,
nghĩa là tồn tại số ă > 0 sao cho |z„| < M với moin EN
Py oy ey as Ls Pee Las us
Trong ví dụ trên các dãy s6 i) va ii) là bị chặn còn dãy sé x, = (1+ —)” 1a bi n
chặn trên, thật vậy ta luôn có:
n 1 n(n—1) 1 n(n-1)(n-n+1) 1 1 1 Tn = 1 Tt ———~T—-‹ T2 —= Ì —_ —(]— Ra n— a | " “Thal ~)+ +—(1==)1-S\(1— <1+l+—+.+-.++< "âu ` nh | 1 n| mì ) 7 T3 Tạ n! Itlts+sz†':'tựin=1+2~ sai <3 (đpcm)
+) Dãy {xn} gọi là đơn điệu tăng (tương ứng đơn điệu giảm) nếu #¡ < #¿ < - <
Ln -(*) (tương ứng z¡ > z2 > - > z¿ > - )(**) Dãy đơn điệu tăng hay
giảm được gọi chung là dãy đơn điệụ
Nếu trong (*) (tương ứng (**)) khơng có dấu ”=” thì ta nói dãy là tặng (giảm) thực sự TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIAO THONG | VẬN TẢI-CƠ SỐ 2
+) Cho day số {z„} Dãy số|{z„„}, re #Kbl.V41,N “+: <p K + + được gọi
la day con của dãy {z„} _
Trang 12
Vi du 1.13 Da số {#n} VỚI z„ = (1+ 7“) ở Ví dụ 1.4 là một dãy đơn điệu tăng,
thật vậy ta có 1 1, 1 c1, 1 2 n—1 n=l —=(l——)+ -+—(1I )(1—-—) (1— - + aha nt + a n)| n) n ) va 1 1 1 1 1 2 n
#s+i=l++~+ + I a! aa feet (m+ iyi 1———)(1- nei) ni (= n+1
W0<1-i<lTợg với < ¡ < r nên kể từ số hạng ba trở đi mỗi số hạng
trong khai triển của z„+¡ lớn hơn mỗi số hạng trong khai triển z„ và ngoài ra Z„+¡
còn nhiều hon In một số hạng, hơn nữa tất cả các số hạng đều dương nên suy ra In < Ln41 tức là dãy z„ đơn điệu tăng (đpcm))
Ví dụ 1.14 Các dãy {1, 1, 1 , 1, } và {—1, —1, —1, , —1, } là các dãy con của
dãy số {z„} Với z„ = (—])” |
Cac day sé {— —— » ye ol
Ok 3k a 3h aT là các dãy con của dãy số tử:
b) Giới hạh hữu hạn của dãy số:
Định nghĩa 1.5 Cho dãy số {xn} Số thực ø được gọi là giới hạn hữu hạn của
dãy số {z„}| khi n — œ nếu như với Ve bé tuỳ ý, tìm được số Mọ(e) € Ñ" để _|#ae— a|< c|Vn > No(e)
Ky hiéu Jim| Ln = a hoac Lp, — a khi n — oọ
Hay con nói dãy số {za} hội tụ và hội tụ về ø Trong trường hợp ngược lại dãy {z„}
gọi là dãy số phân kỳ |
Vì |z„ — a| < be a—€< am <a+e nén c6 thé phét biểu như sau:
Dãy số {z„} hội tụ đến ø nếu mọi e- lân cận của điểm a đều chứa mọi phần tử của
dãy {z„} trừi một số hữu hạn phần tử đầu tiên của dãỵ
Ví dụ 1.15 Dùng định nghĩa giới hạn hữu hạn của dãy số để chứng minh rằng :
(—1)? 1
D lim n—-00 n `—~— =0 ii) lim —— =1 n—-0o TL 1
Giai: |
, „ ~ (—1)""! 1, „, TU ở ¬ 1
1) Ta có |za ~ 0| = | n |= - Giả sử e > 0 bé tuỳ ý, khi đó —<eSn>- n, €
1 1 1
Ta lấy No(e) I-] +1 Khi đó với mi đ > No(â) thỡ |#Z„ — 0| = n < No(e) < €
¬ Z Z ; ~ ` ` ( 1)"
Điều đó có nghĩa là lim ————— = 0
1:—©O Tì
1 1 ¿
) Ta có |za|— l| < ô â | " l|<eôâ <een> l Ta lay
n+1 n+1 €
1 ` °À Ø + ~
e) = [- —1] +1 Khi dé véi moi n > Mo(e) thì |z„ — 1| < ẹ Điều đó có nghĩa
€ r : , _ : , ` ‘
la
lim = 1
noo 7, + 1
Pay ye an Sư ao
Trang 13
c) Day dan đến vô cùng
Dinh nghĩa 1.6 Dãy số {z„} gọi là dân đến dương vô cùng khi — œ,.nếu với
mọi số Ì⁄ > 0 cho trước lớn tuỳ ý, tồn tại số Mo(M) € Ñ” sao cho Vn > No(M) ta
CÓ #„ > ÌÀM
Ký hiệu lim In = +00 hay 2, — +00 khi n — oọ
n—
Vay lim t, = +oo @ VM >0,5No(M):Vn > No(M) c6 tn > M
Dãy số {z„} gọi là dần đến âm vô cùng khi n — oo, nếu với mọi số ă > 0 cho trước lớn tuỳ ý, tồn tại số No(M) € N* sao cho Vn > No(Mf) ta có za < —M
Ký hiệu lim z„ = —oẹ
Ví dụ 1.16 Chứng minh rằng: a) lim /n = +00 b) lim g” = œ với |q| > 1
Giải: |
a) Với số M⁄ > 0 cho trước thì |\/n| > M © vn > M œ n > MỸ Chọn
No(M) = [M2] + 1, khi dé Vn > No(M) tacé Vn > M => lim /n = +00
lgM IgM,
b) Ta cé |g"| > Me igi" > Mens ia „ Chọn No(M) = oad’ khi đó với _ 9Ì4 gla |
Yn, > No(M) tacé |g"| > M > lim q” = oo
d) Các tính chất của dãy số hội tụ
Định lý 1.4 ¡) Nếu dãy số {z„} hội tụ thì giới hạn của nó là duy nhất,
ii) Nếu dãy số {z„} hội tụ thì nó bị chặn, nghĩa là tồn tại một khoảng (b, c) chứa
mọi phần tử của {za}
Chung minh:
¡) Giả sử lim z„ = a, lim #zạ = b,e > 0 bất kỳ Khi đó 3Nj(e) € N*, NZ (ce) €
Tì— CO N— OO
N* sao cho: Vn > Ng(e) c6 [zn - a| < s:Yn > Nứ(e) có |za — b| < = Dat No(e) = max{ Nj‡(e), N()} Khi đó với Vn > No(e) ta có |a — b| < |ø — #„| + |#a — b| < € 5 ta Te Bất đẳng thức cuối đúng với Ve > 0 nên suy ra |a — b| =0 >a=b
(dpcm)
ii) Gia sit lim z, = ạ Khi dé 4Nj sao cho Vn > Nj c6 |tn - a| < 1 >
?:—>C©
œ— Ì< z„ < øa+ 1 Gọi b.c thứ tự là số bé nhất và số lớn nhất của tập hợp hữu
hạn {a — 1,4, #a, #yã¡; Ø + 1} Lúc đó có b € z„ < c,Vn Vậy dãy số {zn} bị
chặn (đpcm)
Dinh lý 1.5 Cho hai dãy hội tu {z,}, {yn}, lim tn = a, lim Yn = b Khi dé
i) lim (đ„ + ga) = ø + b; _ SỐ
ii) lim (kz„) = ka (k là hằng số);
iii) lim tpiyn = ạb: n—00
iv) lim on „in z0,bz 0
n—co Un
19
Trang 14
Chứng mình
Ta ching: minh iii)
Các dãy số {+„} và {y„} hội tụ nên chúng bị chặn, nghĩa là tồn tại số Ä > 0 sao cho |za| < M, ly < Mí với mọi n Với € > 0 cho trudc, 3No € N* sao cho Vn > No
có các bất đẳng thức:
l#a—4| < sử 2M’ ‘lym =Ù| < 3M) Vậy vớ n2 > No |#nn — ab| = |(Ln—@)Yn + O(Yn —
b)| < |za — al lve + |a|.|ụa — 6] < —— 2M M+ ri M =ẹ Do đó Jim tp Yn = ạb
(dpcm)
|
Cac phan còn lại bạn đọc tự chứng minh
Định lý 1.6 i) Cho hai day {z,} va {yn} Nếu z„ > 1a với mọi m; lim z„ =
a, lim vp =bthi a> b
Tt+—CO |
ii) Cho ba day {rn}, {yn} va {zn} Néu tp < Yn < Zn VOi moi n; lim z, =
nO
lim z, =a thi lim y, =ạ
N— OO NCO
Chứng minh
Ta chứng Iminh (¡) Giả thiết phản chứng aø < b, suy ra tồn tại p€Ñ: ø< p< b
Do giả thiết xạ — ø khi nø — oo nên với e —= p — ø, tồn tại Ny sao cho với mọi n> N, tacé |tp — ø| < é, tức là
&a—€<#„ạ<qœ+€
-_ Thay e = p—la vào vế phải bất đẳng thức z„ < ø+< ta được rp < p với mọi ® > Nj Tương tự do |giả thiết ạ — b khi n — co nên với e = b — ø, tồn tại N¿ sao cho với
