Output file ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN LÊ QUANG HÀM BƯỚC NHẢY NGẪU NHIÊN TRÊN ĐỒ THỊ LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC HÀ NỘI – 2012 z ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜ[.]
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN LÊ QUANG HÀM BƯỚC NHẢY NGẪU NHIÊN TRÊN ĐỒ THỊ LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC HÀ NỘI – 2012 z ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN LÊ QUANG HÀM BƯỚC NHẢY NGẪU NHIÊN TRÊN ĐỒ THỊ Chuyên ngành: Bảo đảm tốn học cho máy tính hệ thống tính tốn Mã sớ : 60 46 35 ḶN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Cán hướng dẫn: TS Lê Anh Vinh HÀ NỘI – 2012 z MỤC LỤC Mục lục Lời nói đầu Cơ E-đồ thị 1.1 Lý thuyết đồ thị 1.2 Thuật ngữ khái niệm đại số 1.3 E-Đồ thị 13 1.4 Họ E-Đồ thị 27 Bước nhảy ngẫu nhiên đồ thị 2.1 Xích Markov 29 29 2.2 Bước nhảy ngẫu nhiên đồ thị 34 2.3 Bước nhảy ngẫu nhiên E-đồ thị d-đều 52 Bước nhảy ngẫu nhiên đồ thị Paley đồ thị Margulis 57 3.1 Đồ thị Paley 57 3.2 Đồ thị Margulis 60 Kết luận 66 Tài liệu tham khảo 67 z LỜI NÓI ĐẦU Trong lý thuyết đồ thị, bước nhảy ngẫu nhiên đồ thị dành nhiều quan tâm nhiều thập niên qua Các kết ứng dụng nhiều lĩnh vực khác Việc nghiên cứu lớp đồ thị cụ thể cho ta ứng dụng khác như: thiết kế mạng, thiết kế thuật tốn mã hóa, mật mã, giả ngẫu nhiên Khi nghiên cứu E- đồ thị cho ta thấy tính chất đặc biệt như: tốc độ hội tụ tới phân phối dừng, phân phối dừng, thời gian va chạm, thời gian phủ Luận văn tập trung nghiên cứu E- đồ thị tham số bước nhảy ngẫu nhiên E- đồ thị Dựa vào tơi đưa cấu trúc luận văn sau: Chương 1: Cơ E - đồ thị Chương gồm hai phần Phần thứ đưa khái niệm định nghĩa đồ thị Phần thứ hai đưa khái niệm, định nghĩa tính chất liên quan đến đồ thị Chương 2: Bước nhảy ngẫu nhiên đồ thị Chương gồm hai phần Phần thứ gồm khái niệm, định nghĩa kết bước nhảy ngẫu nhiên Phần thứ hai nghiên cứu bước nhảy ngẫu nhiên E- đồ thị tính chất bước nhảy ngẫu nhiên E- đồ thị Chương 3: Bước nhảy ngẫu nhiên đồ thị Paley đồ thị Margulis Chương áp dụng bước nhảy ngẫu nhiên hai đồ thị đồ thị Paley đồ thị Magulis Để hoàn thành luận văn trước hết xin chân thành cảm ơn TS z Lê Anh Vinh người cố vấn với thảo luận hiệu hướng dẫn nhiệt tình Đồng thời xin chân thành cảm ơn TS Lê Trọng Vĩnh động viên, khuyến khích giúp đỡ suốt q trình hồn thiện Vì lý thời gian, nên luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót, bất hợp lý nội dung cách trình bày Kính mong nhận góp ý thầy cô Hà Nội, tháng 12 năm 2011 Lê Quang Hàm z CHƯƠNG CƠ BẢN VỀ E-ĐỒ THỊ Kiến thức chủ yếu đưa chương này, dễ dàng tham khảo tài liệu viết lý thuyết đồ thị, E- đồ thị [2], [3], [5], [7] 1.1 Lý thuyết đồ thị Định nghĩa 1.1.1 Giả sử có tập V 6= ∅ đối tượng tùy ý E tập số cặp đối tượng thuộc V thứ tự không Cặp (V, E) gọi đồ thị Ký hiệu G = (V, E) G(V, E) Trong V tập đỉnh E tập cạnh đồ thị G + Nếu a = (x, y) x, y ∈ V khơng thứ tự a gọi cạnh (vô hướng) đồ thị; x, y gọi hai đầu cạnh a (hay hai điểm đầu cạnh a) + Nếu b = (u, v) u, v ∈ V thứ tự b gọi cạnh có hướng (cung) đồ thị; u đỉnh đầu, v đỉnh cuối + Nếu c = (z, z) z ∈ V cặp đỉnh trùng c gọi khuyên Nếu hai đỉnh quy định thứ tự c gọi khuyên có hướng Định nghĩa 1.1.2 x, y gọi hai đỉnh kề chúng nối với cạnh hay cung + Hai cạnh có chung đỉnh gọi hai cạnh kề Hai cung a b, điểm cuối a trùng với điểm đầu b a b gọi hai cung kề Dùng D(x) để ký hiệu tập gồm tất đỉnh mà đỉnh có cạnh nối với x D+ (x) tập tất đỉnh mà từ x có cung tới z D− (x) tập tất đỉnh có cung tới x Định nghĩa 1.1.3 (i) Nếu tập E gồm tồn cạnh G(V, E) đồ thị vô hướng (ii) Nếu