SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Trường THPT Chuyên Vĩnh Phúc KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG ĐẠI HỌC LẦN THỨ 3 NĂM HỌC 2013 – 2014 (Đề có 01 trang) Môn Toán 12 Khối D Thời gian 180 phút (Không kể giao đề) I PHẦN CHUNG CH[.]
KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG ĐẠI HỌC LẦN THỨ 3 NĂM HỌC 2013 – 2014 Mơn : Tốn 12 Khối D Thời gian: 180 phút (Khơng kể giao đề) SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Trường THPT Chun Vĩnh Phúc (Đề có 01 trang) www.LuyenThiThuKhoa.vn www.NhomToan.Com I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm) x - 1 Câu 1 (2 điểm) Cho hàm số y = có đồ thị là ( C ) x + 1 a) Khảo sát và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số. b) Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) biết rằng tiếp điểm của tiếp tuyến đó với ( C ) cách điểm A ( 0;1 ) một khoảng bằng 2 Câu 2 (1 điểm) Giải phương trình: (1 - tan x )(1 + sin x ) = + tan x Câu 3 (1 điểm) Giải phương trình: ( x - 1) e (x Câu 4 (1 điểm) Tính tích phân : I = ị 1 ( ) x + + 3 x + = x + 8 + 1) ln x + x 2 + 1 dx + x ln x Câu 5 (1 điểm). Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thoi , hai đường chéo AC = , BD = 8 và cắt nhau tại O Hai mặt phẳng ( SAC ) và ( SBD ) cùng vng góc với mặt phẳng ( ABCD ) . Biết khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng ( SAB ) bằng , tính thể tích khối chóp S ABCD 4 Câu 6 (1 điểm). Cho ba số thực dương x, y, z thoả mãn x ( x - 1) + y ( y - 1) + z ( z - 1 ) £ Tìm giá trị nhỏ 3 1 1 + + nhất của biểu thức: M = x + y + z + 1 II. PHẦN RIÊNG (3 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B) A. Theo chương trình Chuẩn Câu 7a (1 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A (1; 2 ) và điểm B ( 3;5 ) . Viết phương trình đường trịn ngoại tiếp tam giác OAB ( O là gốc toạ độ ) và xác định toạ độ trực tâm tam giác OAB Câu 8a (1 điểm). Trong khơng gian với hệ trục Oxyz cho mặt phẳng ( P ) : x - y + z + = 0 và các điểm uuur uuur A ( 3; -1; ) , B (1; - 5; 0 ) .Tìm toạ độ điểm M Î ( P ) sao cho MA.MB = 30 n 1 ổ Cõu9a(1im) Tỡmshngkhụngphthucvo x trongkhaitrin Niutncanhthc ỗ 2x- ữ bit 2x ứ ố * n ẻ Ơ v 2Cn1 + Cn 2 = 90 B. Theo chương trình Nâng cao Câu 7b (1 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , viết phương trình chính tắc của elíp ( E ) có tâm sai 3 và độ dài đường chéo hình chữ nhật cơ sở bằng 3 Câu 8b (1 điểm). Trong khơng gian với hệ truc toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng ( Q ) chứa đường e = x + y + z - 3 và tạo với mặt phẳng ( P ) : x + y - z + = 0 một góc nhỏ nhất. = = 1 Câu 9b (1 điểm). Có 30 tấm thẻ đánh số từ 1 đến 30 Chọn ngẫu nhiên ra 10 tấm thẻ. Tìm xác suất để có 5 tấm