Tổng hợp 550 bài hình vào 10

Bài Cho đường trịn  O đường kính AB 2 R 10cm Gọi C trung điểm OA , Qua C kẻ dây MN vng góc với OA C Gọi K điểm tùy ý cung nhỏ MB , H giao điểm AK MN Chứng minh: a) Tứ giác BHCK nội tiếp, AMON hình thoi b) AK AH R tính diện tích hình quạt tao OM , OB cung MB c) Trên KN lấy I cho KI KM , chứng minh NI KB d) Tìm vị trí điểm K để chu vi tam giác MKB lớn Hướng dẫn   O; OA nên AKB 90  HKB 90 ( H  AK ) a) Vì K nằm đường trịn tâm   MN vng góc AB (gt) nên MCB 90  HCB 90 ( H  MN )     Mà HCB; HKB góc đối HCB  HKB 90  90 180  Tứ giác BHCK nội tiếp (dhnb) +) Xét  O MN dây cung, AB đường kính Mà MN vng góc AB C (gt) Nên C trung điểm MN (liên hệ đường kính dây cung) Mà C trung điểm OA (gt)  Tứ giác AMON hình bình hành (dhnb) Mà MN vng góc OA (gt)  Nên AMON hình thoi (đpcm) b) Xét  AHC  ABK có: A góc chung ACH  AKB 90   AHC ∽  ABK (g-g)  AH AC   AH AK  AB AC 2 R R R AB AK (đpcm) Theo a) AMON hình thoi nên AM MO OA R   Ta có tam giác AMO  AMO 60  MOB 120 (tc kề bù) 120 R  R S MOB   360 *) Mà R 10cm nên R 5cm Do S MOB  25 c) Dễ dàng chứng minh MB  NB  Tam giác MNB cân (đ/n)   Mà MKN MBN 60     NMI KMB  IMB NMB 60    KMB  IMB KMI 60    NMB MAO (cùng phụ với MBA ) o  Mà MAO 60 (tam giác AMO đều)  Tam giác MNB (tam giác cân có góc 60 ) (1) Chứng minh tương tự ta có tam giác MKI cân   Mà MKN MBN 60 ( hai góc nội tiếp chắn cung NM ) Nên tam giác MIK đều.(2)    Từ ta có: NMI  IMB NMB 60    KMB  IMB KMI 60    Nên ta có: NMI KMB (cùng cộng với IMB 60 ) Xét MNI MBK có: +) MI MK ( MIK đều)   +) NMI KMB (cmt) +) MN MB ( NMB đều)  NI BK (2 cạnh tương ứng) d) Chu vi MKB  MK  KB  MB Mà KB NI ; MK KI PMKB MK  KB  MB KI  NI  MB NK  MB Mà MB cố định Nên PMKB lớn NK lớn Mà NK dây cung lớn NK đường kính Khi N , O , K thẳng hàng Vậy K điểm cung MB  O, R  Bài Cho nửa đường trịn đường kính AB Bán kính OC  AB Điểm E thuộc đoạn OC Tia AE cắt nửa đường tròn  O  M Tiếp tuyến nửa đường tròn M cắt OC D Chứng minh: a)Tứ giác OEMB nội tiếp MDE cân b)Gọi BM cắt OC K Chứng minh BM BK khơng đổi E di chuyển OC tìm vị trí E để MA 2MB  S MOB c)Cho ABE 30 tính quat chứng minh E di chuyển OC tâm đường trịn ngoại tiếp CME thuộc đường thẳng cố định Hướng dẫn K a)Tứ giác OEMB nội tiếp MDE cân D * Tứ giác OEMB có: M C   EOB  EMB 180 E Mà hai góc vị trí đối  OEMB tứ giác nội tiếp A 30° O B   * Vì tứ giác OEMB nội tiếp  DEM OBM (tính chất góc ngồi tứ giác nội tiếp)   Lại có: OBM EMD (góc nội tiếp góc tạo tia tiếp tuyến dây cung chắn cung AM)       DEM EMD OBM  DEM cân D (ĐPCM) b)Gọi BM cắt OC K Chứng minh BM BK không đổi E di chuyển OC tìm vị trí E để MA 2 MB  * có AMB 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) Xét AMB KOB có: AMB KOB   90  ABK góc chung  AMB ∽ KOB  g  g   AB BM   BM BK  AB.BO 2 R.R 2 R BK BO (khơng đổi) * Với MA 2 MB Vì AMB vuông M nên  tan