Ps 4 1d
mọi + > Na ta có |z„ — b| < «, tttc 1a
| b—c<z„<b+ẹ
Thay e = b — p vào vế trái bất đẳng thức b— e < x, ta duoc yp, > b với mọi > Mạ Véi n > max{Mì, Nạ} ta có z„ < p và y„ > b Điều này mâu thuẫn với giả thiết
Vậy a > b - |
Ta chứng minh ii) Vì lim z„ = ø nên với e > 0 cho trước tìm được ) € Ñ” sao cho
n— oO
Vn > N, c6 J#n—4| <€ => a-—€ < In < atẹ Tuong tu vi lim z„ = ø nên với e > 0
noo
cho trước tìm duge Ny € N* sao cho Vn > Np c6 |2n—a] Cet a—e<m <ate
Dat No = max{M;, No}, khi d6 Vn > No tacda—€< an & Yn K 2% < artẹ Suy
ra |yn — al <iẹ Vay Jim Yn = Q
| `
Định lý 1.7 i) Nếu dãy số {za} tăng và bị chặn trên thì nó hội tụ ¡) Nếu đấy số {z„} giảm và bị chặn dưới thì nó hội tụ
Chứng mình
Tà chứng ‘minh (ii) Vi 1 dây {z„} bị chặn dưới nên tồn tại Ì = inf{z,,n € N*}
|
20 |
Trang 15
Với mọi e > 0 cho trước, | + € khong là cận dưới đúng của tập {z„} do đó tồn tại
n € N*} sao cho zy, <1 +ẹ Vi {z„} là dãy giảm nên với mọi n > no ta co: lL<ga@n, <l+ẹ
Do đó: |z„ — Ì| < e với mọi n > nọ Vậy limpoo Zn = l
- ; Lina me oa ~ hk:
Ví dụ 1.17 ¡) Dãy số {z„} với z„ = (1+ 7)" là một dãy số tăng và bị chặn trên - như ta đã thấy ở Ví dụ 2 và Ví dụ 1 do đó nó hội tụ Gọi e là giới hạn của day SỐ
1
này, ta được lim n (1 + 7“ =ẹ
2” Sen atest »
ii) Chứng minh rằng dãy {z„} với za = n hội tụ và tìm giới hạn của nó
, n " gntl Qn 2
Dãy sé {tn} don diéu glam, that vay = = (n+1)! : nl = nal < 1 với mọi
m„ > 1 Ngoài ra z„ > 0, Vn nên đấy {ts} bị chặn dưới vậy dãy {z,,} hdi tu, gia str
{
a la giới hạn của nó Tà có: ny) = x
: "th n1”
i
lin #z+¡ = lim x, = lim lim z,>a=0a>a=0
n—0o n—co 74 +- | n—oo 7, + | n-00 |
Vay Tt
lin — =0
T+>OO nịÌ °
Dinh lý 1.8 (Cantor): Cho hai dãy số {z„}, {„} sao cho Vn € Ñ,za < 0a¿ [#n+L› Ua+q] C
[Zn Yn| va lim (0a — z„) =0 Khi đó tồn tại một số thực duy nhất a € [za, „| với moi n
Chứng minh-định lý này dành cho bạn đọc
Dãy các đoạn {[z„, „|} thoả mãn giả thiết của định ly Cantor duoc ° gọi là dãy các
đoạn lồng nhau và thắt lạị
Dinh ly 1.9 (Bolzano-Weierstrass): Từ mọi dãy số Dị chặn ta đều có thể trích ra một dãy con hội tụ
Chứng minh định lý này dành cho bạn đọc
Định lý 1.10, Dãy số {z„} được gọi là dấy Cauchy (hay dãy cơ bản) nếu với mọi số c > 0 cho trước, tìm được số Wo(e) € Ñ* sao cho với Vm > No(e), Vn > No(e)
ta có |Zm — #n| < €
‡
Bồ đề 1.1 Dấy Cauchy là một dấy số bị chặn
Chứng minh a
Giả sử {z„} là một dãy Cauchỵ Khi đó tồn tại No(e) € N* sao cho Wm >
21
Trang 16
No(e),n > No(€) ta có |#Z„„ — #n| < 1 Đặc biệt ta có |#„ — #nạ(j| < 1 với mọi, n > Ng(€)
Vì |#„ — #s()Ì > |#ø| — |#ws()| nên |z»„| < |#xạ()| + 1 Đặt
M = max{|n|, |Za| - , |#Nạ(«) — 1Í, |#wạ() + 1|}
| co `
Ta có |zn| <i\M Vn (dpcm)
Dinh ly 1 11: (Tiêu chuẩn Cauchy) Day số thực {z„} hội tụ khi và chỉ khi nó là một dãy Cauchỵ
Chứng minh |
Giả sử dãy {z„} hội tụ, lim In = ạ Ta c6 vdi moi € > 0,5No(e) sao cho Vn >
No(e) = [tn — a| < si Khi đó với Wm > No(e),Yn > No(e) : |£m — za| <
|#m — #| + |#„ — a| < : + 5 =ẹ Vay {zn} 1a day Cauchỵ
Ngược lại, giả sử {z„} 1a day Cauchỵ Theo b6 đề trến suy ra {z„} bị chặn Theo
Định lý 1.7 có thể trích ra đãy con {z„,} hội tụ Giả sử jim In, = ạ Tà có JZn — a] < [fn — Ln, | + |r, — 4|
Vi jim In, = a nén vdi moi € > 0,3N,(e) € N* sao cho véi mọi n > Ni (Ee) có
v— OO
|#na, — ø| < ¬ Vì {z„} là dãy Cauchy nên tồn tại 3N;(e) € Ñ* sao cho với moi n> Nạ(€), nk > No(e) cd Hen id <5 Dat No = max{Ni(e), N No(e)} Tà có với mọi n > Nụ E la» — a| < +=€ vụ Jim Ln = a (dpem)
2 2 l 2
Ví dụ 1.18 Chứng minh day z, = = + = tot — hoi tụ
Chứng minh Giả sử cho trước e > 0 tùy ý Khi đó,
¡ sinn+1) sin(n+2) sin(n + p)
Trip ~ Tn) = | 2mm mm
| sin(n + 1)| | sin(n + 2)| — | sin(n + p)|
_ 2mn+l 2m+2 v3 + 2n+p
1
( „.1 1 1 am —l— -
i a an IT ~ or SF
2
khi n > — log, €, véi moi sé tu nhién p
- Vậy dãy {za} hội tụ ` oO
Vi du 1.19 Chit Ví dự 1 ng minh rang day ¡nh rằng dãy số z„ = * fot 4 » =ins tia + tị phân + hân kỳ kỳ
22
Trang 17
| 1
Chứng mình Lấy e € (0, a pan Xét
|z "1? Inn+l Inn+2 ` Inn+p“ Ìnn+p“ n+p 2 — #p| = + + 4 > P > p =
Vậy dãy {z„} phân kỳ — H
1.1.6 Vô cùng bé và vô cùng lớn
Dãy số {z„} được gọi là vô cùng bé (viết tắt là VCB) nếu lim z„ = 0 và gọi là vô cùng lớn (viết tắt là VCL) nếu lim z„ = +œc hoặc lim z„ = —oọ
NCO Tìu— OO
Vi du 1.20 Cho day số a, = n‘-))" Ching minh rang
a) Day s6 {a,} khéng bi chan; |
b) Day số {a„} không phải là vô cùng lớn
Giảị a) Với:'V M > 0 xét a„ với n = 2([M] + 1) Khi đó dãy số {an} khơng bị
chan |
b) Ta xét khoảng (—2,2) Khi đó mọi số hang a, vdi n lẻ đều thuộc khoảng
(—2,2) Như vậy trong khoảng (—2, 2) có vơ số hạng của dãy a, Theo định nghĩa
_ suy ra dãy {a„} không phải là vô cùng lớn
1.2 Hàm số và giới hạn của hàm số
Định nghĩa 1.7 Cho các tập hợp X, Y C #, ánh xạ ƒ : X — Y được gọi là một hàm số một biến số thực Tập hợp X được gợi là miền xác định, thường ký hiệu la D(ƒ), của hàm số ƒ và tập hợp ƒ(X) được gọi là miền gía trị, thường ký hiệu là E(ƒ) của hàm số ƒ; z € D(ƒ) được gọi là biến độc lập hay đối số; = ƒ(z) € E(f)
được gọi là biến phụ thuộc hay hàm số |
9
Ký hiệu: Để chỉ là hàm của z, ta viết = ƒ (z) và đọc là ”? bằng ƒ cua 2’
hay ký hiệu = y(z) va đọc là ” bằng của z” Để chỉ các hàm khác nhau, ta dùng các chữ khác nhau : y = (Z); = /(z); = g(+);
Giá trị của hàm ƒ(z) khi z = ø, ký hiệu là f(a) hay f(z) và đọc là ”ƒ tại a”
1+2 1+4 5
Ví dụ 1.21 Cho ƒ(z) = thì f(4) = = —
l+z 1+cosz
Cho f(z) = Tava v(x) = cos z thi f|z()| = 14 Joost
Ví dụ 1.22 Tìm miền xác định của các hàm SỐ sau: a) y = lgcosz
