Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai CÁC DẠNG TOÁN VỀ BỘI VÀ ƯỚC CỦA MỘT SỐ NGUYÊN I LÍ THUYẾT 1 Định nghĩa Số nguyên a là bội của số nguyên b (b ≠ 0 ) nếu có số nguyên q sao cho a = bq Với a,b,q ∈[.]
Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai CÁC DẠNG TOÁN VỀ BỘI VÀ ƯỚC CỦA MỘT SỐ NGUYÊN I LÍ THUYẾT Định nghĩa: Số nguyên a bội số nguyên b (b ≠ ) có số nguyên q cho : a = bq Với a,b,q ∈ Z, b ≠ : a = bq ⇔ a chia hết cho b (a:b) a = bq ⇔ a bội b a = bq ⇔ b ước a Tính chất: a) Nếu a bội b b bội c a bội c : a chia hết cho b b chia hết cho c => a chia hết cho c b) Nếu a bội b am bội b (với m ∈ Z): Với m ∈ Z : a chia hết cho b => am chia hết cho b c) Nếu a b bội c tổng hiệu chúng bội c : a chia hết cho c b chia hết cho c => (a + b) chia hết cho c (a – b) chia hết cho c II CÁC DẠNG TỐN Dạng TÌM CÁC BỘI CỦA MỘT SỐ NGUYÊN CHO TRƯỚC Phương pháp giải Dạng tổng quát bội số nguyên a am (m ∈ Z) Ví dụ Tìm năm bội : ; – Giải Cả -3 có chung bội dạng 3.m (m ∈ Z ), nghĩa : ; – ; ; -6 ; ; -9 ; ;… Chẳng hạn, năm bội – : ; ; ; 12 ; 15 Dạng TÌM TẤT CẢ CÁC ƯỚC CỦA MỘT SỐ NGUYÊN CHO TRƯỚC Phương pháp giải – Nếu số nguyên cho có giá trị tuyệt đối nhỏ, ta nhẩm xem chia hết cho số để tìm ước cần nêu đủ ước âm ước dương – Nếu số nguyên cho có giá trị tuyệt đối lớn, ta thường phân tích số thừa số ngun tố từ tìm tất ước số cho Ví dụ 2. Tìm tất ước – ; ; 11 ; -1 Giải Kí hiệu Ư(a) tập hợp ước số nguyên a, ta có : Ư(-3) = {-1 ; ; – ; 3} viết gọn là : Ư(- 3) = {±1; ±3} ; W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Ư(6) = {±1; ±2; ±3; ±6 } ; Ư(11) = {±1; ±11} ; Ư(-1) = {±1} Ví dụ 3. Tìm tất ước 36 Giải Phân tích 36 thừa số nguyên tố : 36 = 22.32 Để tìm tất ước 36 khơng bị sót, bị trùng, ta làm sau : Ta viết : 2° 21 22 hay 1 2 3° 31 32 hay 1 3 9 Các ước nguyên dương của 36 là : 1 2 4 1.3 2.3 4.3 1.9 2.9 4.9 Tất có ước nguyên dương là: 1 ; ; ; ; ; 12 ; ; 18 ; 36 Tập hợp tất ước nguyên 36 : Ư(36) = {±1; ± 2; ± 3; ± ; ± 6; ± 9; ± 12; ± 18; ± 36} Dạng TÌM số CHƯA BIẾT X TRONG MỘT ĐẲNG THỨC DẠNG a.x = b Phương pháp giải Trong đẳng thức dạng a.x = b (a,b ∈ Z , a ≠ 0) ta tìm x sau : Tìm giá trị tuyệt đối x : |x| = Xác định dấu x theo quy tắc đặt dấu phép nhân số nguyên Chẳng hạn : – 7.x = – 343 Ta có : |x| = 343 / = 49 Vì tích – 343 số âm nên x trái dấu với – Vậy : x = 49 Ví dụ Tìm x, biết: a) 15x = – 75 ; b) 3|x| = 18 Đáp số a) x = – ; b) |x| = => x = x = – Dạng TÌM SỐ BỊ CHIA, SỐ CHIA, THƯƠNG TRONG MỘT PHÉP CHIA Phương pháp giải Nếu a = bq ta nói a chia cho b q viết a : b = q Nếu a = 0, b ≠ a : b = Ví dụ Điền số vào ô trống cho : W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Giải Dạng CHỨNG MINH CÁC TÍNH CHẤT VỀ SỰ CHIA HẾT Phương pháp giải Sử dụng định nghĩa a = b.q a chia hết cho b (a,b,q ∈ Z , b ≠ 0) ,và tính chất giao hốn, kết hợp, phân phối phép nhân phép cộng Ví dụ 6. Chứng minh a chia hết cho b – a chia hết cho b – b Giải a chia hết cho b => a = b.q (q ∈ Z ) => -a = b.