ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– BÙI THỊ PHƯƠNG THẢO KHAI TRIỂN THẬP PHÂN CỦA SỐ HỮU TỶ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN 2020 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– BÙI THỊ PHƯƠNG THẢO KHAI TRIỂN THẬP PHÂN CỦA SỐ HỮU TỶ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2020 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– BÙI THỊ PHƯƠNG THẢO KHAI TRIỂN THẬP PHÂN CỦA SỐ HỮU TỶ Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS TS NGUYỄN DUY TÂN THÁI NGUYÊN - 2020 i Mục lục Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Đồng dư Định lý Euler 1.2 Cấp số nguyên modulo n 1.3 Thặng dư toàn phương Chương Phân số tuần hoàn 11 2.1 Phân số tuần hoàn 11 2.2 Chu kỳ phân số tuần hoàn 17 Chương Định lý Midy 22 3.1 Định lý Midy 22 3.2 Tính chất 2-khối 24 3.3 Tính chất m-khối 30 Kết luận 37 Tài liệu tham khảo 38 Mở đầu Xét khai triển thập phân 1/7: = 0.142857 Ta nhận thấy khai triển thập 1/7 túy tuần hoàn, với chu kỳ 6, với khối lặp lại 142857 Nếu ta chia đôi khối lặp lại thành phần cộng chúng lại ta nhận số gồm toàn số 9: 142 + 857 = 999 Đây ví dụ minh họa cho kết thú vị Midy nói giả sử khai triển thập phân 1/p, p số nguyên tố, có chu kỳ chẵn, ta chia khối lặp lại thành phần A B A + B số toàn số Mục tiêu luận văn tìm hiểu số tính chất bản, thú vị khai triển thập phân số hữu tỷ Tìm hiểu định lý Midy đề cập số mở rộng Ngoài phần Mở đầu, Kết luận Tài liệu tham khảo, bố cục luận văn chia làm ba chương Chương Một số kiến thức chuẩn bị Chương trình bày đồng dư, định lý Euler, cấp số nguyên modulo n Chương Phân số tuần hồn Chương trình bày số tính chất chu kỳ phần số tuần hoàn Chương Định lý Midy Chương trình bày Định lý Midy số hướng mở rộng 2 Luận văn thực hoàn thành vào tháng năm 2020 trường Đại học Khoa học- Đại học Thái Nguyên Qua đây, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS TS Nguyễn Duy Tân, người tận tình hướng dẫn suốt trình làm việc để hoàn thành luận văn Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Khoa Toán-Tin, Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, tạo điều kiện để giúp tác giả học tập hồn thành luận văn chương trình thạc sĩ Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp cao học K12A7, khóa 2018 - 2020 động viên giúp đỡ tác giả trình học tập hoàn thành luận văn Đồng thời tác giả xin gửi lời cảm ơn tới Ban giám hiệu đồng nghiệp trường THPT Lê Ích Mộc, Thủy Nguyên, Hải Phòng tạo điều kiện cho tác giả suốt q trình học tập hồn thành luận văn Xin chân thành cảm ơn Thái Nguyên, tháng năm 2020 Người viết luận văn Bùi Thị Phương Thảo Chương Kiến thức chuẩn bị Chương trình bày số kiến thức đồng dư, Định lý Euler, cấp số nguyên modulo n thặng dư toàn phương Tài liệu tham khảo cho chương [3], [4] [7] Một số tính tốn luận văn sử dụng cơng cụ trang worlframalpha 1.1 Đồng dư Định lý Euler Cho n số nguyên dương Định nghĩa 1.1.1 Cho hai số nguyên a b, ta nói a đồng dư với b modulo n, viết a ≡ b (mod n) a − b chia hết cho n Quan hệ đồng dư có nhiều tính chất quan hệ Với số nguyên a, a ≡ a (mod n) Nếu a ≡ b (mod n) b ≡ a (mod n) Nếu a ≡ b (mod n) b ≡ c (mod n) a ≡ c (mod n) Nếu a ≡ b (mod n) c ≡ d (mod n) a ± c ≡ b ± d (mod n) ac ≡ bd (mod n) Định nghĩa 1.1.2 (Phi-hàm Euler) Với số nguyên dương n, φ(n) số số nguyên dương a mà ≤ a ≤ n gcd( a, n) = 1, tức φ(n) = #{1 ≤ a ≤ n | gcd(n) = 1} Ví dụ 1.1.3 Dưới số giá trị φ(n) - φ(1) = φ(2) = #{1} = - φ(3) = #{1, 2} = 4 - φ(4) = #{1, 3} = - φ(5) = #{1, 2, 3, 4} = - φ(6) = #{1, 5} = - φ(7) = #{1, 2, 3, 4, 5, 6} = - φ(8) = #{1, 3, 5, 7} = - φ(9) = #{1, 2, 4, 5, 7, 8} = - φ(10) = #{1, 3, 7, 9} = Định lý 1.1.4 (Định lý Euler) Cho n số nguyên dương a số nguyên nguyên tố với n Khi aφ(n) ≡ (mod n) Khi n = p số nguyên tố φ( p) = p − ta thu Định lý Fermat nhỏ Định lý 1.1.5 (Định lý Fermat nhỏ) Cho p số nguyên dương a số nguyên nguyên tố với p Khi a p−1 ≡ (mod p) Một số tính chất phi-hàm Euler Nếu m n hai số nguyên dương nguyên tố φ(mn) = φ(m)φ(n) Nếu p số nguyên tố r nguyên dương φ( pr ) = pr − pr−1 r Từ hai tính chất trên, ta suy công thức φ(n) sau: Nếu n = p1r1 · · · pkk phân tích lũy thừa nguyên tố n 1 φ(n) = n − ··· 1− p1 pk 1 Ví dụ: φ(100) = φ(22 52 ) = 100 − 1− = 100 · · = 40 5 1.2 Cấp số nguyên modulo n Cho n số nguyên dương > Theo Định lý Euler, với số nguyên a nguyên tố với n, ta có aφ(n) ≡ (mod n) Như vậy, tồn số nguyên dương k cho ak ≡ (mod n) Định nghĩa 1.2.1 Cho a số nguyên nguyên tố với n Ta gọi cấp a modulo n, viết ordn ( a) số nguyên dương k nhỏ cho ak ≡ (mod n) Trong chương sau ta thấy chu kỳ khai triển thập phân phân số 1/n (với n nguyên tố với 10) ordn (10) Do vậy, ví dụ chương này, ta trình bày tính tốn với ordn (10) 5 Ví dụ 1.2.2 Ta tìm ord7 (10) Ta có 101 ≡ (mod 7), 102 ≡ (mod 7), 103 ≡ (mod 7), 104 ≡ (mod 7), 105 ≡ (mod 7), 106 ≡ (mod 7) Vậy ord7 (10) = Ví dụ 1.2.3 (i) Ta tìm tất số số nguyên dương n cho ordn (10) = Ta có 101 ≡ (mod n) Do n | 9, n = Thử lại ta thấy ord3 (10) = ord9 (10) = (ii) Ta tìm tất số số nguyên dương n cho ordn (10) = Ta có 102 ≡ (mod n) Do n | 99 Kết hợp phần (i), ta suy n = 11, 33 99 Thử lại ta thấy ord11 (10) = ord33 (10) = ord99 (10) = Mệnh đề 1.2.4 Cho a n hai số nguyên nguyên tố với n > Khi số nguyên x thõa mãn a x ≡ (mod n) ordn ( a) | x Chứng minh Đặt k = ordn ( a) Giả sử k | x Khi x = mk với m nguyên dương Ta có a x = ( a k ) m ≡ 1m = (mod n) Đối với chiều ngược lại, ta giả sử a x ≡ (mod n) Ta chia x cho k, ta x = q · k + r, ≤ r < k Ta có ≡ a x = a q · k +r = ( a k ) q a r ≡ a r (mod n) Do ar ≡ (mod n) Vì ≤ r < k nên r = theo định nghĩa k = ordn ( a) số nguyên dương y nhỏ cho ay ≡ (mod n) Như x = q · k k | x Kết hợp với Định lý Euler ta có hệ sau Hệ 1.2.5 Cho a n hai số nguyên nguyên tố với n > Khi ordn ( a) | φ(n) Nói riêng, n = p nguyên tố ord p ( a) | p − Sử dụng hệ ta tính cấp số ngun modulo n nhanh chóng Ví dụ 1.2.6 (1) Ta tính lại k = ord7 (10) Ta có φ(7) = 6, nên k phải ước Do k = 1, 2, Ta có 101 ≡ (mod 