b) = lgsin(z ~ 3) + V16— #2
23
Trang 18
| |
Giải: a), Ham s6 xac định với Vz mà COSZ > Ö
Vay D(f) = : cz ;—g + km <n <5 + 2km, ke 2} b) Hàm số xác định với Vz mà
sin(z — 3) >0 ° 2km < +z— 3< m + 2kn,k € Z
16—z?>0 - -|-4<z<4
Vậy D(ƒ) = (3 — 2m, 3 — 7)
Ví dụ 1.23 Tìm miền giá trị của các hàm số sau:
©œ3—2n<xz<3—m 1 z?—] ————- b — aby = 2 — cos 3a )9= z?+1 GIẢI - 1 2y—1 2 — 1
a) Ta có| cos = 2 — - = » Mì —l.< cosäz < 1 nên ¬] < y= <1
! Ụ
Vi 2 — cos3x > 0 nén > 0 và do đó —U<2Ũ1<® <<]
]
vay BU) 4 {yt <y<i}
b) Gidi sit yo 1a gid tri bat kỳ thuộc miền giá trị của hàm số đã chọ Khi đó tồn
2 — 7
ay A we = 1+ Yo
Phuong trinh nay phai cé nghiém va hién nhién néu yo = 1 thì phương trình vơ nghiệm Như vậy phải có h — we A028 y%F#1
Với yo zZ 1, ves có z? = An Muốn phương trình có nghiệm, ta cần có 1
— yo —Yy
0 —1< <1 °
Vay E(f) = iy: -l<y< i}
tại ít nhất một giá trị z € D(ƒ) thoả mãn yo =
1+ Yọ
1.2.1 Ham số chan, ham s6 lé, ham s6 tuan hoan, ham sé don diéu, hàm số bị chặn
Giả sử Xx C R, X nhận gốc Ó làm tâm đối xứng Hàm số ƒ : X — R được gọi là chắn nếu ƒ(—z) = ƒ(z), Vz € X, là hàm lẻ nếu ƒ(—z) = —ƒ(z), Vz€ X Đồ thị của hàm chắn nhận trục tung làm trục đối xứng Đồ thị của hàm lẻ nhận gốc toạ độ Ó làm tâm đối xứng
Nếu X C #, hàm so f : X —> R được gọi là hàm tuần hoàn nếu tồn tại hằng
số dương 7' sao cho ƒ(z+T) = ƒ(z),V+z € X Số T nhỏ nhất sao cho có đẳng thức
này được gọi là chu kỳ của hàm số ƒ |
Các hàm số = sinz, = cosz là tuần hoàn với chu kỳ 2z; các hàm số =
tgz, = cotgz là hàm tuần hoàn với chu kỳ
-Nếu J Œ I C€C F Hàm số ƒ : J — R duoc goi 1a tang trén J néu 2,2 € J, 21 <2 @ Ƒ(zì) <S ƒ(z:), tăng nghiêm ngặt trên J néu 271,22 € J, 11 < 42 ©
f(a) < f(x2) giảm trên J néu 21,22 € J, 2% < 22 & f(x1) > f(r2), giảm nghiêm ngặt trên J néu 21,22 € J, 21 < 2 & f (21) > f(x2)
24
Trang 19
Hàm s6 tang hoac giam trén J dugc goi 1a ham don diéu trén J
Cho ham s6 y = f(z) xác định trên tập X Hàm số ƒ(z) được gọi là bị chặn
trên nếu 3Ä : ƒ(z) < M,Vz € X Hàm số ƒ(z) được gọi là bị chặn dưới nếu 1M : f(z) > M,Vx € X Ham số ƒ(z) được gọi là bị chặn ( hay giới nội) nếu
IM >0: |ƒ(z)| <M,Vz c X
1.2.2 Ham sé hop
ChoX CR, YCR,ZCRvacac ham s6g:X —Y, f:Y —> Z; xétham
s6h: X —> Z xac dinh boi h(x) = fig(x)], x € X; h dugc goi 1a hàm số hợp của
hàm số ƒ và hàm số ø và ký hiệu là h(z) = (ƒ.ø)(z), z € X hay h(z) = ƒ[o(ø)]
Ví dụ 1.24 Tìm ¿[0(z)] và 0|w(z)] nếu /(+) = +”, P(x) = 2”
Giải: Tà có ¿[U(#)] = [0(z)]” = (2°)? = 22 và J[w(z)] = 2) = 2“?
¬- 2z+1
Ví dụ 1.25 Xác định dạng của hàm ƒ(z) nếu biết rằng ƒ ( = ¬ ) =1#?+2z, + z
1
" 22 +1 t+1 , ttl
Giải: Với z # 1, ta đặt 4x — ¡“ti a= 7s The x boi 7s, t Z 2 vào — — '
đẳng thức đã cho, ta được :
¿+1 2 t+1 3-83
f(t) + (45) + 2.—— = Grp t #2
1.2.3 Hàm số ngược và đồ thị hàm số ngược
Cho hai tập hợp X C R, Y C # và song ánh ƒ: X —› ŸY, +z> + = ƒ(z) Khi
đó có quy luật ứng với mỗi phan tt y € E(f) tao ra phan tử z € D(f) duy nhất sao
cho ƒ(z) = Quy luật đó gọi là hàm số ngược của hàm số ƒ và ký hiệu là ƒ~1, Vậy ta có ƒ~l{) = z © + = ƒ(z) Các hàm đơn điệu đều có hàm ngược
Đồ thị của hàm số ngược = ƒ~(z) đối xứng với đồ thị của hàm số + ='ƒ(z) qua đường phân giác của góc phần tư thứ nhất
Tính đơn điệu chỉ là điều kiện đủ để tồn tại hàm ngược Tồn tại những hàm khơng
đơn điệu nhưng lại có hàm ngugc (vi du ham f(z) = : trên RF \ {0})
Để tìm hàm ngược đối với ham y = ƒ(z) đầu tiên, ta đổi vai trò của các chứ z và ( nghĩa là viết z = ƒ(ø)) và từ đẳng thức vừa nhận được đó ta tìm / = g(z) như là nghiệm của phương trình z = ƒ()
Cần chú ý rằng khi chuyển từ hàm xuất phát đến hàm ngược thì miền xác định
và miền giá trị sẽ đổi vai trò cho nhau và ln có : ƒ[o(z)Ì =z, g[ƒ(z)] = z
Ví du 1.26 Tìm hàm số ngược của hàm số 1 = 4⁄Z
Trang 20
Giai: Ta
tăng trên 2(ƒ) và do đó nó có hàm số ngược
z = Vÿ ® 9|
6 D(f) = [0,+00), E(f) = [0,+00) Ham sé y = fi là hàm - Đổi vai trò của z và ta có
=z?, r>0 Vay ham y = v⁄z có hàm số ngược là 1 = z2, z > 0
Đồ thị của hải hàm số y = x? va y = 4⁄2, x > 0 như Hình 1.2
Hình 1.2: 25 Ụ Vi du 1.27 Tìm hàm số ngược của hàm số = #= —— 1+2 l—w Mặt khác| theo giả thiết thi D(f) = R; E(f)={y:0<y<1} Với 0 < <| ta suy ra x = log, 5
Đổi vai trò của z với ta có hàm số ngược của hàm số đã cho là y = log, 1 oO —#Z
12.4 Hàm ấn
Cho X C/R, YOR; F(x,y) =0, (z,y)€XxY (L1)
Nếu ứng với mỗi z € X, từ biểu thức (1.1), ta xác định được duy nhất một € Y thì ta nói biểu thức (1) xác định một hàm ẩn ¿ đối với đối số z | Vi du 1.28 Biéu thức zŸ + 5z — ụ = 0 xác định cho ta một hàm ẩn Từ biểu thức này, ta có thể Ví du 1.29 Bi khong thé bié 13 Ham Cho z và đó với mỗi z 26
tìm được hàm tường minh ÿ = z + ðz nếu coi z là đối số iểu thức e” ` + =
u diễn được dưới dạng hàm tường minh = ƒ(z)
|
0 xác định một hàm ẩn Nếu coi z là đối số, ta
số cho theo tham số
là hai hàm số của cing mot bién t: z = y(t), y= V(t), te T Khi = p(t) € E(y) cho ứng với y = P(t) € E() ( g là giá trị của hàm
~
Trang 21
tại chính điểm ¿ đó) sẽ xác định một hàm ¿ theo đối số z, hàm số này được gọi là -
x = y(t)
hàm số cho theo tham số và ký hiệu là : ,tEeT
| y = v(t)
Vi du 1.30 Ham y = f(z) c6 thé viét duéi dang tham sé 1a ‘; ~ +(e , te D(f)
` U = ,
Ví dụ 1.31 Phương trình đường tron x? + ˆ = R2 có thể viết dưới dạng tham số là :
[TRE chap y = Rsint
Vi du 1.32 Đường xyclôit |
— Trong kỹ thuật cơ khí thường gặp bài toán : Cho một đường tròn bán kính a, lấy một điểm cố định Ä⁄ trên đường tròn; cho đường tròn lăn nhưng không trượt trên đường thẳng Hãy tìm quỹ đạo chuyển động của điểm Mí đã chọn Tà sẽ giải bài toán này bằng cách lập hệ phương trình tham số của quỹ đạo, và để cho tiện ta chọn
