MuÔc luÔc 1 2 3 4 Mo‰t so kie n thˆ˘c cÙ sÙ˚ 5 1 1 1 1 1 Kha˘i nie‰m va¯ mo‰t so tÌnh cha t ve‡ Òa taÔp 2 Gia˘ trÚ chÌnh qui 3 —Únh ly˘ ve‡ pha‚n loaÔi Òa taÔp 1 chie‡u 4 Phe˘p Òo‡ng lua‚n va¯ phe˘p h[.]
MuÔc luÔc Mo‰t 1.1 1.2 1.3 1.4 so· kie·n thˆ˘c cÙ sÙ˚ Kha˘i nie‰m va¯ mo‰t so· tÌnh cha·t ve‡ Ịa Gia˘ trÚ chÌnh qui —Únh ly˘ ve‡ pha‚n loi Ịa 1-chie‡u Phe˘p Ịo‡ng lua‚n va¯ phe˘p hÙƠp lua‚n —a ỊÚnh hˆÙ˘ng ỊˆÙƠc 2.1 —Únh hˆÙ˘ng tre‚n kho‚ng gian 2.2 —Únh hˆÙ˘ng tre‚n Ịa 2.3 —Únh hˆÙ˘ng tre‚n Ịa tÌch 2.4 —Únh hˆÙ˘ng tre‚n bie‚n Xa‚y 3.1 3.2 3.3 3.4 vectÙ 11 11 11 12 14 dˆƠng ba‰c to‚po‚ tre‚n Ịa —Únh nghÛa ba‰c to‚po‚ tre‚n Ịa Ba‰c to‚po‚ ba·t bie·n vÙ˘i phe˘p Òo‡ng lua‚n Ba‰c to‚po‚ ba·t bie·n vÙ˘i sˆÔ lˆÔa choÔn gia˘ trÚ chÌnh qui Ke·t lua‰n ÷Ÿng dng cu˚a Ba‰c Topo tre‚n Ịa 5 7 21 21 22 26 28 29 MUœC LUœC PHA¿N Mo‰t so· kie·n thˆ˘c cÙ sÙ˚ 1.1 Kha˘i nie‰m va¯ mo‰t so· tÌnh cha·t ve‡ Ịa Me‰nh Ịe‡ TÌch cu˚a mo‰t Ịa kho‚ng co˘ bie‚n X va¯ mo‰t Ịa co˘ bie‚n Y la¯ mo‰t Ịa co˘ bie‚n HÙn nˆıa: ∂(X × Y ) = X × ∂Y , dim(X × Y ) = dim X + dim Y va¯ T (X × Y )(x ,y0 ) = T (X)x0 × T (Y )y , vÙ˘i mi (x0 , y0 ) ∈ X × Y 0 Chˆ˘ng minh Xe˘t X la¯ Ịa kho‚ng co˘ bie‚n m chie‡u Rk , Y la¯ Òa taÔp co˘ bie‚n n chie‡u Rl (i) Chˆ˘ng minh X × Y la¯ Ịa m + n La·y Ịim (x0 , y0 ) ∈ X × Y , ta chˆ˘ng minh (x0 , y0 ) co˘ mo‰t la‚n ca‰n vi Òo‡ng pho‚i vÙ˘i ta‰p mÙ˚ Hm+n VÏ x0 ∈ X ne‚n x0 co˘ la‚n ca‰n Ux0 vi Òo‡ng pho‚i vÙ˘i ta‰p mÙ˚ Uϕ(x ) Rm qua a˘nh xaÔ ϕ ϕ : Ux0 → U 1ϕ(x ) VÏ y0 ∈ Y ne‚n y0 co˘ la‚n ca‰n V vi Òo‡ng pho‚i vÙ˘i ta‰p mÙ˚ Vψ(y ) Hn qua a˘nh xaÔ ψ ψ : Vy0 → Vψ(y 0) y m n m+n ne‚n (x , y ) co˘ la‚n ca‰n U Ma¯: Uϕ(x × V vi Ịo‡ng ) × Vψ(y0 ) ⊂ R × H = H y 0 x 0 1 pho‚i vÙ˘i ta‰p mÙ˚ Uϕ(x0 ) × Vψ(y0 ) cu˚a Hm+n qua a˘nh x 1 Φ = ϕ × ψ : Ux0 × Vy → Uϕ(x × Vψ(y 0) 0) (x, y) → (ϕ(x), ψ(y)) Roı ra¯ng ϕ × ψ la¯ vi Ịo‡ng pho‚i vÙ˘i a˘nh x ngˆÙƠc la¯ Φ−1 (x, y) = (ϕ−1 (x), ψ−1 (y)) Do Ịo˘,X × Y la¯ Ịa m + n (ii) ∂(X × Y ) = X × ∂Y Theo ỊÚnh nghÛa, ∂(X × Y ) la¯ ca˘c ÒieÂm tˆÙng ˆ˘ng vÙ˘i ca˘c ÒieÂm tre‚n ∂Hm+n qua phe˘p tham so· hoa˘ na¯o Òo˘ Nhˆ va‰y: PHA¿N MOƒT SO¡ KIE¡N TH÷ŸC C SÔ ìV1 Hm+n (x, y) Ux0 × Vy | (ϕ(x), ψ(y)) ∈ Uϕ(x ) ψ(y ) 0 ꢁ n hꢀHn io = S(x ,y0 )∈X×Y (x, y) ∈ Ux0 × Vy0 |ψ(y) ∈ Vψ(y )∩∂ 0 on = Sx ∈X,y0 ∈Y n (x, y)|x ∈ Ux0 , y ∈ Vy , ψ(y) ∈ Vψ1(y0 ) ∩ ∂H o n (∗) S = {(x, y)|x ∈ X, y ∈ ∂Y } = X × ∂Y ∂(X × Y ) = (x ,y0 )∈X×Y Trong Ịo˘ ta ca‡n chˆ˘ng to˚ Òa˙ng thˆ˘c (*) Ta Òaı bie·t: ∂Y = y[ ∈Y —t A= x ∈X,y [0∈Y ∩ ∂ Hn ψ(y0 ) y ꢂy ∈ V |ψ(y) ∈ V x0 ꢃ ψ(y0 ) y0 ∩ ∂ Hn ꢂ(x, y)|x ∈ U , y ∈ V , ψ(y) ∈ V ꢃ B = {(x, y)|x ∈ X, y ∈ ∂Y } Ta seı chˆ˘ng minh A=B La·y (x, y) ∈ A nhˆ va‰y to‡n taÔi (x0 , y0 ) ∈ X × Y cho x ∈ Ux0 , y ∈ Vy , ψ(y) ∈ Vψ(y ) ∩ ∂Hn Suy x ∈ X va¯ y ∈ ∂Y NgˆÙÔc laÔi, cho (x, y) ∈ B ta co˘ x ∈ Ux va¯ y ∈ ϕ(y0 ) y y[ ∈Y ꢂy ∈ V |ψ(y) ∈ V n Va‰y to‡n taÔi y0 cho y ∈ Vy , ψ(y) ∈ Vψ(y ) ∩ ∂H 0 Ta suy (x, y) ∈ A ∩ ∂ Hn ꢃ To˘m li ta co˘ ∂(X × Y ) = X × ∂Y (iii) T (X × Y )(x0 ,y0 ) = T (X)x0 × T (Y )y , vÙ˘i mi (x0, y0) ∈ X × Y Theo tre‚n ta co˘, T (X × Y )(x = dΦ(ϕ(x ,y0 ) ),ψ(y0 )) (H m+n 0 (Hm+n dψ ψ(x0 ) ꢅ ꢄ dϕ m) (R dψψ(x0 ) (Hn ) × = dϕϕ(x0 ) = T (X)x0 × T (Y )y0 = ϕ(x ) ꢀ Chˆ˘ng minh hoa¯n toa¯n tˆÙng tˆÔ, ta co˘ ke·t qua˚ sau Me‰nh Ịe‡ TÌch cu˚a mo‰t Ịa co˘ bie‚n X va¯ mo‰t Ịa kho‚ng co˘ bie‚n Y la¯ mo‰t Ịa co˘ bie‚n HÙn nˆıa: ∂(X × Y ) = ∂X × Y , dim(X × Y ) = dimX + dimY va¯ T (X × Y )(x ,y0 ) = T (X) × T (Y ) , vÙ˘i moÔi (x , y ) ∈ X × Y x y 0 0 1.2 GIAŸ TR“ CHÕNH QUI 1.2 Gia˘ trÚ chÌnh qui Me‰nh Òe‡ Cho M, N la¯ ca˘c Òa taÔp kho‚ng co˘ bie‚n m chie‡u AŸnh xaÔ f : M → N la¯ ha¯m trÙn va¯ y la¯ gia˘ trÚƠ chÌnh quy cu˚a f Khi a·y {x ∈ M : f (x) = y} = f−1 (y) rÙ¯i raÔc Ngoa¯i ne·u M la¯ compact thÏ f −1 (y) hˆıu haÔn Chˆ˘ng minh Ta gia˚ sˆ˚ y ∈ f (M) Khi a·y f −1 (y) = ∅ la·y x ∈ f −1 (y), tˆ˘c la¯ x la¯ ÒieÂm chÌnh quy Khi Ịo˘, theo ỊÚnh ly˘ ha¯m ngˆÙƠc thÏ co˘ mo‰t la‰n ca‰n cu˚a x ma¯ f song a˘nh Do Ịo˘, f −1 (y) rÙ¯i rc Khi M la¯ compact, thÏ f −1 (y) compact ( vÏ f −1 (y) Òo˘ng M) Khi Òo˘, ne·u f−1 (y) vo‚ ha‰n gia˘ trÚ thÏ co˘ x0 ∈ f −1 (y) la¯ Ịim t, Ịie‡u na¯y kho‚ng th (vÏ f −1 (y) rÙ¯i rc ) Do Ịo˘, f −1 (y) hˆıu hn ꢀ Cho Y, Z la¯ Ịa ba·t ky¯ ( co˘ bie‚n hoc kho‚ng co˘ bie‚n ) va¯ dim(Y ) ≥ dim(Z) Cho f : Y → Z la¯ ha¯m trÙn Ta Ịt S(f ) la¯ ta‰p hÙƠp ca˘c gia˘ trÚ chÌnh qui cu˚a f —Únh ly˘ (Sard) S(f ) tru¯ ma‰t Z Chˆ˘ng minh Chi tie·t xem [2], Corollary, page 