Về đại số tuyến tính của ma trận k fibonacci

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - ĐINH THỊ HƢƠNG VỀ ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH CỦA MA TRẬN K-FIBONACCI LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC THÁI NGUYÊN - 2021 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - ĐINH THỊ HƢƠNG VỀ ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH CỦA MA TRẬN K-FIBONACCI Chuyên ngành: Phƣơng pháp Toán sơ cấp Mã số: 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS Nguyễn Thu Hằng THÁI NGUYÊN - 2021 Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành Trường Đại học Khoa học–Đại học Thái Nguyên Trong trình học tập thực luận văn này, Trường Đại học Khoa học tạo điều kiện tốt để tác giả học tập, nghiên cứu Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến cô giáo TS Nguyễn Thu Hằng Cô tận tâm, tận lực dành nhiều thời gian hướng dẫn giải đáp thắc mắc suốt trình làm luận văn Tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới Tác giả xin chân thành cảm ơn tồn thể thầy Khoa Toán– Tin, trường Đại học Khoa học–Đại học Thái Nguyên tận tình hướng dẫn, truyền đạt kiến thức suốt thời gian theo học, thực hoàn thành luận văn Cảm ơn giúp đỡ bạn bè, người thân đồng nghiệp thời gian làm luận văn Tác giả Đinh Thị Hương i Bảng ký hiệu Fn dãy Fibonacci Mn tập ma trận vuông cấp n AT ma trận chuyển vị ma trận A Fn ma trận Fibonacci Qn ma trận Fibonacci đối xứng F(k)n ma trận k-Fibonacci Q(k)n ma trận k-Fibonacci đối xứng Ωn   n   k ma trận ngẫu nhiên kép tổ hợp chập k n ii Mục lục Bảng ký hiệu ii Mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Dãy Fibonacci 1.2 Sự phân tích ma trận 1.3 Ma trận Fibonacci, ma trận Fibonacci đối xứng 1.4 Dãy k–Fibonacci 12 1.5 Ma trận k–Fibonacci, ma trận k–Fibonacci đối xứng 14 Về Đại số tuyến tính ma trận dãy k–Fibonacci 2.1 17 Sự phân tích ma trận k–Fibonacci, k–Fibonacci đối xứng 17 2.2 Giá trị riêng ma trận k–Fibonacci, k–Fibonacci đối xứng 27 Kết luận 35 Tài liệu tham khảo 36 iii Mở đầu Dãy số Fibonacci Leonardo Pisano Bogollo, nhà toán học người Ý, công bố vào năm 1202 sách Liber Abacci qua toán: Bài toán thỏ Bài toán số cụ tổ ong đực Ngày nay, người ta biết đến nhiều tượng quy luật tự nhiên phân bố theo quy tắc dãy Fibonacci Ta biết dãy Fibonacci thoả mãn quy tắc Fn+2 = Fn+1 + Fn Công thức dãy Fibonacci đơn giản chứa đựng nhiều tính chất vừa đẹp đẽ, đầy bí ẩn bất ngờ toán học tự nhiên Dãy Fibonacci lý thú đến mức có hẳn Tạp chí The Fibonacci Quarterly xuất kết nghiên cứu liên quan đến dãy Fibonacci dãy tổng qt hố Ngồi việc nghiên cứu dãy Fibonacci, người ta quan tâm đến mở rộng Một số mở rộng điển hình dãy k–Fibonacci, dãy Lucas, dãy k–Lucas mang đến nhiều kết thú vị ứng dụng chúng nhiều Khái niệm dãy k–Fibonacci đưa lần vào năm 1960 (xem [2]) Tuy nhiên, vào năm 2007, Facol Plaza đưa định nghĩa khác dãy k–Fibonacci ứng dụng vào việc nghiên cứu tốn phân vùng tam giác có cạnh lớn Dãy k–Fibonacci dãy Fibonacci k = xét theo định nghĩa [2] k = xét theo định nghĩa Facol Plaza [1] Do đó, từ kết dãy Fibonacci người ta mở rộng lên cho dãy k–Fibonacci Ngược lại, từ việc nghiên cứu tính chất dãy k–Fibonacci, ta suy tính chất dãy Fibonacci đặc biệt hố Trong tồn luận văn chúng tơi tìm hiểu dãy k–Fibonacci theo nghĩa [2] Mục tiêu luận văn tìm hiểu số tính chất trình bày lại kết dãy k–Fibonacci số ứng dụng Các kết luận văn viết dựa tài liệu tham khảo [3], đồng thời tham khảo thêm tài liệu [4] [6] Nội dung luận văn trình bày hai chương Chương Kiến thức chuẩn bị Chúng trình bày lại số tính chất dãy Fibonacci, dãy k–Fibonacci Nghiên cứu ma trận liên kết với hai dãy Đồng thời trình bày lại, mà không chứng minh số kết phân tích ma trận Fibonacci, ma trận Fibonacci đối xứng Chương Về Đại số tuyến tính ma trận dãy k– Fibonacci Chương dành để trình bày lại kết dãy k– Fibonacci Chúng nghiên cứu phân tích ma trận k– Fibonacci ma trận k–Fibonacci đối xứng như: Sự phân Cholesky, ma trận nghịch đảo, giá trị riêng chặn Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tơi trình bày lại định nghĩa số tính chất bản, quan trọng dãy Fibonacci, ma trận Fibonacci, ma trận Fibonacci đối xứng Vì dãy k–Fibonacci dãy số tổng quát dãy Fibonacci nên dựa vào tính chất biết dãy Fibonacci ma trận chúng tơi đưa định nghĩa, tính chất với dãy k– Fibonacci ma trận liên kết với dãy k–Fibonacci nhằm phục vụ cho chứng minh chương sau Tất kết chương nằm tài liệu tham khảo [3, 4] [6] 1.1 Dãy Fibonacci Trước hết nhắc lại dãy Fibonacci quen thuộc Định nghĩa 1.1 Dãy Fibonacci, ký hiệu (Fn )n∈N , định nghĩa công thức truy hồi sau đây:    F1 =    F2 =     Fn = Fn−1 + Fn−2 , với n > (1.1) Ta gọi Fn số hạng thứ n dãy Fibonacci Nói cách khác ta có dãy Fibonacci dãy số sau (F0 = 0), 