điểm Mí cố định được chon là gốc toa d6 O
Gia sit M(x, y) 1a mét vi tri mới của điểm chọn, Ấ là tiếp điểm của đường y À
Hình 1.3: |
tron ting véi diém M, khi dé NM = ON Dat t = ÑDM với D là tâm đường
tron img voi diém M Tacé x = OF = ON- FN = NM — MG = at — asint, y= FM =NG=ND-GD=a-acost
| xz = ăt —sint)
y = ă1.—cost) ©
_ Quỹ đạo của điểm được chọn trên đường tròn khi cho đường trịn lăn mà khơng
trượt trên trục Ox duoc goi là một nhịp của đường xyclôit Nếu cho ¿ biến thiên từ
—oo đến +oo thì phương trình tham số của đường xyclôit là : | [ = ăt — sint)
| y = ă1 — cost)
-_ Vậy phương trình tham số của quỹ đạo là : , tC|0, 2n]
; —OO <XZ<t+t€c
Trang 22
1.3.1 Ham số lượng giác ngược ạ Ham y =.arcsin x
Xét hàm số ƒ : [—§,§| —> [—1,]]
| 9= ƒ(z) =sinz
f * mot song ánh, do đó tồn tại hàm số ngược
:Í~11— [—§.3| -— z= ƒT}`(0) = arcsin 9
Vậy y = sinz #2 =aresiny, x € [—2,2], €[—1,1]
—— Theo quy ước z là đối số, là hàm số thì hàm số ngược của = sinz với
ya z 2| - | y=are sinx : Ị 3 > + O hs * cm R 2 | Hinh 1.4: 7 TT ` ` Lo ` 3 > , : ’ rẻ z :
+ € =5: 3] la ham y = arcsinz; đọc là ” bảng ác-sin x” Miền xác định
của = arcsing la D(f) = [-1,1] Mién gid tri cha hàm = arcsinz là
e(f) = [-5,2] 2, 2
-Đồ thị của hàm = arcsinz đối xứng với đồ thị của hàm số- = sinz
(-§ <a<i 3) qua đường phân giác của góc phần tư thứ nhất Đồ thị có dạng như Hình 1.4 |
b Ham y = arccos x
Xét hàm số ƒ : (0, 7] — [-1, ]]
rre-> y= f(x) =cosz
- la một song ánh, do đó tồn tại hàm số ngược
: [T—1, 1] — [0,7]
—> ø = ƒT}(u) = arccos
Vậy = cOSZ ©z=arccos, x € [0,7], € [—1,]]
Theo quy ước z là đối số, ;/ là hàm số thì hàm số ngược của 1 = cos z với z € (0, 7] là ham y = arccos z; doc là ” bằng ác-cosin x” Miền xác định của y = arccos z
là 2(ƒ) = [—1,1] Miền gía trị của hàm = arccosz là E(ƒ) = |0, 7|
28
Trang 23
- eT
_ Dé thi cha ham = arccosz đối xứng với đồ thị của hàm số = cosz (0 <a <r) qua đường phân giác của góc phần tư thứ nhất Đồ thị có dạng như
Hình 1.5 | > x Hinh 1.5: _.€ Hàm yl=arctgr - , TT Tỉ #— y= ƒ(z) = tgz ¬ ; _ 7 7
ƒ là một song ánh, do đó tồn tại hàm số ngược ƒ~ : —¬ & =)
| —+ ø = fly) = arctgu
Vậy = tgz © + = arctE, #€ (-s:s) ,Y¥ER
4
He 222
y=arctg x
6 x
a ee Hinh 1.6: hei
Theo quy ước z là đối số, là hàm số thì hàm số nguoc cua y = tgz vol z € (-5› =|
Trang 24
| eee —
| |
| `
là ham y = arctgz; đọc là ” bằng ác-tang x” Miền xác định của + = arctgz là D(f) = R Mién gia tri cua ham y = arctgz la E(f) = (-3.5
D6 thi của hàm + = arctgz đối xứng với đồ thị của hàm số 1 = tgz (=5 <#<
7 ị ca ca „ ` „ , se le
5) qua đường phân giác của góc phân tư thứ nhất Đồ thị có dạng như Hình 1.6 d Ham y = ATCCOtgZ
Xét hàm số ƒ : (0,7) —>
| #—> = (z) = cotgz
|
ƒ là một song ánh, do đó tồn tại hàm số ngược ƒ~ : lt —¬ (0,7) | | |
Vay y = cotgz & x = arccotgy, x € (0,7), yER ụr—>#= Ƒ Ì(u) = arccotgu
Theo quy ước x la đối số, + là hàm số thì hàm số ngược của = cotgz với z € (0,7) là hàm = arccotgz; đọc là ” bằng ác-cotg x” Miền xác định của
y = arccotgz là 2(ƒ) = R Miền giá trị của hàm y = arccotgz là E(f) = (0,7)
Đồ thị của ham = arccotgz đối xứng với đồ thị của hàm số = cotgz (0< z< r)
qua đường phân giác của góc phần tư thứ nhất Đồ thị có dạng như Hình 1.7
| y4 + —=—————~T~~~=~T~—=~———=——¬—ä———=—=—=—=—=—=—=———=—=—=——— 0 | | | | | | | | | t : | Hinh 1.7: |
Các tính chất của các hàm lượng giác ngược
Ì arcsin(—#) = —arcsin x; arccos(—x) = 7 — arccos x arctg(—x) = —arctgz;
2 sin(arcsinz) = arcsin(sin x) = x; COS(ATCCOS #) = arCcOS(COS #) = # tg(arctgz) = arctg(fgZ) = x; cotg(arccotgz) = arccotg(cotgr) = x
| |Z= arcsna + 2km
| , kEZ
| [z= mw—arcsina + 2kr COSZ = œ © z = #+arccosơ | + 2km k€ Z
tgz —=œ<© + = arctga | + km, ke Z |
COfØZ = @ © Z# = arccotgœ + km, KEZ
4 cos(arcsin ) = V1 —2?; sin(arccosz) = V1 — x?
3 sinz=ase
30
Trang 257 5 arcsin z + arccos z = 5 7 6 arctgz + arccotgr = 5
1.3.2 Cac ham so cap co ban
Các hàm số sau đây được gọi là các hàm sơ cấp cơ bản:
a) Hàm số luỹ thừa =z°, œc R
Miền xác định của hàm số luỹ thừa phụ thuộc vào œ
œ€ N: MXĐ là cả trục số
Với œ nguyên âm : MXĐ [a R \ {0}
Với œ có dạng œ = —; p€ Z thi:
p chan, p € N* thì MXD 1a Ry,
plé,pe N* th MXD la R
pe€ Z thì MXĐ cũng phụ thuộc vào p chắn hay lẻ
- Với œ là số vô tỷ thì qui ước chỉ xét = z” với Vz > 0 nếu œ > 0 và Vz > 0 nếu
œ<0 |
Đồ thị của hàm số + = z* luôn đi qua điểm (1, 1) và đi qua gốc toạ độ Ó(0, 0) nếu œ > 0, không đi qua gốc toạ độ Ó(0,0) nếu œ < 0 (Hình 1.8) | |
Hình 1.5:
b) Hàm số mũ + = a”, a>0, ø#Z 1
Số a gọi là cơ số của hàm số mũ MXĐ của hàm số mũ là cả trục số ?¿ Miền giá trị của hàm số mũ là J
Hàm số mũ + = ả tang khi a > 1, giảm khi a < 1 Điểm (0,1)-ln nằm trên đồ ©
31
Trang 26¬ | thị của hàm số mũ { Hinh 1.9:
c) Ham số lôgarit = log„z,a > 0, a # 1
Miền xác định là R* Số a gọi là cơ số của logarit, đặc biệt nếu ø = 10 thì viết gọn
là = Ìgz và đọc là lôgarit thập phân của z Nếu a = e thì viết gọn 1a Inz va đọc
la loga nêpe, Hàm số lôgarit = log„ z tăng khi ø > 1 và khi đó với 0 < z < 1 thì
log„ø+ < 0 với z > I thì log„z >0
Hàm số logarit = log, z giảm khi 0 < a < 1 và khi đó với 0 < z < 1 thì
log„z > 0; với z > 1 thi log, z <0
Điểm (1, 0) luôn nằm trên đồ thị của hàm số logarit (Hình 1.10)
Trang 27
Hàm ngược của hàm + = a® 1a ham logrit y = log, z, nghia la y =a" x = log, y Ham logarit c6 cac tính chất sau:
