Tailieumontoan com Điện thoại (Zalo) 039 373 2038 TUYỂN TẬP ĐỀ VÀO 10 CHUYÊN SƯ PHẠM HÀ NỘI (Liệu hệ tài liệu word môn toán SĐT (zalo) 039 373 2038) Tài liệu sưu tầm, ngày 15 tháng 1 năm 2023 http[.]
Tailieumontoan.com Điện thoại (Zalo) 039.373.2038 TUYỂN TẬP ĐỀ VÀO 10 CHUYÊN SƯ PHẠM HÀ NỘI (Liệu hệ tài liệu word mơn tốn SĐT (zalo) : 039.373.2038) Tài liệu sưu tầm, ngày 15 tháng năm 2023 Website:tailieumontoan.com LỜI GIẢI ĐỀ TOÁN ĐIỀU KIỆN LỚP 10/2022 THPT CHUYÊN ĐHSP HÀ NỘI Võ Quốc Bá Cẩn - Nguyễn Lê Phước - Nguyễn Văn Quý - Nguyễn Tiến Dũng Dương Hồng Sơn - Phạm Duy Nguyên Lâm 1 Đề thi x + x +1 1 với x ≥ x ≠ Bài (1.5 điểm) Cho= A + + ÷ x − x x x x + − − + a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm tất số nguyên x cho số nguyên dương A Bài (2.5 điểm) a) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , viết phương trình đường thẳng ( d ) : = y ax + b biết đường thẳng ( d ) qua điểm A ( 2, −1) song song với đường thẳng y = −3 x + b) Một cửa hàng kinh doanh điện máy sau nhập tivi, bán tivi đó; cửa hàng thu tiền lãi 10% giá nhập Giả sử cửa hàng tiếp tục nâng giá bán tivi thêm 5% giá bán, bớt cho khách hàng 245000 đồng, cửa hàng thu tiền lãi 12% giá nhập Tìm giá tiền nhập tivi Bài (3.0 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn ( O ) , điểm D thuộc cung nhỏ AB ( D khác A B) Các tiếp tuyến với đường tròn ( O ) điểm B C cắt đường thẳng AD theo thứ tự E G Gọi I giao điểm hai đường thẳng CE BG a) Chứng minh hai tam giác EBC BCG đồng dạng b) Tính số đo góc BIC Từ đó, chứng minh tứ giác BIDE nội tiếp c) Gọi K giao điểm hai đường thẳng DI BC Chứng minh BK= KI ⋅ KD Bài (3.0 điểm) a) Tìm tất số thực x thỏa mãn a= x + = b x + hai số hữu tỉ b) Cho số thực a1 , a2 , …, a2022 , b1 , b2 , …, b2022 thỏa mãn phương trình x + x + bi = có hai nghiệm thực phân biệt x0 xi với mọi= i 1, 2, …, 2022 Chứng minh số thực x1 + x2 + + x2022 nghiệm phương trình bậc hai 2022 a + a2 + + a2022 b + b + + b2022 x2 + x+ = 2022 2022 Lời giải bình luận tốn α= x + x +1 1 Bài (1.5 điểm) Cho= với x ≥ x ≠ A + + ÷ x −1 x + x −1 x+ x −2 a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm tất số nguyên x cho số nguyên dương A Lời giải a) Bằng biến đổi trực tiếp, dễ dàng chứng minh với x ≥ x ≠ = A ( x + 1) Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com b) Ta có 1 1 >= = , từ số nguyên dương nên ≤ Vì A A A A ( x + 1) ( x + 1) = 1, hay x = (thỏa mãn) Vậy x = giá trị thỏa mãn yêu cầu Bài (2.5 điểm) a) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , viết phương trình đường thẳng ( d ) : = y ax + b biết đường thẳng ( d ) qua điểm A ( 2, −1) song song với đường thẳng y = −3 x + b) Một cửa hàng kinh doanh điện máy sau nhập tivi, bán tivi đó; cửa hàng thu tiền lãi 10% giá nhập Giả sử cửa hàng tiếp tục nâng giá bán tivi thêm 5% giá bán, bớt cho khách hàng 245000 đồng, cửa hàng thu tiền lãi 12% giá nhập Tìm giá tiền nhập tivi Lời giải a) Do đường thẳng ( d ) song song với đường thẳng y = −3 x + nên a = −3 b ≠ Mặt khác, đường thẳng ( d ) qua điểm A ( 2, −1) nên −1 =2a + b =−6 + b , từ b = (thỏa mãn −3 x + b ≠ ) Vậy phương trình đường thẳng ( d ) cần tìm ( d ) : y = b) Gọi x (đồng) giá tiền tivi lúc nhập Rõ ràng x > Ta có