017_Đề Hsg Toán 9_Trà Vinh_21-22.Docx

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH TRÀ VINH ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH NĂM HỌC 2021 2022 MÔN THI TOÁN Thời gian 150 phút không kể giao đề Câu 1 (4,0 điểm) Cho hai biểu thức 2 1 x[.]

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH TRÀ VINH ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP TỈNH NĂM HỌC 2021-2022 MƠN THI: TỐN Thời gian : 150 phút không kể giao đề Câu (4,0 điểm) Cho hai biểu thức A x x x  13 x  B    x (với x 0, x 1, x 4) x  x 2 2 x    a) Tính giá tri biểu thức A b) Rút gọn biểu thức B c) Tìm giá trị nguyên x để P  A.B nhận giá trị số tự nhiên x  5 5 2 Câu (6,0 điểm) 1) Giải phương trình sau : 3x  26 6 x   10 x  x  xy  y 0  x x  y y  2) Giải hệ phương trình sau:  Câu (2,0 điểm) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm M  0;1 đường thẳng  d  : x  y 12 Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng  d  Câu (2,0 điểm) Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh ab  bc  ca a  b  c   ab  bc  ca  Câu (4,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông A, biết AB 3cm, AC 4, 5cm Vẽ đường trịn tâm B bán kính BA Trên tia đối tia AC lấy điểm D cho tam giác BCD vuông B Kẻ tiếp tuyến CN , DM với đường tròn ( M , N tiếp điểm, khác điểm A) a) Chứng minh ba điểm M , B, N thẳng hàng b) Tính diện tích tứ giác DMNC c) Gọi H giao điểm AB CN Tính độ dài HB HN Câu (2,0 điểm) Cho tam giác vng ABC có độ dài cạnh huyền BC a Gọi AH đường cao tam giác  H  BC  , D E hình chiếu H AC AB Tìm giá trị lớn diện tích tứ giác ADHE ĐÁP ÁN Câu (4,0 điểm) Cho hai biểu thức x x x  13 x  B    x (với x 0, x 1, x 4) x  x 2 2 x A d) Tính giá tri biểu thức A     x  5 5  2  x  5 5  25   25(tmdk ) x 25    x1 25  e) Rút gọn biểu thức B  A B x x  13 x    4 x x 2 2 x  x 2    x   x   13 x   x  3x  x  x   13 x  2 x2 x 2 x 2 x   x    x  1  x  2x  x     2 x2 x 2 x2 x 2 x f) Tìm giá trị nguyên x để P  A.B nhận giá trị số tự nhiên P  AB  P    x 2 x1 x1  2  x1 x x1 x1  x 0(tm) x   U (1)  1    x 4(tm)  Câu (6,0 điểm) 3) Giải phương trình sau : 3x  26 6 x   10 x  5  x  26 6 x   10 x  x      3x  26  x   10 x 0     x   2 x  5.3    x  12 x  12  0  2 x     x   0  x  9  x 2(tmdk )   x  0  x  xy  y 0  x x  y y  4) Giải hệ phương trình sau:  Từ phương trình (1) dễ dàng suy x  y x  y  x  y     x x   x  y    x  y      y y   y  ; x   2 Vậy hệ phương trình cho có hai nghiệm 1 ;   2  x; y    1;  1 ,   Câu (2,0 điểm) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm M  0;1 đường thẳng  d  : x  y 12 Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng  d  d  M ;(d )   4.0  3.1  12 42  32 3 Câu (2,0 điểm) Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh ab  bc  ca a  b  c   ab  bc  ca  2 2 Ta có :  a  b  0  a  2ab  b 0  a  b 2ab 2 2 Tương tự : b  c bc; c  a 2ca Do , suy :  a  b  c  2  ab  bc  ca   a  b  c ab  bc  ca  1 Vì a, b, c độ dài ba cạnh tam giác nên ta có :  a  b  c  a  ab  ac  b  c  a  b  bc  ab  c  a  b  c  ca  bc 2 Do đó, suy a  b  c   ab  bc  ca    2 Từ (1) (2)  ab  bc  ca a  b  c   ab  bc  ca  ABC vuông A, biết AB 3cm, AC 4,5cm Vẽ Câu (4,0 điểm) Cho tam giác đường tròn tâm B bán kính BA Trên tia đối tia AC lấy điểm D cho tam giác BCD vuông B Kẻ tiếp tuyến CN , DM với đường tròn ( M , N tiếp điểm, khác điểm A) H N B M D A C d) Chứng minh ba điểm M , B, N thẳng hàng BDC vuông B có DBA BCA (phụ với ABC ) Mà DA , DM tiếp tuyến nên MBD ABD  MBD BCA Lại có BCA NCB (do CA, CN tiếp tuyến (B)) nên NBD NCB BNC có : NBC  NCB 90  NBD  NBC 90  MBN 180  M , B, N thẳng hàng e) Tính diện tích tứ giác DMNC AC  BC  AB  45 5  cm  NC  cm 2 B 90 , BA  DC  BA2  AD AC  AD  DBC có  MD  BA2   (cm) AC 5 cm Có MN 2 AB(2 R)  MN 6cm MDCN có MD / / NC   MN   MDCN hình thang vng 16 5 S MDCN   MD  NC  MN     18,11 cm  2 5  f) Gọi H giao điểm AB CN Tính độ dài HB HN HB  x, HN  y  x, y   Đặt 2 2 HBN có N 90  HB HN  BN  x  y   * 45  5 HA  AC HC   x  3   y     HAC có 2 2 45 45 y2  y   x2  6x   y  y 4 5y   y2   6x   y2  y  x   x2  x   Thay vào (*) có :  5y    y   y  12 y  36 4 y  36  y 0(ktm)  y  12 y 0    y 12 (tm)  x 27  Vậy HB 27cm, HN 12 5cm Câu (2,0 điểm) Cho tam giác vng ABC có độ dài cạnh huyền BC a Gọi AH đường cao tam giác  H  BC  , D E hình chiếu H AC AB Tìm giá trị lớn diện tích tứ giác ADHE A D E C H B O Gọi O trung điểm BC Ta có S ADHE  AE AD Lại có : AH AH AH  AE AB  AE  AD  AB Cmtt : AC Do Vậy S ADHE AH AH AH AO a a       AB AC BC AH BC BC 2a Max S ADHE  a2  ABC vuông cân A