log, zy = log, r+log,y; >0, >0 log, = = log„# — Ìog„; z>0, >0 log, 7 =alog,z; x>0
ae , , log, A
Với b > 0 ta có : b= a!°%%° Với b > 0,bz 1 ta có: log, A =
} Og, a
d) Cac ham so lugng giac: y = sinz; y = cosz; y = tgr; y = cotgz
e) Cac hàm số lugng giac nguoc : y = arcsinz; y = arccosz; y =
arctg7; y = arccotgz
Định nghĩa 1.8 Người ta gọi hàm số sơ cấp là những hàm số được tạo thành bởi một số hữu hạn các phép toán số học (cộng, trừ, nhân, chia), các phép lấy hàm số
hợp đối với các hàm số sơ cấp cơ bản và các hằng
Vi du 1.33 a) = sin5z + cos(3z — ) $2) y= 24-7, y= Ve
y= z?+ v1 eal
Va
—1 nếuz< 0
b)y=|z|; sơợnz = ọ nếu z = 0 là các hàm không sơ cấp I nếuz>0
Trong các hàm sơ cấp, chúng ta chú ý đến hai loại hàm đặc biệt vì chúng đơn giản hơn cả, đó là các đa thức và phân thức hữu tỷ
Ta gọi đa thức bậc n ( với ø nguyên dương) của z là hàm số có dạng „(z) =
qọz” + aiz*~! + -+dau_1.2 + An, Ao XỌ
Ví dụ 1.34 5+3 + 4z? — z + 7 là một đa thức bậc 3 z° — 12+ + 5 là một đa thức
bậc 9
Ta gọi phân thức hữu tỷ là các hàm số có dạng tỷ số của hai đa thức :
P(t) aox" + aye” |} + + On_-12 + Gn Qm(x) — byt™ + by a2™1 4 + bo + bm
In(5z +2) +3; đều là các hàm số sơ cấp
trong dé m,n 1a cdc số nguyên dương, a;,¿ = 0,1,2, - ,m; b;,? = 0,1,2, - ,n
là các số thực
8 3
LL —ữ ] >
Vi du 1.35 mg g1 là một phân thức hữu tỷ
zđ¿+z+]1
1.4 Giới hạn của hàm số một biến số 1.4.1 Các định nghĩa
Định nghĩa 1.9 Giả sử hàm số = ƒ(z) xác định tại lân cận (zo) của điểm zo (không cần xác định tại zọ) Số A được gọi là giới hạn của hàm số ƒ(z) khi z — Zọ
33
Trang 28
nếu với Ve > 0, tồn tại số ô(€) > 0 sao cho với mọi z € (zo) thoả mãn điều kiện
0 < |z— zo| < ỗ(e) thì ta có |[ƒ(z) — | < c Ký hiệu li Dùng ký hi lim ƒ(z) = #z—¬1o Ví dụ 1.36
n f(z) =A hoac f(a) — A khi z — Zọ
ro
êu logic, định nghĩa trên có thể viết gọn là :
: A © Vc >0,3ơ(e) >0: Vz € {0 < |z—zo| < d(€)} ® |ƒ(+)— A| << Chứng minh rằng : a) lim(3z —2)=1 1 b) lim(z cos —) = 0 z—0 +
- Giải: a) Tà có |(3z — 2) — 1| = 3|z — 1| Từ đó thấy rằng voi We > 0, lấy ổ(e) = 5
Với mọi z thoả mãn |z — 1| < ð thì |(3z — 2) — 1| < Vậy theo định nghĩa ta có lim(3z — 2) = ]
b) Hàm f(z của điểm 0! Xét | f(x) -
Lay d(€) =
-) = #zcos — không xác định tại điểm zọ = 0 nhưng xác định tại lân cận
+
1 1
'.0| <<:© |zcos = <côâ |z||cos | < r
ar , 8 l
c, khi đó với moi x thoa man |x| < d(e) thi |x cos—| < « +
: 1
Vậy theo định nghĩa, ta có lim z cos — = 0 Định ng
- nghĩa (theo Định ngh (không cần nếu đối với trị tương ứn Định ng nghĩa bằng 3 — 6” Vi du 1.37 t +#— 4
hia gidi han (theo Cauchy) vita phát biểu ở trên tương đương với định Haine) sau đây:
ĩa 1.10 Giả sử hàm số = ƒ(z) xác định tại lân cận U(zo) của điểm zọ
xác định tại zo) Số A duoc gọi là giới han cha ham sé f(x) khi z — x moi day {tn}, tn € U(x), fn F Lo, Vn hoi tu đến zọ thì dãy các giá
g cua ham s6 f(x), (za), , ƒ(za) hội tụ đến Ạ
hĩa thứ hai dựa trên khái niệm dãy số nên nó thường được gọi là định ngơn ngữ dãy, cịn định nghĩa thứ nhất gọi là định nghĩa bằng ngôn ngữ
1 a) Chứng minh rang lim zsin — = 0
TzT— %
) Chứng minh rằng không tồn tại lim sin
x—1 +z— Ì Chứng minh: a) Ta có hàm f(z) cận điểm 0 | 0<lƒ›)| 34
= xsin -không xác định tại zọ - = 0 nhưng xác định tại lân
+
Lấy dãy{z„} bất kỳ trong khoảng (—1,1) và lim z„ = 0 Tà có
?ì—>©O
1
= |r, sin —| < |zp|
Trang 29
Vì lim z„ = 0 nên suy ra lim ƒ{z„) = 0
T:—>O©CO
1 Theo Định nghĩa 1.9, ta có lim z sin — = 0
z—0 +
2
b) Ta lấy hai dãy z„ = 1+ ——; a=1+———; n=1,2 ) — nn’ » * Gn+ ba "
Rõ ràng lim z, = lim y, = 1 Day cac gid tri ham tuong tng 1a: ƒ(z„) =
T:+—C© Tì—›C©
1 1
sin ———— = sinnz = 0; f(yn) = sin 5 = sin(5 +2nm) =]
1+-——1 7 TT 1+————-¬I (4n + 1)
Nhu vay lim f(zn) = 0; lim f(y) = 1
T:—CO T:—>CO©
Theo định nghĩa giới hạn theo ngôn ngữ dãy số, ta suy ra không tồn tại lim sin
Định nghĩa Ị]1 Số A gọi là giới hạn bên phải của hàm sé f(z) khi z — Zo, ký hiệu Á = „im | f(x) = ƒ(zo +0) nếu Ve > 0,3 ổ(e) >0: Vr {0 < z— zo<
d(e)}, +z€ U(o +0) + | f(z) — Al <ẹ
Định nghĩa 1.12 Số A gọi là giới hạn bên trái của hàm số f(x) khi z — zo, ký
hiệu Á = „lim | f(x) = ƒ(zo — 0) nếu Ve > 0,3 ổ(c) >0: Vz€ {Ô < zo— #< ô(e)}, z€ U(zoT— 0) © |ƒ(+) — A| <c
Ở hai Định nghĩa 1.10 và 1.11, néu zo = 0 thì ta viết z — +0 hoặc z — —0 và
tương ứng ƒ(+0), ƒ(—0)
|z|
'Ví dụ 1.38 Cho hàm số ƒ(z) = '“Ì Hàm số này không xác định tại điểm zọ = 0 +
và với z > 0 thì ƒ(z) = 1, với z < 0 thi f(z) = —1 Do dé lim, f(z) = 1, lim ƒ(œ) = =1
Qua ví dụ này, ta thấy rằng nếu lim ƒ(z) = A, tức là z — zọ cả hai phía (cả
x < Xo lan x > Zo) thi nhất thiết “lim f(@) = _iim | f(x) = Ạ Hon nita, cé
thể chứng minh được rằng điều kiện cần và đủ để jim f(x) =A la f(zo + 0) =
_ƒ(zo — 0) = Ạ "
Vi du 1.39 Tìm các giới hạn một phía của hàm số :
1
Ƒ(z)=3+————, z—
1+71z
Giải: Ta có — +œo khi z — l1— 0 Do đó lim (1 + 7i-z) = +œọ Suy
— 3 x—Ì]—
ra 1
lim ———— = 0
2101 +71E
Vay f(1 — 0) =3
Khiz — 1+0, tacé 1 — zx — =oọ Dođó lim 71*z =0 Vậy ƒ(110)=3+1=4 x—1+0
Trang 30|
Trên đây, chúng ta định nghĩa giới hạn của hàm ƒ(z) khi z — #ọ với zọ là hữu
hạn, bây giờ ta xét trường hợp z —› +œo và z — —oœ
Định nghĩa 1.13 Nói rằng hàm số ƒ(z) có giới han là 4 khi z dần tới dương vô cùng và viết là lim ƒ(z) = A nếu với bất ky € > 0, tim được N > 0 đủ lớn sao
cho khi x >! N thi ie )-Al<ẹ
Nói rằng hàm số ƒ(z) có giới hạn là A4 khi z dần tới âm vô cùng và viết là
im f(z) = = A nếu với bất kỳ € > 0, tim duoc N > 0 đủ lớn sao cho khi sr < —N
thi | f(z) — Al <e
1 Vi du 1.40 Ching minh rang lim = 0
a à ? 9 oe 4 ` 9? ^ 1 + `
