ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐINH THỊ HIỀN VỀ PHƯƠNG PHÁP NEWTON LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN 2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐINH THỊ HIỀN VỀ PHƯƠNG P[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - ĐINH THỊ HIỀN VỀ PHƯƠNG PHÁP NEWTON LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - ĐINH THỊ HIỀN VỀ PHƯƠNG PHÁP NEWTON Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số : 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TSKH Đinh Nho Hào THÁI NGUYÊN - 2019 i Mục lục Lời cảm ơn iii Mở đầu 1 Các khái niệm giải tích hàm 1.1 Khơng gian Euclide 1.2 Khơng gian Banach tốn tử liên tục 1.2.1 Không gian Banach 1.2.2 Toán tử tuyến tính liên tục 1.3 Đạo hàm theo nghĩa Fréchet Lịch sử phương pháp Newton 2.1 Phương pháp Newton 2.1.1 Phương pháp Viète 2.1.2 Phương pháp dây cung 11 2.1.3 Phương pháp Newton- Công thức 13 2.1.4 Các phương pháp khác cho phương trình phi tuyến 15 2.1.5 Cơng thức Raphson 16 2.2 Phương pháp Newton không gian hữu hạn chiều 17 2.2.1 Trường hợp biến 17 2.2.2 Trường hợp nhiều biến 18 Phương pháp Newton- Kantorovich 20 ii 3.1 Kết hội tụ cho phương trình trơn 21 3.2 Sai số ước lượng cho phương pháp Newton 27 3.3 Sự hội tụ đơn điệu 29 3.4 Phương pháp Newton cho phương trình khơng xác định 30 3.5 Phương pháp Newton điểm suy biến 34 3.6 Phương pháp Newton liên tục 36 3.7 Phương pháp Newton cho phương trình khơng trơn 38 3.8 Sự hội tụ phân kì phương pháp Newton 39 3.9 Phân tích sai số 40 Kết luận 43 Tài liệu tham khảo 44 iii Lời cảm ơn Luận văn thực Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên hoàn thành hướng dẫn GS.TSKH Đinh Nho Hào Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới người hướng dẫn khoa học mình, người đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời gian hướng dẫn tận tình giải đáp thắc mắc tác giả suốt trình làm luận văn Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán-Tin, giảng viên tham gia giảng dạy, tạo điều kiện tốt để tác giả học tập nghiên cứu Đồng thời tác giả xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp cao học Tốn K11C (khóa 2017-2019), cảm ơn gia đình bạn bè động viên giúp đỡ tác giả nhiều trình học tập 1 Mở đầu Isaac Newton (1642 − 1727) nhà vật lý, nhà thiên văn học, nhà triết học tự nhiên nhà toán học vĩ đại người Anh Ơng xây dựng cơng thức giải phương trình phi tuyến f (x) = viết năm 1671 công bố lần vào năm 1685 Newton tính tốn chuỗi đa thức sau ơng đưa đến nghiệm xấp xỉ phương trình Joseph Raphson (1648−1715) coi phương pháp Newton hoàn toàn phương pháp đại số giới hạn việc sử dụng cho đa thức biến Tuy nhiên Raphson mô tả phương pháp thơng qua dãy xấp xỉ thay chuỗi đa thức phức tạp Newton Cách giải thích Raphson xem đơn giản Newton ông công bố vào năm 1690 Ngày gọi phương pháp Newton (hay phương pháp Newton – Raphson) tìm nghiệm xấp xỉ phương trình phi tuyến f (x) = việc xây dựng dãy lặp hội tụ tới nghiệm phương trình Phương pháp Newton – Raphson đóng vai trò quan trọng khoa học kĩ thuật, đặc biệt ngành Tốn học nói chung phương pháp số nói riêng Trong thực tế có khả ứng dụng lớn Sau phương pháp Newton – Raphson đời, việc giải phương trình phi tuyến phát triển mạnh mẽ có ứng dụng nhiều lĩnh vực Giải tốn có ý nghĩa thực tế quan