Skkn một số dạng toán nâng cao về phương trình bậc hai trong môn toán

MỤC LỤC Số TT Nội dung Trang MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài 2 1.2 Mục đích nghiên cứu 3 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 12 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.3 Các giải pháp thực 2.3.1 Chứng minh tìm điều kiện để phương trình bậc hai có nghiệm, vơ nghiệm 2.3.2.Tìm điều kiện tham số để phương trình bậc hai có nghiệm lớn ( nhỏ hơn) số 2.3.3.Tìm điều kiện tham số để phương trình bậc hai có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước 2.3.4.Tìm điều kiện nghiệm số phương trình quy phương trình bậc hai 2.3.5 Bài tập vận dụng 13 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm 10 11 5 10 13 15 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 14 3.1 Kết luận 16 15 3.2 Kiến nghị 16 16 Tài liệu tham khảo Danh mục đề tài sáng kiến kinh nghiệm hội đồng đánh giá xếp loại cấp Phòng GD& ĐT, cấp Sở GD& ĐT cấp cao xếp loại từ C trở lên 17 skkn Mở đầu 1.1 Lí chọn đề tài Trong nhà trường THCS, mơn Tốn giữ vai trò quan trọng Những tri thức kỹ toán học với phương pháp làm việc tốn học trở thành cơng cụ để học tập môn học khác, công cụ nhiều ngành khoa học đời sống thực tế Vì tốn học phần thiếu văn hóa người Trong q trình bồi dưỡng học sinh giỏi mơn tốn lớp thân tơi thấy kiến thức về phương trình, hệ phương trình chương trình của bậc học phô thông là một nội dung rất quan trọng, vì nó là nền tảng để giúp học sinh tiếp cận đến các nội dung khác chương trình toán học, vật lí học, hoá học, sinh học của bậc học này. Trong chương trình toán của bậc học phô thông, bắt đầu từ lớp học sinh được học về phương trình, đến lớp học sinh học phương trình bậc hai ẩn bao gồm định nghĩa, cơng thức nghiệm, định lí Vii ét ứng dụng, nhìn chung đa số học sinh lớp biết vận dụng cơng thức nghiệm để giải phương trình, tìm điều kiện để phương trình có nghiệm, vận dụng định lí vi ét để nhẩm nghiệm, xét dấu nghiệm phương trình bậc hai ẩn Tuy nhiên để khai thác sâu phương trình bậc hai ứng dụng khơng học sinh lúng túng kể học sinh giỏi, điều địi hỏi giáo viên đặc biệt giáo viên ơn thi vào THPT đội tuyển học sinh giỏi lớp mơn tốn cần tìm tịi, chọn lọc số dạng nâng cao phương trình bậc hai qua giúp học sinh tìm hiểu sâu phương trình bậc hai làm sở để giải tốt tập phương trình, hệ phương trình khác qua giúp em độc lập, sáng tạo giải tốn mà khơng bị động khơng phụ thuộc theo khn mẫu có sẵn Vậy để giúp em linh hoạt hợn giải toán phương trình bậc hai tơi xin đươc giới thiệu ‘’ Một số dạng tốn nâng cao phương trình bậc hai mơn tốn lớp ” để đồng nghiệp tham khảo skkn 1.2 Mục đích nghiên cứu Sáng kiến kinh nghiệm này nhằm mục đích tập hợp, sắp xếp hệ thống số dạng tập khó phương trình bậc hai thi vào THPT bồi dưỡng học sinh giỏi lớp của cấp trung học sở 1.3 Đối tượng nghiên cứu Học sinh khối trường THCS Hoạt Giang 1.4 Phương pháp nghiên cứu Để hoàn thiện sáng kiến này đã sử dụng các phương pháp nghiên cưu sau:  -Phương pháp phân tích tông hợp.  -Phương pháp so sánh, đối chiếu, thống kê.  - Phương pháp số liệu, hệ thống hoá … phỏng vấn, điều tra, khảo sát điều tra thực tế Nội dung sáng kiến 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Khi học đến học chương IV môn đại số 9, sách giáo khoa giới thiệu phương trình bậc hai ẩn, cơng thức nghiệm ; định lí vi ét ứng dụng Trước làm tập nâng cao học sinh cần nắm vững số kiến thức sau: 2.1.1.Định nghĩa: Phương trình bậc hai ẩn hệ phương trình có dạng: (1) ( x ẩn ; a, b, c hệ số) 2.1.2.Công thức nghiệm: Ta có: + Nếu phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt + Nếu phương trình (1) có nghiệm kép: + Nếu phương trình (1) vơ nghiệm skkn 2.1.3.Định lí Vi-ét: Nếu phương trình (1) có hai nghiệm Định lí Vi – ét đảo: Nếu có số thỏa mãn thì: nghiệm phương trinh X2 – SX + P = ( S2 -4P thì: 0) 2.1.4 Ứng dụng dịnh lí Vi ét *Nhẩm nghiệm: + Nếu a+ b+c = phương trình (1) có hai nghiệm x1 = 1; x2 = + Nếu a - b+c = phương trình (1) có hai nghiệm x1 = - 1; x2 = *Xét dấu nghiệm: - Phương trình (1) có hai nghiệm dấu - Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu - Phương trình (1) có hai nghiệm dương - Phương trình (1) có hai nghiệm âm 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Các kiến thức phương trình bậc hai ẩn nêu qua tiết học lớp giáo viên định hướng giúp học sinh nắm vững Tuy nhiên chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi việc vận dụng kiến thức học sinh đơi cịn máy móc, thiếu sáng tạo Qua thực tế giảng dạy trường THCS Hoạt Giang cho thấy giáo viên bồi dưỡng học sinh giỏi số hạn chế sau: skkn Đối với giáo viên: - Bài tập phương trình bậc hai nhiều chưa chọn lọc, xếp theo hệ thống đặc biệt chuyên đề khó phương trình bạc hai - Chưa định hướng cho học sinh khai thác, phát triển toán phương trình bậc hai sau nắm vững kiến thức - Chưa trọng hướng dẫn học sinh tìm lời giải ngắn gọn nhất, xây dựng sơ đồ giải tổng quát làm sở cho giải dạng phương trình khác tốt Đối với học sinh : Đa số học sinh nắm cách giải phương trình ứng dụng đơn giản nhiên học sinh cịn lúng túng tìm điều kiện tham số để nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước, ứng dụng để tính giá trị biểu thức… Qua khảo sát 35 học sinh khối năm học 2019-2020 thu kết cụ thể sau: Số HS nắm cơng thức nghiệm, định lí vi ét phương trình bậc hai SL 30 % 85,7 Số HS vận dụng cơng thức nghiệm, định lí vi ét phương trình bậc hai mức độ đơn giải trung bình SL % 20 57,1 Số HS vận dụng linh hoạt cơng thức nghiệm, định lí vi ét phương trình bậc hai mức độ cao SL % 01 2,9 Từ kết đòi hỏi cần có giải pháp cụ thể để khắc phục tồn góp phần nâng cao chất lượng mơn tốn, đạt kết tốt kì thi vào THPT thi học sinh giỏi lớp cấp huyện, cấp tỉnh 2.3 Các giải pháp thực Trong trình