Giai: Gia sử với bất kỳ ce> 0, chi cân chọn Ñ > - ta ln có z > N thì €
1 1
zT 0Ì < é | Theo Định nghĩa 1.12, ta có lim — =0
#—+œ 7
Định nghĩa 1.18: (giới hạn vơ cực) Nói rằng hàm số ƒ(z) có giới hạn bằng œ tại điểm zọ và viết là lim„_,„¿ ƒ(z) = œo nếu với mọi Ä⁄ > 0 tùy ý, tồn tại ô(Ä/) >'0
sao cho với mọi z thỏa mãn 0 < |z — zo| < 6(M) thì suy ra |[ƒf(z)| > M
Chú ý 1.2 Người ta chứng minh được rằng, nếu ƒ(z) là ham sơ cấp xác định tại zo thi lim f(x) = f(zo)
#—>zg |
|
1.4.2 Các tính chất của giới hạn
Tir nay tro di, khi viét f(z) — Ăx — zo) nếu khơng thấy nói gì thêm thì ta hiéu rang A/la hitu hạn, cdn 29 có thể hữu hạn hoặc vô cùng
Bây giờ, chúng ta phát biểu một số tính chất đơn giản của giới hạn hàm số | Dinh ly 1.12 a) Néu tén tai lim f(x) = a thì giới hạn đó là duy nhất
z—zọo
b) Nếu tồn tai lim f(z) = a, a > e (a < c) thì tồn tại lân cận U(zo) sao cho
Zz—>zo
f(z) $c (f(z) <0), Vx € U(20) |
c) Néu f(a) > g(x) Vz € U(so) thì lim f(x) > lim g(z) Dinh ly 1 13 Cho lim f(a \=A, iim g(x) = B Khi do:
a) lim 6 f(z) CA, với Œ là hằng số b) Tìm |ƒ(2) + (2 I= A+B
c) lim [f(¢).9(2)] =
d) lim f(z) = A với điều kiện Ö F 0 z¬so g(g) B’
Việc chứng minh định lý này giành cho bạn đọc
| |
-36 |
Trang 31
Định ly 1.14 (giới hạn hàm hợp) Cho hàm hợp Ƒƒou:z — ƒ[u(z)| Nếu trong
quá trình nào đó
a) lim ul) = U0;
b) f(u) xác định tại uọ và lim„_,„¿ ƒ(u) = f(uo) thi
lim f[u(x)] = ƒ[lim u(z)|] = ƒ(ua)
Chú ý 1.3 i) Từ Định lý 1.13, ta suy ra rằng, nếu Đ„,(z) là một đa thức bậc ø đối
với z, nghĩa là P„(z) = ao + ø#z + - +daz”, aạ Z 0 thì:
lim Đ„(z) = lim (œơøI#+ -+d„#”) = (œơd0izơ - +anzg) = Pămo)
#—zo IIo
_Tổng quát hơn, nếu #(z) là một phân thức hữu tỷ, nghĩa là :
đọ + 0# +Ð +: tần?” — P,, (x) bọ + bịz + : +bmzm — Q(2)
R(z) =
P, (x9)
thi lim Pr{z) Jim D(a) Qaữa) mo) z0 (a0)
+ , » 0
ii) Có nhiều cách khác nhau để khử dạng vô định : œ — œ, 0.oo, oo
cu Zig
Sau đây, ta nêu một số cách khử dạng vô định thông qua cac vi du Ví dụ 1.41 Tính các giới hạn sau đây:
r+1 l—vz a lm -_===——.— b) lim ————= ) 4—>—] VB+2 ‡ 3 + 3z 34 32 zl] ] — 1-¥z oe + 3x? —- 97 — 2 sin 2x — cos 2z — 1 c) lim d) lim
z—2 x3 —~ —6 rot 4 cos x — sinz
e) lim vttve f) lim (/z2+ /2- Vz)
r—+00 ++l t—++00
Giai: a) Ta can khu dang v6 dinh = bằng cách biến đổi biểu thức dưới dấu giới
hạn Tà có: lim c+] — lim (z+ 1)(W6z? +3 — 3z) 2-1 6x2 + 3+3x z¬—I 6z? + 3 — 92? _ (œ+1)(v6z?+3- 3z) 6x7 + 3 — — lim = lim ————_—_ = — 1 — 3(œ+1)(1—#) z—1 đ(1— #)
b) Ta nhân tử số và mẫu số của biểu thức dưới dấu giới hạn với tích (1 + 4⁄z)(1 +
Vx + +2) và sau đó giản ước cho 1 — z(z # 1), ta có:
lave (I-z\(1+z+Ở2z?) 14 ¥et+vVx? 3
lim —— = hm = lim ————_—— = =
ral l— Ye «1 (1—2)(1+ V2) m1 l+/e 2
Trang 32l c) Ta cói | ^ z3 + 342— 9g—2 | (x—2)(2?+5a+1) „ z?+5z+l lỗ lim = lim lm ——————~ = — _ z3 z3+~—6 z¬2(%—9)(2+2z+3) z¬2z2+2z+3 11 _đ) Tạ có: -
._ Sn2Z +cos2Z — Ì _ —(1 ~sin 2x) — (cos* x — sin? x)
lim 3 = lim :;
r= cosx—sinz zt cos x — sing
i —(cosz — sin x)* — (cos x — sinz)(cosz + sin 2) = lim z¬R cos Z — Sỉn | (cosz—‘sinz)(—2cosz) = lim : = lim(—2cosz) = —V2 rF | coSx—sinz 24 ] iv Š —Ố €) 11 Jil i 1+— ve Varo m —— - vty im, + r z—-+-oo h +2 1
-9 „im Nn — V2), ), dang vô dinh oo — oọ Tà có:
Tia = "
lim (jx + fz lim =,
_lim | ~ va) = #ơ++đ 4/7 + V2 + VE 2
Tiéu chuẩn để hàm có giới hạn (Tiêu chuẩn Cauchy):
dạng vô định ` Ta có:
CO
Định lý 1.15 Điều kiện cần và đủ để hàm f(x) có giới hạn hữu hạn tại zọ là:
Ve > 0, Jo > 0: Va,z2’ thoa man 0 < |# — #o| < ô, 0< zc! — Zo < 6 thi f(x) - /z)| <£
Định lý 1.16 Điều kiện cần và đủ để hàm ƒ(z) có giới hạn hữu hạn tại trong quá trình z — Hà là: Ve >0, 3W = N(e) >0: Vz,z' thỏa mãn z > N, x’ > N thi
| ƒ{z) — (z))| <e£ |
a hop x — —oo phat biéu tuong tụ
Qua các ví dụ trên, ta thấy rằng dùng Định lý 1 13 có thể khử được dạng vô định
thuộc loại phân thức hữu: tỷ Để khử các dạng vô định khác, chúng ta còn một số
mệnh đề khác và một số các giới hạn thuộc loại dạng vô định điển hình Trước hết, tiêu chuẩn kẹp” được phát biểu như sau: |
Dinh ly 1.17 Giả sử ba ham f(z), g(x), h(x) xdc dinh ở lân cận U (xo) cha Xo thoa
mãn bất đẳng thức ƒ(z) < g(x) < Ăx) véi mọi z thuộc lân cận /(zo) Khi đó, nếu
Jim f(z) = im h(x) = A thì Jim g(x) = Ạ 4 3% ta co Chứng mình định lý này dành cho bạn đọc sin # = Ì,
Ví dụ 1.42 Chứng minh rang lim +
Giải: | | 38
Trang 33
ya 1 M T | x NA > -1 œ P iil x Hinh 1.11: sin x
Ham f(x) = không xác định tại điểm zọ = 0 nhưng xác định tại lân cận của nó, chẳng hạn (0) là 0< |z| < >
Xét < z< =" Dua vao Hinh vé 1.11, ta co:
Sasom < Sq som < Sasor © 20ẠMP < 20ẠAM < 50ẠAT
1 _ < SI1Z COSZ œ MP< AM < AT ©sin+ < + < tạx 1< sin x ` © cosz < —— < ]Ì (1.2) x TT Xét => <# <0, dat r= —t, tacot > 0
sinz sin{—Ý sin£ „
Vi cos x = cos(—t) = cost nén = = ) =— va do t > 0 nén suy ra bat
x —
đẳng thức (1.2) vẫn đúng trong trường hop —s <#z<0
sin
= ]
Như vậy, chúng ta đã chứng minh được giới hạn rất quen thuộc (đã học ở trung học)
Mặt khác, lim COSZ = Ì Và lim 1 = 1 nén theo Dinh ly 1.10, ta có lim
+— thuộc dạng vô định 0 sm# _ 1 (13) lim —+0
Sau đây, chúng tôi giới thiệu một vài ví dụ áp dụng giới hạn trên
Ví dụ 1.43 Tính các giới hạn: | | i l—cosz _ tgx—sinaz | —————— c) lim —————— _ tga a) lim — b) lim œ—0 x2 z—0 Zz z—0 2 1 , ot 1 — SỈ ¬
Giải: a) Tà có lim 3` - lim (lễ ) = lim “ lim =1l1l=1
z—0 2£ z—0 ‘xX COSZđ z—0 XY z—0 COSØZ
- Ö _ L—COSZ 2sin” š 1, sin § 21 b) lim ————— = him = - lim > =~
+—0 r3 z—0 x 2 z—^0 2 2
Trang 34
#Qq#—sinz , sinz(l—-cosz) 1 sinz l—cosz
€) lim ————— = ÌlIm ——————— = Ìim