MAB  MB 1 OE R     tan MAB tan EAO     EO  MA 2 AO 2 Vậy để MA 2MB E trung điểm OC  S MOB c)Cho ABE 30 tính quat chứng minh E di chuyển OC tâm đường trịn ngoại tiếp CME thuộc đường thẳng cố định K D C I H M E 30° A O B * Ta thấy OK đường trung trực đoạn AB Mà E  OK  EA EB  EAB cân E      EAB EBA 30  MOB 2.EAB 60 (quan hệ góc tâm góc nội tiếp chắn cung MB)  S quat MOB  60. R  R  360 * Nối C với B; gọi H trung điểm CE, I tâm đường tròn ngoại tiếp CEM  CIE cân I Do IH đường trung tuyến nên IH đồng thời đường cao, đường phân giác  CIE    IH  CE ; CIH  CME   Lại có CME CBA (hai góc nội tiếp chắn cung AC)      CIH CBA CME     HCI OCB (Vì IH  CE; OB  CO)  C , I , B thẳng hàng  I chuyển động đường thẳng CB cố định (ĐPCM)  O; R  kẻ đường kính AD cắt BC H Gọi M điểm cung Bài Cho ABC nội tiếp nhỏ AC Hạ BK  AM K , BK cắt CM E , R 6cm Chứng minh: a)Tứ giác ABHK nội tiếp MBE cân  O  N tính Squat MON b)Tứ giác BOCD hình thoi gọi BE cắt c)Tìm vị trí M để chu vi MBE lớn tìm quỹ tích điểm E M di chuyển cung nhỏ AC Hướng dẫn E A N K O B M C H D a)Tứ giác ABHK nội tiếp MBE cân OB OC  R   AO * Vì AB  AC (ABC đều) đường trung trực đoạn BC  AO  BC H  AHB 90   Xét tứ giác AKHB có: AHB  AKB 90 Mà hai góc vị trí kề đối  ABHK tứ giác nội tiếp đường trịn đường kính AB * Có A, M , C , B   O   AMCB tứ giác nội tiếp  AME  ABC 60 Lại có AMB  ACB 60  KME   KMB  60   MK đường phân giác đường cao MBE  MBE cân M (ĐPCM)  O  N tính Squat MON b)Tứ giác BOCD hình thoi gọi BE cắt   * Có BOC 2 BAC 120 ( quan hệ góc tâm góc nội tiếp chắn cung)    BOH  BOC 60 BOC cân O có OH đường cao đồng thời đường phân giác   Lại có BDA BCA 60  BOD  OB BD OD R Chứng minh tương tự OC CD OD R Ta OB BD OC CD R  OBDC hình thoi (dấu hiệu nhận biết)     * Có BKM vng K  KBM  KMB 90  KBM  60 90  KBM 30   Lại có NOM 2.NBM 2.30 60  S quat MON  60. R  R  360 c)Tìm vị trí M để chu vi MBE lớn tìm quỹ tích điểm E M di chuyển cung nhỏ AC * Gọi P chu vi MBE P MB  ME  BE 2  MB  BK    BK MB.sin BMK MB.sin 60  MB * Có BKM vng K    P   MB Để P lớn MB lớn  MB đường kính  O   M điểm AC nhỏ * Nối A với E Vì AM đường trung trực đoạn BE nên AE = AB Do AB không đổi, điểm A cố định nên E thuộc đường tròn cố định (A, AB) Giới hạn: Kẻ đường thẳng qua B vng góc với AC cắt  A, AB  P Lấy điểm Q đối xứng với C qua A Khi M C  E P Khi M  A  E Q Vậy M di chuyển cung nhỏ AC E di chuyển cung nhỏ PQ đường tròn Q E A P N K M O B C H D  A, AB  Bài Cho  O, R  có đường kính BC , A điểm cung BC , lấy M trung điểm BO , kẻ ME  AB E , kẻ MF  AC F Chứng minh: a)Năm điểm A, E , M , O, F thuộc đường tròn BE.BA BO.BM b)Kẻ tiếp tuyến  O  A cắt MF K chứng minh ME KF kẻ đường kính AD , kẻ ME cắt DC H , tia NM cắt  O  D Chứng minh MDH FEM c)Chứng minh M di chuyển BC MN ln qua điểm cố định Hướng dẫn A K F E B M C O H D a) Năm điểm A, E , M , O, F