ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHẠM VĂN VƢƠNG MỘT ĐỊNH LÝ HỘI TỤ MẠNH CHO BÀI TOÁN KHÔNG ĐIỂM CHUNG TÁCH TRONG KHÔNG GIAN BANACH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN 2019 ĐẠI HỌC THÁ[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - PHẠM VĂN VƢƠNG MỘT ĐỊNH LÝ HỘI TỤ MẠNH CHO BÀI TỐN KHƠNG ĐIỂM CHUNG TÁCH TRONG KHƠNG GIAN BANACH LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC THÁI NGUYÊN - 2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - PHẠM VĂN VƢƠNG MỘT ĐỊNH LÝ HỘI TỤ MẠNH CHO BÀI TỐN KHƠNG ĐIỂM CHUNG TÁCH TRONG KHƠNG GIAN BANACH Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số : 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS Trƣơng Minh Tuyên THÁI NGUYÊN - 2019 ii Lời cảm ơn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến TS Trương Minh Tuyên, người tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tơi suốt q trình học tập nghiên cứu để hồn thành luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, thầy giáo, giáo khoa Tốn – Tin, trường Đại học Khoa học–Đại học Thái Nguyên tận tình giúp đỡ tơi suốt q trình học tập nghiên cứu Trường Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban lãnh đạo đồng nghiệp trường THPT Tây Tiền Hải, huyện Tiền Hải, tỉnh Thái Bình Nhân dịp này, xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, người thân, bạn bè động viện, khích lệ, tạo điều kiện giúp đỡ tơi trình học tập nghiên cứu iii Mục lục Lời cảm ơn ii Một số ký hiệu viết tắt iv Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số vấn đề hình học khơng gian Banach 1.2 Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc 12 1.3 Phép chiếu mêtric phép chiếu tổng quát 20 1.3.1 Phép chiếu mêtric 20 1.3.2 Phép chiếu tổng quát 22 1.4 Toán tử đơn điệu không gian Banach 25 Chương Xấp xỉ nghiệm tốn khơng điểm chung tách 28 2.1 Bài tốn khơng điểm chung tách tách 28 2.2 Xấp xỉ nghiệm tốn khơng điểm chung tách 29 2.3 Ứng dụng 38 2.3.1 Bài toán điểm cực tiểu tách 38 2.3.2 Bài toán chấp nhận tách 40 2.3.3 Bất đẳng thức biến phân tách 41 2.4 Ví dụ minh họa 44 Kết luận 46 Tài liệu tham khảo 47 iv Một số ký hiệu viết tắt E không gian Banach E∗ không gian đối ngẫu E R tập hợp số thực R+ tập số thực không âm ∩ phép giao inf M cận tập hợp số M sup M cận tập hợp số M max M số lớn tập hợp số M M số nhỏ tập hợp số M argminx∈X F (x) tập điểm cực tiểu hàm F X ∅ tập rỗng ∀x với x D(A) miền xác định toán tử A R(A) miền ảnh toán tử A A−1 toán tử ngược toán tử A I toán tử đồng Lp (Ω) khơng gian hàm khả tích bậc p Ω lp không gian dãy số khả tổng bậc p lim sup xn giới hạn dãy số {xn } n→∞ lim inf xn giới hạn dãy số {xn } xn −→ x0 dãy {xn } hội tụ mạnh x0 xn * x0 dãy {xn } hội tụ yếu x0 n→∞ v JE ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc E jE ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc đơn trị E δE (ε) mô