tiền lãi tivi x x 11x = (đồng) bán 10%x = (đồng), suy giá bán tivi x + 10 10 10 Nếu cửa hàng nâng giá tivi thêm 5% so với giá bán số tiền lãi thêm 11x 11x ⋅ 5% = (đồng) Thế thì, sau tăng thêm 5% giá bán giá tivi (khi 10 200 11x 11x 231x + = (đồng) Khi giảm cho khách hàng 245000 đồng giá bán chưa giảm giá) 10 200 200 231x − 245000 (đồng) Với giá cửa hàng thu lãi 12% giá nhập về, tức 200 3x 12%x = (đồng) Như vậy, ta có 25 3x 231x − 245000 − x = 25 200 Giải phương trình này, ta x = 7000000 Vậy giá nhập tivi 7000000 đồng Bài (3.0 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn ( O ) , điểm D thuộc cung nhỏ AB( D khác A B ) Các tiếp tuyến với đường tròn ( O ) điểm B C cắt đường thẳng AD theo thứ tự E G Gọi I giao điểm hai đường thẳng CE BG a) Chứng minh hai tam giác EBC BCG dồng dạng b) Tính số đo góc BIC Từ đó, chứng minh tứ giác BIDE nội tiếp c) Gọi K giao điểm hai đường thẳng DI BC Chứng minh BK= KI ⋅ KD Lời giải a) Do tam giác ABC dều nên AB = BC = CA, ∠ BAC = ∠ ABC = ∠ ACB = 60 , tâm đường tròn ngoại tiếp O trực tâm tam giác ABC Do BO ⊥ AC Lại có BE tiếp tuyến B ( O ) nên BE ⊥ BO , từ BE AC Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Tương tự, ta có CG AB Suy ∠ AEB = ∠ GAC ∠ BAE = ∠ AGC (các góc đồng vị) BE BA BE CB = = Mà AC Từ đây, kết = AB = BC nên AC CG BC CG hợp với ∠= EBC ∠= GCB 120 , ta EBC ∼ BCG (c-g-c) Từ AEB ∼GAC (g-g), dẫn đến b) Từ (1), ta có ∠ BEC = ∠ CBG Từ CEB ∼CBI , dẫn đến ∠ = CIB ∠= CBE 120 Suy ∠ BIE = 180 − ∠ BIC = 60 Do tứ giác ADBC nội tiếp ( O ) nên ∠= BDE ∠= BCA 60 , suy ∠ BIE = ∠ BDE Tứ giác BIDE có ∠ BIE = ∠ BDE , mà hai góc có đỉnh kề nhìn cạnh BE nên tứ giác BIDE tứ giác nội tiếp c) Do tứ giác BIDE nội tiếp nên ∠ BDI = ∠ BEI (hai góc nội tiếp chắn cung BI ), mà ∠ BEC = ∠ CBG nên ∠ KBI = ∠ KDB Xét hai tam giác KBI KDB có góc K chung KB KD = , từ ∠ KBI = ∠ KDB nên hai tam giác đồng dạng ( g − g ) Suy KI KB KB= KI ⋅ KD Bình luận Bài hình giống đề thi vòng chuyên Sư phạm năm 2004–2005 Câu a) gây khó khăn cho học sinh phải tìm hai tam giác đồng dạng góc góc chứng minh cặp tam giác đề Hai câu b) c ) lại nhẹ nhàng cần dùng ý trước làm Bài (3.0 điểm) a) Tìm tất số thực x thỏa mãn a= x + = b x + hai số hữu tỉ b) Cho số thực a1 , a2 , …, a2022 , b1 , b2 , …, b2022 thỏa mãn phương trình x + x + bi = có hai nghiệm thực phân biệt x0 xi với mọi= i 1, 2, …, 2022 Chứng minh số thực α= x1 + x2 + + x2022 nghiệm phương trình bậc hai 2022 Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com x2 + a1 + a2 + + a2022 b + b + + b2022 x+ = 2022 2022 Lời giải a) Ta có x= a − , ( ) b= x3 + = (a − 2)3 + = a + 6a + − a ( ) Vì a, b số hữu tỉ nên − a số hữu tỉ Suy − a = , tức a = ±1 Từ đây, ta có x = − x =−1 − Thử lại, ta thấy giá trị thỏa mãn yêu cầu Vậy, có hai giá trị x thỏa mãn yêu cầu toán x = − x =−1 − b) Sử dụng định lý Vieta, ta có x0 + xi = i 1, 2, …, 2022 Từ suy −ai x0 xi = bi với mọi= − ( a1 + a2 + + a2022 = = ) 2022 ( x0 + α ) ) 2022 x0 + ( x1 + x2 + + x2022 b1 + b2 + + b2022= x0 ( x1 + x2 + + x2022= ) 2022 x0α b + b + + b2022 a1 + a2 + + a2022 x0α = Do đó, theo định lý Vieta đảo, 2022 2022 hai số x0 α nghiệm phương trình Như vậy, x0 + α = − x2 + a1 + a2 + + a2022 b + b + + b2022 = x+ 