Đột phá hình học 8

ĐỘT PHÁ HÌNH HỌC 8 : CHƯƠNG I TỨ GIÁC BÀI TỨ GIÁC A.LÝ THUYẾT: 1) Định nghĩa: Tứ giác ABCD hình gồm đoạn thẳng AB, BC, CD, DA, hai đoạn thẳng không nằm đường thẳng Tứ giác lồi tứ giác nằm nửa mặt phẳng có bờ đường thẳng chứa cạnh tứ giác Hai đỉnh kề nhau: A B; B C; C D; D A Hai đỉnh đối nhau: A C; B D Đường chéo AC; BD Hai cạnh kề nhau: AB BC; BC CD; CD DA Hai cạnh đối nhau: AB CD; AD BC ;C  D  B ;B  C ;D  A  Hai góc kề nhau: A ; B  C  D  Hai góc đối nhau: A Điểm nằm tứ giác: M Điểm nằm tứ giác: N Điểm nằm tứ giác: P 2) Định lý: Tổng góc tứ giác 1800 B LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI BÀI TẬP  = 2000, B  +D +C  +D  = 1800; C  = 1200 Bài Cho tứ giác ABCD biết B a) Tính số đo góc tứ giác  B  tứ giác Chứng minh: b) Gọi I giao điểm tia phân giác A    C  D AIB Bài giải:   2C   2D  200  1800  120  B  C  D  2500 a) Từ giả thiết ta có: 2B  B  C  D  3600  A  1100 Vì A   B  2500  C  D  2500  1200 1300 B  2000  B  2000  1300 700 C  1200  C  1200  70 500 D b) Trong tam giác ABI:  B   B  3600  A  D  A C  AIB 180    2  A  I D C  +D  = 1800, CB = CD Chứng minh AC tia phân giác Bài Cho tứ giác lồi ABCD có B  BAD Bài giải: Trên tia đối tia BA lấy điểm I cho BI = AD   (cùng bù với góc ABC  Ta có ADC ) IBC AD = IB, DC = BC Từ ta có ADC IBC   AC = IC Suy ra: DAC BIC   DAC  Tam giác ACI cân C nên BAC BIC  Vậy AC phân giác góc BAD Bài Cho tứ giác lồi ABCD, hai cạnh AD BC cắt E, hai cạnh DC AB cắt F Kẻ tia phân giác hai góc CED BFC cắt I Tính góc EIF theo góc tứ giác ABCD Bài giải: FI cắt BC K, suy K thuộc đoạn BC ( EIF F  EKI   IEK   góc  IKE)  EIF    BFK   IEK  ( CKF = B góc  FBK)    1800  B  C   BFK  900  B  C BFC A   A  B D  1800  A  B   IEK  900  AEB B  C    AB I  B  + 900  Vậy EIF  900  2 C  C  B  D  K A B 1800   2 Bài Cho tứ giác ABCD Chứng minh: p < AC + BD < p (p: chu vi tứ giác)     Bài giải: Gọi I giao điểm AC BD Theo bất đẳng thức tam ta có: IA + IB > AB, IA + ID >AD, IB + IC >BC, IC +ID >CD Cộng theo vế, ta được: 2(IA + IB + IC + ID) > p, từ đó: AC + BD > E giác, B A p I Lại có: AC < AB+BC, AC < AD + DC, BD < BA +AD, BD < BC + CD C BD D Suy 2(AC + BD) < 2(AB + BC + CD + DA) = 2p  AC + < p Bài Cho tứ giác ABCD, M điểm tứ giác Xác định vị trí M để MA + MB + MC + MD nhỏ Bài giải: B Gọi I giao điểm AC BD Ta có bất đẳng thức: MA + MC AC, MB + MD BD Từ suy MA + MB + MC + MD  AC + BD MA + MB + MC + MD = AC + BD M trùng với I A I M D C Vậy M giao điểm hai đường chéo MA + MB + MC + MD nhỏ Bài Một đường thẳng qua trung điểm hai cạnh đối diện tứ giác lồi tạo với đường chéo hai góc Chứng minh tứ giác có hai đường chéo B Giải N Q K C O Q P A Gọi Q,P trung điểm M AB ,CD tương ứng Khi ta có : QN//MP ; NP//QM Tứ giác QNPM hình bình hành Vì MN tạo với AC BD hai góc nên suy MN tạo với QN QM hai góc Tức : Suy Tam giác QMN cân Q Suy QN=QM Ta có QN= QM= (Đường trung bình tam giác) Mà QN=QM (Chứng minh ) Suy AC=BD Vậy Tứ giác có hai đường chéo A LÝ THUYẾT BÀI HÌNH