đun lồi không gian Banach E ρE (τ ) mô đun trơn không gian Banach E F ix(T ) F (T ) tập điểm bất động ánh xạ T ∂f vi phân hàm lồi f M bao đóng tập hợp M PC phép mêtric lên C ΠC phép chiếu tổng quát lên C iC hàm tập lồi C Mở đầu Cho C Q tập lồi, đóng khác rỗng khơng gian Hilbert H1 H2 , tương ứng Cho T : H1 −→ H2 tốn tử tuyến tính bị chặn T ∗ : H2 −→ H1 toán tử liên hợp T Bài toán chấp nhận tách (SFP) có dạng sau: Tìm phần tử x∗ ∈ S = C ∩ T −1 (Q) 6= ∅ (SFP) Mơ hình tốn (SFP) lần giới thiệu nghiên cứu Y Censor T Elfving [4] cho mơ hình tốn ngược Bài tốn đóng vai trị quan trọng khơi phục hình ảnh Y học, điều khiển cường độ xạ trị điều trị bệnh ung thư, khơi phục tín hiệu (xem [2], [3]) hay áp dụng cho việc giải toán cân kinh tế, lý thuyết trò chơi (xem [11]) Giả sử C tập lồi đóng khơng gian Hilbert H1 Ta biết tập điểm cực tiểu hàm 0, x ∈ C, iC (x) = ∞, x ∈ /C arg minH1 iC (x) = C Do đó, ta nhận C = (∂iC )−1 (0), với ∂iC vi phân iC (Rockafellar [9] ∂iC tốn tử đơn điệu cực đại) Ngồi ra, C tập khơng điểm tốn tử đơn điệu A xác định A = I − PC Do đó, ta xem tốn chấp nhận tách (SFP) trường hợp riêng tốn khơng điểm chung tách Bài tốn khơng điểm chung tách phát biểu dạng sau: Cho A : H1 −→ 2H1 B : H2 −→ 2H2 toán tử đơn điệu cực đại cho T : H1 −→ H2 tốn tử tuyến tính bị chặn Tìm phần tử x∗ ∈ S = A−1 (0) ∩ T −1 B −1 (0) 6= ∅ (SCNPP) Cho đến Bài toán (SCNPP) chủ đề thu hút nhiều người làm tốn ngồi nước quan tâm nghiên cứu Mục đích luận văn trình bày lại kết Tuyen T.M tài liệu [12] phương pháp chiếu lai ghép cho Bài tốn (SCNPP) khơng gian Banach Nội dung luận văn chia làm hai chương chính: Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, luận văn đề cập đến số vấn đề cấu trúc hình học khơng gian Banach khơng gian Banach lồi đều, không gian Banach trơn đều, ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc; phép chiếu mêtric phép chiếu tổng qt; tốn tử đơn điệu khơng gian Banach, toán tử giải mêtric Chương Xấp xỉ nghiệm tốn khơng điểm chung tách Trong chương luận văn tập trung trình bày lại cách chi tiết kết Tuyen T.M [12] phương pháp chiếu lai ghép cho tốn khơng điểm chung tách khơng gian Banach Ngồi ra, chương luận văn đề cập đến số ứng dụng phương pháp chiếu lai ghép (Định lý 2.1) cho toán điểm cực tiểu tách, toán chấp nhận tách bất đẳng thức biến phân tách Chương Kiến thức chuẩn bị Chương bao bồm mục Mục 1.1 trình bày số tính chất không gian phản xạ, không gian Banach lồi đều, trơn Mục 1.2 giới thiệu ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc Mục 1.3 đề cập đến khái niệm phép chiếu mêtric phép chiếu tổng quát với số tính chất chúng Mục 1.4 trình bày tốn tử đơn điệu khơng gian Banach tốn tử giải mêtric Nội dung chương tham khảo tài liệu [1, 5, 6, 7, 8] 1.1 Một số vấn đề hình học khơng gian Banach Cho E không gian Banach E ∗ khơng gian đối ngẫu Để cho đơn giản thuận tiện