Lý thuyết toán 10 – cánh diều bài (20)

Bài tập cuối chương A Lý thuyết Giá trị lượng giác góc từ 0° đến 180° 1.1 Định nghĩa Với góc α (0 ≤ α ≤ 180°) ta xác định điểm M (x0, y0) nửa đường trịn đơn vị cho góc xOM = α Khi ta có định nghĩa: +) sin góc α, kí hiệu sinα, xác định bởi: sinα = y0; +) cơsin góc α, kí hiệu cosα, xác định bởi: cosα = x0; +) tang góc α, kí hiệu tanα, xác định bởi: tanα = y0 (x0 ≠ 0); x0 +) cơtang góc α, kí hiệu cotα, xác định bởi: cotα = x0 (y0 ≠ 0) y0 Các số sinα, cosα, tanα, cotα gọi giá trị lượng giác góc α Chú ý: tanα = sin  (α ≠ 90°); cos  cotα = cos  (0 < α < 180°) sin  sin(90° – α) = cosα (0° ≤ α ≤ 90°); cos(90° – α) = sinα (0° ≤ α ≤ 90°); tan(90° – α) = cotα (0° ≤ α ≤ 90°); cot(90° – α) = tanα (0° ≤ α ≤ 90°) 1.2 Tính chất Trên hình bên ta có dây cung NM song song với trục Ox xOM = α xON = 180o – α Với 0° ≤ α ≤ 180° thì: sin(180° – α) = sinα, cos(180° – α) = – cosα, tan(180° – α) = – tanα (α ≠ 90°), cot(180° – α) = – cotα (α ≠ 0°, α ≠ 180°) 1.3 Giá trị lượng giác góc đặc biệt Chú ý: Cách sử dụng máy tính cầm tay để tính giá trị lượng giác: – Ta tìm giá trị lượng giác (đúng gần đúng) góc từ 0° đến 180° cách sử dụng phím: sin, cos, tan máy tính cầm tay Định lí cơsin Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c Khi đó: a2 = b2 + c2 – 2bccosA, b2 = c2 + a2 – 2cacosB, c2 = a2 + b2 – 2abcosC Lưu ý: b2  c2  a cosA = , 2bc c2  a  b2 cosB = , 2ca cosC = a  b2  c2 2ab Định lí sin Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c bán kính đường trịn ngoại tiếp R Khi đó: a b c    2R sin A sin B sin C Lưu ý: a = 2RsinA, b = 2RsinB, c = 2RsinC Tính diện tích tam giác Cơng thức tính diện tích tam giác: Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c Khi đó, diện tích S tam giác ABC là: S= 1 bc.sinA = ca.sin = ab.sinC 2 Công thức Heron: Cơng thức tốn học Heron sử dụng để tính diện tích tam giác theo độ dài ba cạnh sau: Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c, p  tam giác ABC là: S  p(p  a)(p  b)(p  c) Trong p nửa chu vi tam giác ABC abc Khi đó, diện tích S Vectơ Định nghĩa: Vectơ đoạn thẳng có hướng Vectơ có điểm đầu A, điểm cuối B kí hiệu AB đọc “vectơ AB” Để vẽ vectơ AB ta vẽ đoạn thẳng AB đánh dấu mũi tên đầu nút B Đối với vectơ AB , ta gọi: – Đường thẳng d qua hai điểm A B giá vectơ AB – Độ dài đoạn thẳng AB độ dài vectơ AB , kí hiệu AB Vectơ cịn kí hiệu a , b , x , y không cần rõ điểm đầu điểm cuối Độ dài vectơ a kí hiệu a Ví dụ: Vectơ AB có độ dài 5, ta viết sau: AB = Vectơ phương, vectơ hướng Định nghĩa: – Hai vectơ phương: Hai vectơ gọi phương giá chúng song song trùng – Hai vectơ phương hướng ngược hướng Hai vectơ Hai vectơ AB , CD chúng hướng độ dài, kí hiệu: AB  CD Nhận xét: – Hai vectơ a b gọi chúng hướng có độ dài, kí hiệu a = b – Khi cho