THANG  AB // CD Định nghĩa: Tứ giác ABCD hình thang    BC // AD A 2.Tính chất: * Nếu hình thang có hai cạnh bên song song hình chữ nhật cạnh đáy nhỏ cạnh bên cạnh bên D B cạnh đáy lớn C D * Nếu hình thang có hai cạnh đáy hình bình hành Hình thang vng: cạnh đáy nhỏ B Hình thang vng hình thang có hai góc vng A cạnh bên cạnh bên D C cạnh đáy lớn B LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI BÀI TẬP Bài Cho tứ giác ABCD có AD = DC, đường chéo AC phân giác góc  Chứng minh ABCD hình thang Bài giải: Ta có AD = DC nên tam giác ADC cân D    Suy DCA = DAC = BAC Suy AB//CD (hai góc so le nhau) Vậy ABCD hình thang A D B C Bài Cho hình thang ABCD, đáy AB = 40cm, CD = 80cm, BC = 50cm, AD = 30cm Chứng minh ABCD hình thang vng Bài giải: B A Gọi H trung điểm CD Ta có DH = CH = 40cm Xét hai tam giác ABH CHB có:   AB = CH = 40cm, ABH (so le trong), BH = HB CHB C Suy ABH = CHB (c-g-c)  AH = CB = 50cm D H 2 2 2 Tam giác ADH có: AD + DH =40 + 30 = 50 = AH Suy tam giác ADH vng D Vậy hình thang ABCD hình thang vng Bài Cho hình thang ABCD (AD//BC; AD > BC) có đường chéo AC BD vng góc v ới I Trên đáy AD lấy M cho AM độ dài đường trung bình hình thang Chứng minh: tam giác ACM cân M Giải: B Gọi L điểm đối xứng với đối xứng với A qua M Gọi NM đường C trung bình hình thang ABCD hình vẽ I Gọi I giáo điểm AC NP N P Vì NP//BC NI//BC mà N trung điểm AB I trung điểm AC 1) Suy IM//CL (2) A M D Xét hình thang ABCD ta có:' L P= =AM Suy BC=DL mà BC//DL Suy tứ giác BCLD hình bình hành Suy BD//CL Mà BD AC (gt) (3) Từ (1) ,(2) (3) IM AC MI đường trung trục đoạn thẳng AC Suy MA=MC Vậy tam giác MAC cân M BÀI HÌNH THANG CÂN A LÝ THUYẾT AB // CD    =D Định nghĩa: Tứ giác ABCD hình thang cân    C      A = B A cạnh đáy nhỏ cạnh bên D B cạnh bên cạnh đáy lớn C Tính chất: Trong hình thang cân: * Hai cạnh bên * Hai đường chéo Dấu hiệu nhân biết: * Hình thang có hai đường chéo hình thang cân * Hình thang có hai góc chung cạnh đáy hình thang cân B LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI BÀI TẬP Bài 10 Cho hình thang cân ABCD (AB//CD) AD cắt BC I, AC cắt BD J Chứng minh IJ trung trực AB trung trực CD Bài giải:  =D  ABCD hình thang cân nên C Suy tam giác ICD cân I  I nằm đường trung trực CD (1)  =D  =C  = IBA  Ta lại có IAB nên tam giác IAB cân I  I nằm đường trung trực AB (2) Xét tam giác ACD tam giác BDC có: AD = BC (vì ABCD hình thang cân) CD: cạnh chung AC = BD (2 đường chéo hình thang cân)   Do ΔACD = ΔBDC , suy ACD = BDC  tam giác JCD cân J  J nằm đường trung trực CD (3) Tương tự ta có tam giác JAB cân J  J nằm đường trung trực AB (4) Từ (1), (2), (3), (4) suy IJ đường trung trực AB CD Bài 11 Cho hình thang ABCD (AB // CD) AC cắt BD O Biết OA = OB Chứng minh rằng: ABCD hình thang cân Bài giải: Vì OA = OB nên tam giác OAB cân O    OAB = OBA     Ta có OCD = OAB = OBA = ODC  tam giác OCD cân O  OC = OD Suy AC = OA + OC = OB + OD = BD Hình thang ABCD có hai đường chéo AC BD nên ABCD hình thang cân Bài 12 