hơn, thống sử dụng kí hiệu k.k để chuẩn E E ∗ ; Sự hội tụ mạnh yếu dãy {xn } phần tử x E kí hiệu xn → x xn * x toàn luận văn Trong luận văn này, chúng tơi thường xun sử dụng tính chất không gian Banach phản xạ Mệnh đề 1.1 (xem [1] trang 41) Cho E không gian Banach Khi đó, khẳng định sau tương đương: i) E không gian phản xạ ii) Mọi dãy bị chặn E, có dãy hội tụ yếu Mệnh đề cho ta mối liên hệ tập đóng tập đóng yếu khơng gian tuyến tính định chuẩn Mệnh đề 1.2 Nếu C tập lồi, đóng khác rỗng khơng gian khơng gian tuyến tính định chuẩn X, C tập đóng yếu Chứng minh Ta chứng minh phản chứng Giả sử tồn dãy {xn } ⊂ C cho xn * x, x ∈ / C Theo định lý tách tập lồi, tồn x∗ ∈ X ∗ tách ngặt x C, tức tồn ε > cho hy, x∗ i ≤ hx, x∗ i − ε, với y ∈ C Đặc biệt, ta có hxn , x∗ i ≤ hx, x∗ i − ε, với n ≥ Ngồi ra, xn * x, nên hxn , x∗ i → hx, x∗ i Do đó, bất đẳng thức trên, cho n → ∞, ta nhận hx, x∗ i ≤ hx, x∗ i − ε, điều vơ lý Do đó, điều giả sử sai, hay C tập đóng yếu Mệnh đề chứng minh Chú ý 1.1 Nếu C tập đóng yếu, hiển nhiên C tập đóng Mệnh đề cho ta điều kiện tồn điểm cực tiểu phiếm hàm lồi, thường, nửa liên tục khơng gian Banach phản xạ Mệnh đề 1.3 Cho C tập lồi, đóng khác rỗng khơng gian Banach phản xạ E f : C −→ (−∞, ∞] hàm lồi, thường, nửa liên tục C, cho f (xn ) → ∞ kxn k → ∞ Khi đó, tồn x0 ∈ dom(f ) cho f (x0 ) = inf{f (x) : x ∈ C} Chứng minh Đặt m = inf{f (x) : x ∈ C} Khi đó, tồn dãy {xn } ⊂ C cho f (xn ) → m n → ∞ Nếu {xn } không bị chặn, tồn dãy {xnk } {xn } cho kxnk k → ∞ Theo giả thiết, f (xnk ) → ∞, mâu thuẫn với m 6= ∞ Do đó, {xn } bị chặn Theo Mệnh đề 1.1 Mệnh đề 1.2, tồn dãy x xnk x ≤ lim inf ≤ − δ, 1= + kxk k→∞ kxnk k kxk Từ xn * x kxn k → x ta có suy mâu thuẫn Vậy xn → x hay E có tính chất Kadec-Klee Định nghĩa 1.4 Khơng gian Banach E gọi trơn với x ∈ SE , tồn fx ∈ E ∗ cho hx, fx i = kxk kfx k = Định nghĩa 1.5 Cho E khơng gian tuyến tính định chuẩn Chuẩn E gọi khả vi Gâteaux điểm x ∈ SE với y ∈ SE , tồn giới hạn d kx + tyk − kxk (kx + tyk)t=0 = lim t→0 dt t (1.1) Định nghĩa 1.6 Cho E khơng gian tuyến tính định chuẩn Khi đó: a) Chuẩn E gọi khả vi Gâteaux khả vi Gâteaux x ∈ SE b) Chuẩn E gọi khả vi Gâteaux với y ∈ SE giới hạn (1.1) tồn với x ∈ SE c) Chuẩn E gọi khả vi Fréchet với x ∈ SE , giới hạn (1.1) tồn với y ∈ SE d) Chuẩn E gọi khả vi Fréchet giới hạn (1.1) tồn với x, y ∈ SE Định lý 1.1 (xem [1] trang 92) Cho E không gian Banach Khi đó, ta có khẳng định sau: a) Nếu E ∗ khơng gian lồi chặt E không gian trơn b) Nếu E ∗ không gian trơn E khơng gian lồi chặt Định nghĩa 1.7 Mô đun trơn không gian Banach E hàm số xác định ρE (τ ) = sup{2−1 kx + yk + kx − yk − : kxk = 1, kyk = τ } Nhận xét 1.2 Mô đun trơn không gian Banach E hàm số xác định, liên tục tăng khoảng [0; +∞) (xem [1] trang 95) Ví dụ 1.4 [8] Nếu E không gian lp Lp (Ω), ta có (1 + τ p )1/p − < τ p , < p < 2, p ρE (τ ) = p − p−1 τ + o(τ ) < τ , p ≥ 2 Định lý cho ta biết mối liên hệ mô đun trơn không gian Banach E với mô đun lồi E ∗ ngược lại Định lý 1.2 (xem [6] trang 70) Cho E không gian Banach Khi ta có τε − δE (ε) : ε ∈ [0, 2]}, τ > τε b) ρE (τ ) = sup{ − δE ∗ (ε) : ε ∈ [0, 2]}, τ > a) ρE ∗ (τ ) = sup{ Chứng minh i) Theo định nghĩa mơ đun trơn E ∗ ta có 2ρE ∗ (τ ) = sup{kx∗ + τ y ∗ k∗ + kx∗ − τ y ∗ k∗ − : x∗ , y ∗ ∈ SE ∗ } = sup{hx, x∗ i + τ hx, y ∗ i + hy, x∗ i − τ hy, y ∗ i − : x, y ∈ SE , x∗ , y ∗ ∈ SE ∗ } = sup{kx + yk + τ kx − yk − : x, y ∈ SE } = sup{kx + yk + τ ε − : x, y ∈ SE , kx − yk = ε, ε ∈ [0, 2]} 10 = sup{τ ε − 2δE (ε) : ε ∈ [0, 2]} Do ρE ∗ (τ ) = sup τε − δE (ε) : ε ∈ [0, 2] ii) Tương tự, theo định nghĩa mô đun trơn E ta có 2ρE (τ ) = sup{kx + τ yk + kx − τ yk − : x, y ∈ SE } = sup{hx, x∗ i + τ hx, y ∗ i + hy, x∗ i − τ hy, y ∗ i − : x, y ∈ SE , x∗ , y ∗ ∈ SE ∗ } = sup{kx∗ + y ∗ k + τ kx∗ − y ∗ k − : x∗ , y ∗ ∈ SE∗ } = sup{kx∗ + y ∗ k + τ ε − : x∗ , y ∗ ∈ SE ∗ , kx∗ − y ∗ k = ε, ε ∈ [0, 2]} = sup{τ ε − 2δE ∗ (ε) : ε ∈ [0, 2]} Do ρE (τ ) = sup τε − δE ∗ (ε) : ε ∈ [0, 2] Mệnh đề chứng minh Nhận xét 1.3 Từ Định lý 1.2, suy ρ0 (E) = ε0 (E) ε0 (E ∗ ) ρ0 (E ∗ ) = , 2 ε0 (E) = sup{ε : δE (ε) = 0}, ρ0 (E) = limτ →0 ρE (τ ) τ Định nghĩa 1.8 Không gian Banach E gọi trơn ρE (τ ) = τ →0 τ lim Từ Nhận xét 1.3, ta có định lý đây: Định lý 1.3 (xem [6] trang 70) Cho E khơng gian Banach Khi ta có khẳng định sau: a) Nếu E không gian trơn E ∗ khơng gian lồi đều; b) Nếu E khơng gian lồi E ∗ không gian trơn 11 Chứng minh a) Giả sử E không gian trơn Từ Định lý 1.2, ta có τε ρE (τ ) = sup − δE ∗ (ε) : ε ∈ (0, 2] , τ > (1.2) Nếu E ∗ khơng khơng gian lồi ∃ε0 ∈ (0, 2] cho δE ∗ (ε0 ) = Khi đó, từ (1.2) suy τ ε0 − δE ∗ (ε0 ) ≤ ρE (τ ) Điều dẫn đến ε0 ρE (τ ) ≤ τ Mâu thuẫn với giả thiết E không gian trơn Vì thế, E ∗ khơng gian lồi 0< Ngược lại, giả sử E ∗ không gian lồi Từ Định lý 1.2, ta có τε − δE (ε) : ε ∈ (0, 2] , τ > ρE ∗ (τ ) = sup (1.3) Nếu E khơng khơng gian trơn ρE (τ ) 6= τ →0 τ ρ0E (0) = lim Giả sử ρE (τ ) = ε, τ →0 τ lim ε > ρE (τn ) = ε Từ (1.3) n→∞ τn Khi đó, tồn dãy {τn } ∈ (0, 1) cho τn → lim dẫn tới tồn dãy {εn } ∈ (0, 2] cho ε τn εn τn ≤ − δE ∗ (εn ) 2 Hay tương đương với τn (εn − ε) hàm không giảm nên ta có < δE ∗ (εn ) ≤ Vì τn < nên ε < εn Mặt khác, δE ∗ δE (ε) ≤ δE (εn ) → Do đó, δE (ε) = 0, điều mâu thuẫn với giả thiết E ∗ khơng gian lồi Vì thế, E không gian trơn b) Chứng minh tương tự i) cách thay đổi vai trò E E ∗ 12 Ví dụ 1.5 Mọi không gian Hilbert, không gian lp hay Lp (Ω) với < p < +∞ không gian Banach lồi trơn (xem [5] trang 54) 1.2 Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc Định nghĩa 1.9 Cho X khơng gian tuyến tính định chuẩn, ánh xạ đa ∗ trị J : X −→ 2X xác định J(x) = {f ∈ X ∗ : hx, f i = kxk2 , kxk = kf k} gọi ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc X Chú ý 1.3 a)Trong