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, Nhận xét 1.2 Từ hệ thức truy hồi (1.1) dãy Fibonacci ta có Fn − Fn−1 − Fn−2 = 0, với n Do ta có phương trình đặc trưng λ2 − λ − = (1.2) Phương trình đặc trưng (1.2) có hai nghiệm là: √ √ 1− 1+ , λ2 = λ1 = 2 Do cơng thức nghiệm tổng qt Dãy số (1.1) là: Fn = c1 λn1 + c2 λn2 , C1 , C2 số tự Với F0 = 0, F1 = ta có   c1 + c2 = 0,  c1 λ1 + c2 λ2 = 1, hay    c1 = √ ,   c2 = − √ Chúng ta có kết sau Bổ đề 1.3 Dãy Fibonacci cho công thức √ √ 1+ n 1− n ) −( ) ( 2 √ Fn = Tiếp theo chúng tơi nhắc lại số tính chất đẹp tổng số hạng dãy Fibonacci dùng cho chứng minh chương sau n Bổ đề 1.4 Cho (Fn )n∈N dãy Fibonacci Khi ta có i=1 Fi2 = Fn Fn+1 Chứng minh Với i > ta có Fi+1 = Fi + Fi−1 Ta suy Fi = Fi+1 − Fi−1 với i > Nói cách khác, Fi2 = Fi Fi+1 − Fi−1 Fi Khi ta có F11 + F22 + + Fn2 = (F1 F2 − F1 F0 ) + (F2 F3 − F1 F2 )+ + (Fn Fn+1 − Fn−1 Fn ) = Fn Fn+1 Đặc biệt, ta có cơng thức đẹp sau Bổ đề 1.5 Cho (Fn )n∈N dãy Fibonacci Khi với n ta có n−1   n−k−1  = Fn  k k=0 Chứng minh Ta chứng minh bổ đề quy nạp sau • Với n = ta có 1−1       1−0−1 1−k−1 =   F1 = =   =  k=0 k Vì với n = ta có Đẳng thức (1.3) • Với n = ta có 2−1       2−k−1 2−0−1   = F2 = =   =  k=0 0 k Vì với n = ta có Đẳng thức (1.3) (1.3) 22 dàng suy ma trận nghịch đảo   −1   −1 Lk =  −1    ma trận Lk là:  0  0 0   0 ,    −1 0 ma trận nghịch đảo C(k)n là:  C(k)−1 n g1   −g  =   −gn   0     Mặt khác ta có (Ik ⊕ C(k)n )−1 = Ik ⊕ C(k)−1 n Vì từ Định lý 2.5 Nhận xét 2.6 ta có hệ sau: Hệ 2.7 Đặt G−1 i = Hi , với i = 1, 2, , n Khi ta có −1 −1 −1 F(k)−1 n = Hn Hn−1 H1 = (In−2 + C(k)2 ) (I1 + C(k)n−1 )C(k)n Nhận xét 2.8 Từ Hệ 2.7 ta suy phần tử ma trận nghịch đảo F(k)−1 n = [f (k)ij ] sau:    với i = j,    f (k)ij = −1 với i − k j i − 1,     0 trường hợp khác (2.4) 23 Nói cách khác, ma trận nghịch đảo F(k)−1 n = [f (k)ij ] là:   0     −1 0    .   −1 F(k)n =  , −1 0         −1 −1 f (k)ij = −1, với i = 2, 3, , k + Tiếp theo trình bày phân tích ma trận ma trận k–Fibonacci đối xứng Từ Định nghĩa 1.28 dãy k–Fibonacci đối xứng, có tính chất đơn giản sau Bổ đề 2.9 Với i ≤ j, ta có i−1    q(k)(i−t),j + gj−(i−1) q(k)ij = t=1 k    q(k)(i−t),j + gj−(i−1) với i k, (2.5) với k + i t=1 Chứng minh Từ Định nghĩa 1.28 ta có k    q(k)i,i−t + g1 với i = j, q(k)ij = q(k)ji = t=1 k    q(k)i,j−t với i + j t=1 Nếu i = j ta có q(k)ii = q(k)i,i−1 + q(k)i,i−2 + + q(k)i,i−k + g1 = q(k)i−1,i + q(k)i−2,i + + q(k)i−k,i + g1 Khi với i k ta có qi,i−t = với t k q(k)ii = q(k)i,i−1 + q(k)i,i−2 + + q(k)i,i−(i−1) + g1 24 = q(k)i−1,i + q(k)i−1,i + + q(k)i−(i−1),i + gi−(i−1) Khi với + k i ta có qi,i−t = Do q(k)ii = q(k)i,i−1 + q(k)i,i−2 + + q(k)i,i−k + g1 = q(k)i−1,i + q(k)i−2,i + + q(k)i−k,i + gi−(i−1) Chứng minh tương tự cho trường hợp i < j, ta suy điều phải chứng minh Định lý 2.10 Phân tích Cholesky ma trận Q(k)n cho Q(k)n = F(k)n F(k)Tn Chứng minh Vì ma trận F(k)n ma trận khả nghịch Do chúng T ta có F(k)−1 n Q(k)n = F(k)n ta có điều phải chứng minh Đặt X = [xij ] = F(k)−1 n Q(k)n Từ (2.4) Bổ đề 2.9, ta có với i k, xij = q(k)ij − q(k)i−1,j − q(k)i−2,j − − q(k)1,j = gj−i+1 , với i k + ta có xij = q(k)ij − q(k)i−1,j − q(k)i−2,j − − q(k)i−k,j = gj−i+1 T Do đó, có F(k)−1 n Q(k)n = F(k)n Nhận xét 2.11 Từ Định lý 2.4 Định lý 2.10 ta thấy phân tích ma trận Q(k)n viết lại sau: Q(k)n = G1 G2 Gn GTn GT2 GT1 Hơn từ Định lý 2.10, thấy T −1 Q(k)−1 = (F(k)Tn )−1 F(k)−1 n n = [q (k)ij ]n×n = (F(k)n F(k)n ) T −1 = (F(k)−1 n ) F(k)n 25 Do ta có: q (k)ii =   k + với i = 1, , n − k, (2.6)  n − i + với i = n − k + 1, , n,   k − (j − i + 1) với j − i k, q (k)ij =  0 với j − i k + 1, với i = 1, 2, , n − k; i − j (2.7) k, q (k)ij = n − − j, với i = n − k + 1, , n − 1; j = n − k + 2, , n, i + (2.8) j Do đó, từ Định lý 2.10, có hệ sau Hệ 2.12 Nếu j số lẻ, ta có   Fn Fn−(j−1) − Fj n số lẻ, Fn Fn−j + + Fj+1 F1 =  Fn Fn−(j−1) n số chẵn Nếu j số chẵn, ta có   Fn Fn−(j−1) n số lẻ, Fn Fn−j + + Fj+1 F1 =  Fn Fn−(j−1) − Fj n số chẵn Chứng minh Khi k = ta có dãy k–Fibonacci trở thành dãy Fibonacci chứng minh hệ suy từ chứng minh Định lý 2.9 [4] Trong [5], tác giả đưa công thức sau    r r n − kl −  gn+1 = (−1)l    l n − kl − r n/k≤r≤n l=0 (2.9) T −1 Ta có F(k)−1 n = F(k)n Q(k)n Kết hợp với cơng thức (2.9) ta có hệ sau 26 Hệ 2.13 Đặt gn = g(k)n+k−2 Khi ta có    r r n − kl −  = gn−1 + 2gn−2 + 3gn−3 + (−1)l    l n − kl − r n/k r n l=0 + (k − 2)gn−k+2 + (k + 1)gn−k+1 + (k − 2)gn−k + + 2gn−2k+4 + 2gn−2k+3 − gn−2k+1 Chứng minh Ta có gn+1 = g(k)n+1+k−2 = g(k)n+k−1 = g(k)n+k−2 + g(k)n+k−3 + · · · + g(k)n−1 Khai triển vế phải ta có: gn−1 = g(k)n+k−3 = g(k)n+k−4 + g(k)n+k−5 + · · · + g(k)n−3 gn−2 = g(k)n+k−4 = g(k)n+k−5 + g(k)n+k−6 + · · · + g(k)n−4 gn−k+2 = g(k)n = g(k)n−1 + g(k)n−2 + · · · + g(k)n−k gn−k+1 = g(k)n−1 = g(k)n−2 + g(k)n−3 + · · · + g(k)n−k−1 gn−k = g(k)n−2 = g(k)n−3 + g(k)n−4 + · · · + g(k)n−k−2 gn−2k+3 = g(k)n−k+1 gn−2k+1 = g(k)n−k−1 Cộng thành phần tương ứng lại ta suy điều phải chứng minh 27 2.2 Giá trị riêng ma trận k–Fibonacci, k–Fibonacci đối xứng Trước tiên trình bày lại số thuật ngữ ký hiệu dùng sau Gọi D = {x = (x1 , , xn ) ∈ Rn : x1 x2 xn }, R k tập số thực Với x, y ∈ D, ta gọi x ≺ y k xi i=1 k yi , i=1 k với k = 1, 2, , n k = n ta có yi Khi x ≺ y xi = i=1 i=1 ta nói x làm trội y, hay y làm trội x Điều kiện làm trội viết lại sau: k Với x, y ∈ D, ta gọi x ≺ y k xn−i i=1 yn−i , với i=1 k = 1, 2, , n − k = n − ta có dấu xảy n Ví dụ 2.14 Với x = ( x ≺ y n y yi i , , ) y = (y1 , , yn ) Ta dễ thấy i=1 n i=1 n Chúng nhắc lại khái niệm ma trận ngẫu nhiên kép sau Định nghĩa 2.15 Một ma trận vng Ωn = [ωij ]n×n gọi ngẫu nhiên kép n ωij = 1, với j = 1, 2, , n, i=1 n ωij = 1, với i = 1, 2, , n j=1 Nhận xét 2.16 1) Năm 1929, tác giả Hardy, Littlewwood, Polya điều kiện cần đủ để x ≺ y tồn ma trận ngẫu nhiên kép Ωn = [ωij ]n×n thoả mãn x = y.Ωn 2) Chúng ta biết rằng, A ma trận đối xứng thực, ta có giá trị riêng phần tử nằm đường chéo A 28 số thực Hơn nữa, mối quan hệ giá trị riêng phần từ nằm đường chéo A cịn có mối quan hệ sau: Véctơ bao gồm giá trị riêng ma trận đối xứng A làm trội véctơ bao gồm phần từ đường chéo A Ngồi ra, A ma trận cấp m × n Với tập số α ⊆ {1, , m} β ⊆ {1, , n} Ta ký hiệu ma trận A lấy phần tử nằm dòng A đánh số α, phần tử nằm cột đánh số β, A(α, β) Nếu m = n α = β ta ký hiệu ngắn gọn A(α, α) A(α) Ta gọi Ai ma trận A, xác định i dòng đầu i cột đầu Khi đó, rõ ràng Ai = A({1, 2, , i}), với i = 2, , n Từ Định lý 2.10 ta dễ dàng suy tính nửa xác định dương ma trận k–Fibonacci đối xứng Q(k)n Hơn Q(k)n khơng suy biến nên ta có ma trận k–Fibonacci F(k)n = [f (k)ij ]n×n khơng suy biến Vì vậy, ma trận Q(k)n ma trận xác định dương Do đó, ta suy giá trị riêng Q(k)n số không âm Gọi λ(k)1 , , λ(k)n giá trị riêng ma trận Q(k)n Khi ta đặt (λ(k)1 , , λ(k)n ) ∈ D Vì n n q(k)ii = i=1 n i λ(k)i = i=1 n gj2 i=1 j=1 (n − i + 1)gi2 , = i=1 nên ta có (q(k)nn , q(k)n−1n−1 , , q(k)11 ) ≺ (λ(k)1 , λ(k)2 , , λ(k)n ) Đặc biệt từ Định lý 2.10 ta có Q(2)n = F(2)n F(2)Tn Bổ đề 1.4 ta suy (Fn+1 Fn , Fn Fn−1 , , F2 F1 ) ≺ (λ(2)1 , λ(2)2 , , λ(2)n ) 29 Từ Bổ đề 1.7 Hệ 2.12 ta đưa đến số tính chất giá trị riêng ma trận Q(2)n Hệ 