trước vectơ a điểm O, ta ln tìm điểm A cho OA  a Vectơ–không Ta biết vectơ có điểm đầu điểm cuối hoàn toàn xác định biết điểm đầu điểm cuối Bây với điểm A ta quy ước có vectơ đặc biệt mà điểm đầu điểm cuối A Vectơ kí hiệu AA gọi vectơ – không Định nghĩa: Vectơ–không vectơ có điểm đầu điểm cuối trùng nhau, kí hiệu Ta quy ước phương hướng với vectơ = Nhận xét: Hai điểm A, B trùng AB = Tổng hai vectơ 9.1 Định nghĩa – Với ba điểm A, B, C, vectơ AC gọi tổng hai vectơ AB BC , kí hiệu AC = AB + BC Phép lấy tổng hai vectơ gọi phép cộng vectơ 9.2 Quy tắc hình bình hành Nếu ABCD hình bình hành AB + AD = AC 9.3 Tính chất Với ba vectơ tùy ý a , b , c ta có: a + b = b + a (tính chất giao hoán) ; ( a + b ) + c = a + ( b + c ) (tính chất kết hợp); a + = + a = a (tính chất vectơ–khơng) Chú ý: Tổng ba vectơ a + b + c xác định theo hai cách sau: ( a + b ) + c a + ( b + c ) 10 Hiệu hai vectơ 10.1 Hai vectơ đối Định nghĩa: Vectơ có độ dài ngược hướng với vectơ a gọi vectơ đối vectơ a , kí hiệu – a Hai vectơ a – a gọi hai vectơ đối Quy ước: Vectơ đối vectơ vectơ Nhận xét: +) a + (– a ) = (– a ) + a = +) Hai vectơ a , b hai vectơ đối a + b = +) Với hai điểm A, B, ta có: AB  BA  Lưu ý: Cho hai điểm A, B Khi hai vectơ AB BA hai vectơ đối nhau, tức BA  AB Chú ý: – I trung điểm đoạn thẳng AB IA  IB  – G trọng tâm tam giác ABC GA  GB  GC  10.2 Hiệu hai vectơ Hiệu hai vectơ a b , kí hiệu a – b , tổng vectơ a vectơ đối vectơ b , tức a – b = a + (– b ) Phép lấy hiệu hai vectơ gọi phép trừ hai vectơ Nhận xét: Với ba điểm A, B, O ta có: AB = OB  OA 11 Tích vectơ với số Cho số k ≠ vectơ a ≠ Tích số k với vectơ a vectơ, kí hiệu k a , xác định sau: + hướng với a k > 0, ngược hướng với a k < 0; + có độ dài k a Quy ước: a = , k = Phép lấy tích số với vectơ gọi phép nhân số với vectơ Tính chất Với hai vectơ a , b hai số thực h, k, ta có: +) k( a + b ) = k a + k b ; k( a – b ) = k a – k b ; +) (h + k) a = h a + k a ; +) h(k a ) = (hk) a ; +) a = a ; (–1) a = – a Nhận xét: k a = k = a = – Nếu I trung điểm đoạn thẳng AB MA  MB  2MI với điểm M – Nếu G trọng tâm tam giác ABC MA  MB  MC  3MG với điểm M – Điều kiện cần đủ để hai vectơ a b ( b ≠ 0) phương có số thực k để a = k b – Điều kiện cần đủ để ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng có số thực k để AB  kAC Nhận xét: Trong mặt phẳng, cho hai vectơ a b khơng phương Với vectơ c có cặp số (x; y) thoả mãn c  xa  yb 12 Tích vơ hướng hai vectơ 12.1 Tích vơ hướng hai vectơ có chung điểm đầu  – Góc hai vectơ OA , OB góc hai tia OA, OB kí hiệu OA,OB  – Tích vơ hướng hai vectơ OA OB số thực, kí hiệu OA OB ,   xác định công thức: OA.OB  OA OB cos OA,OB 12.2 Tích vơ hướng hai vectơ tùy ý Định nghĩa: Cho hai vectơ a , b khác Lấy điểm O vẽ vectơ OA  a,OB  b (Hình vẽ)   + Góc hai