dạy học tơi tìm tịi, phân dạng tập giúp học sinh dễ tiếp cận nội dung dạng tốn, giúp học sinh tìm hướng giải tốn xác với cách giải ngắn gọn nhất, sau phân tích mở rộng tìm mối liên hệ dạng toán khác cuối đưa tập vận dụng nhằm củng cố, khắc sâu nội dung học skkn 2.3.1 Dạng 1: Chứng minh tìm điều kiện để phương trình bậc hai có nghiệm, vơ nghiệm Đối với dạng tập hướng giải khơng khó tìm điều kiện tham số để chứng minh cho Tuy nhiên có tập địi hỏi học sinh cần linh hoạt sử dụng điều kiện cho toán Bài toán 1: Cho Chứng minh rằng: ax2 + bx + c = (1) ln có nghiệm Giải: +Nếu a = thay vào (*) được: phương trình (1) có nghiệm +Nếu a Ta có: - (ab + bc – a2 – c2) = Suy ra: Vậy trường hợp phương trình (1) ln có nghiệm Bài tốn 2: Cho Chứng minh hai phương trình sau có nghiệm: (1) (2) Đối với toán cần phát hiện: Để hai phương trình có nghiệm cần chứng minh Từ có lời giải sau: Ta có: Xét tổng: skkn ( Vì ) Vậy hai phương trình cho có nghiệm Bài tốn 3 : Tìm m để phương trình sau có nghiệm: x2 – 2x - m + m2 = Đối với toán trước hết cần chuyển dạng phương trình bậc hai cách đặt ẩn phụ qua bỏ ln giá trị tuyệt đối phương trình Đặt , ta có: = X2 – PT cho trở thành: (2) Phương trình (1) có nghiệm phương trình (2) có nghiệm khơng âm PT(2) có nghiệm (*) Trước hết cần tìm điều kiện để PT (2) có nghiệm âm khi : Kết hợp với đk (*) suy phương trình (2) có nghiệm khơng âm Vậy với phương trình cho có nghiệm 2.3.2 Dạng 2: Tìm điều kiện tham số để phương trình bậc hai có nghiệm lớn (nhỏ hơn) số skkn Đối với tốn tìm điều kiện để phương trình bậc hai có hai nghiệm dấu, trái dấu, âm, dương học sinh khơng khó khăn nhiên học sinh lại lúng túng cách hỏi toán sau: Bài toán 1: Tìm giá trị m để phương trình sau có nghiệm khơng âm x2 + mx + (2m - 4) = (1) Đối với tốn trước hết tính thể giải hai nghiệm x1 = 2-m; x2 = -2 Từ suy ra: x sau học sinh có -m m Tuy nhiên tốn may mắn có nghiệm x = -2 < nên nhanh chóng tìm điều kiện m Tuy nhiên GV hướng dẫn học sinh vận dụng cách giải khác sau: - Trước hết tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm âm Đ/K là: Từ suy phương trình sau có nghiệm khơng âm m > Rõ ràng với giải ngắn gọn tổng quát Bài toán 2: Tìm giá trị m để phương trình sau có nghiệm lớn x2 + mx – = (2) GV định hướng giúp học sinh chuyển dạng toán cách đặt y = x – x = y + Thay vào phương trình (2) được: y2 + ( m+4)y + (2m +3) = (*) Ta cần tìm m để phương trình (*) có nghiệm khơng âm Vậy với m phương trình (*) có nghiệm khơng âm tức phương trình (2) có nghiệm lớn skkn Tổng quát: Để so sánh nghiệm phương trình với số t =x–t ta đặt y x = y + t Thay vào phương trình cho phương trình ẩn y tìm đ/k so sánh nghiệm phương trình với + Phương trình có nghiệm khơng âm trước hết ta tìm đk cho phương trình có hai nghiệm âm kết hợp với đk suy đk tham số cần tìm + Phương trình có nghiệm âm trước hết ta tìm đk cho phương trình có hai nghiệm