11 ꢀ 1.3 —Únh ly˘ ve‡ pha‚n loi Ịa 1-chie‡u —Únh ly˘ (Pha‚n loi Ịa 1-chie‡u) Cho M la¯ Ịa 1-chie‡u lie‚n tho‚ng, chÊ co˘ kha˚ naÍng xa˚y ra: (i) ne·u M la¯ Ịa 1-chie‡u compact, kho‚ng co˘ bie‚n thÏ vi Òo‡ng pho‚i vÙ˘i S1 (ii) ne·u M la¯ Ịa 1-chie‡u compact, co˘ bie‚n thÏ vi Ịo‡ng pho‚i vÙ˘i [0,1] (iii) ne·u M la¯ Ịa 1-chie‡u kho‚ng compact, kho‚ng co˘ bie‚n thÏ vi Òo‡ng pho‚i vÙ˘i (0,1) (iv) co¯n kho‚ng thÏ M la¯ Ịa 1-chie‡u kho‚ng compact, co˘ bie‚n lu˘c na¯y M vi Òo‡ng pho‚i vÙ˘i (0,1] Chˆ˘ng minh Chi tie·t xem ỵTopology from the Differentiable viewpointỵ cu˚a John W.Milnor ( page 55,56 & 57 ) ꢀ Lˆu y˘ Ne·u M la¯ Òa ba·t ky¯ thÏ no˘ seı la¯ ho‰i nhˆıng Ịa lie‚n tho‚ng co˘ chie‡u la¯ dim(M) Do Ịo˘,M la¯ Òa taÔp 1-chie‡u ba·t ky¯ thÏ M seı vi Òo‡ng pho‚i T , Òo˘ T la¯ ho‰i cu˚a nhˆıng S , [0,1], [0,1), (0,1) PHA¿N MOT SOĂ KIEĂN THữC C SÔ 1.4 Phep ềong luan va¯ phe˘p hÙƠp lua‚n —Únh nghÛa (Phe˘p Ịo‡ng lua‚n) Cho X ⊂ Rk , Y ⊂ Rn va¯ a˘nh xaÔ trÙn f, g tˆ¯ X va¯o Y Ta no˘i f va¯ g la¯ a˘nh x Ịo‡ng lua‚n ( ky˘ hie‰u f ∼ g) ne·u to‡n taÔi ha¯m trÙn F: F : [0, 1] × X → Y va¯ F (0, x) = f (x), F (1, x) = g(x) vÙ˘i mi x ∈ X Lu˘c Ịo˘, ha¯m F ỊˆÙƠc gi la¯ mo‰t phe˘p Ịo‡ng lua‚n giˆıa f va¯ g —Únh nghÛa (Phe˘p hÙÔp lua‚n) Cho X ⊂ Rk , Y ⊂ Rn va¯ hai vi Òo‡ng pho‚i f, g tˆ¯ X va¯o Y Ta no˘i f va¯ g la¯ a˘nh xaÔ hÙÔp lua‚n ne·u to‡n ti mo‰t phe˘p Ịo‡ng lua‚n F : [0, 1] × X → Y giˆıa f va¯ g cho vÙ˘i moÔi t ∈ [0, 1], a˘nh xaÔ x → F (t, x) la¯ mo‰t vi Òo‡ng pho‚i tˆ¯ X va¯o Y Lu˘c Ịo˘, ha¯m F ỊˆÙƠc gi la¯ mo‰t phe˘p hÙƠp lua‚n giˆıa f va¯ g Me‰nh Ịe‡ Quan he‰ Ịo‡ng lua‚n va¯ quan he‰ hÙƠp lua‚n la¯ ca˘c quan he‰ tˆÙng ỊˆÙng tre‚n ta‰p hÙƠp ta·t ca˚ ca˘c a˘nh xaÔ tˆ¯ X va¯o Y Chˆ˘ng minh 1/ Chˆ˘ng minh quan he‰ Òo‡ng lua‚n la¯ quan he‰ tˆÙng ÒˆÙng Ta co˘ f ∼ f vÏ to‡n ti phe˘p Ịo‡‚ng lua‚n F giˆıa f va¯ f la¯: F : [0, 1] × X → Y → f(x) (t, x) Quan he‰ Ịo‡ng lua‚n co˘ tÌnh Ịo·i xˆ˘ng Tha‰t va‰y, cho f ∼ g qua phe˘p Òo‡ng lua‚n F Khi Òo˘, a˘nh xaÔ G(t, x) = F (1 − t, x) la¯ phe˘p Òo‡ng lua‚n giˆıa g va¯ f Cuo·i cu¯ng ta chˆ˘ng minh quan he‰ Ịo‡ng lua‚n co˘ tÌnh baÈc ca‡u Cho f∼g qua phe˘p Òo‡ng lua‚n F , g∼h qua phe˘p Òo‡ng lua‚n G Ta seı tÏm