2022 2022 Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com LỜI GIẢI ĐỀ TOÁN CHUYÊN LỚP 10/2022 THPT CHUYÊN ĐHSP HÀ NỘI Đề thi Bài (2.0 điểm ) a) Khơng sử dụng máy tính, tìm giá trị biểu thức P = + + − b) Cho đa thức P ( x ) = ax + bx + c với a ≠ Chứng minh rằng, đa thức P ( x ) nhận giá trị nguyên với số nguyên x 2a, a + b, c số nguyên Sau đó, chứng tỏ ba số 2a, a + b, c số nguyên P ( x ) nhận giá trị nguyên với số nguyên x Bài (3.0 điểm) Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn ( O ) Cung nhỏ OB đường tròn ngoại tiếp tam giác OBC cắt đường tròn ( O ) điểm E Tia BE cắt đường tròn ( O ) tai điểm thứ hai F a) Chứng minh tia EO tia phân giác góc CEF b) Chứng minh tứ giác ABOF nội tiếp c) Gọi D giao điểm thứ hai đường thẳng CE đường tròn ( O ) Chứng minh ba điểm A, F , D thẳng hàng Bài (2.0 điểm) Cho a, b, c, d số nguyên dương thỏa mãn ab = cd Chứng minh sô N = a 2022 + b 2022 + c 2022 + d 2022 hợp số Bài ( 2.0 điểm ) Ta viết mười số 0,1, 2, …,9 vào mười trịn hình bên dưới, số viết lần Sau đó, ta tính tổng ba số đoạn thẳng để nhận sáu tổng Có hay khơng cách viết mười số cho sáu tổng nhận nhau? Bài ( 1.0 điểm) a) Trong mặt phẳng cho năm điểm cho khơng có ba điểm thẳng hàng Chứng minh tồn it tam giác tù có đỉnh lấy từ năm điểm cho b) Trong mặt phẳng cho 2022 điểm cho khơng có ba điểm thẳng hàng Chứng minh tồn it 2018 tam giác tù mà tam giác tù có đỉnh lấy từ 2022 điểm cho Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Lời giải bình luận tốn Bài (2.0 điểm) a) Khơng sử dụng máy tính, tìm giá trị biểu thức P = + + − b) Cho đa thức P ( x ) = ax + bx + c với a ≠ Chứng minh rằng, đa thức P ( x ) nhận giá trị nguyên với số nguyên x 2a, a + b, c số nguyên Sau đó, chứng tỏ ba số 2a, a + b, c số nguyên P ( x ) cūng nhận giá trị nguyên với số nguyên x Lời giải a) Ta có P = (1 + 2)3 + (1 − 2)3 = + + − = b) Giả sử P ( x ) nhận giá trị nguyên với số nguyên x Khi đó, ta có P ( −1) , P ( ) P (1) số nguyên Suy a − b + c, c, a + b + c số nguyên Tữ ta có a + b = số nguyên 2a = (a + b + c) + (a − b + c) (a + b + c) − c là số nguyên Vậy 2a, a + b c số nguyên Bây giờ, giả sử 2a, a + b c số nguyên Khi đó, ta có ( ) P ( x ) = a x − x + ( a + b ) x + c = 2a ⋅ nhận giá trị nguyên với số nguyên x , x ( x − 1) x ( x − 1) + (a + b) x + c số nguyên với x nguyên Bài (3.0 điểm) Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn ( O ) Cung nhỏ OB đường tròn ngoại tiếp tam giác OBC cắt đường tròn ( O ) điểm E Tia BE cắt đường tròn ( O ) tai điểm thứ hai F a) Chứng minh tia EO tia phân giác góc CEF b) Chứng minh tứ giác ABOF nội tiếp c) Gọi D giao điểm thứ hai đường thẳng CE đường tròn ( O ) Chứng minh ba điểm A, F , D thẳng hàng Lời giải a) Do đường tròn ( O ) nội tiếp tam giác ABC nên ∠= BAC ∠= CBA ∠= ACB 60 AO, BO, CO dường phân giác tam giác ABC Do tứ giác OEBC nội tiếp nên ∠= OEC ∠= OBC 30 Suy OEF ∠= OCB 30 ∠= ∠ OEF = ∠ OEC nên EO tia phân giác ∠ CEF b) Vì tam giác OEF cân O nên ∠= OFE ∠= OEF 30 Do ∠= BAO ∠= BFO 30 nên tứ giác ABOF nội tiếp Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com c) Hai tam giác OED, OEF có OE = OF = OD ∠ OEF = ∠ OED nên chúng Suy ED = EF Từ đó, tam giác DEF cân E Mà ∠ DEF = 60 nên tam