dương kết hợp với đk suy đk tham số cần tìm 2.3.3 Dạng 3: Tìm điều kiện tham số để phương trình bậc hai có hai nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước Với toán cho trước mối quan hệ nghiệm học sinh cần biến đổi dạng sau tìm điều kiện để phương trinh có nghiệm dụng định lí Vi ét để tìm điều kiện cho tham số Tuy nhiên tập cho trước mối quan hệ mà địi hỏi học sinh phải phát cụ thể mối quan hệ nghiệm đẳng thức bất đẳng thức cụ thể Bài tốn 1: Cho phương trình (4) ( tham số) Tìm m để phương trình có nghiệm nhỏ 1, nghiệm lớn Đối với tốn nhiều học sinh tìm đ/k để phương trình có nghiệm phân biệt x1 < x2 sau cho Đến học sinh gặp khó khăn khó địi hỏi cần có giải khác đơn giản phát yêu cầu tốn phương trình có nghiệm nhỏ 1, nghiệm lớn tương đương với đ/k: kết hợp vận dụng định lí vi -ét để tìm đ/k m sau: skkn Ta có PT ln có hai nghiệm phân biệt, gọi hai nghiệm Theo định lý vi-et ta có Để phương trình có nghiệm nhỏ 1, nghiệm lớn my2>0 Khi nghiệm PT(1) là : suy ra : y1 =9y2 Theo đl viet : = Bài tốn 2 : Tìm m để phương trình : phân biệt có nghiệm thỏa mãn: Giải: Để phương trình có nghiệm phân biệt Khi nghiệm phương trình là: Từ đ/k: + Nếu m>0 thì: ; x2 = -1; x3 = 1; 11 skkn Để + Nếu (TMĐK m>0) < m < thì: x1 = -1; Để ; Vậy m = 4; m = ; x4 = (TMĐK < m < ) PT cho có nghiệm phân biệt thỏa mãn: Bài toán 3 : Cho x y số thực thỏa mãn điều kiện: với xy Tính giá trị biểu thức: Đối với toán vấn đè cần phát là: x biệt phương trình hai nghiệm phân Từ ta có cách giải sau : Giải: Ta có phương trình (1) (2) có ac1 0) nên: ; Phương trình (1) có nghiệm phân biệt pt(2) có hai nghiệm phân biệt dương với .suy KQ: 14 skkn Bài 5: Gọi x1, x2 nghiệm phương trình x2 + 2019x2 + = 0, x3, x4 nghiệm phương trình x2 + 2020x + = 0.Tính giá trị biểu thức: (x1+ x3)( x2+x3)(x1- x4)( x2 – x4) Gợi ý: Áp dụng đl Viet có : x1 + x2 = -2019 ; x1.x2 = 1; x3 + x4 = -2020 ; x3.x4 = Mặt khác: (x1+ x3)( x2+x3)(x1- x4)( x2 – x4) Bài 6: Tìm giá trị m để phương trình sau có nghiệm 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm Kết khảo sát 38 học sinh khối năm học 2020-2021 thu cụ thể sau: Số HS vận dụng Số HS vận dụng linh Số HS nắm công công thức nghiệm, định hoạt cơng thức nghiệm, thức nghiệm, định lí vi ét lí vi ét phương trình định lí vi ét phương phương trình bậc hai bậc hai mức độ đơn trình bậc hai mức độ giải trung bình cao SL % SL % SL % 36 94,7 30 78,9 10 26,3 Như thực tiễn sau hai năm học áp dụng sáng kiến với việc kiểm tra khảo sát cho thấy đề tài tập trung đề cập đến số dạng tốn phương trình bậc hai học sinh hình thành thói quen phân tích tìm tịi hướng toán đồng thời tự kiểm tra bước giải giúp em độc lập suy nghĩ, tự tin học làm tập Một số học sinh vận dụng linh hoạt phép biến đổi để giải toán cách ngắn gọn, bước đầu tìm tịi cách giải phương trình với hướng khác để có cách giải toán sáng tạo độc đáo Kết thi học sinh giỏi mơn