thuộc đường tròn BE.BA BO.BM    * Do AEM  AOM  AFM 90  E , O, F thuộc đường trịn đường kính AM Hay năm điểm A, E , M , O, F thuộc đường trịn đường kính AM * Xét BEM BOA có:  BEM  AOB  90  ABO góc chung  BEM ∽ BOA  g  g   b) Kẻ tiếp tuyến  O  BE BM   BE.BA BM BO BO BA A cắt MF K chứng minh ME KF kẻ đường kính AD , kẻ ME cắt DC H Chứng minh MDH FEM   * Vì A điểm cung BC , BC đường kính  sđ AB nhỏ = sđ AC nhỏ = 90   EBM 45    EBM , FAK  45  KAF vuông cân  EM EB; FA FK Lại có tứ giác AEMF có ba góc vng nên hình chữ nhật  ME FA Suy ME KF *Chứng minh tương tự ta có: ME DH ACD 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn)  AB CD (cùng vng góc với AC) Mà  HE  AB  GT   HE  CD  MHC 90  MHCF tứ giác có ba góc vng nên hình chữ nhật  Mặt khác CM tia phân giác ACD  MHCF hình vng  MF MH * Xét MDH FEM có: ME DH (CMT) MF MH  CMT    FME MHD  90   MDH FEM  2cgv  c) Chứng minh M di chuyển BC MN qua điểm cố định (Đề sai)  O  đường kính NP Lấy H Bài Cho đoạn thẳng MP , lấy điểm N nằm M P Vẽ  O  Q Tia trung điểm MN Qua H kẻ đường thẳng d vng góc với MN Kẻ tiếp tuyến HQ với PQ cắt d K Chứng minh:   a) Tứ giác KHNQ nội tiếp NPQ HKN  b) MKP 90 PQ.PK PN PH 2  c) HQ  PQ.PK PH cho HKN 30 , R 6 cm Tính diện tích hình quạt NOQ d) Lấy I trung điểm KN Chứng minh chu vi đường trịn ngoại tiếp QOI khơng đổi N di chuyển MP Hướng dẫn d K Q I M a) Vì Q   O H N O P   đường kính NP  NQP 90  NQK 90   Xét tứ giác KHNQ có KHN KQN hai góc đối   mà KHN  KQN 90  90 180 Suy tứ giác KHNQ nội tiếp (dhnb) Vì KHNQ tứ giác nội tiếp (cmt)     HKN HQN (hai góc nội tiếp chắn cung NH ) Xét  O (1)   có: NPQ góc nội tiếp chắn cung NQ   HQN góc tạo tiếp tuyến dây cung chắn NQ      NPQ HQN ( sđ NQ ) (2)   Từ (1) (2)  NPQ HKN (đpcm)   b) Xét KHM KHN có: KH chung; KHM KHN 90 ; MH HN (gt)  KHM KHN (c-g-c)    HKM HKN (hai góc tương ứng)   mà HKN  NPQ (cmt)    HKM  NPQ   Xét KHP vuông H  NPQ  HKP 90    HKM  HKP 90   MKP 90 Xét PQN PHK có:    Chung P ; PQN PHK 90  PQN ” PHK (g-g)  PQ PN  PH PK (các cặp cạnh tương ứng)  PQ.PK PN PH (đpcm) c) Xét HQN HPQ có:    Chung QHP ; HQN HPQ (cmt)  HQN ” HPQ (g-g)  HQ HN  HP HQ (các cặp cạnh tương ứng0  HQ HN HP Ta có: HQ  PQ.PK HN HP  PN PH (cmt) PH  HN  PN  PH Xét  O   có: NPQ góc nội tiếp chắn NQ   NOQ góc tâm chắn NQ    NOQ 2.NPQ    NOQ 2.HKN 2.30 60 S NOQ  62.60  6 360 ( cm ) d) HI đường trung bình NMK  HI // MK (tính chất đường trung bình tam giác)    NIH  NKM (hai góc đồng vị) OI đường trung bình NKP  OI // KP    NIO NKP (hai góc đồng vị)     Do đó: NIH  NIO NKM  NKP    HIO MKP   mà MKP 90  HIO 90  I thuộc đường trịn đường kính HO   O  Q  HQO 90 Vì HQ tiếp tuyến  S BOA c) Cho ACB 30 ; R 6cm Tính quat chứng minh tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác DEF điểm cố định Hướng dẫn   a) BDA  BEA 90 nên A, B, D, E thuộc đường tròn b)Tương tự