Mach 5

Chương 5:Phương pháp tích phân kinh điển 5.1.Phương pháp tích phân kinh điển ➢ 5.2 Đáp ứng mạch RC RL bậc ➢ 1.Đáp ứng ‘natural’ mạch RC ➢ 2.Đáp ứng ‘natural’ mạch RL ➢ 3.Đáp ứng ‘step’ mạch RC ➢ 4.Đáp ứng ‘step’ mạch RL ➢ 5.Nghiệm tổng quát đáp ứng mạch RC RL ➢ 5.3 Đáp ứng mạch RLC bậc hai ➢ 1.Đáp ứng ‘natural’ mach RLC song song ➢ 2.Đáp ứng ‘step’ mach RLC song song ➢ 3.Đáp ứng ‘natural’ mach RLC nối tiếp ➢ 4.Đáp ứng ‘step’ mach RLC nối tiếp ➢ 5.1.phương pháp tích phân kinh điển Chúng ta phân tích mạch LTI (tuyến tính bất biến) nguồn độc lập Quan hệ giá trị tức thời dòng điện điện áp phần tử ta xét chương trước Mạch bao gồm phần tử RLCM mơ tả phương trình vi tích phân thành lập dựa định luật Kirchhoff Ohm Để tiện việc giải hệ phương trình , người ta thường đưa phương trình vi phân cấp n (m): *Trong y(t)(hoặc x(t)) nghiệm cần tìm, x(t)(hoặc y(t)) hàm cho, số ak; bk biểu diễn thông số mạch Ví dụ i(t) e(t) C L2 I i2 i1 L1 II R ➢ Áp dụng KVL để thành lập phương trình áp theo vịng: ➢ Khử i1 từ phương trình lấy đạo hàm vế ta được: 1.Nghiệm phương trình vi phân hệ số *Từ ví dụ ta thấy dịng điện i(t) hay điện áp e(t) mạch nghiệm phương trình vi phân tuyến tính hệ số Giả sử vế phải phương trình xác định nguồn e(t) cho trước, ta ký hiệu f(t) vế trái nghiệm cần tìm (là điện áp hay dịng điện) ta có: Nghiệm phương trình vi phân có dạng: Y(t) = yxl (t) + yqđ (t) *yqđ (t): gọi thành phần q độ (tự do) khơng phụ thuộc vào hàm f(t) * yxl (t): gọi thành phần cưỡng (xác lập) a.Nghiệm phương trình Thành phần yqđ nghiệm phương trình Xét phương trình đặc tính: an pn + an-1 pn -1 +…+ a1 p + a0 = Có trường hợp: 1.Nếu tất nghiệm p1; p2;…pn thực đơn thì: yqđ = k1 ep1t + k2 ep2t + +kn epnt 2.Nếu nghiệm đơn phức ln ln cặp nghiệm phức liên hiệp Ví dư: p1 = -α +jβ p2 = p1* = -α -jβ Thì: yqđ = y1 + y2 = e-αt (k1 ejβt + k2 e-jβt ) = ke-αt cos(βt + Φ) với k = 2|k1| Φ = arg k1 3.Nếu p1 nghiệm bội h (có h nghiệm trùng nhau) số cịn lại đơn, thì: yqđ = (k1 + k2 t+… +kh th-1)ep1t +…+ kn epnt Ví dụ tìm thành phần độ i(t) C L R + u(t) - ➢ Hãy tính thành phần độ điện áp u(t) hình ➢ Giải: Ta có: ➢ Với giả thuyết i(t) = Lấy đạo hàm vế ta được: ➢ ➢ Với: ω02 = 1/LC; α =1/2RC Ví dụ tìm thành phần q độ Phương trình đặc tính mạch: p2 +2αp + ω02 = Có nghiệm: *Nếu α2 > ω02 (2 nghiệm thực đơn), thành phần độ là: *Nếu α2 = ω02 ( nghiệm thực kép = -α), thành phần độ là: uqđ (t)= (k1 + k2 t)e-αt *Nếu α2 < ω02 (cặp nghiệm thực liên hiêp),thành phần độ là: uqđ (t)= ke-αt cos(βt +Φ) ; với: b)Nghiệm phương trình khơng i(t) ➢ ➢ ➢ ➢ ➢ C R + u(t) - Để tìm thành phần yxl ta dùng phương pháp hệ số khơng xác định Vấn đề phải đốn trước dạng nghiệm ph.trình (5.2) Ta xét ví dụ: Hãy xác định điện áp u(t) mạch hình.Nếu i(t)=1 A; i(t) = cosωt A; i(t) = e-t cost A; C =1F; R =1/3 Ω i(t) = e-2t A; C =1F; R =1/2 Ω ➢ Giải: ➢ Điện áp u(t) nghiệm phương trình vi phân: ➢ Cdu/dt + u/R = i(t) Bao gồm thành phần: uqđ nghiệm phương trình vi phân uxl nghiệm phương trình khơng b)Nghiệm phương trình khơng Thành phần q độ khơng phụ thuộc vào kích thích: uqđ (t) = ke-t/RC Thành phần cưỡng phụ thuộc vào nguồn kích thích nên cần xét trường hợp cụ thể: i(t) = A Ta đoán nghiệm riêng phương trình khơng có dạng uxl = B thay vào phương trình vi phân ta thấy thỏa mãn với B = Ri(t) = R Do điện áp u(t) là: u(t) = uxl(t) + uqđ(t) = R.1+ ke-t/RC V i(t) = cosωt Ta giả sử uxl = Acosωt + Bsinωt thay vào phương trình mạch: C(-Aωsinωt + Bωcosωt) + (Acosωt + Bsinωt)/R = cosωt Hay (A + ωRCB)cosωt + (B - ωRCA)sinωt = Rcosωt →A = R/[1+(ωRC)2] ; B = ωR2C/[1+(ωRC)2] Ta lại có: Acosωt + Bsinωt = cos(ωt-φ) ; Với : Vậy thành phần xác lập có dạng: *Từ hai trường hợp ta thấy để tính thành phần xác lập ta tính theo phương pháp biết chương khác (khi tính khơng để ý đến việc phân tích q trình q độ) thu kết nhanh chóng Với mạch có nguồn kích thích chiều (tụ hở mạch) điện áp u = R.1 V Với nguồn điều hòa , trạng thái xác lập ta dùng phương pháp biên độ phức Dẩn nạp tương đương: Y = 1/R + jωC Vậy biên độ phức là: Vậy: u(t) = uxl(t) + uqđ(t) = ke-t/RC + cos(ωt-φ)