z0 1 gS _ a0 COS #.Z3 z—Ũ COSZ Z z2
¬ sing l—cosz
= lim - lim lm ————— = ll.s=-5 z—-0cosx z-0 xX r0 7# 2 2
Bây giờ, chúng ta nêu một mệnh đề nói về sự tồn tại giới hạn của một hàm số đơn
điệụ
Định lý 1.18 Cho ƒ(z) là một hàm số xác định, tăng (giảm) trên Ÿ khi đó, nếu
hàm số ƒ(z) bị chặn trên (bị chặn dưới) trên # thì tổn tại lim f(z) ( lim f(x)) +00 #—>—Qœ°
Chúng ta không chứng minh định lý này mà chỉ để ý rằng, nếu hàm ƒ(z) tang
mà không bị chặn trên (giảm mà không bị chặn dưới) thì khơng tồn tại giới hạn của
hàm ƒ(z) khi z — +oo (+ — —oœ©)
Bây giờ, ta hêu áp dụng Định lý 1.17 để chứng minh rằng:
| x zx
' 1 1
lim (: + :) = lim (: + :) =e (1.4)
r—+00 x L——0O x
Giải: +) Trước hết, xét quá trình z — +oọ Khi z khá lớn và z > 0, ta ln tìm
được số n € NÑ để n <S z <n + 1 Suy Ta : 1 " 1 1 ?+-+] 1 2 1 nN, 1+->14+=->14 n x n+1 efl+— n >|[l+-] >l1+ % n+1 Tà có khi x — +00 thi n — co va 1 n+] 1 n 1 l+— = |l+— l+—] — Ìle=ec nT i nT 1, NT? n+l 1 1 1 l+ =|l+ ——————€.] =eEC n.+ 1: : m„ + Ì l+—— 1 m% + Ì #—+co 1 +
Theo Dinh ly 1.17, tacó lim (: + ~) =e +) Bay gio, ta xét qua trinh x — —oọ
Đặt ý = —(z + 1) Khi z — —oo thi t > +00 va viz = —(t + 1) nén ta có :
1\2 1 —(t+1) t —(t+1)
(++) =('=z1) =“(m)
(+1) t
t 1
-(): =(1+2) (142) ete khi t toc
| % 7 2
| 1
Vay jim {1+ =) = e & (1.4) da chimg minh xong
x
+#——C©©
“ 1 ` z + 2 “ °
Chú ý 1.4 (i) Néu dat u = — thi ta cé mét dang khac cua sé e: lim(1+ u)w =ẹ x tL—>
(1ñ) Số e và logarit tự nhiên: Số e là một số vô tỷ e = 2, 718281828459045 Hàm số logarit với cơ số e được gọi là logarit tự nhiên hay logarit nêpe và ký hiệu là In , nghĩa là Inz = log, x z >0 Từ cơ số e, ta xây dựng hàm số mũ = ©? rất hay gặp trong giáo trình về saụ
Trang 35
Các hàm hyperbolic được định nghĩa như sau:
xv
(1) Hàm y = —
‘x
(2) Ham y = ——
—2Z
được gọi là hàm sinhyperbolic, ký hiệu sh z,
_
được gọi là hàm cosinhyperbolic, ký hiệu ch z,
(3) Ham y = af được gọi là hàm tanhyperbolic, ký hiệu ¿hz ch
Dễ dàng chứng minh được :
ch?z —-sh?z=1, sh2z=2shzchz, ch2z=chếz+shÊz,
sh(z + ) = shz chị + ch z sh g, ch(x + y) = chachy+shzshy,
shíz — y) = shachy —chzshy, ch(x — y) = chachy —shzshỵ Vi du 1.44 Tính các giới hạn sau: 2 z+1\?? z2—1\ 9 tạ (1) Ð tim, (S53) 1 COSZ \ z2
c) limÑ1 + sinz) d) lim = =)
Giai: a) Khi x — oo thi 7 , — Ì và z + 2 — œo nên ta gặp dạng vơ định 1® Ta
sá211 1.2 " %—] z—Ì] Đặt 2 = @x=2z+1 Do đó: ` #@—l Z € +] \ lim = roo \z— ] 1 2z+3 1 2z 1 3 lim | l+— = lim |l+— {l+— z—=oo 2 tS z ẽ 1 Zz 2 1 3
= lim (1 + -) | lim ụ + 3 = ẻ.1 =ẻ
2-400 Zz 2-400 Zz 2 2 z?z—11f b) hl ) 72400 € + 1) 2 + = hm [l- z—+co x +1 2x? w+ 1) "2241 2 \ 2 = lim 1— —= = @—+oo ( xe + 7 € sin l ! 2z
Cc) lim(1 +sinz)2# = lim € + sin z) SIN # =ẻ
4I
Trang 36
cos Z — cos 2x
bó COS 2Z %2 cos 2Z
COS # \ z2 COS # — COS 27 cos + — cos 2z
d) lim ( z—0 \cos 2z ~)* —limd (14 2208" z—0 cos 2x -
3
= €2
cục COSØ —COS27 1 (1-—cos2z) — (1 —cosz) ( vi lm ——z————— = lim z—0 #?.COS 27 œ¬0 | COS 27 x? =
im 1 | i n 1 — cos2z 4— lim 1 —cosz 1 4 ] 5
—= ————— 11 —————————~, — ——m—m——— = — — — =—= - | z—0 cos2z \z—0 (2z)? z—0 +2 2 2 2 1.43 Vô cùng bé Vô cùng lớn | Ị Vô cùng|bé ạ Định nghĩa và ví dụ
Định nghĩa 1.14 Hàm số ƒ(z) được gọi là vô cùng bé, viết tất là VCB khi z — zo, nếu Jim f(x) = 0 (zo c6 thé 1a hitu han hoac v6 cing)
Vi du 1.45 a) ƒ(z) = sinz, g(z) = 1— cosz là các VCB khi z — 0
| 1
b) ƒ(z) = — là VCB khi z > +00 +
b Các tính chất của VCB
i) Néu f(x) và g(z) là hai VCB trong cùng một quá trình thì tổng ƒ(z) + ø(z), tích | Ƒ(z).g(z) của chúng cũng là VCB trong quá trình ấỵ
ii) Néu f(a) la VCB khi x — zo va ø(z) là hàm bị chặn ở lân cận của zọ thì tích
ƒ(z).g(z) là'VCB khi z > 2
Tính chất ¡) được suy ra từ các định lý về tổng, tích các đại lượng có giới hạn Sau
đây, chúng ta chứng minh tính chat ii) :
Ta chứng minh cho trường hợp z — Zp, Zo hữu hạn Trường hợp z — +œc được chứng minh tương tự Ta phải chứng minh rằng: Ve >0, 3 ổ(e) >0: < |# — #o| <
(â) đ |f(2).9(2)| < ô |
That vay, vi ham g(x) là hàm bị chặn nên 3 M > 0,4 6; > 0 sao cho Vr: O0<
|z — zo| < 6; thi |g(z)| < M
Mat khac ta cé lim f(z) = 0 = Ve > 0,4 bp: > 0:0 < |x — Zo| < ơ; thì
Z—>Zo
€ |
fla) < 47
Chon 6(€) = min{d), ơ¿} thì có : Ve > 0,3 ð(e) > 0 sao cho Vz : |0 < |x — Zo] <
ð(e) © |/(œ).ø(2)| < «
Vậy ƒ(z).g(z) là VCB khi z — zo (dpcm)
1 ]
Ví dự 1.46 ƒ(z) = zsin — là VCB khi z — 0 vì lim z = 0 và sỉn ~ là hàm bị chặn + z—
Trang 37
c Liên hệ giữa VCB va hàm số có giới hạn
Định lý 1.19 Điều kiện cần va du dé ham so f(z) có giới hạn hữu han A trong
một q trình nào đó là ƒ(z) — 4 là VCB trong quá tình ấỵ | Chứng minh định lý này dành cho bạn đọc
d So sánh các VCB
Dinh nghia 1.15 Cho f(z) và g(z) 1a hai VCB khi x — zọ Tà nói rằng:
1) flax) có bậc cao hơn ø(z) nếu lim f(z) zọ Khi đó ta cũng nói rằng g(x) có bậc thấp hơn ƒ(z) trong quá trình z — 2p ty g(e = 0 và ký hiệu là ƒ(z) = o(ø(z)),z —
why 7) — óc và ký hiệu là ø(z) = off (2)]
2) ƒ(z) có bậc thấp hơn ø(z) nếu lim;_,z¿
4
© ¬
3) ƒ(z) cùng bậc với ø(+) nếu lim mm =cz: 0 và ký hiệu là ƒ(+) = Ó(ø(z)),z —
+—7Tọo ;
“Lọ Dac biét, néu lim Jữ)
+z—>*Tgo g x
trong qua trinh x — zo va ky hiéu 1a f(z) ~ g(x), 2 > Zo
= 1 thì ta nói rằng ƒ(z)tương đương với g(z)
4) f(x) va g(x) không so sánh được nếu 3 lim Iz) z—zo g(x) |
Ví dụ 1.41 So sánh các VCB ƒ(#z) = 1 — cos2z va g(x) = z khi z — 0
Giải: Tà có:
(+ 1— 2 2sin?z sinz\ˆ
lim f(z) = lim 2 O08 4h = lim = lim ( ) 2Z z0 g(z) z—0 + x0 8 ¢ +—0 + , 2 = lim (82) lim(2z) = 1.0 = 0 z—0 % z— Vay f(x) = o(g(2)),2 = 0, | Vi du 1.48 So sánh các VCB ƒ(z) = ln(1 + z) và ø(z) = z khi z — 0 Giải: Tà có: | Int] |