câu a) suy A, D, F, C thuộc đường tròn A'    Ta có DFA  DCA  BAA suy DF // BA   * A, B, D, E thuộc đường tròn nên ABE  ADE F    Mà ABE  BAA ( phụ BAE )    Nên ADE BAA DCA , Suy DE vng góc với AC O D B C E    c) ACB 30 BAA  BOA 120 A' A  Squat BOA   120 12  cm  360 * Gọi I , P, Q trung điểm BC, BA, AC Suy F I cố định BC cố định + Vì PD  PE nên tam giác PDE cân P , mà B C E P PI // AC, DE  AC nên DE  PI hay PI đường trung trực O I D Q A DE (1) + Chứng minh tương tự ta có QI trung trực DF (2) Từ (1), (2) suy tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF I , điểm cố định Bài Cho hai đường tròn  O; R   O; R cắt A, B ( O O thuộc hai nửa mặt phẳng bờ  AB ) Đường thẳng AO cắt  O  điểm C cắt đường tròn  O  E Đường thẳng AO cắt  O  O điểm D cắt đường tròn   F a) Chứng minh: C , B, F thẳng hàng tứ giác CDEF nội tiếp b) Chứng minh: AD AF  AE AC AB, CD, EF đồng quy Hướng dẫn a) Chứng minh: C , B, F thẳng hàng tứ giác I CDEF nội tiếp D E A  Vì ABC nội tiếp đường trịn đường kính AC nên ABC 90  Vì ABF nội tiếp đường trịn đường kính AF nên ABF 90 Suy ra, C F thuộc đường vng góc với AB B Do đó, C , B, F thẳng hàng  Có: CDA 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn tâm O ) AEF 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn tâm O )   CDA  AEF Mà góc nhìn cạnh CF Nên tứ giác CDEF nội tiếp đường tròn b) Chứng minh: AD AF  AE AC AB, CD, EF đồng quy Xét CDA FEA có:  CDA  AEF (cmt)   DAC EAF (đối đỉnh)  CDA ∽ FEA (g.g)  AD AE   AD AF  AC AE AC AF Gọi giao điểm CD EF I Xét ICF có : CE , FD đường cao Mà CE  FD  A Nên A trực tâm ICF Lại có, AB  CF  IB  CF Hay AB, CD, EF đồng quy I  O  ( C không trùng A , B ), M Bài 10.Cho đường tròn tâm O , đường kính AB Lấy điểm C thuộc điểm cung nhỏ AC Các đường thẳng AM BC cắt I , đường thẳng AC , BM cắt K a) Chứng minh: ABI cân, tứ giác MICK nội tiếp  O  N Chứng minh đường thẳng NI tiếp tuyến b) Đường thẳng BM cắt tiếp tuyến A đường tròn  B; BA  NI  MO  B; BA  D ( D không trùng với I ) Chứng minh ba c) Đường tròn ngoại tiếp BIK cắt đường tròn điểm A , C , D thẳng hàng Hướng dẫn I D N M C K A O B a) Chứng minh: ABI cân, tứ giác MICK nội tiếp * Xét  O   có: sđ AM sđ MC ( M điểm cung AC )   ABM IBM (hệ góc nội tiếp)    O ) Và AMB  ACB 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn  BM  AI , AC  BI   Trong ABI có BM vừa đường cao ( BM  AI ) vừa đường phân giác ( ABM IBM ) Do ABI cân B   * Xét tứ giác MICK có: KMI 90 ( BM  AI ); KCI 90 ( AC  BI )    KMI  KCI 90  90 180 (hai góc có đỉnh đối tứ giác MICK ) Vậy tứ giác MICK nội tiếp  O  N Chứng minh đường thẳng NI tiếp tuyến b) Đường thẳng BM cắt tiếp tuyến A đường tròn  B; BA  NI  MO * Xét ABN IBN có: AB  BI (do ABI cân B ) ABN IBN  (cmt) BN chung Do ABN IBN (c.g.c)    NAB NIB (2 góc tương ứng)   Mà NAB 90 nên NIB 90  NI  BI I   B; BA Ta có: NI  