tập E gồm tồn cung G(V, E) đồ thị có hướng (iii) Nếu tập E gồm cạnh cung G(V, E) gọi đồ thị hỗn hợp (iv) Nếu đồ thị G(V, E), hai đỉnh nối với không cạnh (có hướng hay vơ hướng) G gọi đồ thị đơn (v) Nếu đồ thị G(V, E) có cặp đỉnh nối với khơng hai cạnh có hướng vơ hướng G(V, E) gọi đa đồ thị Định nghĩa 1.1.4 (i) Đồ thị vô hướng G = (V, E) gọi đồ thị đầy đủ cặp đỉnh nối với cạnh (ii) Một đa đồ thị vô hướng mà cặp đỉnh nối với k cạnh gọi đồ thị k-đầy đủ (iii) Một (đa) đồ thị gọi (đa) đồ thị phẳng có dạng biểu diễn hình học mặt phẳng mà cạnh cắt đỉnh (iv) Một (đa) đồ thị với số cạnh đỉnh hữu hạn gọi (đa) đồ thị hữu hạn địa phương Định nghĩa 1.1.5 (i) Giả sử x đỉnh tùy ý đồ thị G = (V, E) Người ta gọi số cạnh cung đỉnh x bậc đỉnh x, kí hiệu d(x) (ii) Đồ thị mà bậc tất đỉnh d gọi đồ thị d-đều Định nghĩa 1.1.6 Dãy đỉnh α = (x1 , x2 , , xm ) gọi xích với t m − cặp xt , xt+1 kề Ta nói xích z nối đỉnh x1 đỉnh xm xích α từ đỉnh x1 đến đỉnh xm Hình 1.1: (i) Một xích mà có hai đầu trùng gọi chu trình (ii) Một xích gọi xích sơ cấp qua cạnh đồ thị không lần (iii) Một chu trình gọi chu trình sơ cấp qua đỉnh đồ thị khơng q lần (iv) Một xích gọi xích đơn qua đỉnh đồ thị khơng q lần (v) Một chu trình gọi chu trình đơn qua cạnh đồ thị không lần Định nghĩa 1.1.7 (i) Tổng số cạnh xuất chu trình α gọi độ dài chu trình (ii) Tổng số cạnh xuất xích α gọi độ dài xích ký hiệu |α| Định nghĩa 1.1.8 Giả sử G = (X, E) đồ thị có hướng Dãy đỉnh β = (y1 , y2 , , yt , yt+1 , , ym ) gọi đường G với t m − 1, có cung từ yt sang yt+1 Ta cịn nói đường β xuất phát từ đỉnh y1 tới đỉnh ym Trong y1 đỉnh đầu đường β ym đỉnh cuối đường β z Định nghĩa 1.1.9 (i) Một đường có đỉnh đầu trùng với đỉnh cuối gọi vịng (ii) Một đường qua đỉnh khơng q lần gọi đường sơ cấp (iii) Một vòng qua đỉnh khơng q lần gọi vịng sơ cấp (iv) Một đường qua đỉnh cung khơng q lần gọi đường đơn (v) Một vịng qua cung khơng q lần gọi vịng đơn Định nghĩa 1.1.10 Tổng số cung xuất đường β (vòng β) gọi độ dài đường β (vòng β) Định nghĩa 1.1.11 Giả sử G = (V, E) đồ thị vô hướng (i) Hai đỉnh a, b thuộc V gọi hai đỉnh liên thông (hay cặp đỉnh liên thông) chúng nối với xích (ii) Đồ thị vô hướng G(V, E) gọi đồ thị liên thông cặp đỉnh liên thơng với Định nghĩa 1.1.12 Giả sử G = (V, E) đồ thị có hướng (i) Cặp đỉnh c, d thuộc X gọi hai đỉnh liên thông (hay cặp đỉnh liên thơng) có đường từ c đến d ngược lại (ii) Đồ thị có hướng G(V, E) gọi đồ thị liên thông mạnh cặp đỉnh liên thơng với Định nghĩa 1.1.13 Giả sử G = (V, E) đồ thị tuỳ ý Mỗi đồ thị G mà liên thông hay liên thông mạnh gọi thành phần liên thông G Định nghĩa 1.1.14 Đỉnh x đồ thị liên thông gọi đỉnh cắt đồ thị nhận cách bỏ điểm x đồ thị khơng liên thơng z Ví dụ 1.1.15 Cho đồ thị (Hình 1.2) Hình 1.2: + Các thành phần G1 , G2 , G3 , G4 liên thông, G không đồ thị liên thông + G1 , G2 , G3 , G4 thành phần liên thông G Định nghĩa 1.1.16 Đồ thị tự bù: Cho G=(V,E) đồ thị hữu hạn Đồ thị bù G G với V (G) = V (G), E(G) xác định sau: (x, y) ∈ E(G) ⇔ (x, y) ∈ / E(G) Đồ thị G gọi tự bù đẳng cấu với phần bù z ... chất bước nhảy ngẫu nhiên E- đồ thị Chương 3: Bước nhảy ngẫu nhiên đồ thị Paley đồ thị Margulis Chương áp dụng bước nhảy ngẫu nhiên hai đồ thị đồ thị Paley đồ thị Magulis Để hồn thành luận văn trước... Bước nhảy ngẫu nhiên đồ thị 2.1 Xích Markov 29 29 2.2 Bước nhảy ngẫu nhiên đồ thị 34 2.3 Bước nhảy ngẫu nhiên E -đồ thị d-đều 52 Bước nhảy ngẫu nhiên. .. đồ thị Chương 2: Bước nhảy ngẫu nhiên đồ thị Chương gồm hai phần Phần thứ gồm khái niệm, định nghĩa kết bước nhảy ngẫu nhiên Phần thứ hai nghiên cứu bước nhảy ngẫu nhiên E- đồ thị tính chất bước