7), 102 ≡ (mod 7), 103 ≡ (mod 7) 6 Do k = (2) Ta tính k = ord13 (10) Ta có φ(13) = 12, nên k phải ước 12 Do k = 1, 2, 3, 4, 12 Ta có 101 ≡ −3 104 ≡ (mod 13), 102 ≡ −4 (mod 13), 103 ≡ −1 (mod 13), (mod 13), 106 ≡ (mod 13) Do k = (3) Ta tính k = ord21 (10) Ta có φ(21) = φ(3)φ(7) = · = 12, nên k phải ước 12 Do k = 1, 2, 3, 4, 12 Ta có 101 ≡ 10 104 ≡ (mod 21), 102 ≡ 16 (mod 21), 103 ≡ 13 (mod 21), (mod 21), 106 ≡ (mod 21) Do k = Hệ 1.2.7 Cho n > số nguyên dương với gcd(n, 10) = Nếu tồn số nguyên dương v cho n | 10v + ordn (10) chẵn Chứng minh Ta có 10v ≡ −1 (mod n) 102v ≡ (mod n) Theo Mệnh đề 1.2.4, ordn (10) | 2v Giả sử ordn (10) lẻ Khi ordn (10) | v Do 10v ≡ (mod n) (lại theo Mệnh đề 1.2.4 ) Ta suy −1 ≡ 10v ≡ (mod n) ≡ (mod n) Điều vơ lý n 6= Chú ý 1.2.8 (1) Nói chung hệ ta khơng có khẳng định theo chiều ngược lại Ví dụ, với n = 21 ord21 (10) = chẵn, 21 - 10v + với số nguyên dương v Thật vậy, giả sử tồn v nguyên dương 21 | 10v + Nói riêng 10v + ≡ (mod 3) Nhưng rõ ràng 10v + ≡ + = (mod 3), ta có điều mâu thuẫn (2) Tuy nhiên, n nguyên tố hệ ta có khẳng định theo chiều ngược lại Cụ thể hơn, n = p số nguyên tố khác 5, ord p (10) = 2r chẵn, p | 10r + Thật vậy, ta có 102r ≡ (mod p) Do p | 102r − = (10r − 1)(10r + 1) Vì p nguyên tố, nên p ước 10r − 10r + Vì 2r cấp 10 modulo p 2r > r nên 10r 6≡ (mod p), tức p - 10r − Ta suy p | 10r + 1.3 Thặng dư toàn phương Định nghĩa 1.3.1 Cho p số nguyên tố a số nguyên cho p - a Số a gọi thặng dư toàn phương modulo p tồn số nguyên x cho a ≡ x2 (mod p) Nếu không tồn số nguyên x cho a ≡ x2 (mod p) ta nói a phi thặng dư tồn phương modulo p Ví dụ Các số 1, 2, thặng dư tồn phương modulo 7, 3,5 khơng thặng dư tồn phương modulo Định nghĩa 1.3.2 (Ký hiệu Legendre) Cho p số nguyên tố lẻ không chia hết số nguyên a Ta định nghĩa: a = −1 p a thặng dư toàn phương modulo p a khơng thặng dư tồn phương modulo p Ký hiệu gọi ký hiệu Legendre Một số tính chất Cho p số nguyên tố lẻ không chia hết số nguyên a b Khi ta có tính chất sau a2 = 1 p ab a b = p p p p −1 a ≡ a ( mod p) (Tiêu chuẩn Euler) p a b Nếu a ≡ b ( mod p) = p p p ≡ (mod 4) −1 = −1 p ≡ (mod 4) p p ≡ ±1 (mod 8) p −1 p ≡ ±3 (mod 8) Định lý 1.3.3 (Luật thuận nghịch toàn phương Gauss) Giả sử pvà q số nguyên p q tố lẻ phân biệt Khi p ≡ (mod 4) q ≡ (mod 4) = ; q p p q p ≡ q ≡ ( mod4) =− q p Hệ 1.3.4 Cho p số nguyên tố khác Khi = −1 p p ≡ ±1 (mod 5) p ≡ ±2 (mod 5) ...ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– BÙI THỊ PHƯƠNG THẢO KHAI TRIỂN THẬP PHÂN CỦA SỐ HỮU TỶ Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC... sử khai triển thập phân 1/p, p số nguyên tố, có chu kỳ chẵn, ta chia khối lặp lại thành phần A B A + B số toàn số Mục tiêu luận văn tìm hiểu số tính chất bản, thú vị khai triển thập phân số hữu. .. Khoa Toán- Tin, Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, tạo điều kiện để giúp tác giả học tập hoàn thành luận văn chương trình thạc sĩ Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp cao học