vectơ a , b , kí hiệu a,b , góc hai vectơ OA , OB + Tích vơ hướng hai vectơ a b , kí hiệu a b tích vơ hướng hai vectơ OA OB Như vậy, tích vơ hướng hai vectơ a b số thực xác   định công thức: a b = a b cos a,b Quy ước: Tích vơ hướng vectơ với vectơ số Chú ý:     +) Nếu  a,b  = 90° ta nói hai vectơ a , b vng góc với nhau, kí hiệu a ⊥ b +) a,b = b,a b ⊥ a Khi a b = a b cos90 = +) Tích vơ hướng hai vectơ hướng tích hai độ dài chúng +) Tích vơ hướng hai vectơ ngược hướng số đối tích hai độ dài chúng 12.3 Tính chất Với hai vectơ a , b số thực k tùy ý, ta có: +) a b = b a (tính chất giao hoán);   +) a b  c  a.b  a.c (tính chất phân phối);       +) ka b  k a.b  a kb ; 2 +) a ≥ 0, a = ⟺ a = Trong đó, kí hiệu a a = a biểu thức gọi bình phương vơ hướng vectơ a B Bài tập tự luyện B.1 Bài tập tự luận Bài Cho tứ giác ABCD Gọi M, N trung điểm hai đường chéo AC BD Chứng minh rằng: AB + CD = MN Hướng dẫn giải: Ta có: MN = MA + AB + BN MN = MC + CD + DN Vì M, N trung điểm hai đường chéo AC BD Suy ra: MA  MC  BN  DN  ⇒ MN = MA + AB + BN + MC + CD + DN    = MA  MC + AB + CD + BN  DN  = + AB + CD + = AB + CD (đpcm) Bài Một cột điện cao 20 m đóng triền dốc thẳng nghiêng hợp với phương nằm ngang góc 17° Người ta nối dây cáp từ đỉnh cột điện đến cuối dốc Tính chiều dài dây cáp biết đoạn đường từ đáy cọc đến cuối dốc 72 m (làm tròn đến chữ số thập phân thứ 2) Hướng dẫn giải: Bài tốn mơ lại hình vẽ với A, B điểm cuối dốc, chân triền dốc; C, D chân đỉnh cột điện Suy chiều dài dây cáp đoạn AD Theo ta có: CD = 20 m, AB = 72 m, CAB = 17°, ABD = 90° ACB = 180° – CAB – ABD = 180° – 17° – 90° = 73° (tổng ba góc tam giác 180°) ACD = 180° – ACB = 180° – 73° = 107° Tam giác ABC vuông B ⇒ AC = AB cosCAB = 72 ≈ 75,3 (m) cos17 Áp dụng định lí cơsin tam giác ACD, ta có: AD2 = AC2 + CD2 – 2AC.CD cos ACD = (75,3)2 + 202 – 2.75,3.20.cos107° ≈ 6950,7 AD = 83,4m Vậy chiều dài dây cáp 83,4m Bài Cho hình bình hành ABCD Gọi M, N hai điểm nằm hai cạnh AB CD cho AB = 3AM, CD = 2CN G trọng tâm tam giác MNB Phân tích vectơ AN , MN , AG qua vectơ AB AC Hướng dẫn giải: + Vì ABCD hình bình hành nên BA = CD Ta lại có: CD = 2CN nên N trung điểm CD Mà CD CN hai vectơ hướng ⇒ CD  2CN 1 ⇔ CN  CD ⟺ CN  BA ⟺ CN   AB 2 Suy : AN = AC + CN = AC – AB + Ta có: AB = 3AM ⇒ AM = AB Mà AM AB hai vectơ hướng ⇒ AM  AB ⇒ MA   AB 1 ⇒ MN  MA  AN =  AB + ( AC – AB ) =  AB  AC Vì G trọng tâm tam giác MNB nên: 3AG  AM  AN  AB = ⇒ AG  Vậy: AB  AC 18 1 AB + AC – AB + AB = AB  AC AN = AC – AB MN =  AB  AC AG  AB  AC 18 Bài Cho tam giác ABC vuông cân A Có đường cao AH, G trọng tâm tam giác ABC Tính độ dài vectơ GA  GB  GC Hướng dẫn giải: Vì G trọng tâm tam giác ABC nên ta áp dụng quy tắc trọng tâm có: GA  GB  GC  ⇒ GA  GB  GC   Vậy độ dài vectơ GA  GB  GC Bài Cho tứ giác ABCD Gọi