Cho hình thang cân ABCD (AB//CD, AB < CD) AD cắt BC O a) Chứng minh  OAB cân b) Gọi I, J trung điểm AB CD Chứng minh ba điểm I, J, O thẳng hàng c) Qua điểm M thuộc cạnh AC, vẽ đường thẳng song song với CD, cắt BD N Chứng minh MNAB, MNDC hình thang cân Bài giải:  =D  suy OCD tam giác cân a) Vì ABCD hình thang cân nên C   =C  = OBA  Ta có OAB (hai góc đồng vị) =D  Tam giác OAB cân O b) OI trung tuyến tam giác cân OAB nên OI đường cao tam giác OAB  OI  AB Mà AB // CD nên OI  CD Tam giác OCD cân O có OI  CD nên OI cắt trung điểm J CD Vậy ba điểm O, I, J thẳng hàng CD c) Xét  ACD  BDC có: AC = BD (2 đường chéo hình thang cân) AD = BC (2 cạnh bên hình thang cân) CD = DC Do  ACD =  BDC (c-c-c)     Suy ACD hay MCD = BDC = NDC   Hình thang MNDC có MCD nên MNDC hình thang cân = NDC  MC = ND  AC – MC = BD – ND  AM = BN Hình thang MNAB có hai đường chéo AM BN nên MNAB hình thang cân BÀI ĐƯỜNG TRUNG BÌNH A LÝ THUYẾT Đường trung bình tam giác: A N M C B a) Định lý mở đầu: Đường thẳng qua trung điểm cạnh tam giác song song với cạnh thứ hai qua trung điểm cạnh thứ ba b) Định nghĩa: Đường trung bình tam giác đoạn thẳng nối hai trung điểm hai cạnh tam giác c) Định lý đường trung bình tam giác: Đường trung bình tam giác song song với cạnh thứ ba có độ dài nửa cạnh Đường trung bình hình thang: a) Định lý mở đầu: Đường thẳng qua trung điểm cạnh bên hình thang song song v ới hai đáy qua trung điểm cạnh bên cịn lại b) Định nghĩa: Đường trung bình hình thang đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bên c hình thang c) Định lý đường trung bình hình thang: Đường trung bình hình thang song song với hai đáy có đ ộ dài nửa t đ ộ dài hai đáy B A D C B LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI BÀI TẬP  D  90o AB = 2AD = 2CD Kẻ CH vng góc với AB Bài 13 Cho hình thang ABCD có A H a) Tính số đo góc hình thang ABCD b) CMR tam giác ABC vng cân c) Tính chu vi hình thang AB = 6cm d) Gọi O giao điểm AC DH, O’ giao điểm DB CH Chứng minh AB = 4OO’ Bài giải:  D  H  C  90o AH // CD, AD // CH a) Ta có tứ giác ADCH A AHCD hình thang cân hai đáy AH, CD  AD = CH AHCD hình thang cân với hai đáy AD, HC  AH = CD BH = AB – AH = 2CD – CD = CD CH = AD = BH   = 45o , BCH Do  BCH vng cân H, suy B = 45o  BCH   DCH  = 45o + 90o = 135o C  D  90o , B  = 135o  = 45o, C Vậy A b)  ABC có H trung điểm AB CH  AB nên ABC tam giác cân C  = 45o , suy  ABC vng cân C Ta lại có B c) Ta có AB = 6cm AD = CD = AB = 3cm  ABC vuông cân C nên BC = AB = = cm 2 Chu vi hình thang ABCD là: AB + BC + CD + DA = + + + = 12 + cm    d) Dễ thấy ACD 450  HDC 450  DH // BC  DH  AC Vì  ACD vng cân D nên O trung điểm AC Ta có DO’C BO’H (g-c-g)  O’C = O’H, hay O’ trung điểm CH Xét  AHC có OO’ đường trung bình nên AH = 2OO’ Mà AB = 2AH nên AB = 4OO’ o Bài 14 Cho hình thang ABCD (AB//CD) có E trung điểm BC,  AED = 90 Gọi K giao điểm AE DC Chứng minh rằng: a)  ABE =  KCE b) DE tia phân giác góc D Bài giải: a) Xét  ABE  KCE có:   (2 góc sole