giác tam giác Bây giờ, với ý tứ giác ABOF nội tiếp, ta có ∠ AFB + ∠ BFD = ∠ AOB + ∠ EFD = 120 + 60 = 180 Vậy ba điểm A, F , D thẳng hàng Bài (2.0 điểm) Cho a, b, c, d số nguyên dương thỏa mãn ab = cd Chứng minh số N = a 2022 + b 2022 + c 2022 + d 2022 hợp số a 2022 d 2022 x Lời giải Tư̛ giả thiết, ta có = với x, y số nguyên dương nguyên tố = y c 2022 b 2022 x Do phân số tối giản nên tồn số nguyên dương m, n cho a 2022 = mx , y = = , d 2022 nx b 2022 = ny Từ đó, ta có c 2022 my N = mx + ny + my + nx = ( m + n )( x + y ) hợp số, m + n x + y số nguyên dương lớn Bài (2.0 điểm) Ta viết mười số 0,1, 2, …,9 vào mười trịn hình bên dưới, số viết đûng lần Sau đó, ta tính tổng ba số đoạn thẳng để nhận sáu tổng Có hay khơng cách viết mười số cho sáu tổng nhận nhau? Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Lời giải Giả sử tồn cách điền số thỏa mãn yêu cầu đề Gọi số điền a1 , a2 , …, a10 hình vẽ Khi đó, ta có = 6S = = ( a1 + a5 + a2 ) + ( a2 + a7 + a3 ) + ( a3 + a6 + a1 ) + ( a3 + a10 + a4 ) + ( a4 + a9 + a2 ) + ( a4 + a8 + a1 ) ( a1 + a2 + a3 + a4 ) + ( a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + a7 + a8 + a9 + a10 ) ( a1 + a2 + a3 + a4 ) + ( + + + + + + + + + ) ( a1 + a2 + a3 + a4 ) + 45 Suy 45 số chẵn, mâu thuẫn Vậy không tồn cách điền số thỏa mãn yêu cầu đề Bài (1.0 điểm) a) Trong mặt phẳng cho năm điểm cho khơng có ba diểm thẳng hàng Chứng minh tồn tam giác tù có đỉnh lấy từ năm điểm cho b) Trong mặt phẳng cho 2022 điểm cho khơng có ba điểm thẳng hàng Chứng minh tồn 2018 tam giác tù mà tam giác tù có đỉnh lấy từ 2022 điểm cho Lời giải a) Xét năm điểm A1 , A2 , A3 , A4 , A5 mặt phẳng cho ba điểm thẳng hàng Có thể thấy bao lồi năm điểm phải ngũ giác lồi tứ giác lồi tam giác Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com • Trường hợp 1: Bao lồi C năm điểm ngũ giác lồi Khơng tính tổng qt, giả sử ngũ giác A1 A2 A3 A4 A5 Khi đó, ta có ∠ A1 A2 A3 + ∠ A2 A3 A4 + ∠ A3 A4 A5 + ∠ A4 A5 A1 + ∠ A5 A1 A2 = 540 Suy ra, góc A1 A2 A3 , A2 A3 A4 , A3 A4 A5 , A4 A5 A1 A5 A1 A2 , phải có góc lớn 90 Từ đó, ta có điều phải chứng minh • Trường hợp 2: Bao lồi năm điểm tứ giác lồi Khơng tính tổng qt, giả sử tứ giác A2 A3 A4 A5 Khi đó, điểm A1 phải nằm tứ giác A2 A3 A4 A5 Ta có ∠ A2 A1 A3 + ∠ A3 A1 A4 + ∠ A4 A1 A5 + ∠ A5 A1 A2 = 360 Do đó, góc lớn góc A2 A1 A3 , A3 A1 A4 , A4 A1 A5 A5 A1 A2 phải có số đo khơng nhỏ 90 Nếu góc có số đo 90 bốn góc A2 A1 A3 , A3 A1 A4 , A4 A1 A5 , A5 A1 A2 phải 90 , 180 , tức ba điểm A2 A1 , A4 thẳng hàng, mâu thuẩn Như suy ∠ A2 A1 A3 + ∠ A3 A1 A4 = vậy, góc lớn góc A2 A1 A3 , A3 A1 A4 , A4 A1 A5 A5 A1 A2 phải góc tù Ta có điều phải chứng minh • Trường hợp 3: Bao lổi năm điểm tam giác Khơng tính tổng qt, giả sử tam giác A2 A3 A4 Khi đó, hai điểm A1 A5 phải nằm tam giác Suy ∠ A2 A1 A3 + ∠ A3 A1 A4 + ∠ A4 A1 A2 = 360 Tử đó, góc lớn ba góc A2 A1 A3 , A3 A1 A4 360 A4 A1 A2 phải có số đo không nhỏ = 120 > 90 Ta có điều phải chứng minh b) Ta chứng minh mệnh đề tổng quát sau quy nạp theo n : Với n + diểm mặt phẳng cho trước, cho khơng có ba điềm thẳng hàng, tồn it n tam giác tù mà tam giác tù có đỉnh lầy tì̛ n + điểm cho Theo kết câu a), mệnh đề với n = Giả sử mệnh đề đến n = k với k nguyên