Bài 1 Giá trị lượng giá của một góc từ 0° đến 180° Định lí côsin và định lí sin trong tam giác A Câu hỏi Câu hỏi khởi động trang 62 Toán lớp 10 Tập 1 Cột cờ Lũng Cú là cột cờ Quốc gia, nằm ở đỉnh Lũng[.]
Bài Giá trị lượng giá góc từ 0° đến 180° Định lí cơsin định lí sin tam giác A Câu hỏi Câu hỏi khởi động trang 62 Toán lớp 10 Tập 1: Cột cờ Lũng Cú cột cờ Quốc gia, nằm đỉnh Lũng Cú hay gọi đỉnh núi Rồng (Long Sơn) thuộc xã Lũng Cú, huyện Đồng Văn, tỉnh Hà Giang, cách cực Bắc Việt Nam khoảng 3,3 km Thời nhà Lý, cột cờ Lũng Cú làm sa mộc Ngày nay, cột cờ có độ cao 33,15 m bao gồm bệ cột cao 20,25 m cán cờ cao 12,9 m Chân bệ cột cờ có mặt phù điêu đá xanh mô hoa văn mặt trống đồng Đông Sơn họa tiết minh họa giai đoạn qua thời kì lịch sử đất nước, người, tập quán dân tộc Hà Giang Trên đỉnh cột Quốc kì Việt Nam có diện tích 54 m2, biểu tượng cho 54 dân tộc đất nước ta (Nguồn: http://baophutho.vn) Từ chân bệ cột cờ đỉnh bệ cột cờ bạn Nam đo góc nâng (so với phương nằm ngang) tới vị trí chân núi 45° 50° (Hình 1) Chiều cao h đỉnh Lũng Cú so với chân núi mét? Lời giải: Ta có: Bx // CH BCH = xBC = 50 (hai góc so le trong) Ay // CH ACH = yAC = 45 (hai góc so le trong) Xét tam giác BCH vuông H: tan BCH = BH h + 20,25 h + 20,25 hay tan 50o = hay ≈ 1,2 (1) CH CH CH Xét tam giác ACH vuông H: tan ACH = AH h h hay tan 45o = hay = (2) CH CH CH Từ (1) (2) ta có h + 20,25 h = 1,2 : : CH CH h + 20,25 = 1,2 h h + 20,25 = 1,2h 20,25 = 0,2h h = 101,25 m Vậy chiều cao đỉnh Lũng Cú so với chân núi 101,25 m Hoạt động trang 63 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC vng A có ABC = (Hình 2) a) Nhắc lại định nghĩa sin α, cos α, tan α, cot α b) Biểu diễn tỉ số lượng giác góc 90° – α theo tỉ số lượng giác góc α Lời giải: a) Trong tam giác ABC vng A có ABC = nên ta có: sin = AC AB AC AB , cos = , tan = , cot = BC BC AB AC b) Do 90° – α α góc phụ nên ta có: sin(90° – α) = cos α; cos(90° – α) = sin α; tan(90° – α) = cot α; cot(90° – α) = tan α Hoạt động trang 63 Toán lớp 10 Tập 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, nửa đường tròn tâm O nằm phía trục hồnh bán kính R = gọi nửa đường trịn đơn vị (Hình 3) Với góc nhọn α ta xác định điểm M nửa đường tròn đơn vị cho xOM = Giả sử điểm M có tọa độ (x0; y0) Hãy tính sin α, cos α, tan α, cot α theo x0, y0 Lời giải: Để tính sin α, cos α, tan α, cot α theo x0, y0, thực sau: Xét tam giác OMH vng H, ta có: sin = MH y0 OH x = = y0 ,cos = = = x0 , OM OM tan = MH y0 OH x = ,cot = = OH x MH y0 Hoạt động trang 64 Toán lớp 10 Tập 1: Trên nửa đường trịn đơn vị ta có dây cung MN song song với trục Ox xOM = (Hình 6) a) Chứng minh xON = 180 − b) Biểu diễn giá trị lượng giác góc 