(Luận Văn Thạc Sĩ) Bài Toán Cauchy Đối Với Phương Trình Truyền Nhiệt Thuần Nhất.pdf

Untitled ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM –––––––––––––––––––– MÔNG THỊ NGUYỆT BÀI TOÁN CAUCHY ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT THUẦN NHẤT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN 2016 HueCd C[.]

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM –––––––––––––––––––– MƠNG THỊ NGUYỆT BÀI TỐN CAUCHY ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT THUẦN NHẤT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2016 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM –––––––––––––––––––– MƠNG THỊ NGUYỆT BÀI TỐN CAUCHY ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT THUẦN NHẤT Chuyên ngành: Tốn giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS PHẠM THỊ THỦY THÁI NGUYÊN - 2016 i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng Các tài liệu luận văn trung thực Luận văn chưa công bố cơng trình Tác giả Mơng Thị Nguyệt ii LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành Trường Đại học Sư phạm – Đại học Thái Nguyên hướng dẫn tận tình TS Phạm Thị Thủy Nhân dịp em xin cám ơn Cô hướng dẫn nhiệt tình truyền thụ kinh nghiệm q trình học tập, nghiên cứu hồn thành luận văn Xin chân thành cảm ơn Phòng Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Tốn, thầy giáo Trường Đại học Sư phạm – Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học Trường Đại học Sư phạm Hà Nội giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi cho tơi q trình học tập nghiên cứu khoa học Xin chân thành cảm ơn Trường THPT Thái Nguyên đồng nghiệp tạo điều kiện giúp đỡ tơi mặt q trình học tập hoàn thành luận văn Bản luận văn chắn khơng tránh khỏi khiếm khuyết, mong đóng góp ý kiến thầy cô giáo bạn học viên để luận văn hoàn chỉnh Thái Nguyên, tháng 04 năm 2016 Tác giả luận văn Mông Thị Nguyệt iii Mục lục LỜI CAM ĐOAN i LỜI CẢM ƠN ii MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Phân loại phương trình đạo hàm riêng 1.1.1 Phân loại phương trình tuyến tính cấp hai trường hợp hai biến 1.1.2 Phân loại phương trình tuyến tính cấp hai trường hợp nhiều biến Phép biến đổi Fourier L (Rn ) 1.2.1 Biến đổi Fourier L (Rn ) 1.2.2 Các tính chất biến đổi Fourier L (Rn ) Phép biến đổi Fourier L (Rn ) 12 1.3.1 Biến đổi Fourier L (Rn ) 12 1.3.2 Các tính chất biến đổi Fourier L (Rn ) 15 1.4 Các công thức đơn giản biến đổi Fourier 17 1.5 Biến đổi Fourier vài hàm số đơn giản 20 1.2 1.3 1.5.1 Biến đổi Fourier hàm f (x) = e−x R1 −ax2 20 1.5.2 Biến đổi Fourier hàm số f (x) = e (a > 0) R1 22 1.5.3 Biến đổi Fourier hàm f (x) = e−a|x| (a > 0) 23 n 1.5.4 − ∑ j xi x j Biến đổi Fourier hàm f (x) = e i, j=1 BÀI TỐN CAUCHY CHO PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT THUẦN 23 iv NHẤT 2.1 26 Bài tốn Cauchy cho phương trình truyền nhiệt với hệ số R1 2.2 2.3 26 2.1.1 Bài toán Cauchy cho phương trình truyền nhiệt 26 2.1.2 Tìm nghiệm toán (2.1.1),(2.1.2) 27 Bài toán Cauchy cho phương trình truyền nhiệt với hệ số Rn 31 2.2.1 Bài toán Cauchy 31 2.2.2 Nghiệm tốn (2.2.1), (2.2.2) cơng thức Poisson 31 Bài tốn Cauchy cho phương trình truyền nhiệt với hệ số phụ thuộc biến thời gian Rn 2.4 34 2.3.1 Bài toán Cauchy 34 2.3.2 Tìm nghiệm tốn (2.3.1), (2.3.2), cơng thức Poisson suy rộng 34 Một vài ví dụ 37 2.4.1 Phương trình với hệ số 37 2.4.2 Phương trình với hệ số trường hợp A = a2 E 38 2.4.3 Trường hợp biến không gian 38 2.4.4 Trường hợp biến không gian 39 KẾT LUẬN 41 TÀI LIỆU THAM KHẢO 42 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong số lớp phương trình đạo hàm riêng tuyến tính, phương trình dạng parabolic lớp phương trình mơ tả q trình truyền nhiệt, khuyếch tán Bài tốn nghiên cứu từ lâu lý thuyết đến tương đối hồn chỉnh Khi nghiên cứu tốn Cauchy cho phương trình truyền nhiệt, nhà tốn học Pháp Poisson thiết lập cơng thức tính nghiệm, mang tên ơng có nhiều ứng dụng.Với mong muốn tìm hiểu sâu phương