dương, ta chứng minh mệnh đề với n= k + Xét k + điểm A1 , A2 ……, Ak +5 mặt phẳng cho khơng có ba điểm thẳng hàng Khi đó, với năm điểm Ak +1 , Ak + , Ak +3 , Ak + , Ak +5 , theo câu a), ta tìm tam giác tù có đỉnh lấy từ năm điểm Khơng tính tổng qt, giả sử tam giác Ak +3 Ak + Ak +5 tù Bỏ qua điểm Ak +5 xét k + điểm A1 , A2 , …, Ak + Theo giả thiết quy nạp, từ k + điểm xét, ta tìm k tam giác tù có đỉnh lấy từ k + điểm Như vậy, từ k + điểm A1 , A2 , …, Ak +5 , ta tìm k + tam giác tù có đỉnh lấy từ k + điểm xét Khẳng định với n= k + Theo nguyên lý quy nạp, ta có khẳng định với n nguyên dương Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Tổng bình phương ba số ban đầu 13 Tổng bình phương ba số địi hỏi 41 + 2 Như vậy, ta không nhận trạng thái địi hỏi Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NĂM HỌC 2009– 2010 Mơn: TỐN (VỊNG 1) Thời gian làm bài: 150 phút (Khơng kể thời gian giao đề) Câu 1: Cho biểu thức A = 20a + 92 + a + 16a + 64 B = a4 + 20a3 + 102a2 + 40a + 200 a-Rút gọn A b- Tìm a để A + B = Câu 2:Hai công nhân làm công việc 18 h xong.Nếu người thứ làm 6h người thứ làm 12 h 50% cơng việc.Hỏi làm riêng người hồn thành công việc bao lâu? Câu 3: Cho Parabol y = x2 đường thẳng (d) có phương trình y = mx + a- Chứng minh (d) cắt (P) điểm phân biệt A;B với m b- Gọi A(x1; y1) B(x2; y2) Tìm giá trị lớn M = (y1 - 1)(y2 - 1) Câu 4:Cho tam giác ABC với AB = 5; AC = ; BC = 10 Phân giác BK góc ABC cắt đường cao AH;trung tuyến AM tam giác ABC O T (K ∈ AC;H, M ∈ BC) a-Tính AH b-Tính diện tích tam giác AOT Câu 5: Các số thực x , y thoả mãn đẳng thức : (x + 1+ x2 )(y + 1+ y2 )= Chứng minh x + y = Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com HƯỚNG DẪN GIẢI Câu Ta có A = 20a + 92 + a + 16a + 64 = 20a + 92 + (a + 8) A = a + 20a + 100 = (a + 10) = a + 10 B=( a4 + 20a3 + 10a2) + 2(a2 + 20a + 100) = a2(a + 10)2 + 2(a + 10)2 = (a + 10)2(a2 + 2) A = a + 10 ≥ ;B = (a + 10)2(a2 + 2) ≥ 0;A + B ≥ dấu “=” a = -10 Câu Gọi thời gian người thứ làm xong cơng việc x (h) x > 18 Gọi thời gian người thứ hai làm xong cơng việc y (h) x > 18 1 h người thứ làm (CV); h người thứ hai làm (CV) x y 1 1 (CV) ta có PT: + = (1) h hai người làm 18 x y 18 người thứ làm 6h người thứ làm 12 h 50% cơng việc.ta có PT: 12 + = (2) x y Từ (1) (2) ta có hệ 1 1 1 1 1 x + y = 18 x + y = 18 x = 36 x = 36 ⇔ ⇔ ⇔ y = 36 1 = 1 + = + 12 = y 36 x y x y 12 Vậy mội đội đội riêng 36 h xong Câu y = x y = x2 a) xét hệ PT: ⇔ y = mx + x − mx − = xét PT x2 – mx – = có ∆ = m + > b) y1 = mx1 + 1;y2 = mx2 + 1;M = m2.x1x2 mà x1;x2 nghiệm PT x2 – mx – = Theo Viét x1x2 = -1 nên M = -m2 ≤ Max(M) = Câu Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com a-Đặt CH = x BH = 10 - x ta có áp dụng định lí Pitago cho tam giác vuông ABH; ACH AH2 = AB2 - BH2 = 25 - x2 ; AH2 =A2C - H2C = 45 - (10 - x)2 Ta có PT : 25 - x2 = 45 - (10 - x)2 ⇔ 25 - x2 = 45 – 100 + 20x - x2 ⇔ 20x = 80 ⇔ x = nên AH = 10 AO AB AO b) Áp dụng tính chất phân giác = = ⇒ = ; S AOB = S AHB = ; OH BH AH 15 S ABT = S ABM = ; 15 10 S AOT = S ABT − S AOB = − = (đvdt) 12 Câu Ta có : ( x + + x2 ( )( y + + y2 )( x − + x2 ) ⇔ − y + + y2 = x − + x Tương tự − x + + x ) = x − + x2 (1) = y − + y2 (2) Cộng (1) (2) Ta