trọng, đặc biệt giai đoạn với hỗ trợ máy tính điện tử việc trở nên có hiệu lực Điều thu hút nhiều nhà khoa học tìm hiểu sâu phương pháp Dựa sở phương pháp Newton – Raphson có, nhiều báo đăng tạp chí tiếng giới nói cách xây dựng phương pháp cải tiến giải xấp xỉ phương trình phi tuyến với tốc độ hội tụ cao, thực máy tính điện tử Luận văn bao gồm phần mở đầu, ba chương, kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương "Các khái niệm giải tích hàm" Chương " Lịch sử phương pháp Newton" Chương " Phương pháp Newton Kantorovich" 3 Chương Các khái niệm giải tích hàm 1.1 Không gian Euclide Định nghĩa 1.1 Cho E không gian vectơ trường số thực R, tích vơ hướng E ánh xạ : E × E → R (x, y) →< x, y > thỏa mãn điều kiện sau < x, y >=< y, x >, < x + y, z >=< x, z > + < y, z >, < λx, y >= λ < x, y >, < x, x >≥ ∀x ∈ E < x, x >= ⇔ x = Định nghĩa 1.2 Không gian vectơ E trường số thực R gọi không gian vectơ Euclide E có tích vơ hướng 4 Định nghĩa 1.3 Độ dài vectơ x không gian vectơ Euclide E với tích vơ hướng xác định bởi: kxk = √ < x, x > Định nghĩa 1.4 Đối với hai vectơ x y khơng gian vectơ Euclide ta gọi góc ϕ x y xác định công thức: < x, y > cos ϕ = kxkkyk 1.2 Không gian Banach tốn tử liên tục 1.2.1 Khơng gian Banach Định nghĩa 1.5 (Không gian định chuẩn) Một không gian định chuẩn (hay khơng gian tuyến tính định chuẩn) khơng gian tuyến tính X trường P (P = R P = C) với ánh xạ từ X vào tập số thực R, gọi chuẩn ký hiệu k.k thỏa mãn tiên đề sau: (∀x ∈ X) kxk ≥ 0, kxk = ⇔ x = θ (ký hiệu phần tử không θ); (∀x ∈ X) , (∀α ∈ P ), kαxk = |α|.kxk; (∀x, y ∈ X) kx + yk ≤ kxk + kyk Số kxk gọi chuẩn vectơ x Ta kí hiệu không gian định chuẩn X Các tiên đề (1), (2), (3) gọi hệ tiên đề chuẩn Định nghĩa 1.6 (Sự hội tụ không gian định chuẩn) Dãy điểm {xn } không gian định chuẩn X gọi hội tụ tới điểm x ∈ X lim kxn − xk = Kí hiệu lim xn = x hay xn → x n→∞ n→∞ n→∞ Định nghĩa 1.7 (Dãy bản) Dãy {xn } không gian định chuẩn X gọi dãy lim kxn − xm k = n,m→∞ Định nghĩa 1.8 (Không gian Banach) Không gian định chuẩn X gọi không gian Banach dãy X hội tụ Ví dụ 1.1 Xét khơng gian véc tơ k - chiều Rk , vớiqmỗi x ∈ Rk , x = (x1 , x2 , , xk )trong Pk xi ∈ R, i = 1, 2, , k Đặt kxk = i=1 |xi | Khi Rk khơng gian Banach Ví dụ 1.2 Cho không gian véc tơ C[a,b] Đối với hàm số xt ∈ C[a,b] , ta đặt kxk = max[a,b] |xt | Khi C[a,b] khơng gian Banach 1.2.2 Tốn tử tuyến tính liên tục Cho X, Y hai không gian định chuẩn Định nghĩa 1.9 (Tốn tử tuyến tính) Một tốn tử A : X → Y gọi toán tử tuyến tính thỏa mãn điều kiện sau (∀x, y ∈ X)A(x + y) = A(x) + A(y); (∀x ∈ X)(∀α ∈ P )A(αx) = αA(x) Ta viết Ax thay cho A(x) Nếu X ≡ Y ta nói A tốn tử X Ta kí hiệu ImA = {y ∈ Y |y = Ax, ∀x ∈ X} miền giá trị toán tử A KerA = {x ∈ X|Ax = 0} hạch (hạt nhân) toán tử A ...ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - ĐINH THỊ HIỀN VỀ PHƯƠNG PHÁP NEWTON Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số : 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC... 29 3.4 Phương pháp Newton cho phương trình khơng xác định 30 3.5 Phương pháp Newton điểm suy biến 34 3.6 Phương pháp Newton liên tục 36 3.7 Phương pháp Newton cho phương. .. Lịch sử phương pháp Newton 2.1 Phương pháp Newton 2.1.1 Phương pháp Viète 2.1.2 Phương pháp dây cung 11 2.1.3 Phương pháp Newton- Công