(-q) Do -q ∈ Z nên -a chia hết cho b Ta có : -a = -b.q nên -a chia hết cho -b Ví dụ Chứng minh với số nguyên m n, a b chia hết cho c am + bn chia hết cho c Giải Ta có : a chia hết cho c => am chia hết cho c (với m ∈ Z ) (1) b chia hết cho c => bn chia hết cho c (với n ∈ Z) (2) Từ (1), (2) suy : (am + bn) chia hết cho c Dạng TÌM số NGUYÊN X THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN VỀ CHIA HẾT Phương pháp giải Áp dụng tính chất : Nếu a + b chia hết cho c a chia hết cho c b chia hết cho c Ví dụ Tìm x ∈ Z cho : a) 3x + chia hết cho x – ; b) x2 + 2x – chia hết cho x + Giải a) Ta có : 3x + = 3x – + = 3(x -1) + 3(x – 1) chia hết cho x – Do 3x + chia hết cho x – chia hết cho x -1, tức x – ước Ước gồm số ±1, ± Suy x ∈ {0 ; ; – ; 6} b) x2 + 2x – = x(x + 2) – Ta tìm x để chia hết cho x + Đáp số : x ∈ {-3 ; — ; — ; 5} Ví dụ Cho hai tập hợp số : A = {2 ; ; ; ; 6}, B = {21 ; 22 ; 23} a) Có thể lập tổng dạng (a + b) với a ∈ A, b ∈ B ? b) Trong tổng có tổng chia ết cho ? W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Giải a) Ta lập bảng cộng sau : Từ bảng trên, ta thấy có 15 tổng tạo thành, có tổng khác : 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29 b) Có tổng chia hết cho : 24 , 24 , 26 , 26 , 26 , 28 , 28 (Có tổng khác chia hết cho : 24 , 26 , 28) Ví dụ 10 Có hai số nguyên a, b khác mà chia hết cho b b chia hết cho a không ? Giải a chia hết cho b => a = bq1 (q1 ∈ Z , b ≠ 0) ; b chia hết cho a => b = aq2 (q2 ∈ Z , a ≠ 0) Suy : a = bq1= (aq2)q1 = a(q2q1) => q2q1 = , => q2 = q1 = q2 = q1 = -1 Vì a ≠ b nên q2 = q1 = -1 Do : a = b (-1) = – b Vậy, cặp số nguyên đối nhau khác có tính chất a chia hết cho (-a) (-a) chia hết cho a cặp số W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Website HOC247 cung cấp môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thơng minh, nội dung giảng biên soạn công phu giảng dạy giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi kiến thức chuyên môn lẫn kỹ sư phạm đến từ trường Đại học trường chuyên danh tiếng I Luyện Thi Online Học lúc, nơi, thiết bi – Tiết kiệm 90% -Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ Trường ĐH THPT danh tiếng xây dựng khóa luyện thi THPTQG mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học Sinh Học -Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: Ơn thi HSG lớp luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An trường Chuyên khác TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo Thầy Nguyễn Đức Tấn II Khoá Học Nâng Cao HSG Học Toán Online Chuyên Gia -Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Tốn Chun dành cho em HS THCS lớp 6, 7, 8, u thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập trường đạt điểm tốt kỳ thi HSG -Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học Tổ Hợp dành cho học sinh khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia III Kênh học tập miễn phí HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phí HOC247 TV kênh Video giảng miễn phí -HOC247 NET: Website hoc miễn phí học theo chương trình SGK từ lớp đến lớp 12 tất môn học với nội dung giảng chi tiết, sửa tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú cộng đồng hỏi đáp sôi động -HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp Video giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa tập, sửa đề thi miễn phí từ lớp đến lớp 12 tất mơn Tốn- Lý - Hố, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học Tiếng Anh W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang |