Chöông 5 Phöông phaùp tích phaân kinh ñieån A Ñaùp öùng maïch RC vaø RL baäc nhaát * Ñaùp öùng töï do cuûa maïch RL 5 1 Cho maïch nhö hình 5 1 Khoùa ñaõ ôû vò trí a trong thôøi gian daøi Taïi thôøi ñi[.]
Chương 5: Phương pháp tích phân kinh điển A Đáp ứng mạch RC RL bậc * Đáp ứng tự mạch RL 5.1 Cho mạch hình 5.1 Khóa vị trí a thời gian dài Tại thời điểm t = 0, khóa chuyển vị trí từ a sang b a)Tính dòng điện ban đầu cuộn dây b)Xác định thời mạch với t > c)Tính i ; v1; v2 với t > d)Bao nhiêu phần trăm lượng ban đầu trử cuộn dây tiêu thụ điện trở 20Ω 12 ms kể từ khóa chuyển vị trí từ a sang b? 5Ω 125 V a 20Ω t= b + 80Ω v1 _ _ + Hình 5.1 i + 4H v2 _ Giaûi: a)i(0) = 125/25 = 5A b)τ = L/R = 4/100 = 40 ms c)i = 5e–25t A, t ≥ v1 = - 80i = - 400e–25t V; t ≥ v2 = Ldi1/dt = 4(-125e–25t) = - 500e–25t V; t ≥ 0+ d)ptiêu-thụ = i2(20) = 25e–50t(20) = 500e–50t W wtiêu-thụ = t ∫ 500 e−50 dx=10−10 e−50 t J Naêng lượng tiêu thụ điện trở 20Ω 12 ms: wtiêu-thụ (12ms) = 10 – 10e – 0,6 = 4,51 J Năng lượng ban đầu trử cuộn dây: w(0) = (4)(25)/2 = 50 J → (4,51 x 100)/50 = 9,02% Vậy lượng tiêu thụ điện trở 20Ω 12ms 9,02% lượng ban đầu trử cuộn dây 5.2.Khóa mạch hình 5.2 đóng mạch thời gian dài Tại thời điểm t = khóa hở mạch a)Tính i1(0–) i2(0–) b)Tính i1(0+) i2(0+) c)Tính i1(t) với t ≥ d)Tính i2(t) với t ≥ 0+ e)Giải thích i2(0– ) ≠ i2(0+) 15k Ω 15k Ω i1 t= _ + 9V 30mH 15k i2 Ω Hình 5.2 Giải: a) Với t < , ta có mạch hình 5.2a 15k Ω 15k Ω ig(0–) _ + 9V 15k i2(0–) Ω i1(0– ) Hình 5.2a 15kΩ//15kΩ = 7,5kΩ ig(0–) = 9/[(15 + 7,5) x 103] = 0,4 mA i1(0–) = i2(0–) = ig(0–)/2 = 0,2 mA b)i1(0+) = i1(0–) = 0,2 mA i2(0+) = - i1(0+) = - 0,2 mA (Khóa hở mạch) c) τ = L/R = (30 x 10-3)/(30 x 103) = 10-6 i1(t) = i1(0+)e−t / τ = 0,2 e−10 t mA, t ≥ d)i2(t) = - i1(t) t ≥ 0+ → i2(t) = - 0,2e−10 t mA, t ≥ 0+ e) Dòng điện chạy qua điên trở thay đổi đột ngột Sự đóng ngắt khóa ấn định i2(0–) = 0,2 mA i2(0+) = - 0,2 mA 5.3.Cho mạch hình 5.3 Khóa hở mạch thời gian dài , thời điểm t = khóa đóng mạch a)Tính i0(0–) b)Tính iL(0–) 50Ω c)Tính i0(0+) 200 100 d)Tính iL(0+) iL Ω Ω e)Tính i0(∞) i0 + 6 25V 300 t= Ω Hình 5.3 50mH vL _ _ + f)Tính iL(∞) g)Tính iL(t) với t ≥ h)Tính vL(0–) i)Tính vL(0+) j)Tính vL(∞) k)Tính vL(t) với t ≥ 0+ l)Tính i0(t) với t ≥ 0+ Giải: a)i0(0 ) = (do khóa hở mạch với t < 0) b)Với t = 0– ta có mạch hình 5.3a – ig 25V 50Ω 100 Ω 300 Ω 200 Ω iL(0– + ) vL(0 –) _ ig _ + 50Ω 25V 100 Ωia 200 Ω 300 62,5mA Ω i0(0+) + vL(0 +) _ _ + Hình 5.3b Hình 5.3a 300Ω//300Ω = 150Ω ig = 25/(50 + 150) = 125mA iL(0–) = 300 x ig(0–)/600 = 62,5 mA c)Với t = 0+ ta có mạch hình 5.3b 300Ω//100Ω = 75Ω ig = 25/(50 + 75) = 200 mA ia = 200 x 300/400 = 150 mA i0(0+) = 150 – 62,5 = 87,5 mA d)iL(0+) = iL(0–) = 62,5mA e)i0(∞) = ia = 150mA f)iL (∞) = 0, khoùa đóng mạch nên nhánh chứa cuộn dây điện trở 200Ω bị ngắn mạch g) τ = L/R = 50 x 10– 3/200 = 0,25 ms → iL(t) = 62,5e–4000t mA, t ≥ h)vL (0–) = với t < dòng chạy qua cuộn dây số i)Với t = 0+ ta có: 200(0,0625) + vL(0+) = → vL(0+) = -12,5 V j)vL(∞) = dòng chạy qua cuộn dây số t = ∞ k)vL(t) = -12,5e–4000t V; t ≥ 0+ l)i0(t) = ia – iL(t) = 150 – 62,5e–4000t mA, t ≥ 0+ 5.4 Cho mạch hình 5.4 Biết điện áp dòng điện có trị giá sau: v = 100e–80t V, t ≥ 0+ ; i = 4e–80t A, t ≥ ; Tính: a)Điện trở R b)Thời τ c)Điện cảm L d)Năng lượng ban đầu trử cuộn dây e)Thời gian để lượng tiêu thụ 80% lượng ban đầu trử cuộn dây i L + v _ R Hình 5.4 Giải: – 80t – 80t a)R = v/i = 100e /(4e ) = 25Ω b)τ = 1/80 = 12,5 ms c) τ = L/R = 12,5 x 10–3 → L = (12,5)(25) x 10–3 = 312,5 mH d)w(0) = L[i(0)]2 /2 = (0,3125)(16)/2 = 2,5J t e)wtiêu-thụ = ∫ 400 e−160 x dx = 2,5 - 2,5e–160t 0,8w(0) = 0,8(2,5) = 2J 2,5 - 2,5e–160t = → e160t = → t = 10,06 ms 5.5 Khóa mạch hình 5.5 vị trí thời gian dài Tại thời điểm t = 0, khóa chuyển sang vị trí Tính trị giá R cho 50% lượng ban đầu trử cuộn dây 20 mH bị tiêu hao R 10 μs 10A 5Ω t= 20mH 20m H Hình 5.5 R Giải: Năng lượng ban đầu trử cuộn dây: w(0) = (20 x 10– 3)(102)/2 = 1J 0,5w(0) = 0,5J Dòng điện chạy qua điện trở R: iR = 10 e−t / τ Công suất tiêu thụ điện trở R: pR = iR2R = 100Re−2 t / τ Naêng lượng tiêu hao R khoảng thời gian t0: t0 wR = ∫ 100 R e−2 x /τ dx = - 50τ R(e−2 t / τ −1) = 50L(1−e−2t / τ ) 0 50L = (50)(20) x 10-3 = 1; t0 = 10μs −2t / τ = 0,5 1−e t /τ →e =2 2t 2t R = =ln τ L R = Lln2/(2t0) = (20 x 10– 3ln2)/(20 x 10– 6) = 693,15Ω 5.6 Cho mạch hình 5.6 Gọi Ig nguồn dòng DC, hệ số α để phần lượng ban đầu trử cuộn dây bị tiêu hao điện trở R thời gian t0, L điện cảm cuộn dây a) Chứng minh: R = Lln[1/(1 – α)]/(2t0) b) Dùng kết câu a, tính trị giá R 5.5 0 5Ω Is t= R L 20m H Hình 5.6 Giải: a) Năng lượng ban đầu trử cuộn dây: w(0) = 0,5LIg2 Năng lượng tiêu hao R khoảng thời gian t0: t0 w R =∫ I g R e −2 x/ τ dx = 0,5 I 2g Rτ ( 1−e−2t / τ ) = 0,5 I 2g L ( 1−e−2 t /τ ) 0 Năng lượng tiêu hao R thời gian t0 phần lượng ban đầu trử cuộn dây: wR = αw(0) 0,5 I 2g L ( 1−e−2 t /τ ) = α(0,5LIg2) → ( 1−e−2t /τ ) = α; t /τ = 1/(1 – α) e 2t =ln [1/(1 – α)] → (R2t0)/L = ln[1/(1 – α)] τ → R = = Lln[1/(1 – α)]/(2t0) b) R = (20 x 10– 3)ln(1/0,5)/(20 x 10– 6) R = 693,15Ω 5.7 Khóa mạch hình 5.7 hở mạch thời gian dài Tại thời điểm t = khóa đóng mạch a)Tính i0(0+) i0(∞) b)Tính i0(t) với t ≥ c)Mất lâu (milliseconds) sau khóa đóng mạch dòng điện chạy qua khóa 3,8A? 12Ω 16Ω 0 _ + 80V t= 4Ω i0 20mH 8Ω Giải: Hình 5.7 a) iL(0) = 80/(16 + 12 + + 4) = 2A i0(0+) = 80/(16 + 4) – iL(0+) = – = 2A i0 (∞) = 80/20 = 4A b)iL(t) = 2e−t / τ τ = L/R = 20 x 10– 3/(12 + 8) = 1ms iL(t) = 2e–1000t A i0(t) = – il = - 2e–1000t A, t ≥ 0+ c) - 2e–1000t = 3,8 0,2 = 2e–1000t e1000t = 10 ; → t = 2,3 ms 5.8 Khóa mạch hình 5.8 đóng mạch thời gian dài Tại thời điểm t = khóa hở mạch a)Tính v0(t) với t ≥ 0+ b) Giả sử khóa hở mạch khoảng thời gian thời mạch, hỏi khoản thời gian điện trở 20Ω tiêu thụ lượng phần trăm lượng ban đầu trử cuộn dây? 15Ω 50Ω 3Ω _ + 80V t= 0,2H 50Ω 2Ω + v0 _ 60Ω 20Ω Hình 5.8 Giải: a)*Với t < 0, ta có mạch hình 5.8a 15Ω 50Ω 3Ω ig 80V 50Ω iL(0–) _ + 2Ω + v0 _ 60Ω 20Ω Hình 5.8a ig = 80/[15 + (50 // 50)] = 2A iL(0–) = 2(50)/100 = 1A = iL(0+) *Với t > 0, ta có mạch hình 5.8b iL(t) = iL(0+)e−t / τ A, t ≥ 3Ω 0,2H iL(0+) 2Ω + v0 _ 60Ω 20Ω τ = L/R = 0,2/[(60 // 20) + 3Hình + 2]5.8b = 0,01 s –100t iL(t) = e A, t ≥ v0(t) = - (60 // 20)iL(t) = - 15iL(t) v0(t) = - 15e–100t V, t ≥ 0+ b)Công suất điện trở 20Ω: P20 = v02/20 = 11,25e–200t W Điện trở 20Ω tiêu thụ lượng vòng 0,01 s sau khóa hở mạch: 0,01 w= ∫ 11,25 e−200 t dt = 56,25 x 10–3(1 – e–2) = 48,64 mJ Năng lượng ban đầu trử cuộn dây: w(0) = (0,2)(1)2/2 = 100 mJ → (48,64 x 100)/100 = 48,64% 5.9 Cho mạch hình 5.9 Khóa vị trí a thời gian dài, thời điểm t = khóa di chuyển từ a sang b a)Tính v0(t) với t ≥ 0+ b) Tính lượng tổng cộng cung cấp cho điện trở 1kΩ c) Cần khoản thời gian lần thời mạch để cung cấp 95% lượng nói câu b? 4kΩ b a t= 16k Ω 2,5m A 120mH 20m H Hình 5.9 Giải: a)Với t < 0, ta có mạch hình 5.9a + v0 _ 1kΩ 60mH 4kΩ 16k Ω 2,5m A iL(0–) Hình 5.9a iL(0 ) = -2,5 x 16/(16 + 4) = -2 mA Với t ≥ 0, ta có mạch hình 5.9b – 120mH -2mA + v0 _ 1kΩ τ = (40 x 10–3)/103 = 40 x 10–6 60mH Hình 5.9b + -2mA v0 40mH _ 1kΩ v0 = -1000(-2 x 10– 3)e– 25000t = 2e– 25000t V, t ≥ 0+ b)Năng lượng cung cấp cho điện trở 1kΩ lượng ban đầu trử cuộn dây tương đương 40mH wcung-cấp = (40 x 10–3)(4 x 10–6) = 80nJ c) 0,95wcung-cấp = 76nJ Điện trở kΩ tiêu thụ lượng 95% lượng ban đầu trử cuộn dây thời gian t0: t0 −50000 t 76 ×10 = 4e dt 1000 ∫ −9 → 76 x 10– = 80 x 10– 9(1 – e−50000t ) −50000 t = 0,05 e 50000t0 = ln20 t0 = 59,9 μs t 59,9 = =1,498 τ 40 → t0 ≈ 1,5τ 0 5.10 Khóa mạch hình 5.10 vị trí thời gian dài Tại thời điểm t = khóa chuyển sang vị trí a)Tính v0(t) với t ≥ 0+ b)Năng lượng tiêu hao điện trở 20Ω phần trăm lượng ban đầu trử cuộn dây? 96mH 7Ω 5Ω 160V t= + v0 _ 15Ω 5Ω 20Ω _ + Hình 5.10 Giải: a)Với t < 0, ta có mạch hình 5.10a 7Ω 160V 5Ω ig = 10A Hình 5.10a 2A 5Ω 20Ω _ + ig = 160/[7 + + (5 // 20)] = 10 A iL(0–) = (10 x 5)/25 = A = iL(0+) Với t > 0, ta có mạch hình 5.10b 5Ω + v0 _ 96mH iL 15Ω 5Ω 20Ω i0 Hình 5.10b Điện trở tương đương Re: Re = (20 x 5)/25 + 20 = 24Ω τ = L/Re = (96 x 10 –3)/24 = ms iL(t) = 2e–250t A i0 = 5iL/25 = 0,4e–250t A v0 = - 15i0 = - 6e–250t V, t ≥ 0+ b)p20 = 20iL2 = 20(2e–250t)2 = 80e–500t W Năng lượng tiêu hao điện trở 20Ω: ∞ w 20=∫ 80 e −500t dt =160 mJ Năng lượng ban đầu cuộn dây: w(0) = (96 x 10–3)(2)2/2 = 192 mJ → (160 x 100)/192 = 83,33% 5.11 Khóa mạch hình 5.11 đóng mạch thời gian dài Tại thời điểm t = khóa hở mạch a)Tính trị giá L cho v0(t) = 0,25v0(0+) t = 5ms b)Tính lượng tổn hao điện trở 50Ω t = 5ms phần trăm lượng ban đầu trử cuộn dây? 5kΩ 60mA t= 1kΩ 50Ω Hình 5.11 Giải: a)v0(t) = v0(0+)e−t / τ + v0 _ L