thẻ mang số lẻ, 5 tấm thẻ mang số chẵn trong đó chỉ có đúng 1 tấm thẻ mang số chia hết cho 10 HẾT Cảm ơn thầy Nguyễn Duy Liên( lientoancvp@vinhphuc.edu.vn) đã gửi tới www.laisac.page.tl thẳng d : Câu Ý 1 2,0 điểm a TXĐ: D = ¡ \ {-1 } ĐÁP ÁN KTCL ƠN THI ĐẠI HỌC LẦN 3 NĂM HỌC 20132014 Mơn: TỐN; Khối D (Đáp án gồm 5 trang) ĐIỂM NỘI DUNG x - 1 x - 1 x - 1 = 2 , lim + = -Ơ , lim= +Ơ xđƠ x +1 xđ-1 x +1 x ®-1 x + 1 3 Chiều biến thiên: Ta có y ' = > 0 "x Î D 2 ( x + 1 ) BBT : x -¥ 1 +¥ 0,25 Giới hạn: lim +¥ 0,25 y 2 Hàm số ln nghịch biến trên D = ¡ \ {-1 } -¥ 0,25 Đồ thị hàm số có TCN là y = 2 Đồ thị hàm số có TCĐ là x = - 1 Đồ thị: Đồ thị hàm số cắt Ox tại điểm A ( ;0) 2 Đồ thị hàm số cắt Oy tại điểm B ( 0; - 1 ) b 0,25 Nhận xét đồ thị: đồ thị hàm số nhận giao điểm I ( - 1; 2 ) làm tâm đối xứng Đồ thị học sinh tự vẽ æ 3 Gi M ỗ x0 2ữ ẻ ( C)( x0 ¹ - 1 ) x0 + 1 ø è 3 Phương trình tiếp tuyến với ( C ) tại M D : y = x - x 0 ) + 2 2 ( x 0 + 1 ( x0 + 1 ) 0,25 2 ỉ 2x -1 ỉ x - 2 ư A( 01) theobira MA =2 hay x + ỗ - 1ữ = x02 + ỗ ữ = 4 è x0 + ø è x0 + 1 ø Û x0 ( x0 - ) ( x22 + x0 + ) = Þ x0 = , x0 = 2 0,25 0,25 · x0 = 0 Û pt tiếp tuyến là D1 : y = y¢ ( )( x - ) + y ( 0 ) hay D 1 : y = 3x - 1 · x0 = 2 Û pt tiếp tuyến là D 2 : y = y ¢ ( )( x - ) + y ( 2 ) hay: D 2 : y = · Vậy có hai tiếp tuyến D 1 : y = 3x - 1 và D 2 : y = 2 1 x+ 3 0,25 1 x + 3 1,0 điểm Giải phương trình (1 - tan x )(1 + sin x ) = + tan x điều kiện cos x ¹ 0 Û x ¹ p 2 + hp ( h ẻ Â) 0,25 Khiúphngtrỡnh ( cos x - sin x )( cos x + sin x ) = cos x + sin x Û ( cos x + sin x ) éëcos x - sin 2 x - 1ùû = 0 0,25 é cos x + sin x = é tan x = -1 ê cos x - = Û ê cos x = 1 ë ë p · tan x = -1 Û x = - + kp 4 · cos x = x = kp ( k ẻ Â) thamón k Vậy phương trình đã cho có hai họ nghiệm là: x = kp , x = 3 1,0 điểm. 0,25 ( k ẻ Â) thamón k ( p + kp ( k ẻ Â) 0,25 ) Giiphngtrỡnh: ( x - 1) x - + 3 x + = x + 6 . ĐK: x ³ - 3 x + Khi đó phương trình Û éë x + + 3 x + ùû =0 4x -1 1 ö KTM ÷ 4 è ø x + æ 1 é ö Xét hàm số f ( x ) = éë x + + 3 x + ùû xẻ -3 ữ ẩ ỗ +Ơ ữ 4x -1 ø è 4 ë ø 1 36 ỉ ỉ 1 ỉ f Â( x) = + + > "xẻ ỗ -3 - ữ ẩ ỗ - ữ ẩ ỗ +Ơ ữ 2 ứ ố ứ è 4 x + 3 3 ( 3x + 5 ) è ứ ( x- 1) (*)ổỗ Do x = 1ử ộ ổ vyhmsngbintrờncỏckhong -3 ữ v ỗ +Ơ ữ ứ ố ứ 1ử ộ Ã Vi x ẻ -3 ữ phngtrỡnh (*) Û f ( x ) = f ( -2 ) Û x = -2 4 ø ë ỉ 1 · Với x ẻ ỗ +Ơ ữ phngtrỡnh (*) f ( x ) = f (1) Û x = 1 è 4 ø Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x = -2 , x = 1 4 e 1,0 điểm. Tính Tích phân I = ị 1 e I =ị (x ò x dx = 1 e · 2 5 0,25 0,25 + 1) ln x + x + 1 dx + x ln x e 3 e e 3 - 1 x = 1 3 0,25 0,25 e e d ( + x ln x ) + ln x e + 2 dx = = ln + x ln x = ln ( e + ) - ln = ln ( ) ò1 + x ln x ò 1 + x ln x 2 1 Vậy I = 0,25 2 e + 1) ln x + x + 1 + ln x 2 dx = ò x dx + ò dx + x ln x 1 + x ln x e · (x 0,25 e3 - e + 2 + ln 2 0,25 0,25 1,0 điểm Từ gt AC = , BD = 8 và AC ^ BD tai trung điểm O của mỗi đường chéo. Tam giác ABD = 60 0 hay D ABD đều ABO vuuông tại O và OA = , OB = Þ · 0,25 ( SAC ) ^ ( ABCD ) , ( SBD ) ^ ( ABCD ) , ( SAB ) Ç ( SBD ) = SO Þ SO ^ ( ABCD ) Gọi H , K lần lượt là trung điểm AB , BH Þ DH ^ AB DH = , OK P DH , OK = 1 DH = 3 Þ OK ^ AB Þ AB ^ ( SOK ) , OI ^ SK 2 0,25 Ta có OI ^ SK , OI ^ AB Þ OI ^ ( SAB ) hay OI = d ( O, ( SAB ) ) = 3 Tam giác SOK vng tại O đường cao OI Þ 1 1 1 = + Þ = + Þ SO = 2 2 OI OK OS 12 OS 2 0,25 1 64 3 S Y ABCD = S DOAB = 2.OA.OB = 32 3 Þ VS ABCD = × SO × SY ABCD = × × 32 3 = 3 3 64 3 Vậy thể tích khối chóp S ABCD bằng (đvtt) ( h/s tự vẽ hình) 3 6 1,0 điểm ỉ Tacú = ỗ x + + y +1 ỗ x + ố ị M x + y + z + 3 2 2 1 ö + z +1 ÷ £ M ( x + y + z + 3 ) y +1 z + 1 ÷ø Mặt khác giả thiét Û x + y + z 2 - ( x + y + z ) £ 7.a 0,25 4 Û 3 1 2 ³ ( x + y + z ) - ( x + y + z ) Û < x + y + z £ 4 3 9 9 ³ = dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi Từ đó Þ M ³ x + y + z + + 3 7 ì x + y + z = 4 4 Û x = y = z = í 3 ỵ x + = y + = z + 1 9 4 Vậy giá trị nhỏ nhất của M bằng đạt được khi x = y = z = 7 3 1,0 điểm 0,25 0,25 0,25 0,25 Giả sử phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB là: ( C ) : x + y 2 - 2ax - 2by + c = 0 ( đ/k a + b 2 - c > 0 ) 0,25 ìO Î ( C ) c = 0 ì a = 21,5 ì ï ï2 ï Do í A Ỵ ( C ) Û í1 + 2 - 2a - 4b + c = Û íb = -9,5 thỏ mãn đ/k ï ï ù c= ợB ẻ ( C ) ợ3 + - 6a - 10b + c = 0 ỵ Vậy ( C ) : x + y 2 - 43 x + 19 y = 0 0,25 Gọi H là trực tâm tam giác OAB H ( m ; n ) Ta có uuur uuur uuur uuur AH = ( m - 1; n - ) , BH = ( m - 3; n - 5 ) , OA = (1; ) , OB = ( 3;5 ) , H là trực tâm tam giác uuur uuur ìï AH OB = ìï3 ( m - 1) + ( n - ) = 0 ìm = -39 Ûí Ûí íuuur uuur îï BH OA = 0 îï1( m - 3) + ( n - ) = 0 ỵn = 26 Vậy trực tâm H ( - 39 ; 26 ) 8.a 1,0 điểm 0,25 0,25 Gọi I là trung điểm AB Þ I ( 2; - 3;1 ) , Vậy khi đó d ( I , ( P ) ) = + + + 9 2 = 22 + ( -1) + 2 2 uur uur ur uur ur uur Và IA = (1; 2;1) , IB = ( -1; -2; -1) Þ I A.IB = -1 - - = -6 , I A + IB = O uuur uuur uuur uur uuur uur uuur uur uur uur uur 30 = MA.MB = MI + IA MI + IB = MI + MI IA + IB + IA.IB = MI 2 - 6 ( )( ) ( 18 = 6 0,25 3 ) 0,25 MI 2 = 36 Þ MI = = d ( I ; ( P ) ) Û M là hình chiếu của I ( P ) ì x = + 2 t ìï qua I ( 2; -3;1) ìï qua I ( 2; -3;1 ) ï Đường thẳng d : í Þ d :í Þ d : í y = -3 - t r r ï z = + 2 t ỵï ^ ( P ) ỵïvtcp u = n P = ( 2; -1; 2 ) ỵ ì x = + 2t ì x = -2 ï y = -3 - t ï y = -1 ï ï M = d ầ ( P )ị To M lnghimhptớ Ûí Û z = + t z = 3 ï ï ïỵ2 x - y + z + = ïỵ t = -2 Vậy M ( -2; -1; - 3 ) 9.a n ( n - 1 ) 2 n = 90 Û n 2 + 3n - 180 = n =12 (do n ẻ Ơ* ) 0,25 k 12 12 12 ỉ 1 ö 12 - k