pháp biến đổi Fourier áp dụng kết đạt việc nghiên cứu tốn Cauchy cho phương trình truyền nhiệt nhất, chúng tơi chọn " Bài tốn Cauchy phương trình truyền nhiệt nhất" làm đề tài nghiên cứu Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu 2.1 Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu phương pháp biến đổi Fourier áp dụng việc giải tốn Cauchy cho phương trình truyền nhiệt 2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu Luận văn tập trung vào nhiệm vụ sau đây: - Trình bày tổng quan phương trình đạo hàm riêng biến đổi Fourier L (Rn ), L (Rn ), với tính chất chúng - Tìm nghiệm tốn Cauchy cho phương trình truyền nhiệt với hệ số R1 , Rn hệ số phụ thuộc biến thời gian Rn - Trình bày cơng thức Poisson cho nghiệm tường minh tốn Cauchy cho phương trình truyền nhiệt thơng qua số ví dụ Phương pháp nghiên cứu Sử dụng phương pháp phương trình đạo hàm riêng, phương pháp biến đổi Fourier, phương pháp giải tích để nghiên cứu tốn Cauchy cho phương trình truyền nhiệt Bố cục luận văn Nội dung luận văn gồm 42 trang có phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương 1: Trình bày số kiến thức chuẩn bị để thực nội dung chương sau: phân loại phương trình đạo hàm riêng, trình bày hệ thống phép biến đổi Fourier L (Rn ), L (Rn ), công thức đơn giản biến đổi Fourier, biến đổi Fourier vài hàm số đơn giản Chương 2: Là nội dung luận văn Tìm nghiệm tốn Cauchy cho phương trình truyền nhiệt với hệ số R1 Rn Tiếp đến việc mở rộng tốn Cauchy cho phương trình truyền nhiệt với hệ số phụ thuộc biến thời gian Rn giải số ví dụ Cuối phần kết luận trình bày tóm tắt kết đạt Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, ta nhắc lại số kiến thức quan trọng làm tảng để nghiên cứu chương sau Đó kiến thức phương trình đạo hàm riêng biến đổi Fourier Các nội dung chương trích dẫn từ tài liệu tham khảo [1], [2], [3], [4], [5], [6], [7] 1.1 1.1.1 Phân loại phương trình đạo hàm riêng Phân loại phương trình tuyến tính cấp hai trường hợp hai biến Định nghĩa 1.1.1.1 Giả sử u = u(x1 , x2 , , xn ) hàm xác định Rn Một phương trình liên hệ ẩn hàm u(x1 , x2 , , xn ), biến độc lập x1 , x2 , , xn đạo hàm riêng gọi phương trình đạo hàm riêng Phương trình có dạng: F(x1 , ., xn , u, ∂u ∂u ∂ ku , ) = , , k , , ∂ x1 ∂ xn ∂ x ∂ xnkn Định nghĩa 1.1.1.2 Giả sử u = u(x, y) hàm xác định R2 , a(x, y), b(x, y), c(x, y) ∈ R2 Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai trường hợp hai biến phương trình có dạng: a(x, y)uxx + 2b(x, y)uxy + c(x, y)uyy + F(x, y, u, ux , uy ) = a) Phân loại phương trình tuyến tính cấp hai trường hợp hai biến Xét phương trình tuyến tính cấp hai với hệ số thực auxx + 2buxy + cuyy + F(x, y, u, ux , uy ) = Xét điểm (x0 , y0 ) cố định Phương trình (1.1.1) điểm (x0 , y0 ) gọi là: (1.1.1) - Thuộc loại elliptic điểm đó: b2 − ac < - Thuộc loại hyperbolic điểm đó: b2 − ac > - Thuộc loại parabolic điểm đó: b2 − ac = Nếu phương trình (1.1.1) điểm miền G thuộc loại ta nói phương trình thuộc loại miền G b) Dạng tắc phương trình tuyến tính cấp hai trường hợp hai biến Ta đưa phương trình (1.1.1) dạng tắc sau: - Với b2 − ac > dạng tắc phương trình loại hyperbolic là: uxx − uyy = φ hay uxx = φ - Với b2 − ac < dạng tắc phương trình loại elliptic là: uxx + uyy = φ - Với b2 − ac = dạng tắc phương trình loại parabolic là: uxx = φ 1.1.2 Phân loại phương trình tuyến tính cấp hai trường hợp nhiều biến Định nghĩa 1.1.2.1 Giả sử u = u(x1 , x2 , , xn ) hàm xác định Rn Phương trình tuyến tính cấp hai trường hợp n - biến phương trình có dạng: n ∑ j uxi x j + F(x1 , , xn , u, ux1 , , uxn ) = (1.1.2) i, j=1 với j = a ji hàm biến x1 , , xn Ký hiệu x = (x1 , , xn ) điểm không gian Ơ – clit n chiều a) Phân loại phương trình tuyến tính cấp hai trường hợp nhiều biến Xét ma trận : A(x) = kai j (x)k (1.1.3) Coi (1.1.3) ma trận đối xứng Ta cố định điểm x0 = (x10 , , xn0 ) Khi ma trận A(x) trở thành ma trận A(x0 ) Z Z Z f (u)e−ihu,ξ i du ≤ | f (u)| du + Rn |u|>A |u|