180° – α theo giá trị lượng giác góc α Lời giải: a) Do MN // Ox nên OMN = xOM = (2 góc so le trong) Do OM = ON = nên tam giác OMN cân O OMN = ONM MON = 180 − 2OMN = 180 − 2 Mà xON = xOM + MON nên xON = + (180 − 2 ) = 180 − Vậy xON = 180 − b) Ta có N(−x0; y0) M(x0; y0) M, N điểm nằm đường tròn đơn vị thỏa mãn xOM = xON = 180 − nên: sin xOM = y0; cos xOM = x0; tan xOM = y0 x ; cot xOM = ; x0 y0 sin xON = y0; cos xON = −x0; tan xON = y0 y −x x = − ; cot xON = =− −x x0 y0 y0 Vậy sin(180° – α) = sin α; cos(180° – α) = – cos α; tan(180° – α) = – tan α; cot(180° – α) = – cot α Hoạt động trang 66 Tốn lớp 10 Tập 1: Ta tìm giá trị lượng giác (đúng gần đúng) góc (từ 0° đến 180°) cách sử dụng phím: sin , cos , tan máy tính cầm tay Tính sin75°, cos175°, tan64° (làm trịn đến hàng phần chục nghìn) Lời giải: Để tính giá trị lượng giác sin75°, cos175°, tan64°, sau đưa máy tính chế độ “độ” ta làm sau: Vậy sin 75° = 0,9659; cos 175° = – 0,9962 , tan 64° = 2,0503 (chú ý dấu phẩy thập phân máy tính cầm tay dấu “.”) Hoạt động trang 66 Tốn lớp 10 Tập 1: Ta tìm số đo (đúng gần đúng) góc từ 0° đến 180° biết giá trị lượng giác góc cách sử dụng phím: SHIFT với sin ; cos ; tan máy tính cầm tay Tìm số đo góc α (từ 0° đến 180°) làm tròn đến độ, biết: a) cos α = – 0,97; b) tan α = 0,68; c) sin α = 0,45 Lời giải: Để tính gần số đo góc α trường hợp trên, sau đưa máy tính chế độ “độ”, ta làm sau: Luyện tập trang 66 Toán lớp 10 Tập 1: Hãy tính chiều cao h đỉnh Lũng Cú so với chân núi toán phần mở đầu Lời giải: Ta có: Bx // CH BCH = xBC = 50 (hai góc so le trong) Ay // CH ACH = yAC = 45 (hai góc so le trong) Xét tam giác BCH vuông H: tan BCH = BH h + 20,25 h + 20,25 hay tan 50o = hay ≈ 1,2 (1) CH CH CH Xét tam giác ACH vuông H: tan ACH = AH h h hay tan 45o = hay = (2) CH CH CH Từ (1) (2) ta có h + 20,25 h = 1,2 : : CH CH h + 20,25 = 1,2 h h + 20,25 = 1,2h 20,25 = 0,2h h = 101,25 m Vậy chiều cao đỉnh Lũng Cú so với chân núi 101,25 m Hoạt động trang 67 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, BAC = Kẻ đường cao BH Cho α góc nhọn, chứng minh: a) HC = |AC – AH| BC2 = AB2 + AC2 – 2AH AC; b) a2 = b2 + c2 – 2bc cos α Lời giải: a) Nếu góc C nhọn H nằm A C Do đó: HC = AC – AH = |AC – AH| Nếu góc C tù C nằm A H Do đó: HC = AH – AC = |AC – AH| Nếu góc C vng C trùng với H Do đó: HC = = |AC – AH| Trong trường hợp, ta có HC = |AC – AH| Xét tam giác vng BHC AHB, áp dụng định lí Pythagore, ta có: BC2 = BH2 + HC2 = BH2 + (AC – AH)2 = (BH2 + AH2) + AC2 – 2AH AC = AB2 + AC2 – 2AH AC b) Xét tam giác vng AHB, ta có: AH = AB cosA = c.cosα Do BC2 = AB2 + AC2 – AH AC = b2 + c2 – 2bc.cosα Vậy a2 = b2 + c2 – 2bc.cos α Hoạt động trang 67 