phe˘p Ịo‡ng lua‚n K giˆıa f va¯ h —t ϕ(x) = e− x ꢆ ne·u x > ne·u x ≤ ϕ(x − 13 ) ψ(x) = ϕ(x − 13 ) + ϕ(23 − x) Khi Òo˘ ψ : R → [0, 1] la¯ ha¯m trÙn va¯ ψ(x) = ne·u ≤ t ≤ 13 ne·u 23 ≤ t ≤ ꢆ 1.4 PHEŸP —O¿NG LUAơN VA PHEP HP LUAơN aẻt: F1 : [0, 12 ] × X F1(t, x) G : [ 12 , 1] × X G1 (t, x) → = → = Y F (ψ(2t), x) Y G(ψ(2t − 1), x) Khi Òo˘ F1, G1 la¯ ca˘c ha¯m trÙn va¯: f (x) ne·u ≤ t ≤ F1(t, x) = g(x) ne·u g(x) ne·u G1 (t, x) = h(x) ne·u Ba‚y giÙ¯ Ịt: ≤t≤ 2 ≤t≤ ≤ ≤ t F1(t, x) ne·u ≤ t ≤ K(t, x) = G1 (t, x) ne·u ≤ ≤ t Ta seı chˆ˘ng minh K chÌnh la¯phe˘p Ịo‡ng lua‚n giˆıa f va¯ h Roı ra¯ng K(0, x) = f (x) va¯ K(1, x) = h(x) Va·n Ịe‡ co¯n li la¯ chˆ˘ng minh K trÙn La·y (t0 , x0 ) ∈ [0, 1] × X Ta seı chˆ˘ng minh K trÙn taÔi (t0 , x0 ) * Ne·u (t0, x0 ) ∈ [0, 12 ) × X: ( co¯n (t0 , x0 ) ∈ (12 , 1] × X la¯ tˆÙng tˆÔ ) VÏ F1 trÙn taÔi (t0 , x0 ) ne‚n F1 co˘ mo‰t mÙ˚ ro‰ng trÙn F2 , F2 xa˘c ỊÚnh tre‚n mo‰t ta‰p mÙ˚ cu˚a R × Rk chˆ˘a (t0 , x0 ) Ta ky˘ hie‰u ta‰p mÙ˚ na¯y la¯ (a, b) × U , vÙ˘i U mÙ˚ Rk , 0 k chˆ˘a (t , x ) Rt ×∈R(a, b) ne‚n0 a < t < b —t c = ꢂ , b , ta co˘ (a, c) × U la¯ ta‰p hÙƠp mÙ˚ Khi a·y ꢃ F |((a,c)×U )∩([0,1]×X) = F1|((a,c)×U )∩([0,1]×X) = K Do Ịo˘ , K trÙn taÔi (t0 , x0 ) * Ne·u (t0, x0 ) ∈ {12 } × X : Tre‚n mie‡n ( 13 , 23 ) × X ta co˘ K(t,x) = g(x) VÏ g trÙn tre‚n X , ta suy K (t,x) trÙn tre‚n ( 13 , 23 ) × X Va‰y K trÙn taÔi (t0 , x0 ) To˘m li f ∼ h qua phe˘p Ịo‡ng lua‚n K Va‰y quan he‰ Òo‡ng lua‚n la¯ mo‰t quan he‰ tˆÙng ỊˆÙng 2/ Chˆ˘ng minh quan he‰ hÙƠp lua‚n la¯ quan he‰ tˆÙng ÒˆÙng : de„ tha·y ꢀ 10 PHA¿N MOT SOĂ KIEĂN THữC C SÔ Menh ềe Cho h la¯ a˘nh xaÔ trÙn tˆ¯ X va¯o Y, f va¯ g la¯ ca˘c a˘nh xaÔ trÙn tˆ¯ Y va¯o Z, ne·u f ∼ g thÏ ta cuıng co˘ (f ◦ h) ∼ (g ◦ h) Chˆ˘ng minh GoÔi F : [0, 1] × Y → Z la¯ phe˘p Òo‡ng lua‚n giˆıa f va¯ g, Òo˘ G : [0, 1] × X → Z , G(t, x) = F (t, h(x)) chÌnh la¯ phe˘p Ịo‡ng lua‚n giˆıa (f ◦ h) va¯ (g ◦ h) ꢀ PHA¿N —a ỊÚnh hˆÙ˘ng ỊˆÙƠc 2.1 —Únh hˆÙ˘ng tre‚n kho‚ng gian vectÙ Tie·p theo, ta seı la¯m roı kha˘i nie‰m ỊÚnh hˆÙ˘ng tre‚n Ịa tÌch TrˆÙ˘c he·t, ta nhc li ỊÚnh hˆÙ˘ng tre‚n kho‚ng gian vectÙ va¯ ỊÚnh hˆÙ˘ng tre‚n Ịa Cho V la¯ mo‰t kho‚ng gian vectÙ hˆıu haÔn chie‡u, β va¯ β la¯ hai cÙ sÙ˚ cu˚a V Ta no˘i β va¯ β cu¯ng ÒÚnh hˆÙ˘ng ne·u ma tra‰n chuyeÂn cÙ sÙ˚ tˆ¯ β sang β co˘ ỊÚnh thˆ˘c dˆÙng NgˆÙƠc li, ta no˘i β va¯ β ngˆÙƠc ỊÚnh hˆÙ˘ng ne·u ma tra‰n chuyeÂn cÙ sÙ˚ tˆ¯ β sang β0 co˘ ÒÚnh thˆ˘c a‚m Nhˆ va‰y, quan he‰ ỵ cu¯ng ỊÚnh hˆÙ˘ng ỵ la¯ mo‰t quan he‰ tˆÙng ỊˆÙng tre‚n ta‰p hÙƠp ca˘c cÙ sÙ˚ cu˚a V va¯ pha‚n hoaÔch ta‰p hÙÔp na¯y tha¯nh hai lÙ˘p tˆÙng ÒˆÙng Mo‰t ÒÚnh hˆÙ˘ng cho V la¯ mo‰t ca˘ch ga˘n da·u (+1) cho ca˘c pha‡n tˆ˚ thuo‰c mo‰t lÙ˘p tˆÙng ÒˆÙng va¯ ga˘n da·u (−1) cho ca˘c pha‡n tˆ˚ thuo‰c lÙ˘p co¯n laÔi Nhˆ va‰y, V Ịaı ỊˆÙƠc ỊÚnh hˆÙ˘ng thÏ mo‰t cÙ sÙ˚ β ba·t ky¯ cu˚a V seı co˘ sign(β) = hoc sign(β) = −1 HÙn nˆıa, Ị ỊÚnh hˆÙ˘ng cho V, ta chÊ ca‡n choÔn mo‰t cÙ sÙ˚ β na¯o Ịo˘ cu˚a V va¯ Ịt sign(β) = 1; sau Ịo˘, ga˘n da·u cho ca˘c cÙ sÙ˚ cu¯ng ÒÚnh hˆÙ˘ng vÙ˘i β, ga˘n da·u la¯ −1 cho ca˘c cÙ sÙ˚ ngˆÙÔc hˆÙ˘ng vÙ˘i β Xe˘t V, W la¯ hai kho‚ng gian vector ỊˆÙƠc ỊÚnh hˆÙ˘ng Cho A : V → W la¯ mo‰t Òa˙ng ca·u Khi Òo˘,ne·u β va¯ β cu¯ng thuo‰c mo‰t lÙ˘p tˆÙng ÒˆÙng tre‚n V thÏ cÙ sÙ˚ , Aβ va¯ Aβ tˆÙng ˆ˘ng cuıng thuo‰c cu¯ng lÙ˘p tˆÙng ÒˆÙng tre‚n W Nhˆ va‰y, vÙ˘i moÔi cÙ sÙ˚ β cu˚a V, Aβ luo‚n luo‚n cu¯ng da·u hoc luo‚n luo‚n ngˆÙƠc da·u vÙ˘i β, ta no˘i A ba˚o toa¯n ỊÚnh hˆÙ˘ng hoc Ịa˚o ngˆÙƠc ỊÚnh hˆÙ˘ng Ne·u A ba˚o toa¯n ỊÚnh hˆÙ˘ng, Ịt sign(A) = 1, ne·u A Ịa˚o ngˆÙƠc ỊÚnh hˆÙ˘ng, Ịt sign(A) = −1 2.2 —Únh hˆÙ˘ng tre‚n Ịa Cho X la¯ mo‰t Ịa m chie‡u ( co˘ bie‚n hoc kho‚ng co˘ bie‚n ) , ta nhc li ỊÚnh nghÛa ỊÚnh hˆÙ˘ng tre‚n Ịa Mo‰t ỊÚnh hˆÙ˘ng cu˚a Ịa X la¯ mo‰t ca˘ch lˆƠa chn ỊÚnh hˆÙ˘ng cho ta·t ca˚ ca˘c kho‚ng gian tie·p xu˘c T Xx (x thuo‰c X ) cho : ti mo„i Ịim x ∈ X , to‡n ti mo‰t la‚n ca‰n ỊˆÙƠc tham so· ho˘a bÙ˚i a˘nh xaÔ ϕ : U → X va¯ vÙ˘i moÔi u ∈ U , dϕ u : Rm → T Xϕ(u) mang ÒÚnh hˆÙ˘ng dˆÙng cu˚a Rm tha¯nh ÒÚnh hˆÙ˘ng dˆÙng tre‚n T Xϕ(u) Lu˘c Òo˘ ta gi 11 12 PHA¿N —A TAœP —“NH H÷‘ŸNG —÷‘œC ϕ la¯ tham so· ho˘a ba˚o toa¯n ÒÚnh hˆÙ˘ng —a X gi la¯ ỵỊÚnh hˆÙ˘ng ỊˆÙƠcỵ ne·u co˘ th xa˘c ÒÚnh tre‚n X mo‰t ÒÚnh hˆÙ˘ng nhˆ ÒÚnh nghÛa tre‚n 2.3 —Únh hˆÙ˘ng tre‚n Ịa tÌch Ba‚y giÙ¯ ta xe˘t kha˘i nie‰m ỊÚnh hˆÙ˘ng tre‚n tÌch ca˘c Ịa Cho X la¯ Ịa m chie‡u, Y la¯ Òa taÔp n chie‡u, mo‰t hai Òa taÔp la¯ Ịa co˘ bie‚n Khi Ịo˘ X × Y la¯ Òa taÔp m + n chie‡u co˘ bie‚n theo me‰nh Òe‡ HÙn nˆıa, qua ca˘ch chˆ˘ng minh me‰nh Òe‡ 1, ta co˘ kho‚ng gian tie·p xu˘c taÔi ÒieÂm (x,y) la¯: T (X × Y )(x,y) = TX x × TY y Ne·u X va¯ Y la¯ la¯ ca˘c Ịa ỊÚnh hˆÙ˘ng ỊˆÙƠc thÏ X × Y cuıng ÒÚnh hˆÙ˘ng ÒˆÙÔc nhˆ sau: Cho α = (v1 , , vm ) la¯ cÙ sÙ˚ cu˚a T Xx , β = (w1 , , wn ) la¯ cÙ sÙ˚ cu˚a T Yy va¯ ky˘ hie‰u (α × 0, × β) la¯ cÙ sÙ˚ {(v1 , 0), , (vm , 0), (0, 1w ), , (0,nw )}cu˚a T (X × Y(x,y) ta xa˘ ) c ÒÚnh ÒÚnh hˆÙ˘ng cho T (X × Y )(x,y) nhˆ sau: (2.1) sign(α × 0, × β) = sign(α)sign(β) TrˆÙ˘c he·t ta chˆ˘ng minh rng ỊÚnh hˆÙ˘ng nhˆ tre‚n kho‚ng ph thuo‰c va¯o vie‰c choÔn cÙ sÙ˚ α, β Xe˘t α1 , β1 la¯ hai cÙ sÙ˚ kha˘c cu˚a X va¯ Y , ta seı chÊ raËng sign(α × 0, × β) = sign(α × 0, × β ) va¯ chÊ ma tra‰n chuyeÂn cÙ sÙ˚ tˆ¯ (α × 0, × β) sang (α1 × 0, ì 11 ) co ềnh 1thc dng aẻt (α1 × 0, × β1) = (a1 × 0, a2 × 0, am × 0, × b1, , × bn) = (c × 0, c × , c × 0, × d , , × d ) (α × 0, × β) m n aj × = γ1j (c1 × 0) + + γmj (cm × 0) + δ1j (0 × d1 ) + + nj δ (0 × nd ) (2.2) × b = ξ (c × 0) + + ξ (c × 0) + ε (0 × d ) + + ε (0 × d ) (2.3) j 1j mj m 1j nj Nhˆ va‰y, ma tra‰n chuyeÂn cˆ˚ tˆ¯ (α × 0, × β) sang (α1 × 0, × β1 ) la¯ : P = ꢄ C A D B ꢅ Òo˘ A, B, C, D la¯ ca˘c ma tra‰n kho·i: A = (γij )1≤i≤m,1≤j≤m B = (ξij)1≤i≤m,1≤j≤n C = (δij )1≤i≤n,1≤j≤m D = (εij)1≤i≤n,1≤j≤n n 19 2.4 NH HữNG TREơN BIEơN Ly luan tng tˆÔ chˆ˘ng minh tre‚n, ta co˘ Γ− ((b, 1]×U) co˘ dng W1 ×[0, 1−b) m+1 va¯ W1 × [0, − b) mÙ˚ ∂H GoÔi δ1 = Γ1 | , ta co˘ : W1 ×[0,1−b) δ1 : W1 × [0, − b) −→ (b, 1] × U (x1, x2, , xm, xm+1 ) −→ (1 − xm+1 , (−1)m+1 x1 , x2, , xm) VÙ˘i (w, s) ∈ W1 × [0, − b), dδ1(w,s) : Rm+1 −→ Rm+1 (u1, u2, , um, um+1 ) −→ (−um+1 (−1)m+1 u1 , u2, , um) Ba‚y giÙ¯, tie·p tc Ịt ψ1 = θ1 ◦ δ1 , roı ra¯ng ψ1 : W1 × [0, − b) → (b, 1] × V , ψ1(0, 0) = (1, x0 ), ψ1 la¯ vi Òo‡ng pho‚i θ1 , δ1 la¯ ca˘c vi Òo‡ng pho‚i HÙn nˆıa, ta seı chˆ˘ng minh ψ1 ba˚o toa¯n ÒÚnh hˆÙ˘ng VÙ˘i (w, s) ∈ W1 ì [0, b) ềaẻt (t,u) = (w, s), nhˆ va‰y (t,u) ∈ (b, 1] × U , ta co˘ : dψ 1(w,s) : Rm+1 → TM (t,ϕ(u)) = T ([0, 1])t × TX 1ϕ(u) VÙ˘i mi h = (h1, h2 , , hm+1) ta co˘: dψ1(w,s)(h) = dθ1(t,u) (dδ1(w,s)(h , 1h ,2 , h m, hm+1)) = dθ1(t,u) (−hm+1, (−1)m+1h , h , , h ) m Va‰y dψ1(w,s)(h) = (−hm+1, dϕu ((−1)m+1h ,1h ,2 , h m)) (2.8) Do Òo˘, ta co˘: dψ1(w,s)(e 1× 0) = (0, dϕ u((−1)m+1e 1)) dψ1(w,s) (e i× 0) = (0, dϕ u(e i) ∀i = 2, , m dψ1(w,s)(0, , 0, 1) = (−1, , 0) Vay neÃu ềaẻt = (d1(w,s) (e1 ì 0), , dψ1(w,s)(em × 0), dψ1(w,s) (0, , 0, 1)) ta ỊˆÙƠc β = (0 × α1u , (−1) × 0) Theo ỊÚnh nghÛa ỊÚnh hˆÙ˘ng tre‚n Ịa tÌch va¯ (2.7) sign(β1) = (−1)m sign((−1) × 0, × α1u ) = (−1)m sign(−1).sign(α ) 1u = (−1)m+1(−1)m+1 = VÏ dψ1 ba˚o toa¯n ÒÚnh hˆÙ˘ng dˆÙng cu˚a Rm−1 vÙ˘i mi (w, s) ∈ W1 × [0, − b) (w,s ne‚n ψ1 la¯ tham so· ho˘a ba˚o toa¯n ÒÚnh hˆÙ˘ng TX 1(1,x0) = dψ1(0,0)(∂H m+1 ) Xe˘t mo‰t cÙ sÙ˚ cu˚a ∂H m+1 la¯ (e1 × 0, e2 × 0, , em ì 0) aẻt = (d1(0,0)(e1 × 0), , dψ1(0,0)(em × 0)) 20 PHA¿N —A TAœP —“NH H÷‘ŸNG —÷‘œC Theo ỊÚnh nghÛa ỊÚnh hˆÙ˘ng tre‚n bie‚n : sign(γ1 ) = sign((−1, 0, , 0), e1 × 0, , m e × 0) m m+1 = −(−1) = (−1) HÙn nˆıa , theo (2.8) ta co˘: γ1 = × α10 Nhˆ va‰y, sign(0 × α10 ) = (−1)m+1 (2.9) TrÙ˚ li vi Ịo‡ng pho‚i G giˆıa X va¯ X1 , ta co˘ : G : X → X1 x → (1, x) dGx0 : TX x0 → TX 1(1,x0) u = (u1, , uk ) → (0, u) = (0, u1 , u2 , , ku ) Nhˆ va‰y cÙ sÙ˚ α1 cu˚a T Xx0 qua a˘nh xaÔ dGx0 seı tha¯nh cÙ sÙ˚ × α1 cu˚a T X 1(1,x ) Theo (2.7) va¯ (2.9) ta suy dGx0 ba˚o toa¯n ÒÚnh hˆÙ˘ng Va‰y Ịa X1 cu¯ng ỊÚnh hˆÙ˘0ng vÙ˘i X ꢀ PHA¿N Xa‚y dˆƠng ba‰c to‚po‚ tre‚n Ịa 3.1 —Únh nghÛa ba‰c to‚po‚ tre‚n Ịa Ba‚y giÙ¯, cho M, N la¯ ca˘c Ịa kho‚ng co˘ bie‚n, ÒˆÙÔc ÒÚnh hˆÙ˘ng , dim(M) = dim(N) M compaÈc, N lie‚n tho‚ng, ta co˘ ÒÚnh nghÛa sau —Únh nghÛa (Ba‰c Brouwer cu˚a a˘nh xaÔ) : Cho f la¯ a˘nh x trÙn tˆ¯ M va¯o N Khi Ịo˘ , ta ÒÚnh nghÛa a˘nh xaÔ deg(f, ) : S(f ) → Z, ỊˆÙƠc xa˘c ỊÚnh bÙ˚i sign(dfx ) vÙ˘i mi y ∈ S(f ) deg(f, y) = x∈f −1 (y) P Trong Òo˘: ne·u dfx ba˚o toa¯n ÒÚnh hˆÙ˘ng dfx Ịa˚o ngˆÙƠc ỊÚnh hˆÙ˘ng ꢆ − ne·u la¯ a˘nh xaÔ ba‰c cu˚a f taÔi y ∈ S(f ) sign(df ) = x Lˆu y˘ Trong ÒÚnh nghÛa tre‚n,vÙ˘i y ∈ S(f ) ne‚n vÙ˘i moÔi x ∈ f−1 (y) ( tˆ˘c la¯ x la¯ Ịim chÌnh qui ) thÏ dfx la¯ Òa˙ng ca·u tˆ¯ T Mx va¯o TN f (x), Òo˘ ta co˘ the no˘i ve‡ sign(dfx ) Me‰nh Ịe‡ a˘nh x deg(f, ) : S(f ) → Z la¯ haËng ÒÚa phˆÙng Chˆ˘ng minh Gia˚ sˆ˚ f −1 (y) = {x1 , , xk }, thÏ theo ỊÚnh ly˘ ha¯m