tốn khối có chuyển biến tích cực 15 skkn Kết luận, kiến nghị 3.1 Kết luận Trong trình thực đề tài bên cạnh cho học sinh nắm vững kiến thức phương trình bậc hai ẩn cung cấp thêm cho học sinh số dạng tập khác phù hợp với lực học sinh đặc biệt học sinh giỏi Đồng thời, việc em học sinh trao đổi, giải tập giúp phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo học sinh, giúp em tự tin có hứng thú học tập Nhờ làm tập học sinh thực nhanh có hiệu hơn, có số em đưa cách giải hay ngắn gọn cho toán Trên số dạng tập khó phương trình bậc hai mà lựa chọn để truyền đạt đến học sinh, mong qua em vận dụng tốt phát huy lực học tập mơn góp phần nâng cao hiệu kì thi học sinh giỏi, góp phần nâng cao chất lượng giáo dục nhà trường Qua thực tế giảng dạy tìm hiểu tài liệu tơi cố gắng thể đề tài nghiên cứu Tuy nhiên q trình thực khơng thể tránh khỏi tồn tại, thiếu sót giải pháp hay mà chưa đề cập tới mong quý thầy cơ, đồng nghiệp đóng góp ý kiến để vấn đề mà đưa ứng dụng thiết thực có hiệu cao 3.2 Kiến nghị Để tạo điều kiện cho giáo viên trường học hỏi sáng kiến hay xin đề nghị với phòng giáo dục công bố rộng rãi nội dung sáng kiến kinh nghiệm có tính ứng dụng cao thực tiến dạy học Xin trân trọng cảm ơn ! CAM KẾT KHÔNG COPPY Hoạt Giang, ngày 15 tháng năm 2021 Người thực hiện: Mai Văn Đoàn 16 skkn Tài liệu tham khảo: - SGK đại số tập - Tài liệu chuyên toán tập – Tác giả: Vũ Hữu Bình - 23 chuyên đề giải 1001 tốn sơ cấp - Nhóm tác giả:Nguyễn Văn Vĩnh Nguyễn Đức Đồng - 500 toán nâng cao - Nhóm tác giả:Lê Mậu Thống – Lê Mậu Thảo - Đề thi vào THPH, đề thi HSG toán 17 skkn DANH MỤC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN Họ tên tác giả: Mai Văn Đồn Chức vụ đơn vị cơng tác:Tổ trưởng – trường THCS Hoạt Giang Cấp đánh giá xếp Kết Năm học loại đánh giá đánh giá (Ngành GD cấp xếp loại xếp loại huyện/tỉnh; Tỉnh ) TT Tên đề tài SKKN Rèn luyện kĩ vẽ hình gấp Huyện hình mơn Tốn Sửa lỗi cho học sinh giải bất Huyện (A, B, C) C 2007 B 2009 C 2011 C 2014 B 2016 C 2018 phương trình Rèn luyện kĩ nhẩm nghiệm Huyện phương trình bậc hai Hướng dẫn học sinh lớp sửa lỗi Huyện giải phương trình vơ tỉ Hướng dẫn học sinh lớp sửa lỗi Huyện giải phương trình vơ tỉ.( phát triển SKKN năm 2014) Một số kĩ thuật chọn điểm rơi Tỉnh vận dụng bất đẳng thức Cô si 18 skkn ... lọc số dạng nâng cao phương trình bậc hai qua giúp học sinh tìm hiểu sâu phương trình bậc hai làm sở để giải tốt tập phương trình, hệ phương trình khác qua giúp em độc lập, sáng tạo giải toán. .. giúp em linh hoạt hợn giải tốn phương trình bậc hai xin đươc giới thiệu ‘’ Một số dạng tốn nâng cao phương trình bậc hai mơn tốn lớp ” để đồng nghiệp tham khảo skkn 1.2 Mục đích nghiên cứu Sáng... lí vi ét phương trình định lí vi ét phương phương trình bậc hai bậc hai mức độ đơn trình bậc hai mức độ giải trung bình cao SL % SL % SL % 36 94,7 30 78,9 10 26,3 Như thực tiễn sau hai năm học