có − y − 1+ y2 − x − 1+ x2 = x − 1+ x2 + y − 1+ y2 ⇔ − y − x = x + y ⇔ x + y = Vậy x + y = (đpcm) Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NĂM HỌC 2009– 2010 Mơn: TỐN (VỊNG 2) Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Câu Các số thực x, y thoả mãn xy ≠ xy ≠ − Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x, y 23 xy xy − xy xy − P = 2 + 3 x y − xy + 2 xy + xy − Câu 1) Cho phương trình x + bx + c = , tham số b c thoả mãn đẳng thức b + c = Tìm giá trị b c để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x cho x1 = x22 + x2 1) Giả sử (x, y, z) nghiệm hệ phương trình: x y z + 12 − = x + y + z =1 10 Hãy tính giá trị A = x + y + z Câu Ba số nguyên dương a, p, q thỏa mãn điều kiện: i) ap + chia hết cho q ii) aq + chia hết cho p pq Chứng minh a > 2( p + q ) Câu Cho đường trịn (O) đường kính AB điểm C thuộc đường trịn (C khơng trùng với A, B trung điểm cung AB) Gọi H hình chiếu vng góc C AB Đường trịn (O1) đường kính AH cắt CA E, đường trịn (O2) đường kính BH cắt CB F 1) Chứng minh tứ giác AEFB tứ giác nội tiếp 2) Gọi (O3) tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEFB, D điểm đối xứng C qua O Chứng minh ba điểm H, O3, D thẳng hàng 3) Gọi S giao đường thẳng EF AB, K giao điểm thứ hai SC với đường trịn (O) Chứng minh KE vng góc với KF Câu Một hình vng có độ dài chia thành 100 hình chữ nhật có chu vi (hai hình chữ nhật khơng có điểm chung) Kí hiệu P chu vi hình chữ nhật 100 hình chữ nhật 1) Hãy cách để chia P = 2,02 2) Hãy tìm giá trị lớn P Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 23 xy xy xy − xy − P = 2 + 3 x y − xy + 2 xy + xy − 23 xy xy xy − xy − + P= 3 3 ( xy + )(( xy − ) 2( xy + ) xy + xy − P= 43 xy + x y − 23 xy + 2( xy + )( xy − ) 3 xy xy + − xy xy − = ( xy + ) xy ( xy + )( xy − ) xy + 3 − xy xy − =0 Câu a)Theo giả thiết ta có ∆ = b − 4c > ∆ = b − 4c > ∆ = b − 4c > ∆ = b − 4c ≥ x = x2 + x1 + x = −b b + c = x2 − x1 x − x1 − x = ⇔ ⇔ ⇔ x1 x = c b + c = x x c = x x c = x x = c x + x = x + x x + = x 22 + x2 2 2 x x = + x1 = x + x 2 x2 − x − ∆ = b − 4c > ∆ = b − 4c > ∆ = b − 4c > b = −8 b + c = b + c = ⇔ ⇔ ⇔ c = 12 x1 x = c x1 x = c x = x3 − 2x − = ( x − 2)( x − x + 2) = 2 x = x y z + 12 − = 4 x + y − z = 12 b) ⇔ ⇔ 7( x + y + z ) = 42 ⇔ A = x + y + z = 3 x + y + 10 z = 30 10 Câu xét pq = ta có đpcm xét :pq > (ap + 1)(aq + 1) pq ⇔ a pq + ap + aq + 1 pq ⇔ a( p + q) + 1 pq ⇔ a ≥ pq − p+q pq − pq pq − pq − = > (vì pq>1) nên a > p + q 2( p + q ) 2( p + q ) 2( p + q ) Cách khác : xét hiệu (ap + 1)(aq + 1) pq ⇔ a pq + ap + aq + 1 pq ⇔ ap + aq + 1 pq ⇒ ap + aq + ≥ pq Ta có 2ap + 2aq > ap + aq + ≥ pq ⇒ 2a ( p + q ) > pq ⇔ a > pq (đpcm) 2( p + q ) Câu Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com a) Ta có tứ giác CEHF hình chữ nhật Ta có ∠ CFE= ∠ EAB (cùng ∠ CHE ) nên thứ giác AEFB nội tiếp b) Kẻ trung trực EF cắt HD O3 chứng minh O3 tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEFB Chứng minh CD ⊥ EF tam giác CHD có IO3 đường trung bình nên mà O3O ⊥ AB mà OA = OB nên O3O trung trực AB nên O3 tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEFB hay H, O3, D thẳng hàng c) ∠ BFS = ∠ BKS (cùng bù ∠ EFB) nên tứ giác BFKS nội tiếp suy ∠ FKS = ∠ FBA mà ∠ FBA = ∠ CEF nên ∠ FKS = ∠ CEF nên tứ giác CEFK nội tiếp suy ∠ EKF = ∠ ECF = 900 hay FK vng góc với EK Câu a-cách chia cạnh thành 100 phần qua điểm chia kẻ đường thẳng // cạnh ta 100 hình vng có chu vi P = 2,02 Chia cạnh thành x phần cạnh lại y phần (x,y ∈ N*) Ta có xy = 100 gọi kích thước hình chữ nhật a,b 1 2( x + y ) x + y ; P (max )khi x+y (max) = = a = , b = P = x y xy xy 50 Mà (x;y)=(1;100);(2;50);(4;25);(5;20);(10;10) có cặp (1;100) thoả mãn Khi P(max)=2,02 Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NĂM HỌC 2008– 2009 Mơn: TỐN (VỊNG 1) Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) Câu Cho biểu thức a+b P= a+ b ( a − b )2 a+b b a − + : − a − b b − ab a − ab Với a > 0;b > a khác b 1.Rút gọn P Tìm a ,b cho b = (a+1)2 P = -1 Câu Cho phương trình x2 + (m2 + 1)x +m – = với m tham số 1.Chứng minh với m phương trình ln có nghiệm phân biệt 2.Gọi x1,x2 nghiệm phương trình tìm tất giá trị m cho x1 − x2 + 2x − x1 = x1 x + 55 x1 x Câu Cho tam giác ABC có ∠ACB = 90o M điểm AB Gọi O, O1, O2 tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC, ∆MAC, ∆MBC a) Chứng minh: điểm O1, M, O2, C thuộc đường tròn (C) b) Chứng minh: O thuộc (C) c) Tìm vị trí M để bán kính (C) nhỏ Câu Cho số thực a,b,c,d thoả mãn đồng thời điều kiện i) ac – a – c = b2 -2b ii) bd – b – d = c2 -2c iii) b,c khác Chứng minh đẳng thức : ad + b + c = bc + a + d Câu Cho số thực không âm x,y,z đôi khác thoả mãn (z + x)(z + y) = Chứng minh bất đẳng thức sau : 1 + ≥4 + 2 ( x − y) ( z + x) ( z + y) Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com HƯỚNG DẪN GIẢI Câu P a+b a+ b a+b b a + + : − − + − − a b a b b a b a a b ( )( ) ( ) ( ) P a+b a+ b (a + b) ab + b a ( a + b ) + a b ( a − b) : − − + a b a b ab ( )( ) P a+b a+ b (a ab + b ab + ab + b a ) + a ab − ab : − a − b a + b ab ( )( ) P a+b a+ b ab (a + b) : − ( a − b )( a + b ) ab P a + b ( a − b )( a + b ) ab − a+ b ab (a + b) = P a− b − a− b a− b a− b a− b a− b a− b Nếu a > b > P = a− b a− b − =0 2 a− b b− a − = a− b 2 Nếu < a < b P = Khi P = -1 a < b P= a − b= a − a + 1= −1 ⇔ a (1 − a )= Vi : a > ⇒ a = 1; b = Câu Tính ∆ = (m2 + 1)2 - 4(m - 2) = m4 +2m2 + 1- 4m + = (m2 - 1)2 + (2m - 1)2 + > với ∀ m ∆ > với ∀ m nên phương trình ln có nghiệm phân biệt Vì ∆ > với ∀ m theo vi-ét ta có: x1 + x2 = −(m + 1) x1.x2= m − Từ GT ta có Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com x1 − x2 − 55 + = x1 x2 + ⇔ 2( x12 + x22 ) − ( x1 + x2 ) − x12 x22 = 55 x2 x1 x1 x2 ⇔ 2( x1 + x2 ) − x1 x2 − ( x1 + x2 ) − x12 x22 = 55 ⇔ 2(m + 1) − 4(m − 2) + (m + 1) − (m − 2) = 55 ⇔ 2m + 4m + − 4m + + m + − m + 4m − =55 ⇔ 2m + 4m − 48 =0 ⇔ (m − 4)(m + 6) =0 Vì m2 + > với m nên : m2 = suy m = (Loại), Vậy m = -2 Câu B I O2 O M C K A O1 1.Chứng minh điểm C, O1, M, O2 thuộc đường trịn ( C) Ta có theo tính chất quan hệ góc nội tiếp góc tâm chắn cung ∠ CO2M = ∠ CBA; ∠ CO1M = ∠ CAB Nên ∠ CO2M + ∠ CO1M = ∠ CBA + ∠ CAB = 2( ∠ CBA + ∠ CAB) = 1800 Vậy điểm C,O1, M,O2 thuộc đường tròn ( C) 2.Chứng minh O thuộc đường trịn ( C) Ta có ∠ COM góc ngồi ∆ cân CBO nên ∠ COM = ∠ CBO + ∠ OCB = ∠ CBO = ∠ CO2M nên O thuộc đường tròn ( C) 3.Xác định vị trí M để bán kính đường trịn ( C) nhỏ Ta có ∠ O2OO1 = 900 nên ∠ O2C O1 = 900 nên