ngˆÙƠc, co˘ la‰n ca‰n U1 , , U k cu˚a x1 , , xk rÙ¯i cho f : Ui → f (Ui ) la¯ vi Òo‡ng pho‚i,vÙ˘i i = 1, k Khi Òo˘ , k i i V = ꢄ i=1 T f (U )ꢅ ∩ ꢄ N\f (M\ i=1 T U )ꢅ la¯ mÙ˚ N Suy ra, tre‚n V ∩ S a˘nh xaÔ deg(f, ) la¯ a˘nh xaÔ haËng k ꢀ 21 22 3.2 PHAN XAơY DữNG BAC TOơPOơ TREơN —A TAœP Ba‰c to‚po‚ ba·t bie·n vÙ˘i phe˘p Òo‡ng lua‚n B Ịe‡ Cho X la¯ Ịa ỊÚnh hˆÙ˘ng ÒˆÙÔc n chie‡u Ne·u A(x) = {v1(x), , (x)} va¯ B(x) = {v1(x), , (x)} la¯ ca˘c cÙ sÙ˚ phuÔ thuo‰c lie‚n tuÔc va¯o x cu˚a T Xx thÏ {A(x)}x∈X va¯ {B(x)}x∈X cu¯ng ỊÚnh hˆÙ˘ng hoc la¯ ngˆÙƠc hˆÙ˘ng Chˆ˘ng minh VÙ˘iM(x)la¯ ma tra‰n chuyeÂn cÙ sÙ˚ tˆ¯ A(x) tha¯nh B(x) vÙ˘i moÔi x ∈ X Ne‚n M(x) lie‚n tuÔc (vÏ A va¯ B trÙn) va¯ det(M(x)) = vÙ˘i moÔi x ∈ X —ie‡u na¯y co˘ kha˚ nng det(M(x)) > vÙ˘i mi x ∈ X hoc det(M(x)) < vÙ˘i mi x ∈ X, va¯ ta co˘ ỊˆÙƠc Ịie‡u pha˚i chˆ˘ng minh ꢀ Me‰nh Ịe‡ Cho X la¯ Ịa compact ỊÚnh hˆÙ˘ng ỊˆÙƠc (n+1)- chie‡u co˘ bie‚n, Ịt M = ∂X Ne·u f : M → N trÙn mÙ˚ ro‰ng ỊˆÙƠc tha¯nh ha¯m trÙn F : X → N, Òo˘ deg(f, y) = vÙ˘i moÔi y ∈ S(f ) Chˆ˘ng minh La·y y ∈ S(f ) TrˆÙ¯ng hÙÔp 1: y ∈ S(F ) thÏ F −1 (y) la¯ Ịa mo‰t chie‡u compact vÙ˘i bie‚n la¯ ∂ X ∩ F −1 (y) = M ∩ F −1(y) = f −1 (y) Theo ỊÚnh ly˘ pha‚n loi Ịa chie‡u thÏ F −1 (y) la¯ ho‰i ca˘c cung Òo˘ng ( vi Òo‡ng pho‚i vÙ˘i [0, 1] ) va¯ hÏnh tro¯n ( hÏnh tro¯n la¯ hÏnh vi Òo‡ng pho‚i vÙ˘i S1 ) Cho ne‚n f−1 (y) la¯ ta·t ca˚ ca˘c ÒieÂm bie‚n cu˚a ca˘c cung F −1(y) Gia˚ sˆ˚ A la¯ cung Òo˘ng F −1 (y), vÙ˘i ∂A = {a, b} VÙ˘i x ∈ A, vÏ x la¯ ÒieÂm chÌnh qui cu˚a F ne‚n dFx : T Xx → T Ny la¯ toa¯n a˘nh, ker cu˚a dFx la¯ T Ax Ta ca‡n chˆ˘ng minh sign(dfa ) = −sign(dfb ) (3.1) a·y , da„n Òe·n deg(f, y) = *Nha‰n xe˘t : co˘ (v1 (x), v2 (x), , vn+1(x)) la¯ cÙ sÙ˚ phuÔ thuo‰c lie‚n tuÔc va¯o x cu˚a T Xx , vÙ˘i mi x ∈ A, Ịo˘ v1 (x) ∈ T Ax Lu˘c Òo˘, theo bo Òe‡ thÏ sign(v1(x), , vn+1(x)) = vÙ˘i moÔi x ∈ A hoc sign(v1 (x), , vn+1(x)) = −1 vÙ˘i moÔi x ∈ A Ne·u sign(v1(x), , vn+1 (x)) = −1 vÙ˘i moÔi x ∈ A, ta seı hoa˘n vÚ v2 (x) va¯ v3 (x) cho ta seı ỊˆÙƠc bo‰ mÙ˘i co˘ sign la¯ +1 tre‚n A Nhˆ va‰y ta co˘ the choÔn (v v (x)) (x), 2v (x), ,n+1 la¯ cÙ sÙ˚ phuÔ thuo‰c lie‚n tuÔc va¯o x cu˚a T X x , vÙ˘i moÔi x ∈ A, Òo˘ v1 (x) ∈ T Ax , ma¯