lim Jữ) = lim n(1 +2) = lim In(1 + 2)
z—0 g(x) z—0 + z—0 HỊm 4 |- = In | im(1 +2) | = lne= l1 Vậy ln(l +z) ~z, z—0 1 Ví dụ 1.49 So sánh các VCB ƒ(z) = zcos ¬ và g(z) = z khi z — 0 1 fla) 7% 4 ạ
Giải: Khi z — 0 thì g(z) = ———* = cos— không tồn tại giới hạn (*), thật vậy + +
Trang 38
1
lấY z„ = ——, Ym = ——— ,, n= 0,1,2, RO rang lim z, = lim y, = 0 y 2m7 Yn (2n + 1)m Ủ neo nooo”
ae ~ 7: 1
Khi dé lim cos — = lim cos2nm = 1 và lim cos— = lim cos(2n + 1)z = —]
n—-0o Zn T:+—CO n—- oo Un 7+—CO
` 1
Theo định nghĩa giới hạn băng ngơn ngữ dãy thì A lim cos =
Vậy từ (*) suy ra ƒ(z) và g(z) là hai VCB không so sánh được khi z — 0
ẹ Qui tắc thay thế VCB tương đương và ngắt bỏ VCB bậc caọ
Qui tắc 1: Nếu ƒ(z) và ø(z), ƒ(z) và ð(z) là những VCB khi z — zọ và nếu
f(a) ~ F(a); g(a) ~ 9(x) thi: |
lim Aa) _ = lim f(z)
rim g(t) = G(2)
That vay,
f(œ) „ „„ f@œ).fG@)8œ) _ „„„ ƒŒ) „„, ÊữŒ) ý HO _ 4, FO)
9
e—20 g(x) | #0 f(x).g(z).g(x) 220 fla)’ = 20 G(x) =—¥ g(x) - z—so 800)
Qui tac 2): Néu f(z) va g(x) 1A cfc VCB khi x > xo va f(x) = o(g(x)) thi
f(x) + 9(x) ~ 9(2)
Chứng minh qui tắc 2 giành cho bạn đọc Bây giờ ta nêu một vài ứng dụng các qui
tác này để tìm giới hạn của hàm số
Ví dụ 1.50 Tính các giới hạn:
sin(z — 3) + -++ 1— cosz + ‡g3z
à) lim Diba — de +3 b) lim
yam 32 + sin’ x — 526
Giải: a) Khi z — 3 ta có sin( ~ 3) ~ z — 3 Áp dung qui tac 1, ta có
Sin(z = 8) = 3) lim —— > 3 lim ———
, = — |] — >
c==872— 4z +3 2-3(x4-3)(x-1) z¬3z—1 2
b) Tà có 1 — dos — o(), ‡g3z = o(), sin“(z) = o(z), —5z5 = o(z) khi z —› 0 Áp dụng qui tắc 1 và 2, ta có :
t+l—cosr+tg’a |
| fim 32 + sin’ x — 526 20 3x
Chú ý 1.5 1) Số 0 được coi là VCB cấp cao nhất trong mọi quá trình;
2) Néu f(z) va ø(z) là các VCB khi z — zọ và ƒ(z) ~ f(x); g(x) ~ g(x) thi:
f(x) — g(z) = o( f(z)
Chú ý 2) cho ta thấy rằng, không được thay thé tương đương từng số hạng trong -
biểu thức hiệu của hai VCB tương đương
!
44
Trang 39
tgxz — sin x
Ví dụ 1.51 Xét A = lim 3 ——— Ta thay g2 ~ ø, sinz ẽ # khi # — 0
x
, , _ sinz(1 —cos2z) sinz 1 2sin’ > 1
+) Khử dạng vô định ta có Á = lim ———————— = lim = -,
z¬0 COSZ.Z3 x40 #4 COSZ Z2 2
Vậy £tgz — sinz = Ó(z)
+) Ta không được thay thế tương đương các số hạng ở tử số, nếu làm như vậy ta được kết quả sai la A = 0
f Phan chinh cua một VCB
Giải sử ƒ(z), g(+) là các VCB khi z — zo và nếu 3c € ,3 k > 0 sao cho f(x) ~ c.g*(x) thi ẹg°(z) được gọi là phân chính của VCB ƒ(z) so với VCB g(z),
còn k được gọi là cấp của VCB ƒ(z) so với VCB g(z)
x2 +2
Ví dụ 1.52 Khi z — 0 thì 1 — cosz ~ > Vay a la phan chính và 2 là cấp của
VCB 1 — cosz so với VCB z
IỊ Vô cùng lớn
ạ Định nghĩa và ví du
Định nghĩa 1.16 Hàm số ƒ(z) được gọi là một vô cùng lớn, ký hiệu là VCL, khi
z — zọ nếu lim |ƒ(z)| = +oọ Dĩ nhiên zọ có thể là hữu hạn hoặc vô cùng
+—>?g
Bạn đọc có thể đễ dàng kiểm tra lại rằng nếu ƒ(z) là một VCL khi x — Zp thi
1 1
—— là một VCB khi z — zọ ; ngược lại nếu g(x) là một VCB khi z — zọ thì ——
f(z) g(z)
là một VCL khi z — Zọ
1 `
Vi du 1.53 a) f(x) = q=z? là một VCL khi z —› 1, thật vậy, ta cần chứng minh
— +
rằng VA/ > 0, tôn tại số ô > 0 sao cho từ bất đẳng thức |+ — 1| < ð thì suy ra
> Mĩ (1.6)
(1-2)? 1
Ta cho trước số ă > 0 tuỳ ý và giải bất phương trình q=z 1—z)? > M Ta có
1 ae
| —z|< tom > 0 Nhu vậy nếu đặt 6 = —== thi tir bat dang thitc [x — 1] < 4
VM VM
ta sẽ có (1.6) Điều đó có nghĩa là lim mm f(z) là một VCL khi
z— 1
b) g(x) = log, x,a > 1 14 mot VCL khi z —› +oo, thật vậy, ta cần chứng minh rang
đối với VM > 0, tồn tại số A > 0 sao cho từ bất đẳng thức z > A ta có log„z+ > M
Ta cho trước số ă > 0 tuỳ ý và xét bất phương trình log„øz > M Néu dat A = a™ thì với z > A, ta có log„z > Mí Do đó im log, z = +oo & g(x) la mét VCL
khi + — +00
Trang 40
Chú ý 1.6 i) Néu f(x) là một VCL khi z — zọ thì ƒ(z) là hàm không bị chặn
Ngược lại, một hàm không bị chặn chưa chắc đã là một VCL
|
Vi du 1.54 Ham s6 f(x) = ø cos z là một hàm không bị chan khi z — co, thật vậy lay M > 0 tuỳ ý, xét dấy z„ = 2z, khi đó ƒ(za) = 2w cos(2nwr) = 2n Tà chọn
i M
m„ sao cho 2nr > MỸ ® m > a nghĩa là khi đó ƒ(z„) > M Vay f(x) không bị 7
chặn khi z —› œc 7
Nhưng ƒ(z) không là VCL khi z — 00, vi ta c6 thé chon day khée yn = 3 + 2n,
ta có „ —> co khi ø — co và khi đó dãy hàm tương ứng
f (Yn) = (5 + 2nm) cos G + 2mz) =0 >0
!
khi m„ — OỌ
Ví dụ trền cũng chứng tỏ khẳng dinh ii) sau :
* z
11) Tích của một VCL và một hàm bị chặn chưa chắc đã là một VCL, b) So sánh các VCL
Định nghĩa 1.17 Cho ƒ(z) và ø(z) là hai VCL khi z — Zọ Tà nói rằng:
() ƒ(z) có bậc thấp hơn ø(z) nếu lim oe = 0 Khi dé ta ciing ndi rang g(x) c6
#—+~o
bac cao hon f(x) trong qua trình z — Zp
, ee ey F(Z) er
(ii) f(x) cé bac cao hon g(x) nếu lim g(x) = œ Khi đó ta cũng nói rằng g(x)
z—+~o Q3
có bậc thấp hơn ƒ{z) trong quá trình z — Zọ
|
(iii) f(x) cùng bậc với g(x) néu lim a = k(k #0,k hữu hạn) Đặc biệt, nếu
| z—+o
lim /)
z—zo g(x)
trình z — Zo va ky hiệu là ƒ(z) ~ 9(z), # — Zọ
|
(iv) f(z) và g(z) không so sánh được nếu Ä' lim TP
‘ L— 2H
= ] thi ta noi rang f(x)va g(x) 1a hai VCL tuong duong trong quá
c) Qui tắc thay thế VCL tương đương và ngắt bỏ VCL bậc thấp Qui tắc 1: Cho ƒ(z) và ø(z), ƒ(z), Ø(z) là các VCL khi z — xọ Néu f(r) ~
- xz); g(x) ~ oe g{z) thi: lim ——~ = lim ~~ f(t) _ F(a) |
Fe); oa) ~ aa) ths tim Ty = Si Sìp
Qui tac 2: Cho f(x) va g(x) là các VCL khi z — zọ Nếu g(z) là VCL cấp thấp hon f(x) thì ƒ(z) + ø(z) ~ ƒ(z) khi x — Zọ
|
46 - |