O1O2 đường kính đường trịn ( C) để bán kính đường trịn ( C) nhỏ O1O2 nhỏ gọi I,K trung điểm BC,CA ta có ∆ O2C O1 đồng dạng với ∆ ICK (g.g) nên O2O1 O2C AB = ≥ ⇒ O1O2 ≥ IK = IK IC Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Min(O1O2) = IK= AB O2 ≡ I ; O1 ≡ K ; M trùng với chân đường cao kẻ từ C tới AB Câu ac – a – c = b2 - 2b ⇔ ac – a – c + = b2 - 2b + ⇔ (a - 1)(c - 1) = (b - 1)2 bd – b – d = c2 - 2c ⇔ bd – b – d + 1= c2 - 2c + ⇔ (c -1)2 = (b - 1)(d - 1) b - 1,c - khác nên lấy (1) chia (2) ta (1) (2) a −1 b −1 = ⇔ (a − 1)(d − 1) = (c − 1)(b − 1) c −1 d −1 ⇔ ad − a − d + = bc − b − c + ⇔ ad + b + c = bc + a + d ;(dpcm) 1 = ( z + y)2 ; = ( z + x) Câu Từ GT ta có 2 ( z + x) ( z + y) 1 1 + + ( z + y ) + ( z + x) + = 2 2 ( x − y) ( x − y) ( z + x) ( z + y) 1 ) ) ( )( ( ) ( + + + + = + ( x − y) + + + − y z x VT = z y z x z 2 ( x − y) ( x − y) VT = [ Áp dụng BĐT A + B ≥ AB ] ta có 1 1 ( x − y )= + + = + ( x − y)2 + ≥ +2 2 2 ( x − y) ( z + x) ( z + y) ( x − y) ( x − y) 1 ≥4 + + 2 ( z + y) ( z + x) ( x − y) x − y =±1 Dấu “=” xảy ( z + y )( z + x) = Vậy Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NĂM HỌC 2008– 2009 Mơn: TỐN (VỊNG 2) Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Câu Cho ba số dương a,b,c thoả mãn b ≠ c, a + b ≠ c , a + b =( a + b − c ) Chứng minh đẳng thức a + ( a − c )2 a− c = b + ( b − c) b− c Câu 1.Với số dương a thoả mãn a3 = 6(a + 1) Chứng minh phương trình sau vô nghiệm: x2 + ax + a2 - = Tìm tất giá trị a b cho 2(a2 + 1)(b2 + 1) = (a + 1)(b + 1)(ab + 1) Câu Ba số nguyên a, b, c đôi khác thoả mãn đồng thời điều kiện i) a ước b + c + bc ii) b ước a + c + ac iii) c ước a + b + ab Hãy số (a, b, c) thoả mãn điều kiện Chứng minh a, b, c không đồng thời số nguyên tố Câu Cho tam giác ABC Mỗi đường tròn (C) qua điểm A, B cắt cạnh CA,CB điểm L, M tương ứng (L ≠ A, C; N ≠ B, C) Gọi M trung điểm cung LN đường tròn (C) M nằm tam giác ABC Đường thẳng AM cắt đường thẳng BL BN điểm D F tương ứng, đường thẳng BM cắt đường thẳng AN AL điểm E G tương ứng Gọi P giao điểm AN BL 1) Chứng minh DE // GF 2) Nếu tứ giác DEFG hình bình hành, chứng minh: a) ∆ALP ∆ANC b) DF ⊥ EG Câu Cho 13 điểm phân biệt nằm hay cạnh tam giác có cạnh cm Chứng minh ln tồn hai điểm số 13 điểm cho mà khoảng cách chúng không vượt cm Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com HƯỚNG DẪN GIẢI Câu a + b = ( a + b − c ) ⇔ a + b = a + b + c + ab − ac − bc ⇔= c ac + bc − ab Ta có a + ( a − c ) a + a − ac + c (*) = b + ( b − c ) b + b − bc + c thay c = ac + bc − ab Vào (*) Ta có a + ( a − c ) a + a − ac + c 2a + 2b − 2b + ac + bc − ab − ac = = b + ( b − c ) b + b − bc + c 2a + 2b − 2a + ac + bc − ab − bc (a + b) − b + bc − ab ( a + b − c ) − b ( b − c + a ) = (a + b) − a + ac − ab ( a + b − c ) − a ( a − c + b ) ( a + b − c )( a − c ) = ( a + b − c )( b − c ) a− c ;(dpcm) b− c Câu 1.Để phương trình vơ nghiệm ∆ < 0; Ta có ∆ = a2 – 4(a2 - 6) = 24 – 3a2 Từ giả thiết ta có a = 6(a + 1) 24a − 18a − 18 18 = − (*) thay vào ∆ = 24 − 3a = a a a Ta chứng minh < a < từ giả thiết a − 6a − =0 ⇔ a − 3a + 3a − 9a + 3a − =−3 ⇔ (a − 3)(a + 3a + 3) = −3 Ta có a2 + 3a + > với a nên a – < suy a < nên kết hợp với (*) ta có ∆= 6− 18 18 > = a 18