trong) ABE = KCE   (2 góc đối đỉnh) AEB = KEC BE = CE (E trung điểm BC) Do  ABE =  KCE (g – c – g) b) Vì  ABE =  KCE nên AE = KE  E trung điểm AK  DE trung tuyến tam giác ADK Ta lại có DE  AK suy DE đường cao  ADK Do tam giác ADK cân D DE phân giác góc D Bài 15 Cho tứ giác ABCD CD > AB Gọi E, F trung điểm BD AC CD  AB Chứng minh ABCD hình thang EF = Bài giải: Gọi I trung điểm AD A B Ta có EI // AB EI = AB FI // CD FI = CD E F I Qua điểm I ta có EI // AB FI // CD // AB nên I, E, F thẳng hàng 1 Suy EF = FI – EI = AB – CD hay 2 D CD  AB EF= C Bài 16 Cho hình thang ABCD (AB//CD), tia phân giác góc C qua trung điểm M cạnh bên AD Chứng minh rằng:  a) BMC b) BC = AB + CD = 90o Bài giải: a) Gọi N trung điểm BC   Ta có MN // CD  MCD = CMN    ) Mà MCD (vì CM phân giác D = MCN 1   Suy CMN = MCN = DCB Tam giác MCN cân N  MN = NC = NB,  MNB cân     N  NMB Mặt khác NMB , suy = NBM = MBA 1  NMB = ABC        BMC = CMN + NMB = BCD + ABC = 90 o b) Vì MN đường trung bình hình thang ABCD nên MN = Ta lại có MN = BC Do BC = AB + CD (AB + CD) Bài 17 Cho tam giác ABC có trung tuyến BD CE Trên cạnh BC lấy điểm M, N cho BM = MN = NC Gọi I giao điểm AM BD, K giao điểm AN CE Chứng minh rằng: a) BCDE hình thang b) K trung điểm EC c) BC = 4IK Bài giải: a) Ta có DE đường trung bình tam giác ABC  DE // BC  BCDE hình thang b) Gọi G giao điểm AN DE Ta có E trung điểm AB ED // BN  G trung điểm AN  EG đường trung bình  ABN 1  EG = BN = BC Ta lại có ED = BC  EG = ED  G trọng tâm  ACE  AK trung tuyến  ACE  K trung điểm EC c) Chứng minh tương tự ta có I trung điểm EF Gọi F trung điểm BC, ta có DF // AB DK // AB  D, K, F thẳng hàng 1 DK  AE  AB  DF , suy K trung điểm DF Suy IK đường trung bình  DEF  IK = DE 1 Mà DE = BC  IK = BC hay BC = 4IK I  60o , DB phân Bài 18 Cho hình thang cân ABCD có D  Biết chu vi hình thang 20cm Tính độ giác D cạnh hình thang Bài giải:  D  = 600 Vì ABCD hình thang cân nên C  =B  = 1800  600 = 1200 A   (vì DB phân giác D ) Ta có ADB = CDB      (so le trong)  ABD Mà CDB = ADB = CDB = 30 o = ABD dài A D B C  Tam giác ABD cân A  AB = AD = BC Gọi I giao điểm AD BC, dễ dàng chứng minh  ICD (có hai góc 600) B trung điểm IC (vì DB đường phân giác góc D, đường trung tuyến  IDC) Do CD = IC = 2BC Đặt AB = a  BC = AD = AB = a CD = 2a Chu vi hình thang ABCD: AB + BC + CD + AD = 5a = 20cm  a = 4cm  AB = BC = AD = 4cm CD = 8cm 10 ... 60o , DB phân Bài 18 Cho hình thang cân ABCD có D  Biết chu vi hình thang 20cm Tính độ giác D cạnh hình thang Bài giải:  D  = 600 Vì ABCD hình thang cân nên C  =B  = 180 0  600 = 1200 A... có: 2BC2 – 24BC – 1 28 = 2BC2 – 32BC + 8BC – 1 28 = 2BC(BC – 16) + 8( BC – 16) = (2BC + 8) (BC – 16) = BC = 16 (cm) BÀI HÌNH BÌNH HÀNH A LÝ THUYẾT: Định nghĩa: Hình bình hành tứ giác có cạnh đối song... với qua đường thẳng chúng Hình có trục đối xứng: Đường thẳng d gọi trục đối xứng hình H điểm đối xứng với điểm thuộc hình H qua đường thẳng d thuộc hình H Khi ta nói hình H có trục đối xứng d