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, BAC = Kẻ đường cao BH Cho α góc tù Chứng minh: a) HC = AC + AH BC2 = AB2 + AC2 + AH AC; b) a2 = b2 + c2 – 2bc cos α Lời giải: Do α = 90° nên tam giác ABC vuông A cos α = cos 90o = Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABC vng A ta có: BC2 = AC2 + AB2 = b2 + c2 − = b2 + c2 − 2bc.cos α Vậy a2 = b2 + c2 – 2bc.cos α Luyện tập trang 68 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có AB = 5, AC = 6, BC = Tính cos A Lời giải: Áp dụng định lí cơsin tam giác ABC ta có: BC2 = AB2 + AC2 – AB AC cos A AB2 + AC2 − BC2 cos A = 2.AB.AC 52 + − = = 0,2 Thay số ta được: cos A = 2.5.6 Vậy cos A = 0,2 Hoạt động trang 69 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính R có BC = a, BAC = Kẻ đường kính BD đường trịn (O) Cho α góc nhọn Chứng minh: a) BDC = ; b) a = 2R sin Lời giải: Do α góc nhọn ta vẽ sau: a) Trong đường trịn (O) ta có BAC = BDC (2 góc nội tiếp chắn cung nhỏ BC) Vậy BDC = b) Do BCD góc nội tiếp chắn nửa đường trịn (O) nên BCD = 90 Khi BCD tam giác vng C Xét tam giác BCD vuông C có sin BDC = BC a hay sin = BD 2R Do a = 2R sin Hoạt động 10 trang 69 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính R có BC = a, BAC = Kẻ đường kính BD đường trịn (O) Cho α tù Chứng minh: a) BDC = 180 − ; b) a = 2R sin Lời giải: Do α góc tù ta vẽ sau: a) Do tứ giác ABCD tứ giác nội tiếp nên BAC + BDC = 180 Do BDC = 180 − BAC = 180 − b) Do BCD góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O) nên BCD = 90 Khi BCD tam giác vng C Xét tam giác BCD vng C có sin BDC = Mà sin α = sin(180o − α) nên sin = Do BC a hay sin (180 − ) = BD 2R a 2R a = 2R sin Hoạt động 11 trang 70 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn tâm O, bán kính R có BC = a, BAC = Kẻ đường kính BD đường trịn (O) Cho α góc vng Chứng minh: a = 2R sin Lời giải: Do BAC = = 90 BAC góc nội tiếp đường trịn (O) nên BAC góc nội tiếp chắn nửa đường trịn Do BC đường kính đường trịn (O) Mà BD đường kính đường trịn (O) nên C D Do α = 90o nên sin α = sin 90o = Do BC đường kính đường trịn (O; R) nên BC = 2R hay a = 2R Do a a = 2R hay = 2R sin Luyện tập trang 70 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn (O) có bán kính R = có góc B = 65, C = 85 Tính độ dài cạnh BC Lời giải: Xét tam giác ABC: A = 180 − B − C = 180 − 65 − 85 = 30 Áp dụng định lí sin vào tam giác ABC ta có BC = 2R sin A BC = sinA 2R BC = sin30o 12 BC = Vậy BC = B Bài tập Bài trang 71 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có AB = 3,5; AC = 7,5; A = 135 Tính độ dài cạnh BC bán kính R đường tròn ngoại tiếp tam giác (làm tròn kết đến hàng phần mười) Lời giải: Áp dụng định lí cơsin vào tam giác ABC ta có: BC2 = AB2 + AC2 − 2.AB.AC.cos A BC2 = (3,5)2 + (7,5)2 − 3,5 7,5 cos 135o BC2 ≈ 105,6 BC ≈ 10,3 Áp dụng định lí sin vào tam giác ABC ta có: BC = 2R sin A 2R = 10,3 sin135 2R ≈ 14,6 R ≈ 7,3 Vậy BC ≈ 10,3; R ≈ 7,3 Bài trang 71 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có B = 75,C = 45 BC = 50 Tính độ dài cạnh AB Lời giải: Trong tam giác ABC: A = 180 − B − C = 180 − 75 − 45 = 60 Áp dụng định lí sin vào tam giác ABC ta có: BC AB = sin A sin C Thay số ta được: 50 AB = sin 60 sin 45 50 AB = 2 50 = AB 2 25 = AB AB = 25 : AB = 50 Vậy AB = 50 Bài trang 71 Tốn lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có AB = 6, AC = 7, BC = Tính cosA, sinA bán kính R đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Lời giải: Áp dụng định lí cơsin vào tam giác ABC ta có: BC2 = AB2 + AC2 − 2.AB.AC.cosA AB2 + AC2 − BC2 cosA = 2.AB.AC cosA = + − 82 2.6.7 cosA = A ≈ 75,5o sinA ≈ 0,97 Áp dụng định lí sin vào tam giác ABC ta có: BC = 2R sin A 2R = 0,97 2R ≈ 8,25 R ≈ 4,13 Vậy cosA = ; sinA ≈ 0,97; R ≈ 4,13 Bài trang 71 Tốn lớp 10 Tập 1: Tính giá trị biểu thức sau (khơng dùng máy tính cầm tay): a) A = cos 0° + cos 40° + cos 120° + cos 140°; b) B = sin 5° + sin 150° – sin 175° + sin 180°; c) C = cos 15° + cos 35° – sin 75° – sin 55°; d) D = tan 25° tan 45° tan 115°; e) E = cot 10° cot 30° cot 100° Lời giải: a) A = cos 0° + cos 40° + cos 120° + cos 140° A = + cos(180o − 140o) + ( − ) + cos 140o A = + ( − ) − cos 140o + cos 140o A= b) B = sin 5° + sin 150° – sin 175° + sin 180° B = sin(180o − 175o) − sin 175o + sin 150° + sin 180° B = sin 175o − sin 175o + B= +0 c) C = cos 15° + cos 35° – sin 75° – sin 55° C = cos(90o − 75o) − sin 75o + cos(90o − 55o) − sin 55o C = sin 75o − sin 75o + sin 55o − sin 55o C = d) D = tan 25° tan 45° tan 115° D = tan(90o − 65o) tan 45o tan(180o − 65o) D = cot 65o tan 45o (– tan 65°) D = – (cot 65° tan 65°) tan 45° cos65 sin 65 D = − tan 45 sin 65 cos65 D = −1 D = −1 e) E = cot 10° cot 30° cot 100° E = cot(90o − 80o) cot 30o cot(180o − 80o) E = tan 80o cot 30o (− cot 80o) E = – (tan 80° cot 80°) cot 30° E = (– 1) E = − 3 ... cot xON = =− −x x0 y0 y0 Vậy sin(180° – α) = sin α; cos(180° – α) = – cos α; tan(180° – α) = – tan α; cot(180° – α) = – cot α Hoạt động trang 66 Toán lớp 10 Tập 1: Ta tìm giá trị lượng giác (đúng... = |AC – AH| BC2 = AB2 + AC2 – 2AH AC; b) a2 = b2 + c2 – 2bc cos α Lời giải: a) Nếu góc C nhọn H nằm A C Do đó: HC = AC – AH = |AC – AH| Nếu góc C tù C nằm A H Do đó: HC = AH – AC = |AC – AH|... cos 135o BC2 ≈ 105 ,6 BC ≈ 10, 3 Áp dụng định lí sin vào tam giác ABC ta có: BC = 2R sin A 2R = 10, 3 sin135 2R ≈ 14,6 R ≈ 7,3 Vậy BC ≈ 10, 3; R ≈ 7,3 Bài trang 71 Toán lớp 10 Tập 1: Cho