æ k æ k k x = x = C x = C12 ( ) ( -1) 2 12 -2 k x 12 -3 k å å ç ç 12 ç ÷ ÷ 2 ÷ 2x ø è 2x ø è è 2 x ø k =0 k = 0 k 0,25 k Số hạng Tk +1 = C12 ( - 1) 2 12- 2k x12-3 k không phụ thuộc vào x Û 12 - 3k = Û k = 4 0,25 Vậy số hạng không phụ thuộc vào x là T5 = C12 4 = 7920 0,25 1,0 điểm Giả sử phương trình ( E ) : x y 2 + = , a > b > 0 a b 2 0,25 c 3 = Þ a = 3c Û a = ( a - b ) Û 2a = 3b 2 (1 ) a 3 độ dài đường chéo hình chữ nhật cơ sở bằng Û ( a + b ) = 4.5 Û a + b 2 = 5 ( 2 ) Ta có e = Từ (1 ) ( 2 ) suy ra a = , b 2 = 2 Vậy elip ( E ) có phương trình ( E ) : 8.b 0,25 1,0 điểm 2Cn1 + Cn 2 = 90 Û 2n + 7.b 0,25 x y 2 + = 1 2 0,25 0,25 0,25 1,0 điểm r r d có vtcp u = ( 2;1;1 ) , ( P ) có vtpt m = (1; 2; -1 ) , r ( Q ) có vtpt n = ( a; b; c ) ; a + b + c 2 > 0 r r rr r Do ( Q ) chứa d Þ n ^ u Û n.u = Û a + b + c = Û c = -2a - b Û n = ( a; b; -2 a - b ) ( ) Gọi a là góc hợp bởi ( P ) ( Q ) r r n.m a + 2b + 2a + b 3a + 3 b r r Þ cos a = cos ( n; m ) = r r = = n m 5a + 4ab + 2 b 2 a + b 2 + ( 2 a + b ) = a+b 3a 2 + ( a + b ) £ 3 a + b 2 2 ( a + b ) = 3 = cos 30 Û a ³ 30 0 Vậy a min = 30 0 2 0,25 0,25 0,25 r Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi a = 0 lúc đó ta chọn b = 1; c = -1 Þ n = ( 0;1; -1 ) 9.b ïìQua A ( -1; -1;3 ) Ỵ d Û ( Q ) y - z + = 0 Mặt phẳng ( Q ) : í r ïỵvtpt n = ( 0;1; -1 ) 1,0 điểm 0,25 10 Gọi W là tập hợp cách chọn 10 tấm thẻ trong 30 tấm thẻ. Ta có W = C30 0,25 Gọi A là biến cố “ Có 5 tấm thẻ mang số lẻ,5 tấm thẻ mang số chẵn trong đó chỉ có đúng 1 tấm thẻ chia hết cho 10 “ Để tính A ta làm như sau: Đầu tiên chọn 5 tấm trong 15 tấm mang số lẻ, tiếp đó chọn 4 tấm trong 12 tấm mang số chẵn nhưng khơng chia hết cho 10, sau cùng chọn 1 trong 3 tấm thẻ mang số chia hết cho 10.Theo quy tắc nhân ta có W A = C155 C124 C3 1 Vậy P ( A ) = W A W = C155 C124 C 3 1 99 = 10 667 C30 0,25 0,25 0,25 Hết LƯU Ý CHUNG: Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có. Khi chấm bài học sinh làm theo cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa. Với Câu 5 nếu thí sinh khơng vẽ hình phần nào thì khơng cho điểm tương ứng với phần đó. Điểm tồn bài tính đến 0,25 và khơng làm trịn. ...Câu Ý 1 2,0 điểm a TXĐ: D = ¡ \ {-1 } ĐÁP? ?ÁN? ?KTCL ƠN? ?THI? ?ĐẠI HỌC LẦN 3 NĂM HỌC 20132014 Mơn: TỐN; Khối D (Đáp? ?án? ?gồm 5 trang) ĐIỂM NỘI DUNG x - 1 x - 1 x - 1 = 2 , ... Chiều biến? ?thi? ?n: Ta? ?có y '' = > 0 "x Ỵ D 2 ( x + 1 ) BBT : x -¥ 1 +¥ 0,25 Giới hạn: lim +¥ 0,25 y 2 Hàm số ln nghịch biến trên D = ¡ \ {-1 } -¥ 0,25 Đồ thị hàm số? ?có? ?TCN là ... 7.b 0,25 x y 2 + = 1 2 0,25 0,25 0,25 1,0 điểm r r d? ?có? ?vtcp u = ( 2;1;1 ) , ( P ) có? ?vtpt m = (1; 2; -1 ) , r ( Q ) có? ?vtpt n = ( a; b; c ) ; a + b + c 2 > 0 r r rr r Do ( Q ) chứa