M, N thuộc đoạn thẳng AB, CD cho MB = 2MA NC = 2ND Chứng minh rằng: MN  AD  BC 3 Hướng dẫn giải: Áp dụng quy tắc cộng vectơ, ta có: MN  MA  AD  DN (1) MN  MB  BC  CN (2) Nhân hai vế phương trình (1) với ta có: 2MN  2MA  2AD  2DN (3) Cộng hai vế (2) (3) ta có: 3MN  MB  BC  CN  2MA  2AD  2DN    ⇔ 3MN  2MA  MB  2AD  BC  2DN  CN  Vì M, N thuộc đoạn thẳng AB, CD (M, N nằm đoạn thẳng AB CD) ⇒ MA,MB DN,CN hai cặp vectơ ngược hướng Mà MB = 2MA NC = 2ND nên ta có: 2MA  MB  2DN  CN  Suy ra: 3MN  2AD  BC ⇒ MN  AD  BC (đpcm) 3 B.2 Bài tập trắc nghiệm Câu Cho tam giác ABC, có vectơ khác vectơ - khơng, có điểm đầu điểm cuối đỉnh A, B, C A 3; B 6; C 7; D Hướng dẫn giải Đáp án là: B Các vectơ khác vectơ - khơng, có điểm đầu điểm cuối đỉnh A, B, C vectơ: AB, BA, BC, CB, CA, AC Vậy có vectơ thỏa mãn Câu Cho hình thoi ABCD cạnh cm có BAD  60 Tính độ dài AC A AC  3; B AC  2; C AC  3; D AC = Hướng dẫn giải Đáp án là: A Do ABCD hình thoi, có BAD  60  ABC  120 Theo định lí cơsin tam giác ABC, ta có: AC2  AB2  BC2  2.AB.BC.cos ABC  AC2  12  12  2.1.1.cos120   AC  Câu Cho tứ giác ABCD Trên cạnh AB, CD lấy điểm M, N cho 3AM  2AB 3DN  2DC Tính vectơ MN theo hai vectơ AD, BC 1 A MN  AD  BC; 3 B MN  AD  BC; 3 C MN  AD  BC; 3 D MN  AD  BC 3 Hướng dẫn giải Đáp án là: C Ta có : MN  MA  AD  DN MN  MB  BC  CN  Suy 3MN  MA  AD  DN  MB  BC  CN         MA  2MB  AD  2BC  DN  2CN Theo ra, ta có:   +) 3AM  2AB  3AM  AM  MB  3AM  2AM  2MB  AM  2MB  2MB  AM   2MB  MA  +) 3DN  2DC  3DN  2(DN  NC)  3DN  2DN  2NC  DN  2NC  DN  2NC   DN  2CN  Vậy 3MN  AD  2BC  MN  AD  BC 3 Câu Cho tam giác ABC vng A có AB = c; AC = b Tính BA.BC A BA.BC  b ; B BA.BC  c2 ; C BA.BC  b  c2 ; D BA.BC  b2  c2 Hướng dẫn giải Đáp án là: B Áp dụng định lý Pythagore ta có: AB2  AC2  BC2  BC  AB2  AC2  c  b Ta có: cosB = AB c  BC b2  c2   Lại có: cosB cos BA,BC Do đó,   BA.BC  BA.BC.cos BA,BC  BA.BC.cos B  c b  c c b  c2  c Câu Tam giác ABC có AC  4, BAC  30, ACB  75 Tính diện tích tam giác ABC A SABC  ; B SABC  ; C SABC  ; D SABC  Hướng dẫn giải Đáp án là: C   Ta có: ABC  180  BAC  ACB  75  ACB Suy tam giác ABC cân A nên AB = AC = 1 Diện tích tam giác ABC là: SABC  AB.ACsin BAC  4.4.sin30  (đvdt) 2 ... song với trục Ox xOM = α xON = 180o – α Với 0° ≤ α ≤ 180° thì: sin(180° – α) = sinα, cos(180° – α) = – cosα, tan(180° – α) = – tanα (α ≠ 90°), cot(180° – α) = – cotα (α ≠ 0°, α ≠ 180°) 1.3 Giá... – I trung điểm đoạn thẳng AB IA  IB  – G trọng tâm tam giác ABC GA  GB  GC  10. 2 Hiệu hai vectơ Hiệu hai vectơ a b , kí hiệu a – b , tổng vectơ a vectơ đối vectơ b , tức a – b = a + (–. .. ; k( a – b ) = k a – k b ; +) (h + k) a = h a + k a ; +) h(k a ) = (hk) a ; +) a = a ; (–1 ) a = – a Nhận xét: k a = k = a = – Nếu I trung điểm đoạn thẳng AB MA  MB  2MI với điểm M – Nếu G