2.17 Cho λ(2)1 , , λ(2)n giá trị riêng Q(2)n Khi n  n−i  i i=0  =            n λ(2)i n số lẻ, i=0 n λ(2)i + n số chẵn i=0 Hệ 2.18 Nếu n số lẻ ta có   n n−i   nλ(2)n i i=0 nλ(2)1 Nếu n số chẵn ta có n nλ(2)n + i=0   n−i   i nλ(2)1 + n Đặt s(k)n = λ(k)i Khi ta có i=1 s(k)n s(k)n , , ≺ (λ(k)1 , , λ(k)n ), n n s(k)n λ(k)1 n Từ (2.6), ta thấy λ(k)n 1 , , , ) λ(k)n λ(k)n−1 λ(k)1 (2.10) n k(k + 1) k 1 Đặt τ = (n−k)(k +1)+ = (k +1)(n− ) = n n n i=1 λ(k)i Khi đó, ta có (k + 1, k + 1, , k + 1, k, k − 1, , 2, 1) ≺ (τ, τ, , τ ) ≺ 1 , , , λ(k)n λ(k)n−1 λ(k)1 Tiếp theo, đưa kết làm trội véctơ riêng Q(k)n 30 Định lý 2.19 Với (λ(k)1 , , λ(k)n ) ∈ D ta có 1 1 s(k)n − , , s(k)n − , ≺ (λ(k)1 , , λ(k)n ) n−1 τ n−1 τ τ Chứng minh Cho Ω(k)n = [ω(k)ij ]n×n ma trận với phần tử xác định sau: ω(k)ij = − ω(k)in , i = 1, 2, , n; j = 1, 2, , n − n−1 ω(k)in = , i = 1, 2, , n, nτ λ(k)i có nghĩa   − ω(k)1n − ω(k)1n − ω(k)1n ω(k)1n   n−1 n−1 n−1    − ω(k)2n − ω(k)2n  − ω(k)2n  ω(k)2n   n−1 n−1 Ω(k)n =   n−       − ω(k)nn − ω(k)nn  − ω(k)nn ω(k)nn n−1 n−1 n−1 Khi thấy ω(k)in ω(k)1n + ω(k)2n + + ω(k)nn = (n − 1)( 0, i = 1, 2, , n 1 + + + = 1, nτ λ(k)1 nτ λ(k)2 nτ λ(k)n − ω(k)in ) + ω(k)in = n−1 Mặt khác, ta có − ω(k)nn − ω(k)1n − ω(k)2n + + + = n−1 n−1 n−1 (n − (ω(k)1n + ω(k)2n + ω(k)nn )) = n−1 Khi đó, Ω(k)n ma trận ngẫu nhiên kép Hơn = λ(k)1 ω(k)1n + λ(k)2 ω(k)2n + + λ(k)n ω(k)nn = , τ 31 λ(k)1 − ω(k)1n − ω(k)2n − ω(k)nn + λ(k)2 + + λ(k)n = n−1 n−1 n−1 (s(k)n − (λ(k)1 ω(k)1n + λ(k)2 ω(k)2n + + λ(k)n ω(k)nn )) = n−1 1 (s(k)n − ) = n−1 τ Vì ta có, = 1 1 (s(k)n − ), , (s(k)n − ), n−1 τ n−1 τ τ = (λ(k)1 , , λ(k)n )Ω(k)n Do đó, 1 1 (s(k)n − ), , (s(k)n − ), n−1 τ n−1 τ τ = (λ(k)1 , , λ(k)n ) Từ Đẳng thức (2.10) ta có kết sau Bổ đề 2.20 Với i = 1, 2, 3, , k, ta có i(i + 1) λ(k)i Với i = k + 1, k + 2, k + 3, , n, ta có (k + 1)(2i − k) λ(k)i Chứng minh Từ Đẳng thức (2.10), i = 1, 2, 3, , k, ta có 1 i(i + 1) + + + ≤ + + + i = λ(k)1 λ(k)2 λ(k)i i(i + 1) ≤ Do đó, ≤ λ(k)i , với i = 1, 2, 3, , k λ(k)i i(i + 1) Nếu k + ≤ i ≤ n Vì vậy, 1 1 + + + + + λ(k)1 λ(k)k λ(k)k+1 λ(k)i 32 ≤ k(k + 1) (k + 1)(2i − k) + (i − k)(k + 1) = 2 Do (k + 1)(2i − k) ≤ λ(k)i Ta suy ≤ λ(k)i , với i = k + 1, , n (k + 1)(2i − k) n i=1 λ(k)i Nhận xét 2.21 Từ Định lý 2.10 ta thấy det Q(k)n = = Do đó, từ Bổ đề 2.20 ta suy k λ(k)1 i=2 i(i + 1) n j=k+1 (k + 1)(2j − k) ≤ λ(k)1 λ(k)2 λ(k)n = (2.11) Trong kết tiếp theo, chúng tơi trình bày chặn cho giá trị riêng ma trận Q(k)n Định lý 2.22 Đặt σ(k)n = n−j−1 2j −js(k)n − n−1 τ (k + 1)(2n − k) Khi đó, với j = 0, 1, , n − (k + 1) ta có ≤ λ(k)n−j ≤ σ(k)n , (k + 1)(2n − 2j − k) với j = n − k, , n − ta có ≤ λ(k)n−j ≤ σ(k)n (n − j)(n − j + 1) Đặc biệt, 1 (s(k)n − ) ≤ λ(k)1 ≤ ( )n (k!)2 (k + 1)n−k+1 n−1 τ n (2i − k) i=k+1 33 Chứng minh Từ Định lý 2.19 ta thấy 1 (s(k)n − ) ≤ λ(k)1 n−1 τ λ(k)n ≤ Từ Bổ đề 2.20 (2.11) ta có τ ≤ λ(k)n (k + 1)(2n − k) λ(k)1 ≤ ( )n (k!)2 (k + 1)n−k+1 n (2i − k) i=k+1 Lại từ Định lý 2.19 ta có j + s(k)n − τ n−1 τ n−j−1 + js(k)n ≤ n−1 τ λ(k)n + + λ(k)n−j ≤ (2.12) (2.13) Lại từ Bổ đề 2.20 ta có λ(k)n−j ≤ n−j−1 + js(k)n n−1 τ − (λ(k)n + + λ(k)n−(j−1) ) ≤ n−j−1 + js(k)n n−1 τ − 2j (k + 1)(2n − k) Do đó, 2j ≤ λ(k)n−j ≤ σ(k)n , (k + 1)(2n − 2j − k) với j = 0, 1, 2, , n − (k + 1) 2j ≤ λ(k)n−j ≤ σ(k)n , (n − j)(n − j + 1) với j = n − k, , n − n Đặc biệt s(k)n = i=1 n λ(k)n = i=1 (n − i + 1)gi2 ta suy hệ sau 34 Hệ 2.23 Cho n số nguyên Khi n (n − i + 1)Fi2 ≤ 3n−1 (n − 1)!(n − 1) + i=1 n 3(n − 1) Kết luận Luận văn trình bày lại nội dung sau: 1) Trình bày tính chất ma trận Fibonacci ma trận Fibonacci đối xứng Trong phải kể đến phân tích Cholesky số chặn cho giá trị riêng ma trận Fibonacci đối xứng 2) Các tính chất dãy k–Fibonacci, đưa ma trận liên kết với dãy k–Fibonacci 3) Trình bày chi tiết kết phân tích ma trận k–Fibonacci, k–Fibonacci đối xứng Đưa tính chất, chặn cho giá trị riêng ma trận k–Fibonacci đối xứng 35 Tài liệu tham khảo Tiếng Anh [1] S Falcon, A Plaza, (2007), “On the Fibonacci k-numbers”, vChaos, Solitons and Fractals , 32, pp 1615–1624 [2] E P Mikes, Jr (1960), “Generalized Fibonacci Numbers and Associated Matrices”, The American Mathematical Monthly, 67(8), pp 745–752 [3] G.-Y Lee, J.-S Kim (2003), “The linear algebra of the k–Fibonacci matrix”, Linear Algebra Appl., 373, pp 75–87 [4] G.-Y Lee, J.-S Kim, S.G Lee (2002), “Factorizations and eigenvalues of Fibonacci and symmetric Fibonacci matricies”, The Fibonacci Quarterly, 40(3), pp 203–211 [5] G.-Y Lee, J.-S Kim, S.G Lee, H.K Shin (2002), “The Binet formula and representations of k–generalized Fibonacci numbers”, The Fibonacci Quarterly, 39(2), pp 158–164 [6] G.-Y Lee, S.G Lee, H.K Shin (2002), “On the k–generalized Fibonacci matrix QK ”, Linear Algebra Appl., 251, pp 73–88 36