BI (cmt) mà (do BI BA )  B; BA  Vậy NI tiếp tuyến đường trịn * Xét ABI có M trung điểm AI , O trung điểm AB  MO đường trung bình ABI  MO // BI mà NI  BI (cmt) Vậy NI  MO  B; BA  D ( D không trùng với I ) Chứng minh ba c) Đường tròn ngoại tiếp BIK cắt đường tròn điểm A , C , D thẳng hàng   Ta có: IDK IBM (hai góc nội tiếp chắn cung IK đường tròn ngoại tiếp IBK ) 1   IDA  IBA  IBM     B; BA , Mà ( IDA IBA góc nội tiếp góc tâm chắn AI  BN tia phân giác IBA )   Do đó: IDK IDA nên hai tia DK DA trùng  D , K , A thẳng hàng mà C , K , A thẳng hàng nên D , K , A , C thẳng hàng Vậy ba điểm A , C , D thẳng hàng  O; R  ( AB  CD) Gọi P điểm cung Bài 11.Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn nhỏ AB; DP cắt AB E cắt CB K ; CP cắt AB F cắt DA I a) Chứng minh tứ giác CKID; CDFE nội tiếp b) Chứng minh IK // AB AP PE.PD PF PC c) Chứng minh AP tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp AED Hướng dẫn a) Chứng minh tứ giác CKID; CDFE nội tiếp Ta có:   sd BP    sd AP sd CD sdCD   CKD  CID  2 ;   Mà BP  AP    CKD CID  Tứ giác CKID nội tiếp Ta có:   sd PA    sd PB   sdCB sd CB sd PC   BFC   BFC   2  sd PC  EDC     BFC EDC  Tứ giác CFED nội tiếp b) Chứng minh IK // AB AP PE.PD PF PC   Ta có tứ giác CKID nội tiếp  KIC KDC     Mà BFC EDC  KIC BFC  IK // AB   sd PA    sd PB   sd BD sd BD sd PD    PEA   PEA  2 Ta có:  sd PD  PAD  Mà    PEA PAD  PEA ∽ PDA ( g  g )  AP PE.PD Chứng minh tương tự ta BP PF PC   Mà AP BP  AP BP  AP PE PD PF PC c) Chứng minh AP tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp AED Trên nửa mặt phẳng bờ EA chứa điểm P, vẽ tia Ax tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp AED   xAE  ADE   Mà PAE  ADE  Ax  AP  AP tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp AED Bài 12.Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB, M điểm cung AB ( K khác M B), AK cắt MO I Gọi H hình chiếu M lên AK a) Chứng minh tứ giác OIKB, AMHO nội tiếp b) Chứng minh HMK cân AM  AI AK o    S KOB c) Chứng minh HOK MAK cho MIK 60 , R 6cm Tính quat d) Xác định vị trí điểm K để chu vi tam giác OPK lớn ( P hình chiếu K lên AB) Hướng dẫn a) Chứng minh tứ giác OIKB, AMHO nội tiếp Ta có M điểm cung AB  AMB vng cân M  MO  AB    AOM MOB 90o Hay IOB 90o o o   Ta có AKB 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn (O) ) Hay IKB 90 o   Tứ giác OIKB có IOB  IKB 180  OIKB tứ giác nội tiếp o  Tứ giác AMHO có AOM 90 (chứng minh trên) AHM 90o H ( hình chiếu M lên AK ) Tứ giác AMHO tứ giác nội tiếp b) Chứng minh HMK cân AM  AI AK Ta có AKM  ABM (góc nội tiếp chắn cung AM) o  mà ABM 45 ( AMB vuông cân M -cmt)   AKM 45o  HKM 45o o  Xét HMK vng H có HKM 45 nên HMK cân Xét AMB vuông M , MO đường cao có: AM  AO AB (1) (hệ thức lượng tam giác vng) Ta có AOI ∽ AKB  g  g   Từ (1) (2)  AM  AI AK AO AI   AO.AB  AI AK (2) AK AB