không gian Hilbert, ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc trùng với ánh xạ đồng I b) Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J nói chung ánh xạ đa trị Khi J ánh xạ đơn trị ta ký kiệu j Nhận xét 1.4 Trong khơng gian tuyến tính định chuẩn X, ta ln có J(x) 6= ∅ với x ∈ X, điều suy trực tiếp từ hệ Định lý Hahn - Banach Mệnh đề đề cập đến số tính chất đơn giản ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J khơng gian tuyến tính định chuẩn X Mệnh đề 1.7 (xem [1] trang 69) Cho X không gian tuyến tính định chuẩn J ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc Khi đó, i) J ánh xạ lẻ, tức J(−x) = −J(x), ∀x ∈ X; ii) J dương, tức J(λx) = λJ(x), ∀λ > 0, ∀x ∈ X; iii) J bị chặn, tức D tập bị chặn X J(D) tập hợp bị chặn X ∗ ; iv) Nếu X ∗ lồi chặt J đơn trị; v) J đơn trị liên tục tập bị chặn X X không gian Banach trơn 13 Chứng minh i) Giả sử f ∈ J(−x), ta có h−x, f i = k − xk.kf k∗ = kf k2∗ , k − xk = kf k∗ Khi hx, −f i = (−1)2 h−x, f i = k − f k2 = kxk2 Suy −f ∈ J(x) hay f ∈ −J(x) Do đó, ta có J(−x) ⊆ −J(x) (1.4) Ngược lại, giả sử f ∈ −J(x) hay − f ∈ J(x), ta có hx, −f i = (−1)2 h−x, f i = (−1)2 k − xkkf k, k − xk = kf k = k − f k2 = kxk2 Khi h−x, f i = h−(−x), −f i = hx, −f i = kxk2 Suy f ∈ J(−x) Do đó, ta có − J(x) ⊆ J(−x) (1.5) Từ (1.4) (1.5), ta có J(−x) = −J(x) ii) Giả sử f ∈ J(λx), ta có hλx, f i = kλxk.kf k = kf k2 , kλxk = kf k Khi hx, λ−1 f i = λ−1 hλx, λ−1 f i = λ−2 kλxk.kf k = kλ−1 f k2 = kxk2 Suy λ−1 f ∈ J(x) hay f ∈ λJ(x) Do đó, ta có J(λx) ⊆ λJ(x) (1.6) 14 Giả sử f ∈ λJ(x) hay λ−1 f ∈ J(x), ta có hx, λ−1 f i = λ−1 hλx, λ−1 f i = λ−2 hλx, f i = λ−2 kλxk.kf k, kλxk = kf k = kλ−1 f k2 = kxk2 Khi hλx, f i = hλ−1 λx, λ−1 f i = hx, λ−1 f i = kxk2 Suy f ∈ J(λx) Do đó, ta có λJ(x) ⊆ J(λx) (1.7) Từ (1.6) (1.7), ta có J(λx) = λJ(x) iii) Ta chứng minh J ánh xạ tập bị chặn E thành tập bị chặn E ∗ Thật vậy, giả sử D tập bị chặn E Khi đó, ∃M > cho kxk ≤ M, ∀x ∈ D Do đó, ta có | hx, f i |≤ kxk.kf k, f ∈ E ∗ , kxk = kf k = kxk2 ≤ M Vậy J(D) tập bị chặn E ∗ iv) Giả sử f1 , f2 ∈ SE ∗ , x ∈ E Ta có hx, f1 i = kxk.kf1 k, kf1 k = hx, f2 i = kxk.kf2 k, kf2 k = Cộng vế với vế phương trình ta nhận hx, f1 + f2 i = 2kxk Từ đó, suy 2kxk = hx, f1 + f2 i ≤ kxkkf1 + f2 k Từ đó, ta thu kf1 k + kf2 k = ≤ kf1 + f2 k (1.8) ... - PHẠM VĂN VƢƠNG MỘT ĐỊNH LÝ HỘI TỤ MẠNH CHO BÀI TỐN KHƠNG ĐIỂM CHUNG TÁCH TRONG KHƠNG GIAN BANACH Chun ngành: Tốn ứng dụng Mã số : 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN... 1.4 Toán tử đơn điệu không gian Banach 25 Chương Xấp xỉ nghiệm tốn khơng điểm chung tách 28 2.1 Bài tốn khơng điểm chung tách tách 28 2.2 Xấp xỉ nghiệm tốn khơng điểm. .. 1.3, ta có định lý đây: Định lý 1.3 (xem [6] trang 70) Cho E khơng gian Banach Khi ta có khẳng định sau: a) Nếu E khơng gian trơn E